Professor Mauricio Lutz AMOSTRAGEM

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1 1 AMOSTRAGEM 1)Conceitos em amostragem Inferência estatística é o processo e obter informação sobre uma população a partir e resultaos observaos na amostra. Amostragem é o processo e retiraa os n elementos amostrais, na ual eve seguir um métoo aeuao (tipos e amostragem). ) Plano e amostragem 1 ) Definir claramente os objetivos a pesuisa; ) Definição a população; 3 ) Definição a uniae amostral; 4 ) Forma e seleção os elementos a população; 5 ) Tamanho a amostra. Exemplo: População Alvo: Moraores e uma ciae. Objetivo: Tipo e resiência: - Própria; alugaa; emprestaa. - Um piso; ois pisos; três ou mais pisos. Uniae Amostral: Domicílios (resiências). Elementos a população: Família por omicílio. Tipo e amostragem: por exemplo, aleatória simples, sistemática, estratificaa. 3) Tipos e amostragem Poemos classificar a amostragem em não-probabilística e probabilística (mais utilizaa). Dentro a amostragem não probabilística temos a amostragem a esmo, intencional e cotas, para a amostragem probabilística existe a amostragem simples ou ocasional, sistemática, estratificaa e por conglomeraos. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

2 Quaro resumo amostragem Vejamos alguns tipos principais e amostragem probabilística: a) Amostragem simples ou ocasional É o processo mais elementar e freüentemente utilizao. Toos os elementos a população têm igual probabiliae e serem escolhios. Para uma população finita o processo eve ser sem reposição. Toos os elementos a população evem ser numeraos. Para realizar o sorteio os elementos evemos usar a Tabela e Números Aleatórios. b) Amostragem Sistemática Trata-se e uma variação a amostragem aleatória simples, conveniente uano a população esta naturalmente orenaa, como fichas em um fichário, lista telefônica, etc. Seno N o tamanho a população e n o tamanho a amostra esejao, efine-se a uantiae N K, chamao intervalo e amostragem. n Faz-se um sorteio entre os números 1,, 3,..., k, e se obtém o valor i, one será o meu primeiro elemento, os emais elementos poerão ser calculaos pelo termo geral e uma progressão aritmética. a n i+ ( n-1). k A amostra sistemática é freüentemente utilizaa em pesuisas ue obrigam ue a seleção seja feita urante a etapa e coleta e aos, por pessoas ue não estão familiarizaas com tabelas e números aleatórios ou com uso e software. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

3 3 Exemplo e amostragem simples e sistemática. Suponha ue uma empresa e telefonia fixa eseja saber o grau e satisfação e seus usuários com serviços prestaos. O número e assinantes é a orem e e nos esejamos selecionar uma amostra aleatória e assinantes com o intuito e obter a avaliação sobre os serviços. No caso a amostragem simples. Primeiramente evemos ter os assinantes numeraos seüencialmente e 1 a e somente após seriam selecionaos os assinantes. A seleção seria feita com o uso e uma tabela e números aleatórios ou e software ue gere estes números. No caso a amostragem sistemática N n N n Portanto evemos selecionar 1 assinante entre os primeiros 50. Fazeno-se um sorteio entre 1,,..., 50, igamos ue foi sorteao o número 10. obtemos: Aplicano na fórmula o termo geral e uma progressão aritmética, a n a a 1 3 i+ ( n-1). k a 10+ (1-1) (-1) (3-1) E assim sucessivamente, logo temos então os números 10, 60, 110,... c) Amostragem estratificaa É um processo e amostragem usao uano nos eparamos com populações heterogêneas, no ual poe-se istinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, enominaos estratos. Após a eterminação os estratos, seleciona-se uma amostra aleatória e caa uma subpopulação (estrato). As iversas subamostras retiraas as subpopulações evem ser proporcionais aos respectivos números e elementos os estratos e guararem a proporcionaliae em relação a variabiliae e caa estrato, obteno-se uma estratificação ótima. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

