ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA APLICADA A DADOS COM MEDIDAS REPETIDAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA E MODELAGEM QUANTITATIVA ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA APLICADA A DADOS COM MEDIDAS REPETIDAS MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAÇÃO Mara Ruba Machado Couto Santa Mara RS Brasl 006 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

2 ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA APLICADA A DADOS COM MEDIDAS REPETIDAS por Mara Ruba Machado Couto Monografa apresentada ao Curso de Especalzação do Programa de Pós-Graduação em Estatístca e Modelagem Quanttatva da Unversdade Federal de Santa Mara (UFSM RS) como requsto parcal para obtenção do grau de Especalsta em Estatístca e Modelagem Quanttatva Orentadora: Prof MSc Lucane Flores Jacob Santa Mara RS Brasl 006 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

3 Unversdade Federal de Santa Mara Centro de Cêncas Naturas e Exatas Programa de Pós-Graduação em Estatístca e Modelagem Quanttatva A Comssão Examnadora abaxo assnada aprova a Monografa de Especalzação ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA APLICADA A DADOS COM MEDIDAS REPETIDAS elaborada por Mara Ruba Machado Couto como requsto parcal para obtenção do grau de Especalsta em Estatístca e Modelagem Quanttatva COMISSÃO EXAMINADORA: Lucane Flores Jacob MSc (Presdente/Orentadora) Adrano Mendonça Souza Dr (UFSM) Fernando de Jesus Morera Júnor MSc (UFSM) Santa Mara 07 de março de 006 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

4 Dedco com muto carnho este trabalho ao Rodrgo pela dedcação compreensão e prncpalmente pela sua pacênca PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

5 AGRADECIMENTOS A mnha orentadora Profª MSc Lucane Flores Jacob pelo acompanhamento durante este trabalho pela oportundade deste aprendzado por toda a valosa contrbução nesta pesqusa e sua amzade A todos os professores do Departamento de Estatístca pela sabedora que souberam transmtr Aos meus colegas em especal: Alíca Bolfon Das Gabrela Blbo Glvete Líro Maurco Lutz e Rejane Cardoso pelas horas de estudos por todas as suas contrbuções e amzade PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

6 RESUMO Monografa de Especalzação Programa de Pós-Graduação em Estatístca e Modelagem Quanttatva Unversdade Federal de Santa Mara ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA APLICADA A DADOS COM MEDIDAS REPETIDAS AUTORA: MARA RUBIA MACHADO COUTO ORIENTADORA: LUCIANE FLORES JACOBI Data e local da Defesa: Santa Mara 07 de março de 006 Em algumas stuações no processo de análse de dados exste o nteresse de analsar a performance de váras varáves conjuntamente e determnar a nfluênca ou a mportânca de cada varável na presença das demas Para sto utlzam-se as técncas de análse multvarada Quando em partcular este nteresse está em dentfcar a exstênca de efetos entre tratamentos e/ou condções de avalação e verfcar a exstênca de nteração entre estes fatores; é aproprado o emprego de uma análse de varânca multvarada ou anda uma análse de perfs de médas que são métodos multvarados aplcados na análse de dados com meddas repetdas e dados longtudnas O presente trabalho tem por objetvo desenvolver um materal de suporte teórco-prátco para todos os que têm nteresse em aplcar as técncas acma ctadas Para seu desenvolvmento é realzada uma revsão de lteratura que reúna os prncpas aspectos destas metodologas Após esta revsão desenvolve-se algumas nstruções sobre os procedmentos operaconas necessáros para a execução destas técncas no software Statstca 70 Com este trabalho proporcona-se aos usuáros de técncas estatístcas um referencal básco sobre o uso e aplcações da análse multvarada partcularmente as técncas de análse de varânca multvarada e análse de perfs de médas Palavras-chave: análse multvarada meddas repetdas dados longtudnas análse de varânca multvarada análse de perfs PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

7 ABSTRACT Specalzaton Monograph Post Gratuated Program n Statstcs and Quanttatve Modellng Federal Unversty of Santa Mara MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE: APPLIED THE DATA WITH REPEATED MEASURES AUTHOR: MARA RUBIA MACHADO COUTO ADVISOR: LUCIANE FLORES JACOBI Date and place of defense: Santa Mara March In some stuatons n the process of analyss of data the nterest exsts to analyze the performance of some varable jontly and to determne the nfluence or the mportance of each changeable n presence of excessvely For ths the technques of multvarate analyss are used When n partcular ths nterest s n dentfyng to the exstence of effect between treatments and/or condtons of evaluaton and to verfy the exstence of nteracton between these factors; the job of an analyss of multvarate varance s approprate or stll an analyss of profles of averages; that are methods multvarate appled n the analyss of data wth repeated measures and longtudnal data The present work has for objectve to develop a materal of theoretcan-practcal support for all those that wll have nterest n applyng the technques above cted For ts development an ample revson of lterature was carred through that congregated the man aspects of these methodologes After ths revson developed some nstructons on the necessary operatonal procedures for the executon of these technques n Statstca software Wth ths work one provded the users to t of statstcal technques a basc referencal on the use and applcatons of the multvarate analyss partcularly the technques of multvarate analyss of varance and analyss of profles of averages Key-Words: multvarate analyss repeated measures longtudnal data multvarate analyss of varance analyss of profles PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

8 LISTA DE FIGURAS FIGURA -Representação gráfca genérca dos perfs médos de resposta 34 FIGURA -Gráfco Q Q 47 FIGURA 3-Perfs médos de attudes maternas conforme classe soco-econômca 53 FIGURA 4- Caxa de seleção da análse de varânca 54 FIGURA 5-Caxa de seleção para especfcação do método 55 FIGURA 6-Caxa de seleção para especfcação dos parâmetros na análse de varânca multvarada 55 FIGURA 7-Caxa de seleção das varáves 56 FIGURA 8-Caxa de seleção para a análse de varânca multvarada 56 FIGURA 9-Caxa de seleção para os efetos da análse de varânca multvarada 57 FIGURA 0-Caxa com os resultados da análse 57 FIGURA -Caxa de seleção das análses 58 FIGURA -Caxa de comandos para obtenção das matrzes 58 FIGURA 3-Caxa de resultados da matrz de varânca e covarânca 59 FIGURA 4-Caxa de resultados da matrz das soma de quadrados e produtos cruzados dentro dos grupos 59 FIGURA 5-Caxa de resultados da matrz das soma de quadrados e produtos cruzados entre os grupos 60 FIGURA 6-Caxa de resultados da matrz total 60 FIGURA 7-Caxa de seleção para testes multvarados 60 FIGURA 8-Caxa de resultados para os testes multvarados 6 FIGURA 9-Caxa de seleção para as comparações múltplas 6 FIGURA 0-Caxa de resultados para as comparações múltplas entre as classes sóco-econômcas 6 FIGURA -Caxa de resultados para as comparações múltplas entre as escalas de attudes maternas 6 FIGURA -Caxa de seleção para a plotagem dos gráfcos de perfs de médas 6 FIGURA 3-Gráfco dos perfs de médos 63 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

9 LISTA DE TABELAS TABELA -Estrutura de dados básca para estudos longtudnas TABELA -Análse de varânca multvarada 8 TABELA 3-Análse varânca para meddas repetdas 37 TABELA 4-Dstrbução da estatístca Λ 40 TABELA 5-Observações dos perfs 4 TABELA 6-Valores encontrados para os pares ordenados 46 TABELA 7-Análse de varânca do perfl para o exemplo 5 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

