MAE 317 Planejamento e Pesquisa I Profa. Júlia Maria Pavan Soler
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1 MAE 317 Planeamento e Pesqusa I Profa. Júla Mara Pavan Soler pavan@me.usp.br IME/USP 1º Semestre/019
2 Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos (DABC) Motvação Por que planear um expermento? Como dmnur o efeto resdual? Como controlar o efeto de fontes de varação conhecdas mas que não são de nteresse prmáro no estudo?
3 Modelo Estatístco Por que PLANEJAR? Evdencar o efeto de FV conhecdas Reduzr o efeto de FV Desconhecdas Y = FV conhecdas + e Fatores de nteresse prncpal e fatores de controle
4 Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos Bloco B1 B Bn Tratamentos T1 T... Tk Y11 Y1... Yk1 Y1 Y... Yk Y... Y1n Yn... Ykn n aleatorzação restrta dentro dos blocos Dentro de cada bloco k undades expermentas são atrbuídas aleatoramente aos tratamentos n replcações no tratamento
5 Exemplo - Blocos Blocos Homogenedade das u.e. dentro de blocos Fator de Controle não há nteresse na varabldade Entre blocos Canteros Pacente com a mesma gravdade da doença Anmas de mesma lnhagem 4 pneus de um carro Braços, dreto e esquerdo, de voluntáros Undades padronzadas segundo peso, dade, sexo Técnco, fornecedor,...
6 Exemplo Dados: Meddas de clorofla a em amostras de água fltradas segundo quatro tratamentos Tratamento Bloco T1 T T3 T4 B1 6, 1,7 7,0 8,3 B 4,8 11,3 4,4 7,1 B3 3,0 9,3 3,8 11,7 B4 5,6 9,5 5,0 10,0 B5 7,1 11,7 5,5 8,5 B6 4,8 15,3 3, 1,4 Estrutura de Blocos (hpotétco): coluna de água de um ro.
7 Exemplo Dados: Crescmento de plantas (cm) segundo a varedade Cantero Var1 Var Var3 Var4 1 19,8 1,9 16,4 14,7 16,7 19,8 15,4 13,5 3 17,7 1,0 14,8 1,8 4 18, 1,4 15,6 13,7 5 0,3,1 16,4 14,6 6 15,5 0,8 14,6 1,9
8 Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos Duas Entradas Bloco B1 B Bn Tratamentos T1 T... Tk Y11 Y1... Yk1 Y1 Y... Yk Y... Y1n Y n... Yk n Fatores Tratamento Bloco Varável Resposta Note que em cada combnação dos níves dos fatores (Tratamento e Bloco) NÃO há replcas!
9 Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos Estrutura dos Dados Fatores Varável Resposta Vantagem da Blocagem Tratamento: fator de nteresse Bloco: fator de controle Aleatorzação Restrta (Dentro do Bloco) elmnar o efeto de uma fonte de varação conhecda (bloco) redução do efeto resdual
10 Suposções N ( 1 ; ) N ( ; ) N ( ; )... k População Bloco Tratamentos T1 T... Tk médas Amostra B1 Y11 Y1... Yk1 Y 1. Normaldade B Bn médas Y1 Y... Yk Y... Y1n Y n... Yk n Y.1 Y. Y. k Y. Y n. Y Varânca constante Independênca entre todas as u.a., mesmo entre as do mesmo bloco.
11 Modelo Teórco - Adtvdade y componente fxo d N ( 0 ; ) componente aleatóro y efeto do bloco efeto do tratamento k 1 n 1 Suposção: Modelo Adtvo (não há efeto de nteração entre os fatores) 0
12 Modelo Teórco / Estmadores y dentdade útl na obtenção das estatístcas y y ( y y ) ( y y ) ( y y y y.... ) observado ˆ ˆ ê ŷ predto
13 Modelo Teórco / Estmadores y Sob o modelo adtvo tem-se: Desvo da adtvdade: e ˆ y ˆ e : y ( y y ) ( y. y ) ( y y. y.. y se reduz ao resíduo do DCA com somente o fator Tratamento ) y y y y : ˆ y.. y e Estma o desvo do modelo adtvo é o efeto de nteração entre os fatores tratamento e bloco (na ausênca de réplcas para cada combnação dos níves dos dos fatores)
14 Hpótese de Interesse ~ ( ; ); Y N H : 1... k H : 1... k A: exste pelo menos uma dferença entre as médas 0 Exste evdênca amostral de dferenças entre as médas de tratamento? As dferenças ENTRE médas de tratamento são maores que a varação DENTRO dos tratamentos (corrgda/austada pelo efeto de bloco)?
