Matemática e suas tecnologias

Transcrição

1 Matemática 4 0. c a) INORRETO. O móulo e zero é igual a zero. b) INORRETO. O móulo e qualquer número negativo é o oposto o número. c) ORRETO. Os móulos e ois números opostos são iguais. ) INORRETO. O móulo e um número positivo é igual ao próprio número. e) INORRETO. 0. a fx ( + ) = x + x x= f( + ) = + f( ) = 4+ 4 f( ) = 0. fx ( + ) = x + x f( x + ) = ( x ) + ( x ) fx ( ) = x x++ x f ( x)= x Os gráficos as funções f e g são simétricos em relação ao eixo as abscissas. gx ( ) = fx ( ) 0. b Uma possível função cujo gráfico é uma parábola com vértice no ponto (0, ) é obtio por uma translação o gráfico a função fx ( )= x, uas uniaes para cima. Matemática 4 Matemática e suas tecnologias Resoluções ENEM 4 ssim: gx ( ) = fx ( ) + gx ( ) = x e Os gráficos as funções f e g são simétricos em relação ao eixo as abscissas. gx ( ) = fx ( ) 07. O móulo e um número real é não negativo. ssim, os resultaos obtios por Marcos e por ntônia são números reais positivos ou iguais a zero, poeno ser inteiros ou não. 08. c fx ( ) = 4x f( x) = 4 ( x) = 4x= fx ( ) função fx ( )= 4 x é ímpar e o gráfico é uma reta. 09. O gráfico e uma função par é simétrico em relação ao eixo as orenaas. 0. c De 98 a 007 tivemos 6 intervalos e 4 anos. O aumento o número e espécies ameaçaas e extinção foi e = 7 a caa intervalo e 4 anos. Portanto, o número e espécies ameaçaas e extinção em 0 era estimao em = b Méia para o reagente : = = 6. Méia para o reagente : = = 48, Méia para o reagente : = = 68,. Méia para o reagente 4: = = 66, Méia para o reagente : = = 66,. O pesquisaor está especialmente interessao naquele reagente que apresentar a maior quantiae os resultaos e seus experimentos acima a méia encontraa para aquele reagente: Reagente Reagente Reagente Reagente 4 Reagente Experimento 0 Experimento 6 6 > 4,8 4 Experimento 6 7 > 4,8 8 > 6,8 7 > 6,6 9 > 6,6 Experimento > 4,8 0 > 6,8 8 > 6,6 0 > 6,6 Experimento > 6 > 4,8 > 6,8 > 6,6 > 6,6 Logo, o reagente e número é que atene às expectativas o pesquisaor. Matemática e suas Tecnologias ENEM 4

