5 Análise Conjunta da Média e da Dispersão

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1 5 Análse Conjunta da Méda e da Dspersão Neste capítulo vamos apresentar métodos de dentfcação dos fatores que afetam a méda e a varânca da resposta, em expermentos fatoras não replcados. Na otmzação de processos produtvos e de projetos de produtos, os métodos ncalmente utlzados tnham foco prncpal na dentfcação de fatores que afetam a méda da resposta. Os efetos transmtdos por esses fatores são denomnados efetos na méda (locaton effects). O conhecmento desses efetos possblta um ajuste nos fatores que propcam um valor desejado para a méda da resposta. Com a modernzação dos concetos de qualdade, quando então varânca mínma passou a ser snônmo de qualdade, a análse dos fatores que afetam a varânca da resposta tornou-se alvo de nteresse. Os efetos transmtdos por esses fatores são denomnados efetos na dspersão (dsperson effects). O conhecmento desses efetos possblta um ajuste nos fatores que propcam a mnmzação da varânca da resposta. Dos outros tpos de fatores devem ser consderados para a análse da dspersão. Fatores de controle são aqueles possíves de manter em um dado nível durante o processo de produção. Fatores de ruído são aqueles que osclam em torno de um dado nível durante o processo de produção, embora possam ser controlados durante a fase expermental do projeto do processo ou produto. Os dos tpos de fatores podem produzr efetos tanto na méda quanto na dspersão. Quando se faz o ajuste no modelo não é necessáro dstngur os dos tpos de fatores. Apenas na análse dos resultados, é levada em conta a dstnção entre eles. Na década de 80 fo o consultor Gench Taguch quem caracterzou os fatores de ruído como mportantes para a análse de efetos na dspersão. Em sua concetuação é necessáro dentfcar os fatores de controle que afetam a dspersão da resposta e, então, o nível do fator deve ser ajustado de modo que resulte em

2 7 produtos e processos robustos às varações dos fatores de ruído. Os concetos por ele estabelecdos são consderados de grande mportânca, embora as técncas quanttatvas por ele propostas tenham sdo crtcadas por város autores, que apresentaram técncas mas efcentes. Fo cunhado o termo Projeto Robusto de Parâmetros (Robust Parameter Desgn) para caracterzar a busca das condções ótmas no desenvolvmento de produtos e processos produtvos. Para uma descrção e análse das técncas de Taguch, ver Myers e Montgomery (00), Cap.. Na Seção 5. mostramos a mportânca da elaboração do modelo para méda. Na Seção 5. apresentamos um método gráfco muto smples e útl para dentfcar efetos na dspersão. É o gráfco dos resíduos versus nível do fator de produção. Na Seção 5.3 apresentamos o método de Box e Meyer (986), usado para dentfcar fatores que afetam a dspersão. Nesse método a dentfcação de efetos na dspersão é feta dretamente a partr da análse da varabldade dos resíduos provenentes do modelo prevamente elaborado para a méda, sem que seja elaborado um modelo para a dspersão. Na Seção 5.4, apresentamos o método teratvo de Lee e Nelder (998). Esses autores aplcam modelos lneares generalzados para modelar explctamente tanto a méda quanto a dspersão. Na Seção 5.5, veremos como analsar expermentos onde são encontrados fatores de ruído. Durante a elaboração dos modelos da méda e da dspersão, não é necessáro fazer dstnção entre fator de controle e fator de ruído. Entretanto, uma vez construído os modelos, podemos ver como os fatores de controle nteragem com os de ruído. Na Seção 5.6 apresentamos um rotero que sntetza todas as técncas estatístcas ndcadas para a análse da méda e da dspersão. 5.. A Relação do Modelo da Méda com os Efetos na Dspersão Um modelo nadequado para a méda em expermentos fatoras não replcados pode acarretar a dentfcação de fatores espúros afetando a dspersão. Isto porque, não havendo replcações, o modelo para a dspersão é obtdo através dos resíduos provenentes do modelo da méda, o que exge uma dentfcação correta dos fatores que afetam a méda, sob pena de dentfcar efetos espúros na

3 7 dspersão ou não dentfcar efetos reas. Pan (999) e McGrath e Ln (00) estudaram este problema aplcando os métodos de Box e Meyer (986) e de Bergman e Hynén (997) a casos reas. Segundo Pan, a má dentfcação de efetos na méda dmnu a efcênca do método usado para dentfcar os efetos na dspersão, mas não afeta a sua valdade. Isto quer dzer que o método anda dentfca efetos reas na dspersão, embora produza mas erros na dentfcação. Por outro lado, efetos na méda não dentfcados, mesmo que pequenos, podem, cumulatvamente, nvaldar o método usado para dentfcar os efetos na dspersão. Pan afrma que os efetos na méda não dentfcados podem causar um grande mpacto no poder e na probabldade de erro do método de dentfcação de efetos na dspersão, e que a ntensdade desse mpacto é mprevsível se o verdadero modelo da méda é desconhecdo. As conclusões McGrath e Ln (00) são smlares às de Pan. Eles também mostram que, em certos casos, não se pode determnar o que é real: um efeto na dspersão ou dos efetos na méda. Nas seções 5. e 5.3 lustramos, com o Exemplo 4., os problemas detectados por estes autores. Pode-se supor que o contráro também é verdade: a não dentfcação de efetos na dspersão pode levar a erros na dentfcação de efetos na méda, fazendo que a estmatva desses últmos seja aumentada ou reduzda e, em partcular, que efetos exstentes possam ser consderados nulos e vce-versa. Como fo dto, as conclusões de McGrath e Ln (00) e de Pan (999) referem-se aos métodos de Box e Meyer (986) e de Bergman e Hynén (997). Entretanto, os problemas detectados por estes autores ocorrem também com o método teratvo de Lee e Nelder (998), como mostramos na Seção 5.4. Aplcando este método ao Exemplo 4., consderamos dos modelos para a méda: o Modelo 5. e o Modelo 5.; modelos dferentes foram produzdos para a dspersão. 5.. Método Gráfco O gráfco dos resíduos versus fator é útl para uma prmera nspeção do efeto do fator sobre a dspersão. Embora em mutos casos não forneça ndcações conclusvas, em outros as fornece. A análse é feta observando o espalhamento

