Estado Limite Último na Flexão Composta Normal

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1 1 Estao Limite Último na Flexão Composta Normal 1 Introução No presente texto examina-se a flexão composta normal originaa pela combinação e força normal e e momento fletor. Nesta moaliae e solicitação os esforços solicitantes N e M avinos e tensões normais situam-se no plano perpenicular à seção transversal, formano com esta um eixo principal passante pelo centro e graviae, como mostra a Fig. 1 Fig. 1.1 Examina-se o caso freqüente e seção retangular. A iferença e tratamento para outras formas e seção refere-se à integração as forças e momentos elementares as tensões normais, para obter os esforços resistentes. A Fig. 1. mostra as iferentes moaliaes e solicitações normais, esteneno-se ese a tração uniforme até a compressão uniforme. Inicamse nesta figura a istribuição linear e eformações (ipótese e Bernoulli), e a istância x a lina neutra (LN) à bora 1 mais comprimia ou menos tracionaa. Os casos extremos corresponem à tração e compressão com istribuição uniforme e eformações sem curvatura, para os quais x e x +, respectivamente. Imprimino curvatura à peça a partir o estao uniforme e eformação na tração, Fig. 1.a, a LN aproxima-se a bora 1, Fig. 1.b, e á na peça somente banzo tracionao. Neste caso, iz-se que a seção transversal está solicitaa à flexo-tração com pequena excentriciae. Prosseguino com aumentos e curvatura, a LN passa a localizar-se na seção, Figuras c,, e, quano então á na seção uas zonas istintas, uma comprimia e outra tracionaa. A peça tem banzos istintos, e iz-se aver flexão composta com grane excentriciae. Por fim, a LN sai a seção, teneno agora para +, significano que á na seção encurtamento uniforme, sem curvatura. Nestes três últimos casos á somente banzo comprimio na peça, e iz-se aver na seção flexo-compressão com pequena excentriciae. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

2 Fig. 1.: Estaos e eformação sob solicitações normais. O Estao Limite Último (ELU) por solicitações normais introuz os coeficientes e segurança parciais γ f as ações, γ c e γ s os materiais aço e concreto. Uma vez efetuaa a análise a estrutura com as ações representativas F repr, (com seus valores característicos F k, ou convencionais excepcionais F excepcional ou, aina, reuzios ψ Fk quano combinaos com outra ação principal) poneraas por, segue-se o imensionamento as seções γ f críticas e caa elemento estrutural (laje, viga, pilar, etc.), iviino-se localmente as resistências características os materiais concreto e aço, por γ c e γ s, respectivamente. Proviencia-se em seguia a extensão a armaura imensionaa nas seções críticas para outras seções a peça, e moo a resultar sempre esforços resistentes e cálculo (calculaos com resistências características iviias por γ c e γ s ) iguais ou superiores aos esforços solicitantes e cálculo (obtios com as ações majoraas por γ f ), ou seja: R f f ck yk R( 0,85, ) S S( γ f Frepr ) γ γ (1.1) c s one R e S representam os esforços resistente e solicitante. Por outro lao, á casos em que é necessário obter-se a capaciae portante e uma aa estrutura existente, com a finaliae e confirmar sua segurança ou falta e segurança. Com isto o problema eixa e ser o e imensionamento, e passa a ser o e verificação.. Hipóteses aotaas As uas moaliaes e cálculo imensionamento e verificação poem ser feitas através as três ferramentas funamentais a Mecânica as Estruturas, a saber: CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

3 (a) Equações e equilíbrio: os esforços solicitantes S (vinos as ações, ou cargas) são iguais aos esforços resistentes R (vinos as resistências os materiais aço e concreto). (b) Equações e compatibiliae: referem-se a eformações na seção transversal, e ecorrem a ipótese e Bernoulli (seções planas permanecem planas após a eformação), acoplaa à ipótese e aerência rígia (sem eslizamento) entre o aço e o concreto vizino. (c) Leis constitutivas estabelecias para o concreto e para o aço. Supõe-se que o concreto tena resistência à tração nula ( f ct 0 ), e o aço resiste igualmente na tração e na compressão. Ver a Fig O ELU por Solicitações Normais baseia-se em eformações limites convencionais, cf. a Fig. 4., e iguais a s 10, alongamento máximo o aço, e c, 5 e, encurtamentos máximos no concreto, na flexão e na compressão uniforme, respectivamente.. Convenção e sinais. Definição os aimensionais Conforme se vê nas Figuras 1 e 5, são positivos os encurtamentos, as forças e tensões normais e compressão. O momento fletor é positivo se tracionar a bora inferior. A profuniae x a LN, meia a partir a bora superior 1, é positiva aentrano na seção e ino além a sua altura (seção parcial ou totalmente comprimia), e negativa no sentio oposto (seção totalmente tracionaa). Nas equações o problema aotam-se os seguintes aimensionais: x δ profuniae relativa a lina neutra relação entre o cobrimento a armaura e a altura total a seção, positivo ou nulo, mas não superior a 0,5, ou seja, 0 δ 1 δ 10 1 κ r κ ν 10 r N 0,85 f M c b relação entre as alturas útil e total a seção eformação multiplicaa por mil curvatura a seção, inverso o raio r e curvatura curvatura relativa multiplicaa por mil (aimensional) força normal relativa e cálculo µ momento fletor relativo e cálculo 0,85 fcb CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

4 4 ν c Nc 0,85 f M c b força normal relativa e cálculo resistia pelo concreto c µ c momento fletor relativo e cálculo resistio pelo concreto 0,85 fcb ν s Ns 0,85 f M c b força normal relativa e cálculo resistia pela seção metálica s µ s momento fletor relativo e cálculo resistio pela seção 0,85 fcb metálica A s taxa geométrica a armaura, referente a uma camaa ρ s b e área As A s, tot ρs, tot taxa geométrica a armaura total b A f f s ω ρs b 0,85 fc 0,85 f σ s1 σ s α 1, α f f c taxa mecânica a armaura, referente a uma camaa e área As tensões relativas e cálculo as armauras 1 ( mais comprimia ou menos tracionaa) e (mais tracionaa ou menos comprimia) 4. Leis constitutivas. Domínios e eformação De acoro com a NBR , poem ser aotaas as leis constitutivas no ELU por flexão composta mostraas na Fig A Fig. 4. mostra os omínios e eformação que efinem o presente ELU. Nos omínios 1 e toa reta e eformações passa pelo polo A, para o qual no banzo tracionao s 10 ; nos omínios, 4 e 4a, o polo as retas e eformações passa a ser o ponto B, para o qual c, 5 ; e finalmente, no omínio 5 o polo as retas e eformações é o ponto C, istante a bora mais comprimia, no qual se tem o encurtamento c. Com isto, á uma transição contínua a flexão simples à compressão uniforme, e a eformação limite a bora 1 ecorrente é aa pela equação (4.6) a Tabela : c ou x x c quer izer, para x tem-se, 5, e para x resulta. c c A Tabela 1 mostra os limites a profuniae a LN para caa omínio. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

