Critérios de Resistência

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1 Critérios de Resistência Coeficiente de segurança ensão uivalente Seja um ponto qualquer, pertencente a um corpo em uilíbrio, submetido a um estado de tensões cujas tensões principais estão representadas na figura. figura ensões principais para um estado de tensões. Chama-se de coeficiente de segurança (s) ao número, maior que a unidade, que ao multiplicar o estado de tensões provoca a ruína do material. figura ensão uivalente multiplicada pelo coeficiente de segurança. Note-se, aqui, que o conceito de ruína está associado à falência do funcionamento do uipamento no qual o corpo se insere. Por exemplo, para um material dúctil, normalmente a falência ocorre quando a tensão simples de tração atinge o valor da tensão de escoamento ( e ). para os materiais frágeis, que não apresentam deformação plástica representativa, a falência ocorre quando a tensão de tração atinge o valor da tensão limite de ruptura ( R ). Assim, para executar o dimensionamento: s r ou r s figura ensões principais multiplicadas pelo coeficiente de segurança, para um estado de tensões. Chama-se de ensão uivalente ( ) uma tensão de tração simples que multiplicada pelo mesmo coeficiente de segurança do estado de tensão leva o material à ruína por tração onde r é a tensão de ruína do material. Com este conceito de tensão uivalente se torna razoavelmente simples executar o dimensionamento dos elementos já que as tensões de escoamento e ruptura, bem como outras, são de fácil determinação e conhecimento generalizados. Deve-se, entretanto, estabelecer uma forma de Prof. José Carlos Morilla Critérios de Resistência II

2 determinação da tensão uivalente para que ela possa representar com eficácia o estado de tensões existente no ponto em estudo. Critérios de Dimensionamento. Vários critérios diferentes, a respeito da ruína dos materiais, foram propostos ao longo do tempo:. eoria da máxima tensão normal proposta por Rankine;. eoria da máxima deformação normal, proposta por Saint-Venant;. eoria da máxima tensão de cisalhamento, proposta por Coulomb em 77 e por resca em 868;. eoria do atrito interno, desenvolvida por Mohr e por Coulomb; 5. eoria da máxima energia de deformação, proposta por Beltrami em 885; 6. eoria da máxima energia de distorção, desenvolvida por Huber em 90; Von Mises em 9 e Hencky em 95; 7. eoria da tensão octaédrica de cisalhamento de Von Mises e Hencky. Cada uma destas teorias propõe um critério para a causa da ruína do material. As experiências feitas em tempos recentes mostram que, entre as teorias apresentadas, algumas são uivalentes e outras são apenas de interesse histórico, já que não apresentam resultados compatíveis com os obtidos. Neste texto apresentar-se-á os critérios baseados em algumas destas teorias. Critério da máxima tensão de cisalhamento ou Critério de resca. Este critério se baseia no fato que para os materiais dúcteis o principal mecanismo de deformação plástica é o de escorregamento nos planos de maior densidade atômica. Assim, a tensão uivalente ( ) é igualmente perigosa a um estado de tensão quando ela apresentar a mesma tensão de cisalhamento máxima que o estado da tensão. figura Círculos de Mohr para um estado de tensão e para uma tensão uivalente. Sabendo-se que as tensões de cisalhamento máxima nos dois círculos de Mohr podem ser determinadas por: τ máx () A igualdade das duas expressões fornece: () Critério da máxima energia de distorção ou Critério de Von Mises Este critério propõe que a ruína por escoamento seja associada a valores críticos de certa Prof. José Carlos Morilla Critérios de Resistência II