10 LISTA DE SIGLAS ANOVA Analyss of Varance (análse de varânca) MANOVA Multvarate Analyss of Varance (análse de varânca multvarada) PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO Objetvos 3 Objetvo Geral 3 Objetvos Específcos 3 Justfcatva 4 3 Materas e Métodos 4 4 Estrutura do trabalho 4 REVISÃO DE LITERATURA 6 Concetos Báscos para Análse Multvarada 7 Meddas Descrtvas de Populações Multvaradas 7 Meddas Descrtvas para Amostras Multvaradas 8 Análse Multvarada de Meddas Repetdas 9 3 Meddas Repetdas e Dados Longtudnas 0 3 ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA 3 3 Verfcação do Pressuposto de Normaldade 4 3 Verfcação da Igualdade de Matrzes de Varânca e Covarânca 5 33 Teste de Igualdade de Médas para k Grupos (Oneway MANOVA) 7 4 ANÁLISE DE PERFIS DE MÉDIAS 3 4 Análse Multvarada de Perfs 3 4 Modelo Matemátco para Análse Multvarada de Perfs 3 43 Alguns Crtéros de Teste para a Análse Multvarada de Perfs Unão-Intersecção de Roy Crtéro de Wlks Crtéro de Plla Crtéro de Hotellng-Lawley 4 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

12 44 Algumas Consderações sobre os Crtéros de Teste para a Análse Multvarada de Perfs 4 5 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS 4 5 Aplcação dos Métodos com Saídas do Software 54 Statstca70 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 64 7 REFERÊNCIAS 66 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

13 INTRODUÇÃO A nerente necessdade de nferr relações entre múltplas varáves para analsar e explcar fenômenos socas e/ou físcos faz com que cada vez mas as técncas estatístcas estejam presentes no processo de nvestgação centífca Em mutas stuações exste o nteresse de nvestgar-se o comportamento de uma ou mas varáves respostas ao longo do tempo ao longo de uma condção de avalação; ou de outra escala ordenada qualquer Devdo à complexdade do estudo dessas váras varáves que contêm dados smultâneos para explcação de tas fenômenos a utlzação de uma metodologa de grupo pode-se fazer em determnadas stuações mas adequada do que solar cada varável e estudá-la separadamente Para este tpo de estudo a lteratura técncocentífca utlza os métodos de análse multvarada Somente os métodos de estatístca multvarada permtem que se analse a performance conjunta das varáves e se determne a nfluênca ou mportânca de cada varável na presença das restantes O presente trabalho enfoca as técncas de análse multvarada que englobam meddas repetdas e dados longtudnas completos balanceados e regulares no tempo dando-se partcular atenção aos métodos de análse de varânca multvarada (MANOVA) e análse de perfs de médas Estudos com meddas repetdas têm a vantagem de requerer um número menor de undades amostras Além dsso dmnuem a varabldade decorrente de dferenças ndvduas e permtem avalar mudanças que ocorrem dentro e entre as undades amostras com mas efcênca E estudos longtudnas que são um tpo de meddas repetdas são de partcular nteresse quando o objetvo é avalar varações globas ou ndvduas ao longo das condções de avalação Uma das prncpas desvantagens na análse de estudos com meddas repetdas refere-se à exstênca de correlações entre as meddas devdo estas serem realzadas no mesmo ndvíduo A análse de varânca multvarada (MANOVA) é uma extensão da análse de varânca smples (ANOVA) e da mesma forma esta últma é aproprada sempre PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

14 3 que se pretenda fazer comparações de médas A prncpal dferença entre as duas está em que a MANOVA compara médas para dferentes varáves smultaneamente enquanto a ANOVA avala dferenças de médas apenas em uma varável Do mesmo modo que a ANOVA a MANOVA requer cudados na verfcação de algumas pressuposções que são generalzações da ANOVA tas como a verfcação do pressuposto de normaldade multvarada e verfcação da gualdade de matrzes de varânca e covarânca A análse de perfs de médas é uma dervação da técnca de análse de varânca multvarada (MANOVA) utlzada quando se deseja fazer comparações entre os dversos perfs médos de respostas; facltando a dentfcação da exstênca ou não de nteração entre tratamentos entre grupos e a exstênca ou não do efeto longtudnal Para se obter estatístcas que testem a hpótese lnear geral alguns crtéros de testes estão dsponíves no contexto multvarado e abordados neste estudo Objetvos Objetvo Geral Desenvolver um trabalho de suporte teórco-técnco para estudos e pesqusas que exjam o uso das técncas multvaradas de análse de varânca multvarada e análse de perfs de médas Objetvos Específcos ) Reunr os prncpas aspectos dessas metodologas; ) aplcar as metodologas em um exemplo hpotétco que srva como referencal ddátco aos nteressados nas técncas para aplcações prátcas e também trabalhos futuros; ) desenvolver nstruções para o uso do pacote estatístco Statstca 70 na solução de problemas usando esta metodologa PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

15 4 Justfcatva Este trabalho aborda a mportânca do desenvolvmento de um referencal básco para os usuáros das técncas multvaradas que necesstem aplcar em seus trabalhos e pesqusas os métodos de análse de varânca multvarada e análse de perfs de médas 3 Materal e Métodos Para o desenvolvmento do estudo será realzada uma ampla revsão de lteratura que reuna os prncpas aspectos da metodologa multvarada os quas abordam as técncas de análse de varânca multvarada e análse de perfs de médas aplcadas a meddas repetdas e dados longtudnas A fm de tornar esta pesqusa um referencal ddátco será utlzado um exemplo hpotétco que demonstre passo-a-passo as técncas multvaradas aos nteressados em sua aplcação Desenvolveu-se algumas nstruções para analse e nterpretação destas técncas no pacote estatístco Statstca 70 4 Estrutura do trabalho O referdo trabalho mostra as técncas de análse multvarada de meddas repetdas No Capítulo tem-se uma breve revsão de lteratura sobre concetos báscos necessáros para a análse multvarada com enfoque em meddas repetdas e dados longtudnas No Capítulo 3 trata-se da análse de varânca multvarada (MANOVA) que é uma técnca no âmbto multvarado para analsar dados com meddas repetdas Neste capítulo descreve-se as pressuposções e hpóteses de nteresse na análse de dados longtudnas Tem-se também alguns métodos de verfcação dos pressupostos de normaldade multvarada e de gualdade de matrzes de varânca e covarânca PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

16 5 No Capítulo 4 refere-se à análse de perfs de médas no contexto multvarado; também conhecda como análse multvarada de perfs Neste capítulo o modelo multvarado é descrto juntamente com as hpóteses para análse Também são apresentados alguns crtéros para a análse de perfs como o Crtéro de Roy Crtéro de Wlks Crtéro de Hotellng e o Crtéro de Plla No Capítulo 5 as técncas tratadas nos capítulos anterores são exemplfcadas através de um exemplo hpotétco propoto Os resultados e nterpretações da análse serão apresentados com as saídas do software Statstca 70 e detalhadas em cada passo PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

17 REVISÃO DE LITERATURA O presente capítulo faz consderações sobre a análse multvarada de meddas repetdas Embora a análse multvarada tenha como orgem a estatístca un e bvarada a extensão no domíno multvarado ntroduz concetos adconas e estes têm resultados de partcular relevânca Esses concetos vão desde a decsão para julgar a construção básca de um conjunto multvarado até as conclusões estatístcas dos testes de sgnfcânca Concetos Báscos para Análse Multvarada Nesta seção tem-se por objetvo fornecer concetos báscos para a análse de fenômenos que envolvam mas de uma varável aleatóra Esta ntrodução à estatístca multvarada é relevante pos nclu métodos de análse das relações de múltplas varáves dependentes e/ou múltplas varáves ndependentes Portanto serão tratadas aqu as populações e amostras multvaradas e as respectvas meddas descrtvas: vetores de médas matrz de varânca e covarânca e de correlação Seja X X X um conjunto de I varáves aleatóras que pode ser apresentado sob a forma de um vetor ' [ X X X ] X Pretende-se estudar estas I característcas para um conjunto de N ndvíduos (no caso de uma população ou n no caso de uma amostra) A matrz dos dados observados terá a segunte forma: X ( X j X X ) X X X X Xn X n X n Sendo X o valor da varável ( I ) para o ndvíduo j J n ) j ( PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