5 5 Fig. 4.1 CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

6 6 Fig. 4. Domínio Deformação limite ( ) Tabela 1 Limites a profuniae relativa a LN, 1 s 10 1 / 0,5 0 / 1,5 iem δ c, 5 / x,5 δ 1,5,5 / 4,5,5 + 4 iem / 4 δ 4 / 4a δ,5 + 4a iem 4 / 4a 4a / c, / 4 a / 5 1 δ δ Observação δ 1 δ A ivisa os omínios e 4 epene o aço, e vale 0,68δ para o CA-50 e 0,585δ para o CA-60. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

7 Fig. 5 Conforme se vê na Fig. 5, as eformações obeecem às seguintes equações e compatibiliae, em termos imensionais: c κ r x s1 s c, / x x x 1 (4.1a) E em termos aimensionais: 10 c s1 s c, / κ r δ δ (4.1b) A Tabela mostra as equações e compatibiliae para os iferentes omínios e eformação, conforme seja a eformação limite fixaa. Exemplo 4.1: Consiere-se, no ELU Solicitação Normal, uma seção e altura 140mm e cobrimentos as armauras 10mm, e armaa com CA-50. Seno a eformação positiva se encurtamento, verificar quais entre os estaos e eformações seguintes estão no ELU, ou aquém o ELU, ou além o ELU: a- c1,8/ 1000 (bora superior) e c 0, / 1000 (bora inferior) b- c1 / 1000 (bora superior) e s,5/ 1000 (armaura inferior) c- s,5/ 1000, e a armaura ista 50mm a LN, a qual corta a seção - s,5/ 1000, e a armaura ista 65mm a LN, a qual corta a seção CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

8 8 Solução: Seja ELU ou não é válio escrever para a curvatura: c κ r x c s1 s c, / x x x x 1 1 a-,8 x x 0, 140,8 0, x ( x 140) ou x 1, , 6, one (,8/1000) c, / (186,6 140) 1,9/1000 < /1000 aquém o ELU 186,6 b- c1 <,5/ 1000 e s < 10/ 1000 aquém o ELU c 1,5/1000 c- ( ) c 1,5/ ( ) ou c1 4/ 1000 além o ELU ou c1,5/ 1000 no ELU 5. Seção Retangular, Armaura Dupla e Simétrica 5.1 Introução A resistência a seção provém as parcelas o concreto e o aço, através os esforços ( N c, M c ) e ( N s, M s ), cujas somas são iguais aos esforços resistentes e cálculo, toos referios ao centro e graviae (CG) a seção transversal, ou seja: N N + N c M M + M c s s (5.1.1a) (5.1.a) Para obter as corresponentes equações aimensionais ivie-se a primeira por 0,85 f c b e a seguna por 0,85 f c b, one: N ν ν c + ν 0, 85 f b c M µ µ c + µ s 0,85 f b c s (5.1.1b) (5.1.b) CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

9 9 Domínio Tabela : Deformações limites e equações e compatibiliae. δ, > alongamento Limites a profuniae relativa a LN, 1 inf x δ, 0 Deformação limite Demais eformações ( ) c s s1 sup 0 inf 0 s δ δ δ sup,5 1,5 δ (4.) (4.), 4 e 4a inf,5 1,5 δ c, δ δ,5, 5 5 sup 1 inf 1 sup c, / (4.4) (4.5) δ δ (4.6) (4.) (4.8) No que segue, examina-se a contribuição e caa material em separao. A ipótese e istribuição linear e eformações, acoplaa a uma eformação limite estabelecia no ELU conforme seja o omínio, Fig. 4., reuz a eterminação o estao e eformação ao conecimento apenas e uma incógnita, a profuniae a LN. Em outras palavras, ao x (ou ) no ELU, sabe-se imeiatamente qual o omínio corresponente, e por conseqüência a eformação limite fixaa. Logo, as eformações a seção ficam toas conecias. Como á uas equações e equilíbrio, é possível imensionar a armaura, representaa pela sua área, ou sua taxa mecânica, uma vez que se tem uas incógnitas a área a armaura e a profuniae a LN para uas equações e equilíbrio. Já no problema e verificação, são incógnitas as solicitações N e M, e é preciso conecer a função M ( N ), aa pelo iagrama e interação, conecias a área e a posição a armaura, e as resistências os materiais. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

10 10 5. Esforços resistentes o concreto Consiere-se a seção transversal a Fig. 5.1, em que o concreto está parcialmente comprimio. Fig. 5.1 O concreto simples, teno em vista que f ct 0, só poe contribuir para a resistência a seção se esta estiver parcial ( 0 x < ) ou totalmente comprimia ( x ). A força resultante as tensões e compressão transportaa para o CG a seção leva aos seguintes esforços: N M c 0, 85 c f c by Nc Nc Nc ( y) (1 ) 0,85 f b c (5..1a) (5..a) one, na seguna equação, substituiu-se a altura y o bloco retangular e tensões tiraa a primeira. As corresponentes equações aimensionais são: ν N 0, 85 f c c cb y M c ν c µ c (1 ν ) c 0,85 f b c (5..1b) (5..b) A equação (5..1b) mostra que a força relativa o concreto é igual à altura relativa o bloco e tensões. Portanto, seu valor máximo ocorre para y, e vale ν c 1, one Nc 0, 85 fcb. Note-se que a altura y esacopla-se a profuniae a LN para x > 1, 5, e nesta conição permanece constante e igual a y. A equação (5..b) mostra que o momento resistio pelo concreto varia e acoro com uma parábola o seguno grau em função e CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

