Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

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1 Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio de uma expressão definida em termos de x. No entanto, na resolução de problemas práticos, freqüentemente a relação entre y e x é determinada por uma equação da forma F(x, y) = 0, que não está resolvida para y. Pode ser que não exista nenhum ponto (x,y) do plano que satisfaça a equação F(x, y) = 0. Neste caso, esta equação representa um conjunto vazio. Caso contrário, uma equação do tipo acima representa uma curva no plano que pode ser o gráfico de uma ou de várias funções da forma y = f(x). Isto acontece porque uma equação em duas variáveis x e y pode ter uma ou mais soluções para y em termos de x ou para x em termos de y. Dizemos, então, que estas soluções são funções definidas implicitamente pela equação F(x, y) = Exemplos Exemplo 1 Uma hipérbole equilátera pode ser representada pela equação xy = 1, obtido usando-se o comando implicitplot do pacote plots do Maple. > implicitplot(x*y=1,x=-5..5,y=-5..5); 4 y x Esta equação simples determina uma função implícita de x, que pode ser expressa explicitamente como y = 1 x. Exemplo 2 A circunferência de centro na origem e raio 1 é representada no plano xy pela equação x 2 + y 2 = 1. Tal equação define implicitamente 4 funções contínuas: duas funções de y em relação a x, a saber y = 1 x 2 e y = 1 x 2, para x em [ 1, 1] 1 x x e duas funções de x em relação a y, a saber x = 1 y 2 e x = 1 y 2, para y em [ 1, 1],

2 186 Cap. 14. Derivação Implícita e Taxas Relacionadas y y x x Os gráficos das duas primeiras se sobrepõem para formar a circunferência unitária, o mesmo acontecendo com o gráfico das duas últimas funções. Exemplo 3 A equação x 3 + y 3 4 xy = 0 representa uma curva chamada de folium de Descartes. podemos traçar seu gráfico. > plots[implicitplot](x^3+y^3-4*x*y=0,x=-2..3,y=-2..3,numpoints=2000); Com a ajuda do Maple 2 y x Embora o problema de resolver, explicitamente, esta equação em termos de y seja muito complicado, podemos notar que existem retas verticais que interceptam o gráfico acima em 3 pontos. Isso indica que podem existir 3 funções definidas implicitamente por esta equação. O mesmo vale para determinadas retas horizontais. Por exemplo, fazendo x = 1 na expressão x 3 + y 3 4 xy = 0 e resolvendo a equação resultante para y, obtemos: > s:=subs({x=1},x^3+y^3-4*x*y=0); > s1:=fsolve(s,y); s := 1 + y 3 4 y = 0 s1 := , , Neste caso particular, para x = 1 existem três valores correspondentes para y, o que mostra que a equação dada define, pelo menos, três funções implícitas de x. Exemplo 4 Nem toda equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x ou x como função de y. Por exemplo, a equação x 2 + y = 0 não define função alguma, pois esta equação não tem solução real (x, y). Ela representa apenas o conjunto vazio Derivação implícita Nem todas as funções definidas implicitamente são deriváveis em todos os pontos do seu domínio. As funções que aparecem no Exemplo 2 não são deriváveis nos pontos extremos dos intervalos onde elas estão definidas. Exatamente nestes pontos, as retas tangentes às curvas são verticais. Em um curso de Cálculo avançado se estudam condições que garantem quando uma função definida implicitamente é derivável. Aqui, procederemos como se as funções definidas implicitamente fossem deriváveis em quase todos os pontos de seu domínio. Admitindo que a função y = f(x), definida implicitamente pela equação F(x, y) = 0, seja derivável, podemos calcular a derivada sem ser necessário primeiro resolver a equação F(x, y) = 0, para y. O processo consiste em, utilizando a regra da cadeia, derivar ambos os lados desta equação, considerando x como a variável independente e y, sempre que esta variável aparecer, como uma função de x. Resolvemos, então, a equação resultante em relação à derivada f (x). Este processo é chamado de derivação implícita. Exemplo 1

