UM ALGORITMO ESTOCASTICO PARA DETECÇÃO DE DANO

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1 ISSN UM LGORITMO ESTOCSTICO PR DETECÇÃO DE DNO Oscar Javer Begambre Carrllo 1 & José Elas Laer 2 Resumo Neste estudo, um novo algortmo híbrdo para avalação da ntegrdade estrutural a partr de respostas dnâmcas é apresentado. formulação da função objetvo para o problema de mnmzação defndo emprega Funções de Resposta em Freqüênca e/ou dados modas do sstema. Uma nova estratéga para o controle dos parâmetros do algortmo Partcle Swarm Optmzaton (PSO), baseada no uso do método de Nelder Mead é desenvolvda; conseqüentemente, a convergênca do PSO fca ndependente dos parâmetros heurístcos e sua establdade e precsão são melhoradas. O método híbrdo proposto teve melhor desempenho, nas dversas funções teste analsadas, quando comparado com os algortmos Smulated nnealng, lgortmos Genétcos e o PSO. São apresentados dversos problemas de detecção de dano, levando em conta os efetos do ruído e da falta de dados expermentas. Em todos os casos, a posção e extensão do dano foram determnadas com sucesso. Fnalmente, usando o PSOS, os parâmetros de um osclador não lnear (osclador de Duffng) foram dentfcados. Palavras-chave: Partcle Swarm Optmzaton; dentfcação de dano; problemas nversos; vgas fssuradas; osclador não lnear. 1 INTRODUÇÃO Neste trabalho, o problema nverso DD baseado em modelos é defndo como um problema de programação não lnear, no qual se estabelece uma Função Objetvo (fobj) para comparar dados expermentas do sstema com dados smulados do modelo (ver Equações 40 a 45), e, medante sua mnmzação / maxmzação, são calculados os parâmetros que dentfcam o dano. Dentre as técncas heurístcas desenvolvdas recentemente, e abordadas neste capítulo, o algortmo Partcle Swarm Optmzaton (PSO) proposto por Kennedy e Eberhart (1995), o algortmo Smulated nnealng em suas varas versões (por exemplo, a versão de Krkpatrck, Gelatt e Vecch 1983, a de Corana et. al., 1987 ou a de Koh e Law,2003) se apresentam, junto com os Gs, como opções promssoras para atacar o problema de detecção de dano. Esta asseveração é fundamentada em dversos fatores, entre os quas pode-se menconar: -sua facldade de programação e de formulação; -sua capacdade de fazer uso efcente de um grande número de processadores; -não requerem contnudade na defnção do problema de otmzação e não depende da estmatva de um ponto ncal para garantr a convergênca (para o problema DD, 1 Doutor em Engenhara de Estruturas - EESC-USP, ojbegam@us.edu.co 2 Professor do Departamento de Engenhara de Estruturas da EESC-USP, jelaer@sc.usp.br

2 112 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer uma estmatva a pror para começar a busca é quase mpossível, devdo a grande quantdade de opções); -estão adaptados para procurar soluções globas o quase globas. dconalmente, como mostrado por Schutte e Groenwold (2005), o algortmo PSO ultrapassa o desempenho do Gs em város problemas dfíces de programação não lnear, notadamente, em problemas de otmzação sem restrções. Por outro lado, é um fato conhecdo que os algortmos heurístcos precsam de um maor número de avalações da função objetvo, para encontrar uma solução ótma, quando comparados com as técncas baseadas em gradentes e/ou dervadas de segunda ordem. Porém, a prncpal desvantagem das técncas clásscas de programação não lnear, quando aplcadas ao problema DD, é que elas são suscetíves de convergr para ótmos locas e, portanto, não podem ser empregadas com sucesso em problemas não lneares com múltplos pontos ótmos, como os estudados neste trabalho. lém desta lmtação, os algortmos clásscos são altamente sensíves à presença de ruído nos dados expermentas (HEMEZ et. al.,1995). Isto se deve ao fato de que os gradentes usados dependem explctamente dos vetores modas meddos e/ou da sua expansão (quando utlzados dados modas), desta forma, qualquer erro de medção ou de modelagem rá corromper a qualdade dos gradentes. De manera geral, a mesma conclusão pode ser feta para qualquer método baseado em sensbldades (gradentes). Recentemente, dversas estratégas para evtar a convergênca prematura e melhorar a capacdade de busca dos métodos heurístcos báscos vêm sendo propostas. Por exemplo, Koh e Law (2003), apresentam uma das prmeras tentatvas para melhorar o desempenho numérco de um sstema de dentfcação estrutural baseado em lgortmos Genétcos (Gs) medante a combnação do G com um método de busca local. Outra possbldade estudada por Hwang e He (2006), para soluconar problemas de otmzação estrutural e problemas de dentfcação de sstemas, é a combnação de operadores do Smualted nnealng (S) com os Gs com o ntuto de melhorar a convergênca do G. O método se basea em um algortmo genétco de parâmetros reas com um operador de crossover novo e ncorpora as vantagens que o S possu (capacdade de fugr de pontos locas) melhorando desta forma o desempenho global do método. Fnalmente, o problema DD apresenta três característcas que tornam nteressante o uso de algortmos heurístcos para sua solução. prmera, é que se trata de um problema que deve ser soluconado em presença de ruído. segunda, é que a detecção de dano baseada em modelos é um problema fortemente não lnear, onde podem exstr múltplos pontos ótmos e pode ser de natureza descontínua (SINH; FRISWELL; EDWRDS, 2002; BLND; KPNI, 2004). Por últmo, a estratéga baseada em heurístcas não precsa um conjunto completo de meddas, por exemplo, meddas em todos os graus de lberdade. s anterores razões dfcultam muto o uso de técncas clásscas de otmzação para resolver o problema DD. tabela 1 mostra uma comparação entre métodos tradconas e algortmos heurístcos para solução de problemas de detecção de dano.

