Integração por Partes

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Integração por Partes 1.Integração por partes

3 Nesta aula estudaremos uma técnica de integração conhecida como integração por partes. Esta técnica é particularmente útil para integrandos que envolvem produtos de funções algébricas e exponenciais ou logarítmicas, tais como 2 x x e dx e x ln x dx

4 A integração por partes se baseia na Regra do Produto d [ uv ] = uv + vu dx uv = uv dx + vu dx uv = u dv + v du u dv = uv v du Utilizando a Regra do Produto Integrando ambos os membros Escrevendo na forma diferencial Escrevendo sob nova forma

5 OBS: Ao aplicar a integração por partes, podemos escolher primeiro tanto dv como u. Feita essa primeira escolha, entretanto, o outro fator está automaticamente determinado deve ser a parte restante do integrando. Outrossim, dv deve conter a diferencial dx da integral original.

6 Integração por Partes Sejam u e v funções diferenciáveis de x. u dv = uv v du

7 Note que a fórmula da integração por partes expressa a integral original em termos de outra integral. Dependendo das escolhas de u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda integral.

8 Diretrizes para a Integração por Partes 1. dv deve ser a parte mais complicada do integrando que se ajuste a uma fórmula básica de integração. u é o fator restante. 2. u deve ser a parte do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que a própria u. dv é o fator restante.

9 Exemplo 1: Calcule a integral indefinida x xe dx

10 Para aplicar a integração por partes, devemos escrever a integral original na forma u dv Devemos, pois, decompor xe x dx em dois fatores uma parte representando u e a outra parte representando dv. Há várias maneiras de fazê-lo. ( ) ( ) ( ) x e x dx e x x dx xe x dx xe x dx ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) u dv u dv u dv u dv

11 De acordo com nossas diretrizes, devemos escolher a primeira opção porque dv = e x dx é a parte mais complicada do integrando que se ajusta a uma forma básica de integração e porque a derivada de u = x é mais simples que x. dv = e dx v = dv = e dx = e x x x u = x du = dx

12 Com estas substituições, podemos aplicar a fórmula de integração por partes como segue. x x x xe dx = xe e dx u dv = uv v du = + x x xe e C Integrar x e dx

13 OBS: No Exemplo 1, observe que não é preciso incluir uma constante de integração ao resolver x x v e dx e = = Para verificar isto, substitua e x por e x + C 1 na solução. ( ) ( ) 1 1 x x x xe dx = x e + C e + C dx Após integrar, vemos que os termos que envolvem C 1 se cancelam.

14 Exemplo 2: Calcule a integral indefinida x 2 ln x dx

15 Nesta integral, x 2 é integrada mais facilmente do que ln x. Além disso, a derivada de ln x é mais simples do que ln x. Devemos, pois, escolher dv = x 2 dx. 2 2 dv x dx v dv x dx = = = = 1 u = ln x du = dx x x 3 3

16 Com estas substituições, apliquemos a fórmula de integração por partes como segue x x 1 x ln x dx = ln x dx 3 3 x u dv = uv v du 3 x 1 = ln x x dx Simplificar 3 3 x x = ln x + C Integrar 3 9

17 Exemplo 3: Calcule a integral indefinida ln x dx

18 Esta integral não é usual porque tem apenas um fator. Em tais casos, devemos escolher dv = dx e u como fator único. dv = dx v = dv = dx = x 1 u = ln x du = dx x

19 Com estas substituições, apliquemos a fórmula de integração por partes como segue. 1 ln x dx = x ln x ( x) dx x u dv = uv v du = x ln x dx Simplificar = x ln x x + C Integrar

20 Exemplo 4: Calcule a integral indefinida x 2 e x dx

21 Seguindo as diretrizes, note que a derivada de x 2 fica mais simples, o que não ocorre com a de e x. Fazemos, pois u = x 2 e dv = e x dx. dv = e dx v = dv = e dx = e x x x 2 u = x du = 2x dx

22 Com estas substituições, apliquemos a fórmula de integração por partes como segue. 2 2 x e x dx = x e x 2xe x dx Primeira aplicação da integração por partes

23 Para calcular a nova integral à direita, apliquemos a integração por partes uma segunda vez, utilizando as seguintes substituições. dv = e dx v = dv = e dx = e x x x u = 2x du = 2dx

24 Com estas substituições, apliquemos a fórmula de integração por partes novamente. 2 2 x e x dx = x e x 2xe x dx Primeira aplicação da integração por partes ( 2 2 ) = 2 x x x x e xe e dx = x e x 2xe x 2e x C ( 2 2 2) = + + x e x x C Segunda aplicação da integração por partes Integrar Simplificar

25 OBS 1: Sempre é possível verificar uma integral indefinida diferenciando. Por exemplo, no Exemplo 4, diferenciando a antiderivada ( 2 2 2) = + + x e x x C devemos obter o integrando original 2 x x e

26 OBS 2: Ao aplicar iteradamente a integração por partes, devemos ter cuidado em não permutar as substituições nas aplicações sucessivas. Assim é que, no Exemplo 4, as principais substituições foram dv = e x dx e u = x 2. Se, na segunda aplicação, tivéssemos feito dv = 2x dx e u = e x, teríamos invertido a ordem anterior e voltaríamos à integral original. ( ) 2 x 2 x 2 x 2 x x e dx = x e x e x e dx

27 Exemplo 5: Calcule a integral definida e 1 ln x dx

28 No Exemplo 3, determinamos a antiderivada de ln x por integração por partes. Utilizando este resultado, podemos calcular a integral definida como segue. A figura a seguir exibe a área representada por esta integral definida. [ ] e ln x dx = x ln x x Utilizando o resultado do Exemplo 3 1 ( elne e) ( ln1 1) = Aplicando o Teorema Fundamental ( e e) ( 0 1) = = 1 Simplificando

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30 À medida que adquirimos experiência com a integração por partes, melhora nossa habilidade em determinar u e dv. O resumo a seguir dá sugestões para a escolha de u e de dv.

31 Antes de começarmos a resolução de exercícios relativos a esta aula, devemos ter em mente que não basta saber como aplicar as várias técnicas de integração. Devemos saber também quando aplicá-las. Para efetuar uma integração, é necessário, antes de tudo, reconhecer que fórmulas ou técnica devemos aplicar para determinar uma antiderivada.

32 Em geral, uma pequena modificação do integrando exige uma técnica de integração diferente. Eis alguns exemplos. Integral Técnica Antiderivada x ln x dx x ln x dx x 1 ln x dx Integração por partes Regra da Potência: n du u dx dx 1 du Regra do Log: dx u dx 2 2 x x ln x + C 2 4 ( ln x) 2 2 ln ln x + C + C

33 Resumo de Aplicações Comuns da Integração por Partes 1. x n e ax dx Fazer u = x n e dv = e ax dx. (Exemplos 1 e 4) 2. x n ln x dx Fazer u = ln x e dv = x n dx. (Exemplos 2 e 3)