Dimensionamento de Pilares
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- Antônio Morais Beretta
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1 Dimensionamento de Pilares N Pilares são elementos predominantemente comprimidos (N). Sua função primeira é conduzir as cargas gravitacionais aos elementos de fundação Em geral, são solicitados também por momentos fletores (M) e forças cortantes (V). N
2 Dimensionamento de Pilares Normalmente, a análise de N e M são suficientes para determinar as condições de segurança de um pilar N N
3 Dimensionamento de Pilares Pilares de concreto simples (sem armadura de aço) seção retangular Nd Md e = M/N (excentricidade em relação ao CG da seção) Nd e A A b h Corte AA 0,8.xLN 0,85.fcd Rccd = b.0,8.xln.0,85.fcd
4 e Nd h/2 h/2 Por equilíbrio de normais e momentos: 0,8.xLN 0,85.fcd Rccd = b.0,8.xln.0,85.fcd 1) Nd=Rccd = (0,68.b.fcd). xln e 0,4.xLN Md=Rccd. e com e= h/2-0,4.xln Portanto, 2) Md = (0,68.b.fcd). xln. (h/2-0,4.xln ) - funcão do 2º grau em xln A solução é determinar xln de 1) e substituir este valor em 2) obtendo-se Md,res
5 Se estabelecermos estas relações entre Nd e Md,res, obteremos um diagrama semelhante ao abaixo representado: Md A = Flexão simples B B = Flexo-Compressão com momento máximo resistente C = Compressão centrada A C Nd
6 Conclusões do diagrama representado na figura 1) A flexão simples (A) é uma situação de resistência impossível, para peças de concreto simples. 2) Uma peça de concreto simples pode resistir a momentos fletores desde que haja normal de compressão atuando, ou seja, a Flexo-compressão é possível. 3) Existe um Momento Fletor máximo resistente possível associado a uma determinada Normal de Compressão (B), que caracteriza o máximo momento aplicável à seção. Esta situação está associada a uma norma que é a metade da força norma máxima aplicável à seção. 4) Quando a Normal Máxima de compressão é aplicada à seção, não é possível resistir a qualquer momento fletor (C)
7 De forma a sintetizar estas conclusões e entendendo que estas podem ser aplicáveis a quaisquer combinações de dimensões e resistências do concreto, escrevemos: N d b. h. fcd Normal reduzida (pronuncia-se ni) b. h M d 2. fcd Momento fletor reduzido (pronuncia-se mi) Vamos agora substituir estes termos em 1) e 2), rescrevendo as equações:
8 h x fcd b h x fcd b LN LN 68 0,.... 0,68. fcd b h x h x fcd b LN LN.. 0, ,68. 2 h x h x LN LN 4 0, 2 1 0,68 1,
9 0,10625 B Nd 0, 68 b. h. fcd x h LN A 0,425 C 0,85 M d b. h 2. fcd ,7 Válidos para qualquer Relação b, h e fcd
10 Exemplo 1 20 b = 20cm h = 50 cm fck = 30MPa Nk = 976 kn 50 Qual o momento resistente? N d b. h. fcd b. h M d 2. fcd 9761, ,2.0,5. 1, ,7 0,638 0, ,08 B 0, ,7 0,638 0,08 A 0,425 0,638 C 0,85
11 Com = 0,08, podemos obter o momento resistente atraves da expressão: b. h M d 2. fcd 0,08 Portanto fcd , ,5 kn 2 m M d 0,2.0, ,5 0,08 Md 85, 714 knm 85,714 M k 61, 22 knm 1,4
12 Exemplo 2 Para o diagrama abaixo, determinar a profundidade relativa da linha neutra para os pontos A, B, C e D B 0, ,08 D Ponto A : =0 x LN /h = 0 Ponto B : =0,425 x LN /h = 0,425/0,68 = 0,625 A 0,425 0,638 C 0,85 Ponto C: =0,85 x LN /h >= 0,85/0,68 = 1,25 ( a linha neutra tende a infinito ) Ponto D : =0,638 x LN /h = 0,638/0,68 = 0,938
