Concepção Híbrida de Otimização por Nuvem de Partículas Aplicada ao Problema de Weber

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1 Concepção Híbrda de Otmzação por Nuvem de Partículas Aplcada ao Problema de Weber Leandro dos Santos Coelho, Vvana Cocco Maran 2 Laboratóro de Automação e Sstemas, Grupo Produtrônca Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção e Sstemas (PPGEPS) 2 Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca (PPGEM) Centro de Cêncas Exatas e de Tecnologa, Pontfíca Unversdade Católca do Paraná Rua Imaculada Conceção, 55, , Curtba, PR, Brasl { leandro.coelho, 2 vvana.maran}@pucpr.br Resumo. Uma nova concepção de evolução memétca baseada na combnação de otmzação por nuvem de partículas e método de otmzação de Hooke-Jeeves é apresentada neste artgo. A metodologa proposta envolve a nteração de dos níves de otmzação, denomnados evolução (otmzação por nuvem de partículas) e aprendzado ndvdual (método de Hooke-Jeeves), que cooperam em um procedmento de otmzação global. Os resultados da smulação ndcam que a otmzação do sstema híbrdo apresenta melhoras nas propredades de qualdade de solução, ntegrdade e precsão para o problema de Weber. Palavras-Chave: computação evolutva, otmzação por nuvem de partículas, problema de Weber. Hybrd Concepton of Partcle Swarm Optmzaton Appled to Weber Problem Abstract: A new concepton of Lamarckan evoluton based on combnaton of partcle swarm ntellgence and Hooke-Jeeves optmzaton method s presented n ths paper. The proposed methodology nvolves two levels of optmzaton, namely evoluton (partcle swarm optmzaton) and ndvdual learnng (Hooke-Jeeves method), whch cooperate n a procedure of global optmzaton. The smulaton results ndcate that the optmzaton based on Lamarckan evoluton presents enhancement n soluton qualty, relablty, and accuracy propertes for the Weber s problem. Key words: evolutonary computaton, partcle swarm optmzaton, Weber s problem. (Receved Aprl 8, 2005 / Accepted August 2, 2005) Introdução A utlzação de metodologas da ntelgênca computaconal (IC) para a otmzação de sstemas é uma área de pesqusa emergente. A motvação para sto devese ao fato de a IC abranger um conjunto de paradgmas bastante amplo e multdscplnar. O desenvolvmento da IC por pesqusadores das mas dversas áreas do conhecmento tem levado a resultados promssores, tanto no meo acadêmco quanto ndustral, devdo prncpalmente a característcas nerentes a algortmos ntelgentes, tas como capacdade de aprendzado, nferênca, adaptação, dedução, reconhecmento de padrões, entre outras. Neste contexto, destacam-se dversas metodologas nas áreas de pesqusa operaconal, engenhara de produção e manufatura, com a utlzação de redes neuras, sstemas nebulosos e algortmos da computação evolutva (ou evoluconára) [], [2], [3]. Neste artgo é proposta a mplementação de um algortmo de otmzação baseado em prncípos da evolução memétca. A concepção de evolução memétca, proposta neste artgo, objetva a hbrdzação

2 de duas técncas de otmzação, uma para busca global e outra para a busca local. A otmzação por nuvem de partículas é usada para as buscas globas e o método dreto de Hooke-Jeeves é empregado para a determnação da melhor localzação das nstalações de uma fábrca, onde os custos de dstrbução para dversos centros de demanda devem ser mnmzados. Este problema é conhecdo na lteratura como o problema de Weber. Recentemente, város trabalhos correlatos à resolução do problema de Weber têm sdo apresentados na lteratura por város pesqusadores usando tanto métodos de otmzação contínua