Questão 02. é (são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas I e II. E) Nenhuma. Questão 03 8 A) 9 B) C)

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1 0 ITA "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mudo" Galileu Galilei Notações : cojuto dos úmeros aturais;,,,... i z : cojuto dos úmeros iteiros : cojuto dos úmeros racioais : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos : uidade imagiária: i : módulo do úmero z z Re z : parte real do úmero z : parte real do úmero z det A At A : determiate da matriz A : trasposta da matriz A : cojuto de todos os subcojutos do cojuto A A : úmero de elemetos do cojuto fiito A P A : probabilidade de ocorrêcia do eveto A f g : fução composta das fuções f e g a, b a, b a, b a, b x ; a x b A\ B x; x A e x B k a x ; a x b x ; a x b x ; a x b a a... ak, k Observação: Os sistemas de coordeadas cosiderados são cartesiaos retagulares. Questão 0 Das afirmações: I. Se x, y \, com y x, etão x y \ ; II. Se x e y \, etão xy \ ; III. Sejam a, b, c, com a b c. Se f : a, c a, b é sobrejetora, etão f ão é ijetora, é (são) verdadeira(s) A) apeas I e II. B) apeas I e III. C) apeas II e III. D) apeas III. E) ehuma. I. II. Falso. Vejamos um cotra-exemplo: seja x e y. Assim y x e x y. Falso. Vejamos um cotra-exemplo: seja x 0 e y x y 0 0 III. Falso. Vejamos um cotra-exemplo, ode f é ijetora

2 fx () x Neste caso temos a, b e Alterativa E c com :,, f ijetora e sobrejetora. Cosidere as fuções f, g : f x ax m g x bx, em que a, b, m e são costates reais. Se A e B são as images de f e de g, respectivamete, etão, das afirmações abaixo: I. Se A B, etão a b e m ; II. Se A Z, etão a ; III. Se a, b, m,, com a b e m, etão A B, é (são) verdadeira(s) A) apeas I. B) apeas II. C) apeas III. D) apeas I e II. E) Nehuma. Questão 0 Cosidere que: f x x I) Com e g x x,,, tem-se que, com x, A B. Logo, A B ão implica a b e m. II) Com f xx tem-se, com x, que A. Logo, A ão implica que a. III) Com f x x e g x x, tem-se que 0 A, mas 0 B com x. Com isso, ehuma das afirmações é verdadeira. Alterativa E. Logo, a,b,m,, com a b e m ão implica A B, Questão 0 log/ A soma é igual a log/ 8 A) 8 9. B). C) 6. D) 7 8. E).

3 log log 8 log 8 6 log log Alterativa D Se z, etão A) z z B) z Questão 0. z. 6 6 C) z z. D) z z 6. E) z z z z. 6 6 z z z z z é igual a Utilizado que zz z, segue que: z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z z logo z z z z z z z z 6 6 Alterativa A Questão 0 Sejam z, w. Das iformações: zw zw z w ; I. II. zw zw zw; III. zw zw Rezw é (são) verdadeira(s) A) apeas I. B) apeas I e II. C) apeas I e III. D) apeas II e III. E) todas. Sejam z a bi wc di e lembrado que z a b, julgamos: Afirmação I: Desevolvedo cada lado separadamete. zw zw abicdi abic di a b c d a c b d

4 a b c d Equato z w a b c d Logo, a afirmação I é verdadeira. Afirmação II: zw zw z zw w z zww zw Logo a afirmação II é verdadeira. Afirmação III: Desevolvedo separadamete cada lado da igualdade, segue: zw zw abicdi abicdi Equato: zwabi c di ac bd i bc ad a c b d a c b d ac bd Logo Rezw ac bd Alterativa E e a afirmação III é verdadeira. Questão 06 Cosidere os poliômios em x da forma px x a x a x a x. As raízes de 0 aritmética de razão quado a, a, a é igual a A),0, B),, C),0, D),0, E),, Seja x 0x ax ax ax 0 com raízes,,,,. Pelas relações de Girard temos: 0 Assim 0 0 Logo as raízes são:,, 0,,. Pelo teorema fudametal da álgebra, poliômio p x é tal que: x 0x ax ax ax xxx x x x ax ax ax x x xx x x x x ax ax ax x x x logo a, a 0 e a Alterativa C p x costituem uma progressão

5 Questão 07 Para os iteiros positivos k e, com k, sabe-se que Etão, o valor de... é igual a 0 A). B). C). D) E).. k k k. Seja S Multiplicado ambos os lados por : S... 0 Usado a propriedade sugerida o euciado: S... Acrescetado-se 0 a ambos os lados da igualdade completa-se uma liha do Triâgulo de Pascal: S Logo S Assim S Alterativa D Questão 08 Cosidere as seguites afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem, com A iversível e B atissimétrica: I. Se o produto AB for iversível, etão é par; II. Se o produto AB ão for iversível, etão é ímpar; III. Se B for iversível, etão é par. Destas afirmações, é (são) verdadeira(s) A) apeas I. B) apeas I e II. C) apeas I e III. D) apeas II e III. E) todas.

