2Parte. Soluções das Fichas de trabalho. FICHa De trabalho 1 Resolução de triângulos

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1 Soluções das FICHa De trabalho Resolução de triâgulos Aretâgulo 9 = A , círculo. a =,. ta a =. 78 m a) V A.,7 ; B U., e a. 8,9 cm b) B U. 99, ; C V.,6 e b.,8 cm ou B U = 0,6 ; C V., e b.,8 cm c) Não existe ehum triâgulo as codições idicadas. a) B U. 7,8 ; C V., e a. m b) V A. 9, ; C V.,6 e c. 7, m c) V A = 7,8 ; B U.,8 e C V. 98, 6 a) NB. 9,8 km b) A [ANB]. 0 km 7 a) P [ABCD]. 9 m b) A [ABCD]. 0 m 8 8. a., m + 9 a) b) 0 a) b) FICHa De trabalho Âgulos orietados, âgulos geeralizados e rotações a) (80, ) b) (0, ) c) (7, ) d) (7, 7) e) (0, 7) f) (90, ) g) (, ) h) (, ) a e a 6 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

2 a).º quadrate. b).º quadrate.. si = ; cos ( ) =. AB = u. c.. R (O, 80 ) (H) = D. D e, o c).º quadrate. d).º quadrate.. av =. 6 a) r m.., m b) 60 =, 6 c) d) 7 a) A e, b) C(, ) o 8 a) c) A [ABC ] = u. a. d) P [ABC ] = + u. c. b) 9 9. a) r cm b) 9r cm c) r cm 9. a) 6r cm b) r cm c) 6r cm 0 a) ' 0'' b) 7 6' 00'' c) 7 ' '' a) a. 6 6' '' b) b. 76 ' '' a) 7 7' '' b) ' '' c) ' 06'' d) (98 8' '') e) (0 00' 00'') DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa 7

3 a) 0, rad b),7 rad c) 0,7 rad d),7 rad e) 6, rad f),0 rad a) a. 0, rad b) c.,89 rad FICHa De trabalho Fuções e equações trigoométricas a) b) c) 0 d) e) f) a) b) 0 c) 0. horas.. Maré baixa às 9 h e às h ; maré alta às h e às h.. t! ], [, ], 7[ a) D' f = [, ] b) D' g = [, ] c) D' i = [0, 6] d) D' j = [0,; ] 6 6. A = e B = 0, r 6. a) f c m = r b) f c m = 8 c) f c r m = r r 7 a) Zeros de f : x = + kr, k! Z 0 x = + kr, k! Z b) Zeros de g : x = (k + )r, k! Z 0 x = (k )r, k! Z c) Zeros de h : x = k r, k! Z 0 x = k r, k! Z 8 8. A [OAB] = 8. A r c m = AB # OC sia# cos a r = = si a cos a, a! E0, ; u. a. 8. O triâgulo [AOB] tem área máxima em a = r. 8 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

4 9 a) D f = Ir ; f(x) = si(x) = si(x) = f(x), pelo que f é ímpar. b) D g = Ir ; g(x) = + cos(x) = + cos x = g(x), pelo que g é par. c) D h = Ir\{x: x = kr, k! Z} ; h(x) = ta c x m = ta x = h(x), pelo que h é ímpar Dilatação vertical de coeficiete e traslação vertical segudo o vetor de coordeadas (0, ). 0. D' f = [, ] r 0. f c m = 6 0. x = r! kr, k! Z a) cos x si x = ( si x) si x = si x b) ( cos x si x ) + ( cos x + si x ) = = 6 cos x cos x si x + 9 si x + 9 cos x + cos x si x + 6 si x = = cos x + si x = c) c cos x ta xm = c si x cosx m cos x = ( si x) si x = = ( six)( + si x) + si x a) si x b) ta x c) si x ( si x) cos x = ( si x) si x = a) b) c) r. f c m = 6 a) 7 a). f(a) = 7 r b) c) b) DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa 9