4 73 dos resíduos quando o nível do fator é mudado. Quando o espalhamento fca vsvelmente maor com esta mudança, é ndíco de que a varabldade é sensível a esse fator. Exemplo 4. (contnuação) Na Seção 4. tínhamos o modelo yˆ = 7,3+ 6,94A + 7,8B + 5, 94AB. (5.) Na Fgura 5. o apresentamos o gráfco dos resíduos versus nível do fator C. DESIGN-EXPERT Plot Response 7.5 Resduos vs. Fator C Resduos Fator C Fgura 5. - Gráfco dos Resíduos versus Fator C - Modelo (5.). Observamos que o espalhamento dos resíduos fca vsvelmente maor com a mudança do nível. Isto é um ndíco de que a varabldade aumenta quando o fator C muda de - para +. Na Seção 4. também tínhamos o modelo yˆ = 7,3+ 6,94 A + 7,8B + 5,94 AB 0,44C,44G, 69CG (5.) Na Fgura 5. o apresentamos, para o Modelo 5., o gráfco dos resíduos versus o nível do fator C. Observamos que o espalhamento dos resíduos não muda sgnfcatvamente com a mudança do nível. Isto é um ndíco de que a varabldade não muda quando o fator C muda de - para +. Portanto, temos evdêncas de que a não nclusão de C e CG no modelo para a méda resulta em dentfcar um efeto espúro do fator C sobre a dspersão.

5 74 DESIGN-EXPERT Plot Response 3 Resduo vs. Fator C.5 Resduo Fator C Fgura 5. - Gráfco dos Resíduos versus Fator C - Modelo (5.). Entretanto, analsando os gráfcos do Modelo 5., encontramos ndcação de que os fatores F e G afetam a dspersão. É o que evdenca a análse do gráfco da Fgura 5.3. DESIGN-EXPERT Plot Response Resduo vs. Fator F DESIGN-EXPERT Plot Response Resduo vs. Fator G Resduo 0 Resduo Fator F Fator G Fgura Gráfcos dos Resíduos Versus Fatores F e G - Modelo (5.). Observamos que em ambos os gráfcos o espalhamento dos resíduos fca menor com a mudança do nível. Isto é um ndíco de que a varabldade dmnu quando os fatores G mudam do nível - para +. Evdentemente, este método gráfco não é um teste formal. Mas ele pode, em mutos casos, fornecer alguma evdênca dos fatores que afetam a dspersão.

6 Método de Box e Meyer Box e Meyer (986) propuseram um método baseado na varabldade dos resíduos provenentes do modelo ajustado para a méda por mínmos quadrados. Seja o modelo lnear y = Xβ + ε onde y = y y M y n X = M x x x M n x x x M n L L L x x x k k M nk β 0 β β = M β k e ε ε ε = M ε k e a varável x j tanto pode representar um fator prncpal quanto uma nteração entre fatores. Este método só é aplcável a expermentos fatoras com dos níves, completos ( k ) ou fraconados ( k-p ). Portanto, as varáves x j são geralmente codfcadas como sendo gual a - ou +. (MQ). Defnem-se então os seguntes conjuntos M j e P j M j = {: x j = -} P j = {: x j = +} Para estmatva dos parâmetros é aplcado o método dos mínmos quadrados Sejam e ( y yˆ ) = os resíduos, =,,..., n, do modelo ajustado. Para cada coluna (varável j) defne-se: P ( ) s j + = var e j M j ( ) s j = var e j j a varânca amostral dos resíduos pertencentes ao conjunto P j a varânca amostral dos resíduos pertencentes ao conjunto M j Se os valores dos desvos-padrão s j+ e s j não são muto dferentes, tem-se a ndcação de que, quando o fator j muda de um nível para outro, a varânca da resposta não é afetada por esse fator. Ou seja, espera-se que a varânca dos resíduos seja a mesma para os dos níves do fator j.

7 76 Por outro lado, se um valor é muto maor do que o outro, tem-se a ndcação de que, quando o fator j de muda de um nível para outro, a varânca da resposta é afetada por esse fator. Exemplo 4. (contnuação) Na Tabela 5., apresentamos, para o Modelo 5., os conjuntos M j e L j e os cálculos dos desvos-padrão s j+ e s j ; para j = B e j = C. Tabela 5. - Cálculo dos Desvos-padrão dos Fatores B e C. y ŷ Resíduos Fator B M B L B Fator C M C L C 6 8,50 -,50 - -,50 - -,50 0 0,50-0, , ,50 3 3,5-0,5-0,5 - -0, ,00,00,00 -,00 4 8,50-4, ,50-4,50 5 0,50 4,50-4,50 4,50 6 3,5-6,5-6,5-6, ,00,00,00,00 8 8,50-0, , ,50 0,50,50 -,50 -, ,5,75,75 -, ,00,00,00 -,00 6 8,50 7,50-7,50 7,50 5 0,50-5, ,50-5, ,5 4,75 4,75 4, ,00-6,00-6,00-6,00 Varânca 6, 9,43 3,44,66 Erro-padrão 4,0 4,4 5,70,63 Para o fator B temos enquanto que, para o fator C temos s B + = 4,0 e s B = 4, 4, s C + = 5,70 e s C =, 63. É evdente que a dferença é bem maor no caso do fator C. Entretanto, não sabemos se esta dferença é sgnfcatva. Para uma melhor verfcação da magntude relatva dos efetos sobre a dspersão, Box e Meyer (986) defnram a estatístca F s ln s j+ j = = ln j j, + j ( s ) ln( s ) j =,, K r (5.3) onde r é o número de varáves (fatores e nterações).

