UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E VETERINÁRIAS CAMPUS DE JABOTICABAL MATERIAL DIDATICO DO CURSO

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E VETERINÁRIAS CAMPUS DE JABOTICABAL MATERIAL DIDATICO DO CURSO ESTATISTICA EXPERIMENTAL: Com aplcaçoes em R Medcna Veternara º Semetre de 0 e-mal: genertp@fcavunespbr

2 CAPITULO INTRODUÇÃO AO CURSO; MEDIDAS DE POSIÇÃO; MEDIDAS DE DISPERSÃO SÍMBOLOS: CONJUNTO DE DADOS E DA SOMATÓRIA Conjunto de dados: Consdere uma varável aleatóra de nteresse representada pela letra maúscula Y e os valores específcos assumdos por esta varável aleatóra pelas letras mnúsculas Para dstngur um valor do outro, utlzamos um subscrto Por exemplo,,,, n Em geral, um valor típco da varável aleatóra será desgnado por e o valor fnal desta amostra por n, sendo que n representa o tamanho da amostra Uma notação compacta para representar a soma de todos os valores de uma varável aleatóra de nteresse, por exemplo, Y, é n n A letra grega Σ (sgma) é usada como símbolo da soma para a soma e para o valor da observação, denomnado de snal de soma, será usado extensvamente neste curso Alguns exemplos e propredades da somatóra: A soma de n números n n, A soma dos quadrados de n números n n,, n pode ser expressa por,,, n é: A soma dos produtos de dos conjuntos de n números e,, n, n : x x + x + x n n x x,, x, Exemplo: Consdere um conjunto de 3 números:, 3 e 6 Os números são smbolzados por:, 3 e 3 6 A soma e a soma dos quadrados destes números são: n n Consdere outro conjunto de números x, x 4 e x3 5 A soma dos produtos de x e é: 3 x ()() + (4)(3) + (5)(6) 44 As três prncpas regras da adção são: n

3 3 n A soma da adção de dos conjuntos de números é gual à adção das somas ( x + ) x + n n n n A soma dos produtos de uma constante k e uma varável Y é gual ao produto da constante pela soma dos valores da varável ( ) k k n 3 A soma de n constantes com valor k é gual ao produto n k k k + k + + k n k Atenção: notem que o cálculo da expressão n + + +, n denomnada de soma de quadrados é dferente do cálculo da n expressão ( ) ( n ), quadrado da soma Outras notações: n n, e + n n Notação com dos subescrtos Consdere dos grupos de dados grupo controle: { 5, 7, 5, 4 }, o qual é representado por, 7, 5, 4, { } grupo tratado: { 7, 9, 6, 9, 8 }, o qual é representado por, 9, 6, 9, 8, { } n sendo,,, representando os grupos e j,,, r representando as repetções dentro de cada grupo r ( j Calcular o valor da expressão r Exemplo de Tabela de dupla entrada Qualquer observação é representada por j, sendo que, o índce refere-se às lnhas (,,, k) e o índce j refere-se às colunas (j,,, r) j )

4 4 Colunas Lnhas 3 j r TOTAL MÉDIA 3 r + 3 r r 3+ k k k k3 kr k+ k + TOTAL + Y j +r ++ MÉDIA + j é o total da j ésma coluna; + j j + j j j+ + r + + é a méda da j ésma coluna; é o total da ésma lnha; + é a méda da ésma lnha; é o total geral ( soma de todas as observações); é a méda MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ++ geral Um dos aspectos mas mportantes do estudo de um conjunto de dados é a posção do valor central Qualquer valor numérco que representa o centro de um conjunto de dados é denomnado de medda de locação ou medda de tendênca central As duas meddas mas comumente utlzadas é méda artmétca, ou smplesmente a méda, e a medana Méda artmétca A mas famlar medda de tendênca central é a méda artmétca Ela é a medda descrtva que a maora das pessoas tem em mente quando elas falam de méda A méda pode ser expressa como n n + n n n Vamos supor que a varável aleatóra Y assume os seguntes valores, { 0, 54,, 33, 53 }, então a méda destes 5 valores é dada por: , 5

5 5 Propredades da méda; a) Únca Para um conjunto de dados exste uma e somente uma méda artmétca b) Smplcdade A méda artmétca é fácl de ser entendda e fácl de ser calculada c) Dado que toda observação do conjunto de dados entra no seu cálculo, ela é afetada por cada valor Valores extremos têm nfluênca na méda e, em algumas stuações podem ocorrer dstorções, o que pode torná-la uma medda ndesejável como medda de tendênca central MEDIANA Uma alternatva à méda artmétca como medda de tendênca central é a medana A medana de um conjunto de valores fntos é o valor que ocupa a posção central dos dados ordenados, ou seja, aquele valor o qual dvde o conjunto de dados em duas partes guas tal que o número de valores guas ou maores que a medana é gual ao número de valores menores ou guas que a medana Temos que consderar duas stuações: ( k + ) ~ ( ( k ) + se n k + ( n é mpar ) ( k + ) ) se n k ( n é par ) Exemplos: Consdere os dados 0, 54,, 33, 53, com n5 observações, e a seqüênca ordenada fca 0,, 33, 53, 54 A medana é calculada como sendo a observação que ocupa a 3ª posção da seqüênca ordenada, ou seja, n k + k ( n ) /, ou seja, k ~ 3 ( + ) ( ) Consdere os dados 0, 54,, 33, 53, 55, e a seqüênca ordenada fca 0,, 33, 53, 54, 55 Como o número de observações é par e a medana é calculada como sendo a méda das observações que ocupam a posção central, ou seja, n k k n ) /, ou seja, k 3 ~ ( ( 3 ) + ( 3+ ) ) ( ( 3 ) + ( 4 ( ) 43 ( ) 33 ) Propredades da medana; a) Únca Assm como a méda, para um conjunto de dados exste uma e somente uma medana b) Smplcdade A medana é fácl de ser calculada

6 6 c) Ela não é drastcamente afetada por valores extremos, como a méda 3 Moda A moda é comumente defnda como a observação mas freqüente do conjunto de dados Se todas as observações são dferentes não exste moda; por outro lado um conjunto de dados pode ter mas de uma moda Exemplo: consdere o conjunto de dados {98, 0, 00, 00, 99, 97, 96, 95, 99, 00}, então a moda é mo 00, e no conjunto de dados, abaxo, { 0,, 0, 0, 34,, 4, 7, 7, 7} exste duas modas 0 e 7 (bmodal) a) b) c) d) Fgura Dstrbuções de freqüênca mostrando as meddas de tendênca central Dstrbuções em a) e b) são smétrcas, c) é postvamente assmétrca, e d) é negatvamente assmétrca As dstrbuções a), c), e d) são unmodal, e a dstrbução b) é bmodal (Obter estes resultados usando o R) 3 MEDIDAS DE DISPERSÃO Apesar das meddas de tendênca central fornecerem uma déa do comportamento de um conjunto de dados, elas podem esconder valosas nformações Essas meddas podem não ser sufcentes para descrever ou dscrmnar dferentes conjunto de dados Por exemplo, a Fgura 3 mostra os polígonos de freqüênca duas varáves que possuem a mesma méda, mas dferentes valores de dspersão A varável B, a qual tem maor varabldade que a varável A, é mas espalhada A dspersão de um conjunto de dados se refere à varedade que eles exbem Uma medda de dspersão fornece nformação a respeto da quantdade de varabldade presente no conjunto de dados

7 7 Fgura 3 Dos polígonos de freqüênca com a mesma méda, mas com dferentes quantdades de dspersão Se todos os valores do conjunto de dados são guas, não exste dspersão; se eles são dferentes, a dspersão está presente nos dados A quantdade de dspersão pode ser pequena, quando os dados, embora dferentes, são muto próxmos 3 AMPLITUDE A ampltude é defnda como a dferença entre o maor e o menor valor do conjunto de dados O problema desta medada é que ela só leva em conta dos valores do conjunto de dados e, assm, sera mas convenente consderarmos uma medada que utlzasse todas as observações do conjunto de dados A prmera déa que ocorre é consderar o desvo de cada observação em relação a um ponto de referênca e então calcular a sua méda Se tomarmos a méda artmétca como este ponto de referênca, temos a segunte stuação: Seja o conjunto de dados e n,,,, a méda destes dados Defnremos por d, os desvos destas observações em relação à sua méda Por exemplo, consdere os dados 9 e ,, Assm temos: d d 6 5 d 6 4 d ) (, ) (, ) (, ) (, Reparem que a soma dos desvos é gual a zero, ou seja, 0 d 4 Isto pode ser provado algebrcamente, da segunte forma, n n n n n n n n n n n n d 0 ) ( Portanto a soma destes desvos não sera nada nformatva sobre a dspersão dos dados Defnremos então, uma medda que utlza o quadrado dos desvos em relação à méda

8 8 3 VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÂO A varânca de um conjunto de dados, é defnda como méda dos desvos das observações em relação à méda ao quadrado, ou seja, ( ) + ( ) + + ( n ) s n Para manter a mesma undade dos dados orgnas, é convenente defnrmos o desvo-padrão como sendo a raz quadrada postva da varânca s, s ( ) + ( ) n + ( n ) A varânca amostral é frequentemente calculada usando-se a fórmula mas rápda e prátca ( n ) s n n n n ( n ) n n Exemplo: Os pesos (em pounds) de uma amostra aleatóra de trutas em um lago são:,9; 0,93;,40;,7; 0,89;,74;,06;,6;,47;,5 A méda artmétca destes dados é 3,7 (,9 + 0,93 + +,5),37 pounds 0 0 E a varânca é {(,9,37) + (0,93,37) + + (,5,37) } s 0 0,87 ( pounds) Alternatvamente, temos (,9 + 0,93 + +,5) s,9 + 0,93 + +, ,70 0,74 0,87 ( pounds), e 9 0 s 0,87 0,47 pounds (Obter estes resultados usando o R)

9 9 33 QUARTIS Alguns quarts são defndos de modo análogo à medana Assm como a medana dvde o conjunto de dados em duas partes, os quarts Q Q 3 dvdem os dados em quatro partes O segundo quartl, representado por Q é gual à medana, então Q ~ O prmero quartl, Q é defndo como aquele valor do conjunto de dados tal que não mas que 5% dos dados têm valores menores que Q e não mas que 75% dos dados têm valor maor que Q O tercero quartl, Q 3, pode ser defndo de manera smlar Assm como a medana, mas de uma observação pode satsfazer a defnção dos quarts As seguntes fórmulas podem ser utlzadas para calcular o prmero e o tercero quarts de um conjunto de dados n + ésma observação ordenada 4 3( n + ) ésma observação ordenada 4 34 GRÁFICOS BOX-PLOT O gráfco tpo Box-plot é um recurso vsual útl de comuncação da nformação contda em conjunto de dados O objetvo de um gráfco tpo Box-Plot é mostrar as prncpas característcas de um conjunto de dados Para nterpretar um gráfco Box-Plot adequadamente, os valores devem ser vsualzados como pontos de lnha horzontal/vertcal localzada no centro do gráfco Valores grandes correspondem a grandes pontos na horzontal/vertcal Exstem três componentes mportantes no gráfco Box-plot: A caxa, a qual contém 50% dos valores, começa no prmero quartl Q e termna no tercero quartl, Q 3 As duas pontas (whskers), se extendem acma e abaxo da caxa até a localzação da maor e da menor observação que estão dentro da dstânca de 5 vezes o ntervalo nterquartl Os valores atípcos (outlers), são os valores fora das pontas Exemplo: Consdere os dados a segur, os quas se referem a peso (g) de tumores cancerígenos extraídos do abdome de 57 cães O conjunto ordenado fca:

10 0 Assm, a menor e a maor observação é e 79, respectvamente O número de observações é 57 O prmero quartl é a observação ( 4, ) 5 g, 4 e o tercero quartl Q 5 3( 57 + ) Q ( 43, 5 ) 46, 5 g 4 (Obter estes resultados usando o R) 35 Meddas da forma da dstrbução As meddas da forma de uma dstrbução são os coefcentes de assmetra (skewness) e curtoss (kurtoss) Assmetra é uma medda da assmetra da dstrbução de freqüênca Ela mostra se os desvos da méda são maores de um lado do que do outro lado da dstrbução Ela é dada por n 3 n ass ( n )( n ) s Para uma dstrbução smétrca o coefcente de assmetra é zero Ela é postva quando a cauda da dreta é mas alongada e negatva quando a cauda da esquerda é mas alongada a) b) Fgura 33 Ilustrações da assmetra a) negatva e b) postva Curtoss é uma medda da forma das caudas de uma dstrbução Ela é dada por n 4 n( n + ) 3( n ) ct ( n )( n )( n 3) s ( n )( n 3) Para varáves, tas como, peso, altura ou produção de lete, espera-se que a dstrbução de freqüênca seja smétrca em torno da méda e tenha a forma de um sno Estas são as dstrbuções normas Se as observações têm dstrbução normal então a curtoss é gual a zero (ct 0) Uma dstrbução com curtoss postva tem uma grande freqüênca de observações próxmas da méda e caudas fnas Uma dstrbução com curtoss negatva tem as caudas mas grossas e uma baxa freqüênca de dados perto da méda Abaxo estão estas estatístcas calculadas por meo do programa MnTab V 3 juntamente com o gráfco tpo BOX - PLOT

11 Estatístca descrtva : P_Tumor Varable N Mean Medan StDev SE Mean P_Tumor Varavel Mnmum Maxmum Q Q3 P_Tumor Boxplot da varável Peso do Tumor observ ação atípca "outler" 5,0 3,0 46,5 A caxa é o Interv alo nterquartl Q3-Q, Peso do Tumor O exame desta Fgura revela que 50% das observações estão entre os valores 5 e 465, aproxmadamente o prmero (Q ) e o tercero (Q 3 ) quarts A lnha vertcal dentro da caxa mostra o valor da medana, Q, a qual é 3 A longa cauda a dreta do gráfco ndca que a dstrbução de peso de tumores é levemente assmétrca à dreta O astersco ndca que exste uma observação atípca neste conjunto de dados, observação cujo valor é 79, com uma probabldade de ocorrênca muto baxa Outro resultado fornecdo pelo MnTab V3 Descrptve Statstcs Varable: P_Tumor Anderson-Darlng Normalt Test A-Squared: P-Value: Mean StDev Varance Skewness Kurtoss N % Confdence Interval for Mu Mnmum st Quartle Medan 3rd Quartle Maxmum % Confdence Interval for Mu % Confdence Interval for Sgma % Confdence Interval for Medan 95% Confdence Interval for Medan Esta saída mostra a relação entre o Hstograma e o gráfco BOX PLOT dos dados

12 36 Coefcente De Varação O desvo-padrão é útl como medda de varação dentro de um conjunto de dados Quando desejamos comparar a dspersão de dos conjuntos de dados, a comparação dos desvos-padrões dos dos conjuntos de dados pode nos levar a conclusões falsas Pode acontecer que as duas varáves envolvdas estão meddas em undades dferentes Por exemplo, podemos estar nteressados em saber se os níves do soro de colesterol, meddo em mlgramas por 00 ml são mas varáves do que o peso corporal, meddo em klograma O que é necessáro nesta stuação é o uso de uma medda de varação relatva do que uma medda absoluta Tal medda é o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV), a qual expressa o desvo padrão como uma porcentagem da méda, e sua fórmula é s cv (00 )%, a qual é uma medda ndependente da undade Exemplo: consdere os valores abaxo de méda e desvo-padrão de dos grupo de cães, dentfcados pelas suas dades Amostra Amostra Grupo 0 anos 4 anos Peso médo Desvo-padrão 0 0 Uma comparação dos seus respectvos desvos-padrões leva a uma conclusão de que as duas amostras têm a mesma varabldade Se calcularmos os coefcentes de varação, para o grupo 0 cv ( 00 ) 6, 9% 45 e para o grupo, 0 cv ( 00 ), 5% 80 Comparando estes resultados temos uma mpressão bem dferente O grupo tem uma varabldade de,8 vezes maor em relação ao grupo O coefcente de varação é muto útl na comparação de resultados obtdos por dferentes pesqusadores que nvestgam a mesma varável Vsto que o coefcente de varação é ndependente da undade, ele é útl para comparar a varabldade de duas ou mas varáves meddas em dferentes undades

13 3 4ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 4 Introdução Numa pesqusa centífca o procedmento geral é formular hpóteses e verfcá-las dretamente ou por suas conseqüêncas Para sto é necessáro um conjunto de observações e o planejamento de expermentos é então essencal para ndcar o esquema sob o qual as hpóteses possam ser verfcadas com a utlzação de métodos de análse estatístca que dependem da manera sob a qual as observações foram obtdas Portanto, planejamento de expermentos e análse dos resultados estão ntmamente lgados e devem ser utlzados em uma seqüênca nas pesqusas centífcas das dversas áreas do conhecmento Isto pode ser vsto por meo da segunte representação gráfca da crculardade do método centífco () Observações () (3) Formulação de Hpóteses Verfcação das Hpóteses formuladas (4) Desenvolvmento da Teora Fca evdente nesta lustração que as técncas de planejamento devem ser utlzadas entre as etapas () e () e os métodos de análse estatístca devem ser utlzados na etapa (3) Desenvolvendo um pouco mas está déa podemos dzer que uma pesqusa centífca estatstcamente planejada consste nas seguntes etapas Enuncado do problema com formulação de hpóteses Escolha dos fatores (varáves ndependentes) que devem ser ncluídos no estudo 3 Escolha da undade expermental e da undade de observação 4 Escolha das varáves que serão meddas nas undades de observação 5 Determnação das regras e procedmentos pelos quas os dferentes tratamentos são atrbuídos às undades expermentas (ou vceversa) 6 Análse estatístca dos resultados 7 Relatóro fnal contendo conclusões com meddas de precsão das estmatvas, nterpretação dos resultados com possível referênca a outras pesqusas smlares e uma avalação dos tens de a 6 (desta pesqusa) com sugestões para possíves alterações em pesqusas futuras Ilustrações destas etapas com exemplos

