Exercícios de Cálculo I - CM041

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1 Eercícios de Cálculo I - CM4 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/inde.htm o. semestre de

2 Parte Limites de funções. Calcule os seguintes limites, caso eistam: ) lim ) lim ) lim / 4 5) lim ) lim ) lim sen() sen(3) ) lim (tg(3)cossec(6)) ) lim 3 cos sen(3 5 + ) 3) lim 3 4) lim 3 ( ) + sen 3 ()sen 4 + 6) lim 7) lim ( ) sen( 3 )cos 9) lim + ) lim ) lim ) lim 3 sen(sen()) 9) lim cos ) lim π π sen 5) lim + 3 ( 8) lim 3 ) 3 ) lim ) lim ) lim + ( ) 4) lim + sen 5) lim + + sen ) lim ) lim cos( ) 4 sen(/) + 34) lim + ( + ) 35) lim ( 6) lim + + ) ) lim ) lim ( ( )sen( 4) ) 3) lim (sen + cos ) 7 3) lim + sen( ) 33) lim Seja f : R R uma função tal que f () f ( 3 ), para todo R. Calcule lim. 3. Seja f : R R tal que f () + sec ( ( lim f ()cos 36) lim + cos + sen( ) +, para todo R. Calcule lim f () e )) + 4. Sejam f, g : R R tais que sen f () 3 e g () + sen, para todo R. Calcule ( f () g () + cos ). lim 3 + c + c 5. Sejam c,l R tais que lim = L. Determine c e L..

3 6. Seja f : R R. f () f () (a) Assumindo que lim =, calcule lim. f () (b) Assumindo que lim =, calcule lim f (). (c) Assumindo que lim + f () + = +, calcule lim + f (). 7. A resolução abaio está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite: ( lim + ) ( = lim ( + ) ) + + ) ( = lim + + }{{} } {{ } = lim ( ) = Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. (a) Se f, g : R R são funções tais que f é limitada positiva e lim g () = +, então tem-se que + lim f ()g () = +. + (b) Se f, g : R R são funções tais que f é limitada e lim g () = +, então tem-se que + lim f () + g () = +. + f () (c) Se f, g : R R são funções tais que lim = +, então lim f () g () = +. + g () + 9. Dê eemplos de funções f e g tais que: f () (a) lim f () = +, lim g () = + e lim g () =. (b) lim f () = +, lim g () = + e lim ( f () g () ) =. ( ) f () (c) lim f () g () = e lim g (). f () (d) lim g () = e lim ( ) f () g (). f (). Mostre que se lim = e se g é limitada então lim f () g () =. a g () a Continuidade de Funções. Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua. Justifique. 3

4 sen( 4) + 5, se > (a) f () = + 6, se < 5, se = + (c) f () = ( ), se, se = 4 + 3, se 3 (b) f () = 3, se = 3 (d) f () = + ( )[] sen(π). Obs.: o símbolo [] denota o maior inteiro que é menor ou igual a e é definido por [] = ma{n Z : n }.. Determine L para que a função dada seja contínua em R. sen( + ) sen( + ), se (a) f () = (b) f () = L, se =, se L, se = 3. Considere a função f : R R definida por ( ) 6, se f () =, se = Verifique que lim + f () = lim f (). Pergunta-se: f é contínua no ponto =? Por quê? 4. Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. (a) Se f : R R é tal que f é contínua em =, então f é contínua em =. (b) Se f e g são funções descontínuas em =, então a função f g é descontínua em =. Derivadas 5. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a I e h() = { f (), se a g (), se < a. Prove que h é derivável em = a se, e somente se, f (a) = g (a) e f (a) = g (a). { a + b + c, se < 6. Encontre constantes a, b e c tais que a função f () = 5 + 6, se seja derivável em R e f () =. 7. Verifique se f é contínua e derivável no ponto, sendo: 4

5 ( + )cos (a) f () =, se 3, se >, = (b) f () =, =, se =, se + sen, se > 4 (c) f () = , se <, = (d) f () = 5 5, se >, =, se = 4, se sen (e) f () =, se sen, = (f) f () =, se,, se = =, se = sen, se sen( ) (g) f () =, = (h) f () =, se = +, se 4, =, se = (i) f () = sen, = j) f () = sen( 5 ), = k) f () = cos( ), = tg[(3 + ) ] tg9 8. Calcule lim. 9. Calcule f () para as funções f abaio: ) f () = + 4) f () = sen ( 5 ) 5) f () = 7) f () = 4 4 3) f () = + ( 3 + ) 3 cos ( 4 + tg + ) 6) f () = 6 tg ) f () = (3 + ) 3 + cossec ) f () = sec ( + ) 9) f () = tg( 3 ) sec ) f () = sen cos ) f () = 3) f () = ( + ) 3 3 sen 6) f () = cos( ) ( + λ)4 4 + λ 4 ) f () = sen( sen ) 4) f () = cotg(3 + 5) 5) f () = sen 33 cos 7. Seja f : R R contínua em R tal que f () 3 +, para todo R. A função f é derivável em?. Seja f : R R derivável em a ],+ [. Calcule, em termos de f f () f (a) (a), o limite: lim. a a. Discuta as seguintes soluções para a questão Considere a função f () =. Decida se f é derivável em = e, em caso afirmativo, calcule f (). Justifique suas afirmações. Solução : f () =, pois f () =. Solução : Como a função g () = não é derivável em =, não é possível usar a regra do produto para derivar f em =. Logo f não é derivável em =. Solução 3 : Temos f () = h()g (), onde h() = e g () =. Assim: como g () = e h() = então f () =. f () = h ()g () + h()g (); 5