3 W.Bianchini, A.R.Santos 187 Supondo que a função y = f(x), definida implicitamente pela equação x 2 + y 2 = 1, seja derivável, podemos usar a regra da cadeia para obter f (x). Assim, substituindo y por f(x) na equação dada, obtemos x 2 + (f(x)) 2 = 1. Derivando ambos os lados da equação acima em relação a x, obtemos: que é equivalente a 2 x + 2 f(x) f (x) = 0 2 x + 2 y = 0. Para completar o processo, resolvemos esta última equação considerando que = x y como a incógnita. Neste exemplo, temos Parece estranho vermos uma derivada de y com respeito a x contendo em sua expressão tanto x como y, mas esta fórmula pode ser tão útil quanto qualquer outra. Podemos, por exemplo, usá-la para calcular o coeficiente angular da reta tangente ao círculo x 2 + y 2 = 1 no ponto ( 3 5, 4 5 ) e obter (x, y)=( 3 = x 5, 4 5 ) y (x, y)=( 3 5, 4 5 ) = 3 4 = 3 4. Lembramos que o resultado obtido é válido, qualquer que seja a função y = f(x) definida implicitamente pela equação x 2 + y 2 = 1. Neste exemplo específico, é fácil concluir que existem duas funções contínuas definidas a partir da equação dada: y = 1 x 2 e y = 1 x 2. No primeiro caso, e, no segundo, = x = x 1 x 2 y ; = x = x 1 x 2 y. o que confirma o resultado encontrado pelo processo de derivação implícita. Exemplo 2 Vamos agora determinar a equação da reta tangente ao gráfico do folium de Descartes x 3 + y 3 = 4 xy no ponto (2, 2). Supondo que y = y(x), podemos usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equação acima. Assim, temos que 3 x y 2 y = 4 y + 4 x y Resolvendo esta equação para y, vem que y = 4 y 3 x2 3 y 2 4 x. Calculando o valor da expressão acima no ponto (2, 2), obtemos que y = 1. Este resultado fornece a declividade da reta tangente à curva no ponto dado. Logo, a equação da reta tangente à curva x 3 + y 3 = 4 xy no ponto (2, 2) é dada por y 2 = (x 2), ou x + y 4 = 0. Observação Você pode conferir os cálculos feitos acima através do comando implicitdiff do Maple, usado para calcular derivadas implícitas, como fazemos a seguir: > :=implicitdiff(x^3+y^3=4*x*y,y,x); > subs({x=2,y=2},); := 3 x2 4 y 3 y x 1

4 188 Cap. 14. Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Exemplo 3 O método descrito nesta seção também se aplica ao cálculo de derivadas de ordem superior de funções definidas implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos, vamos calcular a derivada segunda da função y = y(x), definida implicitamente pela equação x 2 xy + y 2 = 16. Derivando esta equação implicitamente com respeito a x, obtemos: 2 x y x ( ) + 2 y ( ) = 0, que é equivalente a = y 2 x 2 y x. Para obter a derivada segunda de y em relação a x, isto é d2 y d x 2, derivamos, outra vez, a expressão obtida acima, implicitamente, com relação a x. Para isso, aplicamos a regra do quociente como se segue: d 2 x d x 2 = ( 2) (2 y x) (y 2 x) (2 ( ) 1) (2 y x) 2 = 3 x ( ) 3 y (2 y x) 2. Para finalizar, substituimos, nesta última expressão, o valor encontrado no primeiro passo, para. Assim, y 2 x d 2 x d x 2 = 3 x [ 2 y x ] 3 y (2 y x) 2 = 6 (x2 xy + y 2 ) (2 y x) 3. Observando que x 2 xy + y 2 = 16, podemos simplificar ainda mais a expressão acima e concluir, finalmente, que d 2 x d x 2 = 96 (2 y x) 3. O resultado obtido acima pode ser conferido com a ajuda do Maple: > implicitdiff(x^2-x*y+y^2=16,y,x,x); 6 x 2 x y + y 2 x 3 6 x 2 y + 12 x y 2 8 y 3. Como 2 x 3 6 x 2 y + 12 x y 2 8 y 3 = (x 2 y) 3 e x 2 xy + y 2 = 16 este resultado confere com aquele que obtivemos acima Taxas relacionadas Motivação Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista? radar x=12 metros z y telefone

