Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico ET-DMAT Prof. Maria Eugênia Martin. CM041- Cálculo I. Lista 5: Derivadas

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1 Universiae Feeral o Paraná Centro Politécnico ET-DMAT Pro. Maria Eugênia Martin CM04- Cálculo I Lista 5: Derivaas Eercício. O gráico ilustra a unção posição e um carro. Use a orma o gráico para eplicar sua resposta para as seguintes questões.. Qual a velociae inicial o carro? 2. O carro está mais rápio em B ou C? 3. O que aconteceu entre D e E? a) e = 00 a = 05 b) e = 00 a = 0 2. Encontre a taa instantânea e variação e C em relação a quano = 00. Eercício 4. Para a unção g cujo gráico é ao, ispona os seguintes números em orem crescente e eplique seu raciocínio: 0, g 2), g 0), g 2) e g 4). Eercício 2. Se uma leca é atiraa para cima sobre a superície a Lua com uma velociae e 58m/s, sua altura em metros) após t segunos é aa por Ht) = 58t 0, 83t 2.. Encontre a velociae a leca após seguno. Eercício 5. Esboce o gráico e uma unção para a qual 0) = 0, 0) = 3, ) = 0 e 2) =. Eercício 6. Associe o gráico e caa unção em a)-) com o gráico e sua erivaa em I-IV. Eplique suas escolas. 2. Quano a leca atinge a Lua e volta? 3. Com que velociae ela atinge a Lua? Eercício 3. O custo em reais) e prouzir uniaes e uma certa mercaoria é C) = , Encontre a taa méia e variação e C em relação a quano os níveis e proução estiverem variano:

2 2. y = no ponto = 3. y = no ponto, 2 ) 4. y = sen) no ponto = π Eercício 0. Prove caa uma as airmativas a seguir:. A erivaa e uma unção par é uma unção ímpar. Eercício 7. O gráico e g é ao. Em quais números g é escontínua? Por que? 2. Em quais números g não é ierenciável? Por que? Eercício 8. Para as seguintes unções calcule a erivaa no ponto inicao através a einição: a) = lim 0 a + ) a). erivaa e ) = no ponto a = 2. erivaa e ) = 2 + no ponto a = 3. erivaa e ) = 3 3 no ponto a = 2 4. erivaa e ) = no ponto a = 4 5. erivaa e ) = 3 no ponto a = 8 6. erivaa e ) = no ponto a = Eercício 9. Escreva a equação a reta tangente as curvas y = ) no ponto especiicao.. y = 2 + no ponto = 4 2. A erivaa e uma unção ímpar é uma unção par. Eercício. A erivaa esquera e ireita e em a são einias por e a) = lim 0 a + ) a) +a) = lim 0 + a + ) a) se esses limites eistirem. Então a) eiste se e somente se essas erivaas unilaterais eistirem e orem iguais.. Encontre 4) e +4) para a unção 0 se 0 ) = 5 se 0 < < 4 se Esboce o gráico e 3. One é escontínua? 4. One não é ierenciável? Eercício 2. Seja uma unção contínua em R tal que ) para too R. A unção é erivável em 0? Eercício 3. Seja erivável em 0, ). Calcule, em termos e ) a) a), o limite lim a a. Eercício 4. Encontre as erivaas as seguintes unções.. ) = π 2. ) = a 2 + b + c 2

3 3. ) = π + ln4) ln7) 2 4. ) = e ) = a 2 + a a a 6. ) = a ) = 2e b ) = ) = 86, 5 0. ) = 2,5. ) = ) = A 0 + Be Eercício 5. Quantas retas tangentes a curva y = 2 + passam pelo ponto 2, 3). Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? Eercício 6. A reta normal à curva C em um ponto P é, por einição, a reta que passa por P e é perpenicular à reta tangente a C em P. Acar a equação a tangente e a normal a curva y = no ponto 2, 5). Eercício 7. Dao ) = Encontre os pontos o gráico e nos quais a tangente é orizontal. Eercício 8. Mostre que a curva y = não tem reta tangente com inclinação 4. Eercício 9. Determine os pontos sobre a curva y = + 2e 3 em que a reta tangente é paralela à reta 3 y = 5? Eercício 20. Ace a unção cúbica ) = a 3 + b 2 + c + cujo gráico tem tangentes orizontais nos pontos 2, 6) e 2, 0). Eercício 2. One a unção maior inteiro ) = não é ierenciável? Encontre uma órmula para e esboce seu gráico. Eercício 22. One a unção ) = é ierenciável? Dê uma órmula para ). Eercício 23. Determine se eiste ou não 0) nos seguintes casos: sen. ) = ) se 0 0 se = 0 2 sen 2. ) = ) se 0 0 se = 0 Eercício 24. Seja a unção einia como: ) = 2 se c a + b se > c Ace os valores e a, b em termos e c e moo que c) eista. Eercício 25. Dao c > 0, seja a unção einia como: se > c ) = a + b 2 se c Ace os valores e a, b em termos e c e moo que c) eista. Eercício 26. Prove a Regra o Quociente : Sejam e g unções ierenciáveis com g) 0 então ) ) = )g) )g ) g [g)] 2 Eercício 27. Usano a regra o quociente, encontre as erivaas as unções trigonométricas: sec ) cossec ) cotg ) Eercício 28.. Use a regra o quociente para acar a erivaa a unção recíproca, one g é uma g) unção ierenciável. 2. Ace a erivaa e g) =

