EFEITOS DE DISPERSÃO EM PROJETOS FATORIAIS: UMA SIMULAÇÃO CONFIRMATÓRIA

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1 ! "#$ " %'&)(*&)+,.- C)D 5.,.5FE)5.G.+ &4- (IHJ&?,.+ /?<>=)5.KA:.+5MLN&OHJ5F&4E)*EOHJ&)(IHJ/)G.- D - ;./);.& Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 EFEITOS DE DISPERSÃO EM PROJETOS FATORIAIS: UMA SIMULAÇÃO CONFIRMATÓRIA Vvane Lete Das de Mattos (UCPel) vldm@atlas.ucpel.tche.br Pedro Alberto Barbetta (UFSC) barbetta@nf.ufsc.br Mauríco Malan Lange (UCPel) mmalange@yahoo.com.br Suélen dos Santos Hernandes (UCPel) ssh@yahoo.com.br O presente estudo fo realzado com o objetvo de reavalar o desempenho de alguns métodos usados para dentfcar efetos de dspersão em projetos fatoras com poucas replcações, consderando os efetos de locação dentfcados a partr dos própros dados. Utlzando smulações de Monte Carlo para gerar respostas de projetos fatoras do tpo 4 em váras condções expermentas, fo possível encontrar evdêncas de melhor desempenho (maor sensbldade e maor especfcdade) do método proposto em Box e Meyer (1986), adaptado à stuação de expermentos com replcações, prncpalmente se exstr só um efeto de dspersão e forem usadas só duas replcações. Palavras-chaves: Projeto de expermentos; Efetos de dspersão; Varabldade; Qualdade

2 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de Introdução Conhecer o comportamento de um sstema produtvo é de fundamental mportânca num programa de melhora da qualdade. A metodologa de planejamento estatístco de expermentos é um nstrumento bastante poderoso no estudo deste comportamento, possbltando a dentfcação de fatores do processo produtvo que afetam a méda e a varabldade de característcas de qualdade. Em Mattos (004) fo proposta uma estratéga para dentfcar efetos de dspersão em expermentos com poucas replcações, sendo avalado o desempenho de alguns métodos descrtos na lteratura. Nesse estudo, entretanto, o desempenho dos métodos que utlzam resíduos de um modelo ajustado para a méda da resposta fo superestmado, pos os fatores com efetos de locação foram consderados conhecdos a pror. Como a correta dentfcação dos efetos de locação pode nterferr na dentfcação dos efetos de dspersão, no presente trabalho, a dentfcação dos efetos de locação passou a ser feta com os própros dados. O trabalho fo desenvolvdo sob a metodologa de smulações de Monte Carlo e os métodos foram comparados em termos da sensbldade em detectar os efetos verdaderos e da especfcdade, no sentdo de não dentfcar efetos falsos.. Fundamentação teórca Os prmeros métodos para dentfcar efetos de dspersão foram desenvolvdos para expermentos com replcações, sendo a varabldade avalada por meo da varânca amostral, calculada em cada ponto do projeto expermental. Embora estes métodos apresentem a vantagem de não depender do ajuste de algum modelo para a méda do processo, suas efcêncas são baxas em expermentos com poucas replcações, conforme mostra o artgo clássco de Bartlett e Kendall (1946). Por outro lado, o uso de mutas replcações (acma de 9, como sugerdo por Bartlett e Kendall, 1946) aumenta demasadamente o custo do projeto expermental. A estratéga proposta em Mattos (004) tem por objetvo dentfcar efetos de dspersão em expermentos com poucas replcações, mas também pode ser utlzada para construr modelos de locação e dspersão. Incalmente, ajusta-se um modelo de locação por meo do método dos mínmos quadrados ordnáros (MQO), avalando-se a qualdade deste e a possbldade de utlzação de transformações matemátcas. Se o modelo de locação estver bem ajustado aos dados, estmam-se os efetos de dspersão pelo método BM (BOX e MEYER, 1986). Se forem dentfcados mas de um efeto de dspersão, refaz-se a análse pelo método H (HARVEY, 1976). Estes métodos, propostos ncalmente para expermentos não-replcados, baseam-se na análse dos resíduos de um modelo ajustado aos dados expermentas (modelo da méda). Sendo ŷ o valor predto pelo modelo da méda no -ésmo ponto do projeto expermental e y o valor observado nesse ponto ( = 1,,..., N), calculam-se os resíduos por: r = y yˆ (1) Em projetos de expermentos fatoras do tpo K ou K-p, Box e Meyer (1986) propuseram estudar os efetos de dspersão a partr da razão entre médas artmétcas. Para o cálculo do k- ésmo efeto (consderando a tabela de snas usual de um projeto K ou K-p ), a estatístca deste método é dada por:

3 œ Ž ŒŒ Ÿ ž ž Š œ Œ Ž Œ Œ Ÿ ž Š P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 onde: ( k + ) 1 r () BM 1 ( k + ) Dk = log r log r = log ( k + ) ( k ) r ( k ) ndca os ensaos com snal postvo no k-ésmo efeto; ( k ) ndca os ensaos com com snal negatvo no k-ésmo efeto (k = 1,,..., K); r ( =1,,..., N) são os resíduos do modelo da méda, equação (1). Harvey (1976) fez uma adequação da abordagem de Bartlett e Kendall (1946) para estudar heterocedastcdade em análse de regressão. Sob a suposção de um modelo log-lnear para a varânca, a avalação de cada efeto é feta pela razão entre médas geométrcas. Mas especfcamente, a estatístca é dada por: 1 Π 1 r H D k = log r log r = log (3) n n ( k + ) ( k ) ( k + ) Π r k ( ) Nesses métodos, a dentfcação dos efetos de dspersão é feta por meo dos resíduos, apresentando o nconvenente de depender da qualdade da modelagem do valor médo. Portanto, se houver dúvdas quanto à adequação do modelo de locação, a estratéga proposta em Mattos (004) sugere estmar os efetos de dspersão pelo método R (NAIR e PREGIBON, 1988). Se for dentfcado mas de um efeto de dspersão, refaz-se a análse pelo método S (NAIR e PREGIBON, 1988). Esses métodos, propostos para expermentos replcados, baseam-se em varâncas amostras, as quas são calculadas sobre as replcações de cada ponto do projeto expermental. No método R é calculado o logartmo da razão entre médas artmétcas das varâncas amostras nos dferentes níves de cada fator, enquanto que no método S, calcula-se o logartmo da razão entre médas geométrcas das varâncas amostras. Assm, o efeto do k-ésmo efeto é calculado pelas seguntes expressões (métodos R e S, respectvamente): onde: 1 s (4) R 1 ( k + ) Dk = log s log s = log ( k + ) ( k ) s ( k ) Π s 1 1 S ( k + ) D k = log s log s = log (5) N ( k + ) ( k ) N Π s k ( ) ž ž s é a varânca amostral no -ésmo ponto do projeto expermental ( =1,,..., N). Em qualquer um dos métodos, a dentfcação dos efetos de dspersão é feta pelo gráfco de probabldade normal dos efetos. Quando houver efetos de dspersão aparentemente sgnfcatvos, pode-se construr um modelo para predzer as varâncas e o modelo de locação é refeto pelo método dos mínmos quadrados generalzados (MQG), consderando o nverso das varâncas como pesos na expressão dos mínmos quadrados. 3

4 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de Metodologa Este estudo fo realzado segundo a metodologa de planejamento de expermentos e smulações de Monte Carlo, utlzando como projeto foco um expermento com quatro fatores (K = 4): x 1, x, x 3 e x 4, ensaados a dos níves (-1 e +1), segundo um projeto fatoral completo do tpo 4, com duas ou quatro replcações, contendo efetos de locação e efetos de dspersão. As respostas do expermento foram geradas de acordo com uma dstrbução normal com méda µ y, descrta por uma função lnear, e varânca σ y, descrta por uma função log-lnear. Assm como em Mattos (004), para o estudo não se restrngr a um únco contexto, foram consderadas váras alternatvas expermentas, tas como: dferente quantdade de efetos de locação, de efetos de dspersão e de replcações; varando conforme projeto fatoral fraconado do tpo 6-1, com ses fatores (codfcados por A, B, C, D, E e F e sntetzados na Tabela 1) ensaados em dos níves. Fator Descrção Nível ( 1) Nível (+1) A Fatores com efetos de locação β 1 e β (dos efetos prncpas) β 1, β, β 3, β 1 e β 13 (três efetos prncpas e duas nterações) B Intensdade dos efetos de locação β = e β j = 1 para e j guas aos índces especfcados no fator A β = 0 e β j = 0 para e j dferentes dos índces especfcados no fator A β = 4 e β j = para e j guas aos índces especfcados no fator A β = 0 e β j = 0 para e j dferentes dos índces especfcados no fator A C Fatores com efetos de dspersão θ k (um efeto de dspersão), sendo θ = 0 θ k e θ = 43 (dos efetos de dspersão) D Nível de concdênca entre efeto de locação e θ k = θ 1 θ k = θ 4 dspersão E Intensdade dos efetos de θ k = 49 e θ = 0 para k e θ k = 96 e θ = 0 para k e dspersão F Quantdade de replcações 4 Tabela 1 - Descrção dos fatores do projeto de smulação Para cada uma das 3 condções expermentas foram geradas respostas para.000 expermentos, sendo os efetos de dspersão dentfcados pelos métodos R, S, H e BM, comentados na seção anteror. Os resultados foram analsados pela sensbldade, equvalente à proporção de dentfcações corretas (quocente entre a quantdade de expermentos que dentfcou corretamente todos os efetos de dspersão e o total de smulações) e pela especfcdade, equvalente à proporção de não ocorrênca de dentfcações falsas (quocente entre a quantdade de expermentos que dentfcou falsamente pelo menos um efeto de dspersão e o total de smulações). 4. Resultados A sensbldade e a especfcdade foram analsadas separadamente. Incalmente fo utlzada uma análse de varânca para detectar os efetos de locação. Após, foram usados contrastes com o objetvo de avalar o desempenho de métodos que usam dferentes meddas para avalar varabldade (varânca e resíduos quadrátco) e que fazem uso de dferentes tpos de méda para estmar o efeto de dspersão (méda artmétca e méda geométrca). 4