3 Um algortmo estocastco para detecção de dano 113 Tabela 1 - Comparação entre algortmos clásscos e algortmos heurístcos. Heurístcos Soluções globas Não requerem cálculo de dervadas Não dependem de ponto ncal Sem restrções: contnudade, convexdade Pouca sensbldade a ruídos Maor número de avalações da função objetvo Operações lógcas báscas Uso de regras heurístcas Sem versões comercas; lteratura fragmentada. Clásscos Soluções locas Cálculo de dervadas necessáro Dependem de ponto ncal Restrções: Contnudade, convexdade Sensíves a ruídos Menor número de avalações da função objetvo Programação dependente do problema Embasamento matemátco Com versões comercas; lvros publcados. 2 LGORITMOS HEURISTICOS Smulated nnealng (S) O algortmo S se basea na analoga entre o processo de resframento lento de sóldos e a solução de problemas de otmzação de grande porte, com varáves contínuas e dscretas. Fo proposto por Krkpatrck, Gelatt e Vecch em O S tem sdo empregado no campo da físca e da crstalografa, para ajustar modelos atômcos de proteínas usando dados expermentas e nformações químcas (BRUNGER, 1991). Uma das prmeras aplcações do S, para o posconamento ótmo de sensores e atuadores em estruturas espacas, fo feta por Salama et al. (1990), e sua aplcação é relatvamente recente na dscplna de otmzação estrutural, onde os objetvos prncpas são obter estruturas com formas, pesos, resstêncas ótmas e/ou controlar parâmetros de vbração de dversos sstemas (GENOVESE; LMBERTI; PPPLETTERE, 2005; KINCID, 1992). No trabalho apresentado por Bennage e Dhngra (1995), é mostrada a robustez do S medante sua aplcação em problemas de otmzação mult-objetvo para o projeto de trelças com varáves contínuas e dscretas. Embora nas áreas anterores o algortmo S tenha sdo usado com freqüênca, poucos trabalhos têm sdo publcados aplcando esta metodologa na área de dnâmca de estruturas, nos campos de ajuste de modelos e detecção de dano (ZIEI-RD, 2005; BEGMBRE; LIER, 2006; ZHOU; KIM; YNG, 2005; BEGMBRE; LIER, 2005). Uma contrbução deste trabalho é testar o algortmo Smulated nnealng em problemas de detecção de dano. Para este fm, a varante do S apresentada por Corana et. al. (1987), é avalada em dversas funções teste e em casos de detecção de dano smulados. O processo de annealng (recozmento) consste em aquecer uma substanca até que ela derrete e, segudamente, reduzr de forma lenta sua temperatura. Medante este procedmento, se permte à substanca atngr o equlíbro térmco em cada temperatura. Eventualmente, a temperatura decresce até que o materal congela. Se a temperatura é dmnuída de forma sufcentemente lenta o processo de annealng sempre atnge o estado de mínma energa a partr de um número quase nfnto de estados ncas possíves. O annealng é um processo natural de otmzação e sua smulação na área de matemátca aplcada é conhecda como Smulated nnealng. O S é, bascamente, um procedmento de busca aleatóra de pontos ótmos globas, que permte movmentos para fugr de pontos ótmos locas. Estes

