Como Construir Modelos Empíricos

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1 Unversdade Tecnológca Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca - PPGEM Como Construr Modelos Empírcos Prof a Danele Tonolo Das F. Rosa daneletdas@utfpr.edu.br

2 Sumáro Um modelo para =f(t) Análse da varânca Intervalos de confança Sgnfcânca estatístca da regressão Um novo modelo para =f(t) Falta de ajuste e erro puro Correlação e regressão

3 Consderando a varação do rendmento da reação com a temperatura que dscutmos na Aula3. Tabela 3. Resultados de um planejamento fatoral para estudar o efeto da temperatura e do catalsador sobre o rendmento de uma reação. Ensao Temperatura ( 0 C) Catalsador Rendmento (%) Méda 40 A A B B Os rendmentos médos observado com o catalsador A são 59%, a 40 0 C, e 90% a 60 0 C. Colocando esses dos pares de valores num gráfco, vemos que eles são compatíves com um número nfnto de funções.

4 (a) Dados dos pontos, podemos passar por eles mutas funções dferentes. Na Aula3 o ajuste das respostas é feto a um modelo com uma parte lnear e também em termos de nteração, mas não há nenhuma garanta de que este seja o modelo correto.

5 Se fzermos mas três meddas em temperaturas ntermedáras e verfcarmos que o gráfco dos 5 pontos fca parecdo com o da Fg. (b), passaremos a ter mas confança no modelo lnear. (b) Padrão de pontos sugerndo uma função lnear.

6 (c) Padrão de pontos onde um modelo lnear não sera adequado. Planejamentos de dos níves consttuem apenas uma etapa ncal na nvestgação. Para conhecer melhor a superfíce de resposta, teremos de realzar expermentos num maor número de níves.

7 Um modelo para =f(t) Novo planejamento com a reação em cnco temperaturas gualmente espaçadas. Pelo gráfco desses valores, um modelo lnear parece mesmo o mas ndcado para descrever a varação do rendmento com a temperatura.

8 Rendmento da reação em função da temperatura. Dados da Tabela 5..

9 Lembrando que cada observação é afetada por um erro aleatóro, podemos representar o modelo por:, 0 T (5.) onde é o rendmento correspondente à temperatura T e é o erro aleatóro, 0 e são os parâmetros do modelo. Para determnar os valores de 0 e devemos ajustar a Eq. (5.) aos cnco pares de valores (, T ) da Tabela 5.. Isto é, temos que resolver um sstema de cnco equações, T T T 5, 5 onde cada equação contém um par de valores (, T ) = (rendmento, temperatura), e cuja ncógntas são 0 e.

10 Esse sstema pode ser representado de forma compacta por uma únca equação matrcal, onde A equação matrcal tem a grande vantagem de permanecer válda, não mporta quantas sejam as observações ou os parâmetros do modelo. Basta amplar as matrzes apropradamente. ε, β T T T 5... ε 0 β (5.a)

11 Resíduos dexados por um modelo lnear. Um resíduo é uma dferença entre um valor observado e a sua estmatva de acordo com o modelo: e. ˆ A melhor reta é a que mnmza o comprmento total dos segmentos vertcas (e ), sto é, localzar a reta de tal manera que a soma dos quadrados dos resíduos seja mínma (método: ajuste por mínmos quadrados ou análse de regressão).

12 Se na temperatura T o rendmento observado é e o rendmento prevsto pela reta de regressão é ˆ, o resíduo dexado pelo modelo é: e, (5.) ˆ em que ˆ b0 b T, sendo b 0 e b os coefcentes que defnem a localzação da reta, sto é, os estmadores de 0 e, para os quas queremos obter estmatvas numércas. Usando matrzes, podemos escrever ˆ b, onde ŷ e b são matrzes contendo respectvamente os valores prevstos pelo modelo e os estmadores dos parâmetros: ˆ ˆ ˆ... ˆ 5 e b b b 0 (5.3)

13 Como os valores de são conhecdos, os resíduos rão depender apenas dos valores que escolhermos para b 0 e b. No ajuste por mínmos quadrados, esses valores são aqueles que tornam o somatóro e o menor possível. Para que o valor de e seja mínmo, é precso que suas dervadas em relação a b 0 e b se anulem. e b 0 0 e 0, b (5.4a) (5.4b) De forma mas geral, vamos representar a varável ndependente (temperatura), por. A equação de regressão será b b. Substtundo em 5. e: ˆ 0

