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1 HÉLIO BERNARDO LOPES Resumo. Epõem-se neste teto os fundamentos do método de primitivação por partes, que se estuda nas disciplinas de Análise Matemática de muitos dos cursos de licenciatura de natureza científica ou técnica. Trata-se de um método simples, embora por vezes surja alguma dificuldade na identificação das situações em que tem de operar-se a sua aplicação. Ilustra-se o método com a doutrina essencial e com uma coletânea de eemplos úteis. Na disciplina de Análise Matemática, logo ao início de certos cursos de licenciatura, é usual tratar, entre outros temas, o da primitivação, que ainda surge aos jovens estudantes como um tema comportando alguma dificuldade. Um dos métodos usados na obtenção da primitiva de certas funções é o método de primitivação por partes, que assenta na inversão da regra de derivação do produto de duas funções. Torna-se, por isso, fundamental ter presente esta regra, o que se faz com o seguinte TEOREMA. Seja I um intervalo de R, não vazio nem singular, e sejam f, g : I R duas funções diferenciáveis num ponto a I. Nestas circunstâncias, o produto das funções, fg, é diferenciável em a I, tendo-se: ( ) fg ( a) f ( a) g( a) + f ( a) g ( a). Desta propriedade, caminhando no sentido inverso, retira-se a regra de primitivação por partes, que se apresenta no seguinte TEOREMA. Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo I R, não vazio nem singular. Nestas circunstâncias, o produto das funções f g produto fg, tendo-se: será primitivável em I se e só se o for o f g fg fg. O método tem como objetivo evitar o cálculo da primitiva que figura no primeiro membro da regra antes apresentada, por ser o mesmo difícil de efetuar, porventura, mesmo impossível. Contudo, a regra de primitivação por partes, para poder ser aplicada, necessita que se conheça a primitiva de f, bem como a do produto fg. Apresenta-se a seguir um conjunto razoável de eemplos concretos de utilização desta regra, em geral retirados de testes ou eames que tiveram lugar em instituições do ensino superior português. EXEMPLO. Seja o problema de calcular: ln( ) d.

2 Acontece que esta primitiva não é imediata, mas pode ser encontrada através do método de primitivação por partes, tal como se mostra de seguida. A mesma pode escrever-se na forma: Toma-se aqui: ln( ) d.ln( ) d. f ( ) f ( ) g( ) ln( ) g ( ) Aplicando agora a regra de primitivação por partes, virá: ln( ) d ln( ) d ln( ) d ln( ) + C onde C é a constante de integração. EXEMPLO. Seja agora achar: ln( + ) d. Está-se perante uma primitiva não imediata, mas que pode obter-se através do método de primitivação por partes, tendo presente que se tem aqui: Neste caso, faz-se: ln( + ).log( + ) d. f ( ) f ( ) g( ) ln( + ) g ( ) + vindo, pois, nos termos da regra ora em estudo: ln( + ) d.ln( + ) d.ln( + ) d.ln( ) d d +.ln( + ) ln + + C ln( + ) ln( + ) + C. EXEMPLO. Seja agora achar a primitiva:.cos( ) d. Faz-se, neste caso:

3 f ( ) f ( ) g ( ) cos( ) g( ) sen( ).cos( ) d. sen( ) sen( ) d. sen( ) + cos( ) + C. EXEMPLO. Seja agora achar a primitiva: Virá, então:. sen( ) d. f ( ) f ( ) pelo que se terá: g ( ) sen( ) g( ) cos( ). sen( ) d.cos( ) + cos( ) d.cos( ) + sen( ) + C. EXEMPLO. Seja, neste caso, encontrar a primitiva: Neste caso, faz-se: sen( ) d. f ( ) f ( ) vindo, pois: g ( ) sen( ) g( ) cos( ) [ ] sen( ) d cos( ) +.cos( ) d cos( ) +. sen( ) + cos( ) + C. EXEMPLO. Pretende, agora, achar-se a primitiva: Tem-se aqui: e d. f ( ) f ( ) g ( ) e g( ) e

4 EXEMPLO. Seja determinar a primitiva: e d e e d e e + C ( ) e + C. e sen( ) d. Neste caso procede-se como se indica a seguir: f ( ) e f ( ) e vindo, portanto: g( ) sen( ) g ( ) cos( ) e sen( ) d e sen( ) e cos( ) d. Voltando a recorrer ao método de primitivação por partes e fazendo agora: f ( ) e f ( ) e virá: g( ) cos( ) g ( ) sen( ) [ ] [ ] e sen( ) d e sen( ) e cos( ) + e sen( ) d e sen( ) d e sen( ) cos( ) e sen( ) d e [ sen( ) cos( ) ] + C. EXEMPLO. Pretende obter-se a primitiva: Tem-se, neste caso: e d. f ( ) f ( ) g ( ) e g( ) e e d e e d. Ora, já em eemplo anterior se calculou a primitiva que figura no segundo membro da anterior igualdade, pelo que, recorrendo a ela, virá:

5 [ ] ( ) e d e e e + C + e + C. EXEMPLO. Seja, desta vez, a primitiva: Faz-se, neste caso: ln( ) d. f ( ) f ( ) g( ) ln( ) g ( ) pelo que se obtém: ln( ) d ln( ) d ln( ) + C. 4 EXEMPLO. Pretende obter-se a primitiva: Faz-se, neste caso:. arctg( ) d. f ( ) f ( ) g( ) arctg( ) g ( ) +. arctg( ) d arctg( ) d arctg ( ) + + arctg( ) + arctg( ) + C [ arctg( ) + arctg( ) ] + C. EXEMPLO. Determinar a primitiva: Tem-se então: pelo que, fazendo: arctg( ) d.. arctg( ) d d

6 f ( ) f ( ) g( ) arctg( ) g ( ) + virá: arctg ( ) d. arctg ( ) d arctg ( ) C. ( ) + ln + +. EXEMPLO. Achar a primitiva: Tendo presente que se tem: deverá fazer-se: ln( + 3) d. ln( + 3) d.ln( + 3) d f ( ) f ( ) g( ) ln( + 3) g ( ) + 3 vindo, portanto: 3 ln( + 3) d.ln( + 3) d.ln( + 3) + ln C. + 3 EXEMPLO. Encontar a primitiva: 3 e d. Convém dar a esta primitiva o formato que se segue: devendo, então, fazer-se: 3 e d ( ) e d f ( ) f ( ) daqui vindo: g ( ) e g( ) e e d [ e ( ) e d] [ e e ] 3 + C + +.

7 EXEMPLO. Calcular a primitiva: arcsen( ) d. Neste caso faz-se: f ( ) f ( ) g( ) arcsen( ) g ( ) arcsen ( ) d. arcsen ( ) d. arcsen( ) + d ( ). arcsen( ) + + C. arcsen( ) + + C. EXEMPLO. Achar a primitiva: sh( ) d. Neste caso, tem-se: f ( ) f ( ) g ( ) sh( ) g( ) ch( ) sh( ) d ch( ). ch( ) d e, recorrendo de novo ao método de primitivação por partes: f ( ) f ( ) ou seja, finalmente: g ( ) ch( ) g( ) sh( ) [ ] sh( ) d ch( ). sh( ) sh( ) d ch( ). sh( ) + ch( ) + C. O conjunto de eemplos acabados de apresentar e de resolver ajuda, como a conjetura e a eperiência no-lo indicam, a dominar o método de primitivação por partes, de resto muito simples, embora encontre ainda, e em boa parte dos alunos, um estranho escolho no seu manuseio.

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