5 8 x = r! r+ kr r r 9 a) C. S. = ( xx : =, k! Z ; C. S. = ', r 7r r r 7r b) C. S. = ' xx : =! + kr, k! Z ; C. S. = ',,, r r r c) C. S. = ' xx : = kr, k! Z0 x =! + kr, k! Z ; C. S. = ' 0,,, r r r d) C. S. = ' xx : = + kr, k! Z ; C. S. = ' 6 6 r r r e) C. S. = ' xx : = r + kr, k! Z0 x =! + kr, k! Z; C. S. = ', r, r r r f) C. S. = ' xx : =! + kr, k! Z ; C. S. = ', g) C. S. = ) 0 C.S. = E 0, 7r ; 6 FICHa De trabalho Declive e icliação de retas. Produto escalar a) b) 0 c) d) 0 a). 08, b) 0 a) y = x b) y = x , 9 0. A c, m CB CA = CB + AC = AC + CB = AB ; AB c, m a) y = x b) A e, c) A [OABC ] = u. a. o d) y = x + 6 e) 0 f) P [OABC ] = 6 + u. c. 6 a) 8 b) c) 0 7 a) 0 b) c) 8 d) 0 e) f) 0 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

6 8 a) b) joules 0 O produto escalar de v e t, v $ t, é um úmero real, etão, u $ _ v $ t i represeta o produto escalar etre um vetor e um úmero real, o que ão faz setido. a) 0 b) 80 c) 0 a) a = 7 b) a = c) a =, rad. AC $ BD = (, 0, 0) $ (0,, 0) = 0. a) b) 8 c) 9.., rad. a) Como MN(,, 0) e DC(,, 0), etão, DC = MN, pelo que os dois vetores são colieares. b) MN $ BC = (,, 0) $ (,, 0) = 0 FICHa De trabalho Equações de plaos o espaço. temse que AB(,, ) e AC(,, ). Como AB! kac, k! Ir, etão, A, B e C ão são colieares e, por isso, defiem um úico plao.. temse que r (, 0, ). as retas AB e AC são retas ão paralelas do plao ABC que se itersetam o poto A, com vetores diretores (,, ) e (,, ), respetivamete. Como AB $ r = 0 e AC $ r = 0, pelo critério de perpedicularidade de reta e plao, cocluise que a reta r é perpedicular ao plao ABC.. Por exemplo, x z = 0.. Por exemplo, D(0,, 0) e E(, 0, 6).. Por exemplo, a 6 e, 0, o. a) Por exemplo, x y + z = 9. b) Por exemplo, x + z =. c) Por exemplo, y + z = 7. Por exemplo, x + y + z =. DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

7 x 8 z O y. K(,, ). _ KE ckfi. 8. Por exemplo, x + z =.. a) Por exemplo, (,, ) + k(, 0, ), k! Ir. b) Face EFB : c,, m ; face GCD : c0,, m. a) Por exemplo, x + z =. b) (0, 0, ) 6 6. Os potos A, B e C são ão colieares e defiem um úico plao ABC. as retas AC e BC pertecem ao plao ABC, logo, são complaares. 6. temse que AC(,, ) e B C(,, ). Seja (a, b, c) um vetor ormal ao plao ABC, etão: $ AC = 0 / $ B C = 0 + (a, b, c) $ (,, ) = 0 / (a, b, c) $ (,, ) = a + b + c = 0 / a b + c = 0 Fazedo c =, vem a = e b = 6, logo, a equação cartesiaa do plao ABC é da forma x + 6y + z = d. Substituido as coordeadas de um dos potos A, B ou C a equação, obtémse x + 6y + z = como uma equação cartesiaa do plao ABC. 6. V [OABC ] = 6 u. v Por exemplo, x + y z = Por exemplo, x y z = (0,, 0) 8. Por exemplo, (x, y, z) = (,, 0) + k(,, ), k! Ir. 8. Por exemplo, x y + z = Pela codição de paralelismo de reta e plao, temse que r $ = 0. Como (,, ) $ (,, ) = + = 0, etão, a reta r é paralela ao plao CDF. 8.6 K(0, 0, ) 8.7 I c,, 8.8 V pirâmide V prisma 7 = 6 m DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

