Escola Politécnica FGE GABARITO DA P1 2 de abril de 2009

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1 P Física III Escola Politécnica - 9 FGE 3 - GABARITO DA P de abril de 9 Questão Um fio isolante com densidade linear de carga uniforme λ é dobrado na forma mostrada abaio. y λ R R O (a) (, ponto) Determine o vetor campo elétrico E na origem O devido ao semi-círculo. (b) (, ponto) Determine o vetor campo elétrico E na origem O devido ao segmento de reta. (c) (,5 pontos) Uma carga pontual q é colocada na origem. Determine a força total F fio sobre o fio eercida pela carga q.

2 Solução da questão y O θ (a) O campo devido ao trecho é dado por E = (b) O campo devido ao trecho é E = dq r π 4πǫ r = λrdθ ( R cosθ ı Rsenθ j) = λ 3 4πǫ R 3 πǫ R j. dq R 4πǫ ı = R (c) A força que o fio eerce sobre a carga é F = q( E + E ) = λd 4πǫ ı = λ 4πǫ R ( ) ( ) qλ πǫ R 4 ı + j. Como a lei de Coulomb satisfaz a lei de ação e reação, F fio = F = ( ) ( ) qλ πǫ R 4 ı + j. R ı = λ 8πǫ R ı

3 Questão O potencial elétrico numa certa região do espaço é V = ay + by + cyz. (a) (,5 ponto) Determine o campo elétrico E nessa região. (b) (, ponto) Determine o fluo do campo elétrico na face superior do cubo de lado mostrado na figura. Adote a normal apontando para fora do cubo. z B y A (c) (,5 ponto) Calcule o trabalho que deve ser realizado por um agente eterno para levar uma carga q do vértice A ao vértice B do cubo. (d) (,5 ponto) Se uma carga q for colocada no centro do cubo em quanto mudará o fluo através da face superior do cubo? 3

4 Solução da questão (a) O campo elétrico é E = V = ay i (a + by + cz) j cy k. (b) O fluo na face superior do cubo é Φ = S E da = S E ( kda) = S E z da = ( cy)(dy) = c3. (c) O trabalho que deve ser realizado é W A B = q(v B V A ) = q [ (b + c) (a + b) ] = q(c a). (d) Pela lei de Gauss o fluo da carga q através de todas as faces do cubo será igual a q/ǫ. Como a carga está no centro do cubo cada face contribuirá igualmente para este fluo. Assim, o acréscimo no fluo através da face superior será de q/(6ǫ ). 4

5 Questão 3 Um fio de comprimento, com uma densidade linear de carga λ() = A, onde A > é uma constante, está colocado ao longo do eio conforme a figura. y P Determine: (a) (, ponto) O potencial V () para um ponto P do eio com coordenada >. Adote V = no infinito. (b) (, ponto) Uma carga q > com massa m, em uma região muito afastada do fio, é lançada sobre o eio com velocidade v ı. Qual é a velocidade v para que a carga se aproime de uma distância da ponta direita do fio antes de retornar? (c) (,5 ponto) Sabendo-se que a carga total do fio é igual a Q, determine a constante A que aparece em λ(). 5

6 Solução da questão 3 (a) A distância entre um elemento de carga dq = λ( )d do fio, situado em =, e o ponto P é. Neste caso o potencial é dado por V () = λ( )d = A d 4πǫ 4πǫ = A [ + log 4πǫ ( )] = A 4πǫ [ + log( )] (b) No infinito, toda a energia é cinética. Quando a carga parar sua energia será toda potencial e é igual a qv (). A conservação de energia fornece mv = qv () = mv = qa qa ( log ) = v = ( log ) 4πǫ πǫ m (c) A carga total é dada por Q = λ( )d = A d = A = A = A = Q 6

7 Questão 4 As placas condutoras de um capacitor plano têm área A, estão separadas por uma distância d, e têm uma densidade superficial de carga σ. Entre estas placas coloca-se uma chapa condutora de área A e espessura a, conforme mostra a figura. d σ a 3 chapa d a + σ Nos itens abaio, ignore o campo elétrico nas bordas dos condutores. (a) (, ponto) Usando a lei de Gauss, calcule o campo nas regiões, e 3 entre as placas do capacitor (veja a figura). Em seguida, calcule a diferença de potencial entre as placas. (b) (,5 ponto) Mostre que a capacitância do sistema formado pelo capacitor e pela chapa metálica independe da distância entre a chapa e a placa superior do capacitor. (c) (, ponto) Usando a epressão para a densidade de energia por unidade de volume, u e = ǫ E /, calcule a energia armazenada no capacitor. 7

8 Solução da questão 4 (a) Na região, dentro da chapa metálica, E =. Na região, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com uma das tampas dentro da chapa metálica. Como o campo é vertical, o fluo é diferente de zero apenas na tampa superior. σ +σ E chapa A lei de Gauss fornece E d A = q in ǫ = E A = σ A ǫ = E = σ ǫ, Este raciocínio pode ser aplicado na região 3 fornecendo o mesmo resultado para o campo. A diferença de potencial V entre as placas é V = E(d a ) + E = E(d a) = σ(d a) ǫ. (b) A capacitância C é dada por e o resultado independe de. C = Q V = σa = σ(d a) ǫ ǫ A d a (c) Apenas nas regiões e 3 E. Além disto, o campo é uniforme. Portanto, a energia nestas regiões é dada pelo produto da densidade de energia pelos volumes destas regiões. U = ǫ E [A + (d a )A] = ǫ E (d a)a = (d a)aσ = ǫ C Q 8

9 Formulário F = qq ( r r ) 4πǫ r r 3, F = qe, E q( r r ) = 4πǫ r r 3, E dq = 4πǫ r ˆr, p = qd, τ = p E, U = p E, Φ e = E da, E d A = q int ǫ, V = V = 4πǫ q 4πǫ r r, i q i, U = r i 4πǫ B V B V A = i<j q i q j r ij, C = Q V, U = Q C = CV A E d l, V = dq 4πǫ r, E = V V V V = ı j y z k, = QV, u = ǫ E. Algumas integrais d a + b = a b a ln(a + b) ; d (a + b) = b a (a + b) + ln(a + b) a 9