Realce de Imagens Domínio da Frequência. Tsang Ing Ren - tir@cin.ufpe.br UFPE - Universidade Federal de Pernambuco CIn - Centro de Informática

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1 Realce de Imagens Domínio da Freqência Tsang Ing Ren - tir@cin.fpe.br UFPE - Universidade Federal de Pernambco CIn - Centro de Informática

2 Tópicos Introdção Série de Forier. Transformada de Forier. Transformada discreta de Forier. Propriedades das transformada de Forier. Filtros no domínio da freqüência.

3 Introdção Matemático francês Jean Baptiste Joseph Forier Contribição pblicada em 8 Teória Analítica do Calor. Qalqer fnção periódica pode ser epressa como ma soma de senos e/o cossenos de diferentes freqüências. Cada m mltiplicada por ma coeficiente diferente Série de Forier. Fnções qe são não-periódicas porém tendo a área abaio da crva m valor finito podem também ser epresso como integrais de senos e/o cossenos mltiplicados por ma fnção de peso Transformada de Forier. Ambas representação tem ma importante característica a fnção epressa como série o transformada de Forier podem ser reconstrída recperada completamente por m processo inverso sem perda de informação. 3

4 Introdção 4

5 Série de Forier Uma fnção f é dita periódica de período p se f f + np para qalqer n inteiro e positivo. Seja f ma fnção periódica de período π. A série de Forier para esta fnção é a representação em forma de ma soma infinita de co-senos e senos: f a 0 / + k a k cos k + k b k sen k. O f a 0 / + a cos + a cos b sen + b sen Notar qe b 0 não é indicado porqe sen

6 Série de Forier Casos particlares: Se f é ma fnção par isto é f- f os coeficientes b k são nlos e a série é ma soma de co-senos. Se f é ma fnção ímpar isto é f -f- os coeficientes a k são nlos e a série é ma soma de senos. Se f + π -f só eistem coeficientes de índice ímpar. 6

7 Série de Forier Eemplo: Na prática não é possível o trabalho com infinitas parcelas e m número possível deve ser empregado. Veja eemplo na figra a crva vermelha é a fnção f resltante de: f sen + 4/3 sen 3 + 4/5 sen 5 + 4/7 sen só com as 5 parcelas eplicitadas na eqação. Esta série é a representação de ma onda qadrada. Notar qe com 5 parcelas já ocorre ma certa aproimação. Se fossem infinitas o resltado seria ma forma perfeita conforme indicado pela linha tracejada. 7

8 Série de Forier 8

9 Série de Forier A primeira parcela 5 é constante. Se não eistisse isto é se fosse nla o sinal estaria acima e abaio do nível zero. Assim pode-se dizer qe ela é o componente de corrente contína do sinal. A segnda parcela 4 sen tem o mesmo período o mesma freqüência inverso do período do sinal. Por esta igaldade é chamada oscilação fndamental do sinal. As parcelas segintes têm freqüências múltiplas sen 3 sen 5... da fndamental. São chamadas oscilações harmônicas o simplesmente harmônicos do sinal. Portanto pode-se dizer qe todo sinal periódico é formado por m componente contíno qe pode ser nlo ma oscilação fndamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal pro tem somente a oscilação fndamental. Os coeficientes a k e b k são na realidade as amplitdes de cada harmônico. 9

10 Série de Forier Gráfico das amplitdes dos 5 primeiros harmônicos do sinal qadrado em estdo. Este tipo de gráfico é denominado espectro de freqüências do sinal. Notar qe só eistem harmônicos ímpares. 0

11 Série de Forier Os coeficientes da série de Forier ft a 0 / + k a k cos kt + k b k sen kt são dados por: a k /π 0π ft cos kt dt e b k /π 0π ft sen kt dt. A depender do sinal a integração matemática pode ser trabalhosa o complea. Entretanto métodos de integração gráfica sados em comptadores tornam a tarefa bastante simples e eistem instrmentos e programas para analisar na prática qalqer sinal periódico.