2 0. a De acoro com o gráfico, a quantiae total e bactérias por ia a semana é aa por: ạ feira: = 600 ạ feira: = ạ feira: = 70 ạ feira: = 00 6 ạ feira: = 700 Sábao: = 90 Domingo: = 0 Portanto, a quantiae total e bactérias nesse ambiente e cultura foi máxima na ạ feira. 0. b Despesa salarial com os 70 funcionários o Ensino Funamental em 04:,% e = 0, = = Despesa salarial com os 80 funcionários o Ensino Méio em 04: 7% e = 0, = = Despesa salarial com os 0 funcionários o Ensino Méio em 04:,% e = 0, = = espesa com outros custos a empresa não sofrerá alteração. Logo, para que o lucro mensal em 04 seja o mesmo e 0, o aumento a receita a empresa será a iferença entre os totais pagos com salários nos ois anos, ou seja: ( ) = a Méia o caniato I: = = = 8, Méia o caniato II: 4 x+ 6 4x+ 0 = =? Méia o caniato III: = = = 9, Para o caniato II vencer a competição, a sua méia terá que ser maior que,8: 4x + 0 >,8 4x + 0 > 8 4x > 68 x > 7. 0 Logo, a menor nota que o caniato II everá obter na prova final e química, para vencer a competição, é olocano as notas os caniatos em orem crescente, tem-se a tabela: aniatos K 4 L 4 9 M 4 6 N P Meiana as notas o caniato K: = + 4 Meiana as notas o caniato L: =, + Meiana as notas o caniato M: = + 7 Meiana as notas o caniato N: = Meiana as notas o caniato P: = Logo, N será o caniato aprovao. 06. a Se o valor a moa é igual a 8, então essa é a numeração que apresenta o maior número e reclamações. Seno x e ( x), respectivamente, a porcentagem e sapatos brancos e pretos com efeito, utilizano o conceito e méia aritmética poneraa, tem-se: x 0+ ( x) = 04, x= 0, e x = 04, x+ ( x) Esse resultao inica que a maior quantiae e sapatos com efeito é a cor branca. Portanto, não serão mais encomenaos os sapatos e cor branca e os e número e Supono que a taxa e esemprego oculto o mês e ezembro e 0 tenha sio a metae a mesma taxa em junho e 0, então a taxa e esemprego oculto o mês e ezembro e 0 foi e, %. Supono que a taxa e esemprego total em ezembro e 0 seja igual a essa taxa em ezembro e 0, então a taxa e esemprego total em ezembro e 0 foi e 9%. Logo: a % +,% = 9 % a = 7, e a) quantiae total e kcal contia em sanuiche completo, porção e fritas, refrigerante iet 00 ml e porção e frutas é igual a = 7. b) quantiae total e kcal contia em sanuiche light, porção e fritas, refrigerante 00 ml e porção e frutas é igual a = 646. c) quantiae total e kcal contia em sanuiche light, porção e fritas, suco e laranja 00 ml e porção e frutas é igual a = 64. ) quantiae total e kcal contia em sanuiche e peixe, porção e fritas, suco e laranja 00 ml e porção e frutas é igual a = 709. e) quantiae total e kcal contia em sanuiche e peixe, porção e fritas, refrigerante iet 00 ml e torta e maçã é igual a = 766. Portanto, a refeição e maior valor energético, não exceeno o limite e 800 kcal, é a que se apresenta na alternativa E. 09. b taxa e oação e sangue no país é aa por: 670 9, % intensificação a campanha everia ser realizaa nas regiões em que o percentual e oaores por habitantes fosse menor ou igual ao o país. Portanto, e acoro com a tabela, a campanha everia ser intensificaa nas regiões Norte, Noreste e Sueste. 0. Observa-se que, os 8 milhões e hectares o país, 80 milhões são ocupaos pela agricultura. Dessa forma, o percentual corresponente à área utilizaa para agricultura em relação à área o território brasileiro, é ao por: , , 094 = 94, % Matemática e suas Tecnologias ENEM 4

3 ENEM 4 Matemática 4 0. b Sejam x e y, respectivamente, os números e carros roubaos as marcas X e Y. x+ y= 060, x= y x+ y= 90 x= 60 e y = 0 x= y Portanto, o número esperao e carros roubaos a marca Y é b Seja uma matriz invertível tal que =. = = Multiplicamos os ois membros pela inversa a matriz. = I n= In = In matriz é a matriz ientiae e orem n, ou seja: = soma os elementos a matriz é +++ = n. nparcelas 0. x M = 0 y t M é ortogonal M = M ssim: MM = MM I = MM t t x y = x y 0 + x xy 0 = xy y 0 y = y = ou y = + x = x= 0 Se x = 0 e y =±, então xy = 0. Portanto, M = ou M = e o menor valor possível 0 que um os elementos e M poe assumir é. 04. e João: Pacote : 740 = 80 reais Pacote : = 0 reais Pacote : 60 + = 0 reais Maria: Pacote : 4 40 = 60 reais Pacote : = 0 reais Pacote : 60 reais Portanto, tanto para João como para Maria o pacote é mais econômico. 0. b Seno i a iae a criança, temos: i i 4 = = i=+ i = i anos i i + Portanto, para o meicamento X, temos: 6 ose e criança = 60 = 60 = 0 mg b Sejam x, y e z, respectivamente, os preços o cinto, a camiseta e a calça. x+ y+ z = x+ y+ z= x+ y+ z = 8 Somano as três equações, temos: 4x+ 4y+ 4z= x+ y+ z= 8 ssim: x+ y+ z= x + ( x+ y+ z) = x+ 8 = x= Portanto, o preço e cinto é reais. 07. x + y + 0z = 00 x + y + z = 9 x z = 0 x z= 0 z= x x+ y+ z= 9 x+ y+ x= 9 y= 9 x x + y + 0z = 00 x + (9 x) + 0x = 00 x x + 0x = 00 x = 40 Matemática e suas Tecnologias ENEM 4