4 114 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer movmentos de fuga são controlados através do conhecdo crtéro de Metropols (METROPOLIS et. al., 1953). s vantagens que tornam atraente o S para a solução de problemas nversos são sua não dependênca do cálculo de gradente da função objetvo e sua capacdade de fugr de pontos ótmos locas. O procedmento geral, para otmzar uma função empregando o S, envolve a defnção de uma função objetvo, a proposta de um mecansmo para gerar varações na confguração atual, o estabelecmento de um programa de esframento e, fnalmente, a fxação de um crtéro de parada. Estes passos fundamentas são descrtos em detalhe nas seguntes seções. Função objetvo expressão para a função objetvo utlzada para detecção de dano medante o S pode ser uma das dadas pelas Equações (40) a (45). O problema agora, pode ser formulado da segunte manera: achar ot que satsfaça a Equação (46): f obj ( ot { F( ) R n } ) = mn / onde, o estado do sstema é defndo pelo vetor de confguração atual (parâmetros de dano). (1) Estruturas de vznhança Para defnr um mecansmo gerador de varações aleatóras para a confguração atual é necessáro estabelecer uma estrutura de vznhança. Este mecansmo é uma forma de perturbar para obter novas confgurações. Entre os tpos de vznhança sugerdos na lteratura se podem menconar o ajuste undreconal aleatóro (CORN et. al., 1987), o ajuste de rao fxo, o ajuste normal e o ajuste de Cauchy. Os três últmos precsam da defnção de um parâmetro extra para determnar o ponto vznho (o rao, no caso do ajuste de rao fxo e as varâncas, para o ajuste normal e de Cauchy). Por este motvo, o mecansmo de transção de ajuste undreconal aleatóro fo empregado neste trabalho. Esta estrutura de vznhança funcona como descrto a segur. avalação da função fobj é feta no ponto ncal k e seu valor fobj ( k ) é guardado. Um novo ponto j é determnado medante uma varação aleatóra α ntroduzda no elemento do vetor k: α = α + λ η na Equação (47), λ é um número aleatóro no ntervalo (-1,1), η representa um elemento do vetor η, que é o comprmento do passo para o vetor k e α, α (2) são elementos de k e j, respectvamente. Segudamente, o valor da função fobj ( j ) é calculado. Se fobj ( j ) < fobj ( k ), o algortmo desce (se aproxma do mínmo). Se fobj ( de j ser aceto vem dada pelo crtéro de Metropols: j é acete e k é substtuído por j ) > fobj ( j, portanto, k ), a probabldade P r [ ] Δfobj T = e j (3)

5 Um algortmo estocastco para detecção de dano 115 ( ) ( ) Δ fobj = fobj k fobj j na Equação (48), e T é o parâmetro de temperatura, que é o análogo da temperatura no processo físco de annealng (recozmento). Na prátca, o valor Pr é comparado com P, que é um número randômco no ntervalo (0,1). Se Pr > P, o novo ponto é aceto e k é substtuído por j e o algortmo Sobe j (se afasta do mínmo), caso contráro, é rejetado. O algortmo S começa numa j temperatura alta To e uma seqüênca de pontos é gerada até atngr o equlíbro, j f sto é, se obtém uma seqüênca de pontos, cujo valor médo de obj atnge um valor estável à medda que j aumenta. O melhor ponto alcançado (mínmo nesta temperatura) é guardado como ot. Programa de esframento Neste estágo do processo, o parâmetro de controle T é dmnuído de acordo com uma regra de decremento, conhecda como programa de esframento, que obedece à relação: T j+ = θ T j 1 (3) onde, θ é uma constante real cujo valor está no ntervalo (0,1). Com o valor de T reduzdo segundo a Equação (49), uma nova seqüênca de pontos é gerada a partr de ot, até que o novo equlíbro seja atngdo e o processo contnua até o crtéro de parada ser satsfeto. É mportante ressaltar que, para fnalzar o programa de esframento, o algortmo precsa ter realzado um número predetermnado de terações na mesma temperatura. Corana et. al. (1987) recomendam escolher o valor máxmo entre 100 e 5N, onde N é o número de varáves do problema estudado. O valor de temperatura ncal depende da função que va ser otmzada e da defnção da vznhança empregada no algortmo. Um crtéro usado para defnr este parâmetro é a taxa de acetação, defnda como o número ncal de avalações da função objetvo acetas (movmento de descda / subda) sobre o número total de avalações realzadas (número total de movmentos). Na prátca, um valor de temperatura ncal deve ser tal que o valor da taxa de acetação fque entre 0.5 e 0.9. Se o valor da taxa for maor que 0.9, uma percentagem sgnfcatva de avalações é gasta num estado derretdo, desperdçando esforço computaconal numa procura equvalente a uma busca aleatóra. Se a taxa de acetação for menor que 0.5, a probabldade do algortmo fcar preso num ótmo local aumenta. Crtéro de Parada O algortmo termna para um valor de T pequeno, para o qual, nenhuma melhora no valor de fobj, possa ser esperada. Na prátca, o crtéro de parada pode ser defndo medante um valor de tolerânca da segunte forma: se a dferença entre valores fnas da função objetvo das p últmas temperaturas e o valor atual da função for menor que o valor da tolerânca, o algortmo termna. Fgura 1 apresenta o fluxograma básco do S.