18 7 Meddas Descrtvas de Populações Multvaradas Seja uma população de dmensão N caracterzada por um vetor de p varáves o vetor de médas é defndo como sendo: µ N µ µ em que µ será a méda da varável sto é µ X N J µ O cálculo da varânca para cada varável da população é o segunte: σ N N ( X j µ ) J [ j ] ou σ E ( X µ ) O desvo-padrão é a raz quadrada postva da varânca: σ σ Para dos atrbutos dferentes um outro parâmetro a calcular é a covarânca defnda como a méda do produto dos desvos dos valores das varáves relatvamente às respectvas médas e que mede o grau de relação lnear entre cada dos atrbutos: σ j N N [( X j µ )( X j µ j )] J Note que quando σ j σ j quasquer que sejam e j ou σ E [( X µ )( X µ )] j j a covarânca reduz-se à varânca e também que Tomando todas as varáves smultaneamente constró-se uma matrz de varânca/covarânca da população Σ j j j j Σ ( ) ( σj ) σ σ σ σ σ σ Σ é uma matrz smétrca que tem na dagonal prncpal as varâncas das p varáves enquanto os outros elementos são as covarâncas entre cada duas varáves Esta matrz pode ser calculada da segunte forma: Σ N N J X j µ X j µ ' PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

19 8 A partr da matrz de varânca e covarânca pode-se atrbur uma matrz de correlações dada por: ρ j ρ ρ k ρ k onde ρ j σ j σ σ j Meddas Descrtvas para Amostras Multvaradas Seja n o número de observações de um subconjunto de todas as observações possíves para a população em estudo sto é uma amostra de tamanho n Pode-se estmar para esta amostra os seguntes estmadores dos parâmetros ndcados na subseção : I) Vetor de médas amostras X X X X sendo n X ( I ) a méda amostral da varável X j n J II) Matrz de varânca/covarânca amostral S S S S S S sendo S S n n J X J XX J X' e n [( X j X )( X j X j )] S j a covarânca amostral entre as varáves e j n J PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

20 9 III) Matrz de correlações amostras e j r R rk r k sendo r j Sj a correlação amostral entre as varáves S S j Conforme Res (997) um dos objetvos em que consste a estatístca multvarada é a smplfcação de dados (vetores de médas matrzes de varânca e covarânca e de correlação) descrevendo a nformação através de um número reduzdo de dmensões de análses Análse Multvarada de Meddas Repetdas A análse de meddas repetdas é uma metodologa em que o nteresse é dreconado à avalação do comportamento de uma ou mas varáves respostas classfcadas em dferentes subpopulações segundo um ou mas fatores (tratamentos) ao longo do tempo ou de dversas condções de avalação que representam as undades de observação Dos enfoques têm sdo dscutdos na lteratura para a análse de meddas repetdas sobre undades expermentas O prmero adota procedmentos unvarados consderando as observações como subdvsão de parcelas ou seja subparcelas E um segundo utlza o procedmento multvarado que consdera cada undade expermental como um vetor de observações Segundo Snger Rocha e Nobre (004) uma das característcas mas mportantes para a análse de meddas repetdas é o processo de obtenção dos dados exstndo bascamente duas formas de obtenção de meddas repetdas A prmera corresponde à atrbução aleatóra da ordem quando as meddas sob dferentes condções de avalação são realzadas na mesma undade de nvestgação; abrangendo estudos obtdos por meo de delneamentos com parcelas subdvddas ( splt-plot ) ou delneamentos com ntercâmbo ( crossover ) A segunda ocorre quando as meddas realzadas sob dferentes condções de avalação estão dspostas ao longo de uma escala ordenada sto é são obtdas seqüencalmente e neste caso os estudos são denomnados longtudnas PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

21 0 Conforme Rbold et al(003) a análse de meddas repetdas tem os seguntes objetvos: comparação das dferentes subpopulações quanto ao padrão de varação das respectvas dstrbuções de respostas ao longo das dferentes condções de avalação verfcação da exstênca de nteração entre o fator ou fatores (tratamentos) que defne(m) as subpopulações e aquele que defne as condções de avalação verfcar se os perfs são paralelos; comparação das dferentes subpopulações quanto às respectvas dstrbuções médas (em relação às dversas condções de avalação) de resposta verfcação da exstênca de efeto do fator ou fatores (tratamentos) que defne(m) as subpopulações verfcar se os perfs são concdentes; comparação das dferentes condções de avalação quanto às respectvas dstrbuções médas (em relação às dversas subpopulações) de respostas verfcação da exstênca de efeto do fator que defne as condções de avalação verfcar se os perfs são horzontas; v cjuste de modelos (geralmente na forma de curvas polnomas) para explcar a varação das respostas médas (ou de outras característcas das dstrbuções de respostas) como função do fator que defne as condções de avalação 3 Meddas Repetdas e Dados Longtudnas Um tpo comum de medda repetda são os dados longtudnas meddas repetdas onde as observações são ordenadas pelo tempo ou pela posção no espaço Mas especfcamente dados longtudnas são caracterzados pela observação repetda de uma ou mas varáves respostas em uma mesma undade expermental Cada conjunto de undades de observação pode ser entenddo como um perfl ndvdual de respostas pos contêm os valores da(s) varável (s) resposta(s) em cada uma das ocasões de observação Lma (996) dz que os dados provenentes de estudos longtudnas são chamados de regulares em relação ao tempo se o ntervalo entre duas meddas consecutvas quasquer for constante ao longo do estudo e de balanceados com relação ao tempo se as observações forem fetas nos mesmos nstantes de tempo PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

22 em todas as undades expermentas Se não houver observações perddas dz-se que a estrutura dos dados é completa As técncas clásscas de dados longtudnas são geralmente drgdas para o caso de dados completos e balanceados em relação ao tempo Na prátca três tpos de análse são comumente usados para meddas repetdas: () análse de varânca unvarada como se fosse um expermento em parcela subdvdda (spt-plot) com tratamentos como o fator da parcela e o tempo como o fator da subparcela; () análses unvarada e multvarada para transformações lneares das meddas repetdas tas como nclnações e outras tendêncas em curvas de regressão dferenças entre respostas de dferentes pontos de tempo; (3) métodos baseados em modelos mstos com estruturas paramétrcas especas nas matrzes de covarâncas A análse de meddas repetdas requer atenção especal na estrutura de covarânca devdo à natureza seqüencal dos dados em cada undade expermental Dos três métodos consderados: () a análse de varânca unvarada gnora a estrutura de covarânca o que pode resultar em conclusões ncorretas; () análses unvarada e multvarada para transformações lneares das meddas repetdas evtam a estrutura de covarânca o que pode resultar em análses nefcentes equvalente a desperdícos dos dados; (3) metodologa de modelos mstos que permte efcentemente conduzr a questão dretamente na modelagem da estrutura de covarânca A análse de meddas repetdas utlzando estas metodologas segue duas etapas: º) modela a estrutura de covarânca; º) analsa as tendêncas de tempo para os tratamentos estmando e comparando médas PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