11 11 Fig. 5. sua força resistente. Este momento só é possível se a força for e compressão, pois a resistência à tração o concreto é esconsieraa, i. e., f 0. Como o momento é nulo para ν 0 e ν 1, e esenvolve-se e acoro com uma c c 1 1 parábola o seguno grau, seu máximo se á para ν c, ou Nc 0, 85 fcb, quer izer, o bloco e tensões ocupa metae a altura a seção. Logo, para esse valor a força no concreto, tem-se o máximo momento possível na seção e concreto simples (sem armaura) igual a M c 1 µ c 0,85 f b. Ver a Fig c ct 5. Esforços resistentes a armaura A Fig. 5. mostra a seção metálica constituía e uas camaas e armaura, e mesma área A s e istantes a bora mais próxima. As forças resistias pelas armauras transportaas para o CG a seção resultam em: N M s A s ( σ + σ ) s1 s ( )( As σ s σ s s 1 ) (5..1a) (5..a) Lembre-se que σ > 0 se for compressão. Diviino-se a primeira por s 0,85 f c b, a seguna por 0,85 f c b, e introuzino as tensões relativas σ s A f s α e a taxa mecânica ω referia a uma camaa e f b 0,85 fc armaura, vêm: CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

12 1 ν ω ( α ) 1 + α s 1 µ ( )( s ω α1 α δ ) (5..1b) (5..b) Fig. 5. Teno em vista a lei bilinear σ s ( s ) sem encruamento (patamar orizontal) aotaa para o aço, etermina-se a seguir as conições impostas à profuniae relativa a LN e ao cobrimento a armaura para que aja plastificação. O cobrimento a armaura, o mesmo em ambas camaas, está no intervalo 0 δ 1. No que segue tem-se em vista principalmente o aço CA-50. As equações serão aas preferencialmente na forma aimensional. A armaura inferior, tracionaa ou menos comprimia, plastifica-se em tração nos omínios 1, e. A eterminação o início a plastificação a armaura superior 1, mais comprimia ou menos tracionaa, apresenta maior ificulae. As conições para seu escoamento são calculaas a seguir, fazeno-se a LN percorrer os omínios, o 1 ao 5. No omínio 1, a armaura 1 escoa no intervalo [ ; max ], one max 1, 1, 10δ δ 1,max se 10 0 δ (5..) 10 + é profuniae relativa a LN, para a qual no omínio 1 resulta s1. Impono-se 0 para que a LN não ultrapasse a ivisa os omínios 1 e 1,max resulta a conição o cobrimento mostraa na Equação (5..). CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

13 1 Repetino o raciocínio sucessivamente para os omínios e, aina na tração, resultam os seguintes valores e, max e, max, bem como os respectivos intervalos e δ : δ 10δ,max se 10,5 + δ (5..4),5,max δ,5 + se, δ 1 (5..5) Ver a Tabela a, a qual resume toas as conições e escoamento em tração as armauras 1 e, com valores numéricos particularizaos para o aço CA- 50. Consiere-se agora o escoamento em compressão. A armaura não escoa em compressão para os aços cuja eformação e escoamento supera o máximo encurtamento o concreto em compressão uniforme, ou seja, >. Para o CA-50 amite-se na compressão uniforme a seção, o que ocorre para x. A armaura superior 1 poe iniciar seu escoamento em compressão nos omínios, e 4 conforme seja o seu cobrimento. Em caa um estes omínios, fazeno-se s1, ecorre o valor mínimo e para o qual se á o início o escoamento a armaura 1. Impono-se em seguia que esse mínimo ocorra no omínio em questão (i. e., não passe ao omínio seguinte), obtém-se a conição referente ao cobrimento δ. Usano-se as equações a Tabela, obtém-se: (10 ) δ +,min se 10+,5 0 δ (5..6) 1, 5δ 5,min se,,5,5 δ 1 (5..), 5δ 5 4,min se,,5,5 δ,5 (5..8) A Tabela b resume as conições referentes à plastificação em compressão e ambas armauras, conforme seja o valor e δ. Note-se nessas Tabelas a e b que ambas armauras poem escoar simultaneamente, uma em tração, outra em compressão, tanto no omínio quanto no, conforme seja o intervalo o cobrimento δ. Neste caso, é nula a força total na seção metálica. A Tabela c reúne os resultaos numéricos as uas tabelas anteriores para o aço CA-50, explicitano, para a lina em questão, os valores máximos e CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

14 14 mínimos a variável corresponentes aos valores extremos o intervalo e δ. A obtenção a função M s ( N s ), ou µ s ( ν s ), é feita percorreno-se igualmente os omínios e eformação, o 1 ao 5, observano-se os resultaos resumios nas Tabelas. [ 1, max No intervalo ; ] a LN, ambas armauras escoam em tração, one σ α f s 1. Portanto, as equações e equilíbrio resultam: Ns ν s ω e 0 0,85 f b M s µ s 0,85 f b c c Note-se que á infinitos estaos e eformação naquele intervalo para uma única combinação e força normal e momento fletor. Isto correspone na curva e interação (ou curva e plastificação) a um ponto anguloso. Note-se aina que, se a armaura não for simétrica e, á momento fletor não nulo para curvatura nula, pois a eformação é uniforme. Ver na Fig. 1. os ois casos extremos, representaos com força normal e momento fletor. Progreino com o aumento a profuniae a LN em ireção aos omínios e, a armaura 1 eixa e escoar em tração, anula sua tensão e passa a compressão. Com isto sua colaboração para o momento resistente a seção se á no mesmo sentio a colaboração a armaura, que continua em escoamento até a ivisa os omínio e 4. Tirano-se α 1 e (5..1b) e substituino-se em (5..b), e pono α 1, resulta: ν s µ s ( ω + )(1 δ ) (5..9) Como se vê, na seção metálica o momento resistente é linearmente crescente com a força resistente até a ivisa os omínios e 4. Se a armaura 1 também entrar em escoamento, então a força na seção metálica será nula. Portanto, pono-se ν 0 nesta equação resulta: µ ω ( 1 δ ) s s CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