6 116 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer Fgura 1 - Dagrama de fluxo S básco. Da anteror exposção, fca claro que, grandes dferenças no valor da função e/ou baxas temperaturas dmnuem a probabldade de um movmento de subda do algortmo. Por outro lado, a varação do passo η é feta segundo o proposto em Corana et. al. (1987), de tal forma que, a relação entre o número de movmentos de subda/descda acetos e o total de movmentos realzados, permaneça próxma de 0.5, e, de esta manera, manter um bom segumento do valor da função estudada. Fnalmente, a estratéga de realzar uma busca undreconal aleatóra tem melhores chances de manter a dreção favorável de busca nas terações seguntes e de se aproxmar do ponto ótmo de forma sstemátca. perturbação smultânea, além de não manter a dreção favorável de busca, também não fornece nformação sobre o efeto de cada varável na volação de restrções em problema com restrções. lgortmo Partcle Swarm Optmzaton (PSO) O algortmo PSO fo proposto por Kennedy e Eberhart em 1995 e está baseado na smulação de um modelo de nteração socal smplfcado. Sabe-se que compartlhar nformação no ambente socal oferece aos membros do grupo uma vantagem evolutva. Esta observação é fundamental para o desenvolvmento do PSO. O PSO é membro da ampla categora de métodos conhecdos como Swarm Intellgence, utlzados para resolver problemas de programação não lnear. Desde sua ntrodução, mutas aplcações em otmzação estrutural e multdscplnar tem sdo publcadas. Uma revsão das aplcações do PSO, para soluconar problemas de otmzação na área de sstemas elétrcos, é apresentada em lrashd e El-Hawary (2006). Outras aplcações para o projeto térmco ótmo de prédos podem ser encontradas em Wetter e Wrght (2004). plcações adconas para otmzação estrutural (forma e peso) são apresentadas em Venter e Sobeszczansk-Sobesk (2003), Schutte e Groenwold (2003) e Foure e Groenwold (2002). Por outro lado, nenhum estudo sobre aplcações e modfcações do PSO para detecção de dano tem sdo reportado. Desta forma, esta pesqusa representa a prmera tentatva de avalar o desempenho numérco do algortmo, assm como, de

7 Um algortmo estocastco para detecção de dano 117 melhorar seu comportamento, em problemas de dentfcação de dano, medante a estratéga híbrda desenvolvda. No PSO exstem város parâmetros explíctos cujos valores afetam a manera na qual o algortmo faz a busca no espaço do problema (KENNEDY, 1997; LRSHIDI; EL-HWRY, 2006; VENTER; SOBIESZCZNSKI-SOBIESKI, 2003; SCHUTTE; GROENWOLD, 2003; FOURIE; GROENWOLD, 2002). Estes parâmetros heurístcos controlam as propredades de convergênca do PSO, portanto, medante a correta seleção destas constantes, o desempenho do algortmo pode ser melhorado, como explcado nas seguntes seções. Mecansmo e parâmetros báscos do PSO Neste trabalho, é mplementada a versão global assíncrona do PSO com redução de nérca lnear (SCHUTTE; GROENWOLD, 2003). O algortmo básco parte da hpótese de que cada partícula (solução canddata) da população (swarm ou conjunto de N partículas) voa sobre o espaço de busca, procurando por regões promssoras da pasagem (por exemplo, em um problema de maxmzação), regões que possuam valores da função objetvo maores que outros, descobertos prevamente. Neste contexto, a posção de cada partícula é ajustada, utlzando a nformação socal compartlhada pelos membros do enxame (swarm), e cada partícula tenta mudar sua posção a um ponto onde, ela e o enxame, tnham um valor maor da função objetvo em terações prevas. s partículas são manpuladas de acordo com as seguntes equações vetoras (SHI; EBERHRT, 1998): pk + 1 = pk + vk + 1 (5) g vk + 1 = ωvk + C1rand1( bk pk ) + C2rand 2 ( bk pk ) (6) onde, k ndca um ncremento pseudo-temporal untáro, pk representa a posção p 1 de cada partícula (soluções canddatas) no tempo (teração) k, k + é a posção da b partcular no tempo k+1, k representa a melhor posção alcançada pela partcular g b no tempo k (melhor posção ndvdual), k é a melhor posção no enxame no tempo k (melhor posção atngda pela partícula usada para guar as outras partículas no v enxame), k é a velocdade da partícula no tempo k e vk + 1 é a velocdade ajustada da partícula no tempo k+1. Todos os vetores nas Equações (5) e (5), são de dmensão mx1, onde m é o número de parâmetros otmzados, rand1 e rand2 são números aleatóros ndependentes (com probabldade unforme) entre 0 e 1. Os parâmetros C1 e C2 controlam o fluxo de nformação entre o enxame atual. Se C2 > C1, então a partícula põe mas confança no enxame, de outra forma, a partícula põe mas confança nela mesma. Devdo a que cada partícula possu uma velocdade, o comportamento do PSO é dreconal, sto é, a partícula é acelerada estocastcamente na dreção da melhor posção global da população e também é acelerada estocastcamente na dreção de sua anteror melhor posção. C1 e C2 são conhecdos como os parâmetros cogntvo e socal, respectvamente. ω é o fator de nérca (ou fator de amortecmento) que controla o mpacto da velocdade preva da partícula sobre sua velocdade atual (SHI; EBERHRT, 1998). O fator de nérca no PSO lembra o parâmetro de temperatura T no algortmo Smulated nnealng. Um fator de nérca alto faclta uma exploração global do espaço de busca, enquanto que um valor pequeno deste parâmetro possblta uma busca local (ajuste fno), portanto, a aproprada seleção do fator de amortecmento fornece um balance entre a capacdade de busca local e de busca global do algortmo e permtrá um número menor de