13 Dimensionamento de Pilares Pilares de concreto armado (com armadura de aço) seção retangular Nd Md e = M/N (excentricidade em relação ao CG da seção) N d e A A Aço encurtado As/2 As/2 b Aço alongado e cc h Corte AA e c1 0,8.x LN 0,85.f cd R ccd x LN
14 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: Ponto B : o =0,425 x LN /h = 0,425/0,68 = 0,625 o =0,10625 x A2 x A1 Aço encurtado (A1) NBR-6118 define, para x LN /h = 0,625: e cc = 0,35% e c1 = 0,35%.(1 h/x LN ) Aço alongado (A2) e c1 x LN e cc Encurtamento foi adotado como positivo h e s,a1 = 0,35%. (x LN x A1 )/ x LN F sd,a1 =A s1.s sd,a1 f yd s sd e s,a2 = 0,35%. (x LN x A2 )/x LN F sd,a2 =A s2.s sd,a2 e s e yd
15 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: (cont) Ponto B : o =0,425 x LN /h = 0,625 o =0,10625 Assumindo, x A1 =0,1h, x A2 =0,9h e aço CA-50 : e yd =0,207%, f yd =43,5 kn/cm² e A s1 =A s2 =A s /2 e s,a1 = 0,35%. (0,625-0,1)/0,625 =0,294% e s,a2 = 0,35%. (0,625-0,9)/0,625 = -0,154% Encurtamento foi adotado como positivo F sd,a1 =0,5.A s.f yd = 21,75.A s s sd =43,5.0,154/0,207 = 32,362 kn/cm² f yd =43,5 s sd 0,154% 0,294% e yd =0,207% e s F sd,a2 =A s2.s sd,a2 =0,5.A s.32,352 = 16,181.A s
16 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: (cont) Ponto B : o =0,425 x LN /h = 0,625 o =0,10625 Msd Nsd Esforços resistentes acrescentados pelo aço: x A2 =0,9h x A1 =0,1h Aço encurtado (A1) Nsd = (21,75-16,181).As = 5,569.As kn As em cm² Aço alongado (A2) e c1 x LN e cc 21,75.A Msd = 15,172.h.As KNm h N M d,res d,res 0,425 bhf cd 0,10625 bh 2 5,569 A f cd s 15,172 h A s 16,181.A s
17 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: Ponto C : o =0,85 o =0,0 x LN /h = infinito x A2 x A1 Aço encurtado (A1) NBR-6118 define, para x LN /h = INF e cc = 0,20% e c1 = 0,20%) Aço encurtado (A2) INF e c1 x LN e cc Encurtamento foi adotado como positivo h e s,a1 = 0,20% F sd,a1 =A s1.s sd,a1 f yd s sd e s,a2 = 0,20% F sd,a2 =A s2.s sd,a2 e s e yd
18 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: (cont) Ponto C : o =0,85 o =0,0 x LN /h = infinito Assumindo, x A1 =0,1h, x A2 =0,9h e aço CA-50 : e yd =0,207%, f yd =43,5 kn/cm² e A s1 =A s2 =A s /2 e s,a1 = e s,a2 = 0,20% Encurtamento foi adotado como positivo f yd =43,5 s sd s sd =43,5.0,20/0,207 = 42,0 kn/cm² 0,20% e yd =0,207% e s F sd,a1 =F sd,a2 = 0,5.A s.42,0 = 21.A s
19 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: (cont) Ponto C : o =0,85 o =0,0 Msd x LN /h = infinito Nsd Esforços resistentes acrescentados pelo aço: x A2 =0,9h x A1 =0,1h Aço encurtado (A1) Nsd = (2.21).As = 42.As kn Msd = 0 KNm As em cm² Aço alongado (A2) e c1 21.A s x LN h e cc 21. A s N M d,res d,res 0,85bhf 0 cd 42 A s
20 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: Ponto D : o =0,638 x LN /h = 0,938 o =0,08 x A1 Aço encurtado (A1) NBR-6118 define, para x LN /h = 0,938: e cc = 0,35% e c1 = 0,35%.(1 h/x LN ) Aço alongado (A2) e c1 x LN e cc Encurtamento foi adotado como positivo h e s,a1 = 0,35%. (x LN x A1 )/ x LN F sd,a1 =A s1.s sd,a1 f yd s sd e s,a2 = 0,35%. (x LN x A2 )/x LN F sd,a2 =A s2.s sd,a2 e s e yd