6 Cosidere que: I) Com AB iversível, det AB 0. Com det A 0 e det B 0. Com B sedo atissimétrica, det B det B, det B det B. Disso,, pois det B 0 II) Com AB ão sedo iversível, det AB 0 e, já que A é iversível e atissimétrica, do item aterior, det B det B. Nesse caso, com det B 0 det AB det A det B, pois A e B são quadradas e tem mesma ordem, tem-se que t B t t B, o que implica que det B det B. Como det B det B e, e, assim, coclui-se que é par. det AB det A det B, pode-se dizer que det B 0. Com B, pode ser tato par, quato ímpar. Com qualquer 0 0 A iversível de ordem e B 0 0, por exemplo, AB ão é iversível e é par, o que cotraria a afirmativa. I, det B det B Assim, deve ser um úmero par. III) Se B é iversível, etão det B 0. Com B sedo atissimétrica, do item Diate das cosiderações, apeas I e III são verdadeiras. Alterativa C, o que implica que. Sejam A y x e abaixo: I. BA é atissimétrica; II. BA ão é iversível; t III. O sistema BAX 0, com X x x x é (são) verdadeira(s) A) apeas I e II. B) apeas II e III. C) apeas I. D) apeas II. E) apeas III. Questão 09 x x B y y matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz atissimétrica. Das afirmações z z, admite ifiitas soluções, t A matriz X é atissimétrica se e somete se X X. x x x y z x y z Como y y y x xy y xy x z yx xy z, etão z z x y z6 x y z AB x y z z. Como AB é atissimétrica temos: x y z60 z 0 x y z x y z x y 6 Disso, o que quer dizer que x e y. x Assim, B A fica I) B A ão é atissimétrica I é Falso. Julgado as afirmações: II) B A det logo B A ão é iversível II é verdadeira 6

7 III) BAX 0 x x 0 x 0 Temos um sistema liear homogêeo com B A III verdadeira Alterativa B det 0. Logo admite ifiitas soluções Seja M uma matriz quadrada de ordem, iversível, que satisfaz a igualdade M M M det det det. 9 Etão, um valor possível para o determiate da iversa de M é A). B) C) D) E).... Lembrado que, para A, det det det det det det 6 det M M M M M M det det det M M M Fazedo a substituição de variáveis: det M y y y y Questão 0 y y y 0 Como M é iversível, det M 0 Logo y ou y. Assim, det M det M det M det Alterativa A M ka k det A e aplicado o Teorema de Biet, segue: Questão Cosidere a equação At X t t e e Bt, t, em que At, det A t e t 0, as valores de x, y e z são, respectivamete, X x y z t e e B t 0. Sabedo que A), 0,. B), 0,. C) 0,,. D) 0,,. E),, 0. 7

8 Fazedo a substituição det At k k t e k, segue: k k Segue k k 0 k ou k t Como e k, t e t 0 ão covém t l e t t t Notado que e leva a e, segue: At E o sistema A t X B t reduz-se a xyz x y z x y z 0 Assim x, y 0, z Alterativa B Questão Cosidere o poliômio complexo uma das raízes de p z 0, as outras três raízes são A) i,,. B) i, i,. C) i, i,. D) i,,. E) i, i, i. p z z a z z i z 6, em que a é uma costate complexa. Sabedo que i é Como i e raiz, etão Pi 0 P i i a i i i i ai 0 6 0, 8ai 8, a a i i Aplicado Briot Ruffii: 0 Assim x ix x x i Raízes i,,, i Alterativa A 8

9 Questão ab Sabedo que se x,a 0 a b A) a b. ab B) a b. ab C) a b. ab D) a b. ab E) a b. ab e b 0, um possível valor para cossec x tg x é ab Se x, a 0 e b 0 a b Colocado o triâgulo retâgulo teremos B ab a + b ab Assim tg x a b A a b x C ab se x a b a cos x a b b ab a b Sexsexcosx a b a b a b ab Acossecx tg x ab a b a b A a b ab aba b a a b b a b A ab a b a b a b A ab a b ab Alterativa E 9

