OTIMIZAÇÃO DE FORMA DE ESTRUTURAS AXISSIMÉTRICAS UTILIZANDO DIFERENCIAÇÃO AUTOMÁTICA

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1 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal OTIMIZAÇÃO DE FORMA DE ESTRUTURAS AXISSIMÉTRICAS UTILIZANDO DIFERENCIAÇÃO AUTOMÁTICA SHAPE OPTIMIZATION OF AXISYMMETRIC STRUCTURES USING AUTOMATIC DIFFERENTIATION Renato V. Lnn (P) (1); Armando M. Awruch (2) (1) Aluno de Doutorado PPGEC/UFRGS. (2) D.Sc., Prof. Ttular, Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl (PPGEC), Unversdade Federal do Ro Grande do Sul (UFRGS), Av. Osvaldo Aranha, 99, 3º andar, , Porto Alegre, RS, Brasl. Endereço para correspondênca: renatolnn@gmal.com; (P) Apresentador Resumo Estruturas assmétrcas possuem uma vasta quantdade de aplcações no campo da engenhara cvl, nclundo, por eemplo, slos metálcos, coberturas de hangares, cúpulas, estruturas de prédos e torres de resframento. Os grandes vãos possíves de serem cobertos, o bao peso e alta rgdez são algumas das vantagens obtdas com o emprego deste tpo de estrutura. Este desempenho estrutural pode ser otmzado através da modfcação da geometra da estrutura, nclundo tanto a forma quanto a dstrbução da espessura. A otmzação de forma requer o acoplamento de áreas dstntas para estabelecer um sstema de otmzação estrutural, nclundo a descrção e o controle da geometra, o algortmo de otmzação, a análse estrutural e a análse de sensbldade. Tanto a precsão quanto a efcênca da otmzação depende de todas estas áreas. No presente trabalho, a otmzação de forma de estruturas assmétrcas é realzada utlzando-se uma parametrzação NURBS (Non-Unform Ratonal B-Splnes) da geometra acoplada com um algortmo de Programação Sequencal Quadrátca (Sequental Quadratc Programmng SQP) onde a análse de sensbldade é realzada utlzando-se Dferencação Automátca (Automatc Dfferentaton AD). A análse estrutural é realzada pelo Método dos Elementos Fntos. A metodologa proposta é computaconalmente efcente e precsa e também evta a necessdade de uso de técncas de remalhamento. A metodologa também permte uma ampla varação de espessura da geometra de forma contínua. Como resultado, estruturas assmétrcas com desempenho estrutural otmzado são obtdas para dferentes casos estudados. Palavras-chave: otmzação de forma; estruturas assmétrcas; dferencação automátca. Abstract Asymmetrc structures have a wde range of applcatons n cvl engneerng, ncludng, for eample, metallc slos, roofs of hangars, domes, part of the structure of buldngs, towers and coolng towers. Large span roofs, low weght, and hgh stffness are some of the advantages obtaned usng such structural type. Ths structural performance can be optmzed through shape modfcaton of the structure, ncludng both form and thckness varaton. Shape optmzaton requres the couplng of dfferent areas to stablsh an optmzaton system, ncludng geometry modfcaton, optmzaton algorthm, structural analyss and senstvty analyss. Both, the accuracy and effcency of the optmzaton depends on all these areas. In the present work, shape optmzaton of asymmetrc structures s performed usng a Non-Unform Ratonal B- Splnes parametrzaton (NURBS) of the geometry coupled to a Sequental Quadratc Programmng algorthm (SQP) wth the senstvty analyss performed usng Automatc Dfferentaton (AD). The structural analyss s evaluated by the Fnte Element Method. The framework proposed s computatonaly effcent and accurate and n addton remeshng technques are also avoded. Large thckness varaton are allowed wth the methodology. As a result, asymmetrc structures wth mproved structural perfomance are obtaned for dfferent studed cases. Keywords: shape optmzaton; asymmetrc solds; automatc dfferentaton.

