O USO DA METODOLOGIA DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA PARA ADEQUAR OS PARÂMETROS DE ENTRADA DE UM ALGORITMO GENÉTICO

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1 O USO DA METODOLOGIA DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA PARA ADEQUAR OS PARÂMETROS DE ENTRADA DE UM ALGORITMO GENÉTICO Pedro Alberto Barbetta Departamento de Informátca e de Estatístca CTC UFSC Caxa Postal Floranópols - SC, Crstano Lehrer Curso de Pós-Graduação em Cênca da Computação UFSC Caxa Postal Floranópols - SC, Abstract: Ths paper descrbes the response surface methodology (RSM), qute common n ndustral processes optmzaton. It shows how the RSM beng appled to optmze the choce of nput parameters for a genetc algorthm. The aplcaton s very specfc, but the same processes may be appled to more general computer systems. Key Words: expermental desgn, response surface methodology, genetc algorthm 1 Introdução Desde os prmórdos da nvestgação centífca, realzavam-se expermentos para valdar teoras e para levantar novas hpóteses sobre um mundo desconhecdo. Mas fo a partr da década de 0, com os trabalhos de R. A. Fsher, que passou-se a ter uma metodologa confável para planejar expermentos e analsar os seus dados. Grande parte dos trabalhos de Fsher eram voltados à agrcultura, onde buscavam encontrar uma combnação adequada dos elementos de um fertlzante consderando o cultvo, o clma e o tpo de solo. Na área ndustral, especalmente nas duas últmas décadas, as técncas de planejamento de expermentos passaram a fazer parte de programas de melhora da qualdade. Esta prátca deve-se muto aos trabalhos Box et al. (1978) e Taguch (1987) que popularzaram os chamados projetos expermentas do tpo fatoral fraconado, os quas permtem avalar grande número de fatores com poucos ensaos. Montgomery (1997) oferece uma apresentação bastante ddátca destes projetos. A aplcação da metodologa de planejamento de expermentos na avalação de sstemas computaconas é razoavelmente recente. Contudo, Jan (1991) já elega o planejamento de expermentos como uma das prncpas ferramentas na avalação de desempenho de sstemas computaconas. Mutos trabalhos, também, apóam-se em sstemas computaconas para smular dados de algum processo, como descrto em Welch (199), Mayer e Benjamn (199) e Shang e Tadkamalla (1998), os quas projetam a smulação e realzam a análse dos dados sob a metodologa de planejamento de expermentos. Barbetta (1998) e Barbetta et al. (000) também apresentaram uma aplcação pouco comum de planejamento de expermentos ao aperfeçoar um procedmento estatístco. A

2 metodologa fo aplcada sob dos enfoques. Num prmero momento, dentfcou-se os fatores mas relevantes do processo (fase de caracterzação) e, depos, buscou-se a combnação de níves dos fatores mas relevantes para maxmzar o desempenho do processo (fase de otmzação). Otmzação de processos através da metodologa de superfíce de A metodologa de superfíce de (RSM) pode ser entendda como uma combnação de técncas de planejamento de expermentos, análse de regressão e métodos de otmzação. Tem larga aplcação nas pesqusas ndustras, partcularmente em stuações onde um grande número de varáves de um sstema nfluenca alguma característca fundamental deste sstema. Box et al. (1978) apresentam a RSM como uma metodologa que consste num grupo de técncas usadas em estudos empírcos. Estas técncas relaconam uma ou mas s, tas como produção, tonaldade e vscosdade com varáves de entrada, tas como tempo, temperatura, pressão e concentração. A RSM tem sdo usada para responder questões do tpo: a) Como uma partcular é afetada por um conjunto de varáves de entrada sobre uma regão de nteresse? b) Quas conjuntos de entradas geram um produto satsfazendo smultaneamente váras especfcações desejadas? c) Quas os valores de entradas que produzem o valor máxmo para uma específca e como se comporta a em torno deste máxmo? Dado um processo ou sstema, com váras varáves (ou fatores) de entrada, x = (x 1, x,..., x k ) e uma varável de saída (ou ) y, a RSM normalmente consste em: a) planejar um expermento que permta estmar uma equação de regressão (superfíce de ) do tpo k Ey ( / x) = fx (, β), x D R onde: Ey ( / x) representa o valor esperado de y, condconado a pontos x D; f é uma função (usualmente um polnômo de grau não superor a ); x é o vetor de varáves de entrada; β é um vetor de parâmetros a ser estmado a partr dos dados do expermento e D R k é a regão especfcada para a nvestgação. b) com os dados do expermento, estmar o vetor de parâmetros β, avalando a sgnfcânca estatístca de seus componentes e c) estudar o comportamento da função f (por exemplo, se é desejado o maor valor possível para a y, um dos nteresses é obter x 0 D que maxmza f, caso ele exsta). 3 Modelo para a varânca Consdere um processo com valor dealτ, mas, devdo a efetos aleatóros, o resultado obtdo é um valor y. Por exemplo, uma empacotadora de café pode estar programada para encher pacotes com τ = 500g, mas ao medr o peso de um pacote de café