quanto combnatóra, tas como os apresentados em [4]-[3]. Neste artgo, os resultados da smulação e análse de desempenho da otmzação baseada em evolução memétca são avalados e dscutdos para resolução do problema de Weber usando uma formulação matemátca para otmzação contínua. O artgo é organzado da segunte forma: na seção 2, a descrção do problema de Weber é apresentada. Na seção 3, uma nova proposta de algortmo de otmzação baseado em evolução memétca é detalhada. As smulações e os respectvos resultados de dos estudos de caso para otmzação do problema de Weber são apresentados e comentados na seção 4. Na seção 5 são apresentadas as conclusões e a pesqusa futura a ser desenvolvda. 2 Descrção do problema de Weber Os problemas de localzação de nstalação são problemas clásscos de pesqusa operaconal. Estes problemas envolvem a determnação da localzação de um ou mas servços que facltem o suprmento ótmo de um dado conjunto de destnos de demanda. Exstem dversas categoras para o problema de localzação, tas como: () pela força propulsora, () pelo número de nstalações, () pela dscretzação das escolhas, (v) pelo grau de agregação de dados, e (v) pelo horzonte de tempo [3]. A localzação de nstalações é um problema que exste no setor prvado tal como a localzação de plantas, warehouse, fábrcas, e no setor públco, por exemplo hosptas, centros de tratamento da saúde, estações de políca, centros de dstrbução de água, entre outros. O economsta alemão Alfred Weber (909) publcou o lvro Theory of locaton of ndustres (versão em nglês de 929) [4] sobre a localzação de ndústras que dependam da nteração de uma ou dversas funções objetvo, demandas e nstalações. Contudo, somente nos últmos 30 anos é que esta área de pesqusa tem sdo explorada. O problema de Weber é um problema clássco na análse de localzação que vsa encontrar a localzação de um ponto de suprmento ou nstalação central que possa ser bom para dversos pontos de demanda (sto é, cdades) com o menor custo possível de transporte. Neste contexto, o custo total assocado com a dstrbução para dversos centros de demanda é mnmzado. O modelo matemátco enfoca que o custo é proporconal à dstânca até a nstalação. A constante de proporconaldade pode refletr custos de transporte postvo, ou seja, um custo assocado à presença de benefícos, ou negatvo quando reflete a presença de restrções ambentes. No problema de Weber é suposto que exstem N pontos de demanda com coordenadas de localzação 2 { } R z. As ponderações correspondentes a quantdade de demanda são atrbuídas a varável { w } e a função objetvo é a mnmzação da função, f 2 [ x ( z ) ] + y ( z ) [ ] 2 N N ( x) = w x z = w d d = = onde { } { } 2 () d = x d,y d são as varáves de projeto do método de mnmzação. No caso de assumr-se que N = N = w > 0, um mínmo global exste. Se w < 0 então nf f = e não exste um mínmo global. Nas próxmas subseções são apresentados dos estudos de caso do problema de Weber utlzados para análse de desempenho do algortmo de evolução memétca proposto neste artgo. Estes estudos de caso são propostos em [5] e [6]. 3 Otmzação usando evolução memétca Nos algortmos evolutvos (AEs), um conjunto de soluções (população) é manpulado a cada teração, em contraste com outros métodos de otmzação, onde apenas uma solução para o problema é utlzada a cada teração. A chance de que um ndvíduo da população seja seleconado na próxma geração depende da função de aptdão (ftness) do ndvíduo, que consste, geralmente, de uma função objetvo ou mesmo uma transformação smples desta para o tratamento do problema em questão.