23 Em stuações de meddas repetdas em que se tem uma estrutura balanceada e completa com a segunte confguração: Tabela Estrutura de dados básca para estudos longtudnas Subpopulação Undade Condções de avalação (tratamentos) amostral K Y Y Y k Y Y Y k M M M M M n n Y n Y Y n k Y Y Y k Y Y Y k M M M M M n n Y n Y M M M M M Y n k I Y Y Y k I Y Y Y k M M M M M I n n Y n Y Y n k Onde y jk é o valor da varável resposta da j-ésma undade expermental dentro do -ésmo tratamento sob k-ésma condção de avalação (tempo por exemplo) para I ; J n ; K k PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

24 3 ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA Um dos métodos para analsar dados com meddas repetdas é a análse de varânca multvarada A análse de varânca é uma metodologa utlzada para comparar médas de grupos quando algumas meddas ao longo dos grupos são contínuas e certos pressupostos são cumprdos podendo-se estender esta metodologa para mas de uma varável dependente Esta análse de varânca aplcada a todas as varáves smultaneamente é denomnada de Análse de Varânca Multvarada Da mesma forma que a análse de varânca unvarada a análse de varânca multvarada também tem o propósto de fazer uma análse de varação dos dados entre ou dentro dos grupos e assm trar conclusões sobre possíves dferenças nas médas dos grupos A análse de varânca multvarada é ndcada quando exste uma estreta correlação entre as varáves pos em caso contráro as análses separadas resolveram o problema sto é a análse de varânca multvarada consdera smultaneamente todas as varáves de nteresse No caso unvarado uma únca medda dependente é testada quanto à gualdade das médas através dos grupos enquanto que na multvarada os vetores das médas são testados quanto a gualdade Na análse de varânca unvarada (ANOVA) a hpótese nula a ser testada é a gualdade das médas através dos grupos Na análse de varânca multvarada (MANOVA) a hpótese nula a ser testada é a gualdade dos vetores das médas nas múltplas varáves dependentes Uma vantagem da MANOVA sobre a realzação de sucessvas ANOVAS para as dferentes varáves é a consderação das covarâncas entre as varáves sobretudo se estas apresentarem correlações não-nulas Assm como a análse de varânca unvarada a multvarada também segue algumas pressuposções que são generalzações dos pressupostos da análse de varânca smples (ANOVA): PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

25 4 - as observações devem se consttur de amostras aleatóras provenentes de populações normas devem segur uma dstrbução normal multvarada; - essas amostras deverão pertencer a grupos populaconas com dêntca varânca gualdade de matrzes de varânca e covarânca 3 Verfcação do Pressuposto de Normaldade Para a aplcação da maora dos testes estatístcos multvarados deve-se verfcar se cada vetor de observações provém de uma população normal multvarada sto é detectar se os dados se desvam de modo sgnfcatvo do comportamento esperado Segundo Res (997) pode-se afrmar com base nas propredades da dstrbução normal que qualquer combnação lnear de varáves normas é também normal e que todos os contornos da função dstrbução normal multvarada formam uma elpse De acordo com a lteratura não exste um teste que permta testar se um conjunto de dados segue ou não uma dstrbução normal conjunta para duas ou mas varáves Deste modo o que mas se faz é testar a normaldade de cada varável separadamente;embora não se possa ter certeza de que as varáves mesmo sendo normas quando analsadas separadamente mantenham essa normaldade em dmensões mas elevadas O pressuposto da normaldade pode ser verfcado na prátca se as seguntes condções estão presentes nos dados observados: - as dstrbuções margnas para o conjunto de observações são normalmente dstrbuídas; - as representações gráfcas de pares de observações representam uma elpse; - não exstem observações muto dferentes (outlers) sto é que sejam resultado apenas de erros de ntrodução de dados Uma boa alternatva para verfcar se determnada população segue dstrbução normal são as representações gráfcas em partcular o gráfco Q-Q que pode ser utlzado para avalar a normaldade de determnada dstrbução margnal PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

26 5 Este tpo de gráfco representa os seguntes pares de valores: os quants da dstrbução amostral e os correspondentes valores esperados Para o caso multvarado este gráfco tem por base o conceto de dstânca de Mahalanobs entre dos vetores de observações que pode ser calculada da segunte forma: d X j X' S X j X () j A construção do gráfco Q-Q segue os seguntes passos: ) ordenação das dstâncas d por ordem crescente; ( j) j 0 5 ) cálculo das probabldades acumuladas p() j para cada um dos valores n anterores; 3) defnção do percentl de ordem 00 p () j na dstrbução lberdade; ( ) 4) representação gráfca dos pares ordenados d () j ; χ ( p( j) ) j χ com p graus de Quanto mas a dstrbução das observações se aproxmar da lnha reta mas aproxmadas estarão de uma dstrbução normal multvarada E em caso contráro um afastamento sstemátco do comportamento lnear sugere a rejeção da hpótese de normaldade multvarada 3 Verfcação da Igualdade de Matrzes de Varânca e Covarânca Para testar a gualdade de matrzes de varânca e covarânca o pressuposto de normaldade multvarada deve ser prmeramente verfcado Box (950 apud REIS997 p86) desenvolveu um teste (teste M) que é uma generalzação do teste unvarado de gualdade de varâncas de Bartlett e muto sensível a volações do pressuposto da normaldade Esta sensbldade atrbu-se ao fato de que o teste utlza as varâncas generalzadas os determnantes das matrzes de covarânca E deste modo a hpótese de gualdade de matrzes pode PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

27 6 ser rejetada apenas pela volação do pressuposto da normaldade e não por se tratarem de matrzes sgnfcatvamente dferentes Box (950 apud REIS997 p86) defnu o teste M utlzando o método do quocente de verossmlhanças e pressupondo que os vetores de médas dos grupos são desconhecdos As hpóteses a serem testadas são: H : 0 Σ Σ Σ com S ˆ µ X Σˆ e j j H : Σ Σ j j com Σˆ j S j e j j ˆ µ X Seja n a dmensão total da amostra v n os graus de lberdade assocados a cada grupo S a matrz de covarânca do grupo e S a matrz de covarânca total O teste M de Box é defndo da segunte manera: M ( n I) Sc ln v lns () I onde: n I n dmensão total da amostra; (3) n S n I S é a matrz de varânca e covarânca comum (4) c Segundo Res (997) Box sugeru duas aproxmações para o teste M A prmera é uma aproxmação pela dstrbução χ ; dada por: M C χ (5) K( K )( I) PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

28 7 sendo dferentes K 3K C 6( K )( I ) I v n I para grupos com tamanhos de amostras E ( K 3K )( I ) C para grupos com tamanhos de amostras guas 6( K ) In Aconselha-se utlzar essa aproxmação quando as dmensões dos grupos são superores a 0 e o número de varáves e de grupos nferor a 6 Onde : A segunda manera é uma aproxmação pela dstrbução F; desgnada por: M a v v v 0 F ( v ) v 0 (6) a C a ( )( ) k k ( ) ( ) 6 I I v n I ( )( I ) K K v v e v0 a a Aconselha-se utlzar essa aproxmação em todas as outras stuações 33 Teste de Igualdade de Médas para K Grupos (Oneway MANOVA) Na análse de varânca multvarada (MANOVA) a hpótese nula a ser testada é a gualdade de médas para um conjunto de p varáves smultaneamente As hpóteses a serem testadas são as seguntes : PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

