Continuidade. Continuidade

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Continuidade Antes de atentar para esta definição, consideremos a função cujo gráfico é o exibido na figura acima. Esta figura identifica três valores de x em que a função f não é contínua. Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Continuidade 1.Continuidade.Continuidade em um intervalo 3.A função maior inteiro 4.Aplicação: juro composto 1. Em x = c, f ( c ) não é definida Em x = c, lim f ( x) não existe. x c 3. Em x = c, f ( c ) lim f ( x). 3 3 x c3 5 Em matemática, o termo contínuo tem essencialmente o mesmo significado que na linguagem cotidiana. Dizer que uma função é contínua em x = c significa que não há interrupção no gráfico de f em c. O gráfico de f não se parte em c, e não há buracos, saltos ou lacunas. Em todos os outros pontos do intervalo (a, b), o gráfico de f se apresenta ininterrupto, o que implica que a função f é contínua em todos os outros pontos de (a, b)

2 Definição de continuidade Seja c um número no intervalo (a, b) e seja f uma função cujo domínio contém o intervalo (a, b). A função f é contínua no ponto c se se verificam as seguintes condições. 1. f ( c) é definida.. lim f ( x) existe. x c 3. lim f ( x) = f ( c). x c Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a, b), então é contínua no intervalo (a, b). 7 Exemplo 1: Discuta a continuidade das funções seguintes: a. f(x) = x - x + 3 b. f(x) = x 3 - x Cada uma dessas funções é uma função polinomial. Portanto, cada uma é contínua em toda a reta real, como mostra a figura seguinte. 10 Grosso modo, podemos dizer que uma função é contínua em um intervalo se seu gráfico pode ser traçado com papel e lápis sem levantar o lápis do papel, conforme mostrado na figura acima. 8 As funções polinomiais constituem um dos tipos mais importantes de funções usadas no cálculo. Observe, no gráfico acima, que o gráfico de uma função polinomial é contínuo em toda a reta real, não apresentando buracos, saltos ou lacunas. Já, as funções racionais não são necessariamente contínuasem toda a reta real. 11 Continuidade das funções polinomiais e das funções racionais 1. Uma função polinomial é contínua em todo número real.. Uma função racional é contínua em todo número do seu domínio. Exemplo : Estude a continuidade das seguintes funções. 1 x 1 1 x x 1 x + 1 a. f ( x) = b. f ( x) = c. f ( x) = Cada uma destas funções é uma função racional e, assim, é contínua para todo número de seu domínio. 9 1

3 a. O domínio de f(x) consiste em todos os números reais diferentes de x = 0. Por conseguinte, esta função é contínua nos intervalos(-, 0) e (0, ). Definição de continuidade em um intervalo Seja f definida em um intervalo [a, b]. Se f é contínua no intervalo aberto (a, b) e lim f ( x) = f ( a) e lim f ( x) = f ( b), + x a x b 13 então f é contínua no intervalo [a, b]. Além disso, f é contínua à direita em a e contínua à esquerda em b. 16 b. O domínio de f(x) = (x 1)/(x 1) consiste em todos os números reais diferentes de x = 1. Portanto, esta função é contínua nos intervalos (-, 1) e (1, ). Podem se formular definições análogas para abranger intervalos semi-abertos da forma [a, b) e (a, b], ou intervalos infinitos. A função f ( x) = x é contínua no intervalo infinito [0, ) c. O domínio de f(x) = 1/(x + 1) consiste em todos os números reais. Assim, esta função é contínua em toda a reta real. Exemplo 3: Estude a continuidade de f ( x) = 3 x Note que o domínio de f é o conjunto de (-, 3]. Além disso, f é contínua à esquerda em x = 3 porque lim f ( x) = lim 3 x = 0 = f (3) x 3 x

4 Para todo x 3, a função f satisfaz as três condições de continuidade. Assim, podemos concluir que f é contínua no intervalo (-, 3], conforme mostra a figura abaixo. lim g( x) = lim (5 x) = 5 = 3 x x e g x x lim ( ) = lim ( 1) = 1= 3 + x + x Como os dois limites são iguais, lim g( x) = g() = 3. x 19 Nota: Ao lidar com funções radicais da forma f ( x) = g( x) Assim, g é contínua em x = e, consequentemente, é contínua em todo o intervalo [-1, 3], como mostrado no gráfico abaixo. tenha em mente que o domínio de f coincide com a solução de g(x) Exemplo 4: Discuta a continuidade de 5 x, -1 x g( x) = x 1, < x 3 As funções polinomiais 5 x e x 1 são contínuas nos intervalos [-1, ] e (, 3], respectivamente. Assim, para concluir que g é contínua em todo o intervalo [-1, 3], basta verificar o comportamento de g quando x =, o que se pode fazer tomando limites unilaterais quando x =. 1 Muitas funções utilizadas em aplicações à administração são do tipo função escada, ou função degrau. A função maior inteiro é um exemplo de função escada. Esta função é representada por x = maior inteiro não superior a x. Por exemplo,,1 = maior inteiro não superior a -,1 = -3 = maior inteiro não superior a - = - 1,5 = maior inteiro não superior a 1,5 = 1 4 4

5 Note que o gráfico da função maior inteiro tem um salto de uma unidade para cada valor inteiro. Isto implica que a função não é contínua nos inteiros. Note que, durante o primeiro turno de 8 horas, x 1 = 0, 1 x , o que implica x 1 C = x = x Em aplicações da vida real, o domínio da função maior inteiro em geral é restrito a valores não-negativos de x. Em tais casos, esta função serve para truncar a parte decimal de x. Por exemplo, 1,345 é truncada para 1 e 3,57 é truncada para 3. Isto é 1,345 = 1 e 3,57 = 3 Durante o segundo turno de 8 horas, x 1 = 1, x 0.000, o que implica x 1 C = x = x Exemplo 5: Uma encadernadora produz livros em um turno de 8 horas. O custo fixo por turno é de $ 5.000,00, e o custo por livro é de $ 3,00. Utilizando a função maior inteiro, podemos escrever o custo da produção de x livros como A figura abaixo mostra o gráfico de C. Note as descontinuidades do gráfico. x 1 C = x Esboce o gráfico desta função custo

6 4. Aplicação: juro composto 4. Aplicação: juro composto Os bancos e as instituições financeiras diferem quanto à maneira de creditar os juros em uma conta. Se o juro é creditado na conta de modo que o juro futuro seja pago sobre o juro já creditado, então o juro se chama composto. Suponha, por exemplo, $ ,00 depositados em uma conta que paga juro de 6%, composto trimestralmente. Como 6% é a taxa anual de juro, a taxa trimestral é ¼ (0,06) = 0,015 ou 1,5%. Abaixo é mostrado os saldos durante os cinco primeiros trimestres. Pelo gráfico abaixo, vemos que a função tem uma descontinuidade em cada trimestre Aplicação: juro composto Trimestre Saldo 1 o $ ,00 o ,00 + (0,015)(10.000,00) = $ ,00 3 o ,00 + (0,015)(10.150,00)= $ 10.30,5 4 o 10.30,5 + (0,015)(10.30,5) = $ ,78 5 o ,78 + (0,015)(10.456,78) = $ , Aplicação: juro composto Exemplo 6: Esboce o gráfico do saldo na conta dada acima. Seja A o saldo na conta e t o tempo, em anos. Podemos utilizar a função maior inteiro para representar o saldo, como segue 4 A = (1+ 0,015) t 33 6