ALGORITMO DE GOSPER E APLICAÇÕES Humberto Silva Naves

Transcrição

1 Nível Avaçao ALGORITMO DE GOSPER E APLICAÇÕES Humberto Silva Naves Cotiuao com as iéias o artigo Itegrais iscretas (e Euaro Poço a Eurea úmero 7), vamos tetar escobrir fórmulas fechaas para algus somatórios a forma: (*) Algumas cosierações evem ser feitas ates e cotiuarmos: - Vamos assumir que é uma seqüêcia hipergeométrica, isto é, a raão r ( ) / é uma fução racioal e. - Por fórmula fechaa, eteemos que existe uma seqüêcia hipergeométrica s tal que s (essa efiição ão é tão restritiva assim, pois veremos que a classe as seqüêcias hipergeométricas é bastate ampla). Por exemplo, vamos tetar achar uma fórmula fechaa para: s, oe ( )4 Claramete é hipergeométrica, uma ve que racioal e. Por (*), vale: ( ) r ( ) / 4( )( ) é uma fução s s s s s A ossa fórmula fechaa s é hipergeométrica, logo portato: s y( ) y( ) y( ) ry ( ) ( ) y ( ) s s é uma fução racioal y(), oe: ( ) r ( ) 4( )( ) Como y() é racioal, existem poliômios P( ), Q( ) com mc{ P( ), Q( )} tais que P( ) y ( ) e substituio a equação aterior, vale: Q ( ) ( ) P( ) Q( ) 4( )( ) Q( ) P( ) 4( )( ) Q( ) Q( ),

2 Disto cocluí-se que: - Q ( ) 4( )( ) Q ( ) - Q ( ) ( ) Q ( ) Q ( ) ( ) Q ( ) (Observação: toas as relações e ivisibiliae e os mc s referecem-se aos poliômios em si e ão aos seus valores em um ao poto) Por (), temos que se α é uma rai e Q etão: α ou α ou α é rai e Q. E por () se α é rai e Q etão: α ou α também é rai e Q. Portato, como Q ão poe ter ifiitas raíes, Q ão possui rai alguma, isto é, Q() é costate (sem pera e geeraliae, Q() ). Disto cocluí-se que: ( ) P( ) 4( )( ) P( ) 4( )( ) Logo: ( )( ) P ( ) ( ) P ( ), aí P( ) ( ) P( ), etão vale: ( ) P( ) 4 ( ) P( ) 4, oe P( ) é um poliômio Seja eg P, P( ) a... a; substituio a equação aterior, vale (para o caso > ): (4 4 )( a ( )... a ) (4 4 )( a... a ) 4 (4 4 )( a ( a a )...) (4 4 )( a a...) 4 4 a... 4 Mas, se >, 4 a... 4 é um poliômio e grau. Portato P( ) 4 (que e fato é solução a equação aterior), oe cocluímos que: y ( ) 4 ( ), logo: 4 ( ) ( )4 ( )4 4 (é fácil ver que a fórmula vale para e, e, pela ietiae que provamos, vale sempre). Vamos agora geeraliar essa iéia para qualquer seqüêcia hipergeométrica. O leitor ateto eve ter otao que a coclusão e que Q(), implicitamete usamos o fato que: mc{a(), B( h)}, para qualquer iteiro h, oe A ( ) ( ), e B ( ) 4( )( ), são o umeraor e o eomiaor e r() respectivamete. Mas em sempre é possível escrever r ( ) como a raão e ois poliômios satisfaeo as coições: mc{ A( ), B( h)}, h. O leitor perguta: Etão essa técica ão se aplica para toos os casos?!?!?. O autor respoe: Não se esesperem!, uma ve que é possível escrever r() a seguite forma:

3 A ( ) C ( ) (**) r ( ) B( ) C( ) oe A(), B(), C() são poliômios tais que: mc{ A( ), B( h)}, h. Não vamos emostrar esse fato aqui (pois é um os exercícios este artigo), mas vamos exibir um ( 4)( 3) exemplo bem ilustrativo! Como escrever r ( ) a forma (**)? ( ) Note que: A( ) C( ) r ( ), 3 B( ) C( ) oe A(), B() e C ( ) ( ) ( ) ( 3). De forma geral se α é uma rai o eomiaor e r() e α h é uma rai o umeraor e r(), oe h, etão vale: ( α h) α h α h α T( ) α α h α h α T( ) Oe T( ) ( α h )( α h ) ( α) Vamos tetar usar a fórmula (**) em r() y( ) y() A ( ) C ( ) y ( ) y ( ) B ( ) C ( ) Como y() é racioal em, poemos faer a substituição B ( ) y ( ) y ( ), portato: C ( ) Ay ( ) ( ) B ( ) y ( ) C ( ) (***) Agora o milagre acotece! Se y ( ) é uma fução racioal que satisfa (***), etão y ( ) é um P( ) poliômio! Se y ( ), com mc{ P( ), Q( )}, etão: Q ( ) AP ( ) ( ) Q ( ) B ( ) PQ ( ) ( ) CQQ ( ) ( ) ( ) Logo: - Q ( ) B ( ) Q ( ) - Q ( ) AQ ( ) ( ) Q ( ) A ( ) Q ( ) Logo se α é rai e Q, etão: - α é rai e B( ) ou α é rai e Q ( ) - α é rai e A( ) ou α é rai e Q ( )

4 Como mc{ A( ), B( h)}, h, Q( ). Vamos agora resolver a seguite equação poliomial: Ay ( ) ( ) B ( ) y ( ) C ( ), oe y ( ) a... a Temos casos a cosierar - eg A eg B - eg A eg B e δ A δ B ( δ A é o coeficiete líer e A): Nesses casos, pela equação (***), vale: egc eg y max{eg a, eg b} eg C max{eg A,eg B}. 3- eg A eg B m e δ A δ B Se >, etão: a...)( a ( ) a ) b...)( a a ) C( )...)( ( ) a a a a ) m m ( b...)( a a ) C( ) [( ( )) ( )] m a a a a b a a C( ) b a Se ( a b) a a, mas se ( a b) a a egc m egc eg A Em toos os casos, é possível calcular o valor e e uma ve calculao o valor e, a equação poliomial se trasforma em um sistema liear com variáveis que poe ser resolvio (quao possível) usao técicas básicas e álgebra liear. Exercícios: ) Calcule os seguites somatórios a) b) c) a ) Prove que qualquer fução racioal r(), poe ser escrita como: AC ( ) ( ) r ( ) com B( C ) ( ) mc{ A( ), B( h)}, h e mc{ A( ), C( )} mc{ B( ), C( )} (o leitor ateto ovamete otará que aicioamos uas ovas restrições). 3) Prove que a meos e multiplicações por costates, A(), B() e C() são úicos o exercício aterior (a forma acima chama-se forma caôica ). 4) Diemos que uas seqüêcias hipergeométricas são similares, quao a raão os uas é uma fução racioal e este caso, escrevemos s t. Prove: a) Se s é ão costate, etão s s, oe s s s.

5 b) Se s e t são hipergeométricas, e s t etão s t é hipergeométrica se e somete se s. t (Esse resultao poe levar o leitor a iagar sobre a ossa suposição iicial o que seria uma fórmula fechaa ser algo bem restritivo). () () ( m) m () i c) Se t, t,..., t são hipergeométricas e vale t i, etão t () i ( j) t para algum i, j com i< j m. () () ( m) () () ( m) ) Se vale t t... t, oe t, t,..., t e são hipergeométricas, etão é hipergeométrica! (Ufa! De fato ossa efiição e fórmula fechaa ão é tão restritiva assim).