14 Dervando e gualando a zero: Elmnando o fator - e desdobrando todos os somatóros, temos um sstema de duas equações lneares em b 0 e b, que são chamadas equações normas: Isolando b 0 em (5.6a), obtemos. ˆ 0 b b e b b b e b b b e. 0 0 b b b nb, 0 n b b b b 0 ou (5.5a) (5.5b) (5.6a) (5.6b) (5.7)

15 Substtundo a ª destas expressões em (5.6b): Isolando b, temos fnalmente Que pode ser reescrta como ou, numa notação mas compacta:, b n b. n b n. n n b. b. xx x S S b (5.8) (5.9) e (5.0)

16 Exercícos 5., 5. e 5.3 Desenvolva a Equação 5.9 e mostre que ela é equvalente à equação 5.8. Mostre que t n Com a notação ntroduzda na Equação 5.0, como sera representado o desvo padrão amostral da varável? e t.

17 Podemos calcular os valores de b 0 e b resolvendo uma únca equação matrcal. Com os resultados do Exercíco 5., as equações normas (5.6a) e (5.6b) reduzem-se a t t (5.) b. Para resolver esta equação, devemos multplcá-la à esquerda pela nversa de t. Assm solamos o vetor b, cujos elementos são os estmadores: t t t b t t Ib t t b. t (5.) Se amplarmos as matrzes e adequadamente, teremos a solução geral para o ajuste de um modelo por mínmos quadrados, não mporta quantas sejam as observações ou quantos parâmetros sejam necessáros para o caracterzar.

18 Para que a solução exsta, porém, é precso que (a) A matrz( t ) - possa ser calculada, sto é, é precso que a matrz t não seja sngular. (b) Os modelos sejam lneares nos parâmetros, ou seja, eles não podem conter termos como b 0 ou b 0 b. Usando os dados da Tabela 5., podemos escrever t , e e t Substtundo estas matrzes na Eq (5.), chegamos ao sstema de equações lneares

19 5b 0 50b 50b b Cuja solução é Optando pela solução matrcal teríamos 0, 0, t E portanto, de acordo com a Eq. (5.), 0, b 0, e b 0,00 b,560. 0, 0,004 0, 384 0, ,00.,560 A equação ˆ b0 b nos dá uma estmatva da resposta obtda quando a varável ndependente assume o valo. Com os valore de b 0 e b, podemos escrever ˆ,00,560. (5.3)

20 Substtundo os valores de (temperaturas), obtemos os rendmentos prevstos de uma só vez: ˆ b 40 45,00 50, , 69,0 76,8. 84,6 9,4 Estes valores prevstos dexam, em relação aos rendmentos efetvamente observados, os resíduos e ŷ 60 6,, 70 69,0, ,8 0, 86 84,6,4 9 9,4,4 A próxma fgura mostra como a reta ajustada se stua em relação às observações.

21 Reta ajustada por mínmos quadrados aos dados da Tabela 5.. O modelo lnear é uma excelente representação.

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23 Exercícos

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26 Análse da varânca. abaxo

27 Decomposção do desvo de uma observação em relação à méda global,, na soma das parcelas ˆ e ˆ. Dferença entre o valor observado e o valor prevsto. Num modelo bem ajustado, essa ª parcela deve ser pequena. Representa o desvo da prevsão feta pelo modelo para o ponto em questão, ŷ, em relação à méda global,.

28 O próxmo passo é expressar esta comparação de desvos em termos quanttatvos. Elevando a Eq. 5.5 ao quadrado Pode-se demonstrar (Ex. 5.7) que o somatóro dos produtos é gual a zero, e portanto: Estas somas de quadrados de desvos costumam ser chamadas de somas quadrátcas (S.Q.) Uma parte da varação total das observações em torno da méda é descrta pela equação de regressão, e o restante fca por conta dos resíduos. ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ r R T SQ SQ SQ [S.Q. em torno da méda]=[s.q. devda à regressão]+[s.q. resdual]. (5.6)

29 Evdentemente, quanto maor for a fração descrta pela regressão, melhor será o ajuste do modelo, o que podemos quantfcar por meo da razão: R SQ SQ ˆ. R (5.7) T R é chamada de coefcente de determnação do modelo. O valor máxmo de R é, e só ocorrerá se não houver resíduo nenhum e portanto toda a varação em torno da méda for explcada pela regressão. Quanto mas perto de estver o valor de R, melhor terá sdo o ajuste do modelo às respostas observadas.