29 8 µ H 0 : µ µ µ com µ µ I Todos os grupos têm µ k vetores de médas guas; dferentes H µ µ com j Pelo menos dos grupos têm vetores de médas : l j Assm como no caso unvarado pode-se fazer um quadro para análse de varânca multvarada Tabela : Análse de varânca multvarada Causas de Varação Graus de lberdade Soma de Quadrados e Produtos Tratamentos I - B Resíduos n - I W Total n - T BW Onde: X X I nj n j J n X X j vetor de médas amostras para todas as observações; (7) j J vetor de médas amostras para o grupo ; (8) n ' B n X X X X matrz das somas dos quadrados e produtos cruzados I entre os grupos; (9) PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

30 9 n W X I j j X X j X ' matrz das somas dos quadrados e produtos cruzados dentro dos grupos (0) O teste de sgnfcânca mas usado na análse de varânca multvarada é o Crtéro de Wlks ndcado pela letra grega Λ (lambda maúsculo) defndo pelo quocente do determnante da matrz das Somas de Quadrados e Produtos de Resíduos (W) e o determnante da matrz das Somas de Quadrados e Produtos Total (T) Logo Λ W B W () Duas dferenças mportantes se notam em relação à análse de varânca tradconal: - na análse tradconal antes de aplcar o teste F faz-se a dvsão das somas de quadrados pelo número de graus de lberdade; na análse multvarada essa dvsão não é feta; - no teste F a contrbução dos tratamentos va no numerador no teste Λ ela aparece no denomnador Para avalar a sgnfcânca do valor de Λ obtdo pode-se usar tabelas especas bastante extensas mas o mas comum é transformar o valor de Λ num valor correspondente de F e usar as tabelas de F conhecdas Para sso utlza-se a segunte fórmula: F Λ n I Λ I crt () Utlza-se a segunte estatístca tabelada : F tab F αv v PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

31 30 onde: v ( I ) e v ( n I ) são os graus de lberdade para F e α o nível de sgnfcânca do teste Obtdo o quadro de análse de varânca é precso se aplcar um teste de sgnfcânca semelhante ao teste F utlzado na análse tradconal Da mesma forma que na análse de varânca tradconal aceta-se a hpótese nula se F crt < F tab em caso contráro rejeta-se H 0 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

32 4 ANÁLISE DE PERFIS DE MÉDIAS No estudo de dados longtudnas um dos objetvos é fazer comparações entre os dversos componentes dos perfs médos de respostas Para tanto utlza-se a análse de perfs de médas que é uma técnca bastante dfundda na lteratura estatístca Sob o enfoque multvarado esta técnca é uma dervação da técnca de análse de varânca multvarada (MANOVA) onde as hpóteses a serem testadas bascamente são aquelas menconadas na seção ( ) 4 Análse Multvarada de Perfs A análse multvarada de perfs é uma das técncas estatístcas utlzadas para analsar observações provenentes de expermentos com meddas repetdas Esta técnca fundamenta-se no número de undades expermentas como tamanho da amostra enquanto o procedmento unvarado de análse de perfs utlza o número total de observações Segundo Andrade e Snger (986) duas desvantagens estão assocadas a abordagem multvarada: a necessdade de observações completas e o pequeno poder atrbuído aos testes Desta forma o procedmento unvarado é mas precso que o multvarado Por outro lado a solução unvarada exata é mas exgente no que se relacona com a estrutura de covarânca entre as observações dentro de cada undade expermental Quando o padrão de covarânca exgdo não estver satsfeto nem de forma aproxmada pode-se utlzar as técncas de análse multvarada pos este tpo de solução é aplcável para uma matrz de varâncas e covarâncas (Σ) qualquer A únca exgênca do procedmento multvarado é que Σ deve ser comum a todos os tratamentos Os procedmentos unvarado e multvarado exgem a suposção de que as componentes aleatóras do erro devem segur uma dstrbução normal Danford et al (960 apud CASTRO997 p53) afrmam que os dos procedmentos unvarado e multvarado são assntotcamente equvalentes para PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

33 3 tamanhos de amostras encontrados na prátca devdo às estmatvas na análse unvarada convenconal serem mas poderosas que na análse multvarada desde que estejam satsfetas as suposções sobre a matrz de varânca e covarânca pos as estmatvas da análse unvarada baseam-se em um número maor de graus de lberdade do que a análse multvarada É mportante observar que a técnca de análse multvarada de perfs só é aplcável em stuações onde o número total de observações menos o número de tratamentos é maor ou gual ao número de dados longtudnas menos um sto é n I K Esta condção se faz necessára para que a matrz das somas de quadrados e produtos cruzados de erro assocada aos efetos dentro de sujetos seja não sngular com probabldade 4 Modelo Matemátco para Análse Multvarada de Perfs Como na análse de varânca unvarada a análse multvarada de perfs pode ser representada por um modelo matemátco Este modelo pode ser usado para comparar a nfluênca de dferentes tratamentos no comportamento de varáves provenentes de estudos longtudnas Ao tratar-se de dados longtudnas deve-se consderar a exstênca de uma possível correlação entre as observações devdo ao fato de as meddas serem realzadas em uma mesma undade expermental e desta forma a aplcação de modelos clásscos de análse de varânca e regressão não é aproprada Segundo Andrade e Snger (986) o modelo estatístco utlzado na análse multvarada de perfs talvez seja o mas smples dentre aqueles usualmente adotados para a análse de dados longtudnas Neste modelo pode-se representar o conjunto de todas as observações na forma matrcal: PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

34 33 ( ) n n k n n n k k n n n k k k n y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Y ' ' ' ' ' e o modelo lnear para a análse multvarada de perfs consderando um estudo balanceado e completo pode ser representado por: ) ( ) ( ) ( ) ( x k n x n x k X Y E β (3) Em que: ( ) T n y y y Y é uma matrz n sendo cada j y o perfl ndvdual para a j- ésma undade amostral da subpopulação ; I X um vetor de uns com número de lnhas gual ao número de undades amostras na subpopulação ; ( ) T µ µ µ β tem dmensão k e cada µ corresponde ao perfl médo da - ésma subpopulação E a matrz X é representada por: n n n n x X L M M M M L L ) ( é uma matrz de especfcação (planejamento) e β µ µ µ µ µ µ µ µ µ β ' ' ' ) ( k x k M L L M M PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

35 34 é uma matrz de parâmetros composta por vetores que defnem a estrutura de varação do comportamento médo da resposta Neste caso a j-ésma lnha da matrz de parâmetros β representa o vetor (perfl) médo de respostas para as undades expermentas do -ésmo tratamento (I ) Para efetos de nferênca supõe-se que os perfs de resposta ' y j sgam dstrbuções normas k-varadas e que as matrzes de varâncas e covarâncas correspondentes são todas guas e seguem a forma geral σ σ σ M M σk σk L σk onde dstntas e avalação σ j é a covarânca entre as observações meddas em condções de avalação σ é a varânca das observações meddas na mesma condção de A fm de facltar a nterpretação da análse baseada no modelo (3) pode-se consderar a Fgura que corresponde à representação gráfca dos perfs médos observados de resposta em um caso partcular com I 4 tratamentos e K 3 condções de avalação 5 Respostas médas Trat Trat Trat 3 Trat Condções de avalação (Tempo) Fgura : Representação gráfca genérca dos perfs médos de resposta PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

