Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala 121 IEC. ramal 5981

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1 CC Visão Computacional Geometria Projetiva Instituto ecnológico de Aeronáutica Prof. Carlos Henrique Q. Forster Sala IEC ramal 598

2 ópicos da aula Rotação em D, Escala e Refleo Deformação do quadrado unitário Corpo rígido em D Geometria Projetiva e Coordenadas homogêneas Dualidade Combinação de ransformações Classes de ransformações CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4

3 Livros para acompanhar essa aula Mathematical Elements for Computer Graphics (nd edition) D. F. Rogers, J. A. Adams McGra-Hill Capítulos e 3 pp 6-6 Fundamentos de Geometria Computacional Resende, R. J., Stolfi, J. I Escola de Computação, Recife, 994 Capítulo pp 5-76 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-3/4

4 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-4/4 Rotação em D Rotação de 9 graus anti-horária Eemplo 4 3 P P Nova rotação, resulta rotação de 8 graus P P P 4 3

5 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-5/4 Forma Geral da Rotação (em torno da origem) r r r r r r r r φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos ) sin( sin sin cos cos ) cos( ) sin( ) cos( sin cos r r φ

6 Propriedades da rotação cos sin sin cos Determinante det cos sin Inversa: rotação por - cos ( ) cos, sin( ) sin cos sin Notar que sin cos cos sin cos sin cos sin rotação por no sentido anti-horário em torno da origem, propriedade de matriz ortogonal cos sin cos sin cos sin CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-6/4

7 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-7/4 Refleo refleo sobre o eio. refleo sobre o eio. refleo sobre a reta. Eemplo Propriedades: Determinante é -. Dois refleos sobre retas passando pela origem compõem uma rotação. A matriz do refleo é ortogonal.

8 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-8/4 Escala uniforme 3 / não-uniforme d a forma geral da escala, a> amplia ou epande, a< reduz ou comprime Se ad, então escala é uniforme.

9 Composição de ransformações Multiplicação de matrizes é associativa P F 43 P P P, P P P, Então P F P, onde 43 K CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-9/4

10 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4 ransformação do Quadrado Unitário d c d c b a b a d c b a Área do paralelogramo d c b a bc ad A det (b,d) (a,c) (ab,cd)

11 ransformação de corpo rígido Que transformações levam retas perpendiculares em retas perpendiculares? Sejam os vetores v e v Seu produto escalar é v v ) v a c b d e ( v. e o vetorial v v ) a c Produto escalar deve ser o mesmo b d (. v v ( a c )( ) ( b d )( ) ( ab cd)( ) Produto vetorial deve ser o mesmo v v ( ad cb)( ) CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4

12 Condições para preservar a magnitude dos vetores e seus ângulos a c b d ab cd Condição do produto vetorial ad cb Condição de que det vetores (a,c) e (b,d) unitários e ortogonais CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4

13 Geometria Projetiva Coordenadas cartesianas Função que biunivocamente mapeia um par de números reais nos pontos do plano. Desvantagens do uso de coordenadas cartesianas Não suportam o conceito de pontos no infinito, o que gera muitos casos particulares (por eemplo, para encontrar a intersecção de duas retas deve-se considerar se são concorrentes, coincidentes ou paralelas). Não representam dualidade entre pontos e retas. Representação inconveniente para transformações geométricas. CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-3/4

14 Coordenadas homogêneas Y são coordenadas em então tais que e > são as coordenadas homogêneas do ponto representado. Se Y com o peso Há múltiplas representações possíveis para um ponto em da forma Y, > (qualquer múltiplo representa o mesmo ponto) Questão: o que acontece com [ ] se e permanecem constantes e tende a zero? E se tende ao infinito? CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-4/4

15 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-5/4 Pontos no infinito com e constantes e tendendo a zero, o ponto se afasta infinitamente da origem na direção do vetor (,). (e seus múltiplos) representa o ponto infinito na direção do vetor (,)

16 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-6/4 representa o ponto no infinito antípoda do ponto A tripla é considerada inválida.