15 15 Tabela a: Conições e escoamento em tração as armauras 1 e. Aço CA-50, δ, δ, > 0 para alongamento, Dom. 1 Dom. Dom. σ α f s Dom. 4 e 4a Dom. 5 Armaura 1 0 δ δ 0,11 CA-50 Armaura 1,5 + δ ,11 δ 0,9 CA-50, Armaura 1 δ 1 0,9 δ 0,5 CA-50 1,max α1 1 δ 10δ 10,max α1 1 δ 10δ 10,5,max δ,5 + α1 1,max / 4 Armaura α 1 CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

16 16 Tabela b: Conições e escoamento em compressão a armaura. Aço CA-50, δ, δ, > 0 para alongamento, σ α f Dom. 1 Dom. Dom. Dom. 4 e 4a s Dom. 5 Armaura 1,5 0 δ 1 0 δ 0,096 CA-50 Armaura 1,5,5 δ 1 0,096 δ 0,04 CA-50 Armaura 1,5,5 δ,5 0,04 δ 0,408 CA-50 Armaura 1 (10 ) δ +,min 10 + α 1 1,min, 5δ, 5 4,min α 1 1, 5δ, 5 α 1 1,5,5 δ 1 0,408 < δ 0,50 CA-50 No caso e aço CA-50 não á escoamento a armaura em compressão (exceto para e com a aproximação ). CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

17 1 Tabela c: Conições e escoamento em compressão e em tração as armauras. Aço CA-50, δ, δ, > 0 para alongamento, σ α f s Dom. 1 Dom. Dom. Dom. 4 e 4a Dom. 5 Armaura 1 0 δ 0,096 1,max α1 1 0,61 0,115,min 0,1 0,4 α 1 1 Armaura 1 0,096 δ 0,11 1,max 0, 115 0,min 0,4 0,40 α1 1 α 1 1 Armaura 1 0,11 δ 0,04,max 0 0,050,min 0,40 0,500 α1 1 α 1 1 Armaura 1 0,04 δ 0,9 α1 1,max 0,050 0,184 4,min α 1 1 0,500 0,15 Armaura 1 0,9 δ 0,408 α1 1,max 0,184 0,5 4,min 0,15 1,000 α 1 1 Armaura 1 0,408 < δ 0,50 α1 1,max 0,5 0,14 Armaura α 1 Note-se que este valor o momento é o máximo que poe ocorrer, no caso e escoamento simultâneo as camaas e armaura, uma em tração, outra em compressão. Novamente, tem-se aqui também infinitos estaos e eformação para o mesmo par ν ; ), com o que a função µ ) apresenta outro ponto ( s µ s s ( ν s CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

18 18 anguloso. O momento máximo simultâneo com a força normal nula é atingio sempre que o cobrimento verificar a conição: δ,5 cf. a seguna lina a Tabela b. Para o CA-50 este limite vale 0, 04, um valor o cobrimento relativo poucas vezes superao na prática. As seções transversais e pequena altura com granes cobrimentos relativos ocorrem, p. ex., nos pilares e resiência e nos pilares-paree e eifícios. Pono-se as alturas a seção transversal e tais elementos estruturais respectivamente iguais a 1cm e 0cm, resultam os cobrimentos, 4cm e 4cm, que geralmente atenem os valores mínimos exigios por norma. Aina para esta mesma conição o cobrimento, nos omínios 4 e 5 só a armaura 1 está em escoamento ( α 1 1). Logo, eliminano-se α nas equações e equilíbrio, (5..1b) e (5..b), resulta: ν s µ s ( ω )(1 δ ) (5..10) Como se vê, agora o momento resistente a seção metálica é linearmente ecrescente com sua força. Este momento se anula para ν ω, o que correspone à compressão uniforme. (Aota-se simplificaamente para o CA-50, na compressão uniforme). A Fig. 5.4 mostra graficamente as funções µ ) apresentaas para o s ( ν s,5 cobrimento δ, quano ocorre o escoamento simultâneo as uas camaas e armaura. Esta solução coincie com a obtia na Teoria a Plasticiae (ver Heyman, 191), aotano-se para o aço comportamento rígio-plástico ( E s na Fig. 4.1), e cobre, como se isse, boa parte os casos a prática. Completano-se o iagrama e interação para momentos resistentes negativos, obtém-se um losango, cujos ramos ascenentes e 1 escenentes têm inclinações respectivamente iguais a 1: ( δ ) e 1 1:[ ( δ )], cf. as Equações (5..9) e (5..10). s CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

19 19 Fig. 5.4,5 Se o cobrimento superar, a função µ s ( ν s ) também é linearmente crescente até a ivisa os omínios e 4, quano se terá as tensões relativas α 1 na armaura inferior, e α 1 na superior obtia com s1 conforme a 1 δ Tabela, com / 4,5 (a Tabela 1, ivisa os omínios e 4):,5 + α 1 s1,5(1 δ ) (1 δ ) δ P. ex., se δ 0,0 > 0, 04, resultam α 1 0, 54, ν s 0, 466ω e µ s 0, 05ω. Como se vê, o momento máximo neste caso ocorre para força normal e tração, não mais para força normal nula. Se o cobrimento obeecer a conição:,5,5 δ,5 a armaura 1 escoa em compressão no omínio 4 para 4, min. Portanto, ultrapassaa a ivisa os omínios e 4, o momento resistente µ s ( ν s ) terá ois segmentos escenentes, o primeiro em que não á escoamento e nenuma armaura, e cujo intervalo é CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

20 0 / 4 4,min e o seguno no qual só a armaura 1 escoa: 4,min No primeiro, teno em vista que se trata o omínio 4 e é vália a lei e Hooke, tem-se as tensões relativas, usano-se as equações (4.4) e (4.5) a Tabela : σ α1 f s1 s1,5 δ σ α f s s,5 δ Substituino-se estes valores nas Equações (5..1b) e (5..b), e eliminanose a variável, obtém-se:,5 ν s µ s ( ω )(1 δ ) (5..11) Esta função é, portanto, linearmente ecrescente com a variável prevaleceno as conições mencionaas. ν s, Se a conição o cobrimento δ continuar vália, mas 4, min, então α 1 1. Logo, tirano-se α e (5..1b) e substituino-se em (5..b), resulta novamente a equação (5..10), i. e., ν s µ s ( ω )(1 δ ) A Fig. 5.5a mostra um exemplo este último caso para o aço CA-50, com os parâmetros δ 0, 0, ω 1. O máximo momento resistio pela seção metálica ocorre na ivisa os omínios e 4, mas com força resistente negativa (tração), não mais nula. Note-se que as uas retas extremas, se prolongaas, interceptam-se no eixo vertical, ν s 0. A reta intermeiária representa o truncamento o losango obtio anteriormente na Fig CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