8 118 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer terações (em meda) para dentfcar o ponto ótmo global. Equação (6) possblta transções aleatóras nas posções das partículas, permtndo que o algortmo escape dos pontos ótmos locas. O algortmo PSO funcona medante a modfcação da dstânca que cada partícula percorre em cada dreção (Equação (50)). Para controlar o passo do algortmo ( vk + 1 ) e para prevenr o fenômeno de explosão (TYL, 2003), um valor de velocdade máxma Vmax = (pub-plb0) / H (com H = 5) fo empregado nesta pesqusa. Vale a pena salentar que todas as posções das partículas lmtadas por seus valores máxmo (pup) e mínmo (plb) permtdos. p k devem ser lteratura propõe usar 0 < ω < 1.4, C1 = C2 = 2 com C1 + C2 4 e 5 < H < 10 para manter um equlíbro entre a capacdade de busca global e local do algortmo (PRSOPOULOS; VRHTIS, 2002; KENNEDY; EBERHRT, 1995; KENNEDY, 1997; LRSHIDI; EL-HWRY, 2006; TYL, 2003). Como sabdo, os três parâmetros ω, C1 e C2, são dependentes do problema estudado (VENTER; SOBIESZCZNSKI-SOBIESKI, 2003; SCHUTTE; GROENWOLD, 2003). Devdo a este fato, nclusve usuáros experentes do PSO devem realzar testes exaustvos para encontrar o melhor conjunto de parâmetros para o PSO e usuáros menos experentes podem fornecer valores nadequados causando a falha do algortmo. Topologas de vznhança No PSO, as partículas são nfluencadas pelo sucesso de qualquer outra partícula com a qual elas estão conectadas. Essa vznhança, não é consttuída necessaramente por partículas que estão próxmas umas das outras (em termos do valor das varáves), mas de partículas que estão próxmas em função da topologa de vznhança que defne a estrutura socal do enxame. Neste sentdo, a vznhança determna o conjunto de partículas que contrbuem para o cálculo do de uma partícula dada. g b Dependendo da vznhança utlzada, o PSO pode ter duas versões. Se k, na Equação (51), for a melhor partícula do enxame (a melhor posção de toda a população), tem-se a versão global do PSO, lustrada na Fgura 5 e chamada de topologa totalmente conectada. Por outro lado, a versão local se obtém substtundo g b k pela melhor posção dentro de um número de partículas p (p< N, onde N e o p número total de partículas da população) vznhas da partícula k. Exstem varas opções para defnr uma vznhança local, as mas usadas são descrtas a segur. Vznhança Local: Nesta topologa, cada partícula é afetada pela melhor partícula de suas p vznhas medatas. Geralmente, o valor p = 2 é usado, dando orgem à g b topologa conhecda como anel, mostrada na Fgura 5. Neste caso, k = melhor vznha medata, na Equação (6). Vznhança Focal: uma partícula esta conectada com todas as outras e elas estão conectadas uncamente com a prmera (chamada de partícula focal) como lustrado g b na Fgura 5. Neste caso, k = partícula foco, na equação (6). g b k