30 Exercíco 5.7 Substtua ˆ b em e mostre que esse somatóro é gual a zero. ˆ ˆ

31 A cada soma quadrátca está assocado um certo número de graus de lberdade, que ndca quantos valores ndependentes envolvendo as n observações,,..., n são necessáros para determná-las. Para a soma quadrátca dos n desvos em relação à méda, o número de graus de lberdade é (n-) e não n, porque a soma dos desvos é nula e sto consome um grau de lberdade. Para chegar ao número de graus de lberdade de SQ R, partmos da Eq. (5.4) e verfcamos que a soma devda à regressão é dada por (5.8) ˆ b. Como as varáves não são aleatóras, o somatóro está fxado pela matrz de planejamento empregada.

32 O valor de ˆ fca portanto completamente determnado por um únco número, o valor de b. Este, por sua vez, é uma varável aleatóra, já que depende das respostas obtdas expermentalmente. Estas consderações mostram que a soma quadrátca devda à regressão tem apenas um grau de lberdade. Como o número de graus de lberdade de SQ T é (n-), a soma quadrátca resdual deve ter (n-) graus de lberdade, para satsfazer a Eq. (5.6): v T v v n n. O lado dreto reflete o fato de que o nosso modelo tem apenas dos parâmetros, 0 e. R r,

33 No caso geral de um modelo de p parâmetros, o número de graus de lberdade da soma quadrátca resdual é dado pela dferença entre o número de observações e o número de parâmetros estmados p, sto é, v r =(n-p). Para contnuar tendo v T =(n-), o número de graus de lberdade da soma quadrátca devda à regressão tem de ser gual ao número de parâmetros menos um: v R =(p-). Os resultados para o caso partcular de um modelo de apenas dos parâmetros estão reundos na Tabela 5., que é chamada Tabela de Análse da Varânca (ou ANOVA Analss of Varance). Dvdndo as somas quadrátcas pelos seus respectvos números de graus de lberdade, obtemos as chamadas médas quadrátcas (MQ s).

34 Tabela 5. Tabela de análse da varânca para o ajuste de um modelo lnear com dos parâmetros Fonte de varação Soma Quadrátca ˆ N o de g. l. Regressão Resíduos n- ˆ Total n- Méda Quadrátca MQR SQ R SQr MQr n Tabela 5.3 ANOVA para o ajuste de um modelo lnear aos dados da Tabela5. Fonte de varação Soma Quadrátca N o de g. l. s Méda Quadrátca Regressão 608,4 608,4 Resíduos 6,4 3 6,4/3=,3 Total 64,8 4

35 Dentro de certas suposções, podemos dar às médas quadrátcas uma nterpretação estatístca, que nos permtrá submetê-las a testes e utlzá-las para calcular ntervalos de confança. No nosso exemplo, com as respostas da Tabela 5. e as prevsões dadas pela Eq. (5.3), obtemos na ANOVA os valores apresentados na Tabela 5.3. Substtundo na Eq. (5.7) os valores calculados para SQ R e SQ T, temos R 608,4 64,8 0,9896, O que sgnfca que 98,96% da varação total em torno da méda é explcada pela regressão. Para os resíduos fca apenas,04%.

36 A soma quadrátca resdual, SQ r, representa a parte da varação das respostas em torno da méda que o modelo não consegue reproduzr. Dvdndo-a por r, obtemos a méda quadrátca resdual, que é uma estmatva, com n- graus de lberdade, da varânca dos pontos em torno da equação de regressão, sto é, em torno do modelo ajustado. Essa estmatva pode ser nterpretada como uma medda aproxmada do erro médo (quadrátco) que cometeremos se usarmos a equação de regressão para prever a resposta correspondente a um dado valor. No nosso exemplo, temo s =,3, com 3 graus de lberdade (penúltma lnha da Tabela 5.3)

37 Exercíco 5.8 Parta da Equação 5.9 e mostre que b Sxx.

38 Intervalos de confança Como não exste medda sem erros, as respostas de expermentos repetdos sempre flutuarão. Levando ncerteza à determnação dos parâmetros e às prevsões fetas a partr do modelo, mesmo que ele seja o modelo correto. Vejamos então, como podemos quantfcar essa ncerteza e determnar ntervalos de confança para todos os valores estmados, fazendo algumas suposções sobre o comportamento dos erros.