36 35 Relatvamente à confguração da Fgura os objetvos da análse de perfs de médas foram apresentados na seção ( - ) e podem ser traduzdos através das seguntes hpóteses: H () 0 : os perfs médos de resposta correspondentes aos dversos tratamentos são paralelos não exste nteração Tratamentos x Condções de Avalação; H () 0 : os perfs médos de resposta correspondentes aos dversos tratamentos são concdentes não exste efeto de tratamentos; H (3) 0 : os perfs médos de resposta correspondentes aos dversos tratamentos são paralelos ao exo das abscssas não exste efeto das condções de avalação expressas por: Em termos dos parâmetros do modelo (3) as hpóteses podem ser ) Perfs Paralelos ( ) H 0 µ µ : µ ( k ) µ µ M 3 µ k µ µ µ ( k) µ µ M 3 µ k µ µ L µ ( k µ µ 3 M ) µ k Na ausênca de nteração quando não se rejeta () H 0 defne-se as seguntes hpóteses: ) Perfs Concdentes ( ) H 0 : µ µ M µ k µ µ M µ k L µ µ M µ k 3) Perfs Horzontas ( 3) H 0 : µ µ M µ µ µ M µ L µ µ M µ k k k PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

37 36 Sob a abordagem multvarada as hpóteses já apresentadas podem ser expressas na forma de hpótese lnear geral: H : DβU 0 (4) em que D e d U são matrzes conhecdas em que os postos são respectvamente u d e u A matrz D é responsável pelas comparações das respostas entre as undades amostras sto é relaconada às comparações entre as respostas médas das dferentes subpopulações e a matrz U está relaconada às comparações ntraundades amostras ou seja ao longo das dferentes condções de avalação Deste modo podemos reescrever as hpóteses H 0 () H 0 () e H 0 (3) na forma lnear geral Essas matrzes não são determnadas de modo únco Para as hpóteses de nteresse pode-se defn-las como: e H () 0 : D ( ) U k ( k ) H ( ) 0 : D D U k e H *( ) 0 : D D U I k H ( 3) T 0 : D U U e H *( 3) 0 : D I U U Pode-se obter estatístcas de testes para a hpótese lnear geral a partr de város crtéros Estas estatístcas geralmente são funções das raízes característcas da matrz [ D' ] Dβˆ U BW onde B U βˆ D' D( X' X) ˆ ' com β ( X' X) X' Y é a matrz de somas de quadrados e produtos cruzados devdo à hpótese nula e W U' Y' [ I X( X' X) X' ]YU é a matrz da soma de quadrados e produtos cruzados PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

38 37 devdo ao erro O estmador βˆ é o estmador de mínmos quadrados ou de máxma verossmlhança de β Segundo Morrson (990) a análse de Perfs pode ser trabalhada com três hpóteses assocadas com o grupo de meddas repetdas onde testa uma análse de varânca smples de modelo msto Como no caso de um únco grupo essa aproxmação é estrtamente válda só nas condções em que os resíduos dentro de uma undade expermental tenham a mesma varânca e uma correlação comum para todos os pares Consderando-se que os resíduos devem ser multnormalmente dstrbuídos para se realzar o teste esta exgênca nclu como um caso especal o modelo convenconal com resíduos ndependentes Por essas razões Greenhouse e Gesser (959 apud MORRISON990 p94) nvestgaram a análse de perfl de varânca debaxo da suposção de dstrbução multnormal dos resíduos com uma matrz de covarânca geral e propuseram uma análse aproxmada de varânca e testes conservadores " para as dferenças de resposta e a hpótese de paralelsmo cujo verdadero nível α não pode exceder alguns valores especfcados Tabela 3 - Análse de varânca para meddas repetdas Causas de Varação Soma de quadrados Graus de lberdade Quadrado Médo Respostas SQ K SQ / K ( ni) Tratamentos SQ I - SQ / I Condções de avalação Respostas x Tratamentos Condções de avalação x respostas (sem tratamento) SQ 3 n I SQ 3 / n I SQ 4 (K )(I ) SQ 4 /(K )(I ) SQ 5 (K )(n - I) SQ 5 /(K )(n - I) Total SQ 6 nk - F SQ SQ 5 ( n I) SQ ( I) SQ 3 ( n I) SQ ( I ) SQ 4 5 Graus de lberdade conservados n I I n I PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

39 38 Os testes são baseados em certa aproxmação da dstrbução das somas de quadrados para um modelo multnormal arbrtáro As ses somas de quadrados são calculadas utlzando-se as seguntes fórmulas: k SQ G k n K G nk SQ C K n SQ I G nk n 3 R j C k I j k I n (5) (6) (7) G SQ (8) SQ k Tk S S 4 I K n nk 5 S6 S S S3 S4 (9) SQ 6 k n K I j x jk G nk (0) Greenhouse e Gesser (959 apud MORRISON990 p94) mostraram que quando a hpótese de mesmo efeto de resposta é verdadera o teste estatístco F ( n I) S S tem aproxmadamente dstrbução F com graus de lberdade ( )ε 5 K e ( K )( n I)ε e onde a hpótese de paralelsmo for verdadera dstrbução F com graus de lberdade ( )ε K e ( )( n I)ε K ( n I) S ( I ) S 4 5 tem Onde ( K ) K ( σ σ ε d ( σrs K σr K σ ) ) sendo calculado para os elementos σ rs da matrz de varânca e covarânca populaconal onde σ d é a méda dos k elementos da dagonal prncpal σ é a méda de todas as varâncas e covarâncas e σ r é a méda dos elementos das r lnhas O efeto de permtr a estrutura de covarânca geral é o de reduzr os graus de lberdade para o prmero e o tercero teste pelo fator ε Entretanto os elementos da Σ necessára para o cálculo de ε não são conhecdos na prátca e a estmação de ε PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

40 39 pela matrz de varânca e covarânca amostral pode ntroduzr outra ncerteza na aproxmação da análse de varânca Greenhouse e Gesser (959 apud MORRISON990 p94) mostraram que ε deve satsfazer ε > para qualquer k matrz de varânca e covarânca e então os graus de lberdade para os testes podem ser menores que e n I I e n I respectvamente Devdo a sso estes testes são chamados de testes conservatvos porque eles são baseados na máxma redução dos graus de lberdade 43 Alguns Crtéros de Teste para a Análse Multvarada de Perfs Dentre as estatístcas de testes dsponíves no contexto multvarado as mas dfunddas são as obtdas através dos prncípos da Unão-ntersecção de Roy e da Razão de verossmlhança de Wlks Anda outros dos testes mportantes devdo sua aplcação são o Crtéro de Hotellng - Lawley e o Crtéro de Plla 43 Unão-ntersecção de Roy O crtéro de Roy baseado na metodologa da unão-ntersecção propõe como valor crítco a maor raz característca de θ onde ( ) θ λ λ e λ é a -ésma raz característca de BW θ s max( θ ) Uma aproxmação para a dstrbução dessa estatístca é dada por: onde v max( k q) θ F ( r v q) v k é o número de condções de avalação q é o número de comparações ndependentes e r é o número de graus de lberdade do erro Neste caso tem-se v graus de lberdade para o numerador e de lberdade para o denomnador r v q graus PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

41 40 43 Crtéro de Wlks O crtéro de Wlks obtdo através da razão de verossmlhança é defndo como: ( ) θ Λ s onde ) mn( d u s ou s é o número de raízes característcas não-nulas A dstrbução Λ de Wlks não se encontra tabelada mas pode ser aproxmada à dstrbução F ou à dstrbução χ Duas das possíves aproxmações são: ( ) K I F K n K K I n Λ Λ ) ( ou ( ) ( ) ( ) ( ) I K I K n χ Λ ln onde p é o número de varáves n é o número de ndvíduos e k o número de grupos Podem também ser utlzadas em determnadas stuações as seguntes dstrbuções exatas: Tabela 4 - Dstrbução da estatístca Λ Nº de varáves Nº de grupos Dstrbução amostral para dados normas multvarados K I ( ) Λ Λ I n I F I I n K I ( ) Λ Λ ) ( ) ( I n I F I I n K I ( ) Λ Λ K n K F K K n K 3 I ( ) Λ Λ ) ( K n K F K K n PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