5 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 Com relação à sensbldade, foram encontradas evdêncas de que os métodos apresentam dferentes comportamentos (F = 0,178; gl 1 = 3; gl = 85; p = 0,00000), conforme evdencado na Fgura 1, que sugere a exstênca de superordade dos métodos H e BM. Além dsso, confrma-se a exstênca de nteração entre o método empregado na dentfcação de efetos de dspersão com a quantdade de tas efetos (F = 0,064; gl 1 = 3; gl = 85; p = 0,00000), assm como com a quantdade de replcações (F = 0,100; gl 1 = 3; gl = 85; p = 0,00000). De acordo com a Fgura, quando exstem menos efetos de dspersão, exste uma maor varabldade entre os métodos no que se refere à sensbldade, o mesmo acontecendo quando exstem menos replcações, conforme o evdencado na Fgura 3. Em ambas as stuações os métodos H e BM parecem apresentar melhores resultados. Na análse realzada por contrastes, fo possível constatar a dferença no desempenho de métodos que fazem uso de dferentes formas de mensuração da varabldade (F = 14,58; gl 1 = 1; gl = 85; p = 0,000000). Os métodos usuáros de resíduos quadrátcos (8) apresentaram maor sensbldade em relação aos que fazem uso da varânca (1). Com relação à utlzação de dferentes tpos de méda na estmatva do efeto de dspersão, também foram encontradas evdêncas de dferença sgnfcatva (F = 15,71; gl 1 = 1; gl = 85; p = 0,000153). Os métodos que utlzam a méda artmétca (5) apresentaram maor sensbldade do que os que fazem uso da méda geométrca (3). Com relação à especfcdade, também foram encontradas evdêncas de que os métodos apresentam dferentes comportamentos (F = 0,098; gl 1 = 3; gl = 85; p = 0,000003), conforme evdencado na Fgura 4, sugerndo exstênca de superordade dos métodos BM e R. Também confrma-se a exstênca de nteração entre o método empregado com a quantdade de efetos de dspersão (F = 0,068; gl 1 = 3; gl = 85; p = 0,00000), assm como com a quantdade de replcações (F = 0,038; gl 1 = 3; gl = 85; p = 0,00000), conforme o evdencado nas Fguras 5 e 6. Quando exstem menos efetos de dspersão, exste uma dferença maor entre os métodos no que se refere à especfcdade, o mesmo acontecendo quando exstem menos replcações. Nestas stuações, os métodos BM e R parecem apresentar melhor desempenho. Na análse realzada por contrastes, não fo possível constatar a dferença na especfcdade de métodos que fazem uso de dferentes formas de mensuração da varabldade (F = 7; gl 1 = 1; gl = 85; p = 5101). Com relação à utlzação de dferentes tpos de méda na estmação dos efetos de dspersão, foram encontradas evdêncas de dferença sgnfcatva (F = 31,070; gl 1 = 1; gl = 85; p = 0,000000): os métodos que utlzam a méda artmétca (5) apresentaram maor especfcdade do que os que fazem uso da méda geométrca (). 5