21 1 ms ( ns ), w 1, CA-50, '/0,0 0,5 0, ms Ms / (0,85fc b^) 0,5 0, 0,15 0,1 0, ,6-1, -0,8-0,4 0 0,4 0,8 1, 1,6 ns Ns / (0,85fc b) Fig. 5.5a ms ( ns ), w 1, CA-50, '/0,45 0,05 0,0 ms Ms / (0,85fc b^) 0,015 0,01 0, ,6-1, -0,8-0,4 0 0,4 0,8 1, 1,6 ns Ns / (0,85fc b) Fig. 5.5b,5 1 Aumentano-se o cobrimento relativo para a faixa δ a armaura,5 1 superior não mais escoa, se >, como é o caso o CA-50. Neste caso, as uas retas iniciais, Equações (5..9) e (5..11), permanecem válias aqui também. Mas a partir o omínio 5 a Equação (5..10) não é mais vália pois não á escoamento e nenuma armaura. Nesse omínio, e com a valiae a lei e Hooke, as tensões relativas são iguais a: CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

22 σ α1 f α σ f s1 s s1 s δ δ Substituino-se estes valores em (5..1b) e (5..b), e eliminano-se a variável, obtém-se: ν s µ s ( ω )(1 δ ) (5..1) Ver na Fig. 5.5b um exemplo este último caso, para o aço CA-50, com os parâmetros δ 0, 45 e ω Esforços resistentes a seção transversal completa Teno em vista o exposto nos itens anteriores, os esforços resistentes a seção completa são iguais a: ν ν + ω ( α ) 1 + α c ν c 1 µ (1 ν c ) + ω ( α1 α )( δ ) (5.4.1) (5.4.) one se põe ν 0 nestas equações se 0 (seção toa tracionaa), e 1 c se 1, 5 (seção toa comprimia). As variáveis ν c, α 1 e α são funções a profuniae relativa a LN. Assim, a superposição os esforços resistentes o concreto e a armaura se faz através o mesmo valor e para as uas seções istintas: a e concreto e a metálica. Percorreno-se os 5 omínios e computano-se os pares ( ν ; µ ) para caa valor e a seqüência escolia, obtém-se os conecios iagramas e interação, cujos parâmetros são a forma a seção, o aço (através e ), o arranjo e a quantia a armaura. Na Fig. 5.6 mostra-se um exemplo típico a curva µ ( ν ) para uma seção retangular com armaura simétrica, apontano-se a tração e a compressão uniformes, a flexão simples, bem como a faixa a força normal one é nula a soma as forças nas uas camaas e armaura ( α 1 +α 0), com o que a força normal e cálculo é resistia exclusivamente pelo concreto ν ν ). ( c ν c CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

23 Fig. 5.6 Inica-se também a curva µ c ( ν c ) o concreto. A zona contia pela curva µ ( ν ), para a aa taxa e armaura, refere-se a pontos cujas coorenaas ( ν ; µ ) são uma combinação segura e força normal e momento fletor; os pontos iretamente na curva µ ( ν ) representam combinações seguras e mais econômicas, e pontos fora ela são combinações inseguras e força normal e momento fletor. Note-se, aina, que os iagramas e interação no ELU, por serem usaos no imensionamento a armaura, são obtios com as resistências e cálculo os materiais, cf. a Equação (1.1), f f ck yk R R( 0,85, ) S S( γ f Frepr ). Se forem usaas as veraeiras γ c γ s resistências o concreto e o aço, f c e f y, como num ensaio e laboratório para eterminar a capaciae portante e uma peça, obtém-se uma curva µ (ν ) que envolve a e cálculo, ela manteno uma istância originaa justamente pelos coeficientes e segurança os materiais e pelo fato e serem tomaos os valores característicos as suas resistências. A Fig. 5. mostra o iagrama e interação momento fletor força normal no ELU, para seção retangular e cobrimento relativo igual a δ 0, 10, e armaa com aço CA-50. Note-se que a máxima taxa mecânica total é igual a, com o que a taxa geométrica total é pelo menos igual a 15 0,85 1,4 ρ s, tot 4%, e este é o valor máximo permitio em caso e aver 45 emenas por transpasse na seção crítica em exame. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

24 4 Diagrama e Interação Momento - Força Normal. Seção Retangular, Armaura Dupla e Simétrica. Aço CA-50, '/ 0,10. Taxa Mecânica por Face: w (As f) / (b 0,85fc) Momento Relativo: M / (0,85fc b^) 1 0,9 0,8 0, 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5,5 Força Normal Relativa: N / (0,85fc b) w1 w0.9 w0.8 w0. w0.6 w0.5 w0.4 w0. w0. w0.1 w0 Fig Exemplos Exemplo 5.5.1: Uma estaca e iâmetro total resistência 1000mm ), com aço e resistência φ 00mm é armaa com 8φ 1, 5 (área f 400MPa, e concreto e 0,85 f c 0MPa. Calcular sua capaciae e carga em serviço. Se esta mesma estaca estiver tracionaa, qual é a máxima carga a que ela resiste, também em serviço? π 00 a- N 0,85 fc Ac + As f ( ) 10 N 1814kN 4 ou N 1814 Nk 100KN 10tf γ 1,4 f b- Na tração só o aço resiste. Logo, N As f 400kN ou 400 N k 86kN 8, 6tf 1,4 CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