8 77 Os autores do método propõem a construção de um gráfco de pontos da estatístca F j ao longo de uma reta. Isto, porém, não é um teste formal. Na Tabela 5. apresentamos a matrz X e os valores da estatístca F j, para cada varável. Tabela 5. - Estatístca F j do Modelo (5.). A B AB C AC BC E D AD BD ABD CD G F DE ,38-0,8 0,,5-0,4-0,4-0,03 0,5 0,4-0,8 0,5 0,5 0,3-0,3 0,7 Na Fgura 5.4, apresentamos o gráfco de pontos proposto por Box e Meyer, com os valores de F j, correspondentes aos valores da Tabela C 3 Fgura Gráfco com os valores de F j. Observamos que o valor de F j para o fator C se destaca dos demas. Montgomery (00) assegura que, se os erros forem normalmente dstrbuídos e se a varânca dos resíduos para as respostas em que o nível do fator j é (-) for gual à varânca dos resíduos para as respostas em que o nível do fator j é (+), então F j segue aproxmadamente a dstrbução normal. Assm sendo, um gráfco de probabldade normal dos valores de F j ndca os fatores j que afetam a dspersão. Na Fgura 5.5 apresentamos o gráfco de probabldade normal de F j, construído na planlha Excel, onde, efetvamente, o ponto correspondente ao fator C está afastado da reta em torno da qual se alnham os demas pontos.

9 78 Gráfco de Probabldade Normal C F j Quartl Normal Fgura Gráfco de Probabldade Normal de F j. Modelo (5.). Agora vamos usar o Modelo 5.. Na tabela abaxo apresentamos os valores da estatístca F j, construída na planlha Excel. F G B AD BD ABD A D C AC CD BC DE E AB -,50 -,3-0,38-0,38-0,36-0,30-0, -0, -0,06-0,0 0,3 0,5 0,33 0,39,80 Verfcamos que o valor de F j para o fator C dmnuu. Na Fgura 5.6 apresentamos o gráfco de probabldade normal de F j para o Modelo 5., construído na planlha Excel. Observando o gráfco, não temos mas ndcação de que a dspersão seja afetada pelo fator C (o que confrma a ndcação do gráfco da Fg. 5.), mas sm pelos fatores F e G (o que confrma a ndcação dos gráfcos da Fgura 5.3) e pela nteração AB. Gráfco de Probabldade Normal AB F j 0 - F G Quartl Normal Fgura Gráfco de Probabldade Normal de F j. Modelo (5.).

10 79 Agora temos um dlema. Temos um modelo smples para a méda (5.) com um fator de dspersão (C) ou modelo mas complexo para a méda (5.), com dos fatores (F e G) e uma nteração (AB) que afetam a dspersão. Na Fgura 5.7, apresentamos o gráfco dos resíduos versus nível da nteração AB. Resíduos vs Interação AB 4 Resíduo AB Fgura Gráfco dos Resíduos versus o Nível da Interação AB. Os expermentos fraconados (como no Exemplo 4.) são usados nos estágos ncas da nvestgação. Se optarmos pelo modelo mas smples (5.), estaremos elmnando fatores potencalmente mportantes, que poderam ser dentfcados em expermentos posterores. Cabe lembrar que, devdo à estrutura do expermento, a nteração AB está confundda com CE e FG, e a nteração CG está confundda com AD e EF. Caso não haja conhecmentos prátcos sobre a exstênca ou não dessas nterações, há necessdade de um outro expermento para elmnar as ambgüdades. Para maores comentáros sobre o método de Box e Meyer, ver Brenneman e Nar (00) e Myers e Montgomery (00). Brenneman e Nar (00) analsaram, além do método de Box e Meyer (986), os métodos de Bergman e Hynén (997) e Brenneman e Nar (00). Nesses métodos, a dentfcação de efetos na dspersão é feta dretamente a partr da análse da varabldade dos resíduos provenentes do modelo prevamente elaborado para a méda, sem que seja elaborado um modelo para a dspersão. Eles são aplcáves apenas em expermentos fatoras com dos níves, completos ( k ) ou fraconados ( k-p ) e só consderam, para a modelagem da méda, os modelos lneares com o método dos mínmos quadrados.