6 {, se < Solução 4 : Temos f () =, se. Logo e f () f () lim lim + + = lim =, + f () f () lim = lim f () f () Portanto lim =, ou seja f () =. 3. Em que pontos f é derivável? (a) f () = (b) f () = + 4. = lim =. 4. Seja f : R R derivável em = tal que f () = f () =. Seja g : R R uma função limitada e não derivável em =. Calcule a derivada de h() = f () g () no ponto =. 5. Seja f () = 3 3 sen( 3 ). (a) Calcule f (3). (b) Calcule f (). (5 + f ())( + 3sec ) (c) Seja g () =, onde f é a função dada acima. Calcule g (). + tg Mostrar que a reta y = é tangente à curva y = Encontre o ponto de tangência. 7. Determine todos os pontos (, y ) sobre a curva y = tais que a tangente à curva em (, y ) seja paralela à reta 6 y + 5 =. 8. Seja f () = 3 +. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (,). 9. Sejam f : R R uma função derivável até a ordem e g : R R dada por g () = f ( + + sen). Calcule g (). Supondo f () =, calcule g (). 3. Seja f () = 3. Calcule f (), para todo R. A função f é derivável no ponto =? Justifique. 3. Sabe-se que f : R R é uma função derivável em R e que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 é + y = 6. Seja g : R R dada por g () = (f ( )). Determine g (). 3. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a (a ) tem como intersecção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas. 33. Seja y = f () uma função dada implicitamente pela equação = y 3 ( y). Admitindo f derivável, determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto (,). 34. Seja y = f () uma função dada implicitamente pela equação + y + y = 3. Admitindo f derivável, determine as possíveis retas tangentes ao gráfico de f que são normais à reta y + =. 6

7 35. Seja f derivável num intervalo aberto I contendo = e tal que (f ()) 3 (f ()) + f () =, para todo I. Encontre f ( ) e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f ( )). 36. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa f seja também derivável. Use derivação implícita para mostrar que (f ) () = f (f ()) desde que o denominador não seja nulo. 37. Usando o eercício anterior, encontre (f ) (5) sabendo que f (4) = 5 e que f (4) = Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: (a) f () = cos(arctg ) (b) f () = arctg (c) f () = arcsen( ) (d) f () = ( + arctg ) 3 tg (3) (e) f () = (f) f () = arctg( arctg(3) + ) (g) f () = arcsen (h) f () = arctg( ) (i) f () = arcsen Taas relacionadas 39. (Epansão Adiabática) Quando certo gás composto sofre uma epansão adiabática, a sua pressão p e seu volume V satisfazem à equação p V,3 = k, onde k é uma constante. Mostre que V dp dv =,3 p dt dt. 4. De um petroleiro quebrado vaza um grande volume V de óleo num mar calmo. Após a turbulência inicial ter acabado, o petróleo se epande num contorno circular de raio r e espessura uniforme h, onde r cresce e h de cresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo. Eperiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido: h = c. Mostre que a taa dr com que o petróleo se epande é inversamente proporcional t dt a t 3/4. 4. Num certo instante t, a altura de um triângulo cresce à razão de cm/min e sua área aumenta à razão de cm /min. No instante t, sabendo que sua altura é cm e sua área é cm, qual a taa de variação da base do triângulo? 4. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de, m, a taa de variação com que a areia é despejada é de,8m 3 /min. Qual a taa de variação da altura do monte neste instante? 43. A aresta de um cubo cresce ao longo do tempo. Num certo instante t, o seu volume cresce a uma taa de cm 3 /min. Sabendo que, neste instante, a aresta do cubo mede 3cm, qual é a taa de variação da área da superfície do cubo? 44. Uma lâmpada está no solo a 5m de um edifício. Um homem de,8m de altura anda a partir da luz em direção ao edifício a,m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele está a m do edifício e quando ele está a 9m do edifício. 7