25 5 Exemplo 5.5.: Uma estaca quaraa e lao 00 mm tem concreto e resistência 0,85 f c 0MPa, e everia ter seu eixo alinao com o e um pilar, a que ela á apoio. Na obra verificou-se que a estaca foi locaa ineviamente com uma excentriciae igual a 0 mm paralelamente a seu lao. Seno a força normal atuante igual a N 1080kN, verificar se a estaca possui segurança suficiente no ELU. Solução: Sem armaura só o concreto resiste. Logo, ν c ν N ,85 f b 0 00 c 0,6 Haveno força normal e compressão, a seção e concreto poe resistir a momento, igual a: ν c (1 ν c ) 0,6(1 0,6) µ c 0,1,ou M c M 0, ,8 10 Nmm, 6 one a excentriciae máxima possível M c M 64,8 10 maxe 60mm > 0mm N N c 6 Logo, a estaca tem segurança suficiente. Entretanto, este cálculo está longe e estimular ou inuzir à tolerância e erros na locação e estacas. Problemas este tipo evem ser minimizaos o mais possível. Exemplo 5.5.: Seja, no ELU, uma seção quaraa e vazaa, e parees e mesma espessura, sujeita a flexão composta normal. Os quaraos externo e interno têm laos respectivamente iguais a 1000 mm e 00 mm. Conecias as resistências os materiais f 400MPa, 0,85 f c 0MPa, o móulo e elasticiae o aço E s 00GPa, as áreas as armauras s 1 As 5000mm A, bem como suas istâncias às respectivas boras a seção 100mm, pee-se: a Determinar a profuniae a lina neutra, a qual corta a seção transversal, sabeno-se que a armaura tem alongamento conecio e igual a 0 / b Determinar os esforços pela seção metálica. c Determinar os esforços pela seção e concreto. N s e N c e M s, no CG a seção transversal, resistios M c, no CG a seção transversal, resistios CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

26 6 - Quais são os esforços N e M corresponentes ao estao e eformação ao? Qual é a excentriciae a força normal e cálculo? Solução: a- Como a LN está na seção, e a armaura está alongaa mas não em c1 s escoamento, o omínio só poe ser o 4, one c1, 5. Logo,. x x c1 s c1,5 + 1,5 Somano os numeraores e enominaores, ou, x 900 x one x 00mm. b- A armaura superior 1 está em escoamento, pois,5 s1 (00 100) >. Logo, os esforços a seção metálica são 00 iguais a (usano a lei e Hooke para a armaura ) N M s s As ( f + σ s ) 5000( ) As ( f σ s )(0,5 ) 5000[400 ( 00 1)]( ) N 6 Nmm c- Os esforços na seção e concreto consieram a altura o bloco e tensões y 0,8x 560mm. Consierano-se a seção vazaa como uma seção T e largura a alma igual ao obro a largura a paree, e separano-se a área a flange fora a alma (área 1) a área a alma (área ), vem Nc1 0,85 fc ( b fl bw) fl M c1 Nc1( 0,5 0,5 fl ) (500 ) 89,5 10 Nmm (no CG a seção) Nc 0,85 fcbw y M c Nc ( 0,5 0,5 y) (500 80) 9, 10 Nmm (iem) Nc Nc + Nc kN M M 1 + M c c1 c 89,5 + 9, 161, - N Nc + Ns kN, M M + M c s 161, , knm knm N N 6 CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

27 M 81, A excentriciae a força normal é igual a e 0,48m e situa-se N 6460 entro a seção, próxima à bora mais comprimia, ela istano 0,50 0,48 0,06m 6mm. 5.6 Dimensionamento em caso e escoamento simultâneo as armauras tracionaa e comprimia Como se mostrou antes, se o cobrimento as armauras verificar a conição δ,5 δ 0,04 para o CA-50 é possível o escoamento as uas armauras, uma em tração, outra em compressão. Se isto ocorrer, será nula a força resultante na seção metálica, ao que As ( σ s1 + σ s ) As ( f f ) 0 ou α 1 +α Consequentemente, a força normal solicitante será resistia integralmente pela seção e concreto, e o cálculo a armaura se faz rapiamente, como se mostra a seguir. Intervalo o cobrimento δ Tabela 4: Intervalo a força normal one α +α 0 min Intervalo a LN max 1 Intervalo a força normal ν,min 0,8 min ν,max 0,8 max,5 0 δ 1 0 δ 0,096 CA-50,min (10 ) δ / 4,5(1 δ ),5 + (10 0, ) δ +,5(1 δ ) 0,8,5 + (5.6.1) (5.6.),5,5 δ 1,min, 5δ, 5 / 4,5(1 δ ),5 +,5δ 0,8,5,5(1 δ ) 0,8,5 + 0,096 δ 0,04 CA-50 (5.6.) (5.6.) O intervalo a força normal em que ocorre o escoamento simultâneo as uas armauras, uma em tração, outra em compressão, está ao na Tabela 4. Se a força normal solicitante e cálculo ν estiver no intervalo [ ν, min; ν, max ], a CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

28 8 armaura é calculaa consierano-se que ν ν c e α 1 α. Logo, a equação (5.4.) resulta a taxa mecânica a armaura ω µ 0,5ν (1 ν ) 1 δ (5.6.4) A profuniae a LN é, evientemente, igual a 1, 5ν. Exemplo 5.6.1: Daa a seção retangular e imensões b / / 00/1000/ 50mm, e resistências 0,85 f c 1MPa e f 45MPa (CA- 50), pee-se obter a área a armaura por face, para atuação os esforços solicitantes N 80kN e M 1895, 5kNm. A solução é obtia através os seguintes passos: 1º. Passo: Cálculo os esforços solicitantes aimensionais. ν e µ N 0,85 f c M 0,85 f c ,44 b b , , º. Passo: Cálculo o intervalo o cobrimento. 50,5 No caso tem-se δ 0, 05, valor que é inferior a 0, lina a Tabela 4). (1a. º. Passo: Cálculo o intervalo [ ν, min; ν, max ]. Da Tabela 4, para δ 0, 096 tem-se: (10 ) δ +,5(1 δ ) ν, min 0,8 0,16 e ν, max 0,8 0, ,5 + Como se vê, a força normal solicitante ν 0, 44 está neste intervalo, e á portanto o escoamento em tração e em compressão as uas camaas e armaura. 4º. Passo: Cálculo a armaura. Da Equação (5.6.4) e a efinição a taxa mecânica resultam respectivamente: CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