10 Questão Cosidere o triâgulo ABC retâgulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediaa relativa à hipoteusa BC, respectivamete. Se a medida de BE é cm e a medida de AD é cm, etão AC mede, em cm, A). B). C) 6. D). E). A x B E D C x BC EC x 6 Alterativa C Questão Seja ABC um triâgulo de vértices A,, B, e C, em uidades de comprimeto, A) 8. B) 7. C) 7. D) 7. 8 E) O raio da circuferêcia circuscrita ao triâgulo mede, 0

11 y A 7 C B x Como R abc S, 7 R R 7 8 Alterativa D Questão 6 Em um triâgulo isósceles ABC, cuja área mede. Das afirmações abaixo: I. As mediaas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm ; II. O baricetro dista cm do vértice A ; 8cm, a razão etre as medidas da altura AP e da base BC é igual a III. Se α é o âgulo formado pela base BC com a mediaa BM, relativa ao lado AC, etão é (são) verdadeira(s) A) apeas I. B) apeas II. C) apeas III. D) apeas I e III. E) apeas II e III. cos α 97, A B 6 P 6 C BC AP Sabe-se que AB AC e 8. Foi dado, aida, que Como AC 8 6, tem-se AC 0cm. AP BC. A solução do sistema BC AP 96 AP BC Em um plao cartesiao xoy, a figura pode ser colocada como mostra a figura seguite. é AP 8cm e BC cm

12 8 A(0,8) M(,) G B( 6,0) 6 α O 6 C(6,0) O poto M, é médio de AC. Etão, a mediaa BM é tal que CN, ou seja, CN 97 cm. 6 O baricetro G é tal que AG OA, ou seja, AG 8 cm. A equação da reta GM 8 9 é y x, logo, tgα e, portato, cosα Assim, somete a afirmação I é verdadeira. Alterativa A BM cm, o mesmo ocorre com a mediaa Questão 7 Cosidere o trapézio ABCD de bases AB e CD. Sejam M e N os potos médios das diagoais AC e BD, respectivamete. Etão, se AB tem comprimeto x e CD tem comprimeto y x, o comprimeto de MN é igual a A) x y. x y. x y. x y. C) E) x y. B) D) A x B P M I D y C Sedo M e N os potos médios das diagoais AC e BD, demostra-se que PQ é a base média do trapézio ABCD, PM é a base média do triâgulo ACD e NQ é a base média do triâgulo CBD. x y y Assim, PQ, PM NQ. x y y y Como PQ PM MN NQ, temos MN Alterativa B, ou seja, MN x y N Q. Questão 8 Uma pirâmide de altura h cm e volume V 0 cm tem como base um polígoo covexo de lados. A partir de um dos vértices do polígoo traçam-se diagoais que o decompõem em triâgulos cujas áreas S i, i,,,, costituem uma progressão aritmética a qual A). B). C) 6. D) 8. E). cm S e S6 cm. Etão é igual a

13 O volume V da pirâmide de altura h é V AB h, ou seja, Cosidere a base da figura seguite. 0 A B. Portato, A 0 cm B Sabe-se que S, S, S,, S é uma PA, com cm S e S6 cm. Assim, S6 Sr r r é a razão da PA. S Sr S S é o º termo da PA. S S r S S A soma dos termos é SS 0 (área da base) ou seja, = 6. Alterativa C Questão 9 A equação do círculo localizado o º quadrate que tem área igual a (uidades de área) e é tagete, simultaeamete, às retas r:xy 0 e s: x y 0 é A) B) C) D) E) 0 x y. x y 0 x y x y x y A circuferêcia cuja área itera é tem raio. As retas r e s têm equações y x e y x, respectivamete, e seus gráficos estão represetados a figura.