8 x = s+ t 9 9. * y = t, s, t! IR z = s t 9. Por exemplo, x + z = V coe = r u. v. FICHa De trabalho 6 Sucessões: geeralidades, mootoia e recorrêcia. Pricípio de idução matemática a) + b) c) + d) e) + 9. u = ; u = ; u = 6 e u = 0. é o.º termo; 8 é o 68.º termo e 7 8 ão é termo de (u 7 ).. Como u = e u + u < 0, a sucessão é moótoa decrescete e u G, 6! IN. a) u = 9 8 e u0 = b) v = e v 0 = 6 7 c) w = e w0 = a) b) 0 c) a = d) b = * * + se par se ímpar se par se ímpar a) Moótoa crescete. b) Moótoa decrescete. c) Não moótoa. d) Moótoa decrescete. e) Moótoa decrescete. f) Moótoa crescete. g) Moótoa crescete. h) Moótoa crescete. i) Moótoa decrescete. j) Moótoa crescete. k) Não moótoa. DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

9 6 I. a) Sim. b) Sim. c) Sim. d) Sim (máximo: ). e) Sim (míimo: ). f) [, +[ g) ], ] II. a) Sim. b) Sim. III. a) Não. b) Sim. c) Sim. d) Sim (máximo: ). c) Não. d) Não. e) Não. f) [, +[ e) Não. f) 0 g) ], ] g) ], ] IV. a) Sim. c) Não. e) Não. g) 0 b) Não. d) Sim (máximo: ). f) [, +[ V. a) Sim. c) Sim. e) Sim (míimo: ). g) ], ] b) Sim. VI. a) Sim. b) Sim. d) Sim (máximo: 9 ). c) Sim. 9 d) Sim cmáximo: m. 0 f) [9, +[ e) Sim cmíimo: m. 9 f) ;, + ; 0 g) E, E 7 a) Miorate: 0 ; majorate:. b) Miorate: ; majorate:. c) Miorate: ; majorate:. d) Miorate: ; majorate:. 8 Como (u ) é uma sucessão de termos egativos, temse que u < 0, 6! IN. Por outro lado, temse que u <, 6! IN, ou seja, u >, 6! IN. Portato, < u < 0, cocluidose que (u ) é limitada ao cuidado do aluo a) Para =, temse + =, que é divisível por. Hipótese: + é divisível por. tese: ( + ) + ( + ) é divisível por. Demostração: ( + ) + ( + ) = = = = + + ( + + ) divisível por divisível por por hipótese b) Para =, temse + =, que é verdade. Hipótese: = + tese: = + c.q.d. Demostração: = = # + = + c.q.d. c) Para =, temse =, que é verdade. ( + ) Hipótese: () = () tese: () + () ( + ) = () ( + )( + ) DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

10 Demostração: () + () ( + ) = ( + ) ( + ) = () + () ( + ) = () < + _ + i F = = () < F = () + + ( + )( + ) = () d) Para =, temse =, que é verdade. Hipótese: = tese: = + + c.q.d. Demostração: = + + = = + c.q.d. e) Para = 6, temse 6 # < < 9, que é verdade. Hipótese: < 7 para um certo H 6. tese: ( + ) < ( + ) 7 Demostração: < < 7 + Como para H 6, + >, etão: + < ( + ) < ( + ) 7 f) Para =, temse Hipótese: $ tese: $ + $ + $ # = +. + $ + $ + + ( + ) = ( + ) + ( + )( + ) = + + c.q.d. Demostração: $ $ $ ( + ) + ( + )( + ) = + + ( + )( + ) = + + ( + ) = = ( + )( + ) ( + )( + ) = + + c.q.d.. a = ; a = ; a = ; a = 0 ; a = e a 6 = 6 ; b = ; b = ; b = ; b = ; b = 80 e b 6 = 9. a = e b = ; ao cuidado do aluo. a) a = * a = a + + b) c) d) a = * a = a * * + a = a+ = ` + aj a = a + a = + a DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