2 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal 1. INTRODUÇÃO Estruturas assmétrcas possuem uma vasta quantdade de aplcações do ponto de vsta estrutural, tas como componentes de fuselagens de submarnos e avões, mísses, slos metálcos, vasos de pressão, domos esfércos, torres de resframento, dentre outras. Como a rgdez deste tpo de estrutura depende de sua geometra e das propedades do materal do qual é consttuído, a otmzação estrutural deve envolver a otmzação de forma para um dado materal fado. A forma, carga e condções de contorno assmétrcas deste tpo de estrutura conduz a uma smplfcação bdmensonal na análse do problema. Portanto, a otmzação de forma trdmensonal deste tpo de estrutura pode ser feta através da otmzação da forma da seção transversal da estrutura. A otmzação de forma lda com a modfcação da estrutura utlzando um algortmo de otmzação junto com a análse estrutural e análse de sensbldade. Portanto, dferentes áreas devem ser acopladas conjuntamente para estabelecer um sstema de otmzação estrutural. Tanto a acuráca quanto a efcênca da otmzação dependem de todas estas áreas. Dferentes modelos estruturas e apromações têm sdo focadas na área de otmzação estrutural. Alguns trabalhos de Ramm et al. (1993) e Bletznger et al. (2008) usam uma formulação de cascas fnas e espêssas de elementos fntos, respectvamente, para problemas elástcos. Otmzação de forma de cascas para evtar flambagem é analsada por Khosrav et al. (2008) e Aubert and Rousselet (1998), e o mesmo problema, mas levando em consderação mperfeções da estrutura, fo estudado por Retnger and Ramm (1995). Otmzação de estruturas de cascas fnas assmétrcas fo nvestgada por Mota Soares et al. (1994) e otmzação de cascas por Rousselet et al. (1995). Otmzação de forma de estruturas assmétrcas fo analsada por Özakça et al. (1993) utlzando um procedmento de elementos fntos adaptatvo e por Csonka and Kozák (1995) utlzando uma teora de alta ordem para o corte. AD com NURBS fo nvestgado por Espath et al. (2011) para otmzar a forma de estruturas de cascas fnas, obtendo boa performance. No presente trabalho, AD, SQP e NURBS são também utlzados para otmzação de forma. Entretanto, a maor lmtação decorrente da otmzação de forma de cascas é a dfculdade de ldar com regões fnas e espêssas na mesma estrutura. Uma vez que sóldos assmétrcos naturalmente ldam com estas fortes dferenças na espessura, ao longo do procedmento de otmzação uma ampla varação de espessura é permtda. Portanto, na forma otmzada são esperados sóldos com três dferentes comportamentos relaconados à estruturas de cascas fnas, espêssas e, naturalmente, sóldos. Para problemas de otmzação, o cálculo das dervadas é de grande mportânca uma vez que estas são uma das mas mportantes nformações utlzadas pelos algortmos de otmzação baseados em gradentes para encontrar o ponto de ótmo. A necessdade de se obter dervadas em problemas de otmzação é dretamente relaconada a sua formulação. Portanto, para se escolher o método de dferencação deve-se combnar tanto precsão quanto efcênca para ser adequado ao problema de otmzação em questão. O método da Dferencação Automátca (AD) é uma abordagem numércocomputaconal para se calcular dervadas com a vantagem de se obter precsão analítca, lmtada apenas ao erro de truncamento da máquna. O cálculo de gradentes de funconas va AD é geralmente muto menos custoso computaconalmente comparado com outros métodos numércos (tas como o das dferenças fntas), sendo, portanto, adequado para aplcações de otmzação, nas quas estes cálculos são usualmente massvamente custosos. O algortmo de otmzação utlzado neste trabalho é o de Programação Seqüencal Quadrátca (SQP). Ele é um algortmo robusto para problemas de otmzação determnístca nãolneares com varáves contínuas, sendo adequado para o propósto de otmzação de forma de estruturas, no qual tem-se usualmente restrções geométrcas adotadas as quas são altamente nãolneares. Além dsto, como o algortmo SQP utlza uma abordagem Quase-Newton, apenas a nformação do gradente é requerda ao nvés da matrz Hessana completa requerda por abordagens de Newton. Esta característca é adequada para o uso acoplado com AD.