3 Um compromsso entre convergênca (explotaton) e dversdade dos membros que consttuem a população (exploraton) é um problema constante em AEs e deve ser consderado na confguração de uma metodologa de otmzação efcente. Os AEs são especalmente útes em tarefas de otmzação global, onde os métodos tradconas de otmzação podem apresentar lmtações, tas como: () ter baxa velocdade de convergênca, () requerer alguma nformação especal, como por exemplo, o gradente da função objetvo, e () ao encontrar um mínmo local, exstem dfculdades para escapar deste ponto [7]. Entretanto, a confguração de abordagens compostas por técncas híbrdas (busca global e local) de otmzação é uma alternatva relevante tratada na lteratura [8]-[2]. Para obter os benefícos de uma confguração híbrda, uma forma efcente é executar, ncalmente, um AE (fase de evolução) para localzar a regão próxma do ótmo global e em seguda aplcar outra metodologa de otmzação para a realzação da busca local (fase de aprendzado ndvdual). Esta abordagem pode ser denomnada de sstema híbrdo ou até mesmo otmzação nsprada em prncípos propostos por J. B. Lamarck [22], [23]. Dversos autores têm utlzado o termo evolução memétca ou algortmo memétco [24], apesar de controvérsas da orgem do termo meme [25]. Resumndo, este artgo propõe a mplementação de um algortmo híbrdo combnando uma técnca de otmzação por nuvem de partículas (fase de evolução ou fase de busca global) e o método de Hooke-Jeeves (fase de aprendzado ndvdual ou fase de busca local), estes são descrtos a segur de forma solada e conjunta à concepção de uma nova abordagem de evolução memétca. 3. Otmzação por nuvem de partículas (PSO) A otmzação por nuvem de partículas é um AE desenvolvdo orgnalmente por Kennedy e Eberhart [26], [27]. A PSO é motvada pela smulação do comportamento socal em vez da evolução da natureza, como em outros AEs (algortmos genétcos, programação evolutva, estratégas evolutvas e programação genétca). A PSO é uma metodologa baseada em população de soluções. De forma smlar a outros AEs, a PSO é ncada com uma população de soluções gerada aleatoramente. Na PSO, dferentemente de outros AEs, a cada solução potencal (ndvíduo) é atrbuída uma velocdade aleatóra. As soluções potencas denomnadas partículas, se movem pelo espaço de busca do problema. Cada partícula conserva o conhecmento do melhor valor da função de aptdão (ftness) denotado por pbest (versão local). Um outro valor melhor é segudo pela versão global, gbest, do otmzador por nuvem de partícula e sua localzação obtda de alguma partícula que compõe a população. O conceto da PSO consste de, a cada passo teratvo, mudar a velocdade (acelerando) de cada partícula em dreção às localzações do pbest e do gbest. A aceleração desta busca é ponderada através de um termo gerado de forma aleatóra vnculando este de forma separada as localzações do pbest e do gbest. O procedmento para mplementação da PSO é regdo pelas seguntes etapas: () ncar uma população (matrz) de partículas, com posções e velocdades em um espaço de problema n dmensonal, de forma aleatóra com dstrbução unforme; () para cada partícula, avalar a função de aptdão; () comparar a avalação da função de aptdão da partícula com o pbest da partícula. Se o valor corrente é melhor que pbest, então o valor de pbest passa a ser gual ao valor da função de aptdão da partícula, e a localzação do pbest passa a ser gual à localzação atual no espaço n dmensonal; (v) comparar a avalação da função de aptdão com o prévo melhor valor de aptdão da população. Se o valor atual é melhor que o gbest, atualzar o valor de gbest para o índce e valor da partícula atual; (v) modfcar a velocdade e a posção da partícula de acordo com as equações (4) e (5), respectvamente [28], [29]: v = w v + c ud ) ( p x ) + c Ud() ( p x ) (4) ( 2 g x = ( x + t v) (5) (v) r para a etapa () até que um crtéro de parada seja encontrado, usualmente uma função de aptdão sufcentemente precsa ou um número máxmo de terações (gerações).