4 08. b Executivo: W: 00, + 40, = 00, K: 80, +, = 0, L: 80, + 0, = 0, Esposa: W: 00, + 40, = 9, 00 K: 80, +, = 7, L: 80, + 0, = 40, 0 Portanto, para ter mais economia o executivo eve pegar o táxi a empresa W e sua esposa o táxi a empresa K. 09. e Sejam g, m e t, respectivamente, os preços a gelaeira, a máquina e lavar roupas e a televisão, e Q a quantia isponível. g+ m= Q + 00 t+ m= Q g+ t= Q g+ m+ t= Q+ 700 Substituino caa uma as três primeiras equações na quarta, temos: Q t = Q t = 00 Q g = Q g = 00 Q m = Q m = 000 Determinamos a quantia isponível = Q+ 700 Q= 00 ssim: a) FLS gelaeira custa 00 reais a mais o que a máquina e lavar. b) FLS televisão custa 00 reais a mais o que a gelaeira. c) FLS televisão custa 00 reais a mais o que a máquina e lavar. ) FLS t+ g= = 800 e) VERDDEIR Q = e Sejam p, i e c, respectivamente, as quantiaes, em porções e 00 gramas, e pastel, iogurte e chocolate que caa criança eve receber. 00p+ 0i+ 600c = 0 8p+ 4i+ 4c = 66 p+ 0, i+ 06, c =, 4p++ i c = 7 4p+ i+ c = 0p+ i+ 6c = Subtraímos a primeira equação a seguna: 0p+= i 6 = i 6 0p Subtraímos a primeira equação o obro a terceira: 6p+ 9i= 7 ssim: 6p + 9 (6 0p) = 7 6p p = 7 p = 0, i = 6 0p i = 6 0 0, i= 4p ++ i c = 7 4 0,++ c = 7 c = Portanto, são uas porções (e 00 g) e chocolate, porção e iogurte e meia porção e pastel, o que corresponem a 0 gramas e pastel, 00 gramas e iogurte e 00 gramas e chocolate. 4 Matemática e suas Tecnologias ENEM 4