17 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-7/4 Pontos do outro lado do plano O valor de negativo pode ser interpretado como um ponto que atravessou o infinito (está além do infinito). corresponde ao ponto cartesiano / / se estiver na frente do plano (aquém), isto é, se >, ou no seu verso se < (além). Dois pontos que diferem no sinal de não são coincidentes, mas antípodas

18 Retas No plano cartesiano a reta é definida por três coeficientes A, B e C tais que, somente se um ponto P Y pertence à reta, então A BY C (equação cartesiana da reta) Reparar que múltiplos de (A,B,C) representam a mesma reta. Escrevendo P em coordenadas homogêneas: P, A B C, multiplicando por... A B C (equação homogênea da reta) CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-8/4

19 Uma reta é definida por 3 coeficientes homogêneos <,Y,W> sendo que o ponto genérico [ ] P está na reta se e só se Y W Eemplo A reta <,3,> passa pelos pontos tais que 3, ou seja, 3Y em coordenadas cartesianas. Eercícios Qual a equação cartesiana da reta com coeficientes <3,5,>? Quais os coeficientes homogêneos da reta 3-Y6 (eq cartesiana)? Quais os coeficientes homogêneos dos eios e Y? Em que condições a reta é horizontal? Vertical? Passa pela origem? Quais as coordenadas homogêneas da origem do plano cartesiano? CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-9/4

20 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4 Pontos no infinito de uma reta W Y é satisfeita pelos pontos infinitos Y e Y. oda reta paralela a um vetor contém os pontos infinitos e. Duas retas de são paralelas entre si se e somente se as retas correspondentes de (o plano projetivo orientado) passam pelos mesmos pontos no infinito. Se uma reta passa por um ponto P, também passa por seu antípoda P.

21 Uma reta de é representada por duas retas euclidianas superpostas, uma no aquém e outa no além, com os mesmos coeficientes cartesianos, mais dois pontos infinitos, nas direções paralelas às retas. A reta divide o plano em duas metades (os lados da reta) o lado positivo e o lado negativo de acordo com o sinal da epressão Y W. Se um ponto está do lado positivo da reta, seu antípoda estará no lado negativo. aquém pontos além infinitos CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4

22 este de ponto contra reta De que lado da reta está um ponto? Verificar o sinal do produto escalar. ( Y W) r p sgn - do lado negativo, do lado positivo ou se sobre a reta. Se multiplicarmos os coeficientes de r por um número negativo, o valor de negado (os lados positivos e negativos da reta se invertem). r p fica r, Y, W e r Y, W As retas iguais: diferem na sua orientação., são coincidentes, mas não são CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-/4

23 Reta no infinito A B C com AB. Esta equação não é aceita por nenhum ponto de R (ou por todos se C). riplas da forma pontos infinitos: W correspondem a uma das retas opostas que contém todos os a reta contém todos os pontos da forma CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-3/4

24 A reta no infinito (com aquém positivo) é denominada Ω. Ω Ω e Duas retas não-coincidentes se interceptam em dois pontos antipodais. Dois pontos não-coincidentes determinam eatamente duas retas opostas entre si. Essas regras funcionam para qualquer tipo de ponto (finito ou infinito) e reta (paralelas ou não, finita ou infinita). CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-4/4

25 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-5/4 Colinearidade de 3 pontos convertido em coord homogêneas / / / / / / Multiplicando-se as linhas por,, respectivamente, multiplica-se o determinante por. Assim: válida para quais quer pontos (finitos ou infinitos).

26 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-6/4 Reta por pontos Reta que passa por p e p é p p (join produto vetorial) (vale para qualquer pontos não coincidentes, não antipodais) Eercício: Determinar a reta que passa pela origem e por (,Y).

27 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-7/4 Ponto determinado por duas retas,,,, W Y r e W Y r r r p (meet) é a intersecção das retas. (,Y) em coordenadas cartesianas. W Y Y W Y Y, pela regra de Cramer: Y Y W W Y e Y Y Y W Y W Fazendo W e multiplicando, Y e W pelo denominador comum, obtemos as coordenadas homogêneas do ponto.

