UM NOVO MÉTODO HÍBRIDO APLICADO À SOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES COM RAÍZES MÚLTIPLAS

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1 UM NOVO MÉTODO HÍBRIDO APLICADO À SOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES COM RAÍZES MÚLTIPLAS Mauríco Rodrgues Slva Unversdade Federal de Ouro Preto Departamento Engenhara de Produção UFOP - DEENP João Monlevade, MG Brasl. dscmaurco@gmal.com RESUMO O presente trabalho apresenta um algortmo híbrdo que tem como objetvo a solução de problemas de otmzação, orgnados de sstemas de equações não lneares com múltplas soluções. O modelo é composto de dos algortmos concatenados, onde o prmero é estocástco, e o segundo é determnístco, executados consecutvas vezes por meo de uma estrutura de repetção, projetada de forma a forçar a busca de todas as soluções possíves dentro dos lmtes do ntervalo de busca. Por fm, os resultados são pós-otmzados, resultando em um grupo de dversas soluções, equvalentes às soluções alternatvas do sstema não lnear que representa o problema. PALAVRAS CHAVE: Otmzação, algortmos híbrdos, pesqusa operaconal. metaheurstcas. ABSTRACT Ths paper presents a hybrd algorthm that ams at solvng optmzaton problems orgnated from nonlnear equatons systems wth multple solutons. The model s composed of two algorthms concatenated, where the frst s stochastc and the second s determnstc, and executed consecutve tmes through an repetton structure, desgned n order to force the search of all possble solutons wthn the lmts of the range search. At last, the results are postoptmzed, resultng n a group of several solutons, equvalent to the alternatve of nonlnear system that represents the problem. KEYWORDS: optmzaton, hybrd algorthms, operatonal research. metaheurstcs. 73

2 . Introdução Este trabalho apresenta o desenvolvmento de um algortmo híbrdo (Slva, 2009), para solução de problemas de otmzação não-lnear com múltplas soluções. Para sso, fo dealzada uma composção de dos algortmos, para formação de um algortmo híbrdo, com efcênca computaconal superor aos algortmos clásscos quando aplcados soladamente, especfcamente para localzação de todas as múltplas raízes que outros. Este algortmo apresenta efcênca computaconal superor a outro localzando mas raízes que este outro algortmo, e/ou localzando o mesmo número de raízes, mas com tempo computaconal nferor. A efcênca deste algortmo híbrdo é demonstrada através de testes envolvendo problemas clásscos da lteratura conhecdos por sua complexdade e pela dfculdade de localzação de todas as soluções. Estes problemas são do tpo não-lneares rrestrtos (ou com restrções do tpo caxa ) multmodas/multraz. Para composção do algortmo híbrdo serão utlzados os algortmos Luus-Jaakola como gerador de pontos ncas para o algortmo Hooke-Jeeves, compondo assm o algortmo híbrdo. O dferencal do algortmo proposto está, prmeramente, na nserção do algortmo de busca de Hooke e Jeeves (96), produzndo uma estrutura híbrda em que se combna um algortmo estocástco Luus-Jaakola (973), com um determnístco. Com sto, o algortmo determnístco faz uma busca na vznhança da solução fornecda pelo algortmo estocástco, refnando a solução e acelerando o tempo de execução em relação à abordagem estocástca solada. Outra característca fundamental deste algortmo híbrdo está na geração de um conjunto de soluções resultante do número de execuções. Para sso, um laço externo (N) é defndo, através de um número de execuções mpostas para tentar encontrar o máxmo de soluções dstntas possíves. Durante a execução deste laço, uma quantdade de valores é armazenada como um conjunto de soluções. Porém, neste conjunto, dversos valores se repetem ou representam a mesma solução. Então, uma rotna de classfcação defne conjuntos de valores que pertencem a uma mesma solução, ou seja, um conjunto de pontos canddatos pertencentes a uma regão de vznhança de uma solução. Esta rotna forma classes de dados para cada solução. No fnal da execução do laço externo, um conjunto de classes é produzdo. Uma últma etapa, denomnada pós-otmzação, é atvada para fltrar somente uma solução de cada conjunto. As soluções fltradas serão as melhores encontradas pelo algortmo, e serão exbdas no fnal do processo. 2. O Algortmo Luus Jaakola A segur o algortmo de Luus jaakola (973) padrão é descrto, o qual é utlzado como núcleo do modelo apresentado neste trabalho. O procedmento que o algortmo desenvolve se dvde em pratcamente duas etapas. Na prmera etapa, o algortmo gera um vetor de números aleatóros para ajustes dos valores ncas x*, que dentro de um número de terações, resultará num conjunto de soluções. Estas soluções estarão sujetas às restrções do problema, gerando um grupo de soluções váves. Nesta etapa, a melhor solução para o problema, será a escolhda. Na segunda etapa, o espaço de busca é contraído de um fator de redução, e a prmera etapa é novamente executada. Por fm, depos de um número fxo de terações externas, o resultado obtdo será a melhor solução para o problema. Observe que este algortmo fnalza com apenas uma solução. Em problemas com múltplas raízes, o algortmo deve ser executado dversas vezes (Slva, 200). A Fg. descreve o algortmo orgnal de Luus jaakola (973). 7