3 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal As varáves característcas de problemas de otmzação de forma são parâmetros geométrcos os quas defnem a geometra da estrutura. O número de varáves pode ser drastcamente reduzdo se concetos de Computer Aded Geometry Desgn (CADG) forem usados. De acordo com estes concetos, geometras lvre de forma podem ser descrtas através de um conjunto de poucos pontos chamados de pontos de controle. Estes pontos de controle são então utlzados como varáves de otmzação no presente trabalho. Além dsto, uma descrção suave e precsa da geometra é buscada no conteto de otmzação de forma. Uma parametrzação através de Non Unform Ratonal B-Splnes (NURBS) promove uma fácl manpulação da geometra através dos pontos de controle. Adconalmente, ela pode representar precsamente geometras compleas através de uma mplementação matemátca efcente. Este tpo de descrção é utlzada como padrão para descrever e manpular curvas e superfíces em CAGD. Uma descrção b-dmensonal va NURBS é empregrada para descrever e manpular a geometra no presente trabalho. Mas detalhes sobre NURBS podem ser encontrados em Pegl and Tller (1997). A análse estrutural é realzada utlzando-se um elemento fnto do tpo trangular lnear (Constant Stress Trangle CST) para problemas estruturas lneares elástcos, estátcos e assmétrcos. Um esquema de atualzação da malha é empregado para evtar grandes deformações e dstorções da malha ao longo da modfcação da geometra. 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Dferentes áreas devem ser consoldadas conjuntamente para crar um sstema de otmzação: descrção da geometra, análse de sensbldade, algortmo de otmzação e análse estrutural. A otmzação da geometra é realzada através do movmento de pontos de controle de uma parametrzação NURBS da estrutura. A análse de sensbldade é realzada utlzando-se o método da Dferencação Automátca (AD). O algortmo de otmzação utlzado no presente trabalho é de Programação Quadrátca Seqüencal (SQP) e a análse estrutural é feta utlzando-se elementos fntos do tpo CST para problemas assmétrcos Dferencação Automátca (AD) A análse de sensbldade de prmera ordem é realzada utlzando-se Dferencação Automátca (AD) neste trabalho. Este método basea-se na teora de grafo aplcada a um algortmo computaconal. Computaconalmente, todos os cálculos podem ser descrtos através de um traço (seqüênca) de cálculos ntermedáros. Este traço contém toda a seqüênca de cálculos elementares realzados pelo computador para obter o resultado fnal (por eemplo: o cálculo de um funconal F função das varáves ndependentes ). Uma vez que um grafo (o qual defne um algortmo computaconal ntero que calcula um dado funconal) seja defndo, pode-se dervá-lo de duas formas dstntas. A prmera metodologa consste em aplcar dretamente a regra da cadea com relação a uma dada varável t, obtendo-se F t. Este método é chamado modo tangente de dferencação automátca (Forward Mode) (Grewank and Walther, 2008). O modo tangente mplca que para cada varável do grafo, também sua correspondente dervada com respeto a t deva ser calculada. A segunda metodologa de calcular as dervadas é chamada de modo reverso de dferencação automátca (Reverse Mode). Neste modo, não apenas uma dervada dreconal mas sm todo o gradente t F de um funconal é calculado. A compledade computaconal dos métodos pode ser medda em termos de número de flops computaconas envolvdos e é dretamente relaconada com o custo computaconal (tempo físco

4 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal requerdo pelo computador para eecutar o cálculo). A compledade envolvda no modo tangente é (Grewank, 1993): F flops flopsf 13n (1) t onde flops F t ndca o número de flops requerdos para calcular a propagação da dervada no modo tangente, orgnal escalar): em que flopsf ndca o número de flops requerdos para calcular o funconal F tangente e n ndca o número de varáves ndependentes de. Para o modo reverso de dferencação automátca, a compledade vale (para um funconal flops t 5 flops F flops F (2) t F ndca o número de flops requerdos se para calcular a o gradente completo do funconal no modo reverso. Fca eplícto das relações acma que no caso do modo reverso tem-se o custo relatvo ndependente do comprmento de. Esta ndependênca com relação ao número de varáves ndependentes é altamente efcente para problemas de otmzação, nos quas usualmente o número de varáves pode ser bem elevado e os custos computaconas envolvdos também. É evdente que quando o número requerdo de dervadas de prmera ordem do funconal é grande comparado com o número de varáves ndependentes o modo reverso de dferencação automátca é preferível ao nvés do modo tangente devdo ao menor custo computaconal envolvdo. No presente trabalho, a ferramenta de dferencação automátca TAPENADE AD INRIA (2002), desenvolvda pela INRIA na França, é utlzada para calcular as dervadas no modo reverso de dferencação Non-Unform Ratonal B-Splne (NURBS) Para representar uma superfíce complea, uma representação paramétrca é utlzada. Uma parametrzação NURBS é adequada para problemas de otmzação de forma envolvendo curvas, superfíces e sóldos. Para o caso de uma representação bdmensonal de estruturas, busca-se a S uv, da forma: representação de uma superfíce plana u, v u, v, y u, v u, v0,1 0,1 A superfíce NURBS em coordenadas homogêneas w uv, onde pq,, S (3) nm,,, p, j, q, base segundo as dreções S é defnda por: n m w w S u, v N, p un j, q vp, j (4) 0 j0 N u N v são os graus, número de funções de base e as funções de w uv, respectvamente., j w, j, j, w, j y, j, w, j controle em coordenadas homogêneas. As funções de base na forma recursva são defndas por: 1 se u u u 1 N,0 u 0 caso contráro u u u p1 u N, p u N, p1 u N 1, p1 u u u u u p p1 1 P são os pontos de (5)

