ES009 - Estabilidade Global e Análise de Peças Esbeltas

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1 Escola Politécnica a Universiae e São Paulo Departamento e Engenharia e Estruturas e Funações ES009 - Estabiliae Global e Análise e Peças Esbeltas Prof. Túlio Nogueira Bittencourt Prof. Ricaro Leopolo e Silva França Aula 9 Comentários Sobre a Norma Brasileira

2 Consierações Gerais sobre a Estabiliae e Estruturas e Concreto Armao Introução Ocorrência o elu e instabiliae em estruturas e concreto armao Tipos e instabiliae possíveis: a) Flambagem (nas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais);

3 Consierações Gerais sobre a Estabiliae e Estruturas e Concreto Armao b) Pera e estabiliae sem bifurcação o equilíbrio (ponto limite com reversão-ocorre em situações particulares); c) em estruturas e material e comportamento não-linear, com imperfeições geométricas iniciais, há pera e estabiliae por bifurcação o equilíbrio, poeno, no entanto, haver pera e estabiliae quano, ao crescer a intensiae o carregamento, o aumento a capaciae resistente a estrutura passa a ser menor o que o aumento a solicitação (ponto limite sem reversão).

4 Consierações Gerais sobre a Estabiliae e Estruturas e Concreto Armao Os casos e instabiliae a) e b) poem ocorrer em estruturas e comportamento linear ou não-linear. Efeitos e ª orem a) Definição b) Critérios para a consieração os efeitos e ª orem c) Consieração a não-lineariae física em estruturas e concreto armao

5 Consierações Gerais sobre a Estabiliae e Estruturas e Concreto Armao ) O principal efeito a não-lineariae poe, em geral, ser consierao através a construção a relação momento-curvatura para caa seção e)utilização a curva tensão-eformação parábola-retângulo o concreto f) Consieração a formulação e segurança, em que se calculam os efeitos e ª orem as cargas majoraas e γf / γf 3 que posteriormente são majoraos e γf 3, com γf 3,.

6 Consierações Gerais sobre a Estabiliae e Estruturas e Concreto Armao Isto é: S,tot,0 S (F) One:

7 Relação omento-curvatura Diagrama -/r típico

8 Relação omento-curvatura A curva AB poe ser linearizaa pelo segmento e reta AB e é utilizaa nos cálculos as eformações A curva tracejaa, obtia com os valores e cálculo as resistências o concreto e o aço, é utilizaa somente para efinir os esforços resistentes R en R (ponto e máximo). A reta AB é caracterizaa pela rigiez secante (EI) sec, que poe ser utilizaa em processos aproximaos para flexão composta normal ou oblíqua.

9 Relação omento-curvatura Define-se como rigiez secante aimensional κ (kapa) : κ SEC (EI) SEC /(A c.h.fc) Essa rigiez poe ser colocaa, em conjunto com os valores últimos e N R e R, em ábacos e interação força-normal-momento fletor.

10 Exemplo A finaliae o exemplo a seguir é a e calcular um pilar pertencente a um portico e contraventamento e um eifício. Supõe-se que não existem problemas e a Orem Global.

11 Pilar consierao - Planta Eifício consierao - Corte

12 Carregamento Fck 0 pa N g+q 70 tf N w 3tf N,40.(70+0,80.3) 0,36 tf Combinações Combinação única consieraa: γ f ( Gk + Qk + 0,80Wk )

13 Combinação: γ f ( G k + Q k + 0,80W k )

14 Imperfeiçõ ções Geométricas Na verificação o estao limite último as estruturas reticulaas, evem ser consieraas as imperfeições geométricas os eixos as peças a estrutura escarregaa. Tipos e Imperfeições Geométricas: a) Imperfeições Globais b) Imperfeições Locais

15 Imperfeiçõ ções Globais Na análise global essas estruturas, sejam elas contraventaas ou não, eve ser consierao um esaprumo os elementos verticais conforme mostra a figura abaixo: Imperfeições geométricas globais

16 one: l é a altura total a estrutura em metros n é o nº total e elementos verticais contínuos θ min /400 para estruturas e nós fixos /300 para estruturas e nós móveis e imperfeições locais

17 O valor máximo para θ será e /00. Esse esaprumo não precisa ser superposto ao carregamento e vento. Entre os ois, vento e esaprumo, poe ser consierao apenas aquele mais esfavorável. Permite-se escolher o mais esfavorável como seno o que provoca o maior momento total na base e construção.