8 45. Uma tina de água tem m de comprimento e uma seção transversal com a forma de um trapézio isósceles com 3 cm de comprimento na base, 8cm de etensão no topo e 5 cm de altura. Se a tina for preenchida com água a uma taa de, m 3 /min, quão rápido estará subindo o nível da água quando ela estiver a 3 cm de profundidade? 46. Uma câmera de televisão está posicionada a 4. pés de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 6 pés/s quando já tiver subido 3. pés. Quão rápido está variando a distância da câmera ao foguete nesse momento? Se a câmera de televisão apontar sempre na direção ao foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela nesse mesmo momento? 47. (Escada deslizante) Uma escada de 5 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taa de pés por segundo. (a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baio nesse instante? (b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede. (c) Calcule a taa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede. Respostas () () 3/4; () /5; (3) /6; (4) ; (5) /5; (6) 3/7; (7) ; (8) 3 ; (9) ; () /; () /6; () ; 3) ; 4) /3; (5) ; (6) ; (7) não eiste; (8) não eiste; (9) ; () ; () + ; () /; (3) ; (4) /3; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) 3; (3) 3 ; (3) 3; (3) ; (33) 4 7/; (34) /; (35) não eiste; (36). () ; (3) ; ; (4) ; (5) c =, L = 5/; (6) (a) ; (b) ; (c) + ; (8) (a) Falsa; (b) Verdadeira; (c) Falsa; ()(a) R ; (b) R\{3}; (c) R\{}; (d) R; () (a) cos; (b) ; (3) Não; (4) (a), (b) são falsas; (6) a = 3/, b = e c = 7/; (7) (a), (c), (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k) são contínuas em ; (f), (g), (j) são deriváveis em ; (8) 6sec 9; () Sim; () a f (a); () Somente (4) está correta; (3) (a) em todos os pontos; (b) 7 em ; (4) ; (5) (a) 3 3 sen( 3 3) cos( 3 3).; (b) ; (c) 8 ; (6) (3, 3); (7) (, 3), y = 6 + 3; (,7), y = 6 + 7; (,9), y = 6 + 3; (8) y = 9, y = ; (9) ; (3) Não; (3) ; (33) y = ; (34) y + = ; y + = ; (35) ; + 7y = ; (4),6; (4) 4π m/min; (43) 4 3 cm /min; (44) 3,6m/s;,9m/s; (45) cm/min; (46) 36 pes/s;,96 rad/s; (47) (a) pes/s; (b) 4 pes /s; (c) rad/s. 8

9 Parte Teoremas do valor intermediário e do valor médio. Seja h() = + cos. (a) Mostre que h é bijetora. (b) Calcule h (). (c) Admitindo h derivável, determine (h ) ().. Seja f () = e, >. (a) Mostre que a equação e = y admite uma única solução para qualquer y R. Conclua que f admite inversa. (b) Seja g a inversa de f. Mostre que g () g (y) y, para quaisquer, y R. 3. Seja f () = tg + 3, π/ < < π/. (a) Mostre que a equação tg + 3 = y admite uma única solução para qualquer y R. Conclua que f admite inversa. (b) Seja g a inversa de f. Mostre que g () g (y) y, para quaisquer, y R. 4. Seja f () = sen, R. (a) Mostre que f é inversível e sobrejetora. (b) Calcule f em termos de f. (c) Se g : R R é a inversa de f, mostre que g () g (y) 7 y para quaisquer, y R. 5. Seja f () = , g a sua inversa e a,b R com a < b. Mostre que g (b) g (a) (b a). 6. Seja f () = Prove que f () tem duas raízes distintas no intervalo ],[. 7. Use o teorema do valor médio para provar as seguintes desigualdades: (a) sen b sen a b a, para todos a,b R. (b) a b a b, para todos a,b R, com a e b. (c) ln a a b, para todos a,b R, com a e b. b (d) b b a a > a a (b a), para todos a,b R com a < b. (e) e e y y, para todos, y com y. 8. Seja f uma função derivável no intervalo ],+ [. Mostre que se f () = e < f (), para todo >, então < f (), para todos >. 9

10 9. Mostre que f () = ( + ) / é estritamente decrescente para >. Conclua que ( + π) e < ( + e) π.. Prove as seguintes desigualdades: (a) > 3, para todo > (b) e π > π e (c) tg b tg a > b a para < a < b < π (d) 3 3! < sen < 3 3! + 5 5!, para > (e) + < +, para > (f) arctg > ln( + ), para > (g) e > + para > (h) e > + + para > (i) n n( ) para. Mostre que a equação = admite uma única raiz real e tente localizá-la.. Mostre que a equação = admite três raízes reais e tente localizá-las. 3. Determine os possíveis valores de a para os quais a equação admite uma única raiz real a = 4. Mostre que a equação 3 + cos( π ) = tem eatamente uma raiz real. 5. Seja f derivável em R e seja g dada por g () = f (),. Suponha que é ponto de máimo local de g. Prove que f ( ) f ( ) =. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa passa pela origem. 6. Seja f () um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de infleão, que é a média aritmética das três raízes. 7. Sejam f : R R derivável e a,b R tais que f (a) = f (b) =. Mostre que se f (a)f (b) >, então eiste c entre a e b tal que f (c) =. 8. Para que valores de k a equação = k tem três raízes reais distintas? 9. Prove que se p é um polinômio, a equação e p() = não pode ter infinitas soluções reais. (Sugestão: Divida por n para um certo n suficientemente grande.). Seja f : R R derivável e com um único ponto crítico. Prove que se for ponto de mínimo (máimo) local de f, então será o único ponto de mínimo (máimo) global de f.