3 porção da energia de deformação do ponto material em estudo. Quando as tensões principais possuem valores diferentes, o cubo que representa o ponto se transforma em paralelepípedo. A energia (U) para esta distorção é dada por: + ν U 6 E [( ) ( ) ( ) ] + + () onde E é o módulo de elasticidade do material e ν é o coeficiente de Poison. mesmo fato acontece com a tensão uivalente já que nesta situação e 0. Para a tensão uivalente, a energia de distorção fica: hidrostática ( ), as tensões uivalentes para os dois critérios possuem valor igual a zero. Assim, não é possível dimensionar nesta situação por um destes critérios. Critério de Coulomb-Mohr. Este critério é particularmente interessante para materiais que apresentam resistências diferentes quando solicitados à tração e à compressão. Este tipo de comportamento, em geral, é apresentado pelos materiais frágeis. A figura 5 mostra os dois círculos de Mohr para a tensão de ruptura à tração e à compressão de um material frágil qualquer. + ν U () 6 E Compressão ração Igualando-se as expressões e tem-se: C ( ) + ( ) + ( ) ou seja: ( ) + ( ) + ( ) figura 5 Círculos de Mohr para um material que resiste à tração e à compressão. A proposição deste critério e que os estados são igualmente perigosos quando forem tangentes à reta apresentada na figura. (5) BS: - Note-se que os dois critérios apresentados levam em conta a ductilidade do material e possuem como tensão de ruína a tensão de escoamento ou seja, valem apenas para materiais com características dúcteis. Note-se, também, que no caso da solicitação chamada A tensão uivalente para este critério é: onde (6) k (7) Prof. José Carlos Morilla Critérios de Resistência II k Limite de resistência à tração C Limite de resistência à Compressão C

4 A figura 6 é um gráfico comparativo entre os critérios de resistência apresentados. No ponto A, indicado na seção, atuam a máxima tensão normal ( máx ) e a máxima tensão de cisalhamento (máxτ) que valem: M máx τ (8) máx t Ao se isolar o ponto A, para estudo, representando as tensões que atuam no plano da seção, se obtém: Note-se aqui, que o critério de Von Mises é aquele que mais se aproxima dos resultados experimentais. Aplicação em eixos e vasos de pressão. Aplicação em Eixos Uma aplicação muito importante do que foi apresentado, até agora, está no dimensionamento de eixos. Um eixo, nada mais é do que uma barra circular submetida a um esforço de flexão e um esforço de torção. A figura 7 mostra uma barra com seção transversal circular de diâmetro d, solicitada por um momento fletor M e um momento de torção. figura 8 Ponto A com as tensões em seus planos. bservando-se a figura 8, nota-se que o plano Q é um dos planos principais. Isto é fato já que a tensão de cisalhamento resultante no plano é igual a zero. No plano *, existe uma tensão de cisalhamento que igual, mas com sinal contrário, à tensão de cisalhamento que atua no plano da seção (). Assim, as tensões em cada plano ficam: Plano da seção (): M τ (9) t figura 7 - barra circular solicitada por um momento fletor e um momento de torção. Plano (*): * 0 * τ τ (0) t Prof. José Carlos Morilla Critérios de Resistência II

5 Plano (Q): 0 Q τ 0 Q () Com estes dados, é possível construir o Círculo de Mohr para o plano da seção () e o plano *. Isto pode ser observado na figura 9. 0 Raio () o + τ o το Plano Quando se dimensiona o eixo pelo critério de resca, é possível escrever: τ το ο + Raio RAI figura 9 círculo de Mohr para o estado de tensões. A figura 0 mostra alguns detalhes da figura 8. το Plano Raio () Quando se substitui o valor do RAI na expressão se encontra: o + τo o/ ο Raio figura 0 detalhes do círculo de Mohr para o estado de tensões. A figura 9 mostra que o raio do círculo de Mohr entre e é: 0 + τo (5) Quando se substitui as expressões 9 na expressão 5, se obtém: M + (6) t RAI o + τo () Assim, as tensões principais ficam: Lembrando que para uma seção circular: e t t 6 (7) + Raio + o + τ o é possível escrever: Prof. José Carlos Morilla 5 Critérios de Resistência II

6 M + M + M + M + M + (8) dimensionamento é feito limitando-se a tensão uivalente ao valor da tensão admissível à tração; assim, se obtém: d M + M + π (9) Quando o dimensionamento é feito pelo critério de Von Mises, a tensão uivalente fica: ( ) + ( ) + ( ) Ao se substituir o conteúdo das expressões, se obtém: expressão 0, a tensão uivalente fica: + 6( RAI) ( ) + RAI () Quando se substitui, na expressão a expressão, se encontra: + + τ + τ () Quando se substitui as expressões 9 na expressão, se obtém: M + () t Lembrando que para uma seção circular: e é possível escrever: t t 6 (7) M + + RAI + ( RAI) (0) + RAI M + Quando são efetuados os produtos apresentados na M + Prof. José Carlos Morilla 6 Critérios de Resistência II