29 9 ω µ 0,5ν (1 ν 1 δ ) 0, 0,5 0,44(1 0,44) 0,6 1 0,05 A,85 f f 0 c 1 s ωb 0, mm / 45 face A 6 A taxa geométrica total é ρ, s s tot,16% b Este valor verifica os extremos exigios pela NBR , item que são: 0,15N ρ s, tot,min 0,4% e ρ s, tot,max 8% bf No valor máximo está incluía a justaposição a armaura em regiões e emena. Assim, se na seção crítica em exame ouver emenas por transpasse, eve-se respeitar o limite ρ 4%. s, tot,max Exemplo 5.6. (proposto): Daa a seção retangular e imensões b / / 00/ 400/ 60mm, e resistências 0,85 f c 1MPa e f 45MPa (CA- 50), pee-se obter a área a armaura por face, para atuação os esforços solicitantes N 46kN e M 08, 08kNm. Verificar se a taxa geométrica atene os limites a NBR Exemplo 5.6.: Consiere, no que segue, uma seção retangular, armaa simetricamente, e imensões b / / 50/ 600/ 45 mm e resistências f ck, 941 MPa e f 45 MPa, para a qual eseja-se obter pontos notáveis o iagrama e interação. Daa a área e armaura por face, igual a A s 1500 mm, pee-se obter: a- As forças normais mínima, N, min, e máxima, N, max, o intervalo one a força normal solicitante é resistia exclusivamente pela seção e concreto. Quais são os momentos fletores corresponentes a estas uas forças? b- Obter o par ( N, M ) para a LN x 45 mm. c- Obter o par ( N, M ) para a LN x 555 mm. - Obter os pares ( N, M ) para a LN, respectivamente, igual a + e. e- Esboçar o gráfico a função M ), usano os valores obtios. Solução: Seno ( N 0,85 b N e f c 6 f c 0,85 b Nmm, vem (10,0)0,05 +,0 (a) Com δ 45 / 600 0, 05 tem-se ν, min 0,8 0, 166 e 10 +,0 CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

30 0 ν,5(1 0,05) 0,8,5 +,0, max 0,4650. Logo, N 0, , 9 kn e N 0, kn., min, max Os momentos resistentes corresponentes a estas forças normais resultam as contribuições as seções e concreto e metálica. A taxa mecânica vale: ω /( ) 0,15 face. Logo; / ν 0,166 : µ 0,5 0,166(1 0,166) + 0,15 (1 0,05) 0, 56,, min M ,56 46, knm ν 0,4650 : µ 0,5 0,465(1 0,465) + 0,15 (1 0,05) 0, 09,, max M ,09 556, knm. (b) x 45 mm, LN na armaura superior, α 1 0 e α 1, e aina ν y / 0,8 45/ 600 0,06 : ν µ c 0,06 + 0,15(0 1) 0,155 ou N 0, , 5 0,0(1 0,06) + 0,15(0 + 1)(0,5 0,05) 0,106 ou M 0, , 1 (c) x 555 mm, LN na armaura inferior, α 1 1 e α 0, y / 0,8 555/ 600 0,4 ν c ν µ 0,4 + 0,15(1 0) 0,955 ou N 0, , 5 0,(1 0,4) + 0,15(1 + 0)(0,5 0,05) 0,1886 ou M 0, , 5 kn kn knm knm () x, tração pura: N 0, kn, x +, compressão pura: N kn M (knm) N (kn) Armaura por face1500 mm Note-se nesta figura que bastam poucos pontos para ter sua configuração correta. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

31 1 6. Flexão Composta Oblíqua A flexão composta oblíqua ocorre se a interseção o plano as cargas e a seção transversal não coinciir com um os seus ois eixos principais e inércia, como se mostra na Fig O imensionamento no ELU tem agora três incógnitas, representaas pela área a armaura, pela profuniae x e pela ireção a LN, aa pelo ângulo β. Por outro lao, tem-se três equações e equilíbrio, a saber: N M M n σ c Ac + A 1 c A si σ si, x N ey AsiYsiσ (6.1) n σ cyac + si (6.) A 1 c σ c XAc +, y N ex Asi X siσ A c n 1 si (6.) Fig. 6.1 As ipóteses e cálculo são as mesmas aas para a flexão composta normal, inclusive as eformações limites os omínios e eformação, observano-se que a profuniae a LN e a altura a seção são meias perpenicularmente à LN. Depenem pois o ângulo β. A maior ificulae em resolver o problema e imensionamento resie no cálculo as integrais referentes ao concreto mesmo usano-se o bloco retangular e tensões, bem como na solução iterativa o sistema e equações não-lineares, (6.1) a (6.). A alternativa são os ábacos ou iagramas, construíos teno a força normal (relativa) como parâmetro CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

32 N ( ν 0 / 0, / 0,4... no caso e pilares), para um ao tipo e aço, 0,85 fc xy um arranjo previamente escolio a armaura, e o número n e barras que a compõem. O aspecto o iagrama está mostrao na Fig. 6., e sua curva é sempre convexa (excluíos os efeitos e seguna orem e instabiliae). Quer izer, escolios ois pontos quaisquer essa curva, o segmento e reta que os une situa-se entre ela e a origem. Sua equação é aa por: M M x α y α ( ) + ( ) 1 M M xx yy (6.4) Nesta equação as granezas que aí aparecem são efinias como segue. Fig. 6. M x e M y são os momentos solicitantes e cálculo (vinos as ações) seguno os eixos x e y, respectivamente, atuantes simultaneamente com a força normal e cálculo N. Estes momentos evem ser, no máximo, iguais aos momentos resistentes e cálculo (vinos as resistências e cálculo, 0,85 f c e f ). A solução é segura se, para um ao arranjo e quantia e armaura, os momentos resistentes (consieraa a mesma força normal N ) superarem os solicitantes. A solução é segura e econômica se, para esta mesma força normal, os momentos resistentes forem iguais aos momentos solicitantes. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