4 , 2,..., n armazena a posção da -ésma partícula do algortmo de As notações usadas são: x = [ x x x ] T PSO, = [ v v v ] T v, 2,..., n armazena a velocdade da - ésma partícula da PSO, e o vetor [ p p p ] T p =, 2,..., n representa a posção do melhor valor de aptdão da -ésma partícula. O índce g representa o índce da melhor partícula entre todas as partículas do grupo. A varável w é a ponderação de nérca, c e c 2 são constantes postvas; ud() e Ud() são duas funções para geração de números aleatóros com dstrbução unforme em [0,], respectvamente. As velocdades das partículas em cada dmensão são lmtadas a um valor máxmo da velocdade, V máx. O V máx é um parâmetro mportante, pos determna a precsão com que as regões próxmas as soluções atuas serão exploradas. Se V máx é muto alto, a PSO faclta a busca global, enquanto um valor V máx pequeno enfatza as buscas locas. A prmera parte na equação (4) é um termo de momento da partícula. A ponderação de nérca w representa o grau de momento da partícula. A segunda parte consste da parte cogntva, que representa o conhecmento da partícula ndependentemente. A tercera parte é a parte socal, que representa a colaboração entre as partículas. As constantes c e c 2 representam as contrbuções cognção e socal que nfluencam cada partícula em dreção as posções pbest e gbest, respectvamente. Estes parâmetros são usualmente ajustados por heurístcas de tentatva e erro [30]. 3.2 Método de Hooke-Jeeves Os métodos dretos baseam-se na comparação dos valores da função objetvo e são partcularmente atratvos em stuações onde dervadas da função objetvo e das funções restrções não são váves. O método de Hooke e Jeeves [3] basea-se em uma seqüênca de movmentos exploratóros, começando em um ponto base, x 0, e tendo um tamanho de passo pré-defndo, h. Na próxma etapa do método, a função objetvo é testada através de perturbações sucessvas no ponto ncal, x 0, em dreções de busca {v }, onde v é a -ésma coluna de uma matrz de dreção, V, no presente V = I. O movmento exploratóro nca com a avalação da função objetvo em x 0 e dos outros pontos, x 0 + hv e x 0 - hv, afastados de x 0 por h. Duas stuações podem surgr com o movmento exploratóro: () Se um destes pontos resulta em um decrescmento do valor da função objetvo, para o caso de mnmzação, então a exploração sucedeu-se de forma satsfatóra, e o ponto partcular que produzu o sucesso é armazenado como um ponto temporáro, x, e x 0 é substtuído por x. () Se nenhum dos pontos produzu um decrescmento no valor da função objetvo, o tamanho do passo pré-defndo, h, é reduzdo pela metade e o movmento exploratóro com x 0 é repetdo. A amostragem é conduzda prmero através da avalação da função objetvo de x 0 + hv e só é testado x 0 - hv se f(x 0 + hv ) f(x 0 ) para o caso de mnmzação. A fase exploratóra pode produzr um ponto base novo ou pode falhar, conforme comentado anterormente, se a fase exploratóra obter sucesso a dreção de busca é, d = x - x 0, (6) e o novo ponto base é x. O método de Hooke-Jeeves concentra o próxmo movmento exploratóro em x 2 = x 0 + 2d = x + d (7) Se este segundo movmento exploratóro não é bem suceddo na melhora (mnmzação) de f(x ), então um movmento exploratóro com x como o centro é tentado. Se este movmento falhar então h é reduzdo e o processo é repetdo. 3.3 Algortmo de evolução memétca O algortmo de evolução memétca (AEM) proposto é mplementado da segunte forma (ver fgura ): () aplcar a PSO descrto na seção 3.; () cada vetor descendente é avalado com relação a uma função de aptdão (ou objetvo); () aplcar o método de Hooke-Jeeves para os w=0% melhores membros da população; (v) enquanto um crtéro de parada não é satsfeto, o cclo evolutvo retorna ao passo (). O crtéro de parada adotado neste artgo é de 00 gerações.