3 Escolha um tamanho ncal de busca r (0). Escolha um número externo de terações n out e um número nterno n n. Escolha um coefcente de contração λ Gere uma solução ncal x* Para = até n out Para j = até n n x ( j ) = x* + R ( j ) r (-), onde R ( j ) é um vetor de números aleatóros entre -0. e 0.. Se F( x ( j ) ) < F( x* ) x* = x ( j ) Fm Se Fm Para r ( ) = (- λ )r (-) Fm Para. Fgura - Algortmo de Luus Jaakola. 3. O Algortmo de Hooke e Jeeves O Algortmo proposto por Hooke-Jeeves promove dos tpos de busca: a exploratóra e a padrão. A prmera etapa é a busca exploratóra. Para sso, a partr de um ponto ncal, o método explora todas as dreções de busca para cada varável, seleconando a melhor (onde a funçãoobjetvo tem seu valor dmnuído). Esta etapa defne um novo ponto com um valor melhor para função objetvo. Depos de explorar todas as dreções de busca, o método executa a próxma etapa, a busca padrão, também conhecda como de progressão ou aceleração, avançando na dreção defnda na últma teração até um valor α > 0 (fator de aceleração). A partr deste ponto repete-se a prmera etapa até alcançar o próxmo ponto. A Fgura 2 lustra as duas etapas do método Fgura 2 Ilustração dos passos do método de Hooke-Jeeves. Conforme a fgura, a partr do ponto ncal x, o método executa uma busca exploratóra em todas as dreções, escolhendo a dreção relaconada ao menor valor de f ( x ), =,2, para cada exo, chegando ao ponto x 2. Neste ponto, o método executa uma busca ao longo da dreção ( x2 x) multplcada de um fator de aceleração α, alcançando o ponto resultante y. A partr deste ponto, o método repete os passos, alcançando y, e assm sucessvamente até atender ao crtéro de parada. A Fgura 3 apresenta o método Hooke-Jeeves em forma de pseudocódgo. 7

