ESTADO LIMITE ÚLTIMO NA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E OBLÍQUA. Prof. Roberto Buchaim. UEL-CTU Departamento de Estruturas

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1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO NA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E OBLÍQUA = Prof. Roberto Buchaim UEL-CTU Departamento de Estruturas 25 Janeiro 2017

2 1. INTRODUÇÃO No presente texto examina-se a flexão composta normal originada pela combinação de força normal e de momento fletor. Nesta modalidade de solicitação os esforços solicitantes, advindos de tensões normais situam-se no plano perpendicular à seção transversal, formando com esta um eixo principal passante pelo centro de gravidade, como mostra a Figura 1.1. Figura 1.1: Esforços solicitantes no plano perpendicular ao eixo longitudinal da peça. Convenção de sinais dos esforços solicitantes: força normal de compressão e momento tracionando a borda 2 são positivos Examina-se o caso freqüente de seção retangular. A diferença de tratamento para outras formas de seção refere-se à integração das forças e momentos elementares das tensões normais, para obter os esforços resistentes. A Figura 1.2 mostra as diferentes modalidades de solicitações normais, estendendo-se desde a tração até a compressão uniformes. Indicam-se nesta figura a distribuição linear de deformações (hipótese de Bernoulli), e a distância da linha neutra (LN) à borda 1 mais comprimida ou menos tracionada. Os casos extremos correspondem à tração e compressão com distribuição uniforme de deformações sem curvatura, para os quais e, respectivamente. Imprimindo curvatura à peça a partir do estado uniforme de deformação na tração, Figura 1.2a, a LN aproxima-se da borda 1, Figura 1.2b, e há na peça somente banzo tracionado. Neste caso, diz-se que a seção transversal está solicitada à flexo-tração com pequena excentricidade. Prosseguindo com aumentos de curvatura, a LN passa a localizar-se na seção, Figuras 2c, 2d, 2e, quando então há na seção duas zonas distintas, uma comprimida e outra tracionada. A peça tem dois banzos distintos, e diz-se haver flexão composta com grande excentricidade. Por fim, a LN sai da seção, tendendo agora para, significando que há na seção encurtamento uniforme, sem curvatura. Nestes três últimos casos há somente banzo comprimido na peça, e diz-se haver na seção flexo-compressão com pequena excentricidade.

3 Figura 1.2 Estados de deformação sob solicitações normais O Estado Limite Último (ELU) por solicitações normais introduz os coeficientes de segurança parciais das ações, e dos materiais concreto e aço. Uma vez efetuada a análise da estrutura com as ações representativas, (com seus valores característicos, ou convencionais excepcionais!"#$% ou, ainda, reduzidos & ' quando combinados com outra ação principal ( ) ponderadas por, segue-se o dimensionamento das seções críticas de cada elemento estrutural (laje, viga, pilar, etc.), dividindo-se localmente as resistências características dos materiais concreto e aço, por e, respectivamente. Providencia-se em seguida a extensão (com eventual redução ou escalonamento) da armadura dimensionada nas seções críticas para outras seções da peça, de modo a resultar sempre esforços resistentes de cálculo (calculados com resistências características divididas por e ) iguais ou superiores aos esforços solicitantes de cálculo (obtidos com as ações majoradas por ), ou seja: ) =)*0,85. ; =3 (1.1) onde ) e 3 representam os esforços resistente e solicitante. Por outro lado, há casos em que é necessário obter-se a capacidade portante de uma dada estrutura existente, com a finalidade de confirmar sua segurança ou falta de segurança. Com isto o problema deixa de ser o de dimensionamento, e passa a ser o de verificação. 2. HIPÓTESES ADOTADAS As duas modalidades de cálculo dimensionamento e verificação podem ser feitas através das três ferramentas fundamentais da Mecânica das Estruturas, a saber: (a) Equações de equilíbrio: os esforços solicitantes 3 (vindos das ações, ou cargas) são iguais aos esforços resistentes ) (vindos das resistências dos materiais aço e concreto).

4 (b) Equações de compatibilidade: referem-se a deformações na seção transversal, e decorrem da hipótese de Bernoulli (seções planas permanecem planas após a deformação), acoplada à hipótese de aderência rígida (sem deslizamento) entre o aço e o concreto vizinho. (c) Leis constitutivas estabelecidas para o concreto e para o aço. Supõe-se que o concreto tenha resistência à tração nula (. 4 =0), e o aço resiste igualmente na tração e na compressão. Ver a Figura 2.1. O ELU por Solicitações Normais baseia-se em deformações limites convencionais, indicadas na Figura 2.5 referente aos domínios de deformação, e iguais a 5 =10, alongamento máximo do aço, e 5,8' e 5 ', encurtamentos máximos no concreto, na flexão e na compressão uniforme, respectivamente. 2.2 LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS Leis constitutivas do concreto No que segue, são consideradas as leis constitutivas a usar no dimensionamento das peças em concreto estrutural (i.e., armado e protendido). Estas leis constam no Euro-Code 2 (2010) e nos textos do MC 2010, e constam em parte na NBR 61118: 2014 com a inclusão de concretos de alta resistência (ou concretos de alto desempenho). São três as leis consideradas neste texto, a saber: (1) parábolaretângulo, (2) lei bilinear e (3) lei rígido-plástica (bloco de tensões uniformes). Ver a Figura 2.1 e as Tabelas 2.1 e 2.2. Dado que a resistência à tração do concreto é desprezada no dimensionamento, estas leis são específicas para o concreto em compressão. O valor de cálculo da resistência à compressão do concreto é definido como segue: 0,85. =0,85. (2.1) em que: é o coeficiente de segurança parcial do concreto, igual a 1,4 para as combinações normais das ações, e 1,2 para as combinações especiais ou de construção, e excepcionais, cf. a NBR 6118: 2014, Tabela 12.1, item é a resistência característica do concreto, correspondente ao quantil de 5%, medida em corpos de prova cilíndricos (=>â@abcd/fgbhcf=15/30 J@ e referida aos 28 =>FK após sua moldagem. O fator 0,85 considera principalmente dois efeitos antagônicos, a saber, o ganho de resistência com o tempo e, simultaneamente, a velocidade (lenta) de aplicação do carregamento. Nas estruturas, esta velocidade é representada pelas cargas permanentes aplicadas na peça estrutural pouco a pouco, ao