4 Eercício 29.. Mostre que a = e ln a. 2. Usano a regra a caeia mostre que a ) = lna)a. Eercício 30. Se 3) = 4, g3) = 2, 3) = 6 e g 3) = 5 encontre:. + g) 3) 2. g) 3) 3. g) 3) 4. +g) 3) Eercício 3. Seja P) = F)G) e Q) = F)/G) one F e G são as unções cujos gráicos estão representaos a seguir. Encontre P 2) e Q 7). Eercício 32. Encontre as erivaas as seguintes unções:. ) = 5 sen) + 6 cos) 2. ) = tg) cotg) 3. ) = sen) + cos) sen) cos) 4. ) = cotg) 5. ) = 2) sen)+ 2 tg)+sen) cos) Eercício 33. Encontre as erivaas as seguintes unções:. ) = 7 e 2. ) = e cos) 3. ) = n ln) 4. ) = 3 ln) ) = π cos) 6. ) = log 2 ) + log 3 ) + log 4 ) 7. ) = 2 log 3 ) 8. ) = y ln2y) 9. ) = e 2 Eercício 34. Seja a unção einia como: sen) se c ) = a + b se > c Ace os valores e a, b em termos e c e moo que c) eista. Eercício 35. Mostre que a unção 3 sen ) = se 0 0 se = 0 é contínua no 0 mas não ierenciável no 0 Eercício 36. Calcule as seguintes erivaas:. ) = ) ) = 2 3. ) = 3 2 sen)) 5 4. ) = 3 a + b 3 5. ) = 3 sen 2 ) + cos 3 ) 6. ) = sen5) + cos 7 ) + tg ) 7. ) = sen ) + tg a ) 8. ) = log 0 sen)) 9. ) = lne + 5 sen) 4 3 ) 0. ) = a + bm a b n 4

5 . ) = 4 a 2 3 ) 2 2. ) = cos 3. ) = e sen cotg 4. ) = ln + 2 ) 5. ) = π + π 6. ) = lnlnln))) 7. ) = +cossec ) = 3 2 cos 4 +tg 2 +) 2 9. ) = sen 76 cos 45 )) Eercício 37. Seja g : R R uma unção ierenciável e seja aa por ) = g 2 ). Calcule ) sabeno que g) = 4 e g ) = 2. Eercício 38. Encontre uma epressão para a erivaa a unção g))) one, g, são unções ierenciáveis. Eercício 39. Mostre que senn ) cosn)) = n sen n ) cosn + )) Dica: use a ientiae trigonométrica o cosseno a soma. Eercício 40. Encontre o valor o lim tg3+)2 tg 9. 0 Dica: Você não vai precisar calcular o limite. Eercício 4. O eslocamento e uma partícula sobre uma cora vibrante é ao pela equação yt) = sen0πt). Encontre a velociae a partícula após t segunos 2. Em quais instantes e tempo a partícula está paraa? Eercício 42. O movimento e uma mola sujeita a uma orça e atrito é requentemente moelao pelo prouto e uma unção eponencial e uma unção seno. Supona que a equação o movimento e um ponto sobre essa mola é st) = 2e t 2 sent) one s é meia em centímetros e t em segunos.. Encontre a velociae após t segunos. 2. Encontre os instantes e tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes. 3. Mostre que lim t st) = 0. Interprete o signiicao esse limite. 5