3 o valor observado deve ser y 500g. A função perda quadrátca é uma forma bastante usada para medr a perda da qualdade devda a varação em torno do valor deal e é dada por L(y) = k(y τ), para y [LIC, LSC] (1) onde k é uma constante de proporconaldade fazendo com que a função L assuma valores em termos monetáros e [LIC, LSC] é o ntervalo de especfcação da característca y (ver fgura 1). L(y) LIC τ LSC Fgura 1 - Ilustração da função perda quadrátca. y É natural o objetvo de mnmzar o valor esperado da função perda, que é dado por µ L = E{L(y)} = k[(µ y τ) + ] () onde µ y e são o valor esperado e a varânca de y, respectvamente. Consderando que tanto a méda quanto a varânca sofrem nfluênca de um vetor x = (x 1, x,..., x k ) de fatores do processo, busca-se encontrar o vetor x 0 que mnmza a perda esperada ou, equvalentemente, que ajusta µ y = f(x) ao alvo τ e mnmza = g(x). Um passo mportante deste processo de otmzação é a construção de modelos para µ em função de x = (x1, x,..., x k ). Para se construr um modelo para a méda, µ y = f(x), geralmente se aplca a análse de regressão tradconal, onde exste o método dos mínmos quadrados que é consderado pelos engenheros quase como um padrão para efetuar a estmação dos parâmetros do modelo. O método pode ser aplcado dretamente sobre as observações de y ou sobre as médas, y ( = 1,,..., n), calculadas em cada ponto expermental. Por outro lado, não se tem um procedmento de uso comum para estmar os parâmetros de um modelo para a varânca, = g(x). Quando o número de replcações for grande (dez ou mas, segundo Bartlett e Kendall, 1946), um procedmento efcente para construr o modelo para a varânca do processo é calcular a varânca amostral em cada ponto expermental ensaado com replcações: S ( = 1,,..., n). Após uma transformação logarítmca, log(s ), usam-se estas estatístcas como se fossem observações numa análse de regressão tradconal. Outras abordagens são dscutdas em Carroll e Ruppert (1988), Barbetta (1998) e Barbetta et al. (000). O modelo da varânca pode ser usado soladamente como uma forma objetva para se conhecer os fatores que mas nfluencam a varânca e, com sto, buscar robustez em y e

4 relação aos ruídos. Mas, também, o modelo da varânca pode ser usado em conjunto com o modelo da méda. Neste caso, busca-se uma solução de compromsso entre os objetvos de se levar a méda ao alvo e de se mnmzar a varânca. Vnng e Myers (1990) e Rbero e Elsayed (1995), por exemplo, apresentam técncas nteressantes para a obtenção de soluções de compromsso. 4 O uso da metodologa de superfíce de numa aplcação de algortmos genétcos Um problema típco em Engenhara de Produção é o chamado problema do caxero vajante, que pode ser assm descrto: dadas n cdades, as dstâncas entre elas e a cdade de orgem e chegada, deve-se determnar a rota de menor dstânca total. Porém, quando n é grande, o número de possíves rotas (soluções) torna-se extremamente grande e a avalação de todas as rotas pode ser uma tarefa demorada até para os equpamentos computaconas atuas. Para se obter uma boa solução e em pequeno tempo pode-se lançar mão de um algortmo genétco. Consdera-se todas as possíves combnações do conjunto {1,,..., n} como a seqüênca de cdades a percorrer. É comum consderar o mesmo valor na prmera e últma posção, que corresponde a cdade de orgem e de destno fnal do caxero vajante. Na lnguagem de algortmos genétcos, uma combnação de {1,,..., n} é chamada de cromossomo. E o algortmo pode ser descrto assm: a) Inca-se com um conjunto (população) de k cromossomos váves (k permutações de {1,,..., n}); b) Avala-se o desempenho de cada cromossomo (total das dstâncas entre cdades a percorrer); c) Seleconam-se pares de cromossomos para partcparem da nova geração, onde os cromossomos com melhor desempenho têm maor probabldade de seleção; d) Aplcam-se, com certa probabldade, operações de crossover entre pares de cromossomos seleconados. Esta operação consste em dvdr um par de cromossomo em um ponto aleatoramente escolhdo e emendar cada um deles com a parte do outro, formando um novo par de cromossomos; e) Aplcam-se, com certa probabldade, a operação de mutação sobre algum gene do cromossomo gerado. Isto é, pode haver a alteração aleatóra de um gene (cdade) do novo cromossomo; f) Os novos cromossomos gerados consttuem uma nova população e volta-se para o passo (b), a menos que um certo crtéro de parada seja satsfeto. No presente trabalho, o número n de cdades fo fxado em 6, correspondendo às captas brasleras com exceção de Macapá. O número de terações do algortmo fo e em cada teração consderou-se 00 rotas possíves. Já as probabldades de crossover e mutação foram avaladas por um projeto fatoral 3x3, ou seja, usou-se 3 dferentes probabldades de crossover (fator A) e de mutação (fator B) cruzando-as, conforme lustra a fgura.