15 Hpótese de Interesse Y ~ N ( ; ) H... : 1 A: exste pelo menos uma dferença k Em geral não se tem nteresse em testar o efeto do fator Bloco H... : 1 n Qual é a estatístca deste teste? Note que não é possível testar o efeto de nteração entre os fatores tratamento e bloco! Este efeto defne o resíduo do modelo.
16 (n-1)+(k-1)(n-1)=nk-k Tabela de ANOVA H: 1... k F.V. g l SQ QM F p TRAT k-1 RESÍDUO (k-1)(n-1) TOTAL nk-1 n ( y ( y. y ) BLOCO n-1 k ( y y Efeto de nteração ( y y). ) y. y. y) SQTR/(k-1) QMTR/QMR SQR/(k-1)(n-1) F F [ k-1, (k-1)(n-1)] Como tomar decsão sobre H? Em geral não há nteresse em testar o efeto do fator Bloco
17 Exemplo Dados: Crescmento de plantas (cm) segundo a varedade Cantero Var1 Var Var3 Var4 1 19,8 1,9 16,4 14,7 16,7 19,8 15,4 13,5 3 17,7 1,0 14,8 1,8 4 18, 1,4 15,6 13,7 5 0,3,1 16,4 14,6 6 15,5 0,8 14,6 1,9
18 Modelo ANOVA - DABC Var1 Var Var3 Var4 Méda Desvo Padrão
19 Hpóteses? Suposções? Analyss of Varance Table Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(var) e-11 *** factor(bloco) *** Resduals Total Concl.? Indvdual 95% CI Var Mean ,03 (-*-) 1,17 (--*-) 3 15,53 (-*-) 4 13,70 (-*-) ,00 17,50 0,00,50
20 Resdual Model Dagnostcs Normal Plot of Resduals I Chart of Resduals 1 3,0SL=1, X=0, ,0SL=-1, Normal Score Observaton Number Hstogram of Resduals Resduals vs. Fts ,5-1,00-0,75-0,50-0,5-0,0 0,50,500,751,00 Resdual 1 17 Ft As suposções do modelo estão satsfetas?
21 Modelos ANOVA DCA e DABC Delneamento Completamente Aleatorzado - DCA Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(var) e-09 *** Resduals Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos - DABC Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(var) e-11 *** factor(bloco) *** Resduals Medda de efcênca: 1.316/0.435 = 3.03
22 DABC Modelos ANOVA DCA e DABC DCA
23 DABC - Tukey Smultaneous Tests Response Varable resp All Parwse Comparsons among Levels of var Hpóteses? var = 1 subtracted from: Level Dfference SE of Adusted var of Means Dfference T-Value P-Value 3,133 0,3808 8,3 0, ,500 0,3808-6,56 0, ,333 0, ,38 0,0000 (1,17-18,03)/(*0.435/6) var = subtracted from: Level Dfference SE of Adusted var of Means Dfference T-Value P-Value 3-5,633 0, ,79 0, ,467 0, ,61 0,0000 var = 3 subtracted from: Level Dfference SE of Adusted var of Means Dfference T-Value P-Value 4-1,833 0,3808-4,814 0,001 Concl.? Calcule o erro padrão das dferenças entre médas.
24 Modelo ANOVA - DABC No Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos (DABC) o resíduo é o Efeto de Interação entre os fatores Tratamento e Bloco. Pelo gráfco de perfs há ndcação de efeto de nteração?