33 M xx e M yy são os momentos resistentes e cálculo que seriam obtios se caa qual atuasse sozino com a força normal N, na flexão composta normal corresponente, mantios toos os emais parâmetros. α é um coeficiente epenente a força normal, a forma a seção, o arranjo e a percentagem a armaura. Para α 1, a curva a Fig. 6. transforma-se na reta que une os ois pontos corresponentes à flexão composta normal e caa ireção. Usar esta reta no imensionamento está a favor a segurança para qualquer seção, pois a curva e interação (ou superfície e plastificação, yieling surface) é convexa. Para a seção retangular poe-se aotar α 1,. O imensionamento a flexão composta oblíqua com o auxílio e uas flexões compostas normais eve respeitar o arranjo a armaura, teno em vista que na flexão oblíqua as tensões nas barras e armaura e uma mesma camaa são, em geral, iferentes. No caso e seção retangular, a equação (6.4) poe ser aimensionalizaa iviino-se o numeraor e o enominaor a primeira fração por,85 f, e a seguna fração por c x 0,85 f, one, com α 1, : y 0 c x y µ ( µ x xx ) 1, µ + ( µ y yy ) 1, 1 (6.5) O exemplo a seguir mostra uma aplicação esta equação. Exemplo 6.1: Dimensionar a armaura a seção retangular a Fig. 6., suposta concentraa nos cantos. São aos: N 49, 1 kn, e y 00 mm e e x 160 mm, f ck 0 MPa, 0,85 f c 1, 14 MPa, aço CA-50, cobrimentos x y 60 mm. Solução: 1º. Passo: Cálculo os esforços aimensionais ν N 0,85 f c x y 49,1 10 0,6 1, µ x M 0,85 f c x x y N 0,85 f c x y e y y ν e y y 00 0,6 0, µ y M 0,85 f y c x y N 0,85 f c x y e x x ν e x x 160 0, ,16 º. Passo: Determinação os momentos fletores a flexão composta normal CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

34 4 Para o arranjo escolio a armaura, os momentos relativos as uas flexões compostas normais poem ser consieraos iguais entre si ( µ xx µ yy µ ), pois x x y y, a força normal relativa as uas flexões é a mesma. Notese que a aproximação feita no cálculo, pono-se y 0,1 y 80 mm, está o lao a segurança, pois na realiae y 0,05y 60 mm. Usano-se (6.5), vem: 0,15 1, + 0,16 1, µ 1, 1 one µ 0, 6. Fig. 6. º. Passo: Determinação a área a armaura. No iagrama e interação a Fig. 5., para o qual se tem 0, 10, entra-se com o par ( ν ; ) (0,6;0,6) e obtém-se a taxa mecânica a armaura por µ face ω 0, 5. Logo, a área a armaura para os ois cantos a mesma face vale: A 0,85 f 1,14 ω c x y 0, mm ou φ 5/ face. f 45 s CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

35 5 Seno a área e uma barra φ 5 igual a ,5% ρ s, tot < 8% 500mm, a taxa geométrica total vale: Este valor eve ser inferior ao limite e 4 %, em caso e emena por transpasse, conição atenia com folga no exemplo. 4º. Passo: Detalamento a armaura na seção transversal. As inicações aas a seguir o etalamento na seção transversal a armaura e pilares encontram-se no item 18 a NBR 6118: 00. O iâmetro a armaura longituinal eve respeitar as seguintes conições (item ): 600 φ 5 mm min( x, y ) 5mm, e não eve ser inferior a 10 mm. 8 O espaçamento máximo entre eixos as barras longituinais eve obeecer às conições: s max min( x, y ) mm 400mm para que fique caracterizaa uma seção e pilar e concreto armao. Isto influi na isposição os estribos. O espaçamento mínimo livre entre as faces as barras longituinais, meio no plano a seção transversal, fora a região e emenas, eve respeitar as seguintes conições (item ): e 0mm φ 5mm, logo e 0mm 1, máxagregao 1, 5 0mm Os cobrimentos nominais as barras mais externas (estribos, no exemplo) epenem a classe e agressiviae ambiental (Tabela 6.1 na NBR 6118: 00) e estão inicaos na Tabela. essa mesma norma. Para Classe I (agressiviae fraca), poe-se aotar para vigas e pilares o cobrimento nominal igual a c cnom 5mm. Os estribos evem ter iâmetro e espaçamento escolios conforme o item a NBR 6118: CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

36 6 5mm φ t φ, one φt 6, mm 6,mm 4 O espaçamento os estribos eve também respeitar os seguintes limites, por razões construtivas, para evitar flambagem as barras longituinais comprimias e para resistir à força cortante o pilar: s s max 00mm min( x, y ) 600mm, logo s 00mm 1φ mm CA 50 Poe-se escoler φ t < φ mm 4 6,, ese que o espaçamento o estribo não supere o valor s max t φ ( ), com f yk em MPa, também para evitar a φ f yk flambagem as barras longituinais comprimias. No exemplo, aotam-se estribos uplos, i. e., Eφ 6,c / 00, cf. mostra a Fig Fig. 6.4 CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim

37 As istâncias o CG a armaura à bora a seção, mesma figura:, são iguais a, cf. a x y 4,8 + 98,8 1 x y 6mm valor que é praticamente coinciente com o previsto. Além a armaura calculaa, aotam-se φ16 nas faces maiores para comporem os cantos os estribos inicaos. 5 Bibliografia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto e estruturas e concreto - Proceimento: NBR6118: 00. Rio e Janeiro, 00. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Moel Coe Lonon: Tomas Telfor, 199. EUROCODE : Projecto e estruturas e betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para eifícios. Versão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez BUCHAIM, R. A influência a não-lineariae física o concreto armao na rigiez à flexão e na capaciae e rotação plástica. Tese (Doutorao) Escola Politécnica a Universiae e São Paulo. São Paulo, 001. ( HEYMAN, J. Plastic esign of steel frames.. Applications. Cambrige University, 191. MODESTO DOS SANTOS, L. Cálculo e Concreto Armao, seguno a NB- 1/8 e o CEB. Volume. Eitora LMS Lta, São Paulo, MENDES NETO, F. Sobre a Flexão Normal Composta Seção Retangular. III Simpósio EPUSP sobre estruturas e concreto. EPUSP, ez São Paulo, SP. MUTTONI, A.; SCHWARTZ, J.; THÜRLIMANN, B. Design an etailing of reinforce concrete structures using stress fiels. Swiss Feeral Institute of Tecnology, Züric, Switzerlan, MARTI, P. Autograpie Stalbeton GZ I un II. Institut für Baustatik un Konstruktion (IBK), ETH Züric. MacGREGOR, J. Reinforce Concrete Mecanics an Design. Tir Eition. Prentice Hall, New Jersey, 199. CTU-Estruturas TRU04 Concreto Estrutural Prof. Roberto Bucaim