DIMENSIONAMENTO ÓTIMIZADO DE TRELIÇAS DE ALUMÍNIO: ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL

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1 DIMENSIONAMENTO ÓTIMIZADO DE TRELIÇAS DE ALUMÍNIO: ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL Moacr Krpka, Prof. Dr. Zacaras M. Chamberlan Prava, Prof. Dr. Maga Marques Das, Acadêmca, Bolssta UPF Gulherme Fleth de Mederos, Acadêmco, Bolssta CNPq Unversdade de Passo Fundo Faculdade de Engenhara e Arqutetura Campus Unverstáro Barro São José Passo Fundo, RS, Brasl Resumo Em função da grande dversdade de confgurações possíves, seja para superar um determnado vão, seja para resstr a um certo carregamento, as trelças consttuem um campo bastante fértl ao emprego de técncas de otmzação. Com o uso dessas técncas, busca-se quantfcar o mínmo materal necessáro para que a estrutura suporte o carregamento atuante com a devda segurança. Os problemas de otmzação de trelças são classfcados bascamente em três categoras: otmzação de seções transversas, de geometra e de topologa. O presente trabalho apresenta um estudo numérco e expermental desenvolvdo na Unversdade de Passo Fundo, através do qual objetvou-se a determnação de parâmetros para o dmensonamento ótmo de trelças consderando tanto as seções transversas dos elementos como a geometra como varáves de projeto. Incalmente, foram efetuadas dversas smulações com o emprego de um programa desenvolvdo para a otmzação de trelças metálcas pelo Método do Recozmento Smulado (Smulated Annealng). Na seqüênca, a partr dos resultados obtdos, foram projetadas e construídas duas estruturas trelçadas de alumíno. Os ensaos efetuados evdencaram a sgnfcatva melhora no desempenho da estrutura projetada com o emprego das técncas de otmzação. Palavras-chave: Otmzação,Trelças, Análse numérca, Análse expermental 1 INTRODUÇÃO As trelças possuem um vasto campo de aplcação na engenhara, sendo muto utlzadas na construção de pontes (rodováras e ferrováras), como estruturas de cobertura (em resdêncas, ndústras, estádos, etc), em torres de transmssão de energa, entre dversos outros usos. São construídas usualmente em madera ou aço, sendo relatvamente leves e especalmente ndcadas para superar grandes vãos ou suportar cargas elevadas. Nesse contexto, as trelças tornam-se uma solução econômca e prátca. Além dsso, devdo à grande dversdade de soluções estatcamente possíves para se vencer um

2 determnado vão ou suportar um determnado carregamento, as trelças apresentam um campo bastante fértl ao emprego de técncas de otmzação. Pelo fato da análse e dmensonamento de estruturas, de forma geral, se consttuírem em processos teratvos, busca-se, com o uso dessas técncas, mnmzar o consumo de materal sem o comprometmento da segurança estrutural. Os problemas de otmzação de trelças são dspostos bascamente em três categoras: otmzação das seções transversas, da geometra e da topologa. Na prmera stuação, as varáves consderadas no projeto são apenas as característcas das seções transversas das barras. Neste caso, pode-se trabalhar com varáves dscretas, através de um conjunto de dmensões pré-defndas para as seções, ou varáves contínuas, quando são acetos quasquer valores de seção dentro de um determnado ntervalo. Na otmzação da geometra permte-se a modfcação das coordenadas dos nós para uma topologa prédefnda. Nessa stuação também é comum facultar-se a modfcação das característcas das seções transversas. No caso da otmzação da topologa, tanto o número como a dsposção dos elementos na estrutura podem varar. O processo de otmzação de trelças pode apresentar uma ou mas das seguntes restrções báscas: deslocamento admssível (flecha), tensão máxma de flambagem e tensão axal máxma. O presente trabalho dá prossegumento a pesqusas desenvolvdas na Unversdade de Passo Fundo relatvas à otmzação de estruturas, e objetvou a valdação de estudos numércos envolvendo a otmzação de seção e de geometra de trelças de alumíno. Incalmente, foram efetuadas smulações computaconas com o emprego de um programa desenvolvdo para a otmzação de trelças planas pelo Método do Recozmento Smulado (Smulated Annealng). A segur, foram construídas e ensaadas duas trelças de alumíno, dmensonadas para suportar o mesmo carregamento. Para o prmero modelo construído fo efetuada apenas a otmzação de seções, enquanto para o segundo permtu-se a nclusão das coordenadas dos nós como varáves de projeto, otmzando de forma smultânea a geometra da estrutura e as seções transversas dos elementos. Os tens seguntes deste trabalho descrevem a metodologa empregada no estudo, bem como os resultados e conclusões decorrentes. 2 OTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS 2.1 Sstema computaconal para otmzação de trelças Um problema de otmzação pode, de forma geral, ser descrto como: Mnmzar f x ), = 1, n (1) ( Sujeto a: g ( ) 0, j = 1, m (2) j x h ( ) = 0, k = 1, l (3) x k x l u x x (4) onde f, na equação 1, desgna a função objetvo e X = (x 1, x 2,... x n ) T consste no vetor das varáves de projeto. As funções representadas nas equações 2 a 4 são as chamadas restrções do problema (respectvamente, restrções de desgualdade g, de gualdade h e restrções lateras, ou canalzadas, com lmte nferor l e lmte superor u). As funções envolvdas no problema podem conter as varáves de projeto de forma mplícta ou