25 ANOVA em um DABC Modelo Adtvo: y ; k 1 n 1 0 Como não há réplcas nas combnações dos níves de tratamento e bloco, o Resíduo corresponde à Interação entre tratamento e bloco (vea como está defndo o número de graus de lberdade e a soma de quadrados do resíduo). A não adtvdade do modelo pode ser estudada partconando os (n-1)(k-1) contrastes que defnem a nteração. Teste de Tukey de Não-Adtvdade em um DABC usando 1 grau de lberdade: Construr um novo fator (adconando uma coluna em X) defndo como a nteração (produto) entre os efetos prncpas predtos de tratamento e de bloco - Construr uma coluna com os coefcentes do efeto de Tratamento - Construr uma outra coluna com os coefcentes do fator Bloco - Multplcar essas duas colunas que defnem a nteração com 1 g.l. - Austar o modelo de ANOVA nclundo este novo fator
26 DABC- Teste de Tukey do Modelo Adtvo > mod1$coeffcents (Intercept) factor(var) factor(var)3 factor(var) factor(bloco) factor(bloco)3 factor(bloco)4 factor(bloco)5 factor(bloco) Bloco Var resp EfBloco EfVar Var*Bloco X ˆ ˆ ˆ ˆ
27 Bloco Var resp EfBloco EfVar Var*Bloco ˆ Soma de Quadrados da Não-adtvdade: ˆ X ˆ ˆ k n y ; 0 y 1 1 X ˆ ˆ 1 1 ; 0 k n H : 0 0 Concl: Não há evdênca para a reeção do modelo adtvo n k n k ( 1) ˆ / ( )( ) ˆ ˆ Tabela de ANOVA para o DABC Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(var) e-11 factor(bloco) Resduals Tabela de ANOVA para o teste de Adtvdade Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(var) e-10 factor(bloco) Var*Bloco Resduals SQ TrB Y Y Y Y Y Y Y Y Y ak SQTr SQBl n k ˆ n k ˆ ˆ ˆ / ˆ Y
28 Exemplo Dados: Meddas de clorofla a Tratamento Bloco T1 T T3 T4 B1 6, 1,7 7,0 8,3 B 4,8 11,3 4,4 7,1 B3 3,0 9,3 3,8 11,7 B4 5,6 9,5 5,0 10,0 B5 7,1 11,7 5,5 8,5 B6 4,8 15,3 3, 1,4 Estrutura de Bloco (hpotétco)
29 T1 T T3 T4 Méda Desvo padrão Bloco B1 B B3 B4 B5 B6 Méda
30 Tabela de ANOVA - DABC H: 1... k F.V. g.l. SQ QM F p TRAT 3 BLOCO 5 RESÍDUO TOTAL Com a nclusão do fator bloco, houve ganho em precsão na estmação do efeto do tratamento? Compare o número de graus de lberdade dos delneamentos DCA e DABC defndos para o mesmo conunto de dados!
31 Modelos ANOVA DCA: Delneamento Completamente Aleatorzado Analyss of Varance Table Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Trat e-06 *** Resduals DABC: Delneamento Aleatorzado em Blocos Completos Analyss of Varance Table Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Trat e-05 *** Bloco Resduals
32 Modelos ANOVA ANOVA-DCA ANOVA-DABC
33 Dados: Meddas de clorofla a trat bloco resp Estmatvas dos parâmetros do modelo (no R ) Intercept trat trat3 trat bloco bloco3 bloco4 bloco5 bloco
34 Dados: Meddas de clorofla a Teste de Tukey do Modelo Adtvo trat bloco resp tpred bpred trbl Soma de Quadrados da Não-adtvdade: SQ( TrB1) n X k 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ n 1 1 y ; k 1 0 Analyss of Varance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat e-05 bloco Resduals y X ˆ ˆ Analyss of Varance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat e-05 bloco trbl Resduals ˆ ˆ ; n 1 k 1 n 1 0 H 0 : 0 Concl: Não há evdênca para a reeção do modelo adtvo n k Y. Y.. Y. Y.. Y Y. Y.. Y. Y.. / ak( SQTr)( SQBl) k ˆ ˆ Y / n k 1 1 ˆ ˆ 1 1
35 Exemplo Um pesqusador estudou os efetos de três detas expermentas na varação do nível de lpídeos no plasma. Qunze ndvíduos masculnos, com pesos corporas dentro da normaldade, foram agrupados em cnco blocos de acordo com a dade. Dentro de cada bloco, três detas (D1, D e D3) foram aleatoramente atrbuídas aos ndvíduos. Após um período de tempo fxado fo mensurada a redução do nível de lpídeos plasmátco. Os dados estão apresentados a segur. Bloco(anos) D1 D D3 D1:conteúdo de lpídeos extremamente baxo ,73 0,67 0,15 D: conteúdo de lpídeos moderadamente baxo ,86 0,75 0,1 D3: conteúdo de lpídeos baxo ,94 0,81 0, ,40 1,3 0, ,6 1,41 0,78 Dê razões do por que a dade dos ndvíduos fo usada como bloco. Construa gráfcos de perfs para o efeto combnado de bloco e detas. E também para o efeto da deta. Apresente o modelo estrutural e dstrbuconal aproprado para a análse destes dados. Obtenha a tabela de ANOVA. A deta tem efeto? Faça suposções necessáras e conclua. Realze testes de comparações múltplas. Interprete os resultados. Por que não é ndcado testar o efeto do fator Bloco?
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37 Deta 1 3 Méda D.P Bloco Méda D.P Analyss of Varance Table Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Deta e-08 *** Bloco e-07 *** Resduals > ft1$coeff (Intercept) Deta Deta3 Bloco Bloco3 Bloco4 Bloco Tukey multple comparsons of means - Deta 95% famly-wse confdence level dff lwr upr p ad Conclusão?
38 Bloco Deta resp tr bl trbl Conclusão? Que recomendações devem ser fetas ao pesqusador? Analyss of Varance Table Response: resp Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Deta e-08 *** Bloco e-07 *** trbl * Resduals
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