14 4 Enuncado do problema Como vmos uma pesqusa centífca se nca sempre com a formulação de hpóteses Essas hpóteses são prmeramente formuladas em termos centífcos dentro da área de estudo (hpótese centífca) e em seguda em termos estatístcos (hpótese estatístca) Deve haver uma correspondênca perfeta entre as hpóteses centífca e estatístca para evtar ambgüdade Portanto, no enuncado do problema, a hpótese centífca deve ser formulada de manera precsa e objetva Exemplo: Um pesqusador está nteressado em estudar o efeto de város tpos de ração que dferem pela quantdade de potásso no ganho de peso de determnado tpo de anmal Este objetvo pode ser atngdo se planejarmos a pesqusa com uma das seguntes fnaldades: a) comparar as médas dos aumentos de peso obtdas com cada uma das rações (gualdade das médas); b) Estabelecer uma relação funconal entre o aumento do peso médo e a quantdade de potásso Escolha dos fatores e seus respectvos níves No exemplo de, a varável ndependente ração é um fator e os tpos de rações são os níves deste fator, ou tratamentos Assm, em um expermento para se estudar o efeto de 4 rações e 3 suplementos no ganho de peso de anmas, temos dos fatores: ração com quatro níves e suplementos com 3 níves Podemos dzer que este expermento envolve tratamentos, correspondentes às combnações dos níves dos dos fatores Pelo própro conceto de fator, temos que em um expermento, a escolha dos fatores e seus respectvos níves é bascamente um problema do pesqusador No entanto é mportante para o planejamento e análse dstngurmos as duas stuações, descrtas a segur: a) uma fazenda de nsemnação adquru 5 touros de uma determnada raça para a produção de sêmen, e está nteressada em realzar um expermento para verfcar se os cnco touros são homogêneos quanto a produção de sêmen b) A mesma fazenda de nsemnação está nteressada em realzar um expermento para verfcar se a produção de sêmen de touros, de uma determnada raça, é homogênea Como a população de touros da fazenda é muto grande o pesqusador decdu realzar um expermento com uma amostra de touros (5 touros), mas as conclusões devem ser estenddas para a população de touros

15 5 Na stuação descrta em a) dzemos que o fator touro é fxo e na stuação em b) o fator touro é aleatóro A dferença fundamental entre estes dos tpos de fatores é, então, que no caso de fatores fxos, as conclusões se referem apenas aos níves do fator que estão presentes no expermento No caso de fatores aleatóros as conclusões devem ser estenddas para a população de níves 3 Escolha da undade expermental Em um grande número de stuações prátcas a undade expermental é determnada pela própra natureza do materal expermental Por exemplo, expermentos com anmas, em geral a undade expermental é um anmal Em outras stuações a escolha de outras undades expermentas não é tão evdente, exgndo do pesqusador juntamente com o estatístco algum estudo, no sentdo de escolher a undade expermental mas adequada A escolha de uma undade expermental, de um modo geral, deve ser orentada no sentdo de mnmzar o erro expermental, sto é, as undades devem ser as mas homogêneas possíves, para, quando submetdas a dos tratamentos dferentes, seus efetos, sejam faclmente detectados 4 Escolha das varáves a serem meddas As meddas realzadas nas undades expermentas após terem sdo submetdas aos tratamentos consttuem os valores da varável dependente A varável dependente, em geral, é pré-determnada pelo pesqusador, sto é, ele sabe qual varável que ele quer medr O que consttu problema, às vezes, é a manera como a varável é medda, pos dsto dependem a precsão das observações, e a dstrbução de probabldade da varável a qual é essencal para a escolha do método de análse Assm, por exemplo, se os valores de uma varável são obtdos dretamente por meo de um aparelho de medda (régua, termômetro, etc) a precsão das observações va aumentar se, quando possível, utlzarmos como observação a méda de três meddas da mesma undade expermental Com relação à dstrbução de probabldade em mutas stuações as observações não são obtdas dretamente e sm por expressões matemátcas que as lgam a outros valores obtdos dretamente Neste caso, a dstrbução de probabldade das observações va depender da dstrbução de probabldade da varável obtda dretamente e da expressão matemátca que as relacona Portanto, as varáves, necessaramente presentes em um expermento são: a varável dependente, medda nas undades expermentas, e o conjunto de fatores (varáves ndependentes) que determnam as condções sob as quas os valores da varável dependente são obtdos Qualquer outra varável que possa nflur nos valores da varável dependente deve ser mantda constante

16 6 5 Regras segundo as quas os tratamentos são atrbuídos às undades expermentas Nas dscussões apresentadas em cada um dos tens anterores a colaboração da estatístca é bem lmtada exgndo-se a essencal colaboração do pesqusador Porém, o assunto dscutdo neste tem é o que poderíamos denomnar de planejamento estatístco de expermento Trata-se das regras que assocam as undades expermentas aos tratamentos e que pratcamente determnam os dferentes planos expermentas Lembramos, neste ponto os tratamentos são cada uma das combnações entre os níves de todos os fatores envolvdos no expermento Para que a metodologa estatístca possa ser aplcada aos resultados de um expermento é necessáro que em alguma fase do expermento, o prncpo a ser obedecdo é o da repetção, segundo o qual devemos ter repetções do expermento para que possamos ter uma medda da varabldade necessára aos testes da presença de efetos de tratamentos ou a estmação desses efetos ALEATORIZAÇÃO Aleatorzação é a desgnação dos tratamentos às undades expermentas, tal que estas têm a mesma chance (mesma probabldade) de receber um tratamento Sua função é assegurar estmatvas não-vesadas das médas dos tratamentos e do erro expermental Nesta fase do planejamento de um expermento já sabemos quas fatores serão estudados e o número de níves de cada fator que estarão presentes no expermento Sabemos anda qual é a undade expermental escolhda e a varável dependente Podemos magnar que de um lado temos um conjunto U de undades expermentas, e de outro, T um conjunto de tratamentos, que podem ser as combnações dos níves de todos os fatores envolvdos Precsamos estabelecer esquemas que assocam subconjuntos de elementos de U a cada elemento de T Vamos apresentar o esquema mas smples Para efeto de notação vamos supor que o conjunto U tem n elementos, o conjunto T tem a elementos, e o número de elementos de U submetdos ao tratamento T é n, com,,, a, de tal modo k que n n O número de undades expermentas n para cada tratamento T é determnado a partr de nformações sobre a varabldade das undades expermentas em termos da varabldade da varável dependente O plano completamente aleatorzado é um esquema em que as undades expermentas que vão ser submetdas a cada tratamento são escolhdas completamente ao acaso Isto sgnfca que cada undade

17 7 expermental tem gual probabldade de receber qualquer um dos tratamentos Por exemplo, um pesqusador quer realzar um expermento para estudar o efeto de um resíduo ndustral que é adconado em rações de anmas Ele suspeta que este resíduo contenha uma substânca tóxca, cuja presença no organsmo, produz um aumento relatvo de alguns órgãos, como o fígado, por exemplo Após uma entrevsta com o pesqusador consegumos as seguntes nformações O expermento rá envolver um únco fator, ração, com três níves: t - ração normal, sem resíduo ndustral (grupo controle; t - ração normal com o resíduo tratado, e t 3 - ração normal com resíduo não tratado Portanto, o conjunto T tem três tratamentos Um conjunto U, é formado por um grupo de 8 camundongos todos, recém nascdos, com o mesmo peso ncal e homogêneos com relação às característcas genétcas geras Por sto fo decddo dstrbur completamente ao acaso 6 anmas para cada tratamento A varável dependente (resposta) é o peso relatvo do fígado após 90 das do níco do expermento Uma manera de se proceder ao sorteo é a segunte: enumera-se as undades expermentas de a 8 coloca-se os tratamentos em seqüênca, por exemplo: T T T T T T, T T T T T T, T 3 T 3 T 3 T 3 T 3 T 3 sortea-se uma sequênca de 8 números aleatóros Pode-se obter, por exemplo, a sequênca : 3,,, 5, 8, 6, 4, 5, 9,, 8, 7, 7, 4,, 6, 3, 0 Dstrbução das undades expermentas segundo os tratamentos Trat Repetções T u 3 u u u 5 u 8 u 6 T u 4 u 5 u 9 u u 8 u 7 T 3 u 7 u 4 u u 6 u 3 u 0 Este plano expermental é mas efcente quanto maor for o grau de homogene dade entre as undades expermentas em termos da varável dependente Se as undades expermentas são heterogêneas o número n de undades expermentas necessáras para uma boa precsão pode ser muto grande Algumas alterações no planejamento descrto, tal como, a ntrodução de blocos, ou smplesmente a utlzação de uma covarável medda nas undades expermentas, a qual é correlaconada com à varável dependente, podem reduzr consderavelmente o erro expermental Observações: ) o plano expermental completamente aleatorzado não depende do numero de fatores envolvdos e nem da manera pela qual os fatores são combnados ) Exstem alguns fatores que pela própra natureza, mpõe restrções na aleatorzação, porém para efeto de

18 8 análse, o expermento é consderado completamente aleatorzado PLANO EXPERIMENTAL EM BLOCOS Quando o conjunto U de undades expermentas for muto heterogêneo (em termos da varável ndependente), o plano expermental completamente aleatorzado torna-se pouco precso, pos o erro expermental fca muto grande Em algumas stuações dspomos de nformações segundo as quas, antes da realzação do expermento, é possível agruparmos as undades expermentas mas ou menos homogêneas, em que a é o número de tratamentos envolvdos no expermento Estes subconjuntos são denomnados de blocos Assm, a maor parte da heterogenedade nterna do conjunto U é expressa pela heterogenedade entre blocos A dstrbução das undades expermentas entre os tratamentos obedece a uma restrção mposta pelos blocos, sto é, as a undades de cada bloco são dstrbuídas aleatoramente entre os tratamentos Na análse de um expermento em blocos, além dos fatores de nteresse, deve-se levar em conta o fator expermental bloco, dmnundo desta forma o erro expermental Quanto maor for a heterogenedade entre blocos, maor é a efcênca deste plano expermental em relação ao completamente aleatorzado Exemplo: Um pesqusador deseja testar o efeto de três tratamentos (T, T, T 3 ) no ganho de peso de ovelhas Antes do nco do expermento as ovelhas foram pesadas e ordenadas de acordo com o peso e atrbuídas a 4 blocos Em cada bloco tnham 3 anmas aos quas os tratamentos foram sorteados Portanto, anmas foram usados REPETIÇÃO Repetção sgnfca que o mesmo tratamento é aplcado sobre duas ou mas undades expermentas Sua função é fornecer uma estmatva do erro expermental e dar uma medda mas precsa dos efetos dos tratamentos O número de repetções requerdas em um partcular expermento depende da magntude das dferenças que o pesqusador deseja testar e da varabldade da varável dependente em que se esta trabalhando LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO VIEIRA, S Estatístca expermental ed São Paulo: Atlas: p(Cap ) PETRIE, A; WATSON, P Estatístca em Cênca Anmal e Veternára 009ª ed Edtora ROCA, São Paulo, 36p, 009 SAMPAIO, IBM Estatístca aplcada à expermentação anmal Belo Horzonte: Fundação de Ensno e Pesqusa em Medcna Veternára e Zootecna, 998 p (Cap, e 3)

19 KAPS, M; LAMBERSON, W Bostatstcs for anmal scence Oxfordshre: CABI Pubshng: p (Cap, 3) PETERNELLI, L A; Conhecendo o R: uma vsão estatístca Ed Vçosa: Edtora UFV, 00, 85p 9

20 0 CAPITULO PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS; PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO TESTES DE SIGNIFICÂNCIA Um dos prncpas objetvos da estatístca é a tomada de decsões a respeto da população com base nas observações de amostras AMOSTRAGEM µ MÉDIA POPULACIONAL x MÉDIA AMOSTRAL INFERÊNCIA ESTATÍSTICA POPULAÇÃO AMOSTRA Ao tomarmos decsões, é convenente a formulação de Hpóteses relatvas às populações, as quas podem ser ou não verdaderas Exemplo: Um veternáro está nteressado em estudar o efeto de 4 tpos de rações que dferem pela quantdade de potásso no aumento de peso de coelhos H0 : Não exste dferença entre as rações, ou seja, quasquer dferenças observadas são devdas a fatores não controlados H : As rações propcam aumentos de pesos dst nt os H 0 é denomnada de hpótese de nuldade, a qual assume que não exste efeto dos tratamentos e H é a contra hpótese TESTES DE HIPÓTESES OU TESTES DE SIGNIFICÂNCIA: São os processos que nos permtem decdr se acetamos ou rejetamos uma determnada hpótese, ou se os valores observados na amostra dferem sgnfcatvamente dos valores esperados (População)

21 TIPOS DE ERROS NOS TESTES DE SIGNIFICÂNCIA QUADRO RESUMO: condções sobre as quas os erros Tpo I e Tpo II podem ser cometdas Possível ação Condção da Hpótese nula H 0 Verdadero H 0 Falsa Rejeção de H 0 Erro Tpo I (α) Decsão correta Não rejeção de H 0 Decsão correta Erro Tpo II (β) Erro Tpo I: é o erro cometdo ao rejetar H 0, quando H 0 é verdadera Erro Tpo II: é o erro cometdo ao acetar H 0, quando ela é falsa [ ErroTpo I ] P[ ErroTpo II ] α P ; β Esses dos erros estão de tal forma assocados que, se dmnurmos a probabldade de ocorrênca de um deles, automatcamente aumentamos a probabldade de ocorrênca do outro Em geral, controlamos somente o Erro Tpo I, por meo do nível de sgnfcânca (daí vem a denomnação de Testes de Sgnfcânca) do teste representado por α, o qual é a probabldade máxma com que nos sujetamos a correr um rsco de cometer um erro do Tpo I, ao testar a hpótese Dado que rejetar uma hpótese nula, (H 0 ), verdadera consttu um erro, parece razoável fxarmos esta probabldade de rejetar uma hpótese nula, (H 0 ), verdadera pequena, e de fato, é sto que é feto Na prátca é comum fxarmos α 0,05 (5%) ou α 0,0 (%) Se, por exemplo, fo escolhdo α 0,05, sto ndca que temos 5 possbldades em 00 de rejetarmos a hpótese de nuldade (H 0 ), quando na verdade ela devera ser aceta, ou seja, exste uma confança de 95% de que tenhamos tomado uma decsão correta, esta confabldade é denomnada grau de confança do teste e é representada por - α e expressa em porcentagem Nós nunca saberemos qual tpo de erro estamos cometendo ao rejetarmos ou ao não rejetarmos uma hpótese nula (H 0 ), dado que a verdadera condção é desconhecda Se o teste nos leva à decsão de rejetar H 0, podemos fcar tranqülos pelo fato de que fzemos α pequeno e, portanto, a probabldade de cometer o erro Tpo I é bem pequena 3TESTE F PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA O teste F é a razão entre duas varâncas e é usado para determnar se duas estmatvas ndependentes da varânca podem ser assumdas como estmatvas da mesma varânca Na análse de varânca, o teste F é usado para testar a gualdade de médas, sto é, para responder a segunte questão, é razoável supor que as médas dos tratamentos são amostras provenentes de populações com médas guas? Consdere o segunte exemplo de cálculo da estatístca F; vamos supor que de uma

22 população normal N( µ, σ ) foram retradas, aleatoramente, 5 (n5) amostras de tamanho 9 (r9) Calcule as médas das 5 amostras e s 9 ( ) (9 ) ( s + + s5 ) Estme σ por meo da fórmula s, a qual é 5 uma méda das varâncas das amostras e será denomnada de varabldade dentro das amostras ( s D ) Estme a varânca populaconal das médas σ, por meo das médas das 5 amostras: De s, estme novamente s s, ou s rs r s 5 ( + ++ ) 5 σ, usando a relação, denomnada de varabldade entre as amostras ( s E ) se Calcule F c sd A estmatva de s E do numerador fo feta com base em n - 4 graus de lberdade (n é o número de amostras) e a estmatva de s D do denomnador fo feta com base em n(r ) 5(9-) 40 A repetção deste procedmento amostral mutas vezes gera uma população de valores de F, os quas quando colocados em um gráfco de dstrbução de freqüênca tem o segunte formato O valor de F,6 é o valor acma do qual, 5% dos valores de F calculados têm valor acma dele Este é o valor para um nível de 5% encontrado na Tabela F para 4 e 40 graus de lberdade (veja Tabela F) Dado que as estmatvas da varânca utlzadas estatístca F são estmatvas da mesma varânca σ, espera-se que o valor de F seja

23 3 bem próxmo de, a menos que um conjunto de amostras não usual fo retrado Para qualquer conjunto de amostras retradas de n 5 e r 9 a probabldade (ou a chance) de um valor de F calculado ser maor ou gual a,6 é 0,05 (5%) ( P [ F >,6] 0, 05 ) As hpóteses estatístcas que testamos quando aplcamos o teste F são H 0 : σ σ H : σ > σ A hpótese H 0 estabelece que as duas varâncas populaconas são guas, o que equvale a admtr que as amostras foram retradas da mesma população A hpótese H (contra hpótese, ou hpótese alternatva) estabelece que as varâncas são provenentes de populações dferentes e, mas anda, a varânca da prmera é maor que a varânca da segunda Os valores de F são tabelados em função dos graus de lberdade das estmatvas de s do numerador (n ) e do denomnador (n ) no cálculo da estatístca F e para dferentes valores de níves de sgnfcânca (5%, %, etc) Também podem ser fornecdos por comandos do programa R 5 REGRA DE DECISÃO Todos os possíves valores que o teste estatístco pode assumr são pontos no exo horzontal do gráfco da dstrbução do teste estatístco e é dvddo em duas regões; uma regão consttu o que denomnamos de regão de rejeção e a outra regão consttu o que denomnamos de regão de não rejeção Os valores do teste estatístco que formam a regão de rejeção são aqueles valores menos prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera, enquanto que os valores da regão de acetação são os mas prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera A regra de decsão nos dz para rejetar H 0 se o valor do teste estatístco calculado da amostra é um dos valores que está na regão de rejeção e para não rejetar H 0 se o valor calculado do teste estatístco é um dos valores que está na regão de não rejeção O procedmento usual de teste de hpóteses é baseado na adoção de um crtéro ou regra de decsão, de tal modo que α P(Erro tpo I) não exceda um valor pré-fxado Porém, na maora das vezes, a escolha de α é arbtrára Um procedmento alternatvo consste em calcular o menor nível de sgnfcânca para o qual a hpótese H 0 é rejetada, com base nos resultados amostras Este valor, denomnado de nível descrtvo do teste ou nível mínmo de sgnfcânca do teste, será denotado por valor de p ( p-value ) Todos os modernos programas computaconas fornecem este valor nos testes estatístcos A representação gráfca a segur mostra uma lustração da regra de decsão do teste F, vsto anterormente,

