Questão 1. Questão 2. Questão 3. Resposta. Resposta. Resposta

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1 Questão 1 a) O faturameto de uma empresa este ao foi 1% superior ao do ao aterior; oteha o faturameto do ao aterior, saedo que o deste ao foi de R$1.4.,. ) Um comerciate compra calças a um custo de R$6, a uidade. Pretede veder cada uidade com um gaho líquido (gaho meos os impostos) igual a % do preço de veda. Saedo que, por ocasião da veda, ele tem que pagar um imposto igual a 18% do preço de veda, qual deve ser esse preço? a) Sedo x o faturameto do ao aterior, x (1 + 1,) = 1 4 x = R$ 65.,. ) Seja P v o preço de veda, em reais. O preço de custo é P c = R$ 6, e, a ocasião da veda, o comerciate terá de pagar,18 P v de impostos. Coseqüetemete, o gaho líquido L será: L = Pv Pc,18 Pv, Pv = Pv 6,18 Pv P v = R$ 5, ) Se o custo total de x uidades for C = + + 1x, a fução que represeta o custo médio é f(x) = + 1x = + 1, com x N,represetada pelo x x gráfico: f(x) Questão 1 51 x Chama-se custo médio de produção o custo total dividido pela quatidade produzida. a) Uma fárica de camisetas tem um custo total mesal dado por C = F + 8x, em que x é a quatidade produzida e F o custo fixo mesal. O custo médio de faricação de 5 uidades é R$1,. Se o preço de veda for R$15, por camiseta, qual o lucro mesal de faricar e veder 6 uidades? ) Esoce o gráfico do custo médio de produção de x uidades, em fução de x, se a fução custo total for C = + 1x. a) O custo total de 5 camisetas é 5 1 = 6. Etão 6 = F F =. O custo total de 6 camisetas é C = = 6 8. Logo o lucro é =. Questão a) Oteha a área de um triâgulo eqüilátero em fução da medida h da altura. ) Cosidere um poto P situado o iterior da região triagular determiada por um triâgulo eqüilátero com lado de medida m. Sejam h 1, h e h as distâcias de P a cada um dos lados. Mostre que h 1 + h + h é costate para qualquer posição de P e determie essa costate em fução de m. a) A altura h de um triâgulo eqüilátero de lado é dada por h = = h. Assim, a área

2 matemática do triâgulo eqüilátero em fução da altura h é 1 h h h =. ) Cosideremos a figura a seguir que mostra um triâgulo eqüilátero de lado m e altura h e um poto itero P com distâcias h 1, h e h aos lados do triâgulo. o capital aplicado R$ 1.,, a taxa é i = =,5% ao mês Logo, a 1ª aplicação, a uma taxa de,5% ao mês, aplicados durate 1 meses: C (1 + 1,5%) = 1 C =R$ 8.,. ) Em t meses, o motate do 1º capital aplicado é C 1, t reais e o do º capital aplicado é C 1, t reais. Para que os motates sejam t t iguais, C 1, = C 1, t log 1, = (t ) log 1, log 1, t= 9 meses. log 1, log 1, Questão 5 Qualquer que seja a posição do poto P, situado o iterior da região triagular ABC, podemos afirmar que a soma das áreas dos triâgulos PBC, PAC e PAB é igual à área do triâgulo ABC. Etão m h 1 + m h + m h = m h h 1 + h + h = h = m. Questão 4 a) Um capital C foi aplicado a juros simples durate 1 meses, gerado um motate de R$1.,; esse motate, por sua vez, foi tamém aplicado a juros simples, durate 15 meses, à mesma taxa da aplicação aterior, gerado um motate de R$1.75,. Qual o valor de C? ) Um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de % ao mês. Três meses depois, um outro capital igual a C é aplicado tamém a juros compostos, porém à taxa de % ao mês. Duratequatotempoo1ºcapitaldeveficar aplicado para dar um motate igual ao do º capital? Você pode deixar idicado o resultado. a) Seja i a taxa mesal as aplicações. Como o motate a ª aplicação foi R$ 1.75, e a) Mostre que existem ifiitas triplas ordeadas (x,, z) de úmeros que satisfazem a equação matricial: 1 1 x + + z 1 = ) Resolva o sistema liear aaixo, as icógitas x e, usado o coceito de matriz iversa: x + = a 5x + = Use o fato de que a iversa da matriz A = 1 5 é A 1 1 = a) x + + z 1 = x + z = x 1z = x + + 7z = O sistema liear otido é homogêeo e o determiate da sua matriz icompleta é: = + ( 1 + 8) = Logo o sistema liear tem ifiitas soluções e, portato, existem ifiitas triplas ordeadas que satisfazem a equação matricial.