4 Passo de Incalzação Defna d,...,d n como das dreções coordenadas Escolha um escalar ε > 0 para determnar a parada do algortmo Escolha o tamanho para o passo ncal ε, e o fator de aceleração a > 0 Escolha o ponto de partda x, faça y = x e k = j = e vá ao passo prncpal, Passo Prncpal - Se f ( y + d ) < f ( y ), então sucesso, faça y = y + d + e vá ao passo 2 Se f y + d ) f ( y ), então falha, Neste caso: ( f ( y d ) < f ( y Se f ( y d ) f ( y ) Se ), faça y = y d + e vá ao passo 2, faça y = y + e vá ao passo 2 2 Se j < n, troque j por j + e repta o passo Caso contráro: Se f ( yn+ ) < f ( xk ) vá ao passo 3 Se f ( y n + ) f ( x k ) vá ao passo 3 Faça x = k + yn+, e y = xk + + α ( xk+ xk ), Troque k por k +, faça j = e vá ao passo Se ε, pare; x k é a solução, Caso contráro, troque por 2, Faça y = xk, x k + = xk troque k por k +, faça j =, repta o passo Observação: Os passos e 2 acma descrevem uma busca exploratóra, No passo 3, há uma aceleração na dreção x x k + k. Por fm, no passo, o tamanho de é reduzdo.. O Algortmo Híbrdo Fgura 3 - Algortmo de Hooke-Jeeves. A déa central é explorar o espaço de busca com o Luus-Jaakola e fazer a garmpagem das áreas mas promssoras utlzando o Hooke-Jeeves. No processo de alternânca entre os dos algortmos, pretende-se determnar as váras soluções de problemas multmodas. O algortmo híbrdo (Slva, 2009), dvde-se prncpalmente em duas etapas: a etapa Luus-Jaakola gera um ponto ncal, dentro dos lmtes da regão de busca, para ser utlzado pela etapa Hooke-Jeeves. Esta recebe então este ponto, que será utlzado como ponto ncal, e é executado, gerando uma solução refnada, mas próxma do ótmo, que será uma possível solução para o problema. Sstemas não-lneares apresentam, em dversas ocasões, mas de uma solução; portanto, para que o algortmo localze todas as soluções exstentes, estes passos devem ser executados váras vezes. Como o algortmo híbrdo é composto das etapas denomnadas LJ e HJ, é mportante defnr os termos relaconados aos números de loops utlzados pelo algortmo. Desta formam fcam defndos três níves de laços (loops). O prmero laço é o mas nterno, e está relaconado ao laço das terações nternas do algortmo Luus-Jaakola, ao passo que o segundo nível se refere ao laço externo da etapa Luus-Jaakola. O tercero laço é natural do algortmo híbrdo e determna o número de execuções que o algortmo híbrdo repetrá. Este laço também será utlzado para executar o algortmo Luus-Jaakola repetdamente. A segur são apresentadas as nomenclaturas adotadas neste trabalho para os três níves de laços. 76

5 I- Prmero Nível: Laço nterno da etapa Luus-Jaakola n n II- Segundo Nível: Laço externo da etapa Luus-Jaakola n out III- Tercero Nível: Laço das execuções do algortmo híbrdo N Com vstas a dentfcar todas as soluções (raízes) do problema, o algortmo híbrdo funcona com um número externo de terações (N), onde cada teração produz uma possível solução. Estes valores são armazenados em um vetor de tamanho gual ao número de terações. No caso de uma função-objetvo com múltplas raízes, os valores dstntos encontrados nas dversas terações são fltrados posterormente para seleconar as dversas raízes sem repetção, e sujetos a uma últma etapa de pós-otmzação. Por fm, um conjunto de raízes é gerado, resultando um conjunto de todas as raízes dstntas localzadas, que é a solução fnal do problema. A segur na Fgura, o algortmo híbrdo é apresentado. Defna um numero de terações n Defna R = Vetor raízes Defna S = Vetor Solução Para k = até n faça Execute a rotna Luus-Jaakola Faça x ncal (Hooke e Jeeves) = x fnal (Luus - Jaakola) Execute a rotna Hooke e Jeeves Faça rk = x fnal (Hooke e Jeeves) (rk R) Fm para Fltre as raízes repetdas do vetor R classfcando-as por aproxmação Mnmze cada classe de valores gerando um valor por classe (raízes dstntas) Cope as raízes dstntas de R em S Imprma o vetor solução S. Testes e Resultados Fgura Algortmo Híbrdo. Devdo ao fato do algortmo Luus-Jaakola localzar apenas uma solução por execução, fo crado um laço externo N com um número sufcente de vezes para possbltar a busca de valores dstntos de soluções (possvelmente todas as soluções) (Slva, 200). Os resultados foram analsados quanto ao tempo de execução, e ao percentual de acertos em relação ao número de execuções para cada algortmo. Estes percentuas foram representados através de gráfcos de barras, onde as coordenadas foram dadas pelo número da raz para exo-x, e o percentual de ocorrênca de acertos para o exoy. O número de amostras será de 00 execuções para cada algortmo. Para cada função, os parâmetros foram ajustados dentcamente para os dos algortmos, para que haja unformdade dos dados de entrada. A Tabela a segur lsta os exemplos utlzados como benchmarks nesta etapa de testes, que foram submetdos ao algortmo híbrdo e ao algortmo Luus-Jaakola. Os testes nesta etapa também foram utlzados para avalação das taxas de acertos dos algortmos (sto é, o número de raízes localzadas por cada algortmo). Para sso, uma amostragem de 00 execuções de cada algortmo do problema em questão fo executada, e a dstrbução de freqüênca das ocorrêncas de cada raz lustrada em forma de hstograma. Os valores de loops nternos e externos foram varados para cada amostragem. 77

