Universidade Federal do Espírito Santo Terceira Prova de Cálculo I Data: 06/11/2012 Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES.

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1 Universidade Federal do Espírito Santo Terceira Prova de Cálculo I Data: 6// Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Aluno: Matrícula Nota: : :. (3 pontos) Calcule as integrais inde nidas (i) + d (ii) + d (iii) cos (3) d. (; 5 ponto) Calcule a integral de nida (sugestão: utilize a identidade z = e (ln )z ) 9 p p d 3. (; 5 ponto) Calcule a área da região limitada pelas curvas y = 5 ; = ; y = 5 3. ( pontos) Calcule a área da região limitada pelas curvas y = ; y = 5. ( pontos) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eio-y da região entre o eio- e o grá co da função y = ln (=) ; R onde R > >. Formulário - O volume do sólido gerado pela revolução em torno do eio-y da região entre o eio- e o grá co da função f : [a; b]! R ( a < b) é dado por b V = f () d a Boa Prova!

2 CHAVE DE RESPOSTAS Serão penalizados com redução de pontos (variando de : a :3) as seguintes situações: - Desorganização; - Notação/terminologia incorreta ou inadequada; - Introdução de variáveis ou símbolos sem de nição eplícita; - Respostas ou epressões intermediárias sem as devidas justi cativas. Resoluções diferentes são admissíveis e serão pontuadas de acordo com o que estiver correto. Questão (i) Integral por substituição. Mudança de variáveis = ; 3. Cálculos intermediários e integral na nova variável = ; 5. Retorno à variável original = ;. (ii) Integral por substituição. Mudança de variáveis) = ; 3. Cálculos intermediários e integral na nova variável = ; 5 Retorno à variável original = ;. (iii) Integral por partes. De nição das variáveis auiliares = ; 5. Cálculos intermediários e integral remanescente = ; 5. Questão Mudança de variáveis = ; 5 Cálculos intermediários e integral inde nida na nova variável = ; 5 Retorno à variável original ou mudança nos limites de integração = ; 3 Avaliação da primitiva nos limites de integração = ; Questão 3 Esboço da região e/ou de nição dos limites de integração = ; 5 Montagem da integral que de ne a área da região = ; 5 Cálculo da integral de nida = ; 5 Questão Esboço da região e/ou determinação dos pontos de interseção = ; 5 Montagem da integral que de ne a área da regiao: - Integrando correto = ; 5 - Limites de integração corretos = ; 5 Cálculo da integral de nida = ; 5 Questão 5 Aplicação correta da fórmula = ; 5 Integral por partes. De nição das variáveis auiliares = ; 5 Cálculos intermediários = ; 5 Cálculo da integral remanescente = ; 5

3 RESOLUÇÃO Questão () Item i) A integral pode ser resolvida com a substituição: Retornando à variável original: u := + du = d du= + d = = ln juj + c u + d = ln + + c Item ii) A integral pode ser resolvida com a substituição: = p tan (u) d = p sec (u) du Assim, e + = + tan (u) = sec (u) p sec + d = (u) sec (u) du = p du = u p + c Retornando à variável original: + d = p arctan p + c Item iii) A ingegral pode ser resolvida por partes: u = dv = cos (3) d du = d v = R cos (3) d = 3 sin (3) cos (3) d = udv = uv vdu = 3 sin (3) sin (3) d 3 = 3 sin (3) + cos (3) + c 9 Portanto, cos (3) d = 3 sin (3) + cos (3) + c 9 3

4 Questão ) Para calcular a integral de nida da questão, obtemos primeiro a integral inde nida: p p d Calculamos essa integral com a substituição Retornando à variável original obtemos u = (ln ) p = (ln ) = du = ln p p d = Pelo Teorema Fundamental do Cálculo: 9 p p d = ln p 9 (ln )= e d = = e u = e (ln )p = p p p d = ln p + c d = e u du ln = ln eu + c = ln p 9 ln p = ln 8 ln = ln Finalmente: 9 p p d = ln

5 Questão 3) Para visualizar a região em questão, fazemos um esboço das curvas envolvidas: y y = 5 (azul), = (verde), y = 5 3 (vermelho) O ponto na etrema esquerda da região em questão é de nido pela interseção das curvas y = 5 e y = 5 3 : y = 5 y = 5 3 ( = ; y = 5) Assim, a área da região limitada pelas curvas em questão está acima de y = 5 e abaio de y = 5 3, portanto sua área é dada pela integral de nida Calculando a integral Portanto, d = 5 A = d = 5: : 5: = 55 A = 55 5

6 Questão ) Para visualizar a região em questão, fazemos um esboço das curvas envolvidas e denotamos por ( ; y ) e ( ; y ) seus pontos de interseção: y y = (vermelho), y = 3 (azul) Para determinar os pontos de inteseção das curvas, temos que resolver o seguinte sistema: y = y = Substituindo por y na segunda equação obtemos uma equação do segundo grau em y, cuja solução é determinada pela fórmula de Básara: y y = y = p 33 Substituindo as raízes na segunda equação do sistema, obtemos os pontos de interseção: = 7 p 33 ; y = p! 33 e = 7 + p 33 ; y = + p! Retornando à gura, vemos que a área da região limitada pelas duas curvas pode ser calculada de dois modos: por uma integral na variável ou por uma integral na variável y. Integral na variável. Para cada segmento de curva que delimita a região de integração, precisamos eprimir a variável y como função de : p p y = + y = p y = + ; e y = ; A = = = 3= 3= p = d + p d + 3= + 3= p ( ) d d = + + Em síntese: A = 3= 3= 3= + 3= + 6

7 Resolução alternativa da Questão Integral na variável y. Para cada segmento de curva que delimita a região de integração, precisamos eprimir a variável como função de y: = y = y= + ; y y y Em síntese: A = y y y y + y dy = + y y 3 3 y A = + y y 3 3 y y y y 7

8 Questão 5 Aplicando a fórmula, temos: V = Calculamos essa integral por partes: u = ln (=) dv = d V = R R udv = uvj R = = ln (=) d R du = d= v = = vdu ln (=) ln (=) = R ln (R=) R R! R R +! d! R Eplicitamente: V = R ln (R=) R + 8