5 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal sobre o segunte vetor de nós U e V segundo as dreções uv, : U 0,...,0, u p1,..., ur p1,1,...,1 com r n p 1 p1 p1 (6) V 0,...,0, vq 1,..., vsq 1,1,...,1 com s m q 1 q1 q1 Para a modfcação de forma, quando um ponto de controle é movdo, um peso é alterado ou a posção de um nó do vetor de nós é modfcada, a malha paramétrca permanece a mesma; porém, a malha no espaço Eucldano assume uma nova posção de acordo com o nova geometra. O mapeamento pode não ser a melhor escolha devdo à falta de controle da dstorção da malha, entretanto este problema é mnmzado com o uso de uma malha ncal convenente. Um esquema adconal de controle de dstorção da malha é também empregado neste trabalho, e é dscutdo na seção 3. A descrção da geometra utlzada neste trabalho usa um peso w 1 o qual conduz o caso geral de descrção NURBS para um caso partcular de descrção Bézer. Para o processo de otmzação, os pontos de controle eternos (pertencentes ao contorno da estrutura) são utlzados como varáves de otmzação e os nternos são defndos como dependentes dos eternos (a forma desta dependênca faz parte do esquema de controle de dstorções da malha). Um revsão completa sobre a teora de NURBS e Bézer pode ser encontrada em Pegl and Tller (1997) Otmzação Numérca No conteto da otmzação de forma de forma numérca, o método SQP é utlzado. O problema geral de otmzação é defndo por: c 0 E mn F sujeto a n (7) c 0 I onde são defndas em n ; e E e I são dos conjuntos de índces fntos. O vetor F, c contém as varáves ndependentes, F é a função objetvo, c, E são as restrções de gualdade e c, I são as restrções de desgualdade. O conjunto atvo de restrções de desgualdade é epresso por: E I c 0 (8) O funconal do Lagrangeano L é defndo por: L F c (9), onde são os multplcadores de Lagrange. Se a qualfcação das restrções lnearmente * * ndependentes é satsfeta, então o ponto ótmo, deve satsfazer as condções de Karush- Kuhn-Tucker (KKT), ou seja:

6 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal L * *, 0 c c c * * * * * A prova e a teora completa relaconada é demonstrada por Nocedal and Wrght (1999). Numercamente, as condções de KKT devem ser satsfetas para uma dada tolerânca. A abordagem numérca para o problema de otmzação utlzando o algortmo SQP nca a E I I E e então o algortmo SQP gera uma seqüênca de terações 0 partr de um ponto ncal 0 k que k termna quando mas nenhum progresso pode ser feto ou quando este ponto é a solução apromada com sufcente acuráca, ou seja, as condções de KKT são satsfetas dentro de um dada tolerânca. O algortmo SQP aproma a função objetvo F k por uma forma quadrátca e as restrções c (tanto de gualdade como de desgualdade) por uma forma lnear. Então, aplcando-se o método de Newton para a função Lagrangeana com estas apromações para a função objetvo e restrções, o método SQP se transforma em um problema de programação quadrátca. Um algortmo para solução de problemas quadrátcos é então aplcado para se obter uma dreção de busca k k k1, sendo k a solução do problema quadrátco. Um método de busca lnear é então aplcado para se obter uma nova posção ao longo desta dreção de busca com o menor valor, o qual é um problema de mnmzação undmensonal. Enquanto as condções de ótmo não são satsfetas, novos pontos e novas dreções de busca com novos comprmentos são calculados para cada passo e o processo é repetdo. Cada novo ponto k1 é atualzado por: k 1 k k (11) Enquanto o ótmo não é encontrado, a matrz Hessana requerda pela programação quadrátca é atualzada utlzando-se o método de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). O método BFGS é um algortmo que gera apromações para a matrz Hessana a partr dos gradentes da teração atual e anterores. Isto sgnfca que a abordagem BFGS é um método Quase-Newton, ou seja, a matrz Hessana não é calculada de forma eata, mas sm apromadamente a partr dos gradentes. Os cálculos dos grandentes são realzados utlzando-se AD neste trabalho Análse Estrutural A análse estrutural é realzada utlzando-se o método dos elementos fntos para um caso assmétrco. O elemento trangular lnear (Constant Stress Trangle CST) é empregado para no conteto da análse de problemas lneares elástcos. 3. MODIFICAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE FORMA O acoplamento do processo de otmzação com a otmzação de forma é apresentado nesta seção. A modfcação de forma é realzada através do movmento dos pontos de controle P, j pertencentes à descrção NURBS da geometra. Apenas os pontos de controle no contorno precsam ser escolhdos como varáves de otmzação e os restantes no nteror do domíno são atualzados de forma a prevenr nterpenetração dos pontos de controle bem como para evtar grandes dstorções de malha. Portanto: I (10)