3 explícta. Além dsso, tanto a função objetvo como as restrções podem ser lneares ou não-lneares. As funções envolvdas no cálculo de estruturas usualmente são não-lneares e nãoconvexas (apresentam város pontos de ótmo), sendo as varáves melhor descrtas por valores dscretos. Para problemas dessa natureza, as técncas baseadas em programação matemátca normalmente apresentam severas lmtações. Assm, para a resolução de problemas prátcos, as heurístcas têm se apresentado como uma excelente alternatva. O processo de otmzação de trelças empregado no presente trabalho fo efetuado utlzando-se um sstema computaconal desenvolvdo pelo prmero autor, o qual assoca a análse de estruturas retculadas pelo Método dos Deslocamentos com o Método do Recozmento Smulado, ou Smulated Annealng (KIRKPATRICK et al., 1983). O Smulated Annealng consste num método heurístco desenvolvdo em analoga ao processo de recozmento de metas. Uma descrção mas detalhada do método, bem como de sua aplcação específca à otmzação de trelças, pode ser encontrada em KRIPKA (2004) ou em KRIPKA e DREHMER (2005). Na mplementação do sstema, o problema de mnmzação do peso de trelças fo formulado da segunte forma: Mnmzar: n f ( x) = W = γ A L (5) = 1 Sujeto a σ (6) σ a λ lm λ (7) u u a (8) A S = { a,... } (9) x 1 a m l u x x (10) Na função objetvo, W é o peso total da trelça, o qual é função da área da seção transversal (A) e das coordenadas dos nós da trelça (y). Anda nessa função, γ é o peso específco do materal e L é o comprmento do elemento, sendo n o número total de elementos. Em cada elemento tem-se como restrção que a tensão σ em cada barra deve ser menor ou gual à tensão admssível do materal σ a, sendo consderado anda o índce de esbeltez máxmo ( λ lm ) para os elementos comprmdos e um deslocamento admssível u a para cada nó da estrutura. Além das restrções descrtas, consderou-se que a área da seção deve assumr um valor dscreto, a partr de uma lsta de m perfs canddatos (equação 9). Por fm, a últma restrção, representada na equação 10, mpõe lmtes para a varação nas coordenadas de cada nó. 2.2 Otmzação aplcada ao dmensonamento de trelças planas de alumíno Com o objetvo de efetuar a comprovação da efetva economa obtda a partr da aplcação de técncas de otmzação à análse de estruturas, o sstema computaconal anterormente desenvolvdo fo adaptado à otmzação de trelças compostas por perfs de alumíno. Uma vez que a dsponbldade de dstntos perfs era bastante lmtada, vsou-se

4 predomnantemente a mnmzação do peso da estrutura pela alteração nas coordenadas nodas. O materal utlzado fo o alumíno lga 6351, têmpera T4, com as seguntes característcas (BUZINELLI, 2000): - módulo de elastcdade longtudnal E = 70 GPa; - peso específco γ = 27 KN/m³; - tensão de escoamento fy = 130 MPa; - tensão últma fu = 220 MPa; - índce de esbeltez máxmo λ lm = 111. Foram utlzados três tpos de perfs lamnados em forma de dupla cantonera de abas guas e opostas, sendo suas característcas expostas na tabela 1 (ALCOA, 2007). Tabela 1 Característcas dos perfs empregados (dupla cantonera) Perfl Nome Área (m²) I (m 4 ) 1 'CT-001(L1/2)' 75.72E E-12 2 'CT-005(L5/8)' 95.94E E-12 3 'CT-013(L1)' E E-12 Fo adotado o mesmo valor de tensão admssível tanto para a compressão como para a tração, sendo os coefcentes de segurança guas a 1,65 para a tensão de escoamento e 2 para a tensão últma e, conseqüentemente, a tensão admssível o menor valor dentre os seguntes: fy 130 σ adm = = = 78, 79MPa 1,65 1,65 (11) fu 220 σ adm = = = 110MPa 2,00 2,00 (12) A tensão de flambagem é calculada a partr da expressão: 145 0,8λ σ fl = (13) 1,65 3 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS A estrutura de referênca empregada no presente estudo consste numa trelça plana de banzos paralelos do tpo Warren, com 1,75m de vão e 0,25m de altura (Fgura 1). O carregamento, aplcado no nó central do banzo superor, fo determnado como a maor carga suportada pela estrutura para todos os elementos dmensonados com o perfl do tpo 2 (Tabela 1), e que resultou em 3,2KN.

