Regra de l Hôpital. 1.Formas e limites indeterminados 2.Regra de l Hôpital
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Regra de l Hôpital Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
2 Regra de l Hôpital.Formas e limites indeterminados.regra de l Hôpital
3 . Formas e limites indeterminados Formas e limites indeterminados A substituição direta pode originar uma forma indeterminada como 0/0 ou /. Por eemplo, fazendo = no limite abaio, obtemos lim 0 = 0 que nada nos informa sobre o limite. Para achá-lo, fatoramos e cancelamos como a seguir: ( )( + ) lim = lim = lim ( ) ( + ) = lim ( + ) = + = 3
4 . Formas e limites indeterminados Formas e limites indeterminados Para o próimo caso, a substituição direta dá a forma indeterminada /, que igualmente nada nos diz quanto ao limite. Para calculá-lo, dividimos o numerador e o denominador por e levamos em conta o fato de que o limite de /, quando, é (/ ) + 0 lim = lim = = + + (/ ) + 0 4
5 . Regra de l Hôpital A Regra de l Hôpital A Regra de l Hôpital, assim designada em homenagem ao matemático francês Guillaume François Antoine de l Hôpital (66-704), descreve um processo analítico para o cálculo de limites. 5
6 . Regra de l Hôpital A Regra de l Hôpital Seja (a, b) um intervalo que contém c. Sejam f e g funções diferenciáveis em (a, b), eceto possivelmente em c. Se o limite de f()/g() quando tende para c dá a forma indeterminada 0/0 ou /, então ' lim f ( ) f ( ) = lim c ' g( ) c g ( ) desde que o limite à direita eista ou seja infinito. A forma indeterminada / se apresenta de quatro formas: /, (- )/, /(- ) e (- )/(- ). Pode-se aplicar a regra de l Hôpital a cada uma dessas formas. 6
7 . Regra de l Hôpital Eemplo : Calcule o limite lim 0 e 3 d 3 3 e e = = 3 = 3(0) lim lim d lim 3e 3e = d 0 [ ] d 7
8 . Regra de l Hôpital Eemplo : Calcule o limite lim 0 sen4 d [ sen 4 sen4 ] lim = lim d = lim ( 4cos 4) = 4cos(4 0) = d 0 [ ] d 8
9 . Regra de l Hôpital Eemplo 3: Calcule o limite lim e e + d e e lim lim d e = = lim = lim = 0 e + d e + e e d 9
10 . Regra de l Hôpital Eemplo 4: Calcule o limite d lim lim d = = lim = e d e e d Após uma aplicação da Regra de l Hôpital, obtemos ainda uma forma indeterminada. Em tais casos, aplicamos novamente a Regra de l Hôpital. lim e d [ ] lim = lim d = lim = 0 e d e e d 0
11 . Regra de l Hôpital A Regra de l Hôpital A seguir são apresentados eemplos de indeterminações do tipo 0, 0, -, 0 0 e.
12 . Regra de l Hôpital Eemplo 5: Determinar + ( + ) lim 3 9 Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. Vamos transformá-la numa indeterminação do tipo / com o auílio de logaritmos e em seguida aplicar a regra de L Hôpital. L = lim lnl = ln lim ( ) ( ) ( + ) ( ) ln 3 9 = lim ln = lim ( + ) = + + ln 3 9 lim +
13 . Regra de l Hôpital Temos agora uma indeterminação do tipo /. Aplicando a regra de L Hôpital, obtemos ln( 3 + 9) lnl = lim = lim 3 9 = lim = Como lnl = 0, temos L = e, dessa forma, + ( ) lim = 3
14 . Regra de l Hôpital Eemplo 6: Determinar lim + sen Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. Reescrevendo o limite dado na forma sen lim sen = lim + + temos uma indeterminação do tipo 0/0. 4
15 . Regra de l Hôpital Aplicando a regra de L Hôpital, obtemos: sen cos lim sen = lim = lim = lim cos = cos0 = + 5
16 . Regra de l Hôpital Eemplo 7: Determinar lim + cos 0 Neste caso, temos uma indeterminação do tipo -. Reescrevendo o limite dado, temos: cos lim = lim cos ( + ) ( cos ) cos sen = lim = lim 0 ( + ) ( cos 0 ) ( + ) ( sen ) + ( + ) ( cos ) = = 0 6
17 . Regra de l Hôpital Eemplo 8: Determinar lim 0 + ( + ) Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0 0. Com o auílio de logaritmos, vamos transformá-la numa indeterminação da forma /. 7
18 . Regra de l Hôpital Seja 0 + ( ) L = lim +. Então, lnl = ln lim + = lim ln + ( ) ( ) ( ln + ) ( = lim ln + ) = lim Temos agora uma indeterminação do tipo - /. 8
19 . Regra de l Hôpital Aplicando a regra de L Hôpital, obtemos: 4 + ( + ) lnl = lim = lim
20 . Regra de l Hôpital Aplicando novamente a regra de L Hôpital, obtemos: + 0 lnl = lim = = Como lnl = 0, temos L =. Logo, 0 + ( ) lim + = 0
21 . Regra de l Hôpital Eemplo 9: Calcular lim + + Neste caso, temos uma indeterminação do tipo. Usando logaritmos, vamos transformá-la numa indeterminação da forma 0/0. Seja L = lim + +. Então, lnl = ln lim + +
22 . Regra de l Hôpital lnl = ln lim + = lim ln ln + = + = lim + ln lim +
23 . Regra de l Hôpital Temos agora uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de l Hôpital, obtemos: + ln + lnl = lim = lim = lim
24 . Regra de l Hôpital = lim = = + + Portanto, lnl = e dessa forma = L e. Logo, lim + = + e 4
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