7 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal P (12), j Os pontos de controle do contorno os quas são varáves de otmzação são permtdos a mover-se segundo apenas uma dada dreção. Um lmte superor e nferor são mpostos sobre este movmento dos pontos de controle como uma restrção de otmzação. Também uma dstânca mínma entre os pontos de controle é mposta como uma restrção de otmzação para evtar nterpenetração dos pontos de controle. Quando a nova posção destas varáves de otmzação é obtda pelo algortmo de otmzação, os pontos de controle ntermedáros são então atualzados através de uma nterpolação lnear sobre a dstânca entre os pontos de controle dos contornos ao longo da dreção de movmento. Este procedmento melhora a atualzação da malha e é representado nas Fg. 1 e Fg. 2. Nestas fguras, os pontos de controle na cor vermelha representam pontos de controle escolhdos como varáves de otmzação e os azus os outros pontos de controle. A Fg. 1 representa a condção ncal da malha e da geometra. Então, os dos nós mas ao centro que são varáves de otmzação (em vermelho) no contorno superor e nferor são movdos em uma dreção. Como resultado, os pontos ntermedáros (em azul) entre os pontos que foram movdos (em vermelho) são atualzados, mantendo equdstânca ao longo da dreção movda. Na Fg. 2 pode ser vsto que este procedmento move a malha acompanhando a modfcação da geometra. A função objetvo escolhda para ser mnmzada F é a energa nterna de deformação em problemas lneares elástcos, a qual é dada por: T F : d U KU (13) onde é o tensor de tensões, é o tensor de deformações, U é o vetor de deslocamentos e K é a matrz de rgdez. O problema de otmzação é realzado utlzando-se valores relatvos para a função objetvo, sto é, referdas a um valor ncal. Fgura 1. Geometra e malha orgnal. Fgura 2. Geometra e malha modfcada. Esta mnmzação de F é então restrta por funções geométrcas ou mecâncas, tas como restrções de volume constante, lmtes de valores mámos e mínmos que os pontos de controle possam assumr e dstânca mínma entre pontos de controle ao longo de uma dreção na qual se otmze a geometra. Estas restrções podem ser escrtas por:

8 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal c mn V 1 0 V a n c tol b ma onde V é o volume atual, V n é o volume ncal, mn é o lmte nferor de um ponto de controle, a b ma é o lmte superor de um ponto de controle, ndca a dstânca entre os pontos de controle (ao longo de uma dreção) para cada contorno e tol é a dstânca mínma adotada. Estas funções são calculadas através do método dos elementos fntos e seus respectvos gradentes através de AD. O algortmo completo de otmzação de forma pode ser descrto como a segur: 1. Realzar a análse estrutural na geometra ncal va elementos fntos; 2. Calcular os gradentes requerdos va AD no modo reverso; 3. Verfcar as condções de KKT. Se a convergênca não for obtda, encontrar uma nova dreção de busca e realzar uma mnmzação undmensonal nesta dreção para obter uma nova posção n1 para as varáves de otmzação P, j; 4. Atualzar os pontos de controle nternos da geometra através de nterpolação lnear da dstânca entre pontos de controle no contorno da geometra para uma dada dreção; 5. Realzar a análse estrutural da nova geometra va elementos fntos. O algortmo repete do segundo até o qunto passo caso a convergênca não seja obtda. Uma vez obtda, o algortmo apenas realza a análse estrutural fnal (qunto passo). 4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS Para demonstrar e valdar o algortmo de otmzação de forma, alguns eemplos são apresentados nesta seção. As propedades do materal utlzado em todos os eemplos são: módulo 10 4 de Young E , coefcente de Posson 0.2 e massa específca Os valores adotados estão nas undades do SI. A função objetvo a ser mnmzada em todos os eemplos é a energa nterna de deformação e é mposta a restrção de gualdade de volume constante. Outros tpos de restrção adotadas para cada caso são descrtas para cada eemplo. Além dsto, para todos os eemplos, a carga unformemente dstrbuída mantém-se constante para todas as geometras ao longo do proceso de otmzação Eemplo 1 A geometra ncal deste eemplo é um formato de dsco. Uma altura ncal de h 1 e rao R 5 são empregados. O dsco é smplesmente apoado no ponto central eterno e uma carga 3 unformemente dstrbuída de valor q é aplcada no contorno superor (ver Fg. 3). Não são consderadas forças de volume neste eemplo. A malha de elementos fntos possu 2121 nós e 4000 elementos como mostrado na Fg. 4. A parametrzação NURBS é feta utlzando-se 16 pontos de controle, dos quas 8 deles foram adotados como varáves de otmzação (marcados com a cor vermelha na Fg. 5, e de azul os outros pontos de controle). As funções de base são defndas sobre os vetores de nós: U 0,0,0,0,1,1,1,1 (15) 0 (14) V 0,0,0,0,1,1,1,1 (16) Os pontos de controle podem mover-se ao longo da dreção vertcal lmtados por um lmte superor de 25 e nferor de 25. Além dsto, lmta-se a dstânca vertcal entre os pontos de

9 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal controle superores e nferores como sendo maor ou gual a 0.15 (para evtar nterpenetração decorrente da sobreposção dos pontos de controle). Fgura 3. Geometra ncal e condções de contorno do eemplo 1. Fgura 4. Malha de elementos fntos do eemplo 1. Fgura 5. Parametrzação da superfíce e varáves de otmzação adotadas no eemplo 1. A restrção de volume constante mposta força a geometra a procurar a melhor dstrbução de massa possível a qual mnmza a energa de deformação nterna dadas as condções de contorno e cargas fadas, evtando assm o smples aumento de massa para reduzr a energa de deformação nterna. A Fg. 6 mostra algumas etapas da evolução do processo de otmzação ao longo das terações até uma forma ótma ser encontrada. A condção de ótmo fo encontrada na 28ª teração. A função objetvo relatva fnal obtda F é F / F. Uma comparação entre os opt deslocamentos e as tensões segundo o crtéro de von Mses para a forma orgnal e a forma ótma encontrada é apresentada na Fg. 7. A redução da função objetvo relatva ao longo das terações de otmzação é mostrada na Fg. 8. As coordenadas ncas e fnas dos 16 pontos de controle são mostradas na Tab. 1. Observa-se na Fg. 8 que as terações ncas mplcam na maor parcela de redução da função objetvo. As terações fnas não reduzem tão acentuadamente a função objetvo, entretanto desempenham um papel no sentdo de ajuste da curvatura da geometra, como pode ser observado na Fg. 8. Da comparação entre deslocamentos e tensões, pode-se perceber uma redução sgnfcatva de ambos na geometra otmzada. Ao longo das terações de otmzação, a grande parcela de tensões devdo à fleão e corte presentes na geometra ncal é progressvamente reduzda, enquanto que as tensões de membrana aumentam. A confguração fnal da geometra tende a se apromar de uma forma de arco parabólco. Outro aspecto nteressante é que a geometra fnal otmzada, quando utlzada com a carga na dreção nversa da aplcada, produz um estado de n

10 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal tensões prmaramente em estado de compressão. Este é um resultado mportante o qual é muto eplorado em dversas aplcações de engenhara, tas como a ponte em arco. Este tpo de geometra é um resultado conhecdo de problemas de mnmzação de energa de deformação de estruturas. Para o caso undmensonal, a mnmzação leva à forma de catenára. Resultados análogos para estruturas do tpo casca são apresentados por Ramm and Wall (1961). Um trabalho epermental nesta área fo feto por Isler (1961), onde a forma da estrutura fo obtda por modelos suspensos e uma confguração de membrana sob compressão fo obtda. Fgura 6. Seqüênca de formas correspondentes a dferentes números de terações do eemplo 1. Tabela 1. Coordenadas ncas e fnas dos pontos de controle do eemplo 1 P y y f (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3)