12 Transformada de Forier f: fnção contína de ma variável real A transformada de Forier de f: I { } F f f ep[ jπ] d onde j é a variável de freqência

13 Transformada de Forier A integral da eqação mostra qe F é composto por ma soma infinita de termos seno e cosseno. Cada valor de determina a freqüência de se correspondente par seno-cosseno. Fórmla de Eler ep[ jπ] cos π j sin π 3

14 Transformada de Forier Dado F f pode ser obtida através do so da Transformada Inversa de Forier. I { F } f F ep[ jπ] d As eqações descritos é chamada de par de transformada de Forier. 4

15 5 Transformada de Forier Espectro de Forier Fase Espectro de potência [ ] / I R F + tan R I φ I R F P +

16 6 Transformada de Forier A transformada de Forier de ma fnção real entretanto é geralmente complea j e F F ji R F φ + a+jb Parte real Componete cosseno da freqüência Parte imaginária Componete seno da freqüência re -jф Magnitde Qanta componete senoidal da freqüência Fase Qal a fase qe a senoidal precisa estar + tan ] [ / R I I R F φ

17 7 Transformada de Forier Eemplo: sin j e e e a d e j j a a X j X j X j X j X j X j X e X A e e e j A e j A e j A d j A d j f F π π π π π π π π π π π π π sin ] [ ] [ ] [ ] ep[ ] ep[ 0 0 f A X 0

18 8 Transformada de Forier Espectro de Forier sin cos sin cos sin cos + π π π π j j j j e j e j e j e sin sin X X AX e X A F X j π π π π π

19 Transformada de Forier 9

20 Transformada de Forier O par da transformada de Forier para fnção fy de das variáveis. I{ f y} F v f yep[ jπ + vy] ddy I { F v} f y F vep[ jπ + vy] ddv Onde v são os valores de freqüência. 0

21 Transformada de Forier

22 Transformada Discreta de Forier A fnção contína f é discretizada nma seqüência: { f 0 0 f 0 + f f + [ N ] } Tomando N amostras de nidades

23 Transformada Discreta de Forier Onde assme os valores discretos 03.M- então f f 0 + A seqüência {f0ff fm-} denota qalqer amostragem de N valores niformemente espaçadas de ma fnção contína correspondente 3

24 Transformada Discreta de Forier O par de transformadas discretas de Forier qe se aplica a fnções amostradas é dado por: F M M 0 f ep[ jπ / M] para 0 M- M f f ep[ jπ / M] 0 para 0 M- 4

25 Transformada Discreta de Forier Para comptar F sbstitimos 0 no termo eponencial e somamos para todos os valores de. Repetimos para todos M valores de. Teremos então MM adicões e mltiplicações. Então a compleidade comptacional é de ordem ON F M M 0 f ep[ jπ / M] para 0 M- 5

26 Transformada Discreta de Forier Os valores 0 M- correspondem a amostras de ma transformada contína nos valores 0 M-. Isso significa qe F representa F onde: M 6

27 7 Transformada Discreta de Forier Eemplo: A amostragem sobre os valores do argmento ] 0 [ 4 ep[0] f f f f f F ] / ep[ 4 / 3 / j e e e e j f F j j j π π π π ] [ 4 3 0] [ 4 j F j F + +

28 8 Transformada Discreta de Forier O espectro de freqüência é obtido a partir da magnitde de cada m dos termos da transformada F F F F

29 9 Transformada Discreta de Forier em D No caso de das variáveis o par DFT é: ] / / ep[ M N y N vy M j y f MN v F π ] / / ep[ M N v N vy M j v F y f π para 0 M- and y0 N- e: para 0 M- and v0 N-

30 Transformada Discreta de Forier em D A amostragem de ma fnção contína é agora feita em ma grade bidimensional com divisões de largra e y nos eios e y respectivamente. Como no caso nidimensional a fnção discreta fy representa amostras da fnção f 0 + y 0 +y y para 0 M- e y0 N-. M v N y 30

31 3 Transformada Discreta de Forier em D Qando as imagens são amostradas em ma matriz qadrada MN ] / ep[ N N y N vy j y f N v F π ] / ep[ N N v N vy j v F N y f π para v0 N- e y0 N-

32 3 Transformada Discreta de Forier em D Espectro de Forier o magnitde Fase [ ] / v I v R v F v P + tan v R v I v φ

