Integral de Linha e Triedro de Frenet

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1 Cálculo III Departamento e Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integral e Linha e Triero e Frenet Na aula anterior iniciamos o estuo as curvas parametrizaas. Em particular, interpretamos a erivaa como vetor velociae a curva, efinimos o vetor tangente unitário e aprenemos a calcular o comprimento o arco, levano ŕ primeira efinição e uma integral e linha em nosso curso: b L = s = γ (t) t, (8.1) γ one γ : [a, b] R n é uma curva. Hoje vamos insistir em uma generalização a eq. (8.1) e vamos também explorar aquilo que a seguna erivaa traz e informação sobre a curva. 8.1 Mais integrais e linha É natural pensar que funções poem ser efinias e integraas ao longo e curvas. Por exemplo, poemos querer eterminar o centro e massa e um arame homogêneo. Ou, ao contrário, poemos conhecer a ensiae e um arame em termos e uma parametrização específica e esejarmos calcular sua massa total. Ou aina, poemos ter um fio conutor com resistiviae que varia ponto a ponto e queremos eterminar o calor issipao pelo fio, quano uma certa voltagem é aplicaa às suas extremiaes. Ou mesmo poemos querer calcular a altura méia e uma mola. Toas estas aplicações involverão o cálculo e integrais e linha. Como foi ito na aula anterior, na fórmula (8.1) estávamos integrano a função constante igual a 1 para obter apenas o comprimento o arco (compare com o significao e fazer integrais uplas ou triplas a função constante igual a 1). Nos exemplos acima, temos sempre uma curva parametrizaa γ : [a, b] R n e uma função efinia ao longo a curva. Esta função poerá ser composta com a parametrização aa, e assim b f s = f (γ (t)) γ (t) t, (8.2) γ a a 1

2 one novamente evemos reconhecer a estrutura usual as fórmulas e muança e variáveis. Aqui, neste caso, uma integral a ser calculaa ao longo o traço a curva γ em R n é transformaa em uma integral no parâmetro t, a ser calculaa no intervalo [a, b] e one γ joga o papel o jacobiano, e trauzir comprimentos (elementos e integração) em variáveis istintas. É importante enfatizar quea efinição aa pela eq. (8.2) só faz sentio uma vez que o resultao não epene a parametrização escolhia, epeneno apenas a conição e passarmos por caa trecho a curva uma única vez. De fato, esta integral e linha e função escalar não epene nem mesmo a orientação a curva. Veremos mais aiante que há outros objetos que poem ser integraos ao longo e uma curva, e, por isso, o termo integral e linha tem mais e um significao (epeneno sempre o contexto). Este aqui apresentao cumpre muito bem o papel e generalizar as noções e integral múltipla, tratano e curvas em lugar e regiões o plano ou o espaço triimensional. Como um exemplo, pensemos em uma mola escrita parametricamente por h : [0, 10] R 3 t (R cos (2πt), R sen (2πt), Ht), one R e H são constantes positivas, com ensiae linear e massa aa por λ (x, y, z) = 20H z. Queremos agora eterminar a altura méia esta mola. Generalizano o que já foi iscutio sobre valores méios e funções, esta méia será aa por zλ s h z = h λ s. Para calcular ambas estas integrais usano a aparametrização aa, epenemos e h (t) = ( 2πR sen (2πt), 2πR cos (2πt), H), e one h (t) = 4π 2 R 2 + H 2, 2

3 que é uma constante, e e one segue 10 zλ s = Ht (20H Ht) 4π 2 R 2 + H 2 t h De mesma forma h λ s = 0 = 4π 2 R 2 + H 2 [ 20H 2 t2 2 H2 t3 3 = 4π 2 R 2 + H H ] t=10 t=0 (20H Ht) 4π 2 R 2 + H 2 t = 4π 2 R 2 + H H, e assim z = H = 40 9 H. 8.2 Cinemática e Geometria a Seguna Derivaa Já vimos que γ (t) tem uma parte geométrica (sua ireção) e uma parte cinemática. Naturalmente, suas variações também apresentarão estes ois aspectos e forma interepenente. Não eve ser surpresa que o vetor γ (t) é chamao aceleração. É importante entener que o vetor aceleração tem ois componentes istintos: um tangencial, ou seja, na ireção e T, e outro normal, ou seja, perpenicular ao vetor tangente. Seu componente tangencial é puramente cinemático: iz se a velociae escalar está seno aumentaa ou iminuía; já seu componente normal traz informação geométrica (a famosa aceleração centrípeta). No caso e curvas no espaço, a primeira informação geométrica aí trazia é justamente a ireção o chamao vetor normal: N. No caso e curvas planas, esta informação é apenas o sentio, já que a ireção já fica efinia pelo fato e ser perpenicular ao vetor tangente. Para trauzir esta iscussão em fórmulas, primeiro afirmamos que as regras e erivação usuais continuam valeno, em particular a regra e Leibniz. Assim, se escrevemos γ = v T (economizamos o parâmetro t na notação), teremos γ = v T + v T, (8.3) 3