11 . Mostre que ( ) (a) arcsen = arctg( ) π para qualquer R. + (b) arcsen = arcsen( ), < < ( ) a. Seja a R tal que lim = 4. Determine a. 4. a = + a + ln Funções eponencial e logarítmica 3. Suponha que você receba as duas propostas abaio para trabalhar por um mês: A. Você recebe milhão de reais no final do período. B. Você recebe centavo no primeiro dia, centavos no segundo dia, 4 centavos no terceiro dia, e, em geral, n centavos no n-ésimo dia. Qual delas é mais lucrativa? 4. Calcule a derivada de cada uma das funções abaio: (a) cosh = (e + e ) (b) sinh = (e e ) (c) f () = e e (d) f () = e + e (e) f () = e / + (f) f () = ln(e + ) e (g) f () = (ln ) + ( + 3 ) (h) f () = ln ( + + ) (i) f () = π + π (j) f () = + 3 (k) f () = ln(arctg ) (l) f () = ( + cos ) sen (m) f () = (e + 3) arcsen( ) (n) f () = (3 + cos ) tg( ) (o) f () = ln(3 + 3 ) + e cos (p) f () = ( + ) sen(5 ) (q) f () = ( + arctg ) /4 (r) f () = e arctg + (s) f () = ln (t) f () = ln( +) (u) f () = ( sen ) 3 5. Calcule, caso eista (a) lim ln( ) tg(π) (d) lim (ln )( ) (e) + (g) lim α ln, α > + [ (j) lim (m) lim + tg( ) ln( + ) e ] (b) lim + lim + ln 5 ln e (h) lim + sen ( α (k) lim + (n) lim + ) ( sen )tg (l) [ ] + ln ln( + ) (p) lim (q) lim( + sen) /sen arctg (s) lim (tg sec sec ) ) (t) lim ln/(+ln (u) π + + (v) lim (sen )/ln (w) + lim + ln (c) lim + cotg e (f) lim + ( e (i) lim cos ) lim (e + 3) / (o) lim arctg( ) ln( + 3 ) sen + (r) lim e + e ( + 3)/ln lim + [ ln( + 3) +4 ln( + ) +4] () lim ( cos )/

12 6. No seu livro de Cálculo de 696, l Hospital ilustrou sua regra com o limite da função f () = quando a, a >. Calcule este limite. a 3 4 a 3 a a 4 a 3 Funções hiperbólicas 7. Mostre que a função sinh = e e é inversível e sua inversa é dada por arcsinh = ln( + + ), R. Encontre as inversas das demais funções hiperbólicas e também suas derivadas. 8. Mostre que cosh sinh =, sech = tanh e coth = + csch, para todo R. 9. Mostre que cosh(+y) = sinh sinh y +cosh cosh y e sinh(+y) = cosh sinh y +cosh y sinh,, y R. 3. Esboce os gráficos de todas as funções hiperbólicas e de suas inversas. Máimos e mínimos 3. Encontre a R para que f () = + a tenha: (a) um mínimo local em =. (b) um mínimo local em = 3. (c) Mostre que f não terá máimo local para nenhum valor de a. 3. (a) Esboce o gráfico de f () = e. (b) Determine, em função de k, o número de soluções reais da equação ke =. 33. (a) Ache o ponto de mínimo de f () = e (b) Prove que ea+b ab e, para todos a > e b >. no intervalo ],+ [. 34. Seja f uma função. Se eistir uma reta y = m + n tal que lim + [f () (m + n)] =, dizemos que y = m + n é uma assíntota para f. Prove que a reta y = m + n é uma assíntota para f se, e somente f () se, lim = m e lim (f () m) = n. (Tudo o que dissemos para + vale também para + +.) 35. Esboce o gráfico das funções abaio e dê as equações das assíntotas, quando eistirem.

13 (a) f () = (b) f () = 3 (d) f () = 3 3 (e) f () = + 4 (c) f () = + (f) f () = (3 6 )e (g) f () = 3 3 (h) f () = e e 3 (i) f () = 3ln (j) f () = ln (k) f () = 3 ( ) (l) f () = (m) f () = ln() ln(3 + 3) (n) f () = (p) f () = 3 + (s) f () = ln ( )3 (o) f () = (q) f () = arctg(ln ) (r) f () = 3 + (t) f () = e (v) f () = (w) f () = Achar os valores mínimo e máimo de: (a) f () = sen cos, [,π] (b) f () = 3 + 3, (c) f () = + ln, 4 (d) f () = 3 3, (e) f () = 4 3, 3 (f) f () = , 3 (g) f () = , (h) f () = , Para que números positivos a a curva y = a corta a reta y =? (u) f () = ln () f () = Seja f : R R uma função derivável e seja a R fiado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (a) Se f () >, para todo > a, então lim f () = +. + (b) Se f é derivável até segunda ordem com f () > e f () >, para todo > a, então (c) Se lim f () = então lim f () = L R. + + lim f () = +. + (d) Se eiste uma assíntota para f (quando + ) com coeficiente angular m e se eiste então L = m. lim f () = L, + (e) Se lim + f () = m R, m então f tem uma assíntota com coeficiente angular igual a m. 3

