MÉTODOS DE DERIVAÇÃO

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1 MÉTODOS DE DERIVAÇÃO TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE Uma ução costate ão apreseta variação, portato sua erivaa é ula ( c) 5 4 Por eemplo: () ( 5 ) ( π) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I

2 Métoos e erivação DERIVADA DE UMA FUNÇÃO LINEAR A icliação e uma reta é costate Loo, a erivaa e uma ução liear é costate Deução: ' ' ( b m) m ( ) [ b m( ) ( b m) m m m Obs: ( bm) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO () 3 - () 3() ()/ -() Deução: [ c [ c [ c c c c ( ) c ( ) ( ) [ c c' TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I

3 Métoos e erivação DERIVADAS DE SOMAS E DIFERENÇAS () 3 5 (),8,6 () () 3 3,8 5,6 () 3 () -, -, -, () (),8,8,9 [ ' ' ,5,7,5,9, 8,5,7 8,5 34,9 4, ,,8,4,3-4, 5,8 6,4 7,3 - [ ' ' Deução: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' [ [ TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação DERIVADAS DE POTÊNCIAS INTEIRAS POSITIVAS Deução: ( ) ( K ) K ( K ) ( ) ( K ) Para iteiro positivo: ( ) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 3

4 Métoos e erivação DERIVADAS DE POTÊNCIAS INTEIRAS POSITIVAS Eemplos 5 () '() 5 () 3 '() ( ) ( ) 3 TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação DERIVADAS DE POTÊNCIAS INTEIRAS NEGATIVAS Deução: ( K ) ( K ) K K ( K ) ( ) K ( K ) Para iteiro eativo: ( ) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 4

5 Métoos e erivação DERIVADAS DE POTÊNCIAS INTEIRAS NEGATIVAS Eemplo 5 () - '() 5 3 ( ) ( ) esta é, a verae, a rera e erivação para qualquer real TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação DERIVADAS DE POLINÔMIOS Jutao as reras e erivação e uções multiplicaas por costates, soma e uções e e erivação e potêcias é possível erivar qualquer poliômio Eemplo: 3 3 ( 5 4) ( ) ( 5 ) ( 4) 3 3 ( 5 4) ( ) 5 ( ) ( 4) 3 ( 5 4) ( 5 4) 6 TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 5

6 Métoos e erivação NOTAÇÃO ALTERNATIVA PARA PEQUENAS VARIAÇÕES Usao a otação para represetar pequeas variações: ( ) Com essa otação, a erivaa poe ser escrita a seuite orma: ' TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A REGRA DO PRODUTO [ ( ) ( ) Uma orma e visualizar a epressão ( ) ( ) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 6

7 7 TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A REGRA DO PRODUTO Diviio tuo por : Multiplicao a última parcela o lao ireito a iualae por / e aplicao o ite quao : [ TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação Sabe-se que: A REGRA DO PRODUTO [ ' ' Portato: [ ' ' ' ' [ ' ', e

8 Métoos e erivação A REGRA DO QUOCIENTE Assumio que Q, também Q A rera o prouto poe ser usaa para se ecotrar uma órmula para Q em termos e e : ' ' Resolveo para Q (): Q ' Q' Q ' Q' ' ' ' ' ' TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A REGRA DO QUOCIENTE Q ' Q' ' ' ' Fazeo Q' : ' [ ' ' [ TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 8

9 Métoos e erivação LINEARIZAÇÃO () 5 5 () reta taete a () () () reta taete a () Próimo ao poto e taêcia, a reta taete é uma boa aproimação a ução A reta taete a (a) passa pelo poto (a, (a)) e sua icliação é (a) L ( a) ' ( a)( a) Se é erivável em a, L() é a liearização e em a TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação ERRO DE LINEARIZAÇÃO L() liearização e () o poto a; variação em a meia que varia e a até (a ); ( a ) ( a) L variação em L a meia que varia e a até (a ) L L( a ) L( a) ( ) L a ' a a a a ' a a a L ' ( a) Como eralmete averá uma iereça etre os valores e () e L() para a, L Ou seja, averá um erro e aproimação Esse erro poe ser calculao como: erro L TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 9

10 Métoos e erivação ERRO DE LINEARIZAÇÃO erro L ( a ) ( a) ' ( a) erro erro [ ( a ) ( a) ' ( a) ( a ) ( a) erro ' Oe: erro ε ε ( a ) ( a) ' ( a) ( a) Coorme, o ite: ( a ) ( a) ( a ) ( a) ' ( a) ' ( a) ' ( a) ' ( a) Portato, coorme, ε Ou seja, quato mais a, meor é o erro e aproimação E o ite o erro é ulo TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação ERRO DE LINEARIZAÇÃO Voltao ao erro etre e L: erro L L erro Portato, se é ertivável em a e se varia e a para (a ), uma variação e () próima e a poe ser escrita como seo a qual ε a meia que ( a) ε ' TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I