11 FICHa De trabalho 7 Progressões aritméticas e progressões geométricas. a = ; a = ; a = 9 e a = 6. (a ) é uma progressão aritmética porque cada termo se obtém, a partir do aterior, somado sempre a mesma costate, este caso, 7, ou seja, para todo atural, temse a + a = 7.. Para =, temse a = 7 # =, que é verdade. Hipótese: a = 7 tese: a + = 7( + ) Demostração:. a 0 = 8 a + = a + 7 = = 7( + ) c.q.d. Como m, e p são três termos cosecutivos de uma progressão aritmética, etão, existe k real, tal que = m + k e p = m + k. Logo, m + p = m + (m + k) = m + k = (m + k) =. a) Sim, r =. b) Sim, r =. 7, 0 e c) Não. d) Sim, r =.. a = * a = a +. a = a) a = + 8 ; decrescete. c) a = ; crescete. b) a = ; crescete. d) a = 8 + ; decrescete. 7 a),, 9, 7 b),,, 6 6 c),,, 8 9,,,, 67, km 9. 6 dias. 6 0 a) Não é uma progressão geométrica. b) Não é uma progressão geométrica. c) É uma progressão geométrica de razão ; c = 00 c m 6 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

12 a) v = 000 ; v = 00 ; v = 0 e v = * v = 000 v + v = 0 b) v = 6 ; v = 6 ; v = 6 e v = * v = 6 v + v =. c = 96 #,0. aproximadamete, aluos. 8 a) Decrescete. b) Decrescete. c) Crescete. u = f 8 p 6 a) u = # b) S 8 = 09 7 a) S = 79( + ) b) S S 8 = 9( + ) folhas folhas folhas. 8.,6 m 9. 0,09 FICHa De trabalho 8 Limites de sucessões. p = 000. ao cuidado do aluo.. ao cuidado do aluo.. 6 termos.. Majorate: ; miorate:. 8 a) Não moótoa e ão covergete. b) Não moótoa e covergete para 0. c) Moótoa crescete e ão covergete. d) Moótoa decrescete e ão covergete. DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa 7

13 . ao cuidado do aluo.. G v <. lim (u v ) = 0. a) H b) H 7 c) H ao cuidado do aluo. 6 a) + b) d) e) + c) a) ao cuidado do aluo. b) ao cuidado do aluo. 7. apeas os primeiros 999 termos são comus a ambas as sucessões e (u ) é covergete para e (v ) é divergete. 8 a) b) + c) 0 d) e) f) 9 a) b) 6 c) 0 a) b) c) a) + b) + a) v = b) Por exemplo, v =. c) Por exemplo, v = +. d) v = 0 a) + b) Não é possível saber. c) d) e) + f) + 8 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

14 a) 6 b) 9 c) d) 0 e) f) 0 a) b) c) 0 d) e) 0 f) g) 6 6. u u + = ; u = 6c m 6. lim (S ) = 6, o que sigifica que a soma das áreas a cizeto tede para o valor da área do quadrado iicial. FICHa De trabalho 9 Limites de fuções reais de variável real. Idetermiações a) {}, [, ] b) [, ], {6} c) {}, [, ] d) [, ], {6} e) ], ], [, +[ f) {} lim f(x) = lim f(x) = f() = lim f(x) = x " + x " x " Logo, existe limite de f(x) em x =. lim f(x) = 8 e lim f(x) =, pelo que ão existe limite de f(x) em x =. x " + x ". ao cuidado do aluo.. Não existe lim f(x). x ". lim g(x) = lim g(x) = lim g(x) = + x " + x " x " a = ; lim f(x) = 6 x ". ao cuidado do aluo.. lim f(a ) = ; lim f(b ) =. lim f(x ) = 6 a) + b) + c) d) e) f) + 7 a) f) k) p) Não existe. b) g) l) Não existe. q) c) 0 h) m) Não existe. d) i) Não existe. ) 0 e) j) o) DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa 9