4 4 Exemplo: Vamos obter uma amostra estratificaa e 10% a população para a pesuisa a estatura e 90 alunos e uma escola seno ue estes 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São, portanto ois estratos (gênero feminino e gênero masculino) e ueremos uma amostra e 10% a população. Gênero População 10% Amostra M 54 F 36 10x54 5 5, x ,6 100 Total 90 10x90 9 9,0 100 Numeramos os alunos e 1 a 90, seno ue e 01 a 54 corresponem meninos e e 55 a 90, meninas. Tomano na tabela e números aleatórios a primeira e a seguna coluna a esuera, e cima para baixo, obtemos os seguintes números: RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

5 5 Temos então: para os meninos; para as meninas; A amostragem poe ser com ou sem reposição os elementos. Consieremos N o número e elementos e uma população, e seja n o número e elementos e uma amostra, então: Se o processo e retiraa os elementos for com reposição o número e amostras possíveis será: Número e amostras Se o processo e retiraa os elementos for sem reposição o número e amostras possíveis será: Número e amostras C n N n N N! n!( N - n)! 4) Dimensionamento a amostra Proceimentos: 1 o ) Analise o uestionário, ou roteiro a entrevista e escolha uma variável ue julgue mais importante para o estuo. Se possível, escolha mais o ue uma variável. intervalar. o ) Verifiue o nível e mensuração a variável: se nominal, orinal ou 3 o ) Consiere o tamanho a população: finita ou infinita. 4 o ) Se a variável escolhia for intervalar e a população consieraa infinita, você poerá eterminar o tamanho a amostra pela fórmula: æ Z. s ö ç è ø one: Z abscissa a istribuição normal parão, fixao um nível e ( 1-a )% e confiança para construção o intervalo e confiança para a méia. Se o nível for e 90%, Z 1, 645. Se o nível for e 95,5%, Z. Se o nível for e 95%, Z 1, 96. Se o nível for e 99%, Z, 57. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

6 6 Geralmente, utiliza-se Z, isto é, amite-se ( 1-a )% 95,5%. s esvio parão a população, expressão na uniae variável. Você poerá avaliá-lo e, pelo menos, uma as três maneiras: - Especificações técnicas; - Resgatar o valor e estuos semelhantes; - Fazer conjecturas sobre possíveis valores. Obs.: Se o esvio parão não for conhecio evemos utilizar um valor preliminar amplitue obtio por processos como fazer uma aproximação ou realizar um 4 estuo piloto, iniciano o processo e amostragem. Com base na primeira coleção e pelo menos 31 valores amostrais selecionaos aleatoriamente, calcular o esvio-parão amostral e utilizá-lo em lugar o esvio parão populacional. Este valor poe ser refinao com a obtenção e mais aos amostrais. erro amostral, expresso na uniae a variável. O erro amostral é a máxima iferença ue o investigaor amite suportar entre m e X, isto é: m - X <, one m é a veraeira méia populacional, ue ele não conhece, e X será a méia amostral a ser calculaa a partir a amostra. 5 o ) Se a variável escolhia for intervalar e a população finita, tem-se: Z. s. N ( N -1) + Z s one: Z abscissa a istribuição normal parão (veja comentaria o item 4 o ); s esvio parão a população (veja comentaria o item 4 o ); N tamanho a população; erro amostral (veja comentaria o item 4 o ). 6 o ) Se a variável escolhia for nominal ou orinal, e a população consieraa infinita, você poerá eterminar o tamanho a amostra pela fórmula: Z. pˆ.ˆ one: Z abscissa a istribuição normal parão (veja comentaria o item 4 o ); pˆ estimativa a veraeira proporção e um os níveis a variável escolhia. Por exemplo, se a variável escolhia for porte a empresa, pˆ poará ser a estimativa RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