11 80 Brenneman e Nar (00), concluíram, com resultados de estudos de smulação, que todos esses métodos apresentam algum vés, que depende do modelo ajustado para a méda e do número de efetos atvos na dspersão. Essas smulações evdencaram que, mesmo que o modelo para a méda seja o correto, esses métodos podem dentfcar efetos espúros na dspersão Métodos Iteratvos Modelagem Conjunta da Méda e Varânca Métodos teratvos para dentfcação de efetos na méda e na dspersão foram desenvolvdos por McCullagh e Nelder (989), Engel e Huele (996) e Lee e Nelder (998). Trata-se de métodos que utlzam os modelos lneares generalzados (MLG), sendo que McCullagh e Nelder (989) e Lee e Nelder (998) aplcam MLG para modelar explctamente tanto a méda quanto a dspersão, enquanto Engel e Huele aplcam MLG só para modelar a dspersão. Para a modelagem da méda, Engel e Huele assumem um modelo cuja função de lgação é a dentdade, sendo portanto um caso partcular dos modelos MLG propostos por McCullagh e Nelder (989) e Lee e Nelder (998). Além dsso, Engel e Huele não consderam o uso da técnca de máxma verossmlhança restrta (MVR) (restrcted maxmum lkelhood), utlzada por McCullagh e Nelder (989) e Lee e Nelder (998), que é um ajuste feto no modelo da méda, necessáro em expermentos fatoras altamente fraconados. Brenneman e Nar (00) analsaram também os métodos teratvos, conclundo pela superordade destes, especalmente o método de Lee e Nelder com MVR, em relação aos métodos de Box e Meyer (986), Bergman e Hynén (997) e Brenneman e Nar (00) Método de Lee e Nelder (998) Lee e Nelder (998) apresentam um método de análse dos fatores que produzem efetos na méda e na dspersão. Eles propõem usar a quaseverossmlhança estendda para obter o modelo da méda, e MLG para o modelo da dspersão. A segur descrevemos o modelo para a méda e, em seguda, o modelo para a dspersão. Uma exposção detalhada dos aspectos teórcos deste método pode ser vsta em McCullagh e Nelder (989), Cap. 0.

12 Modelo para a Méda Consdere que a resposta y tem méda ( y ) ( y ) = φ V ( µ ) var, sendo φ o parâmetro de dspersão e ( ) E = µ e varânca V µ a função de varânca. Observe que o parâmetro de dspersão é constante para os membros da famíla exponencal e agora é consderado dferente para cada combnação dos níves dos fatores. Isto porque, quando se constró apenas o modelo para a méda não há condção de se fazer uma estmatva de φ para cada uma destas combnações. Com a modelagem da dspersão sto será possível, como será vsto. O modelo proposto para a méda é e a méda e a varânca de y são ( ) = β η, = g µ x í ( y ) = µ e var( y ) = φ V ( ) E µ Em mutos casos, a escolha de um dos membros da famíla exponencal pode ser nadequada, quer pela própra nadequação da dstrbução de probabldade, quer pela mpropredade da função de varânca. Para ldar com dstrbuções não pertencentes à famíla exponencal fo então proposta a função de quase-verossmlhança, vsta na Seção 3.6. Com o parâmetro de dspersão sendo dferente para cada resposta (y ), a função de quase-verossmlhança não é sufcente para a modelagem da méda. Para este modelo, Lee e Nelder (998) propõem então a função de quaseverossmlhança estendda (extended quas-lkelhood), vsta na Seção 3.7. d n + Q = + ln πφ = φ [ V ( y )] onde d é o quase-devance, já vsto e dado por (5.4) d = y µ y t dt V ( t) e V(t) é a função de varânca para um valor t da méda de y.

13 8 A maxmzação da função de quase-verossmlhança estendda (QVE) com relação a β será obtda com os estmadores de quase-verossmlhança (QV), com pesos ou anda: φ, cujas equações-escore são Q β n = + n = = y µ µ x φ V η ( µ ) y µ µ φ V β ( µ ) = 0 = 0 (5.5) Ou seja, as equações de quase-verossmlhança estendda (EQL) são as mesmas de quase-verossmlhança (QL) com pesos conhecdos φ,como fo vsto na Seção 3.7. Por consegunte, para resolver essas equações, utlza-se a mesma metodologa usada em QV. Na prmera teração da modelagem da méda, φ é consderado gual a um. Na segunda teração já são obtdas as suas estmatvas a partr da modelagem da dspersão, como veremos mas adante. Para a famíla exponencal, a relação da função de varânca com a méda t pode ser representada por uma função de potênca: V ( µ ) = µ. No Capítulo 3 vmos que para t = 0,, e 3, as funções de quaseverossmlhança correspondem, respectvamente, às funções de logverossmlhança (a menos das constantes) das dstrbuções normal, de Posson, gama e normal nversa. O mesmo acontece com a dstrbução bnomal quando a função de varânca é ( µ ) = µ ( µ ) V. Nestes casos, QV e MLG produzem as mesmas estmatvas dos coefcentes, portanto, pode-se usar o mesmo algortmo de estmatva dos coefcentes, vsto na Seção Entretanto, a estmatva do parâmetro de dspersão em QV é feta com estatístca generalzada de Pearson (McCullagh e Nelder (989), pág. 38), e não com a devance. Isto quer dzer que, nestes casos, podemos usar o mesmo algortmo para resolver as equações de MVE (5.5). A únca dferença é na equação (3.5) que passa a ser ( m) ( m) w µ = =,, K, n V ( y ). φ η

14 83 Na verdade, a utlzação da QVE é um artfíco para os casos em que a função de varânca não explca completamente a varabldade da resposta, quando então, o parâmetro de dspersão não é constante para cada resposta (como é em MLG), dependendo dos fatores x j. Um modelo para dspersão é então construído para estabelecer esta relação de dependênca. Máxma verossmlhança restrta. Em expermentos altamente fraconados, nos quas o número de dados é pequeno em relação ao número de parâmetros do modelo para a méda, os estmadores dos parâmetros do modelo de dspersão podem ter veses acentuados, devdo à escassez de graus de lberdade para modelagem da dspersão (Lee e Nelder, 998). Neste caso, procedmentos de ajuste devem ser adotados para o modelo da méda. Lee e Nelder ctam város tpos de ajuste e propõem uso da técnca de máxma verossmlhança restrta (MVR) com a maxmzação da segunte função de verossmlhança onde n * d QB = + ln[ πφ V ( y )] = φ d * = d ( h ) (5.6) e h, =,,..., n são os elementos da dagonal da matrz chapéu (hat matrx) H, que é a matrz de projeção dos valores ajustados sobre os valores observados para a méda, ou seja: y ˆ = Hy. Então, o ajuste consste apenas em substtur d por * d, na função de quaseverossmlhança estendda Modelo para a Dspersão ξ. O modelo proposto para a dspersão é = ( φ ) = γ h z Na modelagem da dspersão, a varável de resposta é o resíduo devance d. Para representar d Lee e Nelder (998) recomendam a dstrbução gama com parâmetro de dspersão gual a. Portanto, é assumdo que: E ( d ) = φ e var( d ) φ =. Os vetores x, do modelo da méda, e z podem ter elementos comuns. Ou seja, fatores que afetam a méda podem afetar ou não a dspersão e vce-versa.