11 Métoos e erivação A REGRA DA CADEIA y ( ) z Supoo, se etão y z Parece ituitivo que: y y z z Assumio isso, etão quao : y y y z z ( z) ' ' ( ) ' ' [ ( ) ' ( ) ' TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A REGRA DA CADEIA Prova ormal a rera a caeia: Supoo ovamete que, e y z De acoro com a órmula para o erro e liearização: oe ε e z se, e também ε se z y ( ) z ε [ ' ε z ' ( z) z ε z [ ' ( z) ε z y ' Como z represeta uma pequea variação em z, z é equivalete a z Combiao as equações e y e z: [ ' ( z) ε z y [ ' ( z) ε [ ' ε y TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I

12 Métoos e erivação A REGRA DA CADEIA y ' [ ' ( z) ε [ ' ε y ( z) ' ' ( z) ε ' ε ε ε Uma vez que ε e ε coorme, três os quatro termos a ireita esaparecem o ite, restao: y ' ( z) ' ' ( ) ' Ou: y ' ( ) ' E por im: [ ( ) ' ( ) ' TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A DERIVADA DE / [ [ Em [(), () poe ser cosieraa a ução e etro Etão, usao a rera a caeia para ecotrar a erivaa, obtem-se: ' ' ( ( ) ) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I

13 Métoos e erivação FUNÇÕES EXPONENCIAIS E A DEFINIÇÃO DE e Que ormato eve ter a erivaa e uma ução epoecial? () () ( a ) a a a a a a ( a ) ( a ) a a ( a ) ão epee e, apeas e a Portato, a erivaa e uma ução epoecial é proporcioal à própria ução TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação FUNÇÕES EXPONENCIAIS E A DEFINIÇÃO DE e Eemplos: Usao a calculaora: Usao a calculaora: Usao a calculaora: ( ) (,693 ) ( 3 ) (,986) 3 ( 4 ) (,38634 ) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 3

14 Métoos e erivação FUNÇÕES EXPONENCIAIS E A DEFINIÇÃO DE e Eiste alum valor e a que aça a a? Para que isso acoteça: a Ou para muito pequeo: a a Calculao para muito pequeo: ( ), e a 788 De ato, poe ser provao que: e e que: ( ),788 e a a ( ) De moo que: ( e ) e TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A DERIVADA DE l() l Como, etão: l e [ e Cosierao l() como a ução e etro, e visto que a erivaa e e é o próprio e, pela rera a caeia resulta que: l e [ l l l e [ [ l TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 4

15 Métoos e erivação A DERIVADA DE a Partio a ietiae: l ( a ) l( a) Derivao em ambos os laos, cosierao a como a ução e etro e usao o ato e que [l() /, pelas reras a caeia e o prouto resulta que: [ l ( a ) [ l( a) a a ( a ) l( a) l( a) ( a ) l( a) ( a ) l( a) a [ TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A DERIVADA DE se() Como eve ser o ráico a erivaa a ução seo? se() - -7pi/ -3pi -5pi/ -pi -3pi/ -pi -pi/ pi/ pi 3pi/ pi 5pi/ 3pi 7pi/ 4pi [se()' -7pi/ -3pi -5pi/ -pi -3pi/ -pi -pi/ pi/ pi 3pi/ pi 5pi/ 3pi 7pi/ 4pi O ráico parece iicar que [ se cos( ) TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 5

16 Métoos e erivação A DERIVADA DE se() Deução Cosierao a ietiae a soma os âulos, se [ se por substituição se obtem: [ se [ se se ( ) se ( ) se cos cos se [ se cos se se cos [ cos cos se se [ se se cos cos se TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A DERIVADA DE se() [ se se cos cos se Aalisao umericamete os ois ites a epressão acima: [cos() -/ [se()/,,5,,99833,,5,,99998,,5,,,,,,,,,, cos se TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 6

17 Métoos e erivação A DERIVADA DE se() [ se se cos Substituio pelos valores os ites: cos [ se se cos [ se cos se TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação A DERIVADA DE cos() Partio a epressão: Aplicao a erivaa os ois laos e cosierao π/ como a ução e etro, pela rera a caeia resulta que: cos se π π [ cos se cos Como cos( π/) se(): [ cos se y π ycos() y-se() - -pi -3pi/ -pi -pi/ pi/ pi 3pi/ TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 7

18 Métoos e erivação A DERIVADA DE t() Lembrao que t se cos e aplicao a rera o quociete: [ t se cos [ t cos [ se 'cos se [ cos ' cos se cos cos [ t cos TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I Métoos e erivação AS DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS [ arcse Como arccos π arcse : [ arccos [ arct TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 8

19 Métoos e erivação DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS y 4 Aplica-se a erivaa os ois laos a equação: y 4 y 4 ( ) ( y ) ( 4) y y y - ( y) y - TE3 Fuametos Matemáticos para a Eearia Elétrica I 9