5 longo da construção, permitindo ocorrer, entre um acréscimo de carga e outro, a fluência do concreto. Um terceiro fator refere-se à diferença de resistências medidas no corpo de prova e na peça estrutural, geralmente prismática. A consideração do fator 0,85 tem importância maior na segurança de peças com predomínio de compressão axial (especialmente pilares). Com os coeficientes parciais de segurança do EC-2 (2010), = =1,5, obtém-se, para o valor 1 recomendado no lugar de 0,85, o fator que afeta a resistência do concreto, igual a ( = ( L M L N (,O (,O =0,444. No caso da NBR 6118: 2014, mantendo-se o coeficiente 0,85, mesmo para concretos até. =90 RF, tem-se S,TO L M L N = S,TO (,U (,U = 0,434. Ou seja, há entre as duas normas apenas 2,5% de diferença (a maior na NBR) na consideração da segurança das peças com predominância de compressão axial. Dito de outro modo, se o coeficiente 0,85 for alocado aos coeficientes parciais e, estes resultariam em = = W (,U (,U S,TO = ( S,UYU =1,52. Assim, mantidos os coeficientes 0,85 e = =1,4, o nível de segurança estabelecido nas normas brasileiras é praticamente o mesmo das normas europeias que não aplicam o coeficiente 0,85. A lei constitutiva do concreto é definida pela função seguinte (função de potência com expoente inteiro ou racional): Z =0,85. [1\1 ] N ] N^_ # ] KA 5 5 ' Z =0,85. KA 5 ' <5 5 8' (2.2a) (2.2b) em que: 5 ' é a deformação do início do patamar de escoamento, igual a: 5 ' =2 KA. 50 RF 5 ' =2,00, S,OY KA 50 RF<. 90 RF 2.2c) 2.2d) 5 8' é a deformação limite (ou última), igual a: 5 8' =3,5 KA. 50 RF 5 8' =2,635[ 90. ] U KA 50 RF< RF 2.2e) 2.2f)

6 f f. Je. Je 0,85. Je J 0,85. Je J 5 J2 5 JH2 g 5 J3 5 JH3 g (a): Lei parábola-retângulo (b): Lei bilinear 5 JH3 Z J =h0,85. Je J )=h0,85. J= j=k i l K 5 K ) K (c): Distribuição uniforme de tensões Figura 2.1 Leis constitutivas do concreto O expoente d é igual a: d=2 KA. 50 RF d=1,423,4[ 90. ] U KA 50 RF < RF (2.2g) (2.2h) Como se vê, em relação à lei dada na NBR 6118, há alteração nos parâmetros a partir de concretos de classes superiores a 50. Note-se, também, que na faixa 50 a 90 RF, o expoente d decresce de 2 a 1,4, quer dizer, a parábola tende para a reta (d=1, mostrando a aproximação desta lei com a linear, para os concretos de alto desempenho. A lei bilinear é dada pela equação: Z =0, Y KA 5 5 Y (2.3a)

7 Z =0,85. KA 5 Y <5 5 8Y (2.3b) em que: 5 Y é a deformação do início do patamar de escoamento, igual a: 5 Y =1,75 KA. 50 RF 5 Y =1,750,55 NnoOS US KA 50 RF <. 90 RF (2.3c) (2.3d) 5 8Y é a deformação limite (=5 8', igual a: 5 8Y =3,5 KA. 50 RF 5 8Y =2,635[ 90. ] U KA 50 RF< RF (2.3e) (2.3f) É evidente que a lei bilinear (2.3a) é um caso particular da (2.2a), bastando fazer na primeira d=1, e trocar 5 ' por 5 Y, notando-se que a deformação limite é a mesma nas duas leis. A lei rígido-plástica atribui ao concreto uma resistência constante, h0,85., desacoplada da deformação, tomando-se ainda a altura do bloco de compressão igual ao produto da profundidade da LN pelo fator k, ou seja, j=k. Estes dois fatores são dados a seguir: k =0,8 KA. 50 RF (2.4a) λ=0, KA 50 RF <. 90 RF (2.4b) h =1 KA. 50 RF η= KA 50 RF<. 90 RF (2.4c) (2.4d) Novamente, para concretos de classe não superior a 50, têm-se os valores tradicionais j=0,8 e 0,85.. Para. =90 RF, por exemplo, resultam k =0,7,h =0,8, donde altura do bloco de tensões j=k =0,7 e a resistência do concreto h0,85. =0,68.. Se a seção diminui sua largura na direção da borda de maior encurtamento, deve-se reduzir o fator h em 10%, com o que a resistência é igual a 0,9h0,85.. É o caso de seções circulares, por exemplo.

8 As deformações limites das três leis anteriores são iguais, ou seja, 5 8' =5 8Y. Ver, igualmente, a Figura 2.1 e a Tabela 2.1. Tabela 2.1: Classes de resistência do concreto e parâmetros das leis constitutivas. RF 20 F ' 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 5 8' 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 d 2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 5 Y 1,75 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 5 8Y 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 k 0,8 0,787 0,775 0,75 0,725 0,7 h 1 0,975 0,95 0,9 0,85 0,8 f C90 C80 C70 C60 0,85fck/1,4=54,64MPa 48,57 42,50 36,43 33,39 30,36 21,25 12,14 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 C50 C35 C20 C55 gc ( 0/ 00 ) Figura 2.2: Lei parábola-retângulo do concreto

9 f () C90 0,85fck/1,4=54,64MPa C80 C70 C60 C55 C50 C35 C20 48,57 42,50 36,43 33,39 30,36 21,25 12, Figura 2.3: Lei bilinear do concreto Leis constitutivas do aço A resistência de cálculo dos aços para armaduras das estruturas de concreto é dada por:. 0 =. 0 (2.5) em que:. 0 é o valor característico inferior da resistência ao escoamento do aço, =1,15 para as combinações normais, especiais e de construção, e =1 para as combinações excepcionais, cf. a Tabela 12.1, item da NBR 6118:2014.

10 f v t K 1. Be = e. je. je. j= =. je K. B= = e. je / K 5 j= 5 je 5 H= =0,95 He 5 He g v ( ) Figura 2.4: Leis bilineares dos aços para armaduras no concreto armado A lei constitutiva do aço, derivada de ensaios de tração, pode também ser usada na compressão, quando então as deformações limites passam a ser as do concreto, inferiores às do aço, uma vez que na compressão (e antes da fissuração) há aderência sem deslizamento entre a barra de aço e o concreto circundante. Os dois segmentos em valores de cálculo podem ser usados no dimensionamento e na verificação da seção transversal. O valor de cálculo do alongamento de ruptura por tração (decorrente do alongamento característico para força máxima na barra ensaiada) deve ser reduzido em 10% em relação ao valor característico, ou seja, 5 8 =0,95 8. Nos cálculos de dimensionamento e verificação geralmente basta usar o patamar horizontal. O módulo de elasticidade do aço, que caracteriza o segmento ascendente (lei de Hooke), cf. o item da NBR 6118: 2014, é igualado a t =210 urf, à falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante. 2.3 CONDIÇÕES PARA O ESTADO LIMITE ÚLTIMO POR SOLICITAÇÕES NORMAIS O dimensionamento e a verificação de seções transversais sujeitas à ação de momento fletor, combinado ou não com força normal, em flexão normal ou oblíqua, baseia-se nas normas atuais em deformações limites convencionais, já vistas nas leis constitutivas do item 2.2. As solicitações decorrem das ações combinadas, majoradas pelos coeficientes de segurança parciais, conforme a análise escolhida no projeto, seja a análise elástica linear, ou a análise elástica linear com redistribuição limitada de solicitações (especialmente do momento fletor), ou a análise plástica, e ainda a análise não linear. A despeito das diferenças nos esforços solicitantes nas estruturas hiperestáticas de cada uma destas análises, são eles considerados quando for procedente a análise no dimensionamento, sob o pressuposto de haver suficiente dutilidade das peças (lajes, vigas e,