21 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: (cont) Ponto D : o =0,638 x LN /h = 0,938 o =0,08 Assumindo, x A1 =0,1h, x A2 =0,9h e aço CA-50 : e yd =0,207%, f yd =43,5 kn/cm² e A s1 =A s2 =A s /2 e s,a1 = 0,35%. (0,938-0,1)/0,938 =0,313% e s,a2 = 0,35%. (0,938-0,9)/0,938 = 0,014% Encurtamento foi adotado como positivo F sd,a1 =0,5.A s.f yd = 21,75.A s s sd =43,5.0,014/0,207 = 2,98 kn/cm² f yd =43,5 s sd 0,154% 0,294% e yd =0,207% e s F sd,a2 =A s2.s sd,a2 =0,5.A s.2,98 = 1,49.A s
22 Efeito do aço nos diversos casos do exemplo 2: (cont) Ponto D : o =0,638 x LN /h = 0,938 o =0,08 Nsd Msd Esforços resistentes acrescentados pelo aço: x A2 =0,9h x A1 =0,1h Aço encurtado (A1) Nsd = (21,75+1,49).As = 23,24.As kn As em cm² Aço alongado (A2) e c1 x LN e cc 21,75.A Msd = 8,104.h.As KNm h N M d,res d,res 0,638 bhf 0,08 bh 2 f cd cd 23,24 A 8,104 ha s s 1,49.A s
23 Md 5,569 As 15,172.h.As 0,10625.bh².fcd 0,08.bh².fcd B 8,104.h.As D 23,24 As A 0,425.bh.fcd 0,638.bh.fcd C 0,85.bh.fcd 42 As Nd Diagrama de interação
24 Verificação da Segurança Md Região externa à hachurada é insegura Região hachurada é segura para pares Nd,Md internos B A C Nd
25 Efeito de 2ª ordem local ( flambagem ) M1 é o momento solicitante que atua no pilar Lg e1=m1d/nd efeito de 1ª ordem Com e1 >= e1,min=0,03h+0,015 m A seção transversal do pilar é definida por b e h l 3,46.Le/h c/ h e Le são tomados na direção de e1 Le=Lg Le=2Lg Sempre que 35<l<=90 o pilar é considerado esbelto e2= 2 le 10 0,005 (+0,5).h Com +0,5>=1 ν Nd b.h.fcd Momento total incluindo o efeito de 1ª e 2ª ordem Md = (e1+e2). Nd Obs.: se l<=35 (pilar curto) admitir e2=0 se l>90 aumentar seção O efeito da esbeltez ( l) é levado em consideração pelo acréscimo de uma excentricidade adicional e2
26 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Trecho em planta em torno do pilar Cargas aplicadas pelas vigas no pavimento 100kN 200kN 50kN 150kN a) SP,andar = = 500 kn b) Portanto Nk = ,2. 0,5. 3,0. 25 Nk = 507,5 kn Peso próprio SP,andar cobertura L(piso a piso)= 3,0m Nk
27 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Trecho em planta em torno do pilar Cargas aplicadas pelas vigas no pavimento 100kN c) SMomentos será assumida = 0 200kN 50kN 150kN d) Portanto Mk1 = Mk1,min e) e1,min = 0,03h + 0,015m O correto seria avaliar o desequilíbrio evidente das força aplicadas pelas vigas em relação ao CG do pilar. f) Para direção da menor dimensão (esbeltez maior) h= 20cm g) e1 = 0,03. 0,2 + 0,015 = 0,021 m (2,1 cm)
28 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Trecho em planta em torno do pilar Cargas aplicadas pelas vigas no pavimento 100kN h) M1k = 0, ,5 = 10,658 knm 200kN 50kN 150kN i) L e = Lg = 3,0 m l = 3,46. 3,0 / 0,2 = 51,9 > 35 o pilar é esbelto 507,5. 1,4 j) = 25000/1,4. 0,2. 0,5 = 0,398 ( +0,5) = 0,898 < 1, portanto, ( +0,5)=1 k) e2 = 9/10.0,005/( 1. 0,2 ) = 0,0225 m l) M2k = 0, ,5 = 11,419 knm
29 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Trecho em planta em torno do pilar Cargas aplicadas pelas vigas no pavimento 100kN m) Mtotal,k = 10, ,419 = 22,077 knm 200kN 50kN 150kN n) Introduzindo o par Nd, Md no diagrama tem-se o) Nd = 710,5 kn e Md = 30,91 knm que devem estar numa região segura do diagrama de interação.