14 Aplicações 39. Para que pontos da circunferência + y = 5 a soma das distâncias a (,) e (-,) é mínima? 4. Achar os pontos da hipérbole y = mais próimos de (,). 4. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando = 3R. 4. Qual é o menor valor da constante a para o qual a desigualdade a+ é válida para todo número positivo? 43. Seja f () = 5 + a, >, onde a >. Ache o menor valor de a de modo que f () 8, > Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eio, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y =. Qual é o maior volume que tal cilindro + pode ter? 45. (a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b) Por que as latas encontradas no supermercado não são em geral como em (a)? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas (ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado. 46. Um arame de comprimento L deve ser cortado em pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos pedaços seja (a) máima? (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é /3 da altura do triângulo. 47. Um canhão situado no solo é posto sob um ângulo de inclinação θ. Seja r o alcance do canhão, isto é, a distância entre o canhão e o ponto de impacto da bala. Então r é dado por r = v senθ cosθ g, onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é máimo? 48. Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a. Determine o raio da esfera que maimiza e o que minimiza a soma de seus volumes. 5. Um muro de metros de altura está a metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas etremidades se apóiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro? 5. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máima. 5. (LEI DE REFRAÇÃO DE SNELLIUS) O objetivo desta questão é demonstrar como a lei da refração de Snellius, da Óptica Geométrica, pode ser obtida como conseqüência do princípio de Fermat, segundo o qual a trajetória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso. 4

15 Sejam P R um ponto no semi-plano superior e Q R um ponto no semi-plano inferior, ambos fiados. Uma partícula vai de P a um ponto M = (,) sobre o eio O com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constante v, também em movimento retilíneo. Seja T : R R tal que, para todo R, T () é o tempo de percurso de P a Q. Mostre que T possui um único ponto de mínimo R. Verifique que (,b) e que, se =, então senα u = senβ. v 53. Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo α a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m >. 54. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar pela esquina? Respostas () (b) ; (c) ; (3) a > 5 ou a < 7; (8) 4 < k < 5; (3) B; (5) (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) α; (i) 6 ; (j) ; (k) ; (l) e4 ; (m) ; (n) + ; (o) 3 ; (p) ; (q) e ; (r) 3; (s) 6a ; (t) ; (u) e; (v) e; (w) ; () + ; (6) ; (3) (a) a = 6; (b) a = 54; 9 (3) Não há soluções se k < ; tem solução se k = ou k > 4 e ; tem soluções se k = 4 ; tem 3 soluções e se < k < 4 e. (33) (a) = ; (36) (a), ; (b) (h) f ( 3), f ( ); (37) a e e ; 7 8 3, ; (c) 4, ; (d) 3 3, ; (e), 7; (f) 87/4, 7; (g) 7, ; (38) (b) e (d) são verdadeiras e (a), (c), (e) são falsas; (39) (5,) e ( 5,); (4) ( ± 5, ) ; (4) a = ; (43) a = 8 ; (44) π/4; (45) (a) ; (b) 4/π; (46) (a) Deve-se formar apenas um quadrado; (b) o lado do quadrado é 3L ; (47) π/4; (48) h = 4, r = ; (49) (54) (a /3 + b /3 ) 3/. π ; ( ; (5) + 3 ) 3/; 4 (5) ; (53) π ma{β,arcsen( π+ m )}; 5

16 Parte 3 Integrais definidas. Calcule as integrais definidas abaio: () (4) (7) () (3) (6) (9) () (5) (8) π/4 π 3 ( e )d () + cos θ cos θ dθ (5) sen(n), n N (8) 3 π/4 π/4 e d () (sen( 5 ) 7 7 cos + )d (4) tg θdθ (7) secθdθ () e d (3) + d (6) d (9) π (3 + ) d (3) + 3 d (6) π ( + 5)(3 + )d senθ dθ cos(n)d, n N (9) e d π/ π/ π / cos θdθ () ( cos( + ) + 3)d (5) sen 4 θdθ (8) + d () π/ π/ / + cos d (4) d (7) d (3) sen θdθ e d. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h. cos 4 θdθ d e + e d 3 sen( + )d (ln ) d 3. Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação 3 + y 3 = a 3 e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oz são quadrados. ( π 4. Calcule lim sen π n n n + sen π ) (n )π sen. n n 5. Calcule o comprimento do gráfico de f () = ln(cos ), para π Calcule o comprimento da astróide 3 + y 3 = a Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = ( + 3). 8. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse a + y b =. 9. Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio O do conjunto a) A = {(, y) R : y, + y 5 e > }. b) A = {(, y) R : y e ( ) + y }. c) A = {(, y) R : e e y e }. d) A = {(, y) R : >, y e / y 4/ }. 6