11 eventualmente, pilares), para que a distribuição de solicitações decorrente da análise escolhida seja alcançada na situação limite. Com isto, garante-se a segurança da estrutura para as cargas de projeto. As condições vistas a seguir pressupõem as zonas B do elemento estrutural, definidas como aquelas em que é válida a distribuição linear de deformações na seção transversal, sem perturbações de tensões, originadas por mudança brusca de geometria da peça ou da armadura, ou por introdução de cargas concentradas. Como se disse, as leis constitutivas dos materiais, com resistências minoradas pelos respectivos coeficientes de segurança, são as dadas no item 2.2. As solicitações decorrem das ações majoradas pelos coeficientes de segurança parcial, conforme a análise escolhida. Como se depreende do exposto, a segurança da estrutura é introduzida em dois passos. No primeiro, atribuem-se valores de resistências dos materiais e das ações com probabilidade baixa de ocorrência para o lado desfavorável (valores característicos ou representativos) e, no segundo passo, introduzem-se os coeficientes de segurança parciais, seguindo assim o método semi-probabilístico de segurança das estruturas, cf. a NBR 8681: Além disso, deve haver nas seções transversais armaduras longitudinais mínimas, de modo a garantir, em caso de fissuração, que o momento resistente (decorrente de resistências minoradas, no caso apenas a do aço) seja igual ou superior ao solicitante (decorrente das ações majoradas). o da seção para baixo, e negativa para cima. l K1 FGDdzF@AdBD AdJHCBF@AdBD 5 JH2 =5 JH3 < 0 h = l K l 5 H= 5 j= 10 df x) 6118 x y 4 4F 5 5 J2 DH 5 J3 \1 5 J2 5 JH2 _h ou \1 5 J3 5 JH3 _h > 0 A= alongamento limite do aço B=encurtamento limite do concreto na flexão C=encurtamento limite do concreto na compressão pura Figura 2.5: Domínios de deformação e respectivos polos no ELU-Flexão Enfatiza-se que o ELU-Flexão baseia-se em deformações limites convencionais, tanto no alongamento do aço (polo A), quanto nos encurtamentos do concreto (polos B e C). Isto tem a finalidade de facilitar a rotina de cálculo e, simultaneamente, corrobora os resultados de ensaios nas diferentes modalidades de solicitações normais. Há ainda uma consideração que merece destaque quando se investiga a deformabilidade do elemento estrutural para além da elasticidade dos materiais, e refere-se ao

12 alongamento último do aço. No EC-2 (2010), na norma SIA e no código modelo da fib (2010) não mais aparece a sua limitação em 10 ou 5, e em seu lugar tem-se o alongamento último 5 8, como mostrado na Figura 2.4 e Tabelas 2.2. Com isto, uniformiza-se o tratamento no segmento plástico do aço não só na flexão, para a determinação da capacidade de rotação plástica, como também no tratamento da força cortante, para fixar as deformações do aço e do concreto, na procura do correspondente ângulo de inclinação do campo de compressão. Evidentemente, para o dimensionamento de seções o limite do alongamento do aço em 10 ou 5 ou mesmo 5 0 são totalmente válidos. No domínio 1, as retas de deformação passam pelo polo A, a seção está inteiramente tracionada, e o concreto não participa da resistência. É o caso de tirantes, com ou sem momento fletor, notando-se que, mesmo para deformação uniforme na seção quando a curvatura é nula, pode haver momento fletor se l ( l '. Esta é uma propriedade das superfícies de plastificação com ponto anguloso. Nestes há, para uma só combinação de solicitações, no caso,, infinitos estados de deformação na seção. No domínio 2, as retas de deformação continuam a passar pelo polo A, mas a LN já corta a seção, o aço mantém seu alongamento limite, e o concreto só atinge seu encurtamento limite na transição para o domínio 3. Nesse domínio 2, podem estar ainda os tirantes, as vigas (particularmente as de seção T) e em especial as lajes, como casos mais freqüentes. A flexão pode ser simples ou composta. No domínio 3, a deformação limite é a do concreto, e todas as retas de deformação passam pelo polo B. A armadura tracionada está em escoamento, e a seção pode ser considerada como dútil, como já o era nos domínios 1 e 2, desde que sejam atendidas condições impostas à profundidade relativa da linha neutra, conforme seja a análise considerada e a peça para a qual se exige capacidade de redistribuir solicitações (lajes e vigas, eventualmente pilares). Com isto, no diagrama momento-curvatura, o aço atinge seu patamar de escoamento antes que o concreto atinja seu encurtamento limite. Isto quer dizer que a seção, para a qual se exige dutilidade, não deve entrar no domínio 4, pois na divisa dos domínios 3 e 4, o concreto atinge seu encurtamento limite simultaneamente como o início do escoamento da armadura. Logo, para profundidade da linha neutra menor que a dessa divisa, maior será o alongamento do aço. Neste domínio estão, em flexão simples ou composta, as vigas e eventualmente também os pilares, p. ex., os de galpões industriais e de edificações pré-moldadas, com predominância de flexão, e menos freqüentemente, as lajes. No domínio 4, com pólo ainda em B, já não há escoamento da armadura tracionada, caracterizando as peças às quais não é preciso atribuir dutilidade, como é o caso dos pilares das edificações comuns. No domínio 4a, tem-se = h.

13 No domínio 5, muda o polo das deformações para o ponto C, possibilitando uma transição contínua entre a flexão e a compressão pura. Nesse ponto, a limitação se dá pela deformação do início do patamar de escoamento do concreto, 5 ' ou 5 Y (diferentes entre si), conforme a lei constitutiva adotada, parabólica ou bilinear. Também aqui, como no domínio 4, estão os pilares com predominância de força de compressão. Note-se, de novo, que para deformação uniforme na seção comprimida, não há curvatura, mas pode haver momento fletor, por exemplo, se l ( l '. 3. EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DAS DEFORMAÇÕES NA SEÇÃO TRANSVERSAL No que segue relaciona-se a curvatura da seção com as deformações que interessam ao problema, a saber, as deformações das armaduras, e as do concreto, correspondentes aos polos B e C, distante F = \1 ] N^ ] N ^_h da borda mais comprimida. Ver a Figura 2.5. Figura 3.1: Curvatura e deformações na seção transversal Conforme a Figura 3.1, tem-se: 1 C =5 ( = 5 ( = = 5,$ F = 5 ' = (3.1a) Na forma adimensional esta equação passa a ser, introduzindo as notações 5 =10 Y 5, =, = e = =1 :

14 š = 10Y h C = 5 ( = 5 ( = 5,$ F/h = 5 ' (3.1b) Nos domínios 1 e 2 na armadura 2 tem-se 5 ' = 10, ou 5 ' = 10, e a deformação que eventualmente interessa é 5 (. Nos domínios 3, 4 e 4a a deformação limite é a do concreto na borda mais comprimida: 5 ( =5 8' e as deformações que interessam são 5 ( e 5 '. No domínio 5 a deformação limite é 5,$ =5 ', e da mesma forma interessam 5 ( e 5 '. Note-se que, sendo linear a distribuição das deformações na seção, bastam dois parâmetros para determiná-la:, que uma vez dado implica imediatamente no domínio, e por consequência, na deformação limite correspondente. Ver a Tabela seguinte. Tabela 3.1: Domínios de deformação, limites da LN Domínio Deformação limite Intervalo da LN 1 5 ' = ' = 10 0< 5 8' ' (h = ) 3 5 8' 5 8' (h = 5 8' )< (h = ) ' ' 4 5 8' 5 8' ' (h = )< (h = ) 4a 5 8' (h = )< h 5 5 ' >h 4. ESFORÇOS RESISTENTES, SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMÉTRICA 4.1 Seção de concreto Considere-se a seção retangular da Figura 4.1, de dimensões,h.