7 7 a veraeira proporção e granes empresas o setor ue está seno estuao. Será expresso em ecimais. Assim, se p ˆ 30%, teremos: p ˆ 0, 30. ˆ 1- pˆ Obs.: Se pˆ e ˆ forem esconhecios, substituímos pˆ e ˆ por 0,5, obteno a Z.0,5 seguinte estimativa: erro amostral, expresso em ecimais. O erro amostral neste caso será a máxima iferença ue o investigaor amite suportar entre p e pˆ, isto é: p - pˆ <, em ue p é a veraeira proporção, ue ele não conhece, e pˆ será a proporção (freüência relativa) o evento a ser calculao a partir a amostra. tem-se: 7 o ) Se a variável escolhia for nominal ou orinal e a população finita, Z. pˆ.ˆ. N ( N -1) + Z. pˆ.ˆ one: Z abscissa a istribuição normal parão (veja comentaria o item 4 o ); pˆ estimativa a proporção (veja comentaria o item 6 o ); ˆ 1- pˆ (veja comentaria o item 6 o ); erro amostral (veja comentaria o item 6 o ); N tamanho a amostra. Estas fórmulas são básicas para ualuer tipo e composição a amostra; toavia, existem fórmulas específicas seguno o critério e composição a amostra. n obtio. Se o investigaor escolhe mais e uma variável, eve optar pelo maior Exemplos: a)suponha ue a variável escolhia em estuo seja o peso e certa peça e ue a população seja infinita. Pelas especificações o prouto, o esvio parão é e 10kg. Logo, amitino um nível e confiança e 95,5% e m erro amostral e 1,5kg, temos: s 10kg 1, 5kg ( 1-a )% 95,5%, ou seja: Z æ Z. s ö ç è ø æ.10ö ç è 1,5 ø 177,77@ 178 RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

8 8 Ou seja: com uma amostra aleatória simples e 178 peças, há um erro máximo e 1,5kg para construir um intervalo e confiança para o peso méio, com nível e confiança e 95,5%. b) Amitimos os mesmos aos o exemplo anterior e uma população finita e 600 peças. Logo: s 10kg 1, 5kg ( 1-a )% 95,5%, ou seja: Z N 600 n Z. s. N ( N -1) + Z s ,5 (600-1) ,1@ 138 c) Suponha ue a variável escolhia em um estuo seja a proporção e eleitores favoráveis ao caniato X e ue o investigaor tenha elementos para suspeitar ue essa porcentagem seja e 30%. Amitir a população infinita, um nível e confiança e 99% e um erro amostral e % (ou seja, ue a iferença entre a veraeira proporção e eleitores o caniato X e a estimativa a ser calculaa na amostra seja no máximo e %). Assim: ( 1-a )% 99%, ou seja: Z, 57 p ˆ 30% 0, 30 ˆ 1-0,30 0, 70 % 0,0 Z. pˆ.ˆ (,57).(0,30)(0,70) n 3.467,57@ (0,0) Ou seja, consultano, aleatoriamente, eleitores, poeremos fazer inferência a veraeira proporção e eleitores o caniato X, com erro máximo e %. ) Amitir os mesmo aos o exemplo anterior e ue a população e eleitores seja finita e eleitores. Logo: n Z. pˆ.ˆ. N ( N-1) + Z (,57).(0,30)(0,70)(0.000).955,33@.956. pˆ.ˆ (0,0) ( ) + (,57) (0,30)(0,70) Obs.: Como eterminar o valor e Z: Se Z 90% então Z 45% 0, 450 RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55) Z a 90%, ir na tabela a istribuição normal e ver em ual linha e coluna está o valor 0,450, localizao vemos ue o valor na linha é 1,6 e na coluna é 0,04, o ue correspone a 1,6+0,041,64.