39 Se o verdadero valor médo de é 0 +, devemos esperar que observações repetdas no mesmo ponto se dstrbuam smetrcamente em torno de 0 +, com desvos postvos sendo tão frequentes quanto desvos negatvos, de tal manera que a méda dos erros seja zero. Num dado os erros em se dstrburão com uma certa varânca, que em prncípo também vara com. Para fazer nossas deduções devemos admtr as hpóteses:. A varânca dos erros é constante ao longo de toda faxa estudada e gual a um certo valor. Esta hpótese é chamada homoscedastcdade das resposta observadas.. Os erros correspondentes a respostas observadas em valores dferentes da varável ndependente não são correlaconados [Cov(,j)=0, se j].

40 3. Os erros seguem uma dstrbução normal. Estas três hpóteses podem ser resumdas nas expressões: ou equvalente, N, Cov, j 0 N 0 0, Com estas suposções podemos determnar ntervalos de confança para os resultados do modelo. O coefcente angular da reta de regressão pode ser dado por (Exercíco 5.8): que é uma combnação lnear das varáves aleatóras, com coefcentes : S xx b e e Cov, 0 j b Sxx, (5.9) (5.9a) n... n Sxx Sxx.

41 Como por hpóteses os s, além de não serem correlaconados, têm varânca constante, podemos aplcar a Eq..4 e escrever Admtndo que o valor de s, a varânca resdual em torno da regressão, seja uma boa estmatva de, podemos obter uma estmatva do erro padrão de b fazendo a raz quadrada da Eq. (5.0) e substtundo por s:,... ) ( S S V S V S b V xx xx n xx n xx xx S. ) ( S xx b V ou, como. padrão de erro S xx s b (5.0) (5.)

42 Como estamos admtndo que os erros se dstrbuem normalmente, podemos usar a dstrbução de Student para testar a sgnfcânca do valor estmado para b : (5.) Note que o n o de graus de lberdade do valor de t é n-, que é o número de graus de lberdade da estmatva s, e consequentemente também do erro padrão. Com os valores numércos do nosso exemplo, a estmatva do erro padrão de b fca sendo o que nos leva ao ntervalo b tn erro padrãode b.,560 3,80,093,3 50 0,093, com 95% de confança. Já que os dos lmtes são postvos, o valor calculado de b é sgnfcatvamente dferente de zero, confrmando a exstênca de uma relação lnear entre os rendmentos observados e as temperaturas de reação. s S xx,66,,854,

43 Outros ntervalos de confança são obtdos da mesma manera. Partndo da expressão algébrca para b 0 (Eq.5.7) e segundo o mesmo procedmento usado para b : V ( b0 ) ns xx E daí à expressão para o erro padrão de b 0 : erro padrão de b, 0 s ns O erro padrão calculado com os dados do nosso exemplo é 4,665, o que nos leva ao ntervalo (5.5) b0 tn erro padrão de b0,00 3,84,665 6,044,3,644. xx. (5.3) (5.4)

44 O que sgnfca que há 95% de probabldade de que o verdadero valor do parâmetro 0 esteja entre -6,044 e 3,644. Como estes dos lmtes têm snas contráros, e como nenhum valor num ntervalo de confança é mas provável do que outro, pode ser que o verdadero valor de 0 seja zero. Em outras palavras, o valor b 0 =-,00 não é estatstcamente sgnfcatvo, e portanto não exste evdênca sufcente para mantermos o termo 0 no nosso modelo. Mesmo assm, mantemos o termo 0 para preservar a herarqua matemátca.