15 Figura 4.1: Esforços resistentes da seção de concreto Os esforços resistentes (), ) dependem da profundidade da LN: Se 0 a seção toda tracionada, ) = =0; Se 2 seção toda comprimida, j=h, constante e desacoplado de ; œ Se 0< <, seção parcialmente comprimida, donde: œ ) =(h0,85. ) j (4.1a) =(h0,85. ) j h j 2 ž=) (h j) (4.2a) 2 Divide-se a força normal por 0,85. h e o momento por 0,85. h ', e resultam: Ÿ =h j h (4.1b) = Ÿ 2 (1 Ÿ h ) (4.2b)

16 Como se vê, o momento resistente do concreto é dado por uma parábola do segundo grau em função de sua força normal resistente. Note-se que o concreto só colabora na resistência se for comprimido. De (4.2b) obtém-se as duas raízes da parábola: Ÿ =0 e Ÿ =h. O máximo momento resistido pelo concreto obtém-se N N =0 ou diretamente de Ÿ =h/2, = T. Por exemplo, se. 50RF tem-se h =1 = ( T =0,125. E se. =90RF tem-se h =0,80 =0, Seção metálica Seja a seção metálica formada por duas camadas de armaduras de mesma área l, e aço yl 50, cf. a Figura 4.2. Figura 4.2: Esforços resistentes da seção metálica A força e o momento em relação ao CG da seção resultam iguais a: ) =) ( +) ' =l (Z ( +Z ' ) (4.3a) =() ( ) ' ) h 2 = ž=l (Z ( Z ' ) h 2 = ž (4.4a) Para obter as expressões adimensionais, definem-se:

17 Taxa mecânica de armadura total:,4"4 = ' S,TO N Tensões relativas em cada camada: ª ( =Z ( /. 0 e ª ' =Z ' /. 0 Ÿ =,4"4 (ª 2 ( +ª ' ) (4.3b) =,4"4 (ª 2 ( ª ' )(0,5 ) (4.4b) Se o momento da seção metálica for nulo, de (4.4b) conclui-se que ª ( =ª ', ou seja, ambas as camadas têm mesma tensão. Este fato ocorre tanto na tração pura, com Z ( =Z ' =. 0, quanto na compressão pura, com Z ( =Z ' =+. 0. Logo, de (4.3b) =,4"4 =,4"4 Na compressão pura admitiu-se para o aço CA-50 a aproximação: 5 0 =2,07 2,. 50RF E esta condição se cumpre se. 255RF, pois 5 =5 ' 22,2. Por outro lado, se a força normal resistente da seção metálica for nula, de (4.3b) resulta Z ( = Z ', ou seja, a camada superior está comprimida, e a camada inferior de armadura está tracionada. Notando que a armadura inferior está em escoamento em tração nos domínios 1, 2 e 3, a condição em que Ÿ = 0 é obtida forçosamente com o escoamento da armadura superior na compressão. De fato, há uma faixa da LN, dada no item 5, em que ambas as armaduras estão em escoamento, uma em compressão, outra em tração. Na divisa dos domínios 3 e 4 há escoamento também da armadura comprimida se o cobrimento relativo verificar a desigualdade:

18 = = h 5 8' ' (4.5) Por exemplo, se. 50RF tem-se 5 8' =3,5 e 5 0 =2,07, donde = 0,20. E se. =90RF tem-se 5 8' =2,6 e 5 0 =2,07, donde = 0,10. Ver a Tabela 5.2. Preenchida esta condição, resulta de (4.4b) o máximo momento da seção metálica, pois a soma algébrica, ª ( ª ' =1 ( 1)=2, é máxima. =,4"4 (0,5 ) Fora da mencionada faixa da LN, do lado em que Z ' =. 0 ou ª ' = 1, e Z ( <. 0, resulta, tirando ª ( de (4.3b) e substituindo-o em (4.4b): =(,4"4 +Ÿ )(0,5 ) (4.6) Logo, o momento resistente da seção metálica é linearmente crescente com a sua força normal entre a tração pura e o máximo momento resistente, que se dá na flexão simples dessa seção. Da divisa dos domínios 3 e 4 em diante, verificada a condição do cobrimento, cf. Equação (4.5), a armadura comprimida continua a escoar até o fim do domínio 5 e tem-se ª ( =1. Isolando ª ' de (4.3b) e inserindo-o em (4.4b) obtém-se: =(,4"4 Ÿ )(0,5 ) (4.7) Conclui-se, pois, que do início do domínio 4 em diante o momento resistente da seção metálica é linearmente decrescente com sua força normal. A Figura 4.3 resume graficamente o que foi exposto. Para a seção completa somam-se os esforços resistentes das seções parciais.

19 0 KA 0 Ÿ =Ÿ +Ÿ =Ÿ +, (ª ' ( +ª ' ), sendo Ÿ = h 0 h se 2 ( œ (4.8) = + = Ÿ 2 (1 Ÿ h )+,4"4 2 (ª ( ª ' )(0,5 ) (4.9) Novamente, as restrições para os esforços resistentes da seção de concreto são: (1) se 0 (domínio 1), tem-se a seção toda tracionada, Ÿ = =0; (2) se = 2 ( œ (domínio 5) tem-se a seção toda comprimida, e j/h=1, constante e desacoplado de, Ÿ =h; =0. Para a seção metálica, tem-se as duas retas, uma ascendente desde a tração pura até a flexão simples dessa seção, =,4"4 (0,5 ) e Ÿ =0, o que se dá em uma faixa da LN que inicia no domínio 2 ou 3 e termina na divisa dos domínios 3 e 4. Outra, descendente a partir deste mesmo momento máximo até a compressão pura, Ÿ =,4"4 (fim do domínio 5). A superposição das resistências parciais para obter a da seção completa está indicada na Figura 4.3. Figura 4.3: Diagrama de interação (Ÿ ), seção retangular, armadura dupla e simétrica, aço CA- 50, == h ( ) (25 8 ),. =20 F 90 RF. Concreto: bloco de tensões uniformes. 5. INTERVALO DA LN E DA FORÇA NORMAL EM QUE É NULA A FORÇA NORMAL RESISTENTE DA SEÇÃO METÁLICA