6 Tabela Problemas - testes (benchmarks). Nº Exemplo Nº de varáves Nº de raízes Função de Hmmelblau (HIMM) Sstema trgonométrco (ST) Sstema polnomal de alto grau (SPAG) 3 2 Problema quase-lnear de Brown (PQL) 3 Bn e Mourran (BM) Exemplo - Função de Hmmelblau (HIMM) A função de Hmmelblau é orunda do sstema não-lnear a segur, com nove raízes (More et al., 98): 3 2 x + xx 2 + 2x2 2x = x2 + 2x + xx 2 26x2 22 = 0 < x, x2 < () O problema do sstema não-lnear é convertdo em um problema de otmzação (Slva, 2009), cuja função-objetvo é representada por: x2 + xx2 + x ) + (2x 26x2 + xx2 + 22) f ( x) = ( 2x x (2) Tabela 2 Solução do algortmo Híbrdo com 0 loops nternos e 0 loops externos, tempo de execução = 0,09 s. Raízes: x x 2 f (x, x 2 ) -0,2796 -,9370 0, ,8283 -,8826 0, , , , , ,8827 0, ,382 0, , , , , , , , ,808 3,3326 0, , , , Para uma maor realdade dos resultados, os dos algortmos foram executados 00 vezes e seus resultados mostrados através de um gráfco com as freqüêncas das ocorrêncas das localzações das raízes. Para sso a confguração dos números de loops foram aumentados para n n = 0 e n out = 0. 78

7 Número de Execuções 20 Luus Jaakola 00 Híbrdo Número de Raízes encontradas Fgura Dstrbução de freqüênca das raízes localzadas para n n = 0, n out = 0 e N = Exemplo 2 Sstema trgonométrco (ST) O sstema descrto pelas equações (3) fo usado por Hrsch et al. (2006) para testar o algortmo C-GRASP para resolver sstemas não-lneares. Este sstema possu 3 soluções. As equações que descrevem o ST são: sn( x )cos( x2) 2cos( x )sn( x2) = 0 cos( x)sn( x2) 2sn( x )cos( x2) = 0 0 < x, x2 < 2π (3) Tabela 3 Solução do algortmo Híbrdo com 0 loops nternos e loops externos, tempo de execução = 0,23 s. Raízes: x x 2 f(x, x 2 ),707963, , ,927 0, , ,70796, , ,92 3,927 0, ,72389, , ,723890, , ,2838 0, , , ,2838 0, , ,927 0, , , , ,2838 6, , ,930 6,2838 0, ,2838 3,92 0, Os parâmetros foram escolhdos com uma confguração mínma para localzação de todas as 3 soluções pelo algortmo híbrdo. A confguração dos loops externos e nternos são de e 0 respectvamente e N=00. 79