5 W.Bianchini, A.R.Santos 189 Neste problema, as distâncias z do policial ao automóvel e y do automóvel em relação ao ponto da rodovia mais próximo da árvore variam com o tempo. O radar marca a velocidade do automóvel em relação ao policial, isto é, dz quando y = 16 m. Para saber se o motorista deve ou não ser multado, precisamos determinar, isto é, a velocidade desenvolvida pelo automóvel no trecho reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone). Pela geometria do problema, usando o teorema de Pitágoras, sabemos que as distâncias x, y e z estão relacionadas pela equação (1) z 2 = y 2. A partir desta equação o processo de derivação implícita nos permite encontrar a relação entre a taxa de variação de z e a taxa de variação de y e então resolver o problema proposto. Este problema é um exemplo típico de uma das aplicações elementares do Cálculo: a solução de problemas de taxas relacionadas. O método de resolução é descrito a seguir. Derivando implicitamente a equação (1) obtemos e daí, 2 z [ dz ] = 2 y [ ] = [ z y ] [dz ], que é a relação que procurávamos. Quando y = 16 m = 0, 016 km, a leitura do radar nos diz que dz = 70 km/h, e, usando outra vez o teorema de Pitágoras, podemos deduzir que, neste momento, z = 20 m = 0, 02 km. Usando estes dados, a relação acima nos permite concluir que, quando o automóvel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada é de > 70*0.02/0.016.; que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado. Os exemplos a seguir ilustram este método aplicado a outras situações. Exemplo Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmara de televisão montada no nível do chão. À medida que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que a câmara faz com o chão. (Veja animação no texto eletrônico.) Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se: (a) Quando o balão estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmara? (b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, com que velocidade a câmara estará girando, para filmar a subida do balão? Vamos denotar por h a altura que o balão está do solo, d a distância do balão à câmera e por w o ângulo que a câmera faz com o solo. d h w 100 metros Todas estas variáveis são funções do tempo decorrido, isto é, h = h(t), d = d(t) e w = w(t). Para resolver o item (a), podemos usar o teorema de Pitágoras a fim de obter uma equação que relacione as variáveis d e h. Assim temos que (1) h = d 2. Derivando esta equação, implicitamente, com relação ao tempo, obtemos: (2) 2hh = 2dd

6 190 Cap. 14. Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Conhecemos h (velocidade com que o balão está subindo) e queremos determinar d (velocidade com que o balão se afasta da câmara), no instante em que h = 75, isto é, quando o balão está a 75 metros de altura. Pela equação (1) sabemos que d = h Fazendo h = 75 nesta última expressão, obtemos que, neste instante, d = = 125. Substituindo estes valores na equação (1) temos que (75)(6) = 125d d = = Para resolver o item (b), conhecendo dh = 6 m/s, precisamos determinar dw, quando t = 5 s. Para isto, como fizemos ao resolver o item (a), é necessário obter uma expressão que relacione as funções h e w e, depois, derivar a expressão obtida implicitamente para obter uma relação entre as taxas de variação citadas. Novamente, observando o diagrama traçado na figura anterior, podemos concluir que Derivando implicitamente esta equação obtemos: tg(w) = (3) (sec 2 w) h 100. ( ) dw = 1 dh 100. Precisamos agora determinar sec 2 w quando t = 5s. Nesse instante, temos que h = 30 m e daí, usando novamente o teorema de Pitágoras, obtemos d = = Como sec(w) = d 100, temos que sec2 w = ( ) 2 = De (3) obtemos dw 1 dh = 100 sec 2 w. Assim, substituindo os valores obtidos para sec 2 w e dh nesta última expressão, temos que dw = Esta razão representa a velocidade angular com que a câmara gira ao acompanhar a ascensão do balão, expressa em radianos por segundo. Método de resolução esquematizado Os exemplos anteriores ilustram os passos que devemos seguir para resolver problemas de taxa relacionada que envolvem uma situação geométrica: 1. Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no problema, incluindo as variáveis dependentes e a variável independente. Explicite claramente quais são os dados do problema e qual a taxa de variação que se quer calcular. 2. Use o seu diagrama para determinar uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema. 3. Derive, implicitamente, esta equação em relação à variável independente. 4. Na equação obtida após o processo de derivação, substitua os valores numéricos dados e resolva a equação resultante em relação à incógnita do problema Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labimpli.mws, da versão eletrônica deste texto.