20 Determina-se a seguir o intervalo da LN para o qual é nula a força normal resistida pela seção metálica. Foi visto antes que se o cobrimento relativo das duas camadas de armadura verificar a condição dada pela Inequação (4.5), repetida a seguir: = ] N ^o] '] N ^, para o CA-50 tem-se o escoamento simultâneo das duas camadas de armadura, uma em compressão, outra em tração, com o que é nula a força normal resistente da seção metálica. O valor superior da LN corresponde ao da divisa entre os domínios 3 e 4, dado por Y/U = Y/U h = 5 8' 5 8' +5 0 (1 ) O valor inferior da profundidade da LN depende do cobrimento relativo, e pode dar-se no domínio 2 ou 3. Por exemplo, para o domínio 2, impõe-se a condição de escoamento da armadura comprimida, a saber, da qual se obtém ±!#, ou seja: 5 ( =10 = = = = h 2²10 5 0³ = ',±!# (5.1) Impondo em seguida que este valor não ultrapasse o da divisa dos domínios 2 e 3, resulta a condição do cobrimento para que o início da faixa se dê no domínio 2, i.e., ',±!# = ²10 5 0³ '/Y = 5 8' (1 ) ' Isolando desta inequação obtém-se a condição do cobrimento relativo

21 = = h 5 8' ' 5 0 (5.2) De modo análogo resulta o valor mínimo da LN para que a condição de força normal nula na seção metálica ocorra no domínio 3: 5 8' Y,±!# = 5 8' 5 0 (5.3) E a faixa do cobrimento correspondente é: 5 8' ' 5 0 = = h 5 8' ' (5.4) Com isto, dimensiona-se facilmente a armadura, pois a força normal solicitante nessa faixa é resistida integralmente pelo concreto, ou seja, Ÿ =Ÿ =k. O intervalo da força normal em que ocorre o escoamento simultâneo das duas armaduras, uma em tração, outra em compressão, está dado na Tabela 5.1. Se a força normal solicitante de cálculo Ÿ estiver no intervalo [Ÿ,±!#,' ;Ÿ,±$,Y/U ] ou [Ÿ,±!#,Y ;Ÿ,±$,Y/U ], cf. seja o intervalo do cobrimento relativo, a armadura é calculada considerando-se que Ÿ =Ÿ =k e ª ( ª ' =2. Logo, da Equação (4.9), nela inserindo as parcelas do concreto e da armadura resulta a taxa mecânica da armadura da equação como segue. = Ÿ 2 1 Ÿ h ž+(,4"4+ÿ )(0,5 ) E com Ÿ =Ÿ e Ÿ =0, obtém-se:,4"4 = 0,5Ÿ \1 Ÿ h _ 0,5 (5.5)

22 A profundidade da LN é, evidentemente, igual a =. Ver as Tabelas 5.1 e 5.2 que contêm os œ parâmetros necessários para a solução de (5.5). Intervalo do cobrimento == /h Tabela 5.1: Intervalo da força normal onde α +α 1 2 = 0 Intervalo da força Intervalo da LN normal Ÿ Ÿ ±!#,±!# =,±$ ±$ = 5 8' ' ' ' ' ' ',±!# = ²10 5 0³ Y,±!# = 5 8' 5 8'+5 0 Y/U = 5 8'(1 ) 5 8'+5 0 k ',±!# k Y,±!# k Y/U Tabela 5.2: Parâmetros para cálculo do intervalo do cobrimento, cf. Tabela 4, CA-50. =20 F 90RF. (RF) 5 8' h k Início no Domínio 2 Início no Domínio ,5 1,000 0,800 0,096 0,096 0, ,125 0,975 0,788 0,074 0,074 0, ,884 0,950 0,775 0,059 0,059 0, ,656 0,900 0,750 0,044 0,044 0, ,604 0,850 0,725 0,041 0,041 0, ,6 0,800 0,700 0,040 0,040 0,102 Exemplo 5.1: Dada a seção retangular de dimensões ;h;= =300;1000;50@@ e resistências. = 30RF e. 0 =500RF (aço CA-50), pede-se obter a área de armadura por face, sujeita aos esforços solicitantes de cálculo =2100e e =2000e@, ambos atuantes no plano paralelo ao maior lado. Solução: (a) Cálculo dos esforços solicitantes adimensionais, com 0,85. =0,85 YS (,U =18,214RF: Ÿ = 0,85. h = Y 18, =0,38 = ,85. h ' = 18, ' =0,366

23 (b) Cálculo do intervalo do cobrimento No caso tem-se = = OS =0,05, valor inferior a 0,096, 1a. linha Tabela 5.2, o que significa (SSS que a força normal mínima está no domínio 2 (a máxima está sempre na divisa dos domínios 3 e 4, pois entrando no domínio 4 não há mais escoamento da armadura inferior). (c) Cálculo do intervalo da força normal em que é nula a força resistente na seção metálica Ÿ,±!# =k ',±!# =k ²10 5 0³ Ÿ,±$ =k Y/U =k 5 8'(1 ) 5 8'+5 0 =0,8 (10 2,07) 0,05+2,07 12,07 =0,8 3,5 (1 0,05) 3,5+2,07 =0,163 =0,8 0,597=0,478 Logo, a força normal solicitante Ÿ =0,38 está no intervalo (0,163;0,478), e há portanto escoamento das duas camadas de armadura, uma em compressão, outra em tração. (d) Cálculo da armadura Da Equação (5.5) resulta:,4"4 = 0,5Ÿ \1 Ÿ h _ 0,5 = 0,366 0,5 0,38 \1 0,38 1 _ =0,552 0,5 0,05 Notando que esta taxa mecânica se refere à armadura total, cf. sua definição, resulta 0,552 = 2l ,214 Donde a área total 2l =6934@@ ' e, portanto, l =3467@@ ' 7 25 por face menor, pois a flexão se dá no plano paralelo ao lado de dimensão h. A taxa geométrica total é,4"4 = YU YSS (SSS =0,023=2,3% Este valor verifica os extremos exigidos em pilares pela NBR 6118: 2014, item , que são:

24 ,4"4,±!# = l,4"4,±!# l =0,4% º 0,15( /. 0 ) ½ Y 0,15 =max l = =0,241% ¹ ¼ 0,4%» 0,4% 4%,4"4,±$ =¾ 8% Na taxa máxima está incluída a justaposição das barras de armadura nas regiões de emendas. Se não houver emendas por traspasse, pode-se atingir o valor máximo 8%. Ver na Figura 5.1 a curva resistente e o ponto solicitante, praticamente sobre a curva. Figura 5.1: Solução cf. Programa Normal 1.3, cf. Marino et al (2001) Exemplo 5.2: Dada a seção retangular de dimensões ;h;= =200;400;40@@ e resistências. = 40RF e. 0 =500RF (aço CA-50), pede-se obter a área de armadura por face, sujeita aos esforços solicitantes de cálculo =667e e =178e@, ambos atuantes no plano paralelo ao maior lado. Igualmente, verificar se a taxa geométrica da armadura atende os limites exigidos em pilares pela NBR 6118: 2014.