18 Imperfeiçõ ções Locais Na análise local e elementos essas estruturas reticulaas, evem também ser levaos em conta efeitos e imperfeições geométricas locais. No caso e elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares contraventaos a pilares e contraventamento, eve ser consieraa a tração ecorrente o esaprumo o pilar contraventao (ver figura a seguir).

19 Imperfeições geométricas locais

20 No caso a verificação e um lance e pilar, eve ser consierao o efeito a falta e retiliniae o eixo o pilar ou o esaprumo (ver figuras b e c). Imperfeições geométricas locais

21 Amite-se que, nos casos usuais, a consieração apenas a falta e retiliniae ao longo o lance e pilar seja suficiente. O momento total,min e primeira orem, isto é, o momento e primeira orem acrescio os efeitos as imperfeições locais, eve respeitar o valor mínimo ao por:,mín N (0,05 + 0,03.h)

22 Em,mín N (0,05 + 0,03.h), temos que: 0,05 é ao em metros h representa a altura total a seção transversal na ireção consieraa, em metros Nas estruturas reticulaas usuais, amite-se que o efeito as imperfeições locais esteja atenio se for respeitao esse valor e momento total mínimo.

23 No caso e pilares submetios à flexão oblíqua composta, esse mínimo eve ser respeitao em caa uma as ireções principais, separaamente. Assim, o pilar eve ser verificao sempre à flexão obliqua composta one, em caa verificação, pelo menos um os momentos respeita,mín.,mín N (0,05 + 0,03.h)

24 Aplicano as consierações realizaas no exemplo proposto, teremos: a) Inclinação Aciental: θ 00 L ,005 L 4 ea θ 0,005, 00 cm

25 Em ecorrência a inclinação aciental:

26 b) Cálculo o ínice e esbeltez (λ) e a esbeltez limite (λ) para não consieração e a Orem Local. λ L e h E x 0 6 tf/m 400 cm 360 cm EI L EI L Pilar viga ,50 0,9 0,4 0,

27 43 α A α B 0,77 α min 373 η ( α A + α ) 0, 80 B 0,70 + 0,05 ( ) 0, 90 η 0,85 + 0,05 α min L e L 0 + h cm L e η L 0, cm 400 cm 360 cm L e 360 cm Le λ 66 h e λ α n,50 h α n

28 α n,50 0,50 B A,50 0,50 4,50 8,70,759 λ,759 5,5 8, λ lim 35α n 35,759 6 λ > λ lim Logo, é necessário consierar o efeito e ª Orem Local

29 c) Dimensionamento 0,60 A + 0, 40 B ( 4,50) 3,4 tf / m 0,60 8,70 + 0,40 Com δ calculao pelo processo o pilar parão simples.

30 Pilares com b w ou h < 0 cm : A seção transversal e pilares não eve apresentar imensão menor que 9 cm. Em casos especiais, permite-se a consieração e imensões entre 9 cm e cm, ese que se multipliquem as ações a serem consieraas no imensionamento por um coeficiente aicional γ n, e acoro com o inicao na a tabela a seguir.

31 Tabela - Coeficiente aicional γ n

32 ou : S R b γ n,75 0, γ n,75 0,75 0 com : γ n,0375 ν γn N b h fc,03750,36 0,0 509,4 0,77 O imensionamento será feito consierano o pior entre ois casos, escritos a seguir.

33 º Caso: A µ γn b h fc, ,00 0,0 509,4 0,35 º Caso: TOT δ µ γn b h fc,037534,00 0,0 509,4 0,4

34 Pilar Parão Simples α c 0 µ µ δ TOT δ α e α e le υ ( ) h 0σ κ f 3 sc α e 360 0,77 ( ) 9 0, κ sc 5,3 k sc µ TOT 0,4( ) Arranjo tipo A, h 0 5,3 ( ) (ábaco) κ sc

35 0,77 ) κ sc 73 µ > 0,4 ν µ TOT 0,4( ) 0, 3 5,3 ( ) 73 ) ν 0,77 κ sc 74 > 73 µ > 0, µ 0,4( ) 5,3 ( ) 74 TOT 0, µ TOT < µ Aotao o primeiro caso

36 ν 0,77 ω,08 µ 0,35 A s, total ω Ac f f y c A s, total 0, 9,50,4,08 5,5 33,7cm φ