7 W.Bianchini, A.R.Santos Exercícios 1. Determine, por derivação implícita: (a) xy = 10 (b) 3 x 2 4 y 2 = 5 (c) x + y = 2 (d) x 2 (x y) = y 2 (x + y) (e) 3 x y 3 = 15 (f) x 2 + xy + y 2 = 9 2. Supondo que y seja definido implicitamente pelas equações dadas, determine (a) x 2 + y 2 = 4 (b) 1 x + 1 y = 1 (c) sen(y) = x y (d) x 2 + xy + y 2 = 3 e d2 y d x 2. (e) y 3 + x 2 + x = 5 3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida pela equação dada, no ponto P : (a) Folium de Descartes: x 3 + y 3 = 2 xy ; P = (1, 1) (b) Cardióide: x 2 + y 2 + x = x 2 + y 2 ; P = ( 4 25, 3 25 ) y 2 x (c) Lemniscata de Bernoulli: (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 ; P = ( 2 3 5, 3 5 ) x (d) Astróide: x ( 2 3 ) + y ( 2 3 ) = 1 ; P = ( 2 4, 2 4 ) (e) x y 2 = 6 xy; P = (2, 1) (f) 4 x2 y 3 = 5 x + y 2 ; P = ( 1, 3) (g) x 2 y 3 = 2 y + x; P = ( 1, 1) 4. Encontre os pontos da curva em que a reta tangente é horizontal e os pontos em que ela é vertical: (a) x 4 + y = 4 xy 3 (b) (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 (c) x 3 + y 3 = 2 xy