9 9 Se Z 98% então Z 49% 0, 490 Z a 98%, ir na tabela a istribuição normal e ver em ual linha e coluna está o valor 0,490, localizao vemos ue o valor na linha é,3 e na coluna é 0,03, o ue correspone a,3+0,03,33. Exercícios 1) Um estatístico eseja estimar a rena méia para o primeiro ano e trabalho e um tecnólogo em Grãos. Quantos valores e rena evem ser tomaos, se o estatístico eseja ter 95% e confiança em ue a méia amostral esteja a menos e R$ 500,00 a veraeira méia populacional? Suponha ue saibamos, por um estuo prévio, ue para tais renas, s R$ 650,00. ) Baseao nos aos o exercícios 1, utilize uma margem e erro maior, como R$1.000,00 e etermine ual seria o tamanho a amostra necessária nesta situação. 3) Uma pesuisa é planejaa para eterminar as espesas méicas anuais as famílias os empregaos e uma grane empresa. A gerência a empresa eseja ter 95% e confiança e ue a méia a amostra está no máximo com uma margem e erro e ±$50 a méia real as espesas méicas familiares. Um estuo-piloto inica ue o esvio-parão poe ser calculao como seno igual a $400. a) Qual o tamanho e amostra necessário? b) Se a gerência eseja estar certa em uma margem e erro e ± $5, ue tamanho e amostra será necessário? 4) O teste e QI parão é planejao e moo ue a méia seja 100 e o esvio parão para aultos normais seja 15. Ache o tamanho a amostra necessária para estimar o QI méio os instrutores e estatística. Queremos ter 99% e confiança em ue nossa méia amostral esteja a menos e 1,5 pontos e QI a veraeira méia. A méia para esta população é obviamente superior a 100, e o esvioparão é provavelmente inferior a 15, porue se trata e um grupo com menor variação o ue um grupo selecionao aleatoriamente a população geral; portanto, se tomamos s 15, estaremos seno conservaores, por utilizarmos um valor ue ará um tamanho e amostra no mínimo tão grane uanto necessário. Suponha s 15 e etermine o tamanho a amostra necessário. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

10 10 5) Uma assistente social eseja saber o tamanho a amostra (n) necessário para eterminar a proporção a população atenia por uma Uniae e Saúe, ue pertence ao município e Alegrete. Não foi feito um levantamento prévio a proporção amostral e, portanto, seu valor é esconhecio. Ela uer ter 90% e confiança ue sua o erro máximo e estimativa () seja e ± 5% (ou 0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistaas? 6) Baseao nos aos o exercício 5, utilize uma margem e erro maior, como ± 0,0 (0%) e etermine ual seria o tamanho a amostra necessário uano o nível e confiança é 90% e uano é 95%. 7) Daa a seguinte população: (renas em R$1.000,00) a) Calcular o tamanho a amostra para estimar a méia, seno R$.000, 00, s R$7.000,00 e ( 1-a )% 95,5%. b) Retirar uma amostra aleatória simples, consierano o tamanho amostral obtio no item anterior. c) Calcular sua méia amostral. ) Calcular o esvio parão amostral. e) Calcular a méia a população e verifiue se m - X. 8) Seno p ˆ ˆ 0, 5, população infinita, 0, 05 e ( 1-a )% 95,5%, eterminar o tamanho amostral. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

11 11 9) Seno p ˆ ˆ 0, 5, população e , 0, 05 e ( 1-a )% 95,5%, eterminar o tamanho amostral. Comparar com o resultaos obtio no exercício 8. 10) Qual é o tamanho a amostra ue o Departamento e Trânsito e uma grane ciae eve tomar para estimar a porcentagem e semáforos efeituosos, se o objetivo é ter 95,5% e confiança em não errar mais e 3%. 11) Estuos anteriores mostram ue o esvio parão a altura os homens ue cursam o Instituto Feeral Farroupilha é e 10cm. Quereno estimar a atura méia e toos os homens essa universiae, com tolerância e 3cm e probabiliae e 0,955, uantas observações everão ser utilizaas? 1) Qual é o tamanho necessário a amostragem ue um alfaiate eve usar se eseja estimar o tempo méio ue os fregueses levam ao trocaor? Ele acha ue o esvio parão é e 3 minutos, com base em amostras anteriores, e eseja estimar a méia a menos e 1 minuto, usano um nível 95,5%. 13) Em Alegrete, há árvores. Qual eve ser o tamanho a amostra ue o Departamento e Jarins precisa tomar para estimar a porcentagem e plantas ue merecem poas, se o objetivo é ter 99% e confiança e não errar mais e 3%? 14) Seguno aos e uma pesuisa anterior, 40% os alunos e certa escola são gremistas. Amita um erro e,5%, ( 1-a )% 95,5%, para imensionar tamanho e amostra e tricolores. Sabe-se ue a escola tem alunos matriculaos. 15) Um engenheiro encarregao o controle e ualiae eseja estimar a fração e artigos efeituosos e um grane lote e lâmpaas. Com base em sua experiência, ele sabe ue a fração efetiva e lâmpaas efeituosas eve estar próxima e 0,. Que tamanho eve ter uma amostra, se ele esejar estimar a veraeira fração e lâmpaas efeituosas com tolerância e 0,01, usano um nível e confiança e 98% RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