6 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 Sensbldade (%) 0, Fgura 1 Sensbldade esperada de alguns métodos que dentfcam efetos de dspersão Sensbldade (%) 0, Efetos de dspersão um dos Fgura Sensbldade esperada, por quantdade de efetos de dspersão, de alguns métodos que dentfcam efetos de dspersão Sensbldade (%) 0, Replcações duas quatro 6

7 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 Fgura 3 Sensbldade esperada, por quantdade de replcações, de alguns métodos que dentfcam efetos de dspersão Especfcdade (%) 0, Fgura 4 Especfcdade esperada de alguns métodos que dentfcam efetos de dspersão Especfcdade (%) 0, Efetos de dspersão um dos Fgura 5 Especfcdade esperada, por quantdade de efetos de dspersão, de alguns métodos que dentfcam efetos de dspersão 7

8 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 Especfcdade (%) 0, Replcações duas quatro Fgura 6 Especfcdade esperada, por quantdade replcações, de alguns métodos que dentfcam efetos de dspersão 5. Consderações fnas A estratéga defnda em Mattos (004) avalou o desempenho de alguns métodos dentfcadores de efetos de dspersão em expermentos com poucas replcações, encontrando que os métodos propostos para dentfcar tas efetos em expermentos não-replcados, adaptados para a stuação de poucas replcações, apresentavam melhor desempenho (maor sensbldade e maor especfcdade), em relação aos métodos típcos de expermentos com replcações. Nesta análse, entretanto, o desempenho dos métodos que dentfcam tas efetos por meo de resíduos quadrátcos fo superestmado por consderar os efetos de locação conhecdos a pror. No presente estudo, que adotou um projeto fatoral do tpo 4 como projeto foco e um projeto fatoral fraconado do tpo 6-1 como projeto de smulação, a dentfcação dos efetos de locação fo feta a partr dos própros dados. Em relação à sensbldade, os métodos H e BM apresentaram melhores resultados, enquanto em relação à especfcdade, os métodos BM e R. Isto sugere que o método BM, que avala os efetos de dspersão por meo de médas artmétcas de resíduos quadrátcos apresenta melhor desempenho por estar entre os que acertam mas e entre os que erram menos, prncpalmente quando exstrem poucos efetos de dspersão e poucas replcações. Tal fato, além de concordar com a estratéga já proposta para dentfcar efetos de dspersão em expermentos com poucas replcações, evdenca o bom desempenho do método usado para dentfcar os efetos de locação (Anova), tendo em vsta a mportânca da correta dentfcação de tas efetos para o bem desempenho de métodos que fazem uso de resíduos quadrátcos. 7. Agradecmentos Este trabalho contou com apoo da Fundação de Amparo à Pesqusa do Ro Grande do Sul Fapergs. Referêncas 8

9 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y jk% h l'mmn?mio p?qrsut9m vwjx*myr z9o w9{?t9 ~}~w??t?v {9q~ w?p9wƒ~w9?o myqno mmp9o r~ u}~w9 >z?o wo ˆm NwmyƒIt?ƒN mmnj rm?q q{?r~{9m Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a 11 de outubro de 007 BARBETTA, P.A.; RIBEIRO, J.L.D. & SAMOHYL, R.W. Varance Regresson Models n Experments wth Few Replcatons. Qualty Relablty Engneerng, v.16, p , 000. BARTLETT, M.S. & KENDALL, D.G. The Statstcal Analyss Varance-Heterogenety and the Logarthmc Transformaton. Journal of the Royal Statstcs Socety, Ser.B, 8, p , MATTOS, V.L.D; BARBETTA, P.A. & SAMOHYL, R.W. Identfcação de Efetos de Dspersão em Expermentos Fatoras K e K-p. Produção. Vol. 14, n.4, p.36-46, 004. BOX, G.E.P. & MEYER, R.D. Dsperson Effects from Fractonal Desgn. Technometrcs, v.8, n.1, 19-7, HARVEY, A.C. Estmatng Regresson Models wth Multplcatve Heterocedastcty. Econometrca, v.44, n.3, p , NAIR, V. N. & PREGIBON, D. Analysng Dsperson Effects from Replcated Factoral Experments. Technometrcs, v.30, n.3, p.47-57, MATTOS, V. L. D. Identfcação de Efetos de Dspersão em Expermentos com Poucas Replcações. Tese (Engenhara de Produção). Floranópols, p. 9