24 4 Regão de não rejeção Regão de rejeção EXEMPLO: Amostras aleatóras smples e ndependentes, após dos tpos de esforços, do nível de glcose no plasma de ratos após uma experênca traumátca forneceram os seguntes resultados: Esforço : Esforço : Estes dados fornecem sufcente evdênca para ndcar que a varânca é maor na população de ratos submetdos ao esforço do que nos ratos submetdos ao esforço Quas as suposções necessáras para se aplcar o teste? Solução: As varâncas amostras são s 85, 9333 e s 398, 44, respectvamente Suposções: Os dados consttuem amostras aleatóras ndependentes retradas, cada uma, de uma população com dstrbução normal (Esta é a suposção geral que deve ser encontrada para que o teste seja váldo) Hpóteses estatístcas H 0 : σ σ H : σ > σ Cálculo do Teste Estatístco F c s s 85, ,44,47 Dstrbução do Teste Estatístco: quando H 0 é verdadera a estatístca F tem dstrbução F com n e n graus de lberdade, ou seja, F (9,, 0,05)

25 5 Regra de Decsão: fazendo α 5%, o valor crítco de F( 9,, 0, 05 ), 896, então, rejeta-se H 0 se F c, 896 A lustração gráfca desta regra de decsão é mostrada a segur,,47,896 Regão de não rejeção Regão de rejeção Decsão estatístca: não podemos rejetar H 0, dado que,47<,896; sto é, o F c calculado cau na regão de não rejeção Conclusão: não podemos conclur que as varâncas dos esforços e são dferentes, o nível mínmo de sgnfcânca do teste é p0,68 (p>005) ANÁLISE DE VARIÂNCIA Embora o teste F possa ser aplcado ndependentemente, a sua maor aplcação é na análse de varânca dos Delneamentos Expermentas Vamos consderar os seguntes dados de Delneamento Interamente Casualzado, (DIC) REPETIÇÕES TRATAMENTOS 3 4 A,4 5, 4,3,6 B 3, 6, 4,8,9 C,,3 0,8,4 D 0,9 9,8 9,4 8,3 σ e σ + σ e T Dentro de um mesmo tratamento o valor observado nas dferentes repetções não é o mesmo, pos estes valores estão sujetos à varação ao acaso (σ e ) Quando passamos de um tratamento para outro, os dados também não são guas, pos estes estão sujetos a uma varação do acaso acrescda de uma varação devda ao efeto do tratamento, é, σ + σ e T

26 6 QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA DO DIC Consdere os dados do exemplo anteror, onde tínhamos 4 tratamentos (k4) e 4 repetções A Tabela da Análse de varânca fca sendo Fonte de varação GL Soma de Quadrados Quadrado Médo estatístca F k ( ) + + TRAT k - + r kr RESÍDUO n - k j TOTAL n - k r j k r j k ( + ) r ( ++ ) j kr S Q Trat k S QRe s kr k Q M Trat Q MRe s Deste quadro notamos que o Quadrado médo do resíduo estma a varação casual (do resíduo) σ Enquanto que o quadrado médo dos e tratamentos estma a varação casual (resíduo) acrescda de uma possível varânca devdo ao efeto dos tratamentos ( σ + σ ), então e T F σ e + σ e σ T Se não houver efeto dos tratamentos os dos quadrados médos (Quadrado médo dos tratamentos e quadrado médo do resíduo) estmam a mesma varânca, o que mplca o valor de F,0, e qualquer dferença que ocorra entre os valores médos dos tratamentos é meramente casual 6 TESTE t student Consdere uma outra retrada de amostras repetdas de um determnado tamanho, por exemplo, r5 de uma população normal Para cada amostra calcule a méda o desvo padrão, s, o erro padrão da méda s e uma outra estatístca µ tc s Grafcamente temos:

27 7 ; 5 ; 5 ) ( ; 5 ; 5 ) ( M M s t s s s amostra M amostra s t s s s amostra M µ µ Organzando estes mlhares de valores da estatístca t em dstrbução de freqüênca Esta dstrbução de freqüênca terá a segunte forma Exste uma únca dstrbução t para cada tamanho de amostra Neste exemplo em que r5 (tamanho 5),,5 % dos valores de t serão maores ou guas do que,776 e,5% serão menores do que -,776 Os valores da estatístca t student são apresentados em tabelas (ver Tabela da dstrbução t ) Por exemplo, para 0 graus de lberdade, o valor tabelado esperado para t ± com probabldade de 0,0 (%) é 3,69 A dstrbução t student converge rapdamente para a dstrbução normal Quanto maor for a amostra maor é aproxmação da dstrbução t student com a dstrbução normal Quando os valores de

28 8 t são calculados em amostras de tamanho r60, estes são bem próxmos dos valores da dstrbução normal 7 REGRA DE DECISÃO Todos os possíves valores que o teste estatístco pode assumr são pontos no exo horzontal do gráfco da dstrbução do teste estatístco e é dvddo em duas regões; uma regão consttu o que denomnamos de regão de rejeção e a outra regão consttu o que denomnamos de regão de acetação Os valores do teste estatístco que formam a regão de rejeção são aqueles valores menos prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera, enquanto que os valores da regão de acetação são os mas prováves de ocorrer se a hpótese nula é verdadera A regra de decsão nos dz para rejetar H 0 se o valor do teste estatístco calculado da amostra é um dos valores que está na regão de rejeção e para não rejetar H 0 se o valor calculado do teste estatístco é um dos valores que está na regão de acetação Em partcular, no caso do teste t student a regra de decsão fca sendo: rejeta-se H 0 se t t c α ( n, ) Exemplo: Em um hosptal veternáro amostras de soro de amlase de 5 anmas sados e anmas hosptalzados foram colhdas Os resultados da méda e dos desvos-padrões foram os seguntes: 0 undades / ml, s 40 undades / ml 96 undades / ml, s 35 undades / ml Neste exemplo, o erro padrão amostral s da fórmula da estatístca t, será substtuído pelo erro padrão da méda pooled, ou seja, ( r ) s + ( r ) s s P ( r ) + ( r )

29 9 Cálculos: Suposções: os dados consttuem duas amostras ndependentes, cada uma, retrada de uma população normal As varâncas populaconas são desconhecdas e assumdas guas; H0 : µ µ Hpóteses: ; H : µ µ ( ) ( µ µ ) Teste estatístco: tc ; s p s p + r r Dstrbução do teste estatístco: quando H 0 for verdadera, o teste segue uma dstrbução t Student com r + r graus de lberdade; Regra de decsão: Rejeta-se H 0 se t t, neste c α ( r + r ; ) exemplo, t c, 030 ; Cálculo do teste estatístco: prmero o cálculo da varânca amostral 4( 40) + ( 35) sp 375 e 4 + ( 0 96) 0 4 tc 88, , Decsão estatístca: não se rejeta H 0, vsto que -, 030 <, 88 <, 030, ou seja,,88 está na regão de não rejeção; Conclusão: com base nestes dados não podemos conclur que as médas das duas populações são dferentes Neste teste o nível mínmo de sgnfcânca do teste é p 0,069 (p>0,05) LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO VIEIRA, S Estatístca expermental ed São Paulo: Atlas: p SHCHLOTZHAUER, S LITTELL, R C SAS Sstem for elementar statstcal analss edcar, NC: SAS Insttute Inc999, 456p PEREZ, CA, SALDIVA, C D Planejamento de expermentos 5º SIMPÓSIO NACIONAL DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 98, 98p PETERNELLI, L P, MELLO, M P Conhecendo o R: uma vsão estatístca Vçosa, Ed UFV, 007, 8p

30 30 CAPITULO 3 DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC) O DIC é mas smples dos delneamentos Os tratamentos se dstrbuem ao acaso em todas as undades expermentas e o número de repetções por tratamento pode ser gual ou dferente O DIC é muto utlzado para estudos de métodos, técncas de trabalhos em laboratóro, ensaos de vegetação e em expermentos com anmas Para sua aplcação, há necessdade que o meo atue de forma unforme em todas as undades expermentas e que estas sejam faclmente dentfcadas para receber o tratamento Vamos começar com um exemplo: Em um estudo do efeto da glcose na lberação de nsulna, espéces de tecdo pancreátco dêntcas foram subdvddas em três grupos de 4 espéces cada uma Três níves (baxo - tratamento, médo tratamento - e alto tratamento - 3) de concentrações de glcose foram aleatoramente desgnados aos três grupos, e cada espéce dentro de cada grupo fo tratado com o nível de concentração de glcose sorteado a eles A quantdade de nsulna lberada pelos tecdos pancreátcos amostrados são as seguntes: Tratamento Nível baxo (T) Nível médo (T) Nível alto (T3) Repetções 3 4,59 3,36 3,9,73 4,0 4,8 3,64 3,49 3,87,97,89 5,39 Nº de repetções r Total Méda Varânca 8,93 3,75 8,00 Total 40,68,3 3,44 4,50 0,9 0, 0,54 Este é um estudo expermental com undades expermentas (amostras de tecdo pancreátco) e k3 tratamentos Cada tratamento é um nível de fator smples: concentração de glcose Exstem 4 repetções para cada tratamento

31 3 Os dados, quantdade de nsulna lberada pelo tecdo pancreátco podem ser consderados como três amostras aleatóras, cada uma com r4 repetções, ou de tamanho r4 sorteadas de três populações Dado que os tratamentos são desgnados às undades expermentas completamente ao acaso, este delneamento é denomnado de DELINEAMENTO INTEIRAMENTE AO ACASO (DIC) Em geral, em um DIC, um número fxo de k tratamentos são sorteados às N undades expermentas de tal forma que o -ésmo tratamento é sorteado a exatamente r undades expermentas Assm, r é o número de repetções do -ésmo tratamento e r + r + r3 + + rk N No caso em que r são guas, é, r r r3 rk r, então N rk e o delneamento é balanceado Notação: Repetções Tratamento 3 j r Total Méda 3 r r r + + j k k k k3 kr k + Nrk k Convenções: + e + representam, respectvamente, o total e a méda do -ésmo tratamento, respectvamente, + + e ++ representam, respectvamente, o total geral (soma de todas as observações) e a méda geral de todas as observações ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) O método da análse de varânca pode ser vsto como uma extensão do teste t de student para amostras ndependentes Como no teste t de amostras ndependentes, o método da ANOVA compara uma medda da magntude da varabldade observada dentro das k amostras com uma medda da varabldade entre as médas das k amostras 3 MODELO MATEMÁTICO DO DIC COM EFEITOS DE TRATAMENTOS FIXOS O modelo assocado ao DIC com efetos fxos é j µ + τ + ej, sendo, j é a observação na undade expermental que recebeu o -ésmo tratamento na j-ésma repetção;

32 3 µ é a méda geral comum a todas as observações defnda como j k r µ µ, com µ a méda populaconal do -ésmo tratamento; N τ o efeto do -ésmo tratamento na varável dependente Y e mede o afastamento da méda µ em relação a µ, sto é, τ µ µ ; e e é um erro casual não observável Pela defnção de µ e k τ acma, temos que este modelo possu a k restrção n τ 0, pos, r τ r ( µ µ ) r µ rµ 0 k k 4 SUPOSIÇÕES ASSOCIADAS AO MODELO As suposções usualmente assocadas aos componentes do modelo do DIC são que os e são varáves aleatóras ndependentes e dentcamente j dstrbuídas com dstrbução N( 0, σ ) Como os j são funções lneares dos e j, das suposções sobre os erros decorre que: E ( ) µ + τ µ ; j Var ( j ) σ ; j são normalmente dstrbuídos e ndependentes, ou, resumdamente que j ~ N( µ, σ ) Portanto, estamos supondo que as observações do expermento a ser analsado correspondem a amostras aleatóras de k populações normas com a mesma varânca e que podem ou não ter médas dferentes A fgura abaxo representa grafcamente esse fato, consderando, no caso, três tratamentos τ τ 3 τ µ µ µ µ 3 Fgura: Ilustrações das suposções do modelo matemátco assocado ao DIC com um fator fxo 5 HIPÓTESES ESTATÍSTICAS A Hpótese geral é: H0 : τ τ τ k 0, ou seja, vamos testar a não exstênca de efeto do fator (tratamento)

33 33 6 PARTIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS Voltemos ao quadro de representação das observações no DIC na págna 30 Podemos dentfcar os seguntes desvos: j + +, como o desvo de uma observação em relação a méda amostral geral; j +, como o desvo da observação em relação à méda de seu grupo ou do -ésmo tratamento; + + +, como o desvo da méda do -ésmo tratamento em relação á méda geral Consderemos a dentdade ( j + + ) ( j + ) + ( ), a qual dz que a a varação de uma observações em relação à méda geral amostral é gual à soma varação desta observação em relação à méda de seu grupo com a varação da méda do -ésmo tratamento em que se encontra esta observação em relação à méda geral amostral Elevando-se ao quadrado os dos membros da dentdade acma e somando em relação aos índces e j, obtemos: k r k r k ( j + + ) ( j + ) + r ( j j ), os duplos produtos são nulos O termo k r j ( ), j ++ é denomnado de Soma de Quadrados Total e vamos denotá-lo por SQTO número de graus de lberdade assocado à SQT é kr -, ou N, pos temos N observações e a restrção k r j ( ) 0 A componente: k r j j + + ( ), j + é denomnada de Soma de Quadrados Resdual, representada por SQR, e é uma medda da homogenedade nterna dos tratamentos Quanto mas próxmas estverem as observações dentro de cada grupo (tratamento), menor é a SQR Notem que a magntude da SQR não depende da dferença entre as médas dos tratamentos Consderando apenas o -ésmo tratamento, temos que r j ( ) j + Possu r graus de lberdade Assm, o número de graus de lberdade assocado à SQR é:

34 34 jk ( r ) kr k N k A componente k r ) ( + + +, mede a varabldade entre as médas dos tratamentos e por sso é denomnada de Soma de Quadrados Entre Tratamentos, representada por SQTr Quanto mas dferentes entre s forem as médas dos tratamentos, maor será a SQTr Desde que temos k tratamentos e a restrção de que k r ( + + ) 0, + A SQTr possu k - graus de lberdade Com esta notação, podemos escrever que: SQT SQR + SQTr 7 QUADRADOS MÉDIOS Dvdndo a SQR e SQTr pelos correspondentes graus de lberdade, obtemos, respectvamente o Quadrado Médo Resdual (QMR) e o Quadrado Médo Entre Tratamentos (QMTr), sto é, SQR SQTr QMR e QMTr N k k 8 ESTATÍSTICA E REGIÃO CRÍTICA DO TESTE A estatístca para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F c tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (k -) e (N k) graus de lberdade Resumdamente, ndcamos: F c ~ F( k, N K ), sob H0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca α se Fc > F( k, N K, α ), sendo, F( k, N K, α ) o quantl de ordem ( α ) da dstrbução F-Snedecor com (k -) e (N k) graus de lberdade Grafcamente temos:

35 35 9 QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) Dspomos as expressões necessáras ao teste na Tabela abaxo denomnada de Quadro de Análse de Varânca (ANOVA) Fonte de gl SQ QM F c varação Entre Tratamentos Resíduo (dentro dos tratamentos) k - k Y r Y+ N ( Y + ) r r ( + ) + N - k Yj r j TOTAL N - Y k r j j k ( Y++ ) N SQTr QMTr k SQR QMR N k QMTr QMR Pode-se provar que: E( QMR ) σ, ou seja, QMR é um estmador não vesado da varânca σ ; k r E( QMTr ) σ + τ, ou seja, QMTr é um estmador não ( k ) vesado da varânca σ se a hpótese H0 : τ τ τ k 0 é verdadera 0 DETALHES COMPUTACIONAIS Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA ( + + ) Calcule a correção para a méda CM ; N

36 36 Calcule a Soma de Quadrados dos Totas (SQT) SQT k r j j CM ; Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) r Y + SQTr CM ; r Calcule a Soma de Quadrados Resdual (SQR) pela dferença, sto é, SQR SQT SQTr ; Calcule os Quadrados Médos Entre os Tratamentos (QMTr) e o SQTr SQR Quadrado Médo Resdual (QMR) QMTr e QMR k N k QMTr Calcule F c para tratamentos F c QMR Notem que estas fórmulas computaconas assumem que exste r repetções para o -ésmo tratamento; consequentemente, para um expermento balanceado com r repetções para cada tratamento, r deve ser substtuído por r Estas váras soma de quadrados obtdas nestes cnco passos podem ser resumdas no quadro da ANOVA apresentado no tem 8 EXEMPLOS EXEMPLO Vamos consderar os dados apresentados no tem Desejamos testar a H0 : µ µ µ 3 hpótese nula H : µ µ j para pelo menos um par j Os cálculos para montarmos o quadro da ANOVA são: temos k 3, r 4, e N 3x4 Então Graus de lberdade: Total N ; Trat k 3 Re s N k 3 9 ( 40, 68 ) CM 37, 9 SQT (, 59 ) + (, 73 ) + + ( 5, 39 ) CM 53, 8 37, 8 5, 8 ( 8, 93 ) ( 3, 75 ) ( 8, 00 ) SQTr + + CM 48, 0 37, 9 0, SQR SQT SQTr 5, 8 0, 30 4, 98 0, 30 4, 98 QMTr 5, 5 e QMR 0, 55 9 QMTr 4, 98 F c 9, 3 QMR 0, 55

37 37 O quadro da ANOVA para a varável nsulna lberada é o segunte: Fonte de gl SQ QM F c varação Entre Tratamentos 0,30 5,5 9,3 Resíduo (dentro dos tratamentos) 9 4,98 0,55 TOTAL 5,8 Das tabelas das dstrbuções F, temos que 4 57 e F 8 0 O valor F c 9,3 é maor do que estes F(, 9, 0, 05 ), (, 9, 0, 0 ), valores tabelados, então rejetamos a hpótese nula H 0 a um nível α 0, 0, ou % de probabldade (se é sgnfcatvo a %, logo também é sgnfcatvo a 5%) Podemos conclur que, para um nível de α 0, 0, ou %, que a quantdade de nsulna lberada é dferente para pelo menos dos níves de glcose