15 84 Lee e Nelder (998) afrmam que a escolha usual da função de lgação é h ( φ ) ln( φ ) =, ou seja, eles consderam que os efetos dos fatores sobre a dspersão são multplcatvos. Na Tabela 5.3 é apresentado um resumo dos modelos e componentes para a méda e para a dspersão. Tabela Modelos e Componentes para a Méda e a Dspersão. Modelo Componente Méda Dspersão Resposta y d * =d/(-h) Valor esperado da resposta µ φ Varânca da resposta φv(µ) φ Função de lgação η=g(µ) ζ=h(µ) =ln φ Predtor lnear η = x β ξ = z γ Devance d {-ln(d * / φ)+(d * -φ)/ φ} Peso /φ -h Procedmento Iteratvo. ) Ajuste do modelo da méda. Escolher a função de lgação, a função de varânca e seleconar os coefcentes sgnfcatvos. Os graus de lberdade restantes serão usados para o ajuste do modelo da dspersão. Para a prmera nteração, o parâmetro de dspersão φ é consderado constante. Nas terações seguntes usa-se φ, provenente do modelo da dspersão, para estmar os coefcentes com as equações de quase-verossmlhança estendda. O desvo d resultante do ajuste do modelo será a resposta do modelo da dspersão. ) Ajuste do modelo da dspersão. Com d como resposta, a escolha comum é a dstrbução gama com função de lgação logarítmca e parâmetro de dspersão gual a. Podem-se usar os métodos já descrtos para dentfcar os fatores que podem afetar a dspersão. O valor ajustado φ resultante será usado no modelo da méda. 3) O processo teratvo termna quando os parâmetros do modelo da dspersão são guas em duas terações consecutvas, a menos de uma tolerânca.

16 85 Exemplo 4. (contnuação) Neste exemplo fo usado um expermento fatoral 7-3 com sete fatores A-G sem replcações. Se consderamos o Modelo 5. como o adequado, temos que os fatores A e B afetam a méda e temos ndcação de que o fator C afeta a dspersão. Tratamos então os outros fatores como sendo nertes e podemos consderar um expermento 3 expermento. com duas replcações. Na Tabela 5.4 apresentamos este Tabela Expermento 3 com Duas Replcações. A B C y y y - y Sem nenhuma análse formal, observamos que as dferenças entre os valores de y é muto menor no nível do fator C é -. Isto ndca que C tem um efeto consderável na dspersão. dspersão Para uma análse formal, vamos consderar os modelos para a méda e para a onde E(ε) = 0 e var onde φ tem dstrbução gama. y = β 0 + βa + β B + β3 AB + ε, ( ε ) = φ = exp( γ + γ + γ B + γ C) 0 A 3 Como agora temos replcações, podemos estmar a varânca de cada resposta e usá-la para fazer o ajuste de um modelo ndependentemente do modelo da méda. Na Tabela 5.5 apresentamos a estmatva da varânca de cada resposta para cada combnação dos fatores A e B e C.

17 86 Tabela Estmatva da Varânca da Resposta. A B C S A estmatva da varânca resposta 4 é zero. Para este valor o valor da função de log-verossmlhança da dstrbução gama é nfnto, o que torna nvável a estmatva dos coefcentes do modelo. Entretanto podemos atrbur um valor para está resposta, dgamos 0.0 e ajustar o modelo. Na Tabela 5.6 apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da dspersão, fornecdos pelo software ARC. Tabela Coefcentes e Erro-Padrão do Modelo para a Dspersão. Estmatva Erro-padrão Est/EP Constante,093 0, ,46664 A -0,488 0, ,8955 B -0, , ,80843 C, , ,0636 Observando a tabela, vemos que apenas C é sgnfcatvo. Ajustando o modelo apenas com C, obtemos o resultado, fornecdo pelo software ARC: utlzar (,9,79C ) ˆ φ = exp +. Com este modelo, podemos estmar os valores de φ para cada resposta e φˆ como peso para ajustar o modelo da méda. O modelo ajustado, fornecdo pelo software ARC, fo yˆ = 7,73 + 7,7A + 8,70B + 5, 76AB Outra manera de modelar a méda e a varânca é aplcando o procedmento de Lee e Nelder (998), descrto na Seção Nesse caso, para dar níco ao procedmento teratvo, ajusta-se o modelo da méda sem consderar as replcações,. Após a convergênca, obtém-se um modelo para a méda e para a dspersão de y.