33 33 Transformada Discreta de Forier em D Transformada inversa de Forier para ma imagem fy de tamanho NN sin cos ep N N y N N y N vy j N vy v F N N vy j v F N y f π π π sin cos ep v ji v R N vy j N vy y f N N vy j y f N v F N N y N N y π π π

34 Transformada Discreta de Forier em D Eemplo: Para ma imagem fy de tamanho 44 Coordenadas Piels

35 Transformada Discreta de Forier em D kernel de imagem da transformada de Forier + vy g y; v ep jπ v03 N + vy + vy g r y; v cos π g i y; v sin π N N 35

36 Transformada Discreta de Forier em D 36

37 Transformada Discreta de Forier em D 37

38 Transformada Discreta de Forier em D 38

39 Transformada Discreta de Forier em D 39

40 Transformada Discreta de Forier em D Imagem Original Transformada de Forier Transformada de Forier mapeado linearmente mapeado logaritimicamente 40

41 Propriedades da Transformada de Forier Translação Deslocamento no domínio espacial Deslocamento no domínio de freqüência 4

42 Propriedades da Transformada de Forier Translação Aplicação do deslocamento no domínio de freqüência 4

43 Propriedades da Transformada de Forier 43

44 Propriedades da Transformada de Forier Periodicidade e simetria conjgada Periodicidade FvF+MvFv+NF+Mv+N Apesar de Fv repetir por infinitos valores de e v apenas os valores MN de cada variável em qalqer período é necessário para obter fy de Fv. Isso significa qe apenas m período da transformada é necessaria para especificar Fv completamente no domínio de freqüência e similarmente fy no domínio espacial 44

45 Propriedades da Transformada de Forier Deslocamento do espectro move a origem da transformada para N/ 45

46 Propriedades da Transformada de Forier Simetria conjgada F v F v F v F v * 46

47 Propriedades da Transformada de Forier Eemplo: 47

48 Propriedades da Transformada de Forier Transformada de Forier 48

49 Propriedades da Transformada de Forier 49

50 Propriedades da Transformada de Forier 50

51 Propriedades da Transformada de Forier 5

52 Propriedades da Transformada de Forier 5

53 Filtragem no Domínio da Freqüência 53

54 Filtragem no Domínio da Freqüência Procedimento: Centrar a transformada mltiplicando a imagem por - +y Calclar Fv a transformada discreta de Forier da imagem. Mltiplicar Fv por ma fnção filtro Hv. Calclar a transformada discreta inversa qe prodz a nova imagem realçada. Obter a parte real Mltiplicar o resltado por - +y Resmindo Gv Hv Fv Imagem filtrada I Gv [ ] 54

55 Filtragem no Domínio da Freqüência Três tipos de filtragem. Filtros passa-baia savização borramento. Preserva as baias freqüências espaciais. Sprime as altas freqüências espaciais. Filtros passa-alta realce das bordas agçamento Preserva as altas freqüências espaciais. Sprime as baias freqüências espaciais. Filtros passa-faia restaração de imagens Preserva específicas freqüências espaciais. Sprime otras freqüências espaciais. Baia freqüências: área de savização Altas freqüências: detalhes como bordas e rídos 55

56 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro passa-baia Filtro passa-alta Filtro passa-faia 56

57 Filtragem no Domínio da Freqüência 57

58 58 Convolção Definição: * v G v F y g y f * v G v F y g y f * 0 0 n y m g n m f MN y g y f M m N n

59 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro Básico O valor médio de ma image é dado por F00. Se fizermos este termo no dominio da freqüência igal a zero F000 e tomarmos a transformada inversa teremos o valor médio da imagem resltante igal a zero. Filtro de Notch F00 MN M N 0 y 0 f y Hv 0 se v M/ N/ caso contrário 59

60 Filtragem no Domínio da Freqüência 60

61 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro Ideal passa-baia Um filtro ideal passa-baia é definido por: H v 0 se se D v D v > D 0 D 0 Onde D 0 é m valor não-negativo específico e Dv é a distância do ponto v à origem do plano da freqüência: D + v v / O centro do plano da freqüência: vm/n/ 6