30 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares Concreto fck=25mpa 20cm 50cm 1ª camada 2ª camada Aço CA-50-6f de 16mm = 12cm² - área total d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm y Entrada de dados na planilha desenvolvida com o conteúdo apresentado na disciplina
31 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares Concreto fck=25mpa 20cm Aço CA-50-6f de 16mm = 12cm² - área total d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Resultados no gráfico da planilha 50cm 1ª camada 2ª camada AS=12cm² AS=0 Não é necessário Armadura de aço
32 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? mm d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm p) Como a armadura de aço não é necessária aplica-se a armadura mínima 0,8%Ac q) Portanto, As = 0, = 8 cm² a dividir por 6 barras. r) 8 / 6 = 1,333 cm²/barra como o espaçamento máximo entra barras é de 30cm o número de 6 barras é mínimo aceitável e portanto, o mais correto seria adotar 4 barras de 16mm (4x2) + 2 barras de 10 mm (1,6 cm²), totalizando: 9,6 cm² 50cm 4 f 16mm 20cm 2 f 10mm
33 Exemplo 1 de dimensionamento de pilares 15cm 15cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-4f16mm + 2f10mm d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm p) Diâmetro do estribo f e Max(f max /4 ; 5mm) = Max(16/4 ; 5) = 5mm q) Espaçamento dos estribos na vertical (direção longitudinal do pilar) s v = Min(12f min ;h min ;20cm) = Min(12x1,0;20;20) = 12 cm s) Espaçamento entre barras longitudinais sem travamento horizontal (transversal) s t = 20 f e = 20x0,5 = 10 cm, portanto necessário travar os 2 f 10mm internos com uma barra de diâmetro igual ao do estribo e espaçada de s v. Ou seja, f5 c/12 50cm f e 5 c/12 c= cm f5 c/12 c= 35 20cm 4 f 16mm 2 f 10mm Cada gancho 10f
34 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares SP,andar cobertura 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm PesoPróprio PesoPróprio L(piso a piso)= SP,andar 3,0m 5º andar 3,0m SP,andar 4º andar Idem exemplo 1, anterior a) SP,andar = = 500 kn PesoPróprio 3,0m 3º andar b) Portanto Nk = ( ,2. 0,5. 3,0. 25 )x 3 Nk Nk = 1.522,5 kn Peso próprio
35 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares SP,andar cobertura 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm PesoPróprio PesoPróprio L(piso a piso)= SP,andar 3,0m 5º andar 3,0m SP,andar 4º andar Idem exemplo 1 c) SMomentos será assumida = 0 PesoPróprio 3,0m 3º andar d) Portanto Mk1 = Mk1,min e) e1,min = 0,03h + 0,015m f) Para direção da menor dimensão (esbeltez maior) h= 20cm g) e1 = 0,03. 0,2 + 0,015 = 0,021 m (2,1 cm) Nk
36 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Trecho em planta em torno do pilar Cargas aplicadas pelas vigas no pavimento 100kN h) M1k = 0, ,5 = 31,973 knm 200kN 50kN 150kN i) L e = Lg = 3,0 m l = 3,46. 3,0 / 0,2 = 51,9 > 35 o pilar é esbelto 1.522,5. 1,4 j) = 25000/1,4. 0,2. 0,5 = 1,194 ( +0,5) = 1,694 > 1, portanto, ( +0,5)=1,694 k) e2 = 9/10.0,005/( 1,694. 0,2 ) = 0,01328 m - Menor do que a do exemplo 1 l) M2k = 0, ,5 = 20,22 knm
37 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares 50cm 20cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm Trecho em planta em torno do pilar Cargas aplicadas pelas vigas no pavimento 100kN m) Mtotal,k = 31, ,22 = 52,20 knm 200kN 50kN 150kN n) Introduzindo o par Nd, Md no diagrama tem-se o) Nd = 2.131,5 kn e Md = 73,08 knm que devem estar numa região segura do diagrama de interação.