15 8 a) b) c) d) e) f) 9 a) + d) g) Não existe. h) + i) Não existe. j) 0 b) + e) 8 c) Não existe. 0 a) b) c) d) + e) + f) g) 0 h) i) j) k) l) m) ) o) p) q) 7 r) s) t) a) a(0) = 9 m b) t. h mi c) lim t " 00 a(t) = 0 ; este valor sigifica que, à medida que o tempo após a abertura da toreira se aproxima dos 00 miutos, o taque tede a ficar vazio.. Cocetração máxima de mg/l ocorre após h de admiistração do medicameto.. Com o passar do tempo, a cocetração do medicameto o sague dimiui, até se torar praticamete iexistete.. após 7 h mi. FICHa De trabalho 0 Fuções cotíuas. Assítotas. Fuções racioais a) f é cotíua em x = e descotíua em x =. b) f é cotíua em x = e em x =. c) f é cotíua em x =. d) f é cotíua em x = 0 e em x =. a) k b) c) k = a) f é cotíua em Ir\{}. b) f é cotíua em Ir\{7}. c) f é cotíua em Ir. d) f é cotíua em ]0, ]. a = e b = 0 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

16 7 a = e b = 6 a) x = b) x = 7 a) y = b) y = c) Não existem. c) x = e x = d) Não existem. d) y = 0 e) y = e y = f) y = e y = e) x = 0 f) Não existem. g) y = h) y = 7 8 a) y = x 7 d) y = x b) y = x c) y = x e) Não existem. 9 a) assítotas verticais: x = e x = b) assítota vertical: x = ; assítota horizotal: y = c) assítota vertical: x = ; assítota oblíqua: y = x d) assítotas verticais: x = 0 e x = ; assítota oblíqua: y = x e) assítotas verticais: x = e x = ; assítota horizotal: y = 0 f) assítotas verticais: x = e x = 0 ; assítotas horizotais: y = e y = 0 a) Zeros: ão tem; f é egativa 6x! D f b) Zeros: ), ; f é egativa quado x! G, = ; 7 f é positiva quado x! ], [,, + 7 G =, G, + =. c) Zeros: ão tem; f é positiva 6x! D f. d) Zeros: ), ; f é egativa quado x! G, = ; f é positiva quado x! ], [, G, =, G, + =. e) Zeros: {, } ; f é egativa quado x! E, ;, E, ;; f é positiva quado x! ], [, ], +[. f) Zeros: { } ; f é egativa quado x! ], [, ], [ ; f é positiva quado x! ], +[. g) Zeros: ão tem; f é egativa quado x! ], [, ], +[ ; f é positiva quado x! ], [. h) Zeros: {, } ; f é egativa quado x! ], [, ], [ ; f é positiva quado x! ], [, ], [, ], +[. i) Zero: {9} ; f é egativa quado x! ], 9[ ; f é positiva quado x! ], [, ], [, ]9, +[. j) Zero: {} ; f é egativa quado x! ], [, ], 0[ ; f é positiva quado x! ], [, ]0, +[. DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

17 a) C. S. = ], ] b) C. S. = E, E, ;, ; c) C. S. = ], [, ], [ d) C. S. = ], ], ], ], ], +[ 9 a) a(x) = ; assítota vertical: x = ; assítota horizotal: y = x b) b(x) = x ; assítota vertical: x = ; assítota horizotal: y = c) c(x) = x ; assítota vertical: x = ; assítota horizotal: y = d) d(x) = ; assítota vertical: x = ; assítota horizotal: y = x FICHa De trabalho Derivadas. Estudo de fuções. Otimização. y 6 O x. a) [, ], por exemplo. a = b) [, ], por exemplo. c) [, ], por exemplo. d) [, 0], por exemplo. e) [, ], por exemplo. a) y = 0x 9 b) y = x + 0 c) (,;,0) a) 00 m /mi b) 000 m /mi c) 000 m /mi a) 9 cm/s b) 0 cm/s c) 6 cm/s DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