45 Exercíco 5.9 Sejam a e c duas combnações lneares das varáves aleatóras, a c Se V ( ) e Cov, 0 então Cova, c ac... a n c n. a c... a... c n n n n., j Use o resultado do Exercíco 5.8 e esta últma expressão para mostrar que a covarânca de e b é zero.

46 Quando construímos um modelo de regressão, nosso objetvo é obter uma relação que nos permta prever a resposta correspondente a um valor qualquer da varável ndependente, que chamaremos de a. No modelo que estamos adotando, essa relação é dada pela Eq. 5.4, ˆ b, a a Em que a estmatva é uma combnação lnear das duas varáves aleatóras e b. Sua varânca será dada por (Eq..4) V ŷ a V Vb Cov, b, ˆa a a Como a covarânca de e b é zero (Exercíco 5.9), esta expressão reduz-se a V V Vb. ˆa a

47 Substtundo as expressões para a varânca de uma méda (Eq..5a) e para a varânca de b (Equação 5.0): Substtundo mas uma vez por s, e fazendo a raz quadrada, obtemos fnalmente o erro padrão da estmatva Quando padrão de V ˆ o º termo dentro da raz se anula e o erro assume seu valor mínmo. À medda que nos afastamos desse ponto, em qualquer dreção, o erro aumenta. Quanto mas longe estvermos de as prevsões fetas a partr da regressão. a erro padrão de a, ŷ a n ˆ a s n a S xx. a. S xx a, (5.6) (5.7) ˆa mas ncertas serão :

48 Como sempre, usamos o erro padrão para defnr ntervalos de confança em torno do valor prevsto: erropadrãode ˆ. ˆ a tn a A Eq. (5.7) mostra que os lmtes do ntervalo varam com a posção ao longo do exo. Geometrcamente, eles determnam hpérboles acma e abaxo da reta de regressão. A Eq. (5.7) refere-se ao erro da estmatva da méda populaconal das respostas no ponto a. As respostas ndvduas se dstrbuem em torno dessa méda (que é 0 + a ) com varânca, como mostra a Eq. (5.9a). Se qusermos nos referr à prevsão de uma únca observação realzada no ponto a, precsamos acrescentar essa varânca.

49 Assm, podemos escrever erro padrão da prevsão de uma observação s n a, S xx (5.8) Que é uma amplação da Eq. (5.7). Para obtê-la, somamos à varânca da prevsão do valor médo. Da mesma manera, se estvermos nteressados na prevsão da méda de q observações termos erro padrão da prevsão da méda de q observações s q n a. S xx (5.9) Assm como nas outras estmatvas, podemos determnar ntervalos de confança com base na dstrbução t.

50 Também podemos usar matrzes para expressar o cálculo das ncertezas nas estmatvas dos parâmetros. Defnmos º a matrz de covarânca de b 0 e b : V b V Cov b0 Covb 0, b b, b V b 0 Pode-se demonstrar que esta matrz é dada smplesmente por. t V b (5.30) Esta equação se aplca ao ajuste por mínmos quadrados de qualquer modelo lnear nos parâmetros. Para o nosso exemplo, usamos a matrz ( t ) - e substtuímos a varânca populaconal pela estmatva s =,3: V b 0, 0, 0,,3 0,004 Trando a raz quadrada dos elementos da dagonal prncpal, chegamos aos erros padrão de b 0 e b.,73 0,43. 0,43 8,50 3.

51 Sgnfcânca estatístca da regressão Podemos usar as médas quadrátcas para testar se a equação de regressão é estatstcamente sgnfcatva. Quando =0, sto é, quando não há relação entre e, podese demonstrar que a razão entre as médas quadrátcas MQ R e MQ r segue uma dstrbução F: MQ MQ R r F, n, (5.3) onde e n- são os números de graus de lberdade da méda quadrátca devda à regressão e da méda quadrátca resdual, respectvamente.

52 Como a Eq. 5.3 só vale para =0, podemos testar esta hpótese nula usando o valor efetvamente calculado para MQ R /MQ r, e comparando com o valor tabelado de F,n-, no nível de confança desejado. Se verfcarmos que MQ R /MQ r > F,n-,devemos descartar a possbldade que =0. Teremos então evdênca estatístca sufcente para nos fazer acredtar na exstênca de uma relação lnear entre as varáves e, e quanto maor o valor de MQ R /MQ r, melhor. No nosso exemplo, precsamos do valor F,3, que pode ser ldo na Tabela D (Aula), na nterseção da coluna = com a lnha correspondendo a =3. No nível de 95% de confança, o valor procurado é 0,3. Nossa regressão será estatstcamente sgnfcatva se MQ R /MQ r > 0,3. Caso contráro, o valor de pode ser mesmo zero e não há relação entre as varáves.