5 0,010 0,005 0,001 0,8 crossover 0,7 mutação 0,6 Fgura Níves dos fatores ensaados. Em cada ponto expermental foram fetas 100 realzações do algortmo e, para cada uma delas, anotou-se a solução (a menor rota a percorrer) e a correspondente dstânca total y. Consderou-se duas estatístcas baseadas nas 100 realzações de cada ponto expermental: a méda artmétca ( y, = 1,,..., 9) e o logartmo natural da varânca amostral (log(s ), = 1,,..., 9). O processo anda fo repetdo quatro vezes, tendo, na verdade, quatro valores de tabela 1. ensao crossover mutação y e de log(s ) em cada ponto expermental, conforme mostra a y 1 0,6 0, ,0 0,6 0, ,3 3 0,6 0, ,39 4 0,7 0, ,63 5 0,7 0, ,17 6 0,7 0, ,48 7 0,8 0, ,69 8 0,8 0, ,45 9 0,8 0, , ,6 0, , ,6 0, ,10 1 0,6 0, , ,7 0, , ,7 0, , 15 0,7 0, , ,8 0, , ,8 0, , ,8 0, ,43 log( S ) ensao crossover mutação y log( S ) 19 0,6 0, ,87 0 0,6 0, ,99 1 0,6 0, ,34 0,7 0, ,65 3 0,7 0, ,48 4 0,7 0, ,34 5 0,8 0, ,5 6 0,8 0, ,14 7 0,8 0, ,51 8 0,6 0, ,71 9 0,6 0, ,1 30 0,6 0, , ,7 0, ,56 3 0,7 0, , ,7 0, , ,8 0, , ,8 0, , ,8 0, ,67 Tabela 1 Pontos expermentas ensaados e estatístcas dos resultados alcançados. Busca-se conhecer a combnação das duas probabldades de entrada (mutação e crossover) que levam a valores pequenos de y e de log(s ). Para tanto, ajustou-se, por mínmos quadrados, funções quadrátcas para as duas s consderadas, como segue: y = X X X X 7454 X 1 X (3) log( S ) = 16,4 4,3 X1 + 6,4 X 4, X ,9 X 415, X 1 X (4) onde X 1 e X representam as probabldades de crossover e de mutação, respectvamente. A qualdade do ajuste, meddo pelo coefcente de determnação R, fo de 0,63 para a equação (3) e 0,54 para a equação (4). A fgura 3 mostram as curvas de níves das equações (3) e (4), que permtem encontrar as melhores probabldades de crossover e de mutação para um problema do tpo em estudo.

6 varável : y varável : log(s ) 0,009 0, ,8 3551, , ,4 435,5 4619,1 4885,97 515, ,7 5686,55 above mutação 0,007 0,005 0,003 0,001 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 crossover 14,773 14,857 14,941 15,05 15,109 15,194 15,78 15,36 15,446 15,53 above mutação 0,007 0,005 0,003 0,001 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 crossover Fgura 3 Curvas de níves das superfíces de das equações (3) e (4) Como no presente caso é desejável que tanto y e quanto log( S ) sejam os menores possíves, verfca-se que os melhores resultados são alcançados com probabldade de crossover em torno de 0,8 e probabldade de mutação em torno de 0,01. 5 Consderações fnas O prncpal objetvo deste trabalho é mostrar como a metodologa planejamento de expermentos e de superfíce de podem ser usada para adequar parâmetros de entrada em sstemas computaconas. A aplcação do algortmo genétco no problema do caxero vajante fo feta com város dados de entrada fxados, mas pretende-se elaborar expermentos mas complexos, consderando, por exemplo, o número de cdades e as dstâncas também como fatores varáves no expermento. Com sso, pretende-se obter equações que, a partr dos dados de entrada de um partcular problema, possa-se ter estmatvas dos valores deas dos parâmetros controláves. Referêncas Bblográfcas BARBETTA, P. A. - Construção de modelos para médas e varâncas na otmzação expermental de produtos e processos. Tese (Engenhara de Produção), Floranópols, BARBETTA, P. A., RIBEIRO, J. L. D., SAMOHYL, R. W. Varance regresson models n Experments wth few replcatons. Qualty And Relablty Engneerng Internatonal, Inglaterra, v.16, 000, p BARTLETT, M. S., KENDALL, D. J. - The statstcal analyss of varance-heterogenety and the logarthmc transformaton. Journal of the Royal Statstcal Socety, Sére B, v. 8, 1946, p BOX, G. E. P., HUNTER, W. G., HUTER, J. S. - Statstcs for expermenters. USA: John Wley & Sons, CARROLL, R. J., RUPPERT, D. - Transformaton and weghtng n regresson. USA: Chapman and Hall, 1988.

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