38 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares Concreto fck=25mpa 20cm 50cm 1ª camada 2ª camada Aço CA-50-6f de 16mm = 12cm² - área total d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm y Entrada de dados na planilha
39 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de 16mm = 12cm² - área total d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm 20cm 50cm 1ª camada 2ª camada Resultados no gráfico da planilha AS=45,84cm² AS=0
40 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares Concreto fck=25mpa Aço CA-50-6f de?? mm d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm p) A armadura de aço necessária é 45,84cm² q) Pelo critério prático de espaçamento nf = int(50/12)+1 = 5 por lado de 50 cm r) Com 45,84cm² / 10 barras = 4,84 cm² por barra - 8f 25mm + 2 f 20mm 50cm 8 f 25mm 8x5,0 + 2x3,15 = 46,3cm² 20cm 2 f 20mm
41 Exemplo 2 de dimensionamento de pilares 15cm 15cm Concreto fck=25mpa Aço CA-50-8f25mm + 2f20mm d = 5cm assumido para cobrimento 2,5cm p) Diâmetro do estribo f e Max(f max /4 ; 5mm) = Max(25/4 ; 5) = 6,3mm q) Espaçamento dos estribos na vertical (direção longitudinal do pilar) s v = Min(12f min ;h min ;20cm) = Min(12x2,0;20;20) = 20cm s) Espaçamento entre barras longitudinais sem travamento horizontal (transversal) s t = 20 f e = 20x0,63 = 12,6 cm, portanto necessário travar os 2 f 20mm internos com uma barra de diâmetro igual ao do estribo e espaçada de s v. Ou seja, f6,3 c/20 10,3 F e 6,3 c/20 c= 133 F6,3 c/20 c= 38 50cm 45cm 20cm 8 f 25mm 2 f 20mm Cada gancho 10f
42 Comentários sobre os exemplos 1 e 2 Notar que o efeito de 1ª ordem devido a excentricidade mínima fez com que o momento M1 triplicasse do exemplo 1 para o 2 O efeito de 2ª ordem (representado por e2) não aumentou da mesma forma que e1 devido ao efeito de (+0,5)>=1, que atuou de forma a diminuir o valor de e2. Mesmo assim, a armadura do pilar chegou a um limite acima do utilizado, em termos práticos, ou seja, As,min, pilar = 3% ( As/Ac, exemplo2 = 4,63% )
43 Comentários sobre os exemplos 1 e 2 Em projetos profissionais, o que se faz é dimensionar a seção de concreto do pilar com taxas limites máximas (4%) no andar tipo mais inferior e aumentar a seção abaixo deste andar, de forma a que se atinja um projeto econômico. Caracteriza-se este andar de aumento de seção do pilar, aquele que deixa de ser tipo ou que tenha uma mudança de piso a piso.
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