53 Com os valores da Tabela 5.3 temos MQ R /MQ r = 608,4/,3 = 85,6, o que mostra que nossa equação é altamente sgnfcatva. Nem sempre uma regressão dada como sgnfcatva pelo teste F é útl para realzar prevsões. Se a faxa de varação coberta pelos fatores estudados for pequena demas, o efeto sobre a resposta pode fcar mascarado pela extensão do erro expermental. Como regra, consdera-se uma regressão como útl para fns de prevsão se o valor de MQ R /MQ r for, pelo menos dez vezes o valor do ponto da dstrbução F com o número aproprado de graus de lberdade, no nível de confança escolhdo.

54 Um novo modelo para =f(t) Anmado com os resultados obtdos o pesqusador resolve amplar a faxa de varação da temperatura e realzar mas 4 ensaos (30, 35, 65 e 70 0 C). Tabela 5.4 Varação do rendmento da reação em função da temperatura, na faxa C, com Catalsador A. Temperatura ( 0 C) Rendmento (%) Usando a Eq. (5.) para ajustar um modelo lnear aos nove pares desse novo conjunto de valores, obtemos ˆ 7,33,5. (5.3)

55 Tabela 5.5 Análse de varânca o ajuste de um modelo lnear aos dados da Tabela5.4. Fonte de varação Soma Quadrátca No de g. l. Méda Quadrátca Regressão 3.465, ,6 Resíduos 83,4 7 8,9 Total 4.98,0 8 A percentagem de varação explcada pelo modelo agora é 80,63%. Um valor razoavelmente alto, mas muto menos mpressonante que os 98,96% do exemplo anteror, que se lmtava à faxa C.

56 Ajuste de um modelo lnear aos dados da Tabela 5.4. (a) Os valores observados não estão bem representados por uma reta. (b) Consequentemente, a dstrbução dos resíduos não é aleatóra.

57 O valor de MQ R /MQ r é 9,4, enquanto F,7 =5,59, no nível de 95%. Isto ndcara que temos uma regressão sgnfcatva, mas o emprego do teste F pressupõe uma dstrbução normal dos resíduos e não é este o caso. Como o modelo lnear acaba de mostrar-se nsatsfatóro, vamos amplá-lo, acrescentando um termo quadrátco. Tentaremos modelar a nfluênca da temperatura sobre o rendmento com a equação (5.33), 0 onde representa a temperatura do -ésmo nível. O ajuste deste novo modelo aos valores observados também é feto por meo da Eq. (5.), mas as matrzes precsam ser expanddas:

58 Substtundo na Eq. (5.) os valores aproprados, obtemos fnalmente O que sgnfca que o nosso modelo quadrátco estma os rendmentos por meo da equação 9..., , 0 β, 0,065 7,99 58,4 b. 0,065 7,99 58,4 ˆ T T (5.34)

59 (a) Ajuste de um modelo quadrátco aos dados da Tabela 5.4. A concordânca é bem melhor do que na anteror (a). (b) Não parece haver um padrão na dstrbução dos resíduos (podemos empregar um teste F).

60 O valor de MQ R /MQ r sobe para 47,4. Já que a entrada do parâmetro no modelo transfere um grau de lberdade da méda quadrátca resdual para a méda quadrátca devda à regressão, o novo valor de MQ R /MQ r deve ser comparado com F,6 (5,4 no nível de 95%), e não mas com F,7. Esses resultados permtem conclur que agora temos um a ajuste altamente sgnfcatvo.