8 Número de Execuções Luus-Jaakola Híbrdo Número de Raízes encontradas Fgura 6 Dstrbução de freqüênca das raízes localzadas para n n = 0, n out = e N = Exemplo 3 - Sstema polnomal de alto grau (SPAG) Este exemplo fo proposto por Kearfott (987), e é representado pelo sstema não-lnear (), com 2 soluções: 9 2 x 6 x x 2 x x x3 = x x 2 2 x x x2 x = x = < x < < x2 < 0.6 < x3 < () Tabela Solução do algortmo Híbrdo com 0 loops nternos e externos, tempo de execução =,7 s. Raízes: x x 2 x 3 f(x, x 2, x 3 ) -0, , ,0882 0, , ,3883 0, , , , , , , ,2803-0, , , ,3278-0,0888 0, , , ,0883 0, , ,3880-0, , ,387-0, ,027 0, ,6690-0, , , ,388-0, ,028 0, , ,3276-0,088 0, , ,2806-0, ,

9 20 00 Luus-Jaakola Híbrdo 00 Número de Execuções Número de Raízes encontradas Fgura 7 Dstrbução de freqüênca das raízes localzadas para n n = 0, n out = e N = Exemplo Problema quase lnear de Brown (PQL) por: O problema a segur (Grosan e Abraham, 2008) possu três raízes reas e é representado f f f f f 2 3 = 2x = x + 2x2 3 = x 2 + 2x3 = x x = x x x x x 2 0 < x, x, x , x, x < 0 () Prmeramente, os parâmetros para confguração do algortmo híbrdo foram de 0 loops nternos, loops externos e N=00. Neste caso, o algortmo híbrdo localzou todas as três raízes, enquanto que o algortmo Luus-Jaakola, para esta mesma confguração, não localzou nenhuma. O resultado do algortmo híbrdo para este caso está mostrado na Tabela. Para que o algortmo Luus-Jaakola localzasse pelo menos uma raz, os valores dos loops externos e nternos foram de 30 e 0 respectvamente, e N = 00. O percentual de acerto de ambos os algortmos para comparação está apresentado no gráfco da Fgura 8. Tabela Solução do algortmo Híbrdo com 0 loops nternos e externos, tempo de execução = 0,89 s. Raízes: x x 2 x 3 x x f(x ), =,...,,00000,000007,000000, , , , , , ,96373, , , , ,7902-0, ,892 0,

10 Fgura 8 Dstrbução de freqüênca das raízes localzadas para n n = 0, n out = 30 e N = Exemplo - Bn e Mourran (200) (BM) Neste exemplo fo utlzado um problema (Bn e Mourran, 200), envolvendo três equações não-lneares (6) e apresentando oto raízes. (6) x2 x3 x2 + 2x2x3 x3 3 = x x 3 x + 2xx 3 x 3 3 = 0 x x x + 2x x x 3 = x, x2, x3 20 Tabela 6 Solução do algortmo Híbrdo com 0 loops nternos e 20 loops externos, tempo de execução = 0,33 s. Raízes: X x 2 x 3 f(x, x 2, x 3 ) 0, , , , , , , , , ,62769, , ,6276 0, , , ,6287,6287, , , , , , ,62683,6290 0, , , , , , Fgura 9 Dstrbução de freqüêncas das raízes localzadas para n n = 0, n out = 0 e N =