17 . Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3 da região delimitada pelas parábolas y = e y =.. Seja A = {(, y) R : e ln( + ) + y e + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =.. O disco + y a é girado em torno da reta = b, com b > a, para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume. 3. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, h a, de uma esfera de raio a. 4. Determine o comprimento da curva y = cosh, Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. Primitivas 6. Calcule as integrais indefinidas abaio: d. e d 3. cos7 d 4. tg d 7 sen 5. d 6. tg 3 sec 3 d 7. d 8. tg d cos 9. tg 3 d. d. d d 3. d d 4. sec d d + ln ln d 7. d 8. d (arcsen ) e. + e d sen. + cos d. e 3 d 3. e 3 sen + e d 4. d 7

18 sen. + cos d. e 3 d 3. e 3 sen + e d 4. d e arctg 5. d 6. ( + ) d 7. sen d 8. e cos d + 9. r ln d,r R 3. (ln ) d 3. e d 3. arctg d 33. arcsen d 34. sec 3 d 35. cos d 36. sen cos 3 d sen 37. sen cos d d 38. d 39. d 4. cos ( )( )( 3) ( ) d 4. ( ) 3 d d 44. d 45. e d 46. ln( + + d )d ln d sen(ln )d 5. d d 5. a + b d + 3 d d d d 56. a + b ( + ) cos 57. cos 3 d 58. sen 5 5 ( d 59. sen 3 d 6. sen 3 ) ( cos 5 ) d d 6. sen 5 cos 3 6. sen 4 d 63. sen cos 5 d 64. sen cos 4 d cos 65. cos 6 d (3)d 66. sen 6 d 67. sen cos d d arctg d 7. 3 ( d ) d 7. d d ln( + ) 73. ( d )( + ) + e 75. d e 3 d ( d 78. arctg + d ) d 8. cos 3 ( + sen )d + + Funções definidas por integrais 7. Calcule g () onde (a) g () = sen cos e t dt (b) g () = 8. Esboce o gráfico das funções abaio: (a) f () = e t dt (b) f () = sen(t )dt (c) g () = sen t dt t π/ sen cos 9. Calcule d em termos de A = + π cos ( + ) d.. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y() = 8 sen( t)f (t)dt 3 sen dt + t 4

19 Prove que y + y = f () e y() = y () =, para todo I.. Seja F () =. Calcule lim + t 3 dt. Calcule cos(t )dt e t dt / 3. Mostre que f () = 4. Seja f () =. t + dt + dt, R. + t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. F ()d em termos de F (). t dt é constante em (, ). Qual o valor dessa constante? + (b) Mostre que f () f () +,. (Sugestão: Integre de a.) +t 4 t (c) Mostre que lim f () eiste e é um número real positivo. (d) Esboce o gráfico de f (), localizando seu ponto de infleão. 5. Seja f () = e t dt. Mostre que f () f () =, para todo R. 6. Seja F : [,+ [ R dada por F () = t 3 dt. (a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre = e = 4. (b) Calcule lim F ( 3 ) F (8) sen( ) Respostas () () e ; () 5; (3) 3/; (4) +π/4; (5) ; (6) 4; (7) se n = e ( ) n+ π/n se n > ; (8) se n é par e /n se n é ímpar; (9) e +/e; () e /e; () π/4; () π/4; (3) 6; (4) ; (5) (e 4 )/; (6) π/4; (7) 3π/8; (8) 3π/8; (9) ln(+ ); () 6/5; () π/6; () ; (3) 4 ; (4) ( + e ); (5) ln( +)+ ; (6) arcsen(/4) ; (7) ; (8) arctg(/) 3 ; (9) 3 ; (3) ln ln3. () l h 8 3 ; (3) 5 a3 ; (4) ; (5) ln( + ); (6) 6a; (7) 4 5 3; (8) πab; (9) (a) π; (b) π 6 ; (c) π (e e ) ; (d) 5π 6. () 3 3 π; () π ( e + 4e (ln) + 4ln 3 () (πb)(πa ); (3) πh (a h ); (4) sinh4 + sinh3. 3 ) 9