61 Falta de ajuste e erro puro Um exame cudadoso dos gráfcos dos resíduos deve ser consderado obrgatóro em qualquer stuação. Se o nosso expermento fornecer respostas em duplcata, podemos usá-las para obter uma estmatva do erro aleatóro. Tabela5.7 Varação do rendmento da reação em função da temperatura, na faxa C, com o catalsador A. Ensaos em duplcata. Temperatura ( 0 C) Rendmento (%) 4 0 Haverá resíduos, atrbuídos em parte, aos erros aleatóros

62 Veremos que a soma quadrátca resdual dexada pelo modelo pode ser decomposta em duas partes: uma causada pelos erros aleatóros, e outra devda à falta de ajuste do modelo. Esta segunda parcela pode ser reduzda aperfeçoando-se o modelo, a outra parte não. Consderando um caso geral, onde, para cada valor, tenham sdo determnadas n respostas, obtdas em repetções autêntcas. Para as repetções usaremos o índce j, assm uma resposta passará a ser representada por j (j-ésma resposta obtda para o -ésmo ensao. O número total de respostas em todo o expermento será gual à soma de todas as repetções: n=n.

63 Em cada nível o modelo dexará n resíduos, um para cada resposta repetda. Somando os quadrados de todos eles, em todas as repetções e em todos os níves, obteremos a soma quadrátca resdual nesse nível. Podemos escrever então, admtndo que exstam m níves dferentes da varável, as seguntes expressões: Soma quadrátca dos resíduos no nível : n SQ ˆ ; r j j Soma quadrátca resdual: SQ r m m SQ ˆ. r n j j

64 Cada resíduo ndvdual pode ser decomposto algebrcamente na dferença de dos termos: j ˆ j ˆ, (5.35) onde é a méda das respostas observadas no nível. Elevando ao quadrado esta equação e somando sobre todas as observações, teremos do lado esquerdo a soma quadrátca resdual, SQ r, como acabamos de ver. Do lado dreto fcaremos com as somas quadrátcas das duas parcelas, pos o somatóro dos termos cruzados se anula (Eq. 5.6 e Exercíco 5.7). Podemos escrever então: m n j m ˆ ˆ j n j j O º somatóro do lado dreto não tem nada a ver com o modelo, e portanto não depende das estmatvas ˆ, refletndo apenas a dspersão, em cada nível, das respostas repetdas j em torno de suas própras médas. m n j (5.36)

65 Esse termo, que nos dará uma medda do erro aleatóro, é chamado de soma quadrátca devda ao erro puro (SQ ep ). O º somatóro, ao contráro, depende do modelo, e será tanto maor quanto mas as estmatvas para um dado nível,, se desvarem da resposta méda correspondente,. ˆ Esse termo fornece uma medda da falta de ajuste do modelo às respostas observadas, sendo chamado por sso de soma quadrátca devda à falta de ajuste, SQ faj. A Eq pode ser lda assm: Soma quadrátca resdual S. Q. devda ao erropuro SQ SQ S. Q. devda à faltade ajuste r ep faj (5.36a) Dvdndo essas somas pelos seus números de graus de lberdade teremos médas quadrátcas, cujos valores remos comparar para avalar a falta de ajuste do modelo. SQ.

66 Em cada nível, os resíduos j que compõem SQ ep têm n - graus de lberdade. Fazendo o somatóro sobre todos os níves, obteremos o número de graus de lberdade da soma quadrátca devda ao erro puro: ep n n m, onde n é o número total de observações e m é o número de níves da varável. Sabemos que o número de graus de lberdade da soma quadrátca resdual é a dferença entre o número total de valores observados e o número de parâmetros do modelo, r =(n-p). Subtrando os graus de lberdade correspondentes a SQ ep teremos o número de graus de lberdade para a falta de ajuste: faj n p n m m p.

67 Note que ele é dado pela dferença entre o número de níves utlzados para a varável ndependente e o número de parâmetro do modelo. Para termos condções de testar se há falta de ajuste, o número de níves do nosso planejamento expermental precsa ser maor que o número de parâmetros do modelo que estamos querendo ajustar. Para uma reta, por exemplo, que é caracterzada por dos parâmetros, precsaríamos ter no mínmo três níves da varáves representada por, para que faj não se anulasse. Se tentássemos ajustar uma reta à resposta determnadas em apenas dos níves, ela passara obrgatoramente pelas médas das respostas em cada nível. Isso anulara SQ faj na Eq. 5.36a e reduzra a soma quadrátca resdual a uma soma quadrátca de erro puro, tonando mpossível descobrr qualquer falta de ajuste.