37 Exemplo B Para este exemplo será utilizao o processo aproximao proposto no item a nova NB-000. étoo o Pilar Parão o com Curvatura aproximaa 0,005 0,005 r h ( ν + 0,5) h ν A c N f c 0,36 0, 9 50,4 0,75 r 0,005 0,9 (0,75 + 0,5) 0,0

38 Exemplo B Como λ 66<90 é possível utilizar o processo aproximao:, tot α b, A + N le 0 r, A l e 360cm, A 8,7tf. m

39 Exemplo B Como o pilar é biapoiao teremos: α b 0,60 + 0,40 b a 0,40 α b 0,60 + 0,40 4,50 8,70 0,39 < 0,40 α b 0,40

40 Exemplo B Exemplo B Logo: Logo:,min,,,min,min,min,,.,0 0,9) 0,03 (0,05 0,36 ) 0,03 (0,05 *. 6,0 0,0 0 3,6 0,36 8,7 0,40 A tot tot tot m tf h N m tf > < + + +

41 Exemplo B Assim, o imensionamento será feito para,a ν µ 0,75 b h 870 0, 50 9,4 f c 0,34 Arranjo tipo A com /h 0,0 Ábaco A0F0 ω,0

42 Exemplo B Cálculo a Armaura: A s, tot ω b h f y f c 9 50,0 5,5 0,,4 A s, tot 34,3cm φ 0,0

43 Exemplo C Para este exemplo será utilizao o processo proposto no item a nova NB-000. étoo o Pilar Parão o com Rigiez κ (aproximaa), tot α b, A λ 0 κ ν, A,min κ aprox 3 ( + 5 Daos : ν 0,75, tot h N λ 66 ) ν α b 0,40

44 Exemplo C Neste caso o processo é iterativo e tem convergência ncia oscilano em torno a resposta. a Iteraçã ção κ 3 ( + 5 8,7 ) 0,75 0,9 0,36 78, 0,40 8,70, 5,34tf. m , 0,75 tot

45 Exemplo C a Iteraçã ção κ 3 ( + 5 5,34 ) 0,75 0,9 0,36 5,7 0,40 8,70, 6,63tf. m ,7 0,75 tot Poemos parar as iteraçõ ções, pois com A >,tot o imensionamento será feito com,a e é igual ao o exemplo anterior.

46 Exemplo C Assim, o efeito local não n é significativo para o imensionamento a peça.

47 Exemplo A Será proposto agora um exemplo equivalente ao primeiro, porém m com uma nova istribuiçã ção o e momentos e um novo comprimento e flambagem,, para que seja possível observar o efeito e a orem local.

48 Exemplo A

49 Exemplo A Nesse processo serão o observaas as prescriçõ ções a NB- 000 item étoo o Pilar Parão o com Curvatura Aproximaa λ ,7tf m. A. 89,3 < 90 ok! Cálculo o coeficiente α b α b 0,60 + 0,40 8,7 Logo : α b 0,55 0,55 > 0,40

50 Exemplo A Exemplo A A tot tot A b tot A m tf r le N h r m tf h N,,,,,,min,,min,min. 9,66 0,0 0 4,9 0,36 8,70 0,55 0 0,0 0,5) ( 0,005.,0 ) 0,03 (0,05 > > + α ν

51 Exemplo A O imensionamento everá ser feito consierano 9,66 tf.m. Dimensionamento: ν 0, µ 509 s, tot s, tot 0,,4 950,0 0,37 ÁbacoA0F0 ω,0 A A b h f ω f y c 5,5 0,0,4 37,5cm φ 0.0

52 Exemplo B Nesse processo serão o observaas as prescriçõ ções a NB- 000 item ν 0,75 λ 89,3 α b 0,55 a Iteraçã ção κ 8,7 3 ( + 5 ) 0,75 0,9 0,36 78, 0,55 8,70, 3,tf. m 89,3 0 78, ( ) 0,75 tot

53 Exemplo B a Iteraçã ção κ 3( + 5 3, ) 0,75 0,90,36 06, 0,558,70, 9,0tf. m 89,3 006, ( ) 0,75 tot

54 Exemplo B 3 a Iteraçã ção Para fazer a convergência ncia ocorrer mais rapiamente, faremos: κ κ + κ 78, + 06, 9 0,558,70, 0,44tf. m 3 89,3 0 9 ( ) 0,75 tot