9 Um algortmo estocastco para detecção de dano 119 Fgura 2 - Topologas de vznhança no PSO. a) totalmente conectada. b) local e c) focal. topologa de vznhança tem nfluenca na taxa de convergênca do PSO, já que, determna quanto tempo empregaram as partículas para localzar a melhor posção no espaço de busca. Por exemplo, na versão global, todas as partículas estão conectadas e recebem nformação sobre a melhor solução ao mesmo tempo. Desta forma, usando esta estrutura de vznhança global, o enxame tende a convergr com maor rapdez que quando são usadas topologas locas o de estrela, devdo a que, no últmo caso, a nformação sobre a melhor posção demora mas em ser transmtda. Porém, pela mesma razão, a versão global é mas suscetível de convergr de forma prematura para um mínmo local. Crtéros de parada Um crtéro de parada robusto é mportante para qualquer algortmo de otmzação para evtar avalações de função objetvo adconas depos que uma solução ótma fo encontrada. Idealmente, o crtéro e parada empregado nenhum parâmetro relaconado com o problema. O crtéro de convergênca consderado neste trabalho é básco. máxma varação na função objetvo fo montorada para um número específco de terações consecutvas. Se a varação máxma da função objetvo fo menor que uma varação predefnda, se assume a convergênca do algortmo. Pseudo códgo do PSO e ndcado na Fgura 3.

10 120 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer Fgura 3 - PSO. O algortmo PSOS nova estratéga que se propõe neste trabalho, para controlar a seleção adequada das constantes heurístcas que governam o comportamento do PSO, se basea no uso do método Smplex (NELDER; MED, 1965). pesar das conhecdas falhas e nefcêncas do algortmo Smplex (LGRIS et. al., 1998) ele é usado aqu para escolher os parâmetros heurístcos do PSO e, desta forma, fazer com que o PSO se torne ndependente desses valores, como explcado a segur. Heurístca do PSOS déa central do método é que o algortmo Smplex selecone os valores dos parâmetros N, w, C1 e C2 contdos no espaço de parâmetros (ver Fgura 5) e, assm, procure uma confguração ótma ou quase ótma para o PSO. Dentro desta heurístca, cada vértce do Smplex fca defndo pelas coordenadas (N, w, C1, C2). Nesta stuação, o PSO toma os valores dos parâmetros heurístcos determnados pelo Smplex e avala a função objetvo do problema (ver Fgura 9). Consequentemente, cada ponto do Smplex, e qualquer reflexão, contração, expansão e redução (ver seção 5.2), é avalada com um enxame ndependente, caracterzado pelo vetor X (N, w, C1, C2) =1,, n+1, onde, n é o número de parâmetros do PSO e N é um número ntero, que representa o tamanho do enxame. varável N (tamanho do enxame) fo ncluída com a fnaldade de estmar seu valor ótmo. Este procedmento melhora a capacdade de busca do algortmo híbrdo e o torna ndependente dos parâmetros heurístcos, devdo a que realza uma busca, drgda por parâmetros quase ótmos, de forma automátca.

11 Um algortmo estocastco para detecção de dano 121 a) Fgura 4 - Heurístca do PSOS. a) Funconamento global. b) Iteração ncal (Smplex em duas dmensões) e c) Iteração fnal após uma reflexão. 3 RESULTDOS NUMERICOS PROBLEM DE KBE Este é um dos testes mas populares para métodos de ajuste de modelos e detecção de dano. estrutura é mostrada na Fgura 2. Kabe (1985), utlza dados modas e o método dos multplcadores de Lagrange para ncorporar as restrções de smetra e de força defndas dentro do procedmento e realzar o ajuste. Este problema é classfcado como de dfícl solução devdo à grande dferença relatva entre as magntudes dos coefcentes de rgdez e à alta densdade modal do sstema, com dferença máxma de 26,8% entre a prmera e a otava freqüênca natural e de 5,2% entre a prmera e a quarta freqüênca.

12 122 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer K 5 K 1 K 3 K 1 m 1 m 2 m 4 m 6 m 8 K 6 K 2 K 4 K 2 m 3 m 5 m 7 K 5 K 1 K 3 K 1 Fgura 5 - Problema de Kabe. Neste exemplo, foram escolhdas como varáves para o problema de otmzação os ses coefcentes de rgdez K. Os valores exatos dos coefcentes K e m são dados na Tabela 65. função objetvo utlzada é a dada pela Equação (1). Tabela 1 - Coefcente de rgdez e massa. K1 K2 K3 K4 K5 K m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m Na tabela 2 estão ndcados os valores médos do tempo de processamento empregado para soluconar o exemplo (em segundos) (tm), assm como também: o valor médo do número de avalações totas da função objetvo (Nm), o valor médo do número da avalações da função objetvo acetas (Nm), o valor médo da função objetvo (fobjm), o desvo padrão dos valores da função objetvo (σ), e a confabldade (C),que expressa o número de vezes, do total de 10, que o algortmo convergu utlzando menos de avalações da função objetvo. Também se apresentam, na Tabela 7, os melhores resultados obtdos para o exemplo. O valor t corresponde ao tempo de cálculo (em segundos) da melhor rodada, fobj é o valor da função objetvo, N é o número total de chamadas da função objetvo e N é o número de avalações da função objetvo acetas (descdas). dconalmente a Tabela 2 mostra os resultados do ajuste, quando empregados dados expermentas smulados, gerados segundo a metodologa descrta por Kabe (1985) (colunas 1 e 2). s colunas 1 e 2 da Tabela 7 foram calculadas começando a busca desde um ponto ncal dferente (aleatóro), e, em todos os 10 testes realzados, o algortmo convergu com menos de avalações da função objetvo. Comparando os valores dos elementos da matrz de rgdez exata (coluna 5 da Tabela 7) com os valores ajustados utlzando um e dos modos (colunas 1 e 2 da Tabela 6) nota-se que, o S teve um bom desempenho. Quando comparado com o método de Kabe, pode observar-se que, o S conseguu melhores aproxmações para 12 dos 16