42 4 433 Crtéro de Plla A estatístca de Plla pode ser defnda como P s Devdo à complexdade da dstrbução exata de P utlza-se sua aproxmação assntótca dada por: n s P F s m s P v θ [ ( m s ); s( n s )] onde s mn( u d) ou s é o número de raízes característcas não-nulas; e I K m e n n I K 434 Crtéro de Hotellng-Lawley A estatístca de teste de Hotellng-Lawley também é conhecda como Traço de Hotellng-Lawley é dada por T s θ ( θ ) Uma aproxmação para a dstrbução dessa estatístca é defnda por: ( sn' ) T F[ s ( m' s ) ( sn' ) ] s( m' s ) onde s mn( u d) ou s é o número de raízes característcas não-nulas; m [ u d ] ' ' e n ( n I u ) 44 Algumas Consderações sobre os Crtéros de Teste para a Análse Multvarada de Perfs Segundo Ferrera (996) mutos autores recomendam utlzar o crtéro de Wlks como referênca por se tratar de um teste baseado na razão de verossmlhança Outros recomendam que a hpótese nula deva ser rejetada se pelo menos três dos quatro crtéros forem sgnfcatvos em um nível nomnal de sgnfcânca prevamente adotado PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

43 5 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS Suponha que três escalas A B e C de um nventáro que mede determnadas attudes maternas que foram admnstradas às mães que partcpam em um estudo do desenvolvmento da crança Como uma parte da nvestgação cada mãe tnha sdo atrbuída a uma de quatro classes sóco-econômcas Os dados para esse exemplo hpotétco retrado de Morrson (990) podem ser observados na Tabela 5 Tabela 5 Observações dos perfs Classe Escala A B C Subtotal Tk Tk T3k T4k G PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

44 43 A partr dos dados da Tabela 3 determnou-se prmeramente o vetor de médas geral sto é a méda de cada escala consderando-se todas as classes socas Para tanto utlzou-se a equação () em X X Depos determnou-se os vetores de médas amostras para cada escala (subpopulação) dentro das classes (condções de avalação) Equação também encontrada em () X X X X 5 4 X X X X Logo após determnou-se as matrzes de varânca e covarânca para as escalas Usou-se a Equação () de PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

45 44 ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) S 3 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

46 45 S ( ) ( ) ( ) A partr das matrzes de varânca e covarânca de cada classe determnouse a matrz de varânca e covarânca amostral cuja fórmula também está referda em () de S 0 ( S S S ) 3 S4 S S O passo segunte é a verfcação do pressuposto de normaldade multvarada que para sua verfcação utlzou-se o gráfco Q-Q multvarado Prmeramente calculou-se as dstâncas de Mahalanobs entre dos vetores de observações equação () e em seguda ordenou-se essas dstâncas por ordem j 0 5 crescente e então calculou-se as probabldades acumuladas p() j para n j PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

47 46 cada um dos valores anterores e desta forma encontrou-se dstrbução χ ; cada percentl na Tabela 6 Valores encontrados para os pares ordenados j d () j p () j p ()00 j χ E fnalmente representou-se grafcamente os pares ordenados PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

48 47 Qu-quadrado Dstânca s Fgura Gráfco Q-Q Conforme a Fgura verfca-se que os dados seguem uma dstrbução normal multvarada pos a dstrbução das observações se aproxma da lnha reta ndcando que estão aproxmadas de uma dstrbução normal multvarada O passo segunte é a verfcação da gualdade de matrzes de varânca e covarânca Para verfcar este pressuposto devem ser testadas as seguntes hpóteses: H 0 T : Σ Σ Σ I com Σˆ S e n µ ˆ X H : Σ Σ j j com Σˆ j S j e µ ˆ X Para a realzação do teste M utlzou-se a equação () (4): Determnou-se a matrz de varânca e covarânca comum conforme equação n S n S n 3 S3 n 4 S4 S c ( ns n S n 3S3 n 4S n n n n n 4 ) PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

49 48 S c S c Encontrada essa matrz calculou-se seu determnante e o logarítmo natural deste determnante: S c 5844 ln S c Após determnou-se a quantdade: I v ln S v lns v lns v lns v lns 4 I v ln S 7lnS 4lnS 3lnS 3lnS E por fm calculou-se o valor de M necessáro para se efetuar o teste: 3 ( n k) ln S v lns M c k j j j 4 (6): Com este valor fez-se uma aproxmação à dstrbução F conforme equação Onde : n ; K 3 e I 4 K 3K C ( )( ) 6 K I I v n I a C PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

50 49 a Logo ( )( ) K K 6( I ) I v ( n I) ( )( I ) K K v v 8 e v a a F c M a v v v e F 57 F (v v0 ) (848) Pelo teste M de Box pode-se conclur que as matrzes de varânca e covarânca para os k grupos não dferem sgnfcatvamente (são guas) ao nível de 005 de sgnfcânca Como as pressuposções à ANOVA foram satsfetas realzou-se o teste de gualdade de médas para K grupos (Oneway MANOVA) Onde as hpóteses a serem testadas são: µ H 0 : µ µ µ com µ µ I Todos os grupos têm µ k vetores de médas guas; H µ µ com j Pelo menos dos grupos têm vetores de médas : j dferentes A análse de varânca multvarada fo realzada conforme a Tabela (0): Prmeramente realzou-se o cálculo para determnar a matrz W equação PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

51 50 ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) W 3 PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

52 5 W ( ) ( ) ( ) n W Xj X X j X W W W3 W4 I J ' () Em seguda determnou-se a matrz B conforme equação (9): B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) B B B B3 B () E também determnou-se a matrz T: T W B PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

53 T Contnuando a análse dos dados fo realzada uma análse multvarada de perfs de médas As hpóteses a serem testadas são as seguntes: H () 0 : os perfs médos de resposta correspondentes as dversas escalas são paralelos não exste nteração escalas x classe socal; H () 0 : os perfs médos de resposta correspondentes as dversas escalas são concdentes não exste efeto das escalas; H (3) 0 : os perfs médos de resposta correspondentes as dversas escalas são paralelos ao exo das abscssas não exste efeto das classes socas A segunte análse de perfs segue o modelo da Tabela 7 Tabela 7 : Análse de varânca do perfl para o exemplo Causas de Varação Soma de Quadrados Graus de lberdade Quadrado Médo F Graus de Lberdade conservados F tab (a005) Escalas (B) ; Classes (A) ; Condções de avalação (dentro das classes) Escalas x Classes (A*B) Condções de Avalação X Classes (dentro das classes) ; TOTAL Os cálculos das ses somas de quadrados seguem abaxo conforme equações (5; 6; 7; 8; 0) respectvamente: SQ SQ 3 8 [( ) ( ) ( ) ] ( 966) ( 46) ( 6) ( 68) ( 0) 38 ( 966) PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

54 53 [( 57) ( 60) ( 3) ( 30) ] ( 46) ( 6) ( 68) ( ) 5943 SQ SQ 4 [( 44 ) ( 60 ) ( 58 ) ] [( 69) ( 76) ( 7) ] ( 5) ( 56) ( 60) [( ) ( ) ( ) ] ( 996 ) SQ SQ 6 ( 9) ( 0) ( ) ( 966) [ ] Pela análse de perfs na Tabela 7 pode-se conclur que os perfs médos de resposta correspondentes aos dversos tratamentos são paralelos não exste nteração escala x classes socas Aceta-se H 0 () pos F 05 < F 3 9 ; c tab Para a segunda hpótese analsada H 0 () em nível de 005 de sgnfcânca pode-se conclur que os perfs médos de resposta correspondentes às dversas escalas não são concdentes sto é exste efeto das escalas Rejeta-se H 0 () F 6 88 > F 4 54 ; c tab Para a tercera hpótese H 0 (3) em nível de 005 de sgnfcânca pos pode-se conclur que os perfs médos de resposta correspondentes às dversas escalas não são paralelos ao exo das abscssas exste efeto das classes socas Rejeta-se H 0 (3) sgnfcânca pos F > F 3 68 c tab em nível de 005 de Estes resultados também podem ser verfcados com auxílo do gráfco de perfs de médas a segur: Fgura 3: Perfs médos de attudes maternas conforme classe sóco-econômca PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