4 one o primeiro termo claramente é tangencial. Para mostrar que o seguno termo é perpenicular a T, recorremos a uma importante conseqüência e T ter norma constante. Como T t 2 = 0 e T 2 = T T, segue 0 = t T T = 2 T T t, ou seja, T t é sempre perpenicular a T. Se T 0, fica efinio um vetor t unitário e mesma ireção e sentio que T, que é o já comentao vetor t normal à curva γ naquele ponto, enotao N. Claramente a erivaa e T traz informação geométrica. Porém, se essa erivaa é calculaa com respeito a um parâmetro arbitrário, poemos obter qualquer norma para este vetor. Para evitar esta arbitrarieae cinemática, e obermos mais informação geométrica, usamos a parametrização por comprimento e arco. Com respeito a ela, poemos escrever T s = k N, com k > 0. Este número k é chamao a curvatura e γ naquele ponto. Quanto maior a curvatura, mais rapiamente a ireção tangente está muano, e, intuitivamente, mais curva é γ. Calcule a curvatura a circunferência e a hélice apresentaas na aula anterior para concluir porque o número k 1 é chamao raio e curvatura. É importante notar que, embora a efinição a curvatura utilize o parâmetro e arco, não é necessário obter a parametrização por comprimento e arco para calculá-la. Com efeito, pela regra a caeia, T t = T s s t, 4

5 e s naa mais é que a velociae escalar (ou rapiez) apresentaa na aula t anterior. Assim, T t k = γ Triero e Frenet { } Se estivermos tratano e uma curva em R 2, T, N formam uma base, ita aaptaa a caa ponto a curva (para caa ponto a curva temos, em geral, uma base iferente) e não há mais muito o que iscutir. Já para curvas em R 3, para caa ponto, os vetores T e N geram um plano (paralelo a estes vetores e passano pelo ponto a curva). Este plano tem um significao especial: é o plano que, na vizinhança aquele ponto, se encontra mais próximo e conter a curva. Este é o chamao plano osculaor a curva, naquele ponto. Para escrever como o plano osculaor mua ao longo a curva, é mais simples izer como varia o seu vetor normal. Para efinir este vetor normal ao plano osculaor, basta fazermos t B = T N, que é chamao o { vetor binormal } a curva γ, no ponto γ (t). O referencial aaptao agora é T, N, B. É fácil ver que B = T N + T N = T ( at + bb ) = bn; este número b que aqui foi colocao como componente na ireção B e N, no caso e ser usao o parâmetro e arco s na parametrização, é a chamaa torsão 1 a curva γ naquele ponto, e eve ser interpretaa como quanto a curva eixa e ser uma curva plana. A notação convencional para este parâmetro b é τ, justamente para lembrar a palavra torsão. 1 Durante a aula, ao pular esta conta e ir ireto para a eq. (8.4c), esqueci e colocar o sinal apropriao. É apenas uma convenção, sem afetar o significao geométrico, mas convenções evem ser respeitaas... 5

6 Em particular valem as equações T s = kn, (8.4a) N s = kt + τb, (8.4b) B s = τn, (8.4c) one (8.4a) é essencialmente uma efinição, (8.4c) foi euzia acima e (8.4b) é uma conseqüência as outras uas e e N T e N B serem constantes (euza você mesmo). Quem se interessar em aprofunar este assunto eve procurar saber mais sobre Geometria Diferencial, por exemplo, fazeno a isciplina e Introução à Geometria Diferencial, oferecia pelo Departamento e Matemática. 6