11 A Tabela 7 mostra os resultados alcançados por ambos os algortmos alterando-se o número de loops N, e os tempos consumdos por cada teste. É mportante ressaltar que em todos os casos, o algortmo Luus-Jaakola não alcança as oto raízes do problema. Outra observação relevante é que a dferença entre os tempos de execução do algortmo híbrdo em relação ao Luus-Jaakola é pratcamente rrelevante para este exemplo. Tabela 7 Testes com os dos algortmos varando o número de loops N. Algortmo Luus-Jaakola Híbrdo Nº de Loops N Nº de raízes Tempo (segundos) Nº de raízes Tempo (segundos) , , , , , 8,78 0,09 8, ,7 8 0,83 0 0,37 7 0,37 6. Conclusões Conclu-se que a metodologa híbrda conserva as boas característcas dos métodos estocástcos de otmzação global consumndo um menor número de avalações da funçãoobjetvo e, portanto, menor tempo de computação. Para que o Algortmo de Luus-Jaakola tenha um desempenho semelhante ao algortmo híbrdo, ou seja, dentfque o mesmo número de raízes, é necessáro um número maor de terações externas e nternas demandando, por consegunte, maor tempo computaconal. O mesmo problema quando executado no algortmo híbrdo solcta um menor número de avalações da função-objetvo, uma vez que os números de terações externas e nternas no passo Luus-Jaakola da metodologa híbrda são consderavelmente menores. Desta forma fo demonstrada através de comparações com um método estocástco (Luus- Jaakola) e um método determnístco, a efcênca e robustez do algortmo híbrdo, através de testes exaustvos utlzando problemas conhecdos de dfíces soluções, sempre alcançando os resultados de forma precsa em todos os problemas testes avalados, localzando todas as soluções conhecdas da lteratura. Portanto, o algortmo híbrdo atendeu às espectatvas demonstrando efcênca na localzação de múltplas raízes, sempre com resultados vantajosos em relação ao algortmo Luus-Jaakola, seja em função do tempo computaconal consumdo, da qualdade dos ótmos encontrados, ou mesmo no número de soluções encontradas, que é o objetvo prncpal do algortmo. Para trabalhos futuros, serão expermentados outros algortmos clásscos da lteratura, ou mesmo outro que apresente vabldade, dentro da estrutura híbrda, buscando um melhor desempenho quando comparado com estes algortmos soladamente e/ou com o algortmo híbrdo apresentado neste trabalho. 763

12 7. Referêncas Bn, D.A.; Mourran, B. Cyclo, from polynomal test sute. Dsponível em: < BASE/2. multpol/cyclohexan.html>. Acesso em: 200. Grosan C.; Abraham A. A new approach for solvng nonlnear equatons systems. IEEE Transactons on Systems, Man, and Cybernetcs - Part A: Systems and Humans, v. 38, n. 3, p , May Grosan C.; Abraham A. Multple solutons for a system of nonlnear equatons. Internatonal Journal of Innovatve Computng, Informaton and Control, v., n. 9, sept Hrsch M. J.; Meneses C. N.; Pardalos P. M.; Resende M.G.C. Global optmzaton by contnuous grasp. Mar. 8, Dsponível em: < Hooke, R.; Jeeves. T. A. (96), Drect search soluton of numercal and statstcal problems. Journal of the Assocaton for Computng Machnery, v. 8. p ,. Kearfott, R. B. Abstract generalzed bsecton and a cost bound. Math. Comput. v. 9, n.79, 987. Luus, R.; Jaakola, T. (973), Optmzaton by drect search and systematc reducton of the sze of search regon. AIChE Journal, vol. 9. More J.J.; Garbow, B.S.; Hllstrom, K.E. Testng Unconstraned Optmzaton Software, ACM Transactons on Mathematcal Software, 7, 36, 98 Slva, M. Rodrgues. Um Novo Método Híbrdo Aplcado à Solução de Sstemas Não-Lneares com Raízes Múltplas, Tese de Doutorado, UERJ, Nova Frburgo, RJ, Slva, M. Rodrgues. Algortmo heurístco de busca dreta para solução de problemas de programação não lnear rrestrta com múltplos ótmos. XLII SBPO Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, Bento Gonçalves, RS,