11 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal Fgura 7. Comparação entre deslocamentos e tensões segundo o crtéro de von Mses para a geometra ncal (acma) e fnal adaptada (abao) do eemplo 1. F F n F / Fn Fgura 8. Função objetvo relatva ao longo das terações de otmzação e forma fnal do eemplo Eemplo 2 A geometra ncal deste eemplo é análoga à do eemplo 1, mas contendo um furo central. Uma altura ncal de h 1.5, rao nterno R 5 e rao eterno Re 10 são empregados utlzandose as mesmas condções de contorno aplcadas no eemplo 1 (smplesmente apoada) e uma carga 3 unformemente dstrbuída de valor q é aplcada no contorno superor (ver Fg. 9). Não são consderadas forças de volume neste eemplo. A malha de elementos fntos possu 952 nós e 1742 elementos como mostrado na Fg. 10. A parametrzação NURBS é feta utlzando-se 42 pontos de controle, dos quas 14 deles foram adotados como varáves de otmzação (7 no bordo superor e 7 no bordo nferor, marcados com a cor vermelha na Fg. 11, e de azul os outros pontos de controle). As funções de base são defndas sobre os vetores de nós:

12 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal U 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1 (17) V 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1 (18) Os 14 pontos de controle os quas são varáves de otmzação podem mover-se ao longo da dreção vertcal lmtados por um lmte superor de 7.5 e nferor de 7.5. Além dsto, lmta-se a dstânca vertcal entre os pontos de controle superores e nferores como sendo maor ou gual a A Fg. 12 mostra algumas etapas da evolução do processo de otmzação ao longo das terações até uma forma ótma ser obtda. Na 39ª teração, a forma ótma fo encontrada. A função objetvo relatva fnal obtda F opt é F / Fn. Uma comparação entre os deslocamentos e as tensões segundo o crtéro de von Mses para a forma orgnal e a forma ótma encontrada é apresentada na Fg. 13. A redução da função objetvo relatva ao longo das terações de otmzação é mostrada na Fg. 14. As coordenadas ncas e fnas dos 14 pontos de controle são mostrados na Tab. 2. Pode-se observar a partr da Fg. 14 que na prmera teração obteve-se uma grande redução da função objetvo e nas terações seguntes a função objetvo contnua a ser reduzda, porém muto mas lentamente. Isto é uma conseqüênca da evolução da forma da estrutura apresentada na Fg. 12, onde ncalmente tem-se a formação de uma forma de dupla curvatura na qual a massa encontra-se concentrada nos suportes da estrutura devdo à alta concentração de tensões nesta regão. Entretanto, pode-se observar também que os lmtes superores e nferores fados para os pontos de controle os quas são varáves de otmzação são atngdos. Desta forma, estas restrções mpedem a curvatura de aumentar e a geometra ótma obtda aparenta um forma de duas parábolas nvertdas. Na Fg. 12 pode-se observar grandes dferenças de espessura na estrutura. Perto da regão de suporte da estrutura, onde a forma ótma tem sua maor espessura, não se pode ter uma correta descrção utlzando-se um modelo estrutural do tpo casca. Portanto, este eemplo mostra que um modelo estrutural do tpo sóldo torna-se ndspensável quando três dferentes comportamentos (relatvos à cascas fnas, espêssas e sóldos) estão smultaneamente presentes. Fgura 9 Geometra ncal e condções de contorno do eemplo 2. Fgura 10. Malha de elementos fntos do eemplo 2. Fgura 11. Parametrzação da superfíce e varáves de otmzação adotadas no eemplo 2.

13 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal Tabela 2. Coordenadas ncas e fnas dos pontos de controle do eemplo 2 P y y f (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) Fgura 12. Seqüênca de formas correspondentes a dferentes números de terações do eemplo 2.