13 Um algortmo estocastco para detecção de dano 123 elementos da matrz [K]. Um teste realzado (não apresentado), empregando-se os três prmeros modos analítcos normalzados com relação à massa (sem ruído), reproduzu os valores exatos dos elementos da matrz de rgdez. O melhor desempenho do S pode ser explcado pelo fato de a solução de Kabe utlzar, para o cálculo dos multplcadores de Lagrange (Equação b, Fgura 13), a nformação modal contamnada com ruído, e, por sua vez empregar estes multplcadores para determnar a matrz de rgdez ajustada [Y] (Equação a, Fgura 13). s referdas operações matrcas envolvem somas e multplcações da matrz de formas modas e de freqüêncas naturas meddas, propagando-se assm os erros de medção para a solução como mostrado na Fgura 13. abordagem dreta medante o S, e de forma geral, medante métodos heurístcos, evta os passos ntermedáros e mpede a propagação do erro devdo ao uso de funções objetvo do tpo construídas a partr das Equações c, d e e da Fgura 13. Fgura 4 - Comparação entre as equações da solução de Kabe e a solução heurístca. Os valores de temperatura ncal (T0), de redução de temperatura (θ ) e de tolerânca (ξ), utlzados no algortmo S para realzar o exemplo apresentado (Tabela 2) foram de 50, 0,5 e 1E-6, respectvamente. Um valor muto alto de T0 pode aumentar o tempo de computação sem adconar precsão aos cálculos.

14 124 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer Tabela 2 - Resultados do ajuste. Problema de Kabe (1985). Elem. Matrz [K] Este trabalho Kabe (1985) Valor Exato [1] [2] [3] [4] [5] 1 modo 2 modos 1 modo 2 modos (1,1) 2,45 1,53 1,70 1,50 1,50 (1,2) -2,45-1,53-2,10-1,40-1,50 (2,2) 1013, , , , ,50 (2,3) -10,00-10,45-10,10-8,00-10,00 (3,3) 1111, , , , ,00 (3,5) -100,00-100,00-198,60-88,80-100,00 (4,4) 1100, , , , ,00 (4,5) -100,00-100,00-178,60-99,60-100,00 (4,6) -100,00-100,00-198,50-99,60-100,00 (5,5) 1100, , , , ,00 (6,6) 1113, , , , ,00 (6,7) -10,00-10,45-10,00-11,90-10,00 (6,8) -2,00-2,98-4,10-3,10-2,00 (7,7) 1013, , , , ,50 (7,8) -2,45-1,53-2,00-2,40-1,50 (8,8) 4,45 4,52 5,10 4,40 3,50 N N t 0,391 0,391 fobj 2,17 4,60 C 100% 100% tm 0,38 0,37 fobjm 2,17 4,60 σ 2,55E-08 9,89E-09 Nm 19021, ,00 Nm 8960, ,80 Para a melhor rodada: t corresponde ao tempo de cálculo (em segundos), fobj é o valor da função objetvo. N é o número total de chamadas da função objetvo e N é o número de avalações da função objetvo acetas (descdas). Para as 10 rodadas, tm é o tempo de processamento empregado para soluconar cada exemplo (em segundos). Nm é o valor médo do número de avalações totas da função objetvo. Nm é o valor médo do número da avalações da função objetvo acetas. fobjm é o valor médo da função objetvo. σ o desvo padrão dos valores da função objetvo. C é a confabldade que expressa o número de vezes, do total de 10, que o algortmo convergu utlzando menos de avalações da função objetvo. 4 CONCLUSÕES O algortmo PSOS fo ntroduzdo neste trabalho. abordagem se basea na combnação do PSO básco com o algortmo Smplex não lnear. s prncpas vantagens deste enfoque são sua alta precsão e establdade e sua ndependênca de