14 O poto I de itersecção das retas r e s é a solução do sistema y x, ou seja, y x I,. Como IC é a diagoal do quadrado AIBC, temos IC. Assim, o cetro C da circuferêcia é C ; e, portato, a equação da circuferêcia é x y. Alterativa D Questão 0 Cosidere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triâgulo isósceles ABC em toro de uma reta paralela à base BC que dista 0, cm do vértice A e 0,7 cm da base BC. Se o lado AB mede cm, o volume desse sólido, em cm, é igual a A) 9 6. B) 96. C) 7. D) 9. E) 96. A 0,= r O volume V do sólido obtido pela rotação completa do triâgulo ABC em toro da reta r é dado por V ds (teorema de Pappus), ode d é a distâcia do baricetro do triâgulo ABC à reta r e S é a área do triâgulo ABC. Como d 0, h, temos π π G h= 0,= 7 d. B C Por Pitágoras, temos: BC h BC BC

15 BC h A área s do triâgulo ABC é S S, logo, o volume V é dado por 7 7 dado por V ds cm. V Alterativa C Questão Cosidere as fuções f : f x e Determie o cojuto-solução da iequação x,, em que é uma costate real positiva, e g :0,, g x g f x f g x. x. x Tem-se que g f x e x, ou aida, g f x e, com x. Tem-se, aida, que f gx e qualquer solução x da iequação g f x f g x., obtém-se e De g f x f gx x se x, etão solução da iequação é x deve ser tal que x x x e. Daí, como e,, com x. Com isso, x x x, ou aida, x, pois x. Cosiderado que x, x x, ou melhor, x x 0. Disso, coclui-se que x 0 ou x. Assim, lembrado que x, o cojuto S,. Questão log06x log log 0. log 6 Determie as soluções reais da equação em x, x x 00 log 6x log log 0 log06 log 6x log x log x 0 log 0 6 log x log x6log66x 0 6 log x log x log 6x 0 6 log x log x log 6 log x 0 log x log xlog x6 0 0 x x 0 x log 7log x6 0 Sedo log x y, y 7y6 0. Por simples verificação, y. Utilizado o dispositivo prático de Briot Ruffii, coclui-se que as demais raízes são raízes da equação y y6 0. Assim, as demais raízes são y e y. Com isso, Se log x, etão x ; Se log x, etão x 6 ;

16 Se, log x, etão Verificado que x 0, S,,6 6 x. 6 Questão a) Determie o valor máximo de z i, sabedo que z, z. b) Se z0 satisfaz (a), determie z 0. a) Seja z x yi, com i sedo a uidade imagiária. Se z e z x yi x yi sigifica que os úmeros complexos z que satisfazem a codição formam a circuferêcia com cetro o afixo Com isso, os afixos, dos úmeros complexos z+i formam a circuferêcia com cetro o afixo (,) e raio. Im, etão. Disso, x y, o que,0 e raio. A B 0 Re O valor máximo de z i correspode ao módulo do úmero complexo que pertece à circuferêcia acima e está mais distate da origem. Na figura, este úmero complexo tem afixo B. Assim, se a distâcia de A até O é o valor máximo de z i é. e o raio da circuferêcia é, etão b) Se é o argumeto de z 0, etão, cosiderado que também é o argumeto de z 0 i, da figura do item aterior, se, ou aida, cos e cos e se. Se, também pelo item aterior, tem-se z 0 i, etão pode-se dizer que 0 0 z0 i i i, o que implica que z0 i. Questão Seja o espaço amostral que represeta todos os resultados possíveis do laçameto simultâeo de três dados. Se A é o eveto para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a 9 e B o eveto cuja soma dos resultados é igual a 0, calcule: a) ; b) A e B ; c) PA e P B. Assumido que o espaço amostral citado é o espaço amostral equiprovável, deve-se lembrar que este caso a ordem dos úmeros em cada laçameto importa. Assim, o resultado,, é diferete de,, por exemplo: 6

17 a) Pricípio Fudametal da Cotagem: b) Soma dos úmeros igual a 9 : A,,6 ;,6, ;,,6 ;,6, ; 6,, ; 6,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, Logo A. Soma dos úmeros igual a 0 : B,, 6 ;, 6, ;,, 6 ;, 6, ; 6,, ; 6,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ;,, ; 6,, ;,6, ;,,6 Logo B 7 c) PA A P B Determie quatos paralelepípedos retâgulos diferetes podem ser costruídos de tal maeira que a medida de cada uma de suas arestas seja um úmero iteiro positivo que ão exceda 0. Questão Por paralelepípedo retâgulo etede-se prisma reto-retâgulo. Dividido em três casos: Caso : três medidas diferetes. c a Assim temos l b e a divisão por! ocorre porque ão importa a ordem das medidas a, b, c.! Caso : apeas um par de bases quadradas. Neste caso, pelo Pricípio Fudametal, Caso : Cubos. São 0 cubos possíveis. Logo o úmero de paralelepípedos procurado é: paralelepípedos. 7