55 54 Na Fgura 3 tem-se a representação gráfca dos perfs médos observados em três escalas de attudes maternas (A B C) e quatro tpos de classes socoeconômcas (; ; 3; 4) Observa-se que as classes soco-econômcas parecem dferr a classe A parece dferr das classes B e C Anda pode-se observar que a prmera escala dfere das três restantes e a segunda e tercera não parecem ser dferentes e a quarta é dferente das demas 5 Aplcação dos Métodos com Saídas do Software Statstca 70 Utlzando-se o programa Statstca para realzar o exemplo anteror os seguntes passos devem ser efetuados: () Ao ncar-se o programa escolhe-se na barra de ferramentas em Statstcs a opção ANOVA conforme mostra a janela abaxo: Fgura 4 Caxa de seleção da análse de varânca PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

56 55 () Ao clca-se em ANOVA abrrá a janela General ANOVA/MANOVA Escolhe-se em Type of analyss a opção Repeated measures ANOVA e em Specfcaton method a Analyss syntax edtor conforme Fgura 5: Fgura 5 Caxa de seleção para especfcação do método (3) A segur clca-se no botão OK e uma janela como mostrado abaxo (Fgura 6) aparecerá: Fgura 6 Caxa de seleção para especfcação dos parâmetros na análse de varânca multvarada PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

57 56 (4) Então selecona-se na Fgura 6 Specfcatons e aparecerá a tela conforme a Fgura 8 e nela selecona-se varable onde aparecerá a caxa para a seleção das varáves dependentes (no caso são as classes socas B B e B3 representando as classes A B e C respectvamente) como mostrado na Fgura 7: Fgura 7 Caxa de seleção das varáves (5) Após seleconar as varáves clca-se em OK e preenche-se o quadro MAN (Fgura 8) as escalas (GROUPS A 3 4) o DESIGN (escalas A) as somas de quadrados (SSTYPE ) as meddas repetdas (REPEATD B 3) e o (WDESIGN B); conforme mostrado a segur: Fgura 8 - Caxa de seleção para análse de varânca multvarada PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

58 57 (6) Clca-se em OK (Run) e aparecerá a segunte janela: Fgura 9 Caxa de seleção para os efetos da análse de varânca multvarada (7) Se se clca em All effects na Fgura 9 rão aparecer os resultados da análse de varânca multvarada mostrados abaxo que conferem com a análse apresentada na Tabela 7(ver p59) Effect Intercept A Error B B*A Error Repeated Measures Analyss of Varance (Sheet4 n EXEMPLOstw) Sgma-restrcted parameterzaton Type II decomposton SS Degr of MS F p Freedom Fgura 0 Caxa com os resultados da análse PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

59 58 (8) Se se clca na opção More results mostrada na Fgura 9 rá aparecer a segunte caxa de seleção: Fgura - Caxa de seleção das análses (9) Na caxa de seleção ndcada na Fgura pode-se seleconar a gua Summary onde aparece o botão Test all effects e também se consegurá os resultados do passos (6) e (7) Se se seleconar a gua Matrx a segunte janela aparecerá: Fgura Caxa de comando para obtenção das matrzes PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

60 59 (0) Para se obter a matrz de varânca e covarânca clca-se na Fgura em Covarances como ndcado acma Após rá aparecer os seguntes resultados: Fgura 3 Caxa de resultados da matrz de varânca e covarânca A matrz em destaque é a matrz de varânca e covarânca que confere com os resultados encontrados anterormente () Para encontrar a matrz W (matrz das somas dos quadrados e produtos cruzados dentro dos grupos) clca-se em Error SS no sub-tem Between effects na Fgura Feto sso Ter-se-á matrz W que também confere com a matrz encontrada anterormente(ver p58) Sendo a segunte: Fgura 4 Caxa de resultados da matrz das somas dos quadrados e produtos cruzados dentro dos grupos () Da mesma forma pode-se encontrar a matrz B (matrz das somas de quadrados e produtos cruzados entre os grupos) Para sto na Fgura basta clcar em Effect SSCP s também no subtem Between effects Após este procedmento aparecerá a matrz B que confere com a matrz anterormente encontrada (ver p58) Cujo resultado é mostrado a segur: PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

61 60 Fgura 5 Caxa de resultados da matrz das somas dos quadrados e produtos cruzados entre os grupos (3) A matrz T que é a matrz Total pode ser encontrada clcando-se na Fgura em Devaton SSCP no subtem Between desgn Aparecendo o segunte resultado: Fgura 6 Caxa de resultados da matrz total (4) Na gua Summary no sub-tem Wthm effects você pode encontrar os valores de alguns crtéros de teste para análse multvarada de perfs clcando no botão Multv Tests Você pode seleconar mas de um crtéro conforme Fgura 7: Fgura 7 Caxa de seleção para os testes multvarados PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

62 6 (5) Ao realzar o passo (4) os resultados dos testes aparecerão conforme mostra a Fgura 8 abaxo: Effect B B*A Multvarate tests for repeated measure: DV_ (Sheet4 n EXEM Sgma-restrcted parameterzaton Type II decomposton Test Value F Effect Error p df df Wlks Plla's Hotellng Roy's Wlks Plla's Hotellng Roy's Fgura 8 Caxa de resultados para os testes multvarados Pode-se observar que os resultados destes testes conferem com os encontrados na Tabela 7(ver p59) Pode-se conclur que não exste nteração (A*B) entre escalas e classes socas (pos p>005 para todos os crtéros); e que exste efeto das classes socas (pos p<005 para todos os crtéros) (6) Para realzar as comparações múltplas selecona-se a gua Post-hoc como ndcado na caxa de seleção segunte: Fgura 9 Caxa de seleção para as comparações múltplas PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory

63 6 (7) Como pela análse de varânca rejetou-se a hpótese de nteração (A*B) Aqu realzou-se o teste Tukey HSD somente para efetos dentro das escalas (A) e dentro das classes socas (B) Para sto deve-se seleconar na caxa de seleção mostrada no passo (6) os efetos A e B na seta ao lado da opção Effect Fgura 9 Os resultados destas análses são mostrados respectvamente nas Fguras 0 e a segur Cell No 3 4 Tukey HSD test; varable DV_ (Sheet4 n EXEM Probabltes for Post Hoc Tests Error: Between MS 3496 df 7000 A {} {} {3} {4} Fgura 0 Caxa de resultados para as comparações múltplas entre as classes sóco-econômcas Cell No 3 Tukey HSD test; varable DV_ (Sheet4 Probabltes for Post Hoc Tests Error: Wthn MS 543 df B {} {} {3} B B B Fgura Caxa de resultados para as comparações múltplas entre as escalas de attudes maternas (8) O gráfco de perfs de médas pode-se obter na gua Means Fgura clcando-se em Plot como o ndcado na caxa de seleção: Fgura Caxa de seleção para a plotagem dos gráfcos de perfs de médas PDF crado com versão de teste do pdffactory Para comprar acesse wwwdvertrecombr/pdffactory