14 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal Fgura 13. Comparação entre deslocamentos e tensões segundo o crtéro de von Mses para a geometra ncal (acma) e fnal adaptada (abao) do eemplo 2. F F n F / Fn Fgura 14. Função objetvo relatva ao longo das terações e forma fnal do eemplo CONCLUSÕES O modelo desenvolvdo para otmzar sóldos assmétrcos se mostrou bastante útl. As formas otmzadas encontradas são consstentes, possundo nterpretação físca dreta dos resultados obtdos e melhor desempenho estrutural. A manpulação da forma va parametrzação NURBS permte modfcar de forma fácl a geometra e ao mesmo tempo evta a necessdade de usar grandes quantdades de varáves de otmzação. A metologa empregada para mover a malha, a qual evta grandes dstorções de malha e nterpenetração dos pontos de controle se mostrou uma boa opção ao nvés de usar técncas de remalhamento juntamente ao processo de otmzação, o que tornara o processo muto mas custoso computaconalmente, além da vantagem desse método mpor o movmento de forma acoplada ao algortmo de otmzação uma vez que restrções são mpostas para mover a malha. A análse de sensbldade realzada utlzando-se dferencação automátca na forma reversa garante não só o cálculo eato do valor de dervadas, mas também efcênca computaconal. De fato, o emprego da AD para otmzação de sóldos é anda uma área pouco eplorada até então. O algortmo SQP é uma metodologa numérca robusta para problemas de otmzação. Como pode ser observado, a geometra ncal possu uma confguração muto dferente da otmzada encontrada para os eemplos analsados. O presente procedmento de otmzação promove a possbldade de uma varação contínua da espessura, a qual é muto mas dfcíl de ser

15 Estruturas para o Desenvolvmento, Integração Regonal e Bem-Estar Socal obtda com o uso de formulações de elementos fntos para modelos de cascas. O uso da presente metodologa pode também ser dretamente aplcada para problemas de estado plano de tensões e deformações. AGRADECIMENTOS Os autores gostara de agradecer à CAPES e ao CNPQ (Conselhos de pesqusa do Brasl) por seu suporte fnancero e agradecer também ao CESUP (Centro de Supercomputação da UFRGS) por suas mportantes contrbuções. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aubert, P. and Rousselet, B. (1998). Senstvty computatons and shape optmzaton for a nonlnear arch model wth lmt-ponts nstabltes. Int. J. Numercal Methods n Eng., v. 42, p Bletznger, K.U., Frl, M., Lnhard, J. and Wüchner, R. (2008). Optmal shapes of mechancally motvated surfaces. Computer Methods n App. Mec. and Eng., v. 199, n. 5-8, p Csonka, B and Kozák, I. (1995). Shape optmzaton of asymmetrc structures usng a hgh-order shear deformaton theory. Structural Optmzaton, v. 9, p Espath, L., Lnn, R.V. and Awruch, A.M. (2011). Shape optmzaton of shell structures based on NURBS descrpton usng automatc dfferentaton. Int. J. Num. Methods Eng., v. 88, p Grewank, A. (1993). Some bounds on the complety of gradents, jacobans, and Hessans. Complety n nonlnear optmzaton, p Grewank, A. (2003). A mathematcal vew of automatc dfferentaton. Acta Numerca, vol. 22, p Grewank, A. and Walther, A. (2008). Evaluatng dervatves: prncples and technques of algorthmc dfferentaton. 2nd ed., SIAM, Phladelpha. INRIA (2002). TAPENADE AD. Isler, H. (1961). New shape for shells. Bulletm of the Int. Assoc. for Shell Structures, vol. 8, p Khosrav, P., Ganesan, R., Sedaghat, R. (2008). Optmzaton of thn-walled structures wth geometrc nonlnearty for mamum crtcal bucklng load usng optmalty crtera. Thnwalled structures, vol. 46, p Mota Soares, C.A., Barbosa, J.I., Mota Soares, C.M. (1994). Asymmetrc thn shell structures szng and shape optmzaton. Control Cybernet, vol. 23, n. 3, p Nocedal, J., Wrght, S.J. (1999). Numercal Optmzaton. 2nd ed., Sprnger. Pegl, L.A., Tller, W. (1997). The NURBS book. 2nd ed., Sprnger. Ramm, E., Bletznger, K., Retnger, R. (1993). Shape optmzaton of shell structures. IASS bulletng of the nternatonal assocaton for shelland spatal structures, vol. 34, n. 112, p Ramm, E., Wall, W. (1961). Shell structures a senstvty nterrelaton between physcs and numercs. Int. J. Numercal Methods n Eng., vol. 60, n. 1, p Retnger, R., Ramm, E. (1995). Bucklng and mperfecton senstvty n the optmzaton of shell structures. Thn-walled structures, vol. 23, n. 1-4, p Rousselet, B., Mehrez, S., Myslnsk, A., Pekarsk, J. (1995). Shell optmzaton, some remarks. J. Herskovts (ed.), Advances n Structural Optmzaton, Sold Mech. Appl., vol. 25, p Özakça, M., Hnton, E., Rao, N. (1993). Shape optmzaton of asymmetrc structures wth adaptatve fnte element procedures. Structural optmzaton, vol. 5, p