12 1 Gabarito 1) Um estatístico eseja estimar a rena méia para o primeiro ano e trabalho e um tecnólogo em Grãos. Quantos valores e rena evem ser tomaos, se o estatístico eseja ter 95% e confiança em ue a méia amostral esteja a menos e R$ 500,00 a veraeira méia populacional? Suponha ue saibamos, por um estuo prévio, ue para tais renas, s R$ 650,00. Queremos eterminar o tamanho n a amostra, ao ue a 0, 05 (95% e confiança). Desejamos ue a méia amostral seja a menos e R$ 500 a méia populacional, e forma ue 500. Supono s R$650, 00, aplicamos a euação abaixo, obtemos: æ Z. s ö ç è ø æ1,96.650ö ç è 500 ø 600,5@ 601 Devemos, portanto, obter uma amostra e ao menos 601 renas e primeiro ano, selecionaas aleatoriamente, e tecnólogos a faculae ue tenham feito um curso Tecnólogo em Grãos. Com tal amostra teremos 95% e confiança em ue a méia amostral ifira em menos e R$500,00 a veraeira méia populacional. ) Baseao nos aos o exercícios 1, utilize uma margem e erro maior, como R$1.000,00 e etermine ual seria o tamanho a amostra necessária nesta situação. Daos o problema: a 0,05 (95% e confiança) Z 1, s R$650,00, aplicano a euação abaixo, obtemos: æ Z. s ö ç è ø æ1,96.650ö ç è 1000 ø 150,063@ 151 Devemos, portanto, obter uma amostra e ao menos 151 renas e primeiro ano, selecionaas aleatoriamente, e tecnólogos a faculae ue tenham feito um curso Tecnólogo em Grãos. Com tal amostra teremos 95% e confiança em ue a méia amostral ifira em menos e R$1.000,00 a veraeira méia populacional. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

13 13 3) Uma pesuisa é planejaa para eterminar as espesas méicas anuais as famílias os empregaos e uma grane empresa. A gerência a empresa eseja ter 95% e confiança e ue a méia a amostra está no máximo com uma margem e erro e ±$50 a méia real as espesas méicas familiares. Um estuo-piloto inica ue o esvio-parão poe ser calculao como seno igual a $400. a) Qual o tamanho e amostra necessário? b) Se a gerência eseja estar certa em uma margem e erro e ± $5, ue tamanho e amostra será necessário? a) Daos o problema: a 0,05 (95% e confiança) Z 1, s 400, aplicano a euação abaixo, obtemos: æ Z. s ö ç è ø æ1,96.400ö ç è 50 ø 46 Devemos, portanto, obter uma amostra e ao menos 46 espesas méicas, selecionaas aleatoriamente, e famílias os empregaos. Com tal amostra teremos 95% e confiança em ue a méia amostral ifira em menos e $50 a veraeira méia populacional. b) Dao o problema: a 0,05 (95% e confiança) Z 1, s 400, aplicano a euação abaixo, obtemos: æ Z. s ö ç è ø æ1,96.400ö ç è 5 ø 984 Devemos, portanto, obter uma amostra e ao menos 984 espesas méicas, selecionaas aleatoriamente, e famílias os empregaos. Com tal amostra teremos 95% e confiança em ue a méia amostral ifira em menos e $5 a veraeira méia populacional. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