62 Filtragem no Domínio da Freqüência 6

63 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro Ideal passa-baia Todas as freqüências dentro do do círclo de raio D 0 são passadas sem atenação. Todas as freqüências for a deste círclo são completamente atenadas. Freqüência de corte: ponto de transição entre Hv e Hv0 neste eemplo ela e definido por D 0. Um modo de estabelecer m conjnto de posições padrão é comptar círclos qe inclam várias qantidades de potência do sinal total P T 63

64 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro Ideal passa-baia P T é obtido pela soma da potência a cada ponto v para v0 N- o seja: P T N N 0 v 0 P v Se a transformada for centrada m círclo de raio r com origem no centro do qadrado de freqüências incli β% da potência: β 00 v P v / P T 64

65 Filtragem no Domínio da Freqüência 65

66 Filtragem no Domínio da Freqüência Modos mais saves para remover as altas freqüências Filtro de Btterworth H v n + [ D v / D ] 0 Filtro Gassiano passa-baias Hv e D v/ σ 66

67 Filtragem no Domínio da Freqüência 67

68 Filtragem no Domínio da Freqüência 68

69 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro passa-baia Filtro passa-alta H pa v-h pb v Filtro passa-alta + constante 69

70 Filtragem no Domínio da Freqüência 70

71 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro ideal passa-alta H v 0 if if D v D D v > D 0 0 Filtro Btterworth passa-alta + [ D0 / D v] H v n Filtro Gassiano passa-alta Hv e D v/ σ 7

72 Filtragem no Domínio da Freqüência Ideal passa-alta Btterworth passa-alta Gassiano passa-alta 7

73 Filtragem no Domínio da Freqüência Filtro ideal passa-alta H v 0 if if D v D D v > D 0 0 Filtro Btterworth passa-alta + [ D0 / D v] H v n Filtro Gassiano passa-alta Hv e D v/ σ 73

74 Filtragem no Domínio da Freqüência Laplaciano f f + f y f f + y + f y f y f f y + + f y f y y f [ f + y + f y + f y + + f y ] 4 f y 74

75 Filtragem no Domínio da Freqüência Laplaciano no domínio de Forier Temos qe: I[ f y ] + v F v O Laplaciano pode ser implementado sando o filtro: Par da transformada de Forier Hv + v f y [ M / + v N / ]Fv 75

76 Filtragem no Domínio da Freqüência n d f I n d j n F 76

77 Desagçamento Unsharp Masking Filtragem por alto reforço 77

78 Desagçamento Unsharp Masking Filtragem por alto reforço Desagçamento nsharp masking f hp y f y f y Passa-altas original passa-baias Se A for m fator de amplificação então: Alto-reforço A.original passa-baias A-.original+original passa-baias A-.original+passa-altas f hb y A f y + f y f y f f hb Af y A f y f y hb + lp y f y lp hp lp 78

79 Desagçamento Unsharp Masking Filtragem por alto reforço F F hp v F v F v v H v F v lp lp lp H hp v H v lp H v A H v hb + hp 79

80 Desagçamento Unsharp Masking Filtragem por alto reforço 80

81 Filtragem por enfase nas altas freqências H v a bh v hfe + hp a b A 8

82 8 Filtragem Homomórfica y r y i y f { } { } { } y r y i y f I I I ln ln ln y r y i y f y z + { } { } { } { } ln ln ln y r y i y f y z + I I I I v F v F v Z r i +

83 83 Filtragem Homomórfica v F v H v F v H v Z v H v S r i + { } { } { } v F v H v F v H v S y s r i + I I I { } ' v F v H y i i I { } ' v F v H y r r I ' ' y r y i y s +

84 84 Filtragem Homomórfica. 0 0 ' ' y r y i e e e y g y r y i y s [ ] L D v D c L H e v H γ γ γ + 0 /

85 Filtragem Homomórfica 85

86 Filtragem Homomórfica 86

87 Propriedades da transformada -D de Forier 87

88 Propriedades da transformada -D de Forier 88

89 Propriedades da transformada -D de Forier 89

90 Propriedades da transformada -D de Forier 90

91 Transformada Rápida de Forier F M M 0 f ep[ jπ / M] Número de mltiplicações e adicões para implementar a transformada de Forier: M A decomposição da TF torna o número de mltiplicações e adições proporcional a MlogM Isto é se M0 seriam necessários de operações enqanto qe na FFT seriam

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