18 87 Para os cálculos do modelo da méda usamos a planlha Excel (apenas as operações com matrzes) e para o modelo da dspersão usamos o software Arc. Adotamos a técnca de máxma verossmlhança restrta, uma vez que temos 6 coefcentes para estmar e apenas 6 observações. Houve convergênca após 4 terações. Na Tabela 5.7 apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da méda. Tabela Coefcentes e Erro-Padrão do Modelo da Méda. Estmatva Erro-padrão Est/EP 7,739 0,488 66,7 A 7,689 0,488 8,34 B 8,676 0,488 44,58 AB 5,7655 0,488 3,77 Na Tabela 5.8 apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da dspersão. Tabela Coefcentes e Erro-Padrão do Modelo da Dspersão. Estmatva Erro-padrão Est/EP Constante, ,3396 5,75 C,5780 0,3396 4,63 Os modelos para a méda e dspersão são, portanto: yˆ = 7,7+ 7,68A + 8,67B + 5, 77AB (,57C ) ˆ φ = exp,95 +. Os modelos da méda obtdos pelos dos procedmentos são pratcamente guas e devem produzr as mesmas estmatvas da resposta. Os modelos da dspersão obtdos pelos dos procedmentos estão de acordo com a ndcação de que o fator C afeta a dspersão. Pode haver casos em que haja desacordo entre os dos modelos na ndcação do fator de dspersão. Nesses casos, uma explcação possível é que as meddas de varabldade dos dos procedmentos medem varabldades de dferentes tpos ou de fontes dferentes (McCullagh e Nelder 989, pág. 369). Para otmzar o processo é desejável mnmzar a contração méda ŷ do molde, bem como a sua dspersão. Com os modelos acma (obtdos por qualquer um dos dos procedmentos) podemos mnmzar a méda com A = - e B = -, e mnmzar a varânca com C = -.

19 88 Entretanto, para estmar o efeto do fator C sobre a dspersão, o modelo da dspersão ajustado com a varânca das observações replcadas é mas confável porque o valor esperado da varável de resposta deste modelo é a própra varânca da resposta enquanto a estmatva de φ a partr dos resíduos do modelo da méda é envesada é envesada (Lee e Nelder 988, pág. 96). Portanto, o efeto de dmnur o fator C de + para - é reduzr a varânca em exp(,79) = 5,99. Contnuando a análse da méda e da dspersão no Exemplo 4., vamos consderar o Modelo 5.. dspersão é y = β + β A + β B + β AB + β C + β G + β CG + ε Como fo detectado que F, G e AB afetam a dspersão, o modelo para a var ( ε ) φ = exp( γ + γ + γ G + γ AB) 0 F 3 =. Houve convergênca após 6 terações. Na Tabela 5.9 apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da méda. Tabela Coefcentes e Erro-Padrão do Modelo da Méda. Estmatva Erro-padrão Est/EP 7,4466 0,5366 5,5 A 7,89 0,5337 3,36 B 7,8070 0, ,37 C -0,5567 0,4394 -,7 G -,5765 0,55-5,00 AB 6,046 0,658 9,66 CG -,576 0,4394-5,86 Na Tabela 5.0 apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da dspersão. Tabela Coefcentes e Erro-Padrão do Modelo da Dspersão. Coefcente Estmatva Erro-Padrão Est/EP Constante,536 0,3505 0,438 F 0,7708 0,3505,99 G 0,876 0,3505-0,535 AB ,3505,377 Observamos que o fator G não deve ser consderado sgnfcatvo porque o quocente entre a estmatva e o erro padrão tem módulo menor do que.

20 89 O modelo para a dspersão passa a ser ( γ + γ γ AB) φ = exp + 0 F Repetndo o processo, após 5 terações temos seguntes modelos para a méda e a dspersão yˆ = 7,05 + 7,53A + 7,77B + 6,0AB 0,56C,57G, 57CG φ = ( 0,675 0,80F 0, 83AB) exp + O efeto de aumentar o fator F de - para + é reduzr a varânca em exp (- 0,800) = 0,45. Se A e B tverem snas contráros a redução na varânca será exp (-0,895) = 0,44, em relação a quando A e B tverem snas guas. Como já vmos, para otmzar o processo é desejável mnmzar a contração méda ŷ do molde e mnmzar var(y). Com o modelo acma, podemos mnmzar a méda com A = -, B = -, G = + e C = +, e mnmzaríamos a varânca com F = + e a nteração AB = - (o que só pode ser consegudo com A e B de snas dferentes). Temos então conflto para atngr os objetvos. Uma manera de analsar esta stuação é mnmzar a dspersão com F = + e a nteração AB = -. Como o coefcente de B no modelo da méda é maor do que o de A, com A = + e B = -, consegumos uma menor contração méda mantendo G = + e C = +. O resultado é uma contração méda estmada em 4,53. Se essa contração méda não for satsfatóra, podemos então resolver o segunte problema: Mnmzar 0,895AB Sujeto a y ˆ = 7,44 + 7,5 A + 7,77B + 6,0AB 0,56,57, 57 = valor alvo. No Exemplo 4. vmos que dos dferentes modelos para a méda produzram dferentes modelos para a dspersão. Portanto, no método teratvo de Lee e Nelder (998), um modelo nadequado para a méda pode acarretar a dentfcação de fatores espúros afetando a dspersão.

21 Análse da Méda e da Dspersão em Presença de Fatores de Ruído Cabe lembrar que fatores de controle são aqueles possíves de manter em um dado nível durante o processo de produção. Fatores de ruído são aqueles que osclam em torno de um dado nível (prevamente ajustado) durante o processo de produção, embora possam ser controlados durante a fase expermental do projeto do processo ou produto. Como fo dto no níco deste Capítulo, durante a elaboração dos modelos da méda e da dspersão, não é necessáro fazer dstnção entre fator de controle e fator de ruído. Entretanto, uma vez construídos os modelos com eles buscamse as condções ótmas de operação, esses fatores são tratados de manera dversa. É necessáro dentfcar os fatores de controle que afetam a dspersão da resposta através das nterações com os fatores de ruído e, então, o nível do fator de controle deve ser ajustado de modo que resulte em produtos e processos robustos às varações dos fatores de ruído Fatores de Ruído Vamos consderar ncalmente o caso em que não há fatores de dspersão. Vejamos um exemplo smples com um fator de controle e um fator de ruído. Na Seção 4. vmos um expermento de moldagem, o Exemplo 4.. Um dos modelos ajustados fo Modelo M: yˆ = 7,3+ 6,94A + 7,8B + 5, 94AB Neste expermento o fator A é a temperatura do molde. Suponha que esta temperatura pode ser controlada em condções expermentas, entretanto, é dfícl de controlar nas condções de operação, quando oscla em torno de um valor prevamente ajustado. O fator B permanece fxo no ponto ajustado. Então, B é um fator de controle e A é um fator de ruído. É necessáro dentfcar como B afeta a dspersão da resposta através da sua nteração AB com o fator B. Para melhor dstngur os tpos de fatores nas equações, os fatores de ruído vão ser denomnados varáves z e os fatores de controle, varáves x. Então, A = z e B = x, e temos modelo: ε onde E ( ) = 0 e var( ε ) = σ ˆ σ = 0,73. y ( x, z ) 7,3+ 6,94z + 7,8x + 5, z x + ε = 94, que fo estmada quando o modelo fo ajustado:

22 9 No expermento (com varáves codfcadas), a méda de z é zero. A varânca do fator A é conhecda ( σ ) mas baxo (-) de z foram fxados em Como E ( z ) = 0, valor esperado da resposta y é A. No expermento, os níves mas alto (+) e ± σ A. Então, e varânca de z é gual a. [ y( x, z )] 7,3 7, 8x E = +. Aplcando o operador varânca à resposta y têm-se var [ y( x, z )] = var[ 7,3+ 6,94z + 7,8x + 5,94zx + ε ] = var[ ( 6,94 + 5,94x ) z] + σ = ( 6,94 + 5,94x ) σ z + 0,73 = ( 6,94 + 5,94x ) + 0, 73 Portanto, para mnmzar a varânca de y fazemos x = -. Exemplo 5. Montgomery (00), pág. 8, apresenta um expermento com quatro fatores, mostrado na Tabela 5.. A resposta é o rendmento de um processo. Tabela 5. - Expermento do Exemplo 5.. z = A x = B x = C x 3 = D y No expermento orgnal todos os fatores são de controle. Entretanto, para fns deste exemplo, vamos consderar que apenas B, C e D são fatores de controle e que A é um fator de ruído. Para análse deste expermento usamos o software Desgn Expert.

23 9 O modelo ajustado é (, z ) 7,38 +,5z +,00 x +,63 x,3 z x +, z x + ε y x = e a estmatva da varânca do erro é ˆ σ =, 65. var O valor esperado da resposta y é E [ y(, z )] = 7,38 +,00 x +, 63x3 A varânca da resposta é x. [ y( x, z )] = var[ 7,38 +,5z +,00 x +,63x 3,3 zx +,00zx3 + ε ] = var[ (,5z,3 z x +,00z x )] + σ var [ y( x, z )] = σ (,5,3 x +,00x ) z = 6,69 9,57x + 9,00x ,54x +,65 + 4,00x Lembrando que, com as varáves codfcadas, σ = ,5x x Para achar as condções de varânca mínma usamos ao opção POE (propagaton of error) do Desgn Expert. Na Fgura 5.7 apresentamos o gráfco POE, do desvo padrão da estmatva da resposta y versus varáves x e x 3. 3 POE(Rendmento) D: X C: X Fgura 5.8 Gráfco de POE versus x e x 3. Observamos que a varânca mínma se dá ao longo de uma reta, e é aproxmadamente de,8. sto pode ser melhor observado no gráfco da Fgura 5.8.

24 93.00 POE(Rendmento) X Predct.8 X.00 Y Predct.8 X 0.3 Y Fgura Gráfco de POE versus x e x 3. Ao longo da reta de varânca mínma x 3 é negatvo. Como seu coefcente, no modelo da méda, é maor do que o coefcente de x, devemos ajustar seu valor, em termos absolutos, para o menor valor possível. Uma boa solução parece ser x 3 = 0 e x =+, que resultara em um erro-padrão de,88. Neste caso o rendmento esperado sera 8,38 lbs. Caso este resultado não seja satsfatóro, podemos fxar um valor para o rendmento, por exemplo: 9 lbs, e reduzr a varânca ao mínmo. Isto pode ser feto superpondo o gráfco de POE com o do rendmento versus varáves x e x 3. Esta superposção é apresentada na Fgura 5.9. Para um valor esperado de 9 lbs, a varânca mínma é,56. Neste caso devemos fazer x 3 = 0,39 e x =+. X Overlay Plot POE(Rendmento):.56 POE(Rendmento): Rendme.56 9 POE(Re.5599 X 0.39 Y.00 POE(Rendmento):.56 POE(Rendmento):.56 Rendmento: 9 Rendmento: 9 C: X Fgura Gráfcos de POE e do Rendmento Versus Varáves x e x 3.. D: X3