5 -0 T (, 4, 2, ) e ( z, z, z, ) = w = z (3) Fgura. Fluxograma da evolução memétca proposta. 4 Estudos de caso e resultados da smulação O AEM proposto fo analsado para os dos estudos de caso do problema de Weber menconados a segur. 4. Estudo de caso I: Problema de Weber com um mínmo local Este caso é o mas smples e possu três centros de demanda onde T w = ( 2, 4, 5) e ( z, z2, z3 ) = (2) O mínmo global é T d (90, ) objetvo com valor f*(x) = -264,453. * = e tem função 4.2 Estudo de caso II: Problema de Weber com dversos mínmos locas Este segundo estudo de caso tem dos mínmos locas, em ( 0,0 ) e ( 0,0), e mínmo global está em ( 25,30) com função objetvo f*(x) = 9,5607. Neste caso, exstem quatro centros de demanda com 4.3 Análse de resultados Um estudo comparatvo de convergênca nfluencado pelos parâmetros de confguração do AEM fo realzado para 3000 avalações da função objetvo (terações), como crtéro de parada. O threshold para o crtéro de parada dos estudos de caso e 2 é f t (x) = -264,3500 e f t (x) = 9,6000, respectvamente. Estes valores de threshold representam 99,960% e 99,4% da solução global dos estudos de caso analsados, respectvamente. O número de agentes (ndvíduos) da PSO e o ntervalo das soluções ncas para o AEM são escolhdos para serem guas a 20 e [-200,200] n, respectvamente, onde n é a dmensão do problema (n=2). Os outros valores de confguração da PSO são: c = c = 2 0 ; w = 0, 7 e V máx = 80. 2, Na tabelas e 2 são apresentados os resultados obtdos. Adotam-se os valores de λ e β para representar o número de terações usando o método de Hooke- Jeeves e o número de membros da população da PSO utlzados para otmzação pelo método de Hooke- Jeeves, respectvamente. Dferentes valores de β e λ forma escolhdos para as smulações. As escalas do método de Hooke-Jeeves são escolhdas para decrescer gradualmente de um níco de 4,0. Neste contexto, adota-se a metade do valor atual a cada nova teração do método de Hooke-Jeeves, sendo que o número de terações é regdo pela escolha de λ. Os resultados apresentados nas tabelas e 2 são baseados em 00 expermentos usando AEM para os estudos de caso e 2. A análse estatístca fo realzada com 00 dferentes expermentos, sendo que as populações ncas do AEM foram geradas com dferentes sementes, estas para a geração de números aleatóros com dstrbução unforme. Em relação ao estudo de caso, em termos de otmaldade e convergênca, todas as concepções testadas apresentaram convergênca para a solução ótma global em menos de 3000 avalações da função objetvo a ser mnmzada. Testes prelmnares (00 expermentos) também foram realzados com concepções de projeto usando somente PSO ou método de Hooke-Jeeves e na grande maora das vezes não fo obtdo o ótmo global. Os melhores resultados em termos do número total de avalações da função objetvo, precsão e

6 convergênca foram com o AEM() e AEM(5) usando β=5. Nota-se que as taxas de convergênca são melhoradas pela escolha aproprada de β e λ. Para valores de β maores que 0, os AEMs tendem a apresentar uma pora no seu desempenho, ndcando que deve haver um compromsso entre a habldade de busca global e local para obtenção do sucesso em um procedmento de otmzação. Em relação ao estudo de caso 2, nota-se pela tabela 2, de forma análoga ao estudo de caso, que os resultados são promssores a respeto da precsão e convergênca para a solução ótma. Na tabela 2, os valores médos mas baxos em termos de avalações da função objetvo obtdos foram 263, 323 e 335 com o AEM(5), AEM(9) e AEM(), respectvamente, utlzando β=5. 5 Conclusão e futura pesqusa Neste artgo fo apresentada uma abordagem alternatva de evolução memétca baseada em concepção híbrda de PSO e método de Hooke-Jeeves. Esta abordagem fo aplcada com sucesso para a otmzação de dos estudos de caso do problema de Weber. A déa da PSO é nsprada em fenômenos presentes na natureza, tas como bando de pássaros, cardumes de pexes e relações socas humanas. A PSO apresenta algumas lmtações de projeto que podem ser aprmoradas com a utlzação de concetos de evolução memétca, tas como convergênca prematura e a falta de um ajuste dnâmco da equação da velocdade, para obtenção de buscas locas [32]. Entretanto, a PSO é útl na obtenção de áreas de busca mas promssoras, baseadas em buscas globas. Vsando sanar o problema de convergênca prematura e aprmorar as buscas locas, propusemos uma técnca