5 Fgura 1 Estrutura de referênca Partndo da estrutura de referênca foram sendo efetuadas dversas smulações, para as quas foram sendo defndas dstntas restrções e varáves de projeto. Como já apontado em estudos anterores (KRIPKA E DREHMER, 2004), observou-se que quando as coordenadas dos nós, além das seções transversas, são ncluídas no conjunto das varáves de projeto, o ganho obtdo a partr do emprego da otmzação passa a ser anda mas sgnfcatvo. Nas dversas smulações efetuadas, a redução em peso obtda a partr da estrutura de referênca varou entre 10 e 32%. Com o objetvo de valdar expermentalmente os resultados obtdos, optou-se pela construção e ensao de duas dessas trelças. A prmera delas, desgnada por Modelo 1, fo obtda a partr da otmzação das seções transversas dos elementos, os quas foram dvddos em três grupos, quas sejam: um grupo formado pelos elementos do banzo superor, um grupo formado pelos elementos do banzo nferor e outro consttuído pelos demas elementos. Como resultado da otmzação nas seções dos banzos nferor e superor fo utlzado o perfl 2, enquanto as demas barras foram construídas com o perfl 1 (representados na Fgura 2, nas cores verde e vermelho, respectvamente). Fgura 2 Modelo 1 gerado pelo software de otmzação A confguração da segunda trelça (Modelo 2) fo obtda pela nclusão das coordenadas vertcas e horzontas do banzo superor e das coordenadas horzontas do banzo nferor no conjunto das varáves. Como resultado do processo de otmzação, obteve-se a confguração lustrada na fgura 3. A partr dessa fgura observa-se que apenas parte os elementos do banzo superor utlzaram o perfl 2, sendo as demas barras formadas a partr do perfl 1 (Fgura 3), resultado da maor unformzação no valor dos esforços solctantes decorrente dos deslocamentos dos nós. Pode-se anda observar que os elementos nclnados nas extremdades da estrutura correspondem aos montantes na estrutura do Modelo 1.

6 Fgura 3 Modelo 2 gerado pelo software de otmzação Desta forma, apesar de ambos os modelos terem sdo dmensonados para um mesmo carregamento (3,2 kn) e empregado os mesmos perfís, o Modelo 2 apresentou uma redução de aproxmadamente 23,4 % no peso com relação ao Modelo 1. A Fgura 4 apresenta os modelos construídos a partr dos resultados das smulações numércas. Ambos os modelos foram ensaados sob as mesmas condções de vnculação e de carregamento. A Fgura 5 lustra o Modelo 1 pronto para a aplcação da carga. Fgura 4 Modelos construídos

7 Fgura 5 Ensao do Modelo 1 Os resultados obtdos dos ensaos são apresentados de forma resumda na Tabela 2, na qual o peso própro corresponde ao das estruturas efetvamente construídas. Tabela 2 Resultados obtdos no ensao Modelo Peso própro (KN) Carga de colapso (KN) Relação carga/peso própro 1 0, ,66 193,84 2 0, ,23 220,24 df (%) 22,33 Da Tabela observa-se que ambas as trelças resstram ao carregamento de projeto (3,2KN), sendo que para o Modelo 2 a relação resstênca/peso própro fo anda maor do que para o Modelo 1 (cerca 13,6 %). Pode-se constatar que a sgnfcatva redução no peso da estrutura se deu sem o comprometmento da efcênca. 4 CONCLUSÕES De forma geral, os resultados obtdos evdencam a grande economa proporconada pela aplcação de técncas de otmzação no projeto de estruturas. Nesse sentdo, as trelças apresentam um campo bastante propíco, uma vez que a redução no peso própro pode ser obtda não apenas pela alteração nas dmensões das seções transversas dos elementos, mas também pela mudança na geometra e na topologa da estrutura.

8 A construção e o ensao das trelças de alumíno permtram a comprovação prátca dos resultados numércos, através da obtenção de estruturas que suportaram uma mesma carga de projeto, porém com decréscmo de 22,3% no consumo de materal na trelça para a qual se consderou um número maor de varáves de projeto na otmzação. 5 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq e à UPF pelas bolsas de ncação centífca conceddas para o desenvolvmento deste trabalho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALCOA. Catálogo de Perfs Alcoa. Dsponível em: de Perfs Alcoa.zp. Acesso em: 3 set BUZINELLI, D. V. (2000). Projeto de elementos estruturas em alumíno. São Carlos, p. Dssertação (Mestrado) - Escola de Engenhara de São Carlos,Unversdade de São Paulo. KIRKPATRICK, S.; GELATT, C. D.; VECCHI M.P. Optmzaton by Smulated Annealng. Scence, v. 220, n. 4598, p , KRIPKA, M. Dscrete optmzaton of trusses by smulated annealng. J. Braz. Soc. Mech. Sc & Eng., v. 26, n. 2, p , abr./jun KRIPKA, M.; DREHMER, G. A. Determnação da geometra e confguração ótmas em trelças metálcas de banzos paralelos. In: PRAVIA, Zacaras M. Chamberlan; KRIPKA, Moacr. Construção Metálca: Estudos e Pesqusas Recentes. Passo Fundo: UPF Edtora, p