55 Exemplo B 4 a Iteraçã ção κ 4 3 ( + 5 0,44 ) 0,75 0,9 0,36 89, 0,55 8,70, 0,86tf. m 4 89,3 0 89, ( ) 0,75 tot Logo, poemos parar e imensionar o pilar consierano 0,86 tf.m

56 Exemplo B Dimensionamento: ν µ 0,75 s, tot s, tot 086 0, 509,4 9,38 0,4 ÁbacoA0F0 ω,36 A A b h f ω f y c 0,0 50,4 5,5 Taxa e armaura 4,5% 43, cm 4φ 0.0

57 Exemplo C Agora será feito o cálculo c usano os ábacos para eterminar a rigiez k iterativamente. Processo o Pilar Parão o Simples N h 9cm f ck, A, B ν 0,75 8,7tf. m,0tf. m 0Pa 0,60 A + 0,40 0,608,70 + 0,40(,0) 4,8tf. m B

58 Exemplo C µ b h, A fc ,,4 0,34 µ b h f c 48, 509 0,,4 0,9

59 Exemplo C Processo o Pilar Parão o Simples α µ c tot 0 µ δ δ α le ν ( ) α h e 0γ κ e f 3 sc 4,9 0,75( ) 0,9 0,0κ sc 45,35 κ sc µ tot 0,9 45,35 κ Arranjo tipo A Ábaco A0F0 ' / h 0,0 sc

60 Exemplo C ν 0,75 ) κ µ 0,9 sc 7,5 µ tot 0,9 ν 0,75 ) κ µ 0,5 sc 0,5 45,35 7,5 0 µ tot 0,9 45,35 0 0,34

61 Exemplo C ν 0,75 ) κ µ 0,34 3 sc 8 µ tot 0,9 ν 0,75 ) κ µ 0,43 4 sc 0,43 45, µ tot 0,9 45,35 9 0,38

62 Exemplo C ν 0,75 ) κ µ 0,38 5 sc 88 µ tot 0,9 45, ,39 Desta forma, poemos obter no ábaco: ω,3

63 Exemplo C Cálculo a Armaura: A s, tot ω b. h. f f y c A s, tot,3 50 0, 9,4 5,5 38,4 4φ 0.0

64 Exemplo 3

65 Exemplo 3 Exemplo 3 tf h N tf N m tf m tf m tf C B A A 6,8 0,4) 0,03 (0,05 5 ) 0,03 (0,05 5, ,88. 5,0,40 3,6. 9,7,4 ] 5 0,57 3,60 5 [,0,min,,,, ,6 0,4 0 h l e λ

66 Exemplo 3 Para pilares em balanço, temos: c α b 0,80 + 0,0 0,85 A 4,88 α b 0,80 + 0,0 0,90 9,77, A 9,7 e 0,m N ,5 ( e ) λ h 35 α 38,9 b α b

67 Exemplo 3 Quano λ < λ min os efeitos e a orem local poem ser esprezaos. 0, 5 +,5 ( ) 0,40 λ 3,9 λ 0,90 38,9 Como λ > λ é necessário calcular o efeito e a orem local.

68 Exemplo 3 Este pilar será calculao por quatro métoos, m com o intuito e realizarmos posteriormente a comparaçã ção o os resultaos obtios. PP + Curvatura Aproximaa (NB-000 item ) PP + κ Aproximao (NB-000 item PP + κ Aproximao + γ f3 PP + κ Ábaco + γ f3

69 Exemplo 3 Primeiro métoo: m PP + Curvatura Aproximaa (NB-000 item ) ν r r A c N f c 5 0,98 0, ,4 0,005 0,005 h ( ν + 0,5) h 0,005 0,0085 0,40(0,98 + 0,5) α b 0,90 (já calculao)

70 Exemplo 3 Exemplo 3 m tf r l N tot tot A e A b tot. 48, 0, ,7 0,90 0,,,,, + + α ,8,5 5,4 0, ,40, ,0 ' 0,47 0,98 0,47,4 0, φ ω µ ν µ cm A F A Ábaco h f h b s c

71 Exemplo 3 Seguno métoo: m PP + κ Aproximao (NB-000 item ) ν 0,98 λ 86,6 α b 0,90 a Iteraçã ção 9,7 κ 3( + 5 ) 0,98 77,6 0,40 5 0,90 9,7, 6,84tf. m 86,6 077,6 ( ) 0,98 tot