híbrda de PSO com método de Hooke-Jeeves, ou seja, uma abordagem de otmzação baseada nos prncípos da evolução memétca. A motvação para a adoção da abordagem de otmzação híbrda, tratada neste artgo, fo a superação das lmtações de busca local presentes nos AEs quando estes são usados soladamente. Neste caso, os resultados obtdos foram promssores e mostraram que a metodologa proposta apresentou desempenho aproprado e efcênca quanto a precsão, flexbldade e convergênca na resolução do problema de Weber. No entanto, pelos resultados apresentados nas tabelas e 2, nota-se que a qualdade de convergênca e precsão nos resultados obtdos requerem uma avalação profunda vsando a obtenção de um melhor compromsso no projeto de algortmos de evolução memétca envolvendo aspectos de exploração de melhores soluções e robustez no espaço de busca, evtando mínmos locas. A futura pesqusa vnculada a este artgo objetvará um estudo de novas concepções de algortmos de evolução memétca e análse de crtéros de desempenho lgados a: () convergênca, () sensbldade, () custo computaconal, (v) establdade, (v) adaptação de parâmetros de controle e operadores, e (v) precsão das soluções obtdas. 6 Referêncas [] Kuo, R. J.; Cohen, P. H. (998). Manufacturng process control through ntegraton of neural networks and fuzzy model, Fuzzy Sets and Systems, vol. 98, pp [2] Goldbarg, M. C.; Luna, H. P. L. (2000). Otmzação combnatóra e programação lnear: modelos e algortmos, Edtora Campus, Ro de Janero, TJ, Brasl. [3] Ponnambalam, S. G.; Aravndan, P.; Sreenvasa Rao, P. (200). Comparatve evaluaton of genetc algorthms for job-shop schedulng, Producton Plannng and Control, vol. 2, no. 6, pp [4] Carrzosa, E.; Chía, A. M. R-. (997). Weber problems wth alternatve transportaton systems, European Journal of Operatonal Research, vol. 97, no., pp. 87, 93. [5] Ghazr, H. M. (999). A neural heurstc for the multsource Weber problem, INFOR, August, -8. [6] Greulch, F. E. (999). The barycentrc coordnates soluton to the optmal road juncton problem, Journal of Forest Engneerng, vol. 0, no., pp. -4. [7] Fekete, S. P.; Mtchell, J. S. B.; Beurer, K. (2003). on the contnuous Fermat-Weber problem, Operatons Research, vol. 63, no., pp [8] Salh, S.; Gamal, M. D. H. (2003). A cellular type heurstc for the multsource Weber problem, Computers & Operatons Research, vol. 30, no., pp [9] Ruz, J.-P.; Chebat, J-.C.; Hansen, P. (2004). Another trp to the mall: a segmentaton study of customers based on ther actvtes, Journal of Retalng and Consumer Servces, vol., no. 6, pp [0] Ashayer, J.; Heuts, R.; Tammel, B. (2005). A modfed smple heurstc for the p-medan wth

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8 melhor valor de f(x) para as populações de soluções convergênca obtda nos expermentos avalações da função objetvo necessáras para obtenção da solução ótma Hooke- Jeeves evolução por desvo méda sm / exp. melhor méda desvo por memétca padrão não padrão λ β AEM() -264,3508 0, ,3902 sm AEM(2) -264,353 0, ,3982 sm AEM(3) -264,3504 0, ,3924 sm AEM(4) -264,3500 0, ,3944 sm AEM(5) -264,356 0, ,434 sm AEM(6) -264,363 0, ,462 sm AEM(7) -264,3507 0, ,480 sm AEM(8) -264,3557 0, ,464 sm AEM(9) -264,3530 0, ,4283 sm AEM(0) -264,3502 0, ,4262 sm AEM() -264,3530 0, ,4259 Sm AEM(2) -264,3604 0, ,434 Sm Tabela : Resultados da smulação para o problema de Weber (estudo de caso I). melhor valor de f(x) para as populações de soluções convergênca obtda nos expermentos avalações da função objetvo necessáras para obtenção da solução ótma Hooke- Jeeves evolução por desvo méda sm / exp. melhor méda desvo por memétca padrão não padrão λ β AEM() 9,5998 0,0094 9,5862 sm AEM(2) 9,5996 0,0098 9,5856 sm AEM(3) 9,5627 0,0097 9,5825 sm AEM(4) 9,5999 0,0094 9,5850 sm AEM(5) 9,5995 0,00 9,5784 sm AEM(6) 9,598 0,0090 9,5754 sm AEM(7) 9,5999 0,0094 9,5753 sm AEM(8) 9,5998 0,0089 9,5764 sm AEM(9) 9,5853 0,0032 9,5644 sm AEM(0) 9,5732 0,0026 9,5642 sm AEM() 9,584 0,0034 9,5643 sm AEM(2) 9,586 0,0034 9,5643 sm Tabela 2: Resultados da smulação para o problema de Weber (estudo de caso II).