25 (a) Cálculo dos esforços solicitantes adimensionais, com 0,85. =0,85 US (,U =24,286RF: Ÿ = 0,85. h = Y 24, =0,343 = ,85. h ' = 24, ' =0,229 (b) Cálculo do intervalo do cobrimento. Ver a primeira linha (. =40RF) da Tabela 5.2 para os parâmetros a usar a seguir. No caso tem-se = = US USS =0,10. Conforme a Tabela 5.1 e a primeira linha da Tabela 5.2, este cobrimento está no intervalo: 5 8' 5 0 =0,096 =0,10 5 8' 5 0 =0, ' ' Isto quer dizer que a faixa em que se dá a soma nula das forças nas armaduras está totalmente no domínio 3. (c) Cálculo do intervalo da força normal em que é nula a força resistente na seção metálica, com k= 0,8 da Tabela ' Ÿ,±!# =k Y,±!# =k 5 8'+5 0 =0,8 3,5 0,10 3,5+2,07 =0,050 Ÿ,±$ =k Y/U =k 5 8'(1 ) 5 8'+5 0 =0,8 3,5 (1 0,10) 3,5+2,07 =0,452 Logo, a força normal solicitante Ÿ =0,343 está no intervalo (0,050;0,452) e é nula a força normal na seção metálica.

26 (d) Cálculo da armadura Da Equação (5.5) obtém-se, com h =1 (Tabela 5.2):,4"4 = 0,5Ÿ \1 Ÿ h _ 0,5 = 0,229 0,5 0,343 \1 0,343 1 _ =0,291 0,5 0,10 Notando que esta taxa mecânica se refere à armadura total, cf. sua definição, resulta 0,291 = 2l , Donde a área total 2l =1299@@ ', e portanto l =649@@ ' 2 20 por face menor, pois a flexão se dá no plano paralelo ao lado de dimensão h. A taxa geométrica total é,4"4 = (' 'SS USS =1,62% Este valor verifica os valores extremos exigidos em pilares pela NBR 6118: 2014, item , que são:,4"4,±!# = l,4"4,±!# l º 0,15( /. 0 ) ½ Y 0,15 l =max = =0,29% =0,4% ¹ ¼ 0,4%» 0,4% 4%,4"4,±$ =¾ 8% Ver a Figura 5.2. Embora não considerada nessa figura, a seção terá mais armadura nas duas faces maiores, independentemente de cálculo, que pode ser escolhida igual a 2 12,5 por face maior, equidistantes 10J@ das camadas das faces menores. Como resultado, tem-se o ponto solicitante dentro da curva resistente.

27 Figura 5.2: Solução cf. Programa Normal 1.3, cf. Marino et al (2001) 6. Dimensionamento nos casos em que só uma das armaduras está em escoamento. Seção retangular, armadura simétrica aço CA-50 No que segue admite-se cobrimento = À ]Á N ^o]á ']Á N ^, o que garante a existência da faixa da força normal em que se forma um binário na seção metálica. As forças normais dos extremos dessa faixa no plano (Ÿ ) são retas verticais, do tipo Ÿ =JBA, pois independem da taxa de armadura. Fora dessa faixa o dimensionamento fica facilitado se no plano dos esforços resistentes forem traçadas retas que separam os domínios 1 e 2, os domínios 2 e 3 (apenas se a faixa iniciar-se no domínio 3), e as retas entre os domínios 4 e 5. Isto porque, ao posicionar no plano (Ÿ, ) o ponto correspondente aos esforços solicitantes dados, é possível determinar o intervalo da LN, bem como seu valor. Com isto, obtém-se a taxa da armadura iterativamente. Note-se que fora faixa de formação do binário na seção metálica, à direita só a armadura comprimida está em escoamento, e à esquerda só a armadura tracionada está em escoamento. O exemplo a seguir mostra uma aplicação do que foi dito. Exemplo 6.1: Dimensionar a armadura de um pilar de seção quadrada, dados ;h;= = 400;400;60@@,. =50RF, 5 8' =3,5; h =1; k =0,8, aço CA-50, 5 0 =2,07, e = 4000e, =388,57e@. Solução:

28 (a) Verificação do cobrimento: = S USS =0,15 ]Á N ^o]á = Y,Oo',SÂ =0,204 para. ']Á N ^ Â 50RF, há a faixa em que Ÿ =0. (b) LN e força normal na divisa 3/4: Y/U = ]Á N ^((oã À ) ]Á N ^Ä]Á = Y,O S,TO Y,OÄ',SÂ =0,534, Ÿ,±$ =k Y/U =0,8 0,534=0,427, equação da reta vertical no plano (Ÿ ). (c) Esforços solicitantes adimensionais, com 0,85. =0,85 OS (,U =30,357RF: Ÿ = Å S,TO N = USSS (SÆ YS,YOÂ USS USS =0,824>Ÿ,±$ =0,427, domínio 4 ou 5, a determinar qual. = 388, ,85. h ' = 30, ' =0,200 (d) Reta de separação dos domínios 4 e 4a: Atendida a condição do cobrimento, =0,15 0,204, a armadura comprimida está em escoamento, e como na divisa 4/4a é nula a deformação na camada inferior, tem-se ª ( =1,ª ' =0. Além disso, a LN dessa divisa é = =1 =1 0,15=0,85, donde a altura relativa do bloco de tensões Ÿ =k =0,8 0,85=0,68. O momento da seção de concreto é, com h =1, igual a = S, T ' (1 0,68)=0,109. Nas Equações de equilíbrio, tira-se,4"4 da primeira e insere-se o resultado na segunda, ou seja, obtendo-se a reta da divisa 4/4a: Ÿ =0,68+,4"4 ( (ÄS ' ) ou,4"4 =2(Ÿ 0,68) =0,109+,4" ž (0,5 0,15)=0,109+2(Ÿ 0,68) 0,35 2 = 0,129+0,35Ÿ Para a dada força normal solicitante Ÿ =0,824 resulta nessa reta momento resistente abaixo do solicitante: = 0,129+0,35 0,824=0,159<0,20

29 Logo, a LN deve ser procurada no domínio 4, no intervalo ( Y/U ;=) ou ( Y/U ; )=(0,534;0,85). As equações de equilíbrio se escrevem, observando que Ÿ =hk =0,8 ; =0,4 (1 0,8 ); ª ( =1; ª ' = ] ^ ] = ] N ^ \ Ço(ÄÃÀ _= Y,O ] Ç ',SÂ (ÇoS,TO Ç ): Ÿ =Ÿ +,4"4 (ª 2 ( +ª ' ) Substitui-se,4"4 /2 desta equação na de momento: = Ÿ 2 (1 Ÿ )+,4"4 2 (ª ( ª ' )(0,5 )= Ÿ 2 (1 Ÿ )+(Ÿ Ÿ )( ª ( ª ' ª ( +ª ' )(0,5 ) Numericamente, resulta uma equação em a ser resolvida iterativamente: 1 3,5 2,07 ( 0,85 ) 0,200=0,4 (1 0,8 )+(0,824 0,8 ) 1+ 3,5 0,35 2,07 ( 0,85 ) A raiz desta equação é =0,7938. Com este valor obtém-se todas as demais grandezas envolvidas, a saber, Ÿ =0,8 =0,635; =0,4 (1 0,8 )=0,116; ª ( =1; ª ' = 3,5 2,07 0,85 ž= 0,1197 A taxa mecânica total e a área da armadura total valem:,4"4 =2(Ÿ Ÿ )/(ª ( +ª ' )=2(0,824 0,635)/(1 0,1197)=0,4294 2l =0,4294 YS,YOÂ USS USS UYO =4795@@ ' ou l =2397@@ ' /face 8 20/.FJA Com quatro barras 20 por canto da seção, obtém-se um arranjo duplamente simétrico da armadura, para a presente seção quadrada. Assim, não há risco de inversão de posição das barras de armadura de uma face a outra. No caso, foram adotadas distâncias em relação à face da seção iguais a 4 A 8J@ para