38 38 Resolvendo o exemplo no R # # exemplo da Aula 3 (DIC) pg 9 # # entrando com os dados nsulna <- c(59, 73, 364, 97, 336, 40, 349, 89, 39, 48, 387, 539) r <- 4 # entrando com o número de repetções m_g<- mean(nsulna) # calculando a méda geral trat <- c(rep("baxo", r), rep("medo", r), rep("alto", r)) # entrando com os níves da nsulna (Tratamentos) trat <- factor(trat) trat n_trat <- levels(trat) # estabelecendo o objeto trat com fator e guardando no própo objeto trat # armazenando os nomes dos níves dos fatores # aplcando o comando tappl aos objetos nsulna e trat para os cálculos nos tratamentos tot_trat <- tappl(nsulna, trat, sum) # calcula a soma da cada tratamento e guarda em um objeto tot_trat m_trat <- tappl(nsulna, trat, mean) # calcula a méda da cada tratamento e guarda em um objeto m_trat s_trat <- tappl(nsulna, trat, sd) s_trat # calcula o desvo padrão de cada tratamento e guarda em um objeto # mostrando o s gráfcos box plot para cada tratamento boxplot(nsulna~trat, horzontalt,xlab"quantdade de nsulna",col"blue") boxplot(nsulna~trat, vertcalt,lab"quantdade de nsulna",col"green") #fazendo a análse de varânca nsulnaav <- aov(nsulna~trat) summar(nsulnaav) #comando da análse de varânca #mprmndo o quadro da anova Resultado da anova no R pelos comandos báscos Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat ** Resduals Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 * Outra forma de obter o quadro da ANOVA pelos comandos do pacote ExpDes nstallpackages("expdes") # nstalando o pacote ExpDes (Expermental Desgns) requre(expdes) # requerendo o ExpDes crd(trat,nsulna,mcompf) # comando que faz a análse de varânca crd (completel random desgn) Resultados da anova pelo comando da pacote ExpDes Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament Resduals Total CV 94 % Podemos chegar a mesma conclusão anterormente, smplesmente analsando o valor de p (Pr>Fc, (p0,006445)), o qual é bem menor que 0,0, sem recorrer à tabela F Assm o teste é sgnfcatvo (p0,006445), rejetamos H 0 e concluímos que a quantdade de nsulna lberada é dferente para pelo menos dos níves de glcose

39 39 O R armazena os valores da tabela da anova acma na forma matrcal ( x 5), ou seja, para obtermos, por exemplo, o valor da soma de quadrados dos tratamentos (SQTr), defnmos o segunte objeto sqtr <- anova(nsulnaav)[,] A soma de quadrados do resíduo é obtda defnndo o objeto sqr <- anova(nsulnaav)[,] Reparem que nsulnaav é o objeto que recebeu os resultados do quadro da análse de varânca no scrpt R anteror O esquema de armazenamento dos resultados do quadro da anova do DIC é Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat [,] [,] [,3] [,4] [,5] Resduals [,] [,] [,3] Para obter o valor do quadrado médo de resíduo basta dgtar o comando anova(nsulnaav)[,3] EXEMPLO : Em um expermento em que se medu o peso corporal (kg), 9 porcos foram dstrbuídos aleatoramente a 4 grupos Cada grupo fo almentado com detas dferentes Deseja-se testar se oos pesos dos porcos são os mesmos para as 4 detas Desejamos testar a hpótese nula H0 : µ µ µ 3 µ 4 H : µ µ para pelo menos um par j j As observações obtdas foram: Tratamento Deta Deta Deta 3 Deta 4 Repetções ,8 57,7 65,0 58,6 6,7 68,7 67,7 74,0 66,3 69,8 0,6 0, 00, 96,5 * 87,9 84, 83, 85,7 90,3 r Total 303,8 346,5 40,4 43, Total 9 48,9 Temos um expermento desbalanceado com número de repetções desgual para os tratamentos Então, os cálculos para montarmos o quadro da ANOVA são: Graus de lberdade: Total N 9 8; Trat k 4 3 Re s N k (48,9) CM 5736, 44 9 SQT (60,8) + + (90,3) CM 006,9 5736,44 435,75 (303,8) (346,5) (40,4) (43,) SQTr CM ,5 5736,44 40,07 SQR SQT SQTr 435,75 40,

40 40 40,07 3,67 QMTr 400,69 e QMR 8, QMTr 400,69 F c 69, 89 QmR 8,4 O quadro da ANOVA para a varável peso (kg) é o segunte: Fonte de gl SQ QM F c varação Entre Tratamentos Resíduo (dentro dos tratamentos) 3 40,07 400,69 69,89 5 3,67 8,4 TOTAL 8 435,75 Resolvendo no R # # exemplo da Aula 3 (DIC) pg 38 # # entrando com os dados de peso corporal pc <- c( 608, 577, 650, 586, 67, 687, 677, 740, 663, 698, 06, 0, 00, 965, # reparem que a Deta 4 tem 4 repetções 89, 84, 83, 857, 903) # entrando com os níves dos tratamentos trat <- c(rep("deta", 5), rep("deta", 5), rep("deta3", 4), rep( "Deta4",5)) trat <- factor(trat) trat # estabelecendo o objeto trat como fator e guardando no própo objeto trat levels(trat) # mprmndo os nves do fator trat tot_trat <- tappl(pc, trat, sum) # calcula a soma da cada tratamento e guarda em um objeto tot_trat m_trat <- tappl(pc, trat, mean) # calcula a méda da cada tratamento e guarda em um objeto m_trat sd_trat <- tappl(pc, trat, sd) sd_trat # calcula o desvo padrão de cada tratamento e guarda em um objeto boxplot(pc~trat, horzontalt,xlab"peso corporal (Kg)",col"blue") # mostrando o s gráfcos box plot para cada nvel de glcose # boxplot(pc~trat, vertcalt,lab"peso corporal (Kg)",col"green") #fazendo a análse de varânca pcav <- aov(pc~trat) # comando da análse de varânca summar(pcav) # mprmndo o quadro da anova #################################################################################### # Outra forma de resolver o exemplo usando o pacote "ExpDes" #################################################################################### nstallpackages("expdes") requre(expdes) crd(trat,pc,mcompf) # comando que faz a análse de varânca crd ncas de (completel random desgn) Resultados da anova pelos comandos báscos do R Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat e- *** Resduals Sgnf codes: 0 *** 000 ** 00 * 005 0

41 4 Resultados da anova pelos comandos do pacote ExpDes Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament e- Resduals Total CV 368 % Das tabelas das dstrbuções F, temos que F( 3, 5, 0, 05 ) 3, 87 e F( 3, 5, 0, 0 ) 5, 47 O valor F c 69,89 é maor que estes valores, então, rejetamos a hpótese nula H 0 a um nível α 0, 0, ou % de probabldade (se é sgnfcatvo a %, logo também é sgnfcatvo a 5%) Grafcamente a regra de decsão fca Podemos conclur que, para um nível de α 0, 0, ou %, que os pesos dos porcos são dferentes para pelo menos duas detas Atenção!!!! Pode-se chegar a esta mesma conclusão somente pelo valor de p da estatístca F calculada, o qual é p 8,45 e-, bem menor que 0,00, portanto sgnfcatvo a 0,% (Refazer este exemplo no R) ESTIMADORES DE MÍNIMOS QUADRADOS Nesta seção mostraremos os estmadores do modelo do DIC j µ + τ + ej Estes estmadores são obtdos mnmzando-se a expressão do erro deste modelo k r j ( ˆ ) Em relação a j j k rτ e τ + + µ e τ,,, k, sujeto a restrção Assm procedendo, obtemos os estmadores de ˆ µ ˆ + e de ˆ µ ˆ µ ˆ τ +,,,, k Para construr um ntervalo de confança para a méda de cada tratamento, devemos notar que:

42 4 + µ QMR r ~ t( n k ), é, tem dstrbução t Student com (n k) graus de lberdade Um ntervalo de confança para µ com um coefcente de confança ( α ) é dado por QM Re s IC( µ ; α ) ± + t α, ( ; N k ) r sendo, (, N k ) t α o quantl de ordem ( α ) da dstrbução t Student com (n k) graus de lberdade, os mesmos graus de lberdade do resíduo da ANOVA Como prmero exemplo, vamos consderar os dados do expermento apresentado no tem As médas destes dados são: e + 303, 60, 6 ; 5 43, 4+ 86, , 50 5 e a méda 69, 30 ; geral é , , 3 00, 35; do quadro da ANOVA temos o valor do QMR para calcular desvo padrão médo para os tratamentos, e 4 é QMR 8, 557 r 5, 3 Para o tercero tratamento o erro padrão médo é QMR 8, 557 r 4, 46 o valor de t( 0, 05; 5 ), 34 Assm, os ntervalos são: 8, 557 IC( µ ; 95%) + ±, ±, 3, para,, e4 8, 557 IC( µ ; 95%) + ±, ±, 46, para 3 Deta Deta Deta 3 Deta 4 60,6 69,30 00,35 86,4 IC( µ, 95%) (59,3; (67,99; 70,6) (98,89; 0,8) (84,93; 87,55) 6,93) Problema: dentfcar quas as Detas (tratamentos) que tveram efetos não nulos sobre o peso dos suínos Como segundo exemplo, vamos consderar os dados do expermento apresentado no tem, cujos cálculos foram mostrados no tem 0 As médas destes dados são: 8,93 3, 75 8, 00 +, 3 ; + 3, 44 ; 3+ 4, 50 e ; 3, 39 ++

43 43 do quadro da ANOVA temos os valores de SQR para calcular QMR 0, 553 0, 37 ; r 4 o valor de t( 0, 05, 9 ), 6 Assm, os ntervalos são: 0, 553 IC( µ ; 95%) + ±, ± 0, 84 Nível baxo de glcose Nível médo de glcose Nível alto de glcose,3 3,44 4,50 IC( µ, 95%) (,389; 3,07) (,599; 4,8) (3,659; 5,34) Problema: dentfcar quas os níves de glcose (tratamentos) que tveram efetos não nulos sobre a lberação de nsulna dos tecdos Resolvendo no R glr <- anova(nsulnaav)[,] # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova glr qmr <- anova(nsulnaav)[,3] # obtenção da QMR no quadro da anova qmr alpha <- 005 cte <- qt(-nv/,glr)*sqrt((qmr/r)) cat("ic( mu de ",n_trat[],";", -alpha,"%) (",m_trat[] - cte,";",m_trat[]+cte,")\n") cat("ic( mu de ",n_trat[],";", -alpha,"%) (",m_trat[] - cte,";",m_trat[]+cte,")\n") cat("ic( mu de ",n_trat[],";", -alpha,"%) (",m_trat[3] - cte,";",m_trat[3]+cte,")\n") ########################################################################## # CALCULO DO IC POR MEIO DE UMA FUNÇÃO ########################################################################## c<-functon(r,meda,qmr,glr,alfa,ntrat) { cte <- qt(-alfa/,glr)*sqrt((qmr/r)) cat("ic( mu de ",ntrat,";", -alfa,"%) (",meda - cte,";",meda+cte,")\n") } c(r,m_trat[],qmr,glr,005,n_trat[]) # ntervalo de confança para o º tratamento c(r,m_trat[],qmr,glr,005,n_trat[]) # ntervalo de confança para o º tratamento c(r,m_trat[3],qmr,glr,005,n_trat[3]) # ntervalo de confança para o 3º tratamento ################################################### # OUTRA FORMA DE OBTER OS IC AO MESMO TEMPO ################################################### for ( n :3) c(r,m_trat[],qmr,glr,005,n_trat[]) 3 COEFICIENTES DE DETERMINAÇÃO (R ) E DE VARIAÇÃO (CV) A parte da Soma de Quadrados Total (SQT), a varação total nas observações, que pode ser explcada pelo modelo matemátco do DIC, é denomnada de coefcente de determnação Assm, o coefcente de determnação para modelo do DIC, j µ + τ + ej, é defndo como SQTr R SQT Pode ser verfcado que 0 R e que R quando toda varabldade nas observações esta sendo explcada pelo modelo matemátco do DIC A varabldade entre as undades expermentas de expermentos envolvendo dferentes undades de meddas e/ou tamanhos de parcelas pode ser comparada pelos coefcentes de varação, os quas expressam o desvo padrão por undade expermental como uma porcentagem da méda geral do expermento, ou seja,

44 44 S CV * Da ANOVA sabemos que S QMR, daí resulta que QMR CV * Como exemplo vamos consderar os dados do expermento apresentado no tem, cujos cálculos foram mostrados no tem 0 Neste exemplo temos: SQTr 0, 30 SQT 5, 8 e SQTr 0, 30, então R 0, 674 SQT 5, 8 QMR 0, 55 CV * 00 * 00, 88% ++ 3, 39 Concluímos que 67,4% da varabldade que exste nas observações deste expermento são explcadas pelo modelo matemátco do DIC e que este expermento apresenta um coefcente de varação de aproxmadamente % Resolvendo no R # # calculo do CV # cv <- sqrt(qmr)/mean(pc)*00 cv sqtr <- anova(pcav)[,] # obtenção da soma de quadrados dos tratamentos do quadro da anova sqtr sqr <- anova(pcav)[,] # obtenção da soma de quadrados do resíduos quadro da anova sqr r <- sqtr/(sqtr+sqr)*00 # calculo do R r 4 CHECANDO AS VIOLAÇÕES DAS SUPOSIÇÕES DA ANOVA Falando de um modo geral, o teste F da ANOVA não é muto sensível às volações da suposção de dstrbução normal Ele também é moderadamente nsensível às volações de varâncas guas, se os tamanhos das amostras são guas e não muto pequenas em cada tratamento Entretanto, varâncas desguas podem ter um efeto marcante no nível do teste, especalmente se amostras pequenas estão assocadas com tratamentos que têm as maores varâncas Exste uma sére de procedmentos para se testar se as suposções da ANOVA são volados Entre estes temos o teste de Anderson-Darlng, teste de Shapro-Wlks e teste de Kolmogorov-Smrnov, que testam a normaldade da população A gualdade das varâncas (homocedastcdade) pode ser testada pelos testes de Bartlett e de Levene Com o advento dos modernos computadores, métodos gráfcos são ferramentas muto populares para checar as volações das hpóteses da ANOVA Alguns destes métodos gráfcos mas comumente usados para checar as suposções da ANOVA são baseados em gráfcos denomnados gráfcos dos resíduos Resíduos O resíduo correspondente a uma observação e ˆ ˆ µ ˆ τ, j j j j j + j é defndo como:

45 45 ou seja, o resíduo corresponde á parte da observação que não fo explcada pelo modelo Calculando os resíduos correspondentes a todas as observações de um expermento e analsando-os descrtvamente de forma aproprada, podemos saber se as suposções da ANOVA estão sendo satsfetas Gráfco dos resíduos para testar a normaldade Técncas gráfcas para checar se uma amostra de resíduos é provenentes de uma população normal ncluem os gráfcos do Hstograma, do Box Plot, etc Outra mportante técnca é o gráfco q-q normal (quantle-quantle normal plot) O gráfco q-q normal, é um gráfco entre os resíduos e um conjunto de percents devdamente escolhdos da normal padronzada Sob a hpótese de normaldade este gráfco q-q normal deve se aproxmar de uma reta Se o gráfco é sgmóde é uma ndcação de que a população tem as caudas pesadas ou leves A assmetra é ndcada por gráfcos côncavos (assmetra a esquerda) e convexos (assmetra a dreta) O prmero passo na construção de um gráfco q-q normal é o cálculo de nº de resíduos ej pj, a qual é denomnada de probabldade empírca N + posto de ej acumulada, e está assocada a todo e j, de tal forma que pj N + Por exemplo, a probabldade empírca acumulada assocada ao resíduo, cujo posto é o sexto (seu rank6) em um conjunto de N0 resíduos é p6/ 0545 O gráfco q-q normal de um conjunto de resíduos é obtdo com o gráfco dos resíduos e j vs qj z α ( pj ), Sendo que: z α é o valor crtco de nível α de uma dstrbução normal padronzada Exemplo: vamos consderar os dados apresentados no tem Vamos construr um gráfco q-q normal para ver se a suposção de normaldade parece razoável para a quantdade de nsulna lberada O Quadro abaxo apresenta os dados, o valor estmado pelo modelo, os resíduos e os percents assocados: j Yj Yest ej R(ej) Pj qj e o gráfco q-q normal ( e x ) fca sendo: j q j

46 46 e os gráfcos do Hstograma e do Box Plot dos resíduos fcam: Pelo gráfco qq normal, pelo hstograma e pelo Box-Plot é razoável supor a normaldade para os dados de lberação de nsulna A seqüênca de comandos no R que fornece os resultados acma são: resduo <-nsulnaav$res # extrando os resíduos do objeto pcav resduo par(mfrowc(,)) # dvdndo a tela gráfca em colunas e uma lnha hst(resduo, man"hstograma dos Resíduos",lwd,col"green") # hstograma dos resíduos boxplot(resduo, horzontalt,man"boxplot dos resíduos", col"blue",lwd) # gráfco boxplot dos resíduos Porém, estes recursos gráfcos não são quanttatvos É necessáro um teste O programa R fornece o teste de normaldade de Shapro-Wlks, o qual testa as hpóteses: H0 : a população amostrada tem dstrução normal H : a população amostrada não tem dstrução normal ou H : e 0 H : e j j ~ N(0, σ ) não tem N(0, σ )

47 47 Shapro-Wlk normalt test data: res W 08796, p-value No resultado fornecdo pelo R e pelo valor de p (p0,08657) assocado a estatístca W de Shapro-Wlks, não rejetamos H 0, logo é razoável supor a normaldade para os dados de lberação de nsulna Para o teste da homogenedade da varânca o R fornece o teste de Bartlett, Bartlett test of homogenet of varances data: nsulna b trat Bartlett's K-squared 7, df, p-value 0599 o qual testa as hpóteses H : σ σ σ 0 3 H : σ σ j j Pelos resultados destes testes não rejetamos H 0, o nível mínmo de sgnfcânca do teste é p0,599 (p>0,05) O teste é não sgnfcatvo Concluímos, então, que a homogenedade das varâncas é uma suposção plausível para os dados da lberação da nsulna Assm é razoável supor que este conjunto de dados suporta as suposções báscas de normaldade e homogenedade da varânca para a correta aplcação da ANOVA Abaxo esta os comandos no R que testam as suposções da normaldade e da homogenedade das varâncas no DIC # teste de Shapro-Wlks de normaldade shaprotest(resduo) # teste de Bartlett da homogenedade das varâncas bartlett,test(nsulna ~ trat) 5 vantagens e desvantagens do DIC As prncpas vantagens do DIC são: é fácl de ser planejado e é flexível quanto ao número de tratamento e de repetções tendo como únca lmtação o número de undades expermentas dsponíves para o expermento; o número de repetções pode varar de tratamento para tratamento, embora o desejável é ter o mesmo número de undades expermentas em todos os tratamentos; o DIC proporcona o número máxmo de graus de lberdade para o resíduo; a análse estatístca é smples mesmo que se perca algumas undades expermentas Algumas desvantagens são: é mas aproprado para um pequeno número de tratamentos e para um materal expermental homogêneo; todas as fontes de varação não assocadas aos tratamentos farão parte do resíduo, podendo comprometer a precsão das análses; super-estma a varânca resdual