3 matemática ) Seja A = 1. Tal sistema é equivalete a 5 x a 1 x 1 a A A A A = = x = 1 a A. Como A 1 1 =, 5 x 1 a a = 5 = 5a + x = a = 5a + Logo V = {( a ; 5a + )} Questão 6 a) Num triâgulo isósceles ABC, em que AB = AC, o âgulo  mede o doro da soma dos outros dois. O lado BC mede 1cm. Oteha o perímetro desse triâgulo. ) Cosiderado que se x + cos x = k, calcule, em fução de k, o valor da expressão se x + cos x. a) No triâgulo isósceles ABC em que AB = AC, m(a) = (m(b) + m(c)) = 4 m(b) = 4θ. Como m(a) + m(b) + m(c) = 18 o, 4θ+θ+θ=18 o θ= o. No triâgulo isósceles ABC a altura relativa à ase BC coicide com a mediaa e a issetriz relativas à mesma ase. Cosideremos a figura a seguir: No triâgulo retâgulo AHC, cosθ= HC AC 5 = AC 1 AC = cm. Assim, o perímetro do triâgulo ABC é = = 1 + cm. ) Temos se x + cos x = k (se x + cos x) = = k se x + cos x + se x cos x = k se x cos x = k 1. Assim, se x +cos x = = (se x + cos x) (se x se x cos x +cos x) = k 1 k k = k 1 = +. Questão 7 a) Um grupo de 4 pessoas plaeja espalhar um oato da seguite forma:? cada uma das 4 pessoas telefoa para pessoas e as iforma do oato.? cada uma das acima referidas é solicitada a telefoar para pessoas e iformá-las do oato. Qual o úmero máximo de pessoas que ficam saedo do oato? ) Um dado é laçado vezes. Para que valores de a proailidade de que o úmero apareça ao meos uma vez é maior que,95? O resultado pode ficar idicado. a) Depois que 1 pessoa telefoar para outras e as iformar do oato, 1 pessoas estarão saedo do oato. Em seguida, cada uma dessas pessoas irá iformar outras pessoas, fazedo com que mais = 6 pessoas fiquem cohecedo o oato. Desse modo, depois que 1 pessoa do grupo iicial espalha o oato, = 61 pessoas ficam saedo. Portato o úmero máximo de pessoas que ficam saedo é 4 61 = 5 4. ) A proailidade de que, em laçametos do dado, o úmero ão apareça ehuma vez é igual a 5. Assim, a proailidade de que o úmero apareça ao meos uma vez é Tal proailidade será maior que,95 se, e somete se, 1 5 >,95 5 <,5 6 6 log 5 < log 5 log 5 log 1 > 6 1 log 5 log 6 log 5 > log 6 log 5.

4 matemática 4 Usado as aproximações log =, e log = (1,) =,48, temos > (, +,48) (1,) 17 vezes. Questão 8 a) Cosidere úmeros reais ão ulos x 1, x, x,..., x. Em que codição a variâcia desses úmeros é ula? Justifique. ) Dados três úmeros reais x1, x e x, qual o valor de m que miimiza a expressão ( xi m)? i = 1 a) Sedo x a média dos úmeros reais x 1, x, x,..., x e a variâcia ula, temos: (x x 1) + (x x ) (x x ) = ( x x 1) + (x x ) + (x x ) = Como os termos ão podem assumir valores egativos, para termos uma soma ula, todos os termos devem ser iguais a zero, ou seja, x1 = x =... = x = x. Todos os úmeros devem ser iguais à média. ) Seja f(m) = (xi m) i = 1 f(m) = (x1 m) + (x m) + (x m) = = m m(x1 + x + x ) + x1 + x + x. Logo f(m) é uma fução quadrática que assume seu valor míimo para [ (x1 x x )] m = + + = x 1 + x + x que é a média aritmética etre x 1, x e x. Questão 9 No plao cartesiao, cosidere o feixe de paralelas x + = cem que c R. a) Qual a reta do feixe com maior coeficiete liear que itercepta a região determiada pelas iequações: x + 1 x ) Quais as retas do feixe que tageciam a circuferêcia de equação x + = 1? x + 1 a) A região descrita por x é a represe- tada a figura a seguir: A reta do feixe x + + c = x + c que itercepta a região destacada e que possui o maior coeficiete liear é a que passa pelo poto (1; ). Assim, = 1 + c c = e a reta procurada tem equação x + =. ) As retas do feixe x + = c x + c = que tageciam a circuferêcia x + = 1, de cetro (; ) e raio igual a 1, são tais que sua distâcia até o cetro da circuferêcia é igual ao raio, ou seja, + 1 c + 1 = 1 c = 5 c =± 5. Logo as retas são x + = 5 e x + = 5. Questão 1 Dado o poliômio P(x) = x 4 + x 6 x 4x + k: a) Resolva a equação P(x) =, para k = 8. ) Determie o valor de k de modo que as raízes estejam em progressão aritmética de razão igual a.

5 matemática 5 a) Para k = 8, P(x) = x 4 + x 6x 4x + 8eas possíveis raízes racioais de P(x) = são ±1, ±, ±4 e ±8. Usado o dispositivo de Briot-Ruffii, temos: As demais raízes são otidas resolvedo a equação x + 4x + 4 = x =. Logo V = {, 1, }, ode é dupla. ) Sejam a, a+, a + 6ea+ 9 as raízes de P(x). Pelas relações etre coeficietes e raízes, temos: a + a + + a a + 9 = 1 a (a + ) + a (a + 6) + a (a + 9) + + (a + )( a + 6) + (a + )(a + 9) + + (a + 6)(a + 9) = 6 a (a + ) (a + 6) (a + 9) = k a = a = 4 4 6a + 54a + 15 = = 9 ± 11 a 11 5 k = k = 56 Logo ão existem a e k satisfazedo as codições do prolema.