14 14 4) O teste e QI parão é planejao e moo ue a méia seja 100 e o esvio parão para aultos normais seja 15. Ache o tamanho a amostra necessária para estimar o QI méio os instrutores e estatística. Queremos ter 99% e confiança em ue nossa méia amostral esteja a menos e 1,5 pontos e QI a veraeira méia. A méia para esta população é obviamente superior a 100, e o esvioparão é provavelmente inferior a 15, porue se trata e um grupo com menor variação o ue um grupo selecionao aleatoriamente a população geral; portanto, se tomamos s 15, estaremos seno conservaores, por utilizarmos um valor ue ará um tamanho e amostra no mínimo tão grane uanto necessário. Suponha s 15 e etermine o tamanho a amostra necessário. Dao o problema: a 0,01 (99% e confiança) Z, 57 1,5. s 15, aplicano a euação abaixo, obtemos: æ Z. s ö ç è ø æ,57.15ö ç è 1,5 ø 660,49@ 661 Devemos, portanto, obter uma amostra e ao menos 661 instrutores e estatística, selecionaas aleatoriamente. Com tal amostra teremos 99% e confiança em ue a méia amostral ifira em menos e 1,5 a veraeira méia populacional. 5) Uma assistente social eseja saber o tamanho a amostra (n) necessário para eterminar a proporção a população atenia por uma Uniae e Saúe, ue pertence ao município e Alegrete. Não foi feito um levantamento prévio a proporção amostral e, portanto, seu valor é esconhecio. Ela uer ter 90% e confiança ue sua o erro máximo e estimativa () seja e ± 5% (ou 0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistaas? Daos o problema: a 0,1 (90% e confiança) Z 1, % 0,05, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ n ( 1,645) ( 0,05).0,5 70,60@ 71 Devemos, portanto, obter uma amostra e 71 pessoas para eterminar a proporção a população atenia na Uniae e Saúe, ue se origina o município e Alegrete. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

15 15 6) Baseao nos aos o exercício 5, utilize uma margem e erro maior, como ± 0,0 (0%) e etermine ual seria o tamanho a amostra necessário uano o nível e confiança é 90% e uano é 95%. Daos o problema para 90% e nível e confiança: a 0,1 (90% e confiança) Z 1, % 0,0, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ n ( 1,645) ( 0,0).0,5 16,913@ 17 Devemos, portanto, obter uma amostra e 17 pessoas para eterminar a proporção a população atenia na Uniae e Saúe, ue se origina o município e Alegrete. Daos o problema para 90% e nível e confiança: a 0,05 (95% e confiança) Z 1, 96 0 % 0,0, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ n ( 1,96) ( 0,0).0,5 4,01@ 5 Devemos, portanto, obter uma amostra e 5 pessoas para eterminar a proporção a população atenia na Uniae e Saúe, ue se origina o município e Alegrete. 7) Daa a seguinte população: (renas em R$1.000,00) a) Calcular o tamanho a amostra para estimar a méia, seno R$.000, 00, s R$7.000,00 e ( 1-a )% 95,5%. RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

16 16 Daos o problema: ( 1-a )% 95,5% Z R$.000,00 s R$7.000,00 aplicano a euação abaixo, obtemos: n Z. s. N ( N -1) + Z s ( )( ).100 ( 000 )( ) + ( )( ) 33,1081@ 34 b) Retirar uma amostra aleatória simples, consierano o tamanho amostral obtio no item anterior. Utilizano uma tabela e números aleatórios obtemos os seguintes números para uma seleção e 34 números: 57, 8, 9, 90, 80,, 56, 73, 53, 18, 53, 03, 7, 05, 40, 54, 71, 61, 8, 89, 00 6, 94, 44, 97, 39, 60, 03, 41, 77, 8, 74, 00, 05, 6, 7, 80, 59, 38, 91, 01, 4, 44, 99, 9, 08, 58. Selecionamos os primeiro 34 números 9, 34, 15, 6, 04, 16 18, 13, 10, 05, 13, 17, 18, 07, 14, 11, 1 36, 3, 17, 05, 1, 1, 30, 14, 17,, 15, 0, 6, 5, 30, 17, 09. c) Calcular sua méia amostral. X å n x i ) Calcular o esvio parão amostral. S 1 é êå xi - n-1ê ë ( x ) å n i ù 1 æ (619) ú ç - ú - è 34 û ,06 34 ö ø 1 33 ( ,44) 7, 471 S S 7,471 8,53 e) Calcular a méia a população e verifiue se m - X. å m N x i , m - X Þ 19,6-18,06 1, RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