18 Cosidere o sistema liear as icógitas x, y e z. x y z 0 x (se ) y z 0, 0,. x (cos ) y 6z 0 a) Determie tal que o sistema teha ifiitas soluções. b) Para ecotrado em (a), determie o cojuto-solução do sistema. Questão 6 Sedo D o determiate do sistema homogêeo x y z 0 x (se ) y z 0, 0,. x ( cos ) y 6z 0 Tem-se que: a) Para o sistema ter ifiitas soluções, D 0, ou seja, se 0 cos 6 b) Para cos se 0 se se0 se ( ão covém) se se 0 ou, temos x yz 0 x y z 0 x y 6z 0 se Somado as duas primeiras equações, temos: x yz 0 x yz 0 6z 0 z 0 Substituido a primeira equação, vem: x y00 x y 0 Fazedo x, temos y. Portato, o cojuto solução do sistema é S,, 0, com. 8

19 Determie o cojuto de todos os valores de x 0, se xsex 0 cos x Questão 7 e tgx co tg x cotg x. que satisfazem, simultaeamete, se xsex 0 () cos x cos x () se x sex 0 Resolvedo (): se xsex 0 Como o gráfico de f ( x) x x é Desta forma devemos ter se( x) ou se( x) é impossível se( x) x. 6 6 se( x). Resolvedo (): cos( x) x 0 e x Resolvedo tg( x) cot gx ( ) cot gx ( ): tg( x) cotg( x) tg( x) tg( x) tg( x) cotg( x) tg( x) tg tg( ) cotg tgx cotg x 0 x x x x x x tg( ) cotg cotg 0 Desta forma é ecessário fazer o estudo do sial de cada fator e o produto. 9

20 tg ( x) : π π π π π + cotg x π π 7π π cotg x π π π π Produto: π π π π π π π + π 7π Desta forma a solução para tgx ( cotg x)( cotg x) 0 é 7 0,,,,,, π Fazedo a iterseção etre as soluções das duas iequações, temos: 0 π 6 π 6 π 0 π π π π π π π π 7π π 0 π π π π 6 π π 6 π Portato o cojuto de todos os valores de x que satisfazem simultaeamete as iequações é:,,,. 6 6 Questão 8 Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizotal de tal forma que seus cetros defiam os vértices de um hexágoo regular de aresta R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio R que tagecia todas as demais. Determie a distâcia do cetro da sétima esfera à superfície horizotal. O sólido formado pelos cetros das 7 esferas será uma pirâmide hexagoal. R V h R R h h R h R A R B F R E C D Assim a distâcia será R R R 0

21 Três circuferêcias C, C e C são tagetes etre si, duas a duas, exteramete. Os raios r, r e r destas circuferêcias costituem, esta ordem, uma progressão geométrica de razão. A soma dos comprimetos de C, C e C é igual a 6 cm. Determie: a) a área do triâgulo cujos vértices são os cetros de C, C e C. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triâgulo em toro da reta que cotém o maior lado. Questão 9 Os raios podem ser deomiados x, x e 9x do meos para o maior. r r r 6 r r r x 9 x a) Como o perímetro p 6, p Fazedo Hero teremos S 9 9 cm bh r 9 9 b) Como S 9, r 6 r 9 Após a rotação teremos dois coes, usado Pappus Guldi fica V sd s 9 9 cm 6 Questão 0 Um cilidro reto de altura h = cm tem sua base o plao xy defiida por x y x y 0. Um plao, cotedo a reta yx 0 e paralelo ao eixo do cilidro, o seccioa em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do meor sólido. No plao xy temos x x y y x y, cetro,, raio

22 Como a área lateral do cilidro é rh No meor sólido teremos da superfície lateral, um retâgulo e segmetos circulares. Assim fica,

23 Matemática Douglas Lafayette Maim Ney Roey Salviao Toshio Colaboradores Alie Alkmi Ferada Chaveiro Moisés Humberto Digitação e Diagramação Daiel Alves João Paulo Márcia Sataa Valdivia Piheiro Desehistas Luciao Lisboa Rodrigo Ramos Viicius Ribeiro Projeto Gráfico Viicius Ribeiro Assistete Editorial Valdivia Piheiro Supervisão Editorial José Diogo Rodrigo Beradelli Marcelo Moraes Copyright Olimpo0 A Resolução Cometada das provas do ITA poderá ser obtida diretamete o OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefoe (6) As escolhas que você fez essa prova, assim como outras escolhas a vida, depedem de cohecimetos, competêcias, cohecimetos e habilidades específicos. Esteja preparado.

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