28 p r r WY WY W W Y Y (meet produto vetorial) Se as duas retas forem paralelas, a solução será um ponto infinito. Dualidade da Geometria Projetiva O princípio da dualidade permite traduzir mecanicamente muitas fórmulas geométricas que envolvem pontos em outras fórmulas que envolvem retas e vice-versa. O mesmo vale para teoremas, algoritmos e estruturas de dados. CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-8/4

29 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-9/4 Segmentos e triângulos A combinação convea em coordenadas homogêneas não necessita limitar a soma dos pesos em. A combinação é convea para cada i α positivo, e pelo menos um deles não nulo. Um segmento é definido como a combinação convea de dois pontos. Um triângulo é definido como a combinação convea de 3 pontos, o que inclui os segmentos de reta que formam os lados do triângulo. Segmento: α α α α α α. riângulo α α α α α α α α α. Não se aconselha interpretar o ponto correspondente a cada tupla de i α independentemente, mas o conjunto das possíveis tuplas.

30 Orientação de 3 pontos ( p, p, p) sgn Orientação positiva ou negativa. Se for zero, os pontos são colineares. CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-3/4

31 Projetividades (ou ransformações Projetivas) São transformações do plano ao plano. Preserva a colinearidade de pontos. Projetividades são transformações lineares inversíveis sobre coordenadas homogêneas. No plano podem ser representadas por matrizes 33 de determinante não-nulo. F f f f f f f f f f CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-3/4

32 Formam-se duas classes de projetividades: As de determinante positivo (ou projetividades positivas), que preservam a orientação dos triângulos. As de determinante negativo (negativas), que invertem a orientação dos triângulos. Multiplicando-se a matriz F por um escalar positivo, continuamos representando a mesma transformação. ( F p α F p em coordenadas homogêneas). CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-3/4

33 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-33/4 ranslações ransformações da forma ), ( ), ( ), ( ), ( Y Y Y Y Y a Preservam distâncias, direções e ângulos. ranslação que leva a origem para o ponto [ ] a Eercício: Aplicar translação a um ponto infinito. Eercício: Escrever a matriz que mapeia ), ( Y em ), ( Y.

34 Propriedades das transformações já vistas ranslações não podem ser representadas como transformações lineares no plano cartesiano (só em coordenadas homogêneas). São transformações afins em coordenadas cartesianas. Rotações preservam ângulos e distâncias. Escalas uniformes preservam ângulos e direções. Escalas não-uniformes preservam direções verticais e horizontais. Refleos preservam distâncias, invertem ângulos CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-34/4

35 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-35/4 Cisalhamentos ), ( ), ( Y Y Y α a α a (cisalhamento horizontal preserva coordenada Y, paralelismo e áreas) β a (cisalhamento vertical)

36 Mais classes de transformações Isometrias ou transformações isométricas: rotações, translações e refleos. Modelam movimentos rígidos no plano, preservam distâncias e ângulos. Similaridades ou transformações euclidianas: incluem as isometrias e escalas uniformes, preservam ângulos e razões entre distâncias. ransformações unitárias: incluem as isometrias e os cisalhamentos, preservam áreas e paralelismo. ransformações afins inversíveis: preservam o paralelismo e (consequentemente) mapeiam pontos do infinito no infinito e pontos finitos em pontos finitos. odas essas classes de transformações são fechadas quanto à inversão e à composição. F G F Propriedade: ( ) G CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-36/4

37 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-37/4 As similaridades têm a forma, ou b a pelo menos a b b a d d As transformações afins têm a forma f e Y d c b a f dy c e by a Y ), ( ), ( a Ou f d c e b a

38 Aplicação de Projetividades em Retas Y W r p r F Fp, Fp p. Mas p r Se, então r r F Assim, transpondo ambos os lados: r F r CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-38/4

39 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-39/4 Eemplo Rotação em torno de um ponto arbitrário. Rotação por ângulo em torno do ponto ), ( n m ranslação de (m,n) à origem. Rotação por. ranslação da origem à (m,n) 3 cos sin sin cos n m n m

40 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-4/4 Eemplo: Rotação de 9 graus em torno de (4,3)

41 Eemplo: Refleo sobre uma reta arbitrária. tan k ransladar para que a reta passe pela origem Rotação para que a reta coincida com o eio Refleo sobre eio Rotação inversa para corrigir a direção ranslação inversa para corrigir a posição cos sin k R sin cos M CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-4/4

42 CC Visão Computacional IA IEC Geometria Projetiva-4/4 cos sin sin cos R R k A seqüência de transformações é dada por MR R Eemplo: Reta 4) (, Pontos