20 (6) () e +C () +C (3) 7sen7 +C (4) tg +C (5) 7ln +C (6) 4 tg 4 +C (7) cos ( 5 cos ) +C (8) ln cos +C (9) tg + ln cos +C () ln( + ) +C () arctg +C () arctg +C (3) 3 ( ) 3 +C (4) ln sec + tg +C (5) + ln +C (6) ( 3 + ) 6 +C (7) ln( ) +C (8) 3 (ln ) 3 +C (9) ln arcsen +C () ln( + e ) +C () ln( + cos ) +C () 3 e3 +C (3) ( + e ) 4 +C (4) cos +C (5) e arctg +C (6) ( + ) ( + ) +C (7) cos + sen +C { r + + r (8) ln +C, se r e r + (sen + cos ) +C (9) (r +) (ln (3) (ln ) ( ln ) +C ) +C, se r = (3) ( )e +C (3) arctg + arctg +C (33) arcsen + +C (34) sec tg + lnsec + tg +C (35) ( + sen cos ) +C (36) 3 sen3 5 sen5 +C (37) 8 ( 4sen4) +C (38) ln + sen +C (39) 6ln 5ln + ln 3 +C (4) 6 + arctg( ) +C 6 (4) ln + + 5ln +C (4) ln + 4 ln( + ( ) ) arctg( ) +C 3 (43) arcsen +C (44) 8 ( ) + 8 arcsen +C (45) ( )e +C (46) ln( + + ) + +C (47) ln C (48) 3 (ln 3 ) +C (49) (sen(ln ) cos(ln )) +C (5) ln 4 +C (5) ln + ln( + + 3) + arctg( + (5) a + b + a b ln( b a + a +b ) +C a (53) b ln( b a + a +b (55) + ) +C ) +C (54) a + + ln( + + ) +C 3 + arcsen( + ) +C (56) arctg( (57) sen 3 sen3 +C (58) cos + 3 cos3 5 cos5 +C (6) 4 cos8 ( ) 3 cos6 ( ) +C (59) sen ln sen +C sen tg + 3ln tg 3 tg (6) sen() + sen(4) +C 3 4tg 4 +C (63) 3 sen3 5 sen5 + 7 sen7 +C (64) 6 64 sen(4) + 48 sen3 () +C (65) sen(6) + 64 sen() 44 sen3 (6) +C (66) 3 cotg3 5 cotg5 +C (67) tg + 3 tg 3 cotg() +C (68) arcsen + +C (69) ln 6 +C (7) 6 ln 6 3 ln( + 4) 3 64 arctg + 4 3( +4) +C (7) arctg + ln ln + +C (7) 3 arcsen( ) ( ) +3 +C (73) ln + + ln( + ) + 3arctg( ) +C (74) ln( + e ) +C (75) ln(+) + ln ln( + ) +C (76) 3 (3 + )e 3 +C (77) 4 ln 4 8 ln( + 4) 6 arctg( ) +C (78) ( + )arctg (79) ln( + + ) arctg( + ) +C (8) sen + sen sen 3 3 sen 5 5 +C (7) (a) g () = e sen cos + e cos sen ; (b) g () = sen4 sen ; (c) g () = 3 cos ; () ; (3) + +sen 4

21 π/; (6) (a) 6/5; (b) 5.

22 Parte 4 Integrais impróprias. Decida quais integrais impróprias abaio são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes. () (4) (7) () + d α, α > () ln d (5) sen( )d (8) α e β d, α,β > () + d (3) + (4) (6) d (9) + () e α d, α > (7) sen( α ) (5) (8) () α e β d, α,β > (3) β, α,β > (6) d α ln, α > (9) (3) d d α, α > (3) sen α d, α > (6) cos( )d (9) e sen d () ln d, α > (8) α d + ln d cos α d, α > sen( α )d, α > e ln d + sen d (5) 3 + 5ln d () e sen(/)d (4) d (7) + α e. Calcule a derivada das seguintes funções: () f () = 5sen (4) f () = (7) f () = () f () = sen sen cos d, α > (3) (3) sen d (33) + 3 tsen(t )dt () f () = e 3t t dt (5) f () = + e t dt (8) f () = 3. Esboce o gráfico das funções abaio: () f () = 3 + α d, α,β > + β d (ln ) α, α > sen d d t / e t dt (3) f () = e ( t)e t dt (6) f () = 3 t 4 dt (9) f () = + t 8 e d cos( )e 4 + d + 7 ln 3 cos(t )dt +7 3 e t dt () f () = sen(t )dt () g () = sen e t dt () f () = sen t t dt (3) f () = dt te t ( + t)sen tdt e t ln tdt dt + t 4

23 4. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y() = Prove que y + y = f () e y() = y () =, para todo I. 5. Calcule lim cos(t )dt e t dt / 6. Mostre que f () = 7. Seja f () =. t + dt + dt, R. + t 4 (a) Mostre que f é crescente e ímpar. sen( t)f (t)dt t dt é constante em (, ). Qual o valor dessa constante? + (b) Mostre que f () f () +,. (Sugestão: Integre de a.) +t 4 t (c) Mostre que lim f () eiste e é um número real positivo. (d) Esboce o gráfico de f (), localizando seu ponto de infleão. 8. Seja f () = e t dt. Mostre que f () f () =, para todo R. 9. Seja F : [,+ [ R dada por F () = t 3 dt. (a) Calcule o comprimento do gráfico de F entre = e = 4. (b) Calcule lim F ( 3 ) F (8) sen( ). (Função Gamma) A função Gamma é definida por para >. Γ() = e t t dt, (a) Mostre que Γ é bem-definida, i.e., que a integral acima é convergente para todo >. (b) Use integração por partes para mostrar que Γ( + ) = Γ(), para todo >. (c) Use indução em n para mostrar que Γ(n) = (n )! para todo inteiro n >. Isso mostra que a função Γ é uma etensão da função fatorial para todos os reais positivos. (d) Use o ítem () para definir Γ em toda a reta, eceto nos inteiros não-positivos.. (Transformada de Laplace) Dada f : (,+ ) R, a transformada de Laplace de f é definida como L f () = e t f (t)dt, para >. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil para resolver certas equações diferenciais. 3

