Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Campus Pato Branco

Transcrição

1 Universiae Tecnológica Feeral o Paraná UTFPR Campus Pato Branco Exercícios e Derivaas e Funções Reais e Variável Real. Usano a efinição e erivaas f f(x + x) f(x) (x) lim ou f f(x) f(p) (p) lim, x 0 x x p x p calcule a erivaa as seguintes funções nos pontos aos: (a) f(x) x x + 4, p (b) f(x) x, p (c) f(t) t, p 8 () g(x) cos x, p π (e) f(x) sin x, p π e 0 (f) v t; t 4 t (g) f(x) 5x x, f ( ) e f (0) (h) f(x) x + 9 x, x. Calcule a erivaa as funções abaixo usano as proprieaes aequaas: (a) f(x) 6x 4x + (b) f(x) 5x + x x + 4 (c) f(x) 5 () f(t) t (e) y 8 (f) y x + (g) y 5 x 4 x + x 4 (h) y x 4 5 x 6 (i) f(x) (j) s(t) 5t t 7 (k) f(x) x + x 4 x (l) f(r) 4 r + 5 r (m) f(x) (x ) ( x) (n) y (x x 4 ) (x 5 ) (o) g(t) 5t + t + t (p) f(x) (x + x + ) (x + ) (q) f(x) x 4x + (r) y (x + ) (x 5 6x) (s) g(x) x 4 x + 0, 5 (t) r ( θ + θ) (u) f(x) (x ) (x + x + ) (v) v ( t) ( t ) (w) y x + x 4. Calcule a erivaa as funções trigonométricas abaixo usano as regras e erivação: (a) f(x) tan x sin x cos x (b) g(x) sec x cos x (c) f(x) x ( sin x + x ) () h(θ) π sin θ cos θ (e) y x cos x (f) y 5 (x) + sin x (g) y x + 5 sin x (h) y cotg x + cotg x 4. Calcule a erivaa as funções exponenciais e logarítmicas abaixo usano as regras e erivação:

2 (a) f(x) ex cos x (b) y e x sin x (c) f(x) x ln x () f(x) (x + ) e x (e) y ex e x + (f) y xe x e x (g) y x e x xe x (h) y e x 5. Usano a regra o quociente e o prouto, ache y x (a) y x (c) y x + (b) y 4x + x 5 (i) y e t (t t + ) no ponto x : ( ) x + (x 5 + ) x ( ) x + x () y (x 8 x 678 ) 6. Resolva e etermine se é veraeiro ou falso, se g(x) x 5, então lim x g(x) g() x 7. Resolva e etermine se é veraeiro ou falso: 80. (a) (b) x (0x ) x0 x x (ln 0) 0 (c) () x (tan x) x (sec x) x x + x x + 8. Derive utlizano as regras e erivação. (a) y sin 4x (b) y cos 5x (c) y e x x + ( x) 5 () y (x + ) 7 (e) y sin t (f) g(t) ln(t + ) (g) x e sin t (h) f(x) cos(e x ) (i) y (sin x + cos x) (j) y (x + ) (x ) (k) y x + (l) y tan (sin θ) (m) x ln(t + t + 9) (n) f(x) e tan x (o) y sin(cos x) (p) g(t) (t + ) 4 (q) f(x) cos(x + ) (r) y (x + e x ) (s) y t ln(t 4 ) (t) y sin(tan + x ) (u) y x e x (v) y e x cos x (w) y e x sin x (x) y e t sin t (y) f(x) e x + ln(x + ) (z) g(t) et e t e t + e t cos 5x (a ) y sin x (b ) f(x) (e x + e x ) (c ) y t e t ( ) y (sin x + cos x) (e ) y x + e x (f ) y x ln(x + ) (g ) y [ln(x + )] (h ) y ln(sec x + tan x) (i ) f(x) ln(x + 8x + ) (j ) f(x) 6x + (k ) f(x) x 4 e x (l ) f(x) sin 4 x