30 a 1ª. e 2ª.camadas, respectivamente. Note-se que a taxa geométrica total é igual a 3,14% e atende os limites da NBR 6118: Confere-se o resultado: Ÿ =0,824=0,635+ 0,4294 (1 0,1197)=0,635+0,189=0,824 2 =0,200=0,116+ 0,4294 [1 ( 0,1197)`(0,5 0,15)=0,116+0,084=0,200 2 Ver na Figura 6.1, a plotagem do ponto correspondente às solicitações e da curva resistente, mostrando que a solução está segura. Note-se a convenção desta figura (força normal de compressão é negativa), e as medidas são dadas em cm. Por último, enfatiza-se que a solução através do bloco de tensões uniformes difere daquela em que se adota a parábola-retângulo para o concreto, principalmente nos domínios 4 e 5 e para resistências altas do concreto (Grupo 2). Figura 6.1: Solução cf. Programa Normal 1.3, cf. Marino et al (2001)

31 7. Flexão composta oblíqua. Seção retangular A flexão composta oblíqua ocorre se a interseção ente o plano das cargas e o da seção transversal não coincidir com um dos seus dois eixos principais de inércia, como se mostra na Figura 7.1. Figura 7.1 O dimensionamento no ELU tem agora três incógnitas, representadas pela área da armadura, pela profundidade x e pela direção da LN, dada pelo ângulo β. Por outro lado, tem-se três equações de equilíbrio, a saber: N d M M = n σ cd dac + A 1 c A si σ sdi (7.1) n d, x = Nd ey = σ cdydac + AsiYsiσ sdi (7.2) A 1 c n d, y = N d ex = σ cd XdAc + Asi X siσ sdi (7.3) A 1 c As hipóteses de cálculo são as mesmas dadas para a flexão composta normal, inclusive as deformações limites dos domínios de deformação, observando-se que a profundidade da LN e a altura da seção são medidas perpendicularmente à LN. Dependem, pois, do ângulo β. A maior dificuldade em resolver o problema de dimensionamento reside na solução iterativa do sistema de equações não lineares (7.1) a (7.3) e, em menor grau, no cálculo das integrais. Em um programa eletrônico, as integrais referentes ao concreto são transformadas em somatórios, substituindo o contínuo pelo discreto, por meio de pequenas áreas com posição do CG determinada.

32 Na seção retangular, os pequenos elementos retangulares têm área h h 0 resultantes da divisão das alturas h e h 0 por um número inteiro suficientemente grande d. As armaduras, em área e posição, já são dadas de forma discreta, barra por barra. Na flexão composta oblíqua, a resistência da seção pode ser visualizada por diagramas de interação dos dois momentos atuantes nos planos principais, e construídos tendo a força normal (relativa) como Å parâmetro (Ÿ = =0;0,2;0,4 no caso de pilares), para um dado tipo de aço, um S,TO N É arranjo previamente escolhido da armadura, e o número d de barras que a compõem. O aspecto do diagrama está mostrado na Figura 7.2, e sua curva é sempre convexa (excluídos os efeitos de segunda ordem e instabilidade, pois se trata de seção e não de um lance de pilar). Quer dizer, escolhidos dois pontos quaisquer dessa curva, o segmento de reta que os une situa-se entre ela e a origem. Sua equação é dada por: ( ) Ë +( 0 00 ) Ë =1 (7.4) Nesta equação as grandezas que aí aparecem são definidas como segue. Figura 7.2 e 0 são as componentes do momento solicitante de cálculo (i.e., originados pelas ações) segundo os eixos ÌÍ e ÌÎ, respectivamente, atuantes simultaneamente com a força normal de cálculo. Estes momentos devem ser, no máximo, iguais aos momentos resistentes de cálculo (originados na seção com leis constitutivas de cálculo dos materiais). A solução é segura se, para um dado arranjo e quantia de armadura, os momentos resistentes (considerada a mesma força normal ) superarem os solicitantes. A solução é segura e econômica se, para esta mesma força normal, os momentos resistentes forem iguais aos momentos solicitantes.

33 e 00 são os momentos resistentes de cálculo que seriam obtidos se cada qual atuasse sozinho com a força normal, na flexão composta normal correspondente, mantidos todos os demais parâmetros. ª é um coeficiente dependente da força normal, da forma da seção, do arranjo e da percentagem da armadura. Para ª =1, a curva da Figura 7.2 se transforma na reta que une os dois pontos correspondentes à flexão composta normal de cada direção. Usar esta reta no dimensionamento está a favor da segurança para qualquer seção, pois a curva de interação (ou superfície de plastificação, yielding surface) é convexa. Para a seção retangular pode-se adotar ª =1,2, cf. o item da NBR 6118: O dimensionamento da seção em flexão composta oblíqua com o auxílio de duas flexões compostas normais deve respeitar o arranjo da armadura, tendo em vista que na flexão oblíqua as tensões nas barras de armadura de uma mesma camada são, em geral, diferentes. No caso de seção retangular, em correspondência à força normal solicitante adimensionalizada, Ÿ = Å, a equação (7.4) também pode ser adimensionalizada pela divisão do numerador e S,TO N É denominador da primeira fração por 0,85. h h 0 ', e da segunda fração por 0,85. h ' h 0, donde, com ª =1,2: ( ) (,' +( 0 ) (,' =1 (7.5) 00 Note-se que, cf. a Figura 7.1, o momento atua no plano paralelo ao lado de altura h 0, e o momento 0 atua no plano paralelo ao lado de altura h. Na Equação (7.5), os momentos solicitantes adimensionais e 0 são dados, e são incógnitos os momentos resistidos pela seção, e 00, em cada flexão composta normal com a mesma força normal solicitante. A Equação (7.5) permite obter 00 se for estabelecido, e vice-versa. A determinação da armadura das duas flexões compostas normais só pode ser feita se for escolhido previamente um arranjo de armadura. Por exemplo, pode-se adotar armaduras iguais em cada face, o que pode ser conseguido pela distribuição das barras da armadura ao longo de cada face, ou concentrando-as nos cantos. Ou impõe-se armadura maior nas faces ortogonais ao plano de maior momento adimensional, etc. Esta escolha é arbitrária, desde que a Equação (7.5) seja atendida, ou o ponto resistente esteja no interior da zona delimitada pela curva de interação e os eixos da Figura 7.2. A seção retangular é dimensionada para o maior dos momentos relativos da flexão composta normal, e como é dado o arranjo das armaduras e obtida a respectiva taxa mecânica, seria necessário verificar a flexão composta normal de menor momento relativo. No caso de seção retangular com armaduras iguais nas quatro faces (ou nos quatro cantos), basta dimensionar a taxa da armadura para o maior momento adimensional da flexão composta normal, pois a outra exigiria taxa mecânica menor. O exemplo a seguir mostra uma aplicação desta equação. Exemplo 7.1: Dimensionar a armadura da seção retangular da Figura 7.3, suposta concentrada nos cantos. São dados: =3497,1e; A 0 =200@@; A =160@@,. =20RF,0,85. = 12,14RF,h =h 0 =60@@, aço CA-50. Solução: 1º. Passo: Cálculo dos esforços adimensionais, com =699,42e@ e 0 =559,54e@