18 6 a) f'(x) = 0 ; D f' = Ir b) f'(x) = ; D f' = Ir c) f'(x) = x ; D f' = Ir d) f'(x) = e) f'(x) = x + ; D f' = ], +[ ( x) ; D f' = Ir\{} 7 7. ao cuidado do aluo. 7. f'() =, logo, f ão pode ser decrescete em [, 6], caso cotrário, f'(x) G 0, 6x! [, 6] e, em particular, f'() seria um valor ão positivo. 8 a) f'(x) = ; D f' = Ir b) g'(x) = 8x 6 ; D g' = Ir c) h'(x) = 6x x ; D h' = Ir d) i'(x) = x + x + ; D i' = Ir e) j'(x) = x ; D j' = Ir\{0} f) k'(x) = ( x) ; D k' = Ir\{} g) l'(x) = x ; D l' = E, + ; + h) m'(x) = x ; D m' = Ir 0 x + i) '(x) = x+ ( x+ ) ; D ' = E, ;, E, + ; j) p'(x) = x x + x ; D p' = Ir + x k) q'(x) = = G ; D ( x) q' = Ir\ ' l) r'(x) = x 9 b = e c = ; D r' = Ir\{0} x 0 a) (f + g)'(x) = 8x + x + ; D (f + g)' = ], +[ b) (fg)'(x) = 8x x + 8x x+ + x + ; D (fg)' = ], +[ c) (f % g)'(x) = + x + ; D (f % g)' = ], +[ d) (g % f)'(x) = x + ; D (g % f)' = Ir a) (, ) b) c, m DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

19 . a) f é uma fução poliomial, logo, é cotíua em Ir. Portato, f é cotíua em qualquer subcojuto de Ir e, por isso, é cotíua em [, ]. b) f é uma fução poliomial, logo, é difereciável em Ir. Portato, f é difereciável em qualquer subcojuto de Ir e, por isso, é difereciável em ], [. c) Como f é cotíua e difereciável em ], [, etão, pelo teorema de Lagrage, existe um f( ) f( ) 0 0 c! ], [, tal que f'(c) = = = 0, pelo que se cofirma que f' tem, ( ) + pelo meos, um zero o itervalo ], [. a) x! {} b) x! ], [ c) x! ], +[ d) x! ' e) x! {} a) f é crescete em ;, +; e é decrescete em E, E ; míimo relativo para x =. b) g é crescete em E, E e em ;, +; e é decrescete em ;, E ; 7 míimo relativo quado x = e máximo relativo quado x =. 9 9 c) h é crescete em ], 0] e em ;, +; e é decrescete em ; 0, E ; míimo relativo quado x = e máximo relativo 0 quado x = d) i é crescete em G, G e em =, += e é decrescete em =, G ; míimo relativo e máximo relativo 60 7 quado x = quado x = e) j é decrescete em ], [ e em ], +[ ; ão tem extremos relativos. f) k é crescete em [0, ] e é decrescete em [, +[ ; máximo relativo para x =. Deve alugar a casa a cerca de, km do seu local de trabalho. 6 O volume máximo do cilidro ocorre quado x = r 7 a = cm ; l = cm ; A máxima = cm e h = r. DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

20 FICHa De trabalho Amostras bivariadas. Reta de míimos quadrados e coeficiete de correlação liear. I e III. II e III. I " (D); II " (B); III " (a); IV " (C). Vedas (milhares de euros) y A B C D E x Ivestimeto (milhares de euros). Variável explicativa: ivestimeto; variável resposta: vedas.. associação liear positiva forte.. I =,6 milhares de euros ; V =,6 milhares de euros ; S I.,6 milhares de euros ; S V., milhares de euros.. e a = ; e B = ; e C =. ; 9. y = x + 6 a) = 7 b) y =,7x +, c) r = 0,966 ; associação liear egativa forte. r = 0, y 00 A Classificação 0 00 D C B E F Número de faltas x DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa

21 6. y = 7, x + 78, Teor de fósforo à saída (mg/l) y 6 A B D E C Teor de fósforo à etrada (mg/l) x 7. associação liear positiva forte. 7. y = 0,77x 0,9 7.,6 mg/l 7. r = 0, Dado que o coeficiete de correlação liear tem um valor muito próximo de, a associação liear etre as duas variáveis é muito forte, pelo que devemos cosiderar muito boa a previsão obtida a alíea a afirmação é falsa, pois a reta obtida em 7. toma x como variável explicativa e y como variável resposta. Logo, apeas pode ser usada para, dado o teor de fósforo à etrada, prever o fósforo à saída. 7.8 O teor de fósforo à etrada da etar ão deve ultrapassar os 6,9 mg/l. 6 DIMENSÕES Matemática A. o ao Satillaa