48 48 RESUMO O DIC é mas útl onde não exste nenhuma fonte de varação dentfcável entre as undades expermentas, exceto às dos efetos dos tratamentos É o mas flexível com respeto ao arranjo físco das undades expermentas Ele maxmza os graus de lberdade para a estmação da varânca por undade expermental (erro expermental ou erro resdual) e mnmza o valor da estatístca F requerdo para a sgnfcânca estatístca Resolvendo o exemplo utlzando o pacote EXpDes no R Pacotes (packages) ou bblotecas (lbrar) são os nomes mas usados para desgnar conjuntos de funções, exemplos, e documentações desenvolvdas para determnadas tarefas Os comandos báscos do R, por exemplo, estão em uma bbloteca, chamada, base Exstem númeras bblotecas, algumas já nclusas na nstalação do R No R podem-se encontrar pacotes desenvolvdos pelos responsáves pelo R ou mplementados por usuáros # executando a análse de varânca pelo pacote ExpDes nstallpackages("expdes") # Atenção! é necessáro uma conexão com a nternet requre(expdes) # requerendo o pacote ExpDes LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO 3 VIEIRA, S Análse de Varânca São Paulo, ed, Atlas: p VIEIRA, S Estatístca Expermental São Paulo, ed, Atlas, p SHCHLOTZHAUER, S LITTELL, R C SAS Sstem for elementar statstcal analss edcar, NC: SAS Insttute Inc999, 456p SAMPAIO, IBM Estatístca aplcada à expermentação anmal Belo Horzonte: Fundação de Ensno e Pesqusa em Medcna Veternára e Zootecna, 3 ed 00 64p PEREZ, PA, SALDIVA, C D Planejamento de expermentos 5º SIMPÓSIO NACIONAL DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 98, 98p PETERNELLI, A, MELLO, M P Conhecendo o R : uma vsão estatístca Vçosa: Edtora UFV, ed 0, 85p CRAWLEY, MJ The R Book Wle and Sons, Ltd, 006, 949p (pdf) RIBEIRO JÚNIOR, P J R Introdução ao Ambente R (apostla dsponível em

49 49 CAPITULO 4 Testes de Comparação Múltplas TESTES DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Os testes de comparações múltplas também, conhecdos como testes de comparações de médas, servem como um complemento ao teste F da análse de varânca quando este é sgnfcatvo e são usados para detectar dferença entre médas Vejamos o exemplo a segur Exemplo Em um expermento de almentação de porcos, foram utlzados quatro rações (A, B, C e D), cada uma fornecda a 5 anmas Os ganhos de peso, kg, foram: Rações A B C D Calculando-se as somas de quadrados podemos construr o segunte quadro de análse de varânca: Fonte de gl SQ QM F c varação Entre Tratamentos (Rações) Resíduo (dentro dos tratamentos - Rações) 3 83,75 74,58 3, ,00 68,75 TOTAL 9 93,75 Das tabelas das dstrbuções F, temos que F( 3, 6, 0, 05 ) 3, 4 e F( 3, 6, 0, 0 ) 5, 9 O valor F c 3,99 é maor que o valor do F tabelado a 5%, então, rejetamos a hpótese nula H 0 a 5 % de probabldade Dúvda: Qual é a ração que tem o melhor desempenho no ganho de peso? Para responder a questão, conheceremos alguns PROCEDIMENTOS DE COMPARAÇÕES DE MÚLTIPLAS ou MÉTODOS DE COMPARAÇÕES DE MÉDIAS, como por exemplo, os testes t-student, Scheffé, Tuke, Duncan, Dunnett e Bonferron, dentre outros

50 50 DEFINIÇÕES BÁSICAS INICIAIS Consderemos um expermento com k tratamentos, cujas médas populaconas são µ, µ,, µ K e cujas estmatvas x, x,, xk foram obtdas de amostras de tamanhos r, r,, r K Defnção Um contraste de médas é qualquer função do tpo Y c µ + c µ + + µ, ck k k c + c + + ck 0 com c e µ, é a méda do tratamento,,, k Defnção k a b Dzemos que dos contrastes são ortogonas se 0 Quando o r expermento é balanceado (r r) a condção de ortogonaldade é que a soma dos produtos de seus coefcentes é nula, é, a b 0 Quando um expermento envolve k tratamentos, podemos defnr dversas comparações entre as k médas, mas somente (k ) são ortogonas; Nos contrastes envolvendo duas médas podemos defnr k ( k ) contrastes possíves, os quas não são ortogonas Supondo que os tratamentos têm varânca constante σ e que uma estmatva não vesada desta varânca é o QMR da ANOVA, tem-se que: Y ˆ c x + c x + c x + + c x é um estmador não vesado do 3 3 n k contraste Y cµ + c µ + + ck µ k ; n σ σ V( Yˆ ) ( c + c + + cn ) c e um estmador não r r n QMR QMR vesado é Vˆ ( Yˆ ) ( c + c + + cn ) c, se o r r expermento é balanceado r r r K r, as expressões acma fcam, respectvamente, n σ σ V( Yˆ ) ( c + c + + cn ) c e r r n QMR QMR Vˆ ( Yˆ ) ( c + c + + cn ) c r r k

51 5 Exemplo Em um expermento dos antbótcos em duas dosagens cada um para a cura da mastte em bovnos A varável resposta é tempo de cura em das Tratamento Descrção Dose baxa da droga A Dose alta da droga A 3 Dose baxa da droga B 4 Dose alta da droga B Podemos defnr os seguntes contrastes: Y µ + µ µ 3 µ 4 : compara as doses da droga A com as doses da droga B; Y µ µ : compara as doses da droga A; Y 3 µ 3 µ 4 : compara as doses da droga B A afrmação de que o contraste Y é nulo (Y 0) é o mesmo que afrmar µ + µ µ 3 + µ 4 que: µ + µ µ 3 + µ 4, ou que,, ou anda, que a méda dos tratamentos e é gual à méda dos tratamentos 3 e 4 Para verfcarmos se estes contrastes são ortogonas é aconselhável uma tabela com os coefcentes dos (k ) contrastes e a partr daí, verfcar que a soma dos produtos dos coefcentes, aos pares, é nula Contraste µ µ µ 3 µ 4 Y Y Y Portanto estes contrastes são ortogonas a dos e ortogonas entre s 3 TESTE t - STUDENT O teste t student pode ser utlzado para comparar médas de tratamentos Os requstos báscos para sua utlzação são: as comparações devem ser determnadas a pror, ou seja, antes de serem examnados os dados não exste lmte para o número de contrastes envolvendo as médas de tratamentos, porém, o número de contrastes ortogonas é, no máxmo, gual ao número de graus de lberdade dos tratamentos A ortogonaldade entre os contrastes de médas garante ndependênca entre as conclusões

52 5 O objetvo é testar a hpótese H0 : Y 0, H : Y 0 Yˆ ˆ Y Usamos a estatístca t ~ t( gl res, α ), a qual sob H 0 ˆ( ˆ k V Y ) QMR c r verdadera tem dstrbução t-student com o mesmo número de graus de lberdade do resíduo, no DIC é ( n-k ) Para um valor fxado de nível de sgnfcânca α, devemos buscar o valor de t tabelado (arquvo Tab_tstudent, dsponblzado na págna ou nos lvros ndcados na bblografa) e compará-lo com o valor da estatístca t c, calculada para o contraste Y e aplcar a regra de Decsão: Se tc ttabelado rejetamos H 0 para um determnado valor de α, geralmente 5% ou %, caso contráro ( t c < ttabelado ), não rejetamos H 0 (veja o esquema gráfco desta regra de decsão apresentado no tem 6 da ª Aula) Exemplo : Num expermento nteramente casualzado com 4 tratamentos e 4 repetções, estudaram-se os efetos de Bactracna de znco(bdz) e Antstress sobre frangos de corte almentados com rações à base de sorgo, desde a fase ncal até a fnal A resposta medda fo conversão almentar Foram utlzados os seguntes tratamentos: Tratamento Descrção Méda(kg) Concentrado Comercal + Mlho,03 Concentrado Comercal + Sorgo,4 3 Concentrado Comercal + Sorgo +,04 BDZ 4 Concentrado Comercal + Sorgo + Ant-stress, Sabendo-se que da ANOVA o valor do QMR 0, , com graus de lberdade Pode - se estabelecer os contrastes de médas dos tratamentos para cada componente do desdobramento: Mlho vs sorgos, o qual é expresso pela combnação lnear Y 3µ µ µ 3 µ 4, estmado por Yˆ 3x x x3 x4 ; Sorgo vs Sorgo + Adtvos, o qual é expresso pela combnação lnear Y µ µ 3 µ 4, estmado por Yˆ x x3 x4 ; Bactracna vs Ant-stress, o qual é expresso por Y µ µ, etmado por Y x ; x4

53 53 A verfcação se os contrastes são ortogonas pode ser feta faclmente no quadro abaxo: Contraste µ µ µ 3 µ 4 Ŷ I Y ,4-3,55 (p0,0098) Y , 6,70 (p0,0097) Y ,8-3,8 (p0,00) 3 p< 0,0 sgnfcatvo a % e a 5%; p< 0,05 sgnfcatvo a 5% e p> 0,05 não-sgnfcatvo a 5% H0 : Y 0 O objetvo é testar a hpótese, para,,3 H : Y 0 Assm, para o contraste Y, temos que: H0 : Y 0 H : Y 0 Yˆ 3(, 03 ) (, 4 ) (, 04 ) (, ) 0, 4 e 4 QMR 0, Vˆ ( Yˆ ) c 0, 033 r 4 Yˆ 0, 4 tc 3, 55 4 QMR 0, 033 c r t(, 0, 05 ), 79 Como t c > ttab, então rejetamos H 0 (0,005<p<0,00) (Repetr estes passos para os contrastes Y e Y 3 ) Resolvendo no R # fornecendo os valores : r <- 4 # repetções glr <- # graus de lberdade do resíduo qmr < # quadrado médo do resíduo m_trat <- c( 03, 4, 04, ) # médas dos tratamentos c <- c( 3, -,-,-) #coefcentes do contraste varc<- qmr/r*sum(c^) #calculo da varânca do contraste t <- sum(c*m_trat)/sqrt(qmr/r*sum(c^)) # estatístca t-student t valorp<- -pt(abs(t),glr) valorp (repta este procedmento adaptando-o aos demas contrastes) Com base nos resultados dos testes de hpóteses, concluímos que: os anmas tratados com o concentrado comercal + mlho têm uma conversão almentar melhor do que os anmas tratados com concentrado comercal + sorgo; os anmas tratados com o concentrado comercal + sorgo+adtvos têm uma conversão almentar melhor do que os anmas tratados com concentrado comercal + sorgo, ou seja, os adtvos BDZ e ant-stress quando adconados ao concentrado comercal não melhoram a conversão almentar; 4 I c t c

54 54 os anmas tratados com o concentrado comercal + sorgo+bdz têm uma conversão almentar melhor do que os anmas tratados com concentrado comercal + sorgo+ant-stress 4 TESTE DE SCHEFFÉ O teste de Scheffé pode testar qualquer contraste envolvendo médas de tratamentos do tpo Y cµ + c µ + + ck µ k defndo a pror ou não, sendo baseado na estatístca S, defnda como: Expermento balanceado r r para todo S ( k ) F ( k ) F ( k, gl res, α ) ( k, gl res, α ) QMR Vˆ( Yˆ ) k c r ; Expermento desbalanceado r r para j j k ( S ( k ) F k, gl res, α ) QMR c r ; Sendo: k o número de graus de lberdade de tratamentos; F( k, gl res, α ) é o valor crítco da Tabela F-Snedecor, a qual depende dos graus de lberdade de tratamentos e do resíduo; c são os coefcentes do contraste e r é o número de repetções do -ésmo tratamento A Regra de Decsão do teste de Scheffé para sabermos se o contraste é dferente de zero, comparamos estmatva do contraste Ŷ com o valor de S: se Y S, rejetamos a hpótese H0 : Y 0, e concluímos que o contraste de médas é dferente de zero; se Y < S, não rejetamos a hpótese H0 : Y 0, e concluímos que o contraste de médas não é dferente de zero; Aplcando o teste de Scheffé ao exemplo anteror do teste de t-student, temos; Contraste µ µ µ 3 µ 4 Y ,4 0,3733 * Y , 6 0,640 * Y ,8 0,54 ns 3 * sgnfcatvo a 5%; ns não sgnfcatvo a 5% H0 : Y 0 O objetvo é testar a hpótese, para,,3 H : Y 0 Assm, para o contraste Y, temos que: H0 : Y 0 H : Y 0 Ŷ I 4 I c S

55 55 Yˆ 3(, 03 ) (, 4 ) (, 04 ) (, ) 0, 4 e 4 QMR 0, Vˆ ( Yˆ ) c 0, 033 r 4 0, S ( 4 ) F( 3,, 0, 05 ) (( 3 ) ) 4 0, ( 4 )( 3, 49 )( )( ) 0, 394 0, Pela regra de decsão Y > S, logo rejetamos H 0 a 5% de probabldade e concluímos que a ração comercal com mlho tem um desempenho melhor do que a que a ração comercal com sorgo Resolvendo no R # fornecendo os valores : r <- 4 # repetções gltr<- 3 # graus de lberdade dos tratamentos glr <- # graus de lberdade do resíduo qmr < # quadrado médo do resíduo m_trat <- c( 03, 4, 04, ) # médas dos tratamentos c <- c( 3, -,-,-) # coefcentes do contraste est_<- sum(c*m_tr) est_ varc<- qmr/r*sum(c^) #calculo da varânca do contraste varc s <- sqrt(gltr*qf(095, gltr, glr)*varc) # estatístca s de SCHEFFÉ s #compare est_ e s e tome a decsão (Repetr esse procedmento para os contrastes Y e Y 3 e trar as conclusões) 5 TESTE DE TUKEY O Teste de Tuke é baseado na ampltude total estudentzada (studentzed range) e pode ser usado para comparar todo contraste entre duas médas de tratamentos H0 : Y µ µ j 0 para j Hpóteses: H : Y µ µ j 0 Calcular o valor da dferença mínma sgnfcatva (dms): Expermento balanceado r r para todo Expermento desbalanceado r r para j j dms q ( k ; gl res, α ) QMR r QMR dms q( k; gl res, α ) ( + ) r r j Sendo: q( k, gl res, α ) é o valor da ampltude total estudentzada e é obtdo de tabela própra, e depende do número de tratamentos (k) e do número de graus de lberdade para o resíduo, o qual neste exemplo é (n - k) Após calcular o dms, calculamos a estmatva dos contrastes entre os pares

56 56 de médas Y ˆ x x e comparamos esses valores com o valor do j dms, aplcando a segunte regra de decsão: se Yˆ d m s rejetamos H 0, ao nível a de sgnfcânca, e concluímos que as médas dos tratamentos envolvdos são dferentes; se Yˆ < d m s não rejetamos H 0 e concluímos que as médas dos tratamentos envolvdos são guas Exemplo : (usaremos os dados do exemplo apresentado no níco desta aula) k 5, QMR 68, 75 com 6 graus de lberdade e q 3, 30 e ( 5, 6, 0,05α ) QMR 68,75 dms q( k; n k, α ) 4,046 5,00 r 5 Assm, toda estmatva de contraste do tpo Y ˆ x x que exceder o valor do dms 5,00 é sgnfcatvo a 5% j Estmatva do contraste Y ˆ Y xb xa ns ˆ Y xc xa ns ˆ3 Y xd xa 6 4 ns ˆ4 xb xc ns Y ˆ5 x 39 B x 7 * Y D ˆ6 xc xd 3 0 ns * - sgnfcatvo a 5%; ns não sgnfcatvo a 5%

57 57 Resolvendo no R # # entrando com o número de repetções dos tratamentos # r <- 5 trat <- c(rep("a",r),rep("b",r),rep("c",r),rep("d",r)) trat # # dzendo ao R que as letras do objeto trat são níves do fator no expermento # trat <- factor(trat) # # entrando com os valores # gp <- c(35,9,3,5,30, 40,35,46,4,33, 39,7,0,9,45, 7,,3,8,30) gp # # meda dos tratamentos # m_gp <- tappl(gp,trat,mean) m_gp # # Gráfco Box-Plot # boxplot(gp~trat, vertcalt,lab"ganho de peso",col"gra") # meda dos tratamentos # m_gp <- tappl(gp,trat,mean) # # Análse da varânca - ANOVA # gpav <- aov(gp~trat) anova(gpav) summar(gpav) # # obtendo os resduos # resduo <- aov(gpav)$res res # # gerando o gráfco normal de probabldade # qqnorm(resduo,lab"resduos", mannull) # # colocando a reta da normal # qqlne(resduo) ttle("gráfco Normal de Probabldade dos Resíduos") # # testando a normaldade dos resíduos "Teste de Shapro-Wlks" # shaprotest(resduo) # # teste da homogenedade das varâncas "Teste de Bartllet" # bartletttest(gp ~ trat) # # Teste de Tuke # gptu <- TukeHSD(gpav) gptu # #Grafco do teste de Tuke # plot(gptu) # Resultado do teste de Tuke no R Tuke multple comparsons of means 9 5% faml-wse confdence level Ft: aov(formula gp ~ trat) $trat dff lwr upr p adj B-A C-A D-A C-B D-B D-C Uma forma smples de apresentação destes resultados é o segunte:

58 58 coloque as médas em ordem decrescente; una as médas que não dferem entre s por meo de uma lnha No exemplo temos: x D xa xc xb médas segudas pela mesma lnha não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5% de probabldade Outra forma, muto utlzada pelos pesqusadores é a que substtu a lnha por letras, ou seja, x D xa xc xb a 6ab 3ab 39b, médas segudas pela mesma letra mnúscula não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5% de probabldade ou anda, Tratamentos Médas D a A 6 ab C 3 ab B 39 b médas segudas pela mesma letra mnúscula nas colunas não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5% de probabldade 6 TESTE DE DUNNETT É um teste utlzado quando as úncas comparações de nteresse são aquelas entre um determnado tratamento padrão, geralmente a testemunha (controle), e cada um dos demas tratamentos, não havendo nteresse na comparação dos demas tratamentos entre s Para testarmos o contraste H 0 : µ µ c, o qual envolve a méda do tratamento e do tratamento controle c, usamos a estatístca: D d( k, gl res, α ) ( + ) QMR, r rc sendo: d ( k, gl res, α ) o valor tabelado para α 5%, que depende do número total de tratamentos (k), do número de graus de lberdade do resíduo, o qual neste exemplo é (n-k) e de α ; r e r c correspondem ao número de repetções dos tratamentos e c A segur, calculamos uma estmatva para cada um dos contrastes Y ˆ x x e comparamos c o valor da estatístca D' e aplcamos a segunte regra de decsão: se Yˆ D rejetamos H 0 e concluímos que a méda do tratamento dfere sgnfcatvamente da méda do tratamento c o padrão; se Yˆ < D não rejetamos H 0 e concluímos que a méda do tratamento é gual ao do tratamento padrão c

59 59 Como exemplo, consdere as médas de um expermento, apresentados na tabela abaxo, em que um médco veternáro, comparou o efeto de cnco drogas na dmnução da pressão arteral de anmas expermentas Para tanto o pesqusador tomou 30 anmas e dvdu ao acaso em ses grupos: o grupo controle recebeu um placebo e os outros receberam, cada um, uma das drogas Tratamentos (Drogas) A B C D E Controle Médas a 8 b 0 b 9 a 3 a b Médas com a mesma letra do controle nao dferem deste pelo teste de Dunnett a 5% de probabldade A verfcação destes resultados pode ser feta por meo dos resultados da ANOVA, onde QMR 36, os graus de lberdade do resíduo é 4 e vamos fxar α 5% Procedmentos: consultando a Tabela do Teste de Dunnett (VIEIRA, S pg 83 e 84) a 5% de probabldade, temos que d( 6, 4, 0, 05 ), 76 e a ( 36 ) estatístca D, 76 0, 47 5 é fácl verfcar que as drogas A, D e E dferem sgnfcatvamente do controle, ou seja, apresentam resultados melhores que os do controle 7 TESTE DE DUNCAN A aplcação do teste de Duncan (955) é bem mas trabalhosa que o teste de Tuke, mas chega-se a resultados mas detalhados e se dscrmna com mas facldade entre os tratamentos Geralmente, o Teste de Duncan ndca resultados sgnfcatvos em casos em que o Teste de Tuke não permte obter sgnfcânca estatístca Para a aplcação do teste é mportante ordenarmos as médas dos tratamentos em ordem crescente ou decrescente de tamanho A segur, calculamos o valor da ampltude total mínma sgnfcatva (shortest sgnfcant range) para o contraste entre a maor e a menor das médas dos tratamentos, usando a fórmula: QMR d m s z( p, gl res, α ), r sendo: p-j+ ( nº de médas abrangdas pelo ntervalo delmtado pelas médas comparadas), z ( p, gl res, α ) é o nível α da ampltude mínma estudentzada de Duncan (obtdo da Tabela de Duncan arquvo Tab_Duncan_5%pdf), neste exemplo os graus de lberdade do resíduo são n-k

60 60 A regra de decsão é: se Yˆ d m s rejeta-se H 0, ou seja, se o valor absoluto da dferença entre as médas em comparação é gual ou maor que a dms se Yˆ < d m s não rejetamos H 0 Consdere os dados do tem 6 desta aula A ordem dos tratamentos, segundo a grandeza das médas, é: Tratamentos Controle B C E A D médas () (8) (0) (3) () (9) O valor do dms para comparar a méda do Controle com a méda da Droga D é: 36 d m s 3, 76 8, 79, 5 Sendo que o valor de p6-+6, o valor dos graus de lberdade neste exemplo é n-k4 e α 5% Daí que o valor Tabelado é z( 6, 4, 0, 05 ) 3, 76 O valor Yˆ xcont xd 9 7 7, o que pela regra de decsão nos leva a rejetar a H0 : Y 0 e concluímos que a méda da Droga D é sgnfcatvamente maor que a méda do controle, a 5% de probabldade As comparações entre o controle e a Droga A, e entre as Drogas B e D, envolvem ntervalos de cnco médas e o calculo do dms do teste de Duncan fca: os contrastes são Y µ Cont µ A e Y3 µ B µ D e seus valores de suas estmatvas em módulo são ˆ 9 e Y 8 9 e o valor da Y 3 36 d m s 3, 6 8, 66 Neste caso z( 5, 4, 0, 05 ) 3, 6, 5 portanto, rejetamos as hpóteses H0 : Y µ Cont µ A 0 e H0 : Y3 µ B µ D 0 e concluímos que estes contrastes são sgnfcatvos a 5% de probabldade Da mesma forma para comparar o controle e a Droga E, as Drogas B e A, e as Drogas C e D, todas elas envolvendo quatro médas, temos, os contrastes Y 4 µ Cont µ E, Y5 µ B µ A e Y6 µ C µ D e seus valores de suas estmatvas em módulo são ˆ 3, Y 8 3 e Y e o valor Y da d m s 3, 60 8, 48 Neste caso z( 4, 4, 0, 05 ) 3, 60 5 Portanto rejetamos as hpóteses H : Y µ µ 0 ; H : Y µ µ 0 e H : Y µ µ 0 4 Cont E 0 5 B D 0 6 C D 0

61 6 e concluímos que estes contrastes são sgnfcatvos a 5% de probabldade Este mesmo procedmento pode ser feto para comparar médas de tratamentos correspondendo a ntervalos que abrangem três médas, sendo que neste caso, z( 3, 4, 0, 05 ) 3, 066 e duas a duas com z(, 4, 0, 05 ), 99 (ver detalhes destes cálculos no lvro da Vera, S Estatístca expermental p 66) O resultado da aplcação do teste de Duncan é representado da segunte manera: Tratamentos Controle B C E A D médas ()a (8)ab (0)ab (3)b ()c (9)d Médas segudas pela mesma letra mnúscula não dferem entre s pelo teste de Duncan a 5% de probabldade 8 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O USO DE PROCEDIMENTOS DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Quando desejamos comparar os dversos tratamentos com um tratamento controle ou padrão (testemunha), o teste de Dunnett é o mas ndcado Os testes de Duncan e de Tuke têm fundamentos muto semelhantes, mas o teste de Duncan é menos conservador e menos exgente que o teste de Tuke, sto é, ndca dferenças sgnfcatvas com mas facldade Vale lembrar também que o teste de Duncan é um teste seqüencal e a sua aplcação é mas trabalhosa Ambos os testes são exatos quando os números de repetções por tratamento forem guas; caso contráro os testes são apenas aproxmados O teste t- Sudent é pouco rgoroso quando usado ndscrmnadamente, devendo ser usado com cautela para testar contrastes ortogonas defndos a pror Já o teste de Scheffé é bastante rgoroso e seu uso é desaconselhável (como o teste t-student) para a comparação entre duas médas de tratamentos, sendo mas ndcado para testar contrastes mas complcados Aplcando os testes de comparações múltplas no R utlzando os pacotes agrcolae e ExpDes nstallpackages("agrcolae") requre("agrcolae") # Instatlando o pacote "agrcolae" # requerendo o pacote agrcolae comparatu <- HSDtest(gpav,"trat") # teste de Tuke bargroup(comparatu,man"teste de Tuke", lmc(0,50), xlab"tratamentos (Rações)") # gráfco de barras das médas com as letras de acordo com o teste de Tuke gpdu <- duncantest(gpav,"trat") # teste de Duncan bargroup(gpdu,man"teste de Duncan",lmc(0,50), xlab"tratamentos (Rações)") # gráfco de barras das médas com as letras de acordo com o teste de Duncan gpscheffe <- scheffetest(gpav,"trat")# teste de Scheffé bargroup(gpscheffe, man"teste de Scheffé",lmc(0,50), xlab"tratamentos (Rações)") # gráfco de barras das médas com as letras de acordo com o teste de Scheffé nstallpackages("multcomp") # nstalando o pacote multcomp requre(multcomp) # requerendo o pacote multcomp gpdunnett <- glht(gpav, lnfct mcp(trat "Dunnett")) # teste de Dunnett summar(gpdunnett) #################################################################################################### # UTILISANDO O PACOTE ExpDes #################################################################################################### nstallpackages( ExpDes ) requre(expdes) crd(trat, gp, qualtrue, mcomp "tuke" ) # teste de Tuke pelo pacote ExpDes crd(trat, gp, qualtrue, mcomp "duncan" ) # teste de Duncan pelo pacote ExpDes

62 LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO 4 6

63 63 CAPITULO 5 TESTES F PLANEJADOS TESTES F PLANEJADOS No planejamento de um expermento, frequentemente pode-se utlzar o teste F para responder algumas questões mas específcas Isto mplca na decomposção dos graus de lberdade e da soma de quadrados do efeto dos tratamentos em componentes de comparações Estes componentes podem ser classes de comparações ou tendênca das respostas Eles podem ser testados pela partção dos graus de lberdade e da soma de quadrados dos efetos dos tratamentos em contrastes smples e específcos e suas soma de quadrados assocadas O número de contrastes ndependentes e ortogonas que podem ser defndos é gual ao número de graus de lberdade do efeto do tratamento O poder e a smplcdade deste método não são muto aprecados e compreenddos pelos pesqusadores com devera ser Esta metodologa envolve a defnção de contrastes ortogonas, e talvez este termo, cra a mpressão de que ele é complcado e dfícl Isto esta longe de ser verdade Atualmente este método tem três grandes vantagens: permte responder a questões específcas e mportantes a respeto dos efetos dos tratamentos; os cálculos são smples; e, proporcona uma checagem útl da soma de quadrados dos tratamentos Esta metodologa também é denomnada de desdobramento, ou a decomposção dos graus de lberdade de tratamentos SOMA DE QUADRADOS DE UM CONTRASTE Quando se utlza contrastes na decomposção dos graus de lberdade dos efetos dos tratamentos usamos a segunte defnção para o cálculo da soma de quadrados: Defnção: a soma de quadrados de um contraste é calculada pela fórmula k ( cy + ) ( Yˆ ) ou SQ( Y ) k k r c r c SQ( Y ), sendo: c os coefcentes do contraste; Y + os totas dos tratamentos e r o numero de repetções (neste caso r r r k ) e k Y ˆ ( c Y ) é uma estmatva do contraste com base nos totas + Observações mportantes:

64 64 todo contraste tem sempre grau de lberdade, assm QM(Y ) SQ(Y ) geralmente, testamos H 0 : Y 0 vs H : Y 0 e para tanto usamos a estatístca F-Snedecor tendo como denomnador o quadrado médo do erro expermental (QMR) os contrastes devem ser planejados a pror e podem ser tão numerosos quanto acharmos necessáro o número de contrastes ortogonas entre os totas dos tratamentos é gual ao número de graus de lberdade assocados a essa fonte de varação, sto é, se o fator tratamento tem k níves então conseguremos defnr somente (k-) contrastes ortogonas se Y, Y,, Yk são contrastes ortogonas envolvendo os totas dos k níves do fator, então SQ ( Y ) + SQ ( Y ) + + SQ ( Y ) k SQTr a ortogonaldade dos contrastes garante a ndependênca entre as conclusões Exemplo: Foram comparados os efetos de cnco tratamentos no crescmento de alevnos de carpas (medu-se o comprmento em cm aos dos meses de dade) em um DIC T ração comum (rc) T ração comum + esterco (rce) T3 ração comum + esterco de porco + vtamna B (rceb) T4 ração comum + farnha de osso (rcfo) T5 ração comum + farnha de osso + vtamna B (rcfob) DADOS REPETIÇÕES Trat 3 4 TOTAL T 4,6 5, 5,8 5,5,0 T 6,0 7, 7, 6,8 7, T3 5,8 7, 6,9 6,7 6,6 T4 5,6 4,9 5,9 5,7, T5 5,8 6,4 6,8 6,8 5,6 Análse de varânca usual Causas da Varação GL SQ QM F Tratamentos 4 7,7,9 7,9 Resíduo 5 4,03 0,7 Total 9,75

65 65 F, 5; 0, 05 ) 3 06 e F( 4, 5; 0, 0 ( 4, ), 4 89 Conclusão: o teste é sgnfcatvo a % de probabldade, portanto rejetamos H0, os tratamentos apresentam efetos dstntos sobre o crescmento de alevnos de carpas Esta é uma nformação geral sobre os efetos dos tratamentos Para obtermos nformações detalhadas devemos decompor os 4 graus de lberdade dos efetos dos tratamentos em quatro contrastes ortogonas Comparações objetvas: rc vs demas Ŷ 4T T T3 T4 T5 4Y + Y+ Y3+ Y4+ rce vs rcfo Ŷ T + T 3 T4 T5 Y+ + Y3+ Y4+ Y5 + rce vs rceb Ŷ T T Y Y3+ rcfo vs rcfob Ŷ T T Y Y5 + Contraste Y + Y + Y 3+ Y 4+ Y 5+ Y Y Y Y Usando a fórmula defnda acma para o cálculo da soma de quadrados dos contrastes temos: ) rc vs demas Y 4(,0) 7, 6,6, 5,6 7, 6 ˆ cm

66 66 5 C ( 4 ) + ( ) ( Yˆ ) S Q( Yˆ ) 5 r C + ( ) ( 7, 4 ) 4( 0 ) + ( ) 3, 78 + ( ) 0 (A obtenção das SQ dos outros contrastes são dexadas como exercícos) A ANOVA com os testes F planejados ou com os desdobramentos dos graus de lberdade do efeto dos tratamentos fca: Causas da Varação GL SQ QM F rc vs demas (Y) 3,87 3,87 4,43 rce vs rcfo (Y),0,0 7,83 rce vs rceb (Y3) 0,03 0,03 0, rcfo vs rcfob (Y4),7,7 6,38 Tratamentos (4) (7,7),9 7,9 Resíduo 5 4,03 0,7 Total 9, ; F 4, 89; F 4, 54 e F F( 4, 5; 0, 05 ), ( 4, 5; 0, 0 ) (, 5; 0, 05 ) (, 5; 0, 05 ) 8, 68 Conclusões: rc vs demas o contraste é sgnfcatvo (p<0,0) e pelo resultado do contraste devemos utlzar rce ou rceb, ou anda, rcfo ou rcfob, quando comparada com a rc rce vs rcfo o contraste é sgnfcatvo (p<0,05) e pelo resultado do contraste verfcamos que rce tem um efeto superor no crescmento dos alevnos, quando comparada com rcfo rce vs rceb - o contraste é não sgnfcatvo (p>0,05), portanto o acréscmo de vtamna B à rce (rceb ) não afeta sgnfcatvamente, o crescmento dos alevnos, quando comparada com a rce rcfo vs rcfob o contraste é sgnfcatvo (p<0,05) e pelo resultado do contraste devemos adconar vtamna B à ração comum com farnha de osso,quando comparada com a rcfo

67 67 Resolução no R Resolução deste exemplo no R # exemplo aula5 r <- 4 # entrando com o número de repetções tr <- c(rep("t",r),rep("t",r),rep("t3",r),rep("t4",r),rep("t5",r)) tr # crando os ndces dos tratamentos tr <- factor(tr) # estabelecendo o objeto como fator # entrando com os valores comp <- c(46,5,58,55, # observações do tratamento T 60,7,7,68, # observações do tratamento T 58,7,69,67, # observações do tratamento T3 56,49,59,57, # observações do tratamento T4 58,64,68,68) # observações do tratamento T5 comp compav <- aov(comp~tr) # fazendo a análse da varânca - ANOVA anova(compav) # mprmndo o quadro da ANOVA # Defnção dos contrastes c <- c(4,-,-,-,-) c <- c(0,,,-,-) c3 <- c(0,,-, 0, 0) c4 <- c(0, 0, 0,,-) # contraste rc vs demas # contraste rce vs rcfo # contraste rce vs rceb # contraste rcfo vs rcfob qmr <- anova(compav)[,3] qmr glr <- anova(compav)[,] glr t_tr <- tappl(comp,tr,sum) t_tr # obtenção do QMR no quadro da anova # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova # Cálculo dos totas por tratamento <-sum(c*t_tr) sq <- (^)/(r*sum(c^)) sq f <- sq/qmr f valorp <- -pf(f,,glr) valorp # Estmatva do contraste Y com base nos totas # Cálculo da SQY # Cálculo da estatístca F # Cálculo do valor de p assocado à estatístca f Resolvendo o mesmo exercíco com o pacote gmodels nstallpackages("gmodels") # nstalando o pacote gmodels requre(gmodels) # requrendo o pacote para o ambente R c<-rbnd(c(4,-,-,-,-), c(0,,,-,-), c(0,,-, 0, 0), c(0, 0, 0,,-)) # juntando os 4 contrastes no objeto c compav <- aov(comp ~ tr,contrast lst(tr makecontrasts(c))) # cálculando a anova com desdobramento dos gl dos tratamentos summar(compav, splt lst(tr :4)) # mprmndo o quadro da ANOVA Quando os tratamentos e/ou fatores utlzados num expermento são de natureza qualtatva (raça, sexo, cultvares, tratos culturas etc) os testes de comparações de médas (teste t-student, testes de Tuke, Duncan, Scheffé etc) se aplcam sem restrções A esses casos se equparam os fatores ou tratamentos quanttatvos (doses de uma droga, tempo, etc) quando há só dos níves (presença e ausênca, por exemplo) O mesmo não acontece, porém, quando o tratamento ou fator quanttatvo tem mas de dos níves, por exemplo: doses crescentes de cobre na almentação de galnhas (0, 400 e 800 ppm);

68 68 doses crescentes de uma droga; 0%, 0%, 40% e 60% de substtução de um ngredente da ração por farelo de soja Em tas stuações é essencal avalar o comportamento da varável resposta ao longo dos níves do fator, através de uma equação de regressão Por exemplo: a equação que assoca a freqüênca cardíaca em função de doses de uma droga é quase sempre desconhecda, mas em geral, pode ser bem estmada por meo de uma equação polnomal do tpo: 3 Y a + a x + a x + a x Sendo Y a resposta avalada e x os níves quanttatvos do fator (tratamentos) O ajuste e a nterpretação da equação de regressão quando o polnômo é de grau muto elevado são tarefas bastante complexas Porém, quando os níves do fator quanttatvo são gualmente espaçados, o estudo do comportamento das médas pode ser feto utlzando o método dos polnômos ortogonas, que será apresentado a segur através de um exemplo Exemplo: os efetos de quatro tratamentos no crescmento de alevnos de carpas foram comparadas (medu-se o comprmento em cm aos dos meses de dade) em um DIC T ração comum T ração comum + 0 mg de B T3 ração comum + 0 mg de B T4 ração comum + 30 mg de B Dados Repetções Trat 3 4 TOTAL T 6,80 6,50 6,40 6,50 6,0 T 7,90 6,60 6,80 6,0 7,0 T3 8,30 8,40 8,60 9,0 34,50 T4 9,50 9,80 0,00 0,70 40,00 H H 0 : µ µ µ µ : pelo menos duas 3 4 médas