34 = Ÿ = 0,85. h h 0 = 3497,1 10Y 12, =0,6 0,85. h h 0 ' =( 0,85. h h 0 ) A 0 h 0 =Ÿ A 0 h 0 =0, =0,15 0 = 0 0,85. h ' h 0 =Ÿ A h =0, =0,16 2º. Passo: Determinação dos momentos fletores da flexão composta normal Note-se que a aproximação feita no cálculo, pondo-se segurança, pois na realidade h y = 0,075hy = 60 mm. h y = 0,1h y = 80 mm, está do lado da Se o expoente da curva da Figura 7.2 fosse ª =1 o dimensionamento mais econômico seria dado pela escolha da relação entre os momentos adimensionais das duas flexões normais igual à relação entre as excentricidades relativas da flexão oblíqua. Ver Fusco, P. B., No caso, esta fração é: ÉÉ = ( ) ( É É ) = (^ÏÏ ÐÏÏ ) ( ÑÒÏ ÒÏÏ )= S,'O S,' Â =0,9375 ou =0, Escolhendo o maior deles como incógnita, que é 00, de (7.5) resulta: 0,15 ( ) (,' +( 0,16 ) (,' =1 0, ( 0,15 0,9375 )(,' +0,16 (,' (,' = 00 Portanto 00 =2 (/(,' 0,16=0,2854 =0,9375 0,285=0,2676 Se fosse escolhido = 00, resultaria para ambos um valor intermediário, 0,2762. No caso, escolhem-se armaduras iguais nos quatro cantos da seção como se vê na Figura 7.3, e a armadura é determinada para o maior momento relativo, no exemplo, 00 =0,285, pois então a flexão no outro plano principal, onde se tem =0,268, exigirá taxa de armadura menor, para a mesma força normal.

35 Figura 7.3 3º. Passo: Determinação da área da armadura. Figura 7.4: Diagrama de interação, bloco de tensões uniformes, Concreto Grupo 1 (. 50RF)

36 No diagrama de interação da Fig. 7.4, para o qual se tem =0,10, entra-se com o par (Ÿ ; )= (0,6;0,285) e obtém-se a taxa mecânica da armadura por face 0,25. Logo, a área da armadura para os dois cantos da mesma face vale: l = h h 0 0, =0, , =3350@@' Adotam-se em cada canto da seção 3 25 e mais 2 16 em cada face maior como porta-estribos. Também se adicionam outros 2 16 em cada face menor. Sendo a área de uma barra 25 igual a 500@@ ', e a da barra 16 igual a 200@@ ', a taxa geométrica total vale:,4"4 = =1,58% Este valor deve ser inferior ao limite de 4 %, em caso de emenda por transpasse, condição atendida com folga no exemplo. Ver na Figura 7.5 a curva de interação de momentos fletores para a dada força normal, e o ponto dos momentos solicitantes com apenas nos cantos. Notar que a solução encontrada é segura e próxima da curva de interação. Sugere-se ao leitor reprocessar o programa Oblíqua 1.0, incluindo duas barras 16 por face. Figura 7.5: Resultados do programa Oblíqua 1.1, cf. cf. Marino et al (2001) 4º. Passo: Detalhamento da armadura na seção transversal. As indicações dadas a seguir do detalhamento na seção transversal da armadura de pilares encontramse no item 18 da NBR 6118: 2014.

37 O diâmetro da armadura longitudinal deve respeitar as seguintes condições (item ): e não deve ser inferior a 10@@. % ²h,h 0 ³ 8 = =75@@ O espaçamento máximo entre eixos das barras longitudinais deve obedecer às condições: K ±$ Ó 2 min²h,h 0 ³=1200@@ Ô 400@@ para que fique caracterizada uma seção de pilar de concreto armado. Isto influi na disposição dos estribos. O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve respeitar as seguintes condições (item ), adotando-se Brita $ÕÕ$" =25@@: A 2Ö 20@@ % =25 =30@@ $ÕÕ$" =1,2 25=30@@ Os cobrimentos nominais das barras mais externas (estribos, no exemplo) dependem da classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 na NBR 6118: 2014) e estão indicados na Tabela 7.2 dessa mesma norma. Para Classe I (agressividade fraca), pode-se adotar para vigas e pilares o cobrimento nominal igual a J =J #"± =25@@. Os estribos devem ter diâmetro e espaçamento escolhidos conforme o item da NBR 6118: 5@@ 4 2¾ % 4 =6,3@@ =6,3@@ O espaçamento longitudinal dos estribos deve também respeitar os seguintes limites, por razões construtivas, para evitar flambagem das barras longitudinais comprimidas e para resistir à força cortante do pilar: K K ±$ =Ö 200@@ min²h,h 0 ³ =200@@ 12 % =12 25=300@@ yl 50 No exemplo, adotam-se estribos duplos, i. e., 2t 6,3 J/20J@, cf. mostra a Figura 7.6.

38 Figura 7.6 As distâncias do CG da armadura à borda da seção, h =h 0, cf. a mesma figura, são iguais a: h =h 0 = 43,8 2+98,8 1 3 valor que é praticamente coincidente com o previsto. 62@@ Além da armadura calculada, adotam-se nas faces maiores para comporem os cantos dos estribos indicados. 8 Bibliografia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de estruturas de concreto - Procedimento: NBR6118: Rio de Janeiro, COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code London: Thomas Telford, EUROCODE 2: Projecto de estruturas de betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para edifícios. Versão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez

39 BUCHAIM, R. A influência da não-linearidade física do concreto armado na rigidez à flexão e na capacidade de rotação plástica. Tese (Doutorado) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, ( BUCHAIM, R. Concreto Estrutural: Fundamentos e Projeto. Flexão simples e composta normal, Pilares esbeltos, C20 a C90. Editora da Universidade Estadual de Londrina (EDUEL), ISBN Londrina, Pr. FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Solicitações normais. Estados limites últimos. Teoria e aplicações. Rio de Janeiro. Guanabara 2, ISBN HEYMAN, J. Plastic design of steel frames. 2. Applications. Cambridge University, MODESTO DOS SANTOS, L. Cálculo de Concreto Armado, segundo a NB-1/78 e o CEB. Volume 2. Editora LMS Ltda, São Paulo, MENDES NETO, F. Sobre a Flexão Normal Composta Seção Retangular. III Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto. EPUSP, dez São Paulo, SP. MARINO, M. A.; SCHEER, S.; DE OLIVEIRA, M. F. F.; ZANDONÁ, C. A. W. Programa de Solicitações Normais em Concreto Armado. Normal 1.3: Flexão Composta Normal. Oblíqua 1.0: Flexão Composta Oblíqua (qualquer seção). Universidade Federal do Paraná, UFPR. 05/2001. ( MacGREGOR, J. Reinforced Concrete Mechanics and Design. Third Edition. Prentice Hall, New Jersey, 1997.