7 M + M + () Lembrando, mais uma vez, que o dimensionamento é feito limitando-se a tensão uivalente ao valor da tensão admissível à tração; assim, se obtém: M + M + d (5) π BS:- Devemos observar que as expressões (5) e () fornecem a tensão uivalente, de acordo com resca e Von Mises, respectivamente, para um ponto qualquer onde atuam uma tensão normal e uma tensão de cisalhamento em um único plano. Aplicação em vasos de pressão de parede fina s vasos de pressão são considerados de parede fina quando a espessura da parede for tão puena em relação ao seu diâmetro que a distribuição de tensões normais num plano perpendicular à superfície lateral deste vaso é uniforme ao longo da espessura da parede. Um bom exemplo deste tipo de uipamento são os vasos de pressão para gases industriais. utros exemplos, mais comuns em nosso dia a dia são os extintores de incêndio, os balões, etc. Vasos Cilíndricos ome-se um vaso cilíndrico de parede fina que possui comprimento l e diâmetro d, com uma espessura de parede (e) muito puena em relação a este diâmetro. Suponha que neste tubo exista uma pressão interna p. Esta pressão irá atuar no interior do tubo de maneira a fazer com que exista um crescimento em seu diâmetro e um crescimento em seu comprimento. Para que estas variações ocorram, é necessário que apareçam tensões na parede do vaso cujas direções são a do comprimento ( ) e a da tangente ao perímetro médio da seção ( ). figura tensões em um ponto da parede de um vaso de pressão cilíndrico. A figura mostra um diagrama de corpo livre para um tubo de parede fina que possui uma pressão interna p. figura tensões na parede de um vaso de pressão cilíndrico. Prof. José Carlos Morilla 7 Critérios de Resistência II

8 Para determinar as tensões que atuam na parede, se deve lembrar que o conjunto das tensões deve uilibrar o esforço produzido pela pressão interna. Assim, tem-se: ( ) p d l e l e (6) Da mesma maneira, é possível escrever: π d π d p e (7) Note-se aqui que estas tensões são duas das tensões principais que atuam nos pontos da parede do tubo. Note-se, também, que a tensão é igual ao dobro de. A terceira tensão principal ( ) é igual a zero. Assim, as tensões que atuam nos pontos da parede do tubo podem ser representadas por: figura Círculo de Mohr para um ponto da parede do tubo. Com estas tensões, a tensão uivalente, de acordo com o critério de resca fica: (8) e De acordo com o critério de Von Mises, se encontra: ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) (9) Lembrando que a tensão é igual ao dobro de a expressão 9 fica: ( ) + ( ) + ( ) (0) e figura tensões principais para um ponto da parede do tubo. círculo de Mohr para estas tensões fica: Vasos Esféricos ome-se um vaso esférico, de parede fina, que possui diâmetro d e espessura e. Prof. José Carlos Morilla 8 Critérios de Resistência II

9 círculo de Mohr para estas tensões fica: figura 5 tensões na parede de um vaso de pressão esférico. As tensões nos pontos da parede de um vaso de pressão esférico, possuem o mesmo valor, em qualquer que seja a direção tomada. u seja: π d π d p () e Note-se aqui que estas tensões são duas das tensões principais que atuam nos pontos da parede da esfera. Note-se, também, que a tensão é igual a. A terceira tensão principal ( ) é igual a zero. Assim, as tensões que atuam nos pontos da parede do tubo podem ser representadas por: figura 7 Círculo de Mohr para um ponto da parede da esfera. Com estas tensões, a tensão uivalente, de acordo com o critério de resca fica: () e De acordo com o critério de Von Mises, se encontra: ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) () Lembrando que a tensão é igual a a expressão fica: ( ) () e figura 6 tensões principais para um ponto da parede da esfera. Importante observar que, para este tipo de vaso de pressão, a tensão uivalente é a mesma pelos dois critérios de dimensionamento. Prof. José Carlos Morilla 9 Critérios de Resistência II