5 ENEM 4 Matemática 4D 0. e D G F D G F D M N G F O M D G 0. omo a paciente eve tomar copo e água a caa meia hora urante 0 horas, o número e copos e água que ela eve tomar é 0 = 0. ssim, o volume e água que a paciente vai tomar é 0 0 ml = 000 ml = L e, portanto, ela escolheu a garrafa IV, pois L =,L. 0. b área ocupaa pela nova piscina eve ser menor que a ocupaa pela piscina já existente, então: 60 setor < retângulo πr < R < R < 00 R < 00 R < 800 R = 8, pois R eve ser natural e 8 < 800 < a I) área o trapézio o esquema I, em cm, é ( ) 80 = II) área o retângulo o esquema II, em cm, é = III) O aumento a área, em cm, foi e = c N F N' M' 07. 6, 8 = Escala e : 4, Tamanhos reais: L =, cm x = 6,4 cm c =,4 cm x = 40,8 cm cm 90 c = 0 = 0 cm 4 = 0 0 cm (Triângulo pitagórico) Total: = 0 cm =, m. 09. a ) Observano que 6,4 = e 0, = 4, caa camaa, na área e armazenamento, comporta x 4 = 0 contêineres. ) Para armazenar 00 contêineres, serão necessárias (e suficientes) camaas, pois 00 0 =. m Q 0 m ) pós o empilhamento total a carga, a altura mínima a ser atingia é, m =, m. 0. c Percurso e meia circunferência πr p = = π R = 4, 670 p 0000 km 0000 km tp = horas 800 km / h 06. a Toas as áreas calculaas a seguir estão em quilômetros quaraos. área coberta pelas antenas antigas era: S = (π ) = 8π área coberta pela nova antena é: S N = π 4 = 6π área e cobertura foi ampliaa em 6π 8π = 8π 40 D 40 0 Pitágoras: = 0 + (40 ) = = 000 = Km Matemática e suas Tecnologias ENEM 4

6 Matemática 4E 0. c sen( + ) = sen cos+ sen cos sen x x + sen x cos = x sen x x + cos sen x + x sen x = x cos = senx sen x cos x 0. b sen( + ) = sen cos+ sen cos sen( ) = sen cos a) Incorreto sen0 = sen( + 8 = ) sen cos8 + sen8 cos b) orreto sen0 = sen( = ) sen0 cos0 + sen0 cos0 c) Incorreto sen0 = sen( ) = sen cos ) Incorreto sen( 0 ) sen0 cos0 e) Incorreto sen0 o = sen( o ) = sen o cos o sen o 0. Se α e β são as meias os ois ângulos internos e aguos e um triângulo retângulo, então: 90 o + α + β = 80 α + β = 90 cos( α + β) = cos( 90 ) = e sen( α+ β) = sen( 90 = ) 0. cos( ) + = (cos sen ) + ( sen + cos ) cos( ) + = cos cos( ) = cos 06. b y= cos4 cos6 sen4 sen6 y = cos( ) y= cos( 0 ) y= 07. b α= 0 α= 60 O triângulo P é isósceles, conforme inicao na figura a seguir. P 08. e Se, e inicam as meias os ângulos internos e um triângulo (qualquer), então + + = 80. Portanto, é correto afirmar que, necessariamente, sen( + + ) = sen( 80 ) = 0 e cos( + + ) = cos( 80 ) =. 09. c a) Incorreto sen( x) = senx cos x. Portanto, sen x não é, necessariamente, igual a senx. Nesse caso, seno x a meia e um ângulo aguo (seguno o enunciao), sen x= senx se, e somente se, x = 60. b) Incorreto sen( x) = senx cos x. Portanto, sen x não é, necessariamente, igual a cos x. Nesse caso, seno x a meia e um ângulo aguo (seguno o enunciao), sen x= cos x se, e somente se, x = 0. c) orreto De acoro com o enunciao, x inica a meia e um ângulo aguo. Portanto: senx = x= 0 cosx= cos60 = ) Incorreto Seguno o enunciao, x é a meia e um ângulo aguo. Então: tgx= x= 4 x = 90 tangente não está efinia para o arco e 90. Portanto, é incorreto afirmar que tg x é igual a. e) Incorreto Se x é a meia e um ângulo aguo, então, necessariamente, cosx cosx. cosx = cosx se, e somente se, cosx= ou cosx=. De fato: cosx= cosx cos x sen x= cosx cos x ( cos x) = cosx cos x cosx = 0 cosx= ou cosx= Mas, nesses casos, os ângulos corresponentes não são aguos. 0. e E= senx cosx E= ( senx cos x) E = ( 0, 04) E = 008, m 60 Nessa figura, inica a menor istância o barco até o ponto fixo P. Portanto, o triângulo retângulo estacao na figura, temos que: = sen60 = 000 = 000 m Matemática e suas Tecnologias ENEM 4