69 69 Análse de varânca usual Causas da Varação GL SQ QM F Tratamentos 3 3,03 0,0 4,3 Resíduo,95 0,5 Total 5 33,98 F, ; 0, 05 ) 3 49 F( 3, ; 0, 0 ( 3, ), 5 95 O teste F é sgnfcatvo a % de probabldade, portanto rejeta-se H o, os tratamentos apresentam efetos dstntos sobre o crescmento dos alevnos de carpas Como os níves são eqüdstantes, 0, 0, 0 e 30 mg a decomposção dos graus de lberdade pode ser feta com uso de polnômos ortogonas, usando-se os coefcentes dos contrastes encontrados em tabelas As tabelas são construídas em função do número de tratamentos, denomnados níves Assm, como temos 4 tratamentos, temos 4 níves e o polnômo máxmo é o de grau 3 Consultando as tabelas dos coefcentes dos polnômos ortogonas (Gomes P, 966, p 34, Sampao, IBM, 998, p 5), podemos montar a segunte tabela Totas dos Tratamentos Coefcentes para 4 níves º grau º grau 3º grau T 6, T 7, T 3 34, T 4 40, I c I Assm, para o efeto lnear temos: Yˆ Lnear ( 3 ) T + ( ) T + ( ) T3 + ( 3 ) T4 ( 3 )( 6, 0 ) + ( )( 7, 50 ) + ( )( 34, 50 ) + ( 3 )( 40, 00 ) 48, 40 ( 48, 40) S Q( YLnear ) 9, 8 ( 4)( 0) (A obtenção das SQ dos efetos quadrátcos e cúbcos são dexados como exercíco) A análse de varânca com desdobramento dos graus de lberdade dos tratamentos por polnômos ortogonas

70 70 Causas da Varação GL SQ QM F Regressão lnear 9,8 9,8 9,3 Regressão Quadrátca,0,0 4,49 Regressão Cúbca 0,65 0,65,64 Tratamentos (3) (3,03) 0,34 4,5 Resíduo,95 0,5 Total 5 33, ; F 5, 95 ; F 4, 75 e F F( 3, ; 0, 05 ), ( 3, ; 0, 0 ) (, ; 0, 05 ) (, ; 0, 0 ) 9, 33 Conclusão: somente a componente do º grau fo sgnfcatva (p<0,0), ou seja, a dferença entre os valores médos dos tratamentos está sendo explcada por uma equação lnear, Y a + bx, cujos parâmetros a e b podem ser estmados por: k X k Y k X Y k bˆ e a Y bˆ X k ( k X ) X k ˆ, sendo: bˆ e aˆ, os estmadores de mínmos quadrados de b e a, respectvamente, x 0, 0, 0 e 30 as doses de vtamna B ; + 6,55, 6,80, 8,63 e 0,00 são os comprmentos médos dos alevnos, para,, 3, 4 Utlzando essas fórmulas, obtemos a equação Y ˆ 6, , X (Reproduzr estes resultados utlzando o R) No Mntab temos:

71 (Reproduzr estes resultados no Mntab e parte destes no Excel) 7

72 7 Resolução no R # exemplo aula5 r <- 4 # entrando com o número de repetções tr <- c(rep(0,r),rep(0,r),rep(0,r),rep(30,r)) # crando os ndces dos tratamentos tr tr <- factor(tr) # dzendo ao R os níves dos tr são fatores no expermento # entrando com os valores comp <- c(680, 650, 640, 650, # observações do tratamento 790, 660, 680, 60, # observações do tratamento 830, 840, 860, 90, # observações do tratamento 3 950, 980, 000, 070) # observações do tratamento 4 comp m_tr <- tappl(comp,tr,mean) m_tr compav <- aov(comp~tr) anova(compav) # calculando o quadro da ANOVA # mprmndo o quadro da ANOVA # Defnção dos contrastes c <- c(-3,-,,3) c <- c(,-,-,) c3 <- c(-,3,-3,) # coefcentes do contraste denomnado EFEITO LINEAR # coefcentes do contraste denomnado de EFEITO QUADRÁTICO # coefcentes do contraste denomnado de EFEITO DO 3º GRAU qmr <- anova(compav)[,3] # obtenção do QMR no quadro da anova qmr glr <- anova(compav)[,] glr t_tr <- tappl(comp,tr,sum) t_tr <-sum(c*t_tr) sq <- (^)/(r*sum(c^)) sq f <- sq/qmr f # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova # Cálculo dos totas por tratamento # Estmatva do contraste Y com base nos totas # Cálculo da SQY # Calculando a estatístca F valorp <- -pf(f,,glr) valorp Resolvendo no R utlzando o pacote gmodels nstallpackages("gmodels") # nstalando o pacote gmodels requre(gmodels) # requrendo o pacote para o ambente R c<-rbnd(c(-3, -,, 3), c(, -, -, ), c(-, 3, -3, )) # juntando os 3 contrastes no objeto c compav <- aov(comp ~ tr,contrast lst(tr makecontrasts(c))) # cálculando a anova com desdobramento dos gl dos tratamentos summar(compav, splt lst(tr :3)) # mprmndo o quadro da ANOVA Obtendo a equação lnear sgnfcatva no R # Estmando o efeto LINEAR dose <- c(0,0,0,30) regln <- lm(m_tr~dose) regln # Entrando com as doses de Vt B # Estmando a reta de regressão lnear plot(dose,m_tr,) ablne(regln) # gráfco de dspersão entre as doses e as médas dos tratamentos # colocando a reta estmada a+bx no gráfco LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO 5

73 73 CAPITULO 6 Delneamento em Blocos Casualzados DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC) Suponha que um expermentador esteja nteressado em estudar os efetos de 3 dferentes detas A prmera provdênca do pesqusador fo a de se nterar a respeto da natureza do materal expermental dsponível Feto sto, constatou que ele dspora de anmas com aproxmadamente o mesmo peso Entretanto, estes anmas eram provenentes de 4 nnhadas, cada uma contendo três anmas Dentro de uma nnhada, os três anmas foram sorteados às três detas Os anmas foram colocados em baas dêntcas e almentados com as detas sorteadas, em dêntcas condções Medu-se, então, o ganho de peso desses anmas depos de semanas Os dados obtdos são apresentados no quadro abaxo: Deta Nnhada 3 4 Total A 8,7 9,3 8, 8,6 4,8 B 30,7 34,9 3,6 34,4 3,6 C 3,9 34, 34,9 35,3 36,3 Total 9,3 98,4 95,7 98,3 383,7 Organzando as observações em arquvos do tpo xls ou txt detaxls deta nnhada gpeso A Nnhada 87 A Nnhada 93 A Nnhada3 8 A Nnhada4 86 B Nnhada 307 B Nnhada 349 B Nnhada3 36 B Nnhada4 344 C Nnhada 39 C Nnhada 34 C Nnhada3 349 C Nnhada4 353 detatxt deta nnhada gpeso A Nnhada 87 A Nnhada 93 A Nnhada3 8 A Nnhada4 86 B Nnhada 307 B Nnhada 349 B Nnhada3 36 B Nnhada4 344 C Nnhada 39 C Nnhada 34 C Nnhada3 349 C Nnhada4 353 (Dca: prmero dgte os dados no excel, para depos colocá-lo no bloco de notas)

74 74 Scrpt no R para a entrada dos dados: dados <- readtable("detatxt",ht) dados #lendo o arquvo detatxt e armazenando no objeto dados attach(dados) names(dados) # lstando os nomes das colunas do arquvo deta <- factor(deta) ; nnhada <- factor(nnhada) # declarando deta e nnhada como fatores boxplot(gpeso~deta,col5) # gráfcos box-plot para cada deta resumo_detas <- tappl(gpeso,deta,summar) # meddas dos box-plot de cada deta resumo_detas m_deta <- tappl(gpeso,deta,mean) m_deta s_deta <- tappl(gpeso,deta,sd) s_deta # meda de cada deta # desvo padrão de cada deta O delneamento expermental para este ensao de detas é um exemplo de um Delneamento em Blocos Casualzados com três tratamentos e quatro blocos Os tratamentos são níves de um fator expermental, as três detas; os blocos são os níves do fator confunddo, as nnhadas Dado que os anmas em dferentes nnhadas respondem dferentemente a uma dada deta, a nnhada é consderada, um fator de confundmento As undades expermentas (anmas) são agrupados em 4 blocos, de tal forma que, dentro de cada grupo, três undades são afetadas pelo mesmo nível do fator de confundmento Por causa da porção das característcas nerentes aos anmas dentro de uma mesma nnhada (bloco), suas respostas serão muto smlares, enquanto que as respostas dos anmas pertencentes a dferentes nnhadas rão varar muto; sto é, as undades expermentas são mas homogêneas dentro dos blocos do que entre os blocos Assm, resumdamente, podemos defnr que um DBC é um delneamento no qual as undades (undades expermentas) às quas os tratamentos são aplcados são subdvddos em grupos homogêneos, denomnados de blocos, tal que o número de undades expermentas em um bloco é gual ao número (ou algum múltplo do número) de tratamentos estudados Os tratamentos são então sorteados às undades expermentas dentro de cada bloco Devese ressaltar que cada tratamento aparece em cada bloco, e todo bloco recebe todos os tratamentos Quando se usa o DBC, o objetvo é solar e remover do termo de erro (resíduo) a varação atrbuída ao bloco, garantndo assm, que as médas dos tratamentos estão lvres do efeto dos blocos A efetvdade deste delneamento depende da habldade em se obter blocos homogêneos de undades expermentas A habldade para formar blocos homogêneos depende do conhecmento que o pesqusador tem do materal expermental Quando os blocos são usados adequadamente, o QMR (quadrado médo do resíduo) no quadro da ANOVA será reduzdo, a estatístca F aumentará, e a chance de se rejetar H 0 (hpótese de nuldade) será maor Em expermentos com anmas, quando acredta-se que dferentes raças de anmas responderá dferentemente ao mesmo tratamento, a raça do anmal pode ser usada como um fator a ser consderado na formação dos blocos O DBC pode, também, ser empregado efetvamente quando um expermento deve ser conduzdo em mas de um laboratóro (bloco)

75 75 ou quando város das (blocos) são requerdos para a realzação do expermento No DBC temos os três prncípos báscos da expermentação: repetção, casualzação e controle local VANTAGENS DO DBC Com o agrupamento das parcelas, geralmente se obtém resultados mas precsos que aqueles obtdos num DIC Desde exsta materal expermental sufcente, o delneamento será sempre balanceado, podendo-se nclur qualquer número de tratamentos A análse estatístca é bastante smples Se a varânca do erro expermental é maor para alguns tratamentos que para outros, pode-se obter um erro não vesado para testar qualquer combnação específca das médas dos tratamentos PRINCIPAL DESVANTAGEM Aparece quando da perda de parcela(s) em algum tratamento Apesar de exstr um método aproprado de estmação desses valores, há a perda de efcênca na comparação de médas envolvendo esses tratamentos Esquematcamente para um DBC com 4 tratamentos e 3 blocos (classes de dade) temos: ) Undades expermentas heterogêneas (Fonte: Vera, 006, pag 5)

76 76 ) Consttução dos 3 blocos ( 3 classes de dades ) 3) Delneamento de um expermento em blocos casualzados ORGANIZAÇÃO DOS DADOS NO DBC Vamos consderar k -tratamentos; r blocos e j é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento e se encontra no bloco j Assm, um quadro para representar os valores amostras de um DBC pode ser da forma abaxo:

77 77 BLOCOS TRAT 3 j r TOTAL MÉDIA Y Y Y 3 Y r Y + Y Y Y 3 Y r Y + Y + 3 Y 3 Y 3 Y 33 Y 3r Y 3+ k Y k Y k Y k3 Y kr Y k+ Y k + TOTAL Y + Y + Y +3 Y +j Y +r Y ++ Y j Y Y + 3+ Y 3 MODELO MATEMÁTICO,,, k e j,, j µ + β j + τ + ε j, r sendo: a observação que recebeu o j µ é méda geral comum a todas ésmo tratamento as observações; no j ésmo bloco; β j é o efeto do j ésmo bloco, com r j β j 0; τ é efeto do ésmo tratamento ε é o efeto do erro aleatóro j com r j τ 0; 4 SUPOSIÇÕES DO MODELO Neste modelo, cada j observado consttu uma amostra aleatóra ndependente de tamanho de cada uma das kr populações os ε j são ndependentes e normalmente dstrbuídos com méda 0 e varânca σ, ou seja, ε j ~ N( 0, σ ) Isto mplca em que as kr populações são normalmente dstrbuídas com méda µ j e a mesma varânca σ, ou seja, j ~ N( µ j, σ ) ; os efetos de blocos e tratamentos são adtvos Esta suposção pode ser nterpretada como não exste nteração entre tratamentos e blocos Em outras palavras, uma partcular

78 78 combnação bloco-tratamento não produz um efeto que é maor que ou menor que a soma dos efetos ndvduas Podemos testar ; 5 HIPÓTESE ESTATÍSTICA H0 : τ 0, com,,, k H0 : µ µ µ k 0 ou H : nem todos os τ 0 H : µ µ j j Geralmente o teste de hpótese com relação aos efetos de blocos não é feto por dos motvos: prmero o nteresse prncpal é testar os efetos de tratamento, o propósto usual dos blocos é elmnar fontes estranhas de varação Segundo, embora as undades expermentas sejam dstrbuídas aleatoramente aos tratamentos, os blocos são obtdos de uma manera não aleatóra 6 PARTIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS Voltemos ao quadro de representação das observações no DBC no tem Podemos dentfcar os seguntes desvos: j + +, como o desvo de uma observação em relação a méda amostral geral; j +, como o desvo da observação em relação à méda de seu grupo ou do -ésmo tratamento; + + +, como o desvo da méda do -ésmo tratamento em relação á méda geral + j + + como o desvo da méda do j-ésmo bloco em relação á méda geral Consderemos a dentdade ( j + + ) ( + ++ ) + ( + j ++ ) + ( j + + j ), a qual representa a a varação de uma observações em relação à méda geral amostral como uma soma da varação desta observação em relação à méda de seu grupo, com a varação desta observaçãoem relação à méda do j-ésmo bloco em que se encontra esta observação, com a varação do erro expermental Elevando-se ao quadrado os dos membros da dentdade acma e somando em relação aos índces e j, obtemos: k r k r ( j ++ ) j j + k r j ( j + + j + ( ++ j ), + ) + k r j ( + j Descrção de cada termo da expressão acma O termo ++ ) +

79 79 k r j ( ), j ++ é denomnado de Soma de Quadrados Total e vamos denotá-lo por SQTO número de graus de lberdade assocado à SQT é kr -, ou N, pos temos N observações e a restrção k r j ( ) 0 j O termo: + + k r ( + ++ ), j é denomnado de Soma de quadrados de tratamentos, representada por SQTr, e é uma medda da varabldade entre os tratamentos Quanto mas dferentes entre s forem as médas dos tratamentos, maor será a SQTr Desde que temos k tratamentos e a restrção de que k ( 0, + ++ ) a SQTr está assocada a k- graus de lberdade O termo k r j ( ) + j ++ É denomnado de Soma de quadrados de blocos, representada por SQB, e é uma medda da varabldade entre os blocos Quanto mas dferentes entre s forem as médas dos blocos, maor será a SQB, justfcando assm, a utlzação do delneamento em blocos Desde que temos r blocos e a restrção r j ( 0, + j ++ ) a SQB está assocada a r- graus de lberdade Fnalmente, o termo k r ( j j + + j + ++ ), é denomnado SQR Notem que a magntude da SQR não depende da dferença entre as médas dos tratamentos Os graus de lberdade assocada à SQR é (k-)(r-), sto é, o produto dos graus de lberdade dos tratamentos e blocos Assm, SQT SQB + SQTr + SQR, e os graus de lberdade assocados a cada membro da equação acma fca total blocos tratamentos resíduo kr- (r-) + (k-) + (k-)(r-)

80 80 7 QUADRADOS MÉDIOS Dvdndo a SQB, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de lberdade, obtemos, respectvamente o Quadrado Médo Blocos (QMB), o Quadrado Médo Entre Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resíduo, sto é, SQB QMB r e QMTr SQTr k SQR e QMR ( k )( r ) 8 ESTATÍSTICA E REGIÃO CRÍTICA DO TESTE A estatístca para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F c tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (k -) e (k-)(r-) graus de lberdade no numerador e no denomnador, respectvamente Resumdamente, ndcamos: F c ~ F( k,( k )( r ), α ), sob H0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca α se Fc > F( k,( k )( r ), α ), sendo, F( k,( k )( r ), α ) o quantl de ordem ( α ) da dstrbução F- Snedecor com (k -) e (k-)(r-) graus de lberdade no numerador e no denomnador 9 QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) Dspomos as expressões necessáras ao teste na Tabela abaxo, denomnada de Quadro de Análse de Varânca (ANOVA) Fonte de varação gl SQ QM F Y+ j ( Y+ + ) Blocos r k kr r j Tratamentos k - r kr Resíduo (k-)(r-) k TOTAL kr k Y J Y ( + + ) + r Y SQB r SQTr k SQR ( k )( r ) j ( Y++ ) kr QMTr QMR

81 8 Pode-se provar que: E( QMR ) σ, ou seja, QMR é um estmador não vesado da varânca σ ; k r E( QMTr ) σ + τ, ou seja, QMTr é um estmador não ( k ) vesado da varânca σ se a hpótese H0 : τ τ τ k 0 é verdadera r k E( QMB ) σ + β j ( r ) j 0 DETALHES COMPUTACIONAIS Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA ( + + ) Calcule a correção para a méda CM ; N Calcule a Soma de Quadrados dos Totas (SQT) SQT k r j j CM ; Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) r Y + SQTr CM ; r Calcule a Soma de Quadrados de blocos (SQB) r Y+ j SQB CM ; j k Calcule a Soma de Quadrados Resdual (SQR) pela dferença, sto é, SQR SQT SQTr SQB ; Calcule os Quadrados Médos Entre os Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resdual (QMR) SQB SQTr SQR QMB, QMTr e QMR r k ( k )( r ) QMTr QMB Calcule F c para tratamentos FcTr e FcBl QMR QMR EXEMPLOS EXEMPLO : Vamos consderar os dados apresentados no tem Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: k 3, r 4, e kr N (3)(4) Então