24 (a) Dizemos que f é de crescimento eponencial se eistem α, a, M > tais que f (t) Me αt para todo t > a. Mostre que se f é de crescimento eponencial então L f é bem-definida (i.e., a integral converge) para todo >. (b) Mostre que se f é de crescimento eponencial e diferenciável então L (f )() = L f () f (). Encontre uma fórmula semelhante para L (f ) (c) Seja H α a função que vale se t α e zero se < t < α. Calcule L H α () (d) Verifique as seguintes igualdades: () L () = / () L (e α t) = ( α), > α (3) L (t n ) = n! n, n N (4) L (t α ) = Γ(α + ) α (5) L (sen(αt)) = α +α (6) L (sinh(αt)) = α α, > α (7) L (cos(αt)) = +α (8) L (cosh(αt)) = α, > α (9) L (t n e α t) = n!( α) n, n N. (Função Erro) A função Erro é definida por erf() = e t dt, R. π (a) Mostre que a função erf é bem-definida, i.e., a integral acima converge. (b) Esboce o gráfico da função erro. (c) Pode-se provar que + e t dt = π. Use este fato e a mudança de variável t = u para mostrar que Γ(/) = π. 3. (Função seno integral) A função Seno integral é definida como Si() = sen t dt t (a) Mostre que a função Si é bem-definida, i.e., a integral acima converge. (b) Esboce o gráfico de Si. (Pode-se provar que lim Si() = π/; você pode usar este fato.) Polinômio de Taylor 4. Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto indicado: () f () = e, = () f () = e, = (3) f () = sen, = (4) f () = cos, = (5) f () = cos, = (6) f () = arctg, = (7) f () = ln( + ), = (8) f () = ln ( + ), = (9) f () = , = () f () = sinh, = () f () = cosh, = () f () =, = (3) f () = +, = (4) f () = ln( + ), = (5) f () = cos, = 5. Use o polinômio de Taylor de ordem e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproimado para cada um dos números abaio, estimando o erro: (a) ln(,) (b) sen(,) (c) tg(,) (d) 4 6, (e) 8,97 (f) cos( π +,5) (g) e,7 (h) arctg(,9) (i) ln(,) (j) cosh(,) 4

25 6. Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaio: (a) e = lim Nn= n N n!, R (b) sen = lim Nn= N ( ) n n+ (n+)!, R (c) cos = lim N Nn= ( ) n n (n)!, R (d) ln( + ) = lim Nn= ( ) n+ N n n, < (e) arctg = lim Nn= N ( ) n n+ n+, (f) ln( ) + = limn N n+ n= n+, < 7. Utilizando o eercício anterior, obtenha um valor aproimado de: (a) e, com erro inferior a 5 (b) sen, com erro inferior a 7 (c) cos, com erro inferior a 5 (e) e, com erro inferior a 5 (g) π/4, com erro inferior a 5 (d) ln e ln3, com erro inferior a 5 (f) arctg(/) e arctg(/3), com erro inferior a 5 (h) cos(/), com erro inferior a 5 8. Calcule d 3 arctg () e d 3 arctg () d 3 d 3 9. Estime as integrais abaio: (a) (c) (e) sen(t )dt, com erro inferior a 5 ln( + t 4 )dt, com erro inferior a sen t dt, com erro inferior a 6 t (b) (d) (d) e t 3 dt, com erro inferior a 7 e t dt, com erro inferior a 7 cos(t ) dt, com erro inferior a 7 t. Utilizando os polinômios de Taylor das funções envolvidas, calcule os seguintes limites: (a) lim sen (f) lim e (b) lim cos (g) lim e 3 (c) lim sen 3 (h) lim arctg ln( + ) (d) lim ( ) sen 3 3! (i) lim 5 ln( + ) ln( ) (e) lim ( ) e + + (j) lim 3 5

26 Respostas () CA* C** Valor D** α > (α ) α α < ( α) α α > α > 6 α > α > / CA* C** Valor D** 3 π/ α 7 α < α 8 β > α + β α + 9 α > α β > β 6 7 π/ 8 α > α (Legenda: CA - Converge absolutamente; C-Converge; D-diverge) (4) () p n () = + + /! n /n!; () p n () = e + e( ) + e( ) /! e( ) n /n!; (3) p k+ () = 3 /3! + ( ) k k+ /(k + )!; (4) p k () = /! + ( ) k k /(k)!; (5) p n () = cos sen( ) + cos( ) /! sen( ) 3 /3! f (n) ()( ) n /n!; (6) p k+ () = 3 /3 + 5 / ( ) k k+ /(k + ); (7) p n () = / + 3 / ( ) n n /n; (8) p k+ () = + 3 / k+ /(k + ); (9) p n () = p 3 () = + ( ) + 5( ) + ( ) 3 para todo n 3; () p k+ () = + 3 /3! k+ /(k + )!; () p k () = + /! k /(k)!; () p n () = n ; (3) p k () = ( ) k k ; (4) p n+ () = 3 / + 4 / ( ) n n+ /n; (5) p k () = k k /(k)! 6