68 Com o desdobramento da soma quadrátca resdual nas contrbuções da falta de ajuste e do erro puro, a tabela de análse da varânca ganha duas novas lnhas e transforma-se na versão completa (Tabela 5.8). A méda quadrátca devda ao erro puro, MQ que não depende do modelo, uma estmatva da varânca para as respostas. A méda quadrátca deva à falta de ajuste, MQ ep faj m n m j n j n m j ˆ m também estma se o modelo for adequado. Caso contráro, o valor de MQ faj estmará mas a contrbução da falta de ajuste. Podemos então usar um teste F da razão MQ faj /MQ ep. p,,

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70 Voltamos agora aos dados em duplcata da Tabela 5.7. Ddatcamente, começamos usando a eq. Matrcal 5. para determnar a equação de regressão, e A reta de regressão determnada a partr destas matrzes é dada por ˆ 7,4,5. A Tabela 5.9 mostra a análse da varânca para o novo ajuste. A percentagem de varação explcada pela regressão (SQ R /SQ T =77,79%) não deve ser comparado com 00%, por causa da contrbução devda ao erro puro.

71 Como nenhum modelo pode reproduzr a soma quadrátca do erro puro, o valor máxmo aplcável é a dferença entre a soma quadrátca total e SQ ep. Neste caso, SQ T - SQ ep = 8.930,00-45,00 = 8.885,00, que corresponde a 8885,00/8930,00=99,50% da soma quadrátca total.

72 (a) Ajuste de um modelo lnear aos dados da Tabela 5.7. Os valores observados não são bem representados pela reta. A dstrbução dos resíduos não é aleatóra.

73 O valor da razão MQ R /MQ r é 56,03. Comparando com F,6 =4,49 (nível de 95%), este valor ndcara uma regressão sgnfcatva, se não fosse pela evdênca de falta de ajuste. Fato confrmado pelo alto valor de MQ faj /MQ ep : MQ MQ 76,94 5,00 Que é muto maor que F 7,9 =3,9. faj ep 55,39, Passamos a ajustar o modelo quadrátco (Eq e Eq.5.) 7,4 b 8,59, 0,07 ou ˆ 7,48,59 0,07 Os gráfcos do modelo quadrátco mostram um ajuste muto melhor do que os do modelo lnear..

74 (b) Com um modelo quadrátco a concordânca é bem melhor. Os resíduos agora parecem dstrbur-se aleatoramente.

75 A melhora é confrmada numercamente pelos valores da análse da varânca. Tabela 5.0 Análse da varânca para o ajuste de um modelo quadrátco aos dados da Tabela 5.7 Fonte de varação Soma Quadrátca No de g. l. Méda Quadrátca Regressão 8.87, ,80 Resíduos 58,40 5 3,89 F. Ajuste 3,39 6,3 Erro puro 45,00 9 5,00 Total 8.930,00 7 % de varação explcada: 99,35% % máxma de varação explcável:99,50

76 A dferença é grtante: o valor da razão MQ R /MQ r sobe para 4.435,80/3,89=.40,3, enquanto a razão MQ faj /MQ ep, que era 55,39, reduz-se a apenas 0,45, um valor não sgnfcatvo. Não há mas snal de falta de ajuste, e podemos determnar os ntervalos de confança para os parâmetros do modelo. Substtundo na Eq.5.30 pelo valor da méda quadrátca resdual, s =3,89, temos as estmatvas das varâncas dos parâmetros. Fazendo a raz quadrada, obtemos seus erros padrão e com eles escrevemos o resultado fnal do nosso ajuste: ˆ 7,4 8,59 0,07 7,650,30,003.

77 Exercícos

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79 Correlação e regressão Mutas vezes, na lteratura, os resultados de uma análse de regressão são dscutdos em termos da correlação da varável dependente com a varável ndependente. Faz sentdo porque a correlação é defnda para um par de varáves aleatóras, e na regressão somente a varável dependente é que é consderada aleatóra. No entanto, se esquecermos desse detalhe concetual, exstem algumas relações algébrcas entre correlação e regressão que vale a pena conhecer, nem que seja para esclarecer seu verdadero sgnfcado e suas lmtações.

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