3 (m ) f(x) 5 tan x (n ) f(x) (x x) (5 x ) (o ) f(x) x 5 (p ) y e x +x+ (q ) y sin x cos x (r ) y (x 4x + ) 8 (s ) q r r ( ) ( ) πt πt (t ) s sin + cos (u ) h(x) x tan( x) + 7 (v ) r sin(θ ) cos(θ) (w ) y (4x + ) 4 (x + ) (x ) y x tan (4x) (y ) y e cos x + cos(e x ) (z ) y cotg (x + 5) (a ) y ex e x + (b ) y (x 4 x + 5) (c ) y cos(tan x) ( ) y x x + (e ) y x x + (f ) y ex + x sin θ (g ) y e (h ) y e mx cos nx (i ) y x cos x (j ) y (k ) y (x + ) 4 (x + ) (x ) 5 sin(x sin(x)) (l ) y ln(cossec 5x) sec θ (m ) y + tan θ (n ) y e cx (c sin x cos x) (o ) y ln(x e x ) (p ) y sec( + x ) (q ) y ( x ) (r ) y (x + x) (s ) y sin x (t ) y ln(sin x) sin x 9. Derive utilizano a erivaa implícita: (a) xy 4 + x y x + y (b) x cos y + sin y xy (c) sin(xy) x y () y xe y y (e) y + x (f) y + yx sen x + y x 0. Encontre a erivaa as seguintes funções: (a) y 8 x cossec (x) (b) y (c) y x (x +) () y 7 x +x (e) y x ln x (f) y log 5 ( + x) (g) y (cos x) x (h) y x sinh x (i) y ln(cosh x) (j) y cosh (sinh x) tan πθ (k) y 0 (l) y x tanh x. Derive utilizano a erivaa inversa: (a) y (arcsin x) (b) y arctan(arcsin x) (c) y x () y ln x

4 Respostas. (a) f () 5 (b) f () 6 (c) f (8) ( π ) () g. (a) f (x) 48x 8x (b) f (x) 5x + 4x (c) f (x) 0 () f (x) (e) y 0 (f) y (g) y 5 5 x 4 4 x + 4x (h) f (x) x 6 6 x 5 (i) f (x) 0 (j) s (t) (t 7) (k) f (x) x + + x 8x x (l) f 8r 5 (r) r 4 (m) f (x) ( 6x + x + ). (a) f (x) sec x (b) g (t) tan t sec t (c) f (x) sin x + x x () h (θ) π cos θ + sin θ 4. (a) f (x) ex (sin x + cos x) cos x (b) f (x) e x (sin x + cos x) (c) f (x) x( ln x + ) () f (x) e x (x + x + ) (e) y e x (e x + ) 5. (a) y () 7 6 (b) y () 8 + x(cos x + x) (e) f (π) (f) v (4) 6 (g) f ( ) e f (0) 5 (h) f ( ) 0 (n) y x( 7x 7 + 7x 5 + x ) (o) g (t) 7 5t + 4t ( + t + t ) (p) f (x) x + 4x + 4 (q) f (x) x (4x + ) (x + ) (r) y x 5 + 5x 4 6x 6 (s) g (x) x + x + 4 (x + 0, 5) (t) r θ θ θ (u) f (x) (v) v t t ( + t ) 4x x + ((x )(x + x + )) (w) y x 4 x x (e) y x + sin x (f) y 5 8x 4 + cos x (g) y 5 cos x x (h) y sin x cos x + (f) y e x x (g) y e x (x + x ) (h) y e x (i) y ( t + 4t 4) e t (c) y () 9 () Descontínua em x 6. Veraeira 4