17 17 8) Seno p ˆ ˆ 0, 5, população infinita, 0, 05 e ( 1-a )% 95,5%, eterminar o tamanho amostral. Daos o problema: ( 1-a )% 95,5% e Z p ˆ ˆ 0,5 0,05, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ n ( ) ( 0,05).0, ) Seno p ˆ ˆ 0, 5, população e , 0, 05 e ( 1-a )% 95,5%, eterminar o tamanho amostral. Comparar com o resultaos obtio no exercício 8. Daos o problema: ( 1-a )% 95,5% e Z N p ˆ ˆ 0,5 n 0,05, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ. N ( N -1) + Z. pˆ.ˆ ( )(. 0,5 )( ) ( 0,05 )( ) + ( )(. 0,5) , ,04@ 400 Comparano os resultaos, verifica-se ue o cálculo o tamanho amostral para uma população e á, aproximaamente, o mesmo resultao, se consierarmos a população infinita. 10) Qual é o tamanho a amostra ue o Departamento e Trânsito e uma grane ciae eve tomar para estimar a porcentagem e semáforos efeituosos, se o objetivo é ter 95,5% e confiança em não errar mais e 3%. Daos o problema: ( 1-a )% 95,5% e Z p ˆ ˆ 0,5 3 % 0,03, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ ( ) ( 0,03).0,5 1 0, RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

18 18 11) Estuos anteriores mostram ue o esvio parão a altura os homens ue cursam o Instituto Feeral Farroupilha é e 10cm. Quereno estimar a atura méia e toos os homens essa universiae, com tolerância e 3cm e probabiliae e 0,955, uantas observações everão ser utilizaas? Daos o problema: ( 1-a )% 95,5% e Z s 10cm 3, aplicano a euação abaixo, obtemos: æ Z. s ö ç è ø æ.10ö ç è 3 ø 44,4@ 45 1) Qual é o tamanho necessário a amostragem ue um alfaiate eve usar se eseja estimar o tempo méio ue os fregueses levam ao trocaor? Ele acha ue o esvio parão é e 3 minutos, com base em amostras anteriores, e eseja estimar a méia a menos e 1 minuto, usano um nível 95,5%. Daos o problema: ( 1-a )% 95,5% e Z s 3cm 1, aplicano a euação abaixo, obtemos: n æ Z. s ö ç è ø æ.3ö ç è 1 ø 36 13) Em Alegrete, há árvores. Qual eve ser o tamanho a amostra ue o Departamento e Jarins precisa tomar para estimar a porcentagem e plantas ue merecem poas, se o objetivo é ter 99% e confiança e não errar mais e 3%? Daos o problema: N ( 1-a )% 99% e Z, 57 p ˆ ˆ 0,50 3 % 0,03, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ. N ( N -1) + Z 1651,5 10, pˆ.ˆ 1550,398@ 1551 (,57 )(. 0,5 )( ) ( 0,03 )( ) + (,57 )(. 0,5) RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

19 19 14) Seguno aos e uma pesuisa anterior, 40% os alunos e certa escola são gremistas. Amita um erro e,5%, ( 1-a )% 95,5%, para imensionar tamanho e amostra e tricolores. Sabe-se ue a escola tem alunos matriculaos. Daos o problema: N ( 1-a )% 95,5% e Z p ˆ 40% 0,40 ˆ (1-0,4) 0,60,5% 0,05, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ. N ( N -1) + Z , pˆ.ˆ 1175,1@ 1176 ( )(. 0,4)(. 5000) ( 0,05 )( ) + ( )(. 0,4) 15) Um engenheiro encarregao o controle e ualiae eseja estimar a fração e artigos efeituosos e um grane lote e lâmpaas. Com base em sua experiência, ele sabe ue a fração efetiva e lâmpaas efeituosas eve estar próxima e 0,. Que tamanho eve ter uma amostra, se ele esejar estimar a veraeira fração e lâmpaas efeituosas com tolerância e 0,01, usano um nível e confiança e 98% Daos o problema: ( 1-a )% 98% e Z, 33 pˆ 0, ˆ (1-0,) 0,8 0,01, aplicano a euação abaixo, obtemos: Z. pˆ.ˆ n (,33 )(. 0,16) 0, ,4@ 8687 ( 0,01 ) ( 0,01 ) RS 377 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)