25 Fatores de Dspersão e Fatores de Ruído Vamos ver um exemplo em que os fatores de ruído e de dspersão afetam smultaneamente a dspersão: o de dspersão atuando dretamente e o de ruído, através de nterações. Exemplo 4. (contnuação) Na Seção 5.4 tínhamos os seguntes modelos para a méda e dspersão: y = 7,7+ 7,68A + 8,67B + 5, 77AB + ε ( ) = 0 e var( ε ) = φ = exp(,95 +, ) E ε 57C. Neste expermento o fator A é a temperatura do molde. Suponha que B é um fator de controle e A é um fator de ruído. O fator C fo dentfcado como sendo um fator de dspersão. É necessáro dentfcar como B afeta a dspersão da resposta através da nteração AB com o fator B. Façamos A = z, B = x e C = x. Então: y ( x, z ) = 7,7+ 7,68z + 8,67x + 5, 77zx + ε var( ε ) = φ( x ) = exp(,95 +, x ). 57 Agora temos que a varabldade de y é afetada por duas fontes: o polnômo de regressão (devdo à varabldade de z ) e a varânca de ε (devdo à nfluênca de x ). O valor esperado de y condconado a um valor de z é [ y( x z )] 7,7+ 7,68z + 8,67x 5, 77zx E = +. Como E ( z ) = 0, o valor esperado de y é ( y) E{ E[ y( x z )]} = 7,7 8, 67x E = +. Aplcando o operador varânca á resposta y têm-se var ( y) = var( 7,7+ 7,68z + 8,67x + 5,77zx ) + var( ε ) = var[ ( 7,68 + 5,77x ) z] + exp(,95 +,57 x ) = ( 7,68 + 5,77x ) σ z + exp(,95 +,57 x ) = ( 7,68 + 5,77x ) + exp(,95 +,57 x ) Para otmzar o processo é desejável mnmzar E ( y) e var(y). Ambos objetvos são alcançados com x = - e x = -.

26 95 Neste exemplo, a dstrbução de y é normal e a função de lgação é a dentdade. Pode-se generalzar este procedmento com a estrutura dos modelos lneares generalzados, o que veremos a segur Procedmento Geral - Fatores de Dspersão e Fatores de Ruído de ruído. Sejam x j, j =,,...,q, as varáves de controle e z k, k =,,...,m, as varáves Então: x = ( x,, ) e z = ( z,, ) Seja K x q K z q w, =,,...n, a -ésma lnha da matrz das varáves de regressão, onde cada elemento de w pode ser: a) O nível de uma varável de controle (x j ); ou de uma varável de ruído (z k ) b) O quadrado do nível de uma varável de controle ( x j ) varável de ruído ( z ) j, ou de uma c) O produto entre os níves das varáves de controle (x j x l ), ou das varáves de ruído (z k z r ) d) O produto entre os níves das varáves de controle e de ruído (x k z r ). Então, modelo para a méda é η = [ µ ( x, z )] = wβ ou ( x, z ) = ( wβ) g í µ, g í o modelo para a dspersão é ( γ) = exp w φ, o valor esperado condconal de y dados os valores das varáves de ruído é então E ( z ) = µ ( x z ) y e a méda e a varânca de y são E ( y ) = E[ E( y z) ] ( y ) = var[ E( y z) ] + E[ var( y z) ] var (5.7) Mas, var ( y z) = φ V ( µ ) var, então: ( y ) = var[ E( y z) ] + E[ φ V ( µ )] cuja varável de resposta é d,, com dstrbução gama.

27 Rotero para Analsar a Méda e a Varânca Es um rotero sntétco do procedmento geral, seja para a análse da méda (Seção 5.6.) seja para a análse conjunta da méda e da dspersão (Seção 5.6.) Análse da Méda Se há evdêncas de que os três pressupostos normaldade, adtvdade e varânca constante possam ser consderados, usar o modelo lnear e a resposta com dstrbução normal; caso contráro usar os modelos lnear generalzado. I. Modelo Lnear Resposta com Dstrbução Normal. Estmatva dos Parâmetros Seção.. Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros Seção. 3. Verfcação da Adequação do Modelo Seção.3 Se o modelo lnear não for consderado adequado, usar a resposta transformada. II. Modelo Lnear Resposta Transformada com Dstrbução Normal. Defnr a Transformação da Resposta Seção Estmatva dos Parâmetros Seção. 3. Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros Seção. 4. Verfcação da Adequação do Modelo Seção.3 Se o modelo lnear com a resposta transformada não for consderado adequado, usar os modelos lneares generalzados. III. Modelos Lneares Generalzados. Escolha da Dstrbução de Probabldade e Função de Lgação para a Méda Seção Se houve estágos anterores de modelagem da resposta pode haver ndcações para a função de varânca e para a função de lgação. Indcação de que a varânca cresce com o aumento da méda Seção Indcação para a função de lgação Seção 4.. Se há ndcação de que a varânca cresce com o aumento da méda, usar as dstrbuções gama, normal nversa e a função de quase-verossmlhança com a função de varânca gual a méda; e usar a função de lgação ndcada.. Estmatva dos Parâmetros Seção Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros Seção Verfcação da Adequação do Modelo Seção 3.5.

28 Análse Conjunta da Méda e da Dspersão. Escolha da Dstrbução de Probabldade e Função de Lgação para a Méda Seção Se houve estágos anterores de modelagem da resposta pode haver ndcações para a função de varânca e para a função de lgação. Indcação de que a varânca cresce com o aumento da méda Seção Indcação para a função de lgação Seção 4... Modelo para a Méda Seção Modelo para a dspersão Seção Procedmento Iteratvo para Estmar os Parâmetros Seção Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros: Seção para o modelo da méda Seção 3.4 para o modelo da dspersão. 6. Verfcação da Adequação do Modelo: Seção para o modelo da méda Seção 3.5 para o modelo da dspersão. 7. Análse na Presença de Fatores de Ruído Seção 5.5. para quando só há fatores de ruído Seção 5.5. para quando há fatores de dspersão e fatores de ruído Caso não seja encontrado um modelo adequado para a méda, podem-se usar os modelos não lneares generalzados. Esses tpos de modelos foram propostos por Lane (996), ctado por Wesberg (004). Neles tem-se a mesma estrutura dos modelos lneares generalzados, com exceção do polnômo de regressão, que não é lnear. Neste caso, é necessáro defnr este polnômo, ou seja, deve ser conhecda a relação funconal entre os fatores e a varável de resposta. Wesberg (004) descreve como aplcar modelos não lneares generalzados usando a mas recente versão do software ARC.