5 7. 5

6 (a) Falsa (b) Falsa 8. (a) y 4 cos 4x (b) y 5 sin 5x (c) y e x (b) y (e) y t cos t (f) g (t) t + (g) (h) ( x) 5 x + (x + ) 7 5 x + ( x) 4 (x + ) 7 7 x + ( x) 5 (x + ) 8 x e sin t cos t f (x) e x sin e x (i) y (sin x + cos x) (cos x sin x) (j) y x + (k) ( ) y x + (x + ) x (l) y tan(sin θ) sec (sin θ) cos θ (m) x t + t + t + 9 (n) f (x) e tan x sec x (o) y sin x cos(cos x) (p) g (t) 8t(t + ) (q) f (x) x sin(x + ) (r) y + ex x + e x (s) y (ln(t4 ) + 4) t ln(t 4 ) (t) y x cos(tan + x ) sec + x (u) y e x ( + x) + x (v) y e x (cos x sin x) (w) y e x (cos x sin x) (x) y e t ( cos t sin t) (y) f (x) x + xe x (z) g 4e t (t) (e t + ) (a ) y 5 sin 5x sin x cos 5x cos x sin x (b ) f (x) (e x + e x ) ( e x + xe x ) (c ) y t e t ( t) ( ) y (sin x + cos x) ( cos x sin x) (e ) y x e x x + e x (f ) y x ln(x + ) + (x + ) (g ) y 6x[ln(x + )] (h ) y sec x x + (i ) y x + 8 x + 8x + (j ) f (x) 6x + (k ) f (x) e x x (4 + x) 9. (a) y y4 xy 4xy + x (c) Veraeira () Falsa (l ) f (x) 4 sin x cos x (m ) f (x) 0 sec x (n ) f (x) (5 x ) [(6x )(5 x ) 6x(x x)] (o ) f 9 (x) (x 5) (p ) y e x +x+ (x + ) (q ) y cos x cos x sin x sin x (r ) y (x 4x + ) 7 (x ) (s ) q r r r (t ) s π cos ( πx ) π ( ) πx sin (u ) h (x) tan( x) + x sec ( x) (v ) r θ cos θ cos θ sin θ sin θ (w ) y (4x + ) (4x + 7) (x + ) 4 (x ) y e x sin e x e cos x sin x (y ) y 5 sec 5x (z ) y 6x cossec (x + 5) (a ) y (ex + e x ) (e x + ) (b ) y 6x(x 4 x + 5) (x ) (c ) y sin(tan x) sec x ( ) y x + 5 x + (x + ) (e ) y (x + ) x + (f ) y ex ( + x x) ( + x ) (g ) y e sin θ cos θ (h ) y e mx (m cos nx n sin nx) (i ) y x (cos x x sin x) (j ) y cotan 4x 4x cossec 4x (k ) y cos x cos(x sin x) sin (x sin x) (l ) y 5cotan 5x (m ) y sec θ(tan θ ) ( + tanθ) (n ) y e cx (c sin x + sin x) (o ) y + x x (p ) y x sec( + x ) tan( + x ) (q ) y (x ) (r ) y x + 6 x (x + x) 4 (s ) y cos x 4 x sin x (t ) y (cotan x sin x cos x) cos x (u ) y (x + ) (x + 56x + 9) (x + ) 4 (x ) 6 (c) y (x y cos xy) x cos xy + sin x (b) y y x cos y cos y x sin y x () y ey xe y 6

7 (e) y x y 0. (a) y 8 x ln(8) (b) y cossec x ln()cossec x cotan x (c) y (x + + )x x + x x + ln x x () y 7 x +x ln(7)(x + ) (e) y x ln x ln (ln x + ) (f) y ( + x) ln 5 (g) y cos x x(ln(cos x) x tan x). (a) y 4 arcsin(x) 4x (b) y cos x x( + sin x) (f) y cos x + y xy y + x 6y (h) y sinh(x ) + x cosh(x ) (i) y sinh x cosh x (j) y sinh(sinh(x)) cosh x cosh(sinh(x)) (k) y π0 tan πx sec πx ln 0 (l) y tanh x xsech x tanh x (c) y x () y x Coletânea e exercícios elaboraa pelos professores: Dra. Dayse Batistus; Msc. Ana Munaretto; Msc. Cristiane Peneza; Msc. Ariano Delfino; Msc. Marieli Musial Tumelero Digitação: a versão: Acaêmico Bruno Brito. Versão atual: Acaêmica Larissa Hageorn Vieira. Referência Bibliográfica: ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol.. Traução: Claus I. Doering. 8 e. Porto Alegre: Bookman, 007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso e cálculo, vol. e. 5 a e. LTC Eitora, Rio e Janeiro, RJ: 00. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.. a e. São Paulo: Harbra, 994. LIMA, J. D. Apostila e Cálculo I. UTFPR, Pato Branco, 008. STEWART, James. Cálculo. Vol.. 6 a e. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 009. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol.. a e. São Paulo: Makron Books o Brasil,994. THOMAS, G. B. Cálculo. Vol.. 0 a e. São Paulo: Person, 00. 7