8 192 Cap. 14. Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.6 Problemas propostos 1. Use derivação implícita para mostrar que qualquer reta tangente em um ponto P (x, y) de uma circunferência de centro em C(x 0, y 0 ) é perpendicular ao raio OP. 2. A luz de um farol giratório deve acompanhar um navio que se move paralelamente à costa. Sua posição, considerada a partir do ponto em que ele é perpendicular à costa, é dada por s(t) = t 2. Sabendo-se que a distância do navio à costa é de 2 km, calcule a velocidade angular do farol, após o início do seu movimento. 3. Uma lâmpada colocada num poste está a 5 m de altura. Se um homem de 2 m de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra? 4. Um ponto se move ao longo da parte superior da parábola y = x, de modo que sua abscissa cresce na razão constante de 3 m/s. A projeção de P sobre o eixo x é M. Com que velocidade varia a área do triângulo OMP, onde O é a origem, quando a abscissa de P é igual a 4 m. 5. Enche-se de gás um balão esférico à razão de 4 m 3 /min. Com que velocidade cresce o raio do balão no instante em que mede 1 m? 6. Um bote está sendo puxado para o cais, por meio de uma corda com uma extremidade amarrada ao bote e a outra, passando por uma roldana fixada no cais, 1,5 m acima do nível do bote. Se a corda é puxada à razão de 0,5 m/s, com que velocidade o bote se aproxima do cais no instante em que ele está a 3 m da roldana? 7. Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 0,5 m 3. O raio da base do monte é sempre igual à metade da sua altura. Com que velocidade cresce a sua altura quando ela está a 2 m? 8. Uma fonte luminosa aproxima-se perpendicularmente de uma parede com velocidade constante de 2 m/s, projetando uma imagem circular sobre esta. Sabendo-se que a abertura do facho de luz é de π 2 radianos, calcule a velocidade com que a área iluminada sobre a parede está diminuindo quando a distância da fonte à parede é de 1 m. 9. Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3 m/s. Quando o balão está a 48 metros do solo, passa, exatamente sob ele um automóvel viajando à velocidade de 20 m/s. Quatro segundos após este instante, com que velocidade varia a distância entre eles? 10. Um quadro de 1 metro de altura é colocado em uma parede de tal forma que sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador que está se aproximando da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variando quando o observador estiver a 2 metros da parede? 14.7 Um pouco de história: Um desafio a Fermat Descartes suspeitou que o sucesso do método das secantes utilizado por Fermat para determinar a equação da tangente a uma curva dependia da existência de uma relação explícita entre y e x, da forma y = f(x) e, então, desafiou-o a encontrar tangentes à curva x 3 + y 3 = n x y, com n = 1,2,... Por isso, esta curva ficou conhecida como o Folium de Descartes. Neste caso, não é possível explicitar y como função de x, portanto, para resolver o problema é preciso empregar o processo de diferenciação implícita, como foi feito neste capítulo. Fermat aceitou o desafio proposto por Descartes e não encontrou dificuldades em resolver este problema. Usando a idéia de que a reta tangente a uma curva qualquer, num ponto (x, y), poder ser obtida como o limite de retas secantes que passam pelos pontos (x, y) e (x + h, y + k), quando h e k tendem a zero, Fermat calculou o valor da expressão F (x, y) = 0 no ponto (x + h, y + k) e passou o limite, desprezando todos os termos contendo potências de h e k ou seus produtos (repare que se h e k são números pequenos, para n 2, h n, k n e hk são desprezíveis em relação à unidade). A declividade da reta tangente seria dada, então, pela razão k h. Embora o método por ele empregado fosse mais complicado do que aquele que empregamos hoje e envolvesse um conceito nebuloso de limites, funcionava em problemas do tipo daquele proposto por Descartes Para você meditar: Quando as contas não fazem sentido! Existe esta curva? Considere a seguinte equação x (x + 6) + y 2 4 y + 14 = 0. Considerando que esta equação define implicitamente y como função de x e usando o Maple para calcular a derivada dessa função, obtemos: > Diff(y,x)=implicitdiff(x*(x+6)+y^2-4*y+14=0,y,x);

9 W.Bianchini, A.R.Santos 193 x y = x + 3 y 2 (a) Explique por que a expressão acima é completamente sem sentido. Sugestão: Que curva plana é definida pela equação x (x + 6) + y 2 4 y + 14 = 0? Derivando equações ou qual o sentido da derivação impĺıcita? Considere a equação cúbica x 3 = 3 x + 8. Derivando ambos os membros desta equação em relação a x, obtemos 3 x 2 = 3. Esta última equação admite duas soluções, x = 1 e x = 1, mas nenhum destes valores é solução da equação original. (a) O que está errado? Afinal, em vários exemplos deste capítulo derivamos ambos os membros de uma equação. Este procedimento é correto ou não? Por que o processo de derivação implícita é válido para calcular a derivada de uma função definida por uma expressão do tipo F(x, y) = 0 e não pode ser aplicado no contexto do exemplo acima. Se (x 0, y 0 ) = 0 a tangente à curva F(x, y) = 0 é horizontal? O problema a ser estudado aqui é o de calcular os pontos no gráfico da equação x 3 + y 3 = 3 x y 1 nos quais a reta tangente à curva seja horizontal. Para resolver este problema é preciso encontrar os pontos onde = 0. Usando o processo de derivação implícita temos > Diff(y,x)=implicitdiff(x^3+y^3 = 3*x*y-1,y,x); x y = x2 y y 2 + x Desta última expressão resulta que = 0 se e somente se y = x2 e x y 2. (a) O ponto (1, 1) pertence à curva dada e satisfaz a relação y = x 2. Neste ponto a tangente ao gráfico da curva é horizontal? (b) Mostre que não há pontos no gráfico da curva x 3 + y 3 = 3 x y 1 onde a reta tangente seja horizontal. Sugestão: Use o comando implicitplot do Maple para traçar o gráfico desta equação.

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