15 Um algortmo estocastco para detecção de dano 125 uma estmatva ncal dos parâmetros heurístcos e de um ponto para ncar a busca. O algortmo PSOS fo capaz de determnar o ótmo global de todas as funções teste com alta precsão, establdade e confança, utlzando um número menor de avalações da função, quando comparado com o Smulated nnealng. 5 GRDECIMENTOS gradecemos ao CNPQ pelo apoo fnancero, sem o qual esta pesqusa não podera ter sdo realzada. 6 REFERÊNCIS BEGMBRE CRRILLO, O. J. (2007). Um algortmo estocástco para detecção de dano. São Carlos. Teses (Doutorado) Escola de Engenhara de São Carlos Unversdade de São Carlos. BLND, S. M.; KPNI, R. K. (2004). Damage Identfcaton of Plate Structures usng Hybrd Genetc-Senstvty approach. I Journal, v.43, n.2, p BRUNGER,. T. (1991). Smulated nnealng n Crystallography. nnual Revew of Physcal Chemstry. 42, p CRLOS, M. F. (2003). coustc emsson: Heedng the Warnng Sounds from Materals. STM-Standzaton News, Oct., Dsponvel em: < >. cesso em: 15/04/2004. CWLEY, P.; DMS, R. D. (1979). The Locatons of Defects n Structures from Measurements of Natural Frequences. Journal of Stran nalyss, v. 14, n.2, p CHSE, S. (2001). The role of smart structures n managng an agng hghway nfrastructure. Proceedngs of the SPIE conference, New Beach, C, Mar Dsponível em: < cesso em: 01/01/2004. CORN,.; MRCHESI, M.; MRTINI, C.; RIDELL, S. (1987). Mnmzng múltmodal functons of contnuous varables wth the Smulated nnealng lgorthm. CM Transactons on Mathematcal Software. 13, No. 3, p CORNWELL, P.; DOEBLING, S.W.; FRRR, C. R. (1999). pplcaton of the Stran Energy Damage Detecton method to Plate-lke Structures. Los lamos Natonal Laboratory, ES-E, MS P946. Dsponível em: <http//ext.lanl.gov/projects/damage_d/>. cesso em: 15/01/2003. DSCOTTE, E; STROBBE, J. R. (1998). Updatng fnte elements models usng FRF correlaton functons. Data, I Journal, v. 21, n.8, p Dsponvel em: < cesso em: 23/09/2005

16 126 Oscar Javer Begambre Carrllo & José Elas Laer DOEBLING, S. W.; FRRR, C. R.; PRIME, M. B; SHEVITZ, D.W. (1996). Damage dentfcaton and health montorng of structural and mechancal systems from changes n ther vbraton characterstcs: a lterature revew. Los lamos Natonal Laboratory Report L MS. Dsponível em: <http//ext.lanl.gov/projects/damage_d/>. cesso em: 15/01/2003. DOEBLING, S. W.; FRRR, C. R.; PRIME, M. B. (1998). Summary Revew of Vbraton-Based Damage Identfcaton Methods. The Shock and Vbraton Dgest, v. 30, n. 2, p DOHERTY, J. E. (1987). Nondestructve Evaluaton. Chapter 12 n Handbook on Expermental Mechancs. Ed..S. Kobayash. Socety For Expermental Mechancs, Inc. DUFFEY, T.. et.al. (2000). Vbraton-Based Damage Identfcaton n Structures Exhbtng xal and Torsonal Response. Los lamos Natonal Laboratory L-UR Dsponível em: <http//ext.lanl.gov/projects/damage_d/>. cesso em: 15/01/2003. EWINS, D. J. (1984). Modal testng: theory and practce. New York: Ed. Wley. FNNING, P.J.; CRDEN, E.P. (2003). Damage detecton based on sngle-nputsngle-output measurements. Journal of Engneerng Mechancs. p FNNING, P.J.; CRDEN, E.P. (2004). Vbraton Based Condton Montorng: a revew. Structural Health Montorng. v. 3, n. 4, p FRRR, C.R., DOEBLING, S.W., DUFFEY, T.,., (2000). Vbraton-Based Damage Detecton. Los lamos Natonal Laboratory Report MS P-946. FILHO, L.; ROITMN, N.; MGLUT,C. (2000). Detecção de Danos Estruturas através de Métodos Dretos de juste de Modelos. In: JORNDS SUDMERICNS DE INGENIERI, 29., Nov., Punta Del Este, Uruguay. FOURIE, P. C; GROENWOLD,.. (2002). The partcle swarm optmzaton algorthm n sze and shape optmzaton. Struct. Multdsc. Optm., 23, p FOX, C. H. J. (1992). The Locaton of Defects n Structures: Comparson of the use of Natural Frequency and Mode Shape Data. In: INTERNTIONL MODL NLYSIS CONFERENCE, 10., San Dego, Calforna, v.1, p KIRKPTRICK, S.; GELTT,.; VECCHI, M. P. (1983), Optmzaton by smulated annealng. Scence, 220, p