72 Exemplo 3 a Iteraçã ção κ 6,84 3( + 5 ) 0,98 0,40 5 8,7 3 a Iteraçã ção 0,90 9,7, 9,57tf. m 86,6 08,7 ( ) 0,98 tot κ + κ κ 77,6 + 8,7 53 0,909,7, 3 44,57tf. m 3 86,6 053 ( ) 0,98 tot

73 Exemplo 3 4 a Iteraçã ção κ κ 4 * 4 3( ,57 0,40 ) 5 κ 4 + κ 00, ,98 00,7 7 0,909,7, 5,63tf. m 4 86,6 07 ( ) 0,98 tot

74 Exemplo 3 5 a Iteraçã ção κ κ 5 * 5 5,63 3( + 5 0,40 κ 5 * + κ 4 ) 5, ,98,7 9,3 0,90 9,7, 54,93tf. m 5 86,6 09,3 ( ) 0,98 tot

75 Exemplo 3 6 a Iteraçã ção κ κ 6 * 6 54,93 3( + 5 0,40 κ 6 * + κ 5 ) ,3 0, ,90 9,7, 55,6tf. m 6 86,6 08 ( ) 0,98 tot

76 Exemplo 3 Logo: µ 0,54 b h f Dimensionamento: ν µ 0,75 s, tot s, tot 0,54 ρ 7,9% c ÁbacoA0F0 ω,60 A A b h f ω f y c 3040,60 5,5 0,3,4 94,63cm (taxa e armaura) 0φ 5.0

77 Exemplo 3 Terceiro métoo: m PP + κ Aproximao + γ f3 µ α α tot E c ν 0,98 λ 86,6 0,90 α b λ 0γ + α E α c µ α 0 f 3 κ ν (0,7 + α ) 3 E

78 Exemplo 3 µ tot µ 9,8 + κ 55,68 κ µ tot µ κ + 9,8 κ 55,68

79 Exemplo 3 a Iteraçã ção Como o momento que é amplificao é o momento na base: µ b h µ κ 3( + 5 ) ν ν, tot, A fc κ 3( + 5 κ 77,8 µ 970 0, ,4 0,9 ) 0,98 0,98 77,8 + 9,8 0,9,4 77,8 55,68 0,9

80 Exemplo 3 a Iteraçã ção 3 a Iteraçã ção κ κ * µ, tot 3 * 3 3 ( + 5 µ, tot,4 ) 0,98 0,98 κ + κ ,8 0, ,68 κ 3( + 5 κ 0,50 ) 0,98 3,8 0,50 0,98,4 * κ + κ ,8 0,9 0, ,68 3

81 Exemplo 3 4 a Iteraçã ção κ κ 4 * 4 µ, tot 3( ,55 ) 0,98 * κ 3 + κ 4 4, 4, + 9,8 0,9 4, 55,68 0,98 9,4 0,56

82 Exemplo 3 Dimensionamento: ν µ 0,98 s, tot s, tot 0,56 ÁbacoA0F0 ω,65 A A ρ 8,% b h f ω f y c 30 40,65 5,5 0,3,4 97,6cm (taxa e armaura) 0φ 5.0

83 Exemplo 3 Quarto métoo: m PP + κ Ábaco + γ f3 ν 0,98 λ 86,6 α µ b 0,90 0,9 µ tot κ + 9,8 µ κ 55,68

84 Exemplo 3 Ábaco A0F0 ν ) µ 0,98 κ 0,9 cs µ + 9,8 0,9 55,68, tot 0,6 ν 0,98 ) κ µ 0,6 cs 80 µ ,8 0, ,68, tot 0,44

85 Exemplo 3 ν 0,98 3) µ 0,44 κ cs 44 µ ,8 0, ,68, tot 0,50 ν 0,98 4) κ µ 0,50 cs 56 µ ,8 0, ,68, tot 0,48

86 Exemplo 3 ν 0,98 5) µ 0,48 κ cs 5 µ 5+ 9,8 0,9 5 55,68, tot 0,49 Dimensionamento: Poemos obter o ábaco: ω,46

87 Exemplo 3 A s, tot b. h. f ω f y c A s, tot ρ 7,% 50,3 0, 9,4 5,5 38,4 4φ 0.0