82 8 Graus de lberdade: Total kr N ( 3 )( 4 ) ; Trat k 3 Blocos r 4 3 e Re s ( k )( r ) ( 3 )( ) 6 ( 383, 80 ) CM 75, 0 SQT ( 8, 7 ) + ( 9, 3 ) + + ( 35, 3 ) 353, 35 68, 8 84, 54 ( 4, 8 ) ( 3, 6 ) ( 36, 3 ) SQTr , 87 68, 8 66, 06 CM CM ( 9, 3 ) ( 98, 4 ) ( 95, 7 ) ( 98, 3 ) SQB CM , 88 68, 8, 07 SQR SQT SQTr SQB 84, 54 66, 06, 07 7, 4 66, 06, 07 7, 4 QMTr 33, 03, QMB 3, 69 e QMR, QMTr 33, 03 QMB 3, 69 FcTr 6, 64 e FcBl, 99 QMR, 4 QMR, 4 Organzando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: Fonte de varação gl SQ QM F c Detas 66,06 33,03 6,75 Nnhadas 3,07 3,69,99 Resíduo 6 7,4,35 Total 84,54 Das tabelas das dstrbuções F, temos que F(, 6, 0, 05 ) 5, 4 e F(, 6, 0, 0 ) 0, 9 O valor F ctr 6,75 é maor do que estes valores tabelados, então rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível α 0, 0, ou % de probabldade (se é sgnfcatvo a %, também é sgnfcatvo a 5%), e concluímos que exste uma dferença entre as três detas As conclusões sobre ás dferenças entre os efetos de nnhadas (blocos) podem ser baseadas no F c para blocos (F cbl,98 com p0,8) Os resultados ndcam que não exste uma varação sgnfcatva entre as nnhadas nos ganhos de peso O teste F da ANOVA para os blocos é um teste aproxmado mesmo quando as suposções são satsfetas Alguns pesqusadores sugerem que não se consdere o efeto colocado nos blocos em futuros estudos smlares, somente se o valor mínmo sgnfcatvo (valor de p) assocado à estatístca calculada for maor ou gual a 0,5 ( p 0, 5 ) Para estes dados, F cbl,99 tem um p 0,8 Portanto, mesmo que exste nsufcentes evdêncas para rejetar H : β 0, 0 j

83 83 ou seja, não exste efeto de nnhada, não é uma boa déa gnorar os efetos de nnhada em futuros estudos Segundo o Scrpt abaxo obtem-se o quadro da anova acma no R: gpesoav <- aov(gpeso~nnhada + deta) summar(gpesoav) modeltables(gpesoav,tpe"means") # médas das detas e das nnhadas modeltables(gpesoav,tpe"effects")# efetos das detas e das nnhadas resduos <- resd(gpesoav) resduos qqnorm(resduos) qqlne(resduos) # gráfco Q-Q da normaldade shaprotest(resduos) # teste de normaldade de Shapro-Wlks bartletttest(gpeso~deta+nnhada) Resultados fornecdos pelo Mntab Analss of Varance for Peso Source DF SS MS F P Deta Nnhada Error Total 8454 Indvdual 95% CI Deta Mean (------*-----) 335 (------*------) (-----*------) ESTIMAÇÃO DE PARCELA PERDIDA Um problema relatvamente séro deste tpo de delneamento ocorre quando perdemos uma (ou mas) parcela(s) durante o desenvolvmento do expermento Vamos consderar o segunte exemplo: Exemplo: Classe de dade (Blocos) Trat 3 4 Total A B C * D E Total A generalzação destes dados pode ser representada no quadro abaxo Blocos Trat 3 j r Total Y Y Y 3 Y r Y +

84 84 Y Y Y 3 Y r Y + K Y k Y k Y k3 Y kr Total Y + Y + Ŷ j Y + j Y Y Y + + Y + r + + sendo: Yˆ j a estmatva da parcela perdda; k o número de tratamentos e r o número de blocos; Y o total das parcelas dsponíves; Y Y ++ I + + j o total o total das parcelas restan tes das parcelas res tantes no no tratamento onde ocorreu a bloco onde ocorreu a parcela perdda ; parcela perdda Uma solução nteressante para o caso da perda de uma parcela consste em estmar seu valor usando a fórmula: ky ˆ I + + ry+ j Y++ Yj ( k )( r ) No exemplo acma, temos uma parcela perdda no tratamento C no bloco 3 (classe de dade) Nestes dados temos: k 5, r 4, Y+ 3 50, Y3+ 00 e Y ; a estmatva da parcela é dado por Yˆ ( ) + ( ) j 44, 7 ( 5 )( 4 ) Este valor deve ser substtuído no lugar do dado perddo e a análse é feta como anterormente A únca dferença é que se perde um grau de lberdade no resíduo, obtendo-se o segunte quadro de análse de varânca:

85 85 Fonte de Varação gl SQ QM F c Blocos 3 488,56 6,86 Tratamentos 4 89,00 3,5 0, Resíduo 347,8 3,56 Total 8 4,75 F (4; ; 0,05) 3,36; F (4; ; 0,0) 5,67; F (3; ; 0,05) 3,59 ; F (3; ; 0,0) 6,6 Observação: Nessa últma análse, o quadrado médo do resíduo está corretamente estmado, mas aquele correspondente a tratamento está lgeramente exagerado Para corrg-lo, basta subtrar da SQTr a segunte quantdade: k Y j U Yˆ + ( j ) k k 5 50 Então, temos: U ( 44, 7 ) 35, 59, logo a SQTr 5 5 correta fca gual a SQTr 89,00 35,59 53,4 e a QMTr 33,35 F c 9,93 Como o valor de F c > F( 4, : 0, 05 ) a conclusão sobre a presença de pelo menos um efeto de tratamento não nulo, contnua valendo OBS: Mutas vezes, dspensa-se o uso dessa correção, já que nem sempre ela altera os resultados Entretanto, na dúvda, devemos aplcar essa correção Fazendo esta mesma análse no MnTab, com astersco no lugar da parcela perdda temos o segunte resultado General Lnear Model: Y versus Bloco; Trat Factor Tpe Levels Values Bloco fxed Trat fxed 5 A B C D E Analss of Varance for Y, usng Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Bloco Trat Error Total Reparem que a SQTr já esta corrgda, ou seja, quando se usa o MnTab ou o SAS não é necessáro estmar a parcela e depos substtuíla nos dados e fazer a ANOVA Nestes programas a correção da SQTr é feta automatcamente No MnTab é necessáro segur os seguntes passos: Stat/ANOVA/General Lnear Models e nesta janela colocar os termos do modelo em Model na ordem apresentada

86 86 Antes de aconar o OK nesta janela vá à janela General Model Optons marcar na Sum of Square a opção Adjusted (Tpe III) e OK 3 ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE MEDIDAS REPETIDAS Um delneamento expermental de meddas repetdas é aquele, no qual váras meddas são fetas na mesma undade expermental (geralmente anmal), e estas meddas repetdas consttuem as repetções Para lustrar melhor esta característca vamos consderar o exemplo, tem da Aula 3, pg 38 Neste exemplo tínhamos 4 amostras ndependentes de anmas e todos os anmas de cada grupo foram almentados, depos do sorteo, com uma das 4 detas Nos delneamentos de meddas repetdas não exste amostras ndependentes de anmas; ao contráro, cada um dos 5 anmas terão seus pesos meddos depos que foram submetdos a uma determnada deta, depos de um certo período de tempo, os mesmos cnco anmas terão seus pesos avalados depos de terem sdos submetdos a outra deta, e assm sucessvamente, até serem submetdos a todas as detas A

87 87 tabulação dos dados pode ser bem parecda com a representação dos dados do DBC Neste exemplo podemos ter: Detas Anmas 3 4 TOTAL Y Y Y3 Y4 Y+ Y Y Y3 Y4 Y+ 3 Y3 Y3 Y33 Y34 Y3+ 4 Y4 Y4 Y43 Y44 Y4+ 5 Y5 Y5 Y53 Y54 Y5+ TOTAL Y+ Y+ Y+3 Y+4 Y++ Os resultados dos cálculos da ANOVA de um delneamento de meddas repetdas são os mesmos de uma análse de um DBC A grande vantagem deste tpo de delneamento é o seu econômco requermento de undades expermentas (anmas) Este delneamento tem desvantagens se exste um efeto por causa da seqüênca em que os tratamentos são admnstrados (detas no presente exemplo) aos anmas Outra desvantagem surge se o tempo entre a aplcação de dferentes tratamentos é nsufcente para evtar a sobreposção de efetos do tratamento anteror EXEMPLO Consdere o conjunto de dados abaxo os quas se referem a níves de concentração de colesterol (mg/dl) em sangue de 7 anmas expermentas, depos que foram tratados cada um com uma das três drogas, com sufcente tempo entre as aplcações das drogas para que seu efeto desaparecesse do anmal Drogas Anmal A B C TOTAL TOTAL A hpótese de nteresse é que a méda do nível de colesterol no sangue é a mesma ndependente da droga (tratamento) (Extraído de ZAR, J H Bostatstcal Analss, pg 55, 999) H H 0 : µ µ µ : pelo menos 3 duas médas dferentes Os resultados fornecdos pelo MnTab são: Analss of Varance for N_C, usng Sequental SS for Tests

88 88 Source DF Seq SS Adj SS Seq MS F P Anmal Droga Error Total Conclusão: rejeta-se H 0 Resolvendo no R dados <- readtable("ex3dbctxt",ht) # Entrando com os dados pelo comando readtable( ) dados attach(dados) names(dados) droga <- factor(droga); anmal <- factor(anmal) colesterolav <- aov(colesterol~anmal+droga) summar(colesterolav) modeltables(colesterolav) resduos<-resd(colesterolav) resduos qqnorm(resduos) qqlne(resduos) shaprotest(resduos) bartletttest(colesterol~anmal+droga) requre(agrcolae) # fazendo o teste de Tuke pelo pacote agrcolae colesteroltu<- HSDtest(colesterolav,"droga") colesteroltu barerr(colesteroltu,lmc(0,50),stdtrue,denst0, col"brown",man"desvo Padrão") # gráfco de barras das médas co o desvo padrão pelo agrcolae barerr(colesteroltu,lmc(0,50),stdfalse,denst,col"brown",man"méda +/- erro padrão") bargroup(colesteroltu,lmc(0,50),stdfalse,denst, col"brown", xlab"drogas",man"teste de Tuke") # gráfco de barras das médas co o erro padrão pelo agrcolae #################################################################################### # Resolvendo com o pacote ExpDes #################################################################################### requre(expdes) rbd(droga,anmal,colesterol,qualt,mcomp"tuke") LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO 6

89 89 Captulo 7 Delneamento em Quadrado Latno DUPLO CONTRÔLE: DELINEAMENTO QUADRADO LATINO (DQL) No delneamento Quadrado Latno os tratamentos são desgnados aos blocos de duas maneras dferentes, geralmente desgnados por colunas e lnhas Cada coluna e cada lnha é um bloco completo de todos os tratamentos Portanto, em um DQL, três fontes de varação explcáves são dentfcáves: lnhas, colunas e tratamentos Um partcular tratamento é desgnado somente uma vez em cada lnha e cada coluna Geralmente um dos blocos corresponde aos anmas e o outro ao período Cada anmal receberá todos os tratamentos em dferentes períodos O número de tratamentos (k) é gual ao número de lnhas e colunas O número total de observações é gual k Se os tratamentos são desgnados por letras maúsculas (A, B, C e D, etc), então exemplos de Quadrados Latnos 3 x 3 e 4 x 4 são: A C B C A B A B D C C D B A B A C A B C C A B D D B A C C B A B C A B D C A B A C D D C A B A C D B Consdere a segunte stuação (baseado em VIEIRA, 006, pág 8): Um veternáro pretende comparar o efeto de três drogas no combate a uma doença em suínos Os anmas dsponíves são, no entanto, dferentes em raças e em pesos Para fazer o expermento, o veternáro deve, prmero organzar blocos de anmas de mesma raça (em coluna) e depos organzar em peso (em lnha) Na Fgura abaxo: a raça está representada pela tonaldade da cor preta e o peso pelo tamanho Então foram construídos blocos em colunas e lnhas Construído o quadrado latno, sorteam-se os tratamentos, mas cada tratamento só deve aparecer uma vez em cada coluna e uma vez em cada lnha Assm o sorteo dos tratamentos tem duas restrções: dentro de lnhas e dentro de colunas

90 90 Os DQL não são comuns na prátca devdo às restrções do delneamento Notem, por exemplo, que lnhas, colunas e tratamentos são, necessaramente, guas em números Mas anda, o nº de observações é gual ao quadrado do nº de tratamentos Consdere este outro exemplo, extraído de Rao, PV Statstcal research methods n the lfe scence, pg 77: Em um estudo para comparar as tolerâncas de gatos a quatro substâncas cardíacas (A, B, C, D) fo conduzda utlzando-se um DQL, no qual as lnhas representavam quatro combnações de dos períodos (AM, PM) e duas técncas (I e II) e as colunas representam os das nos quas as meddas foram fetas A cada um dos 6 gatos fo admnstrada uma substânca cardíaca a uma taxa fxada e a dose (taxa de nfusão x tempo) na qual o efeto especfcado fo observado fo anotado Abaxo temos que mostra as respostas meddas em 0log(dose em μg) Das I,AM Y ( D ) 3,6 I,PM Y ( B ),73 II,AM Y 3 ( A) 3,45 II,PM Y 4 (C ) 3,0 Y Y + j ,64 Y ( B ) 4,5 ( D ) Y 3,38 Y 3 4,09 Y 4 (C ) ( A) 3,4 Y ++ 4,76 Y 3 ( A) 3,0 (C ) Y 3 3,9 Y 33,66 Y 43 3,48 Y ( B ) ( D ) +3+,45 Y 4 (C ) 3,67 ( A) Y 4 4,50 Y 34 3,5 Y 44 ( D ) ( B ) 3,40 Y +4+ 5,08 Y Y ++ 4,0 Y ++ 3,90 Y 3++ 3,7 Y 4++ 3, Y ,93 Y ++ Y ++ Y ++ Y 3++ Y 4++ Y + j+ Y ++ Y ++ Y +3+ Y +4+ Y ++ + Combnações de tempo e técncas

91 9 Totas dos tratamentos: Y ( A) Y ( A) + Y ( A) + Y ( A) + Y ( A) 3, 0 + 4, , , 4 4, Y ( B ) Y ( B ) + Y ( B ) + Y ( B ) + Y ( B ) 4, 5 +, 73 +, , 40, 94 Y ( C ) Y ( C ) + Y ( C ) + Y ( C ) + Y ( C ) 3, , 9 + 4, , 0 4, 5 Y ( D ) Y ( D ) + Y ( D ) + Y ( D ) + Y ( D ) 3, 6 + 3, , 5 + 3, 48 3, 63 Notação: Y + + soma das observações da -ésma lnha (,,, k); Y + + soma das observações da j-ésma coluna (j,,, k); Y + + ( t ) soma das observações do t-ésmo tratamento ORGANIZAÇÃO DOS ARQUIVOS: No excel: exxls No bloco de notas: extxt Lnha Coluna Trat Tx_Inf TI_AM DIA D 3,6 TI_AM DIA B 4,5 TI_AM DIA3 A 3,0 TI_AM DIA4 C 3,67 TI_PM DIA B,73 TI_PM DIA D 3,38 TI_PM DIA3 C 3,9 TI_PM DIA4 A 4,50 TII_AM DIA A 3,45 TII_AM DIA C 4,09 TII_AM DIA3 B,66 TII_AM DIA4 D 3,5 TII_PM DIA C 3,0 TII_PM DIA A 3,4 TII_PM DIA3 D 3,48 TII_PM DIA4 B 3,40 Comandos de letura no R: ex_dados <- readtable("exdqltxt",headertrue,dec",") # letura dos dados pelo readtable () ex_dados summar(ex_dados) attach(ex_dados) #resumo dos dados do arquvo ex_dados lnha<- factor(lnha); coluna<- factor(coluna); trat <- factor(trat) # passando os níves de lnha # coluna e trat como fatores boxplot(tx_nf~trat,col,xlab"tratamentos")

92 9 MODELO MATEMÁTICO Y jt µ + L + C + τ + ε,,, k e j,,, k, j k jt t é o ndce de dentfcação do tratamento usado na ésma lnha e j ésma coluna sendo: jk a observação que recebeu o k ésmo tratamento, na ésma lnha e na j ésma coluna ; µ é méda geral comum a todas as observações; L j é o efeto da ésma lnha; C é efeto da j ésma coluna; j τ t é efeto fxo do t ésmo tratamento, e ε é o efeto do erro aleatóro jt t τ 0; t 3 SUPOSIÇÕES DO MODELO Neste modelo, L são ndependentes N (, σ ); j 0 C são ndependentes N(, σ ); j 0 ε são ndependentes N(, σ ) t 0 jt, L, e C j ε são mutuamente ndependentes 4 HIPÓTESE ESTATÍSTICA Podemos testar L C H 0 : τ 0, t H : nem todos, ou os τ 0 t H H 0 : µ µ µ : µ µ j para t j Geralmente os testes de hpóteses com relação aos efetos de lnhas e colunas não são fetos por dos motvos: prmero o nteresse prncpal é testar os efetos de tratamento, e o propósto usual de lnhas e colunas é elmnar fontes estranhas de varação 5 PARTIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS Do quadro de representação das observações no DQL, podemos notar os seguntes desvos: Podemos dentfcar os seguntes desvos: jt ++ +, como o desvo de uma observação em relação à méda geral;

93 93 jt ++ +, como o desvo da méda do t-ésmo tratamento em relação à méda geral; , como o desvo da méda da -ésmo lnha em relação á méda geral; + j como o desvo da méda da j-ésma coluna em relação á méda geral; Então, podemos escrever a gualdade: ( Yjt Y+ ++ ) ( Y ++ Y+++ ) + ( Y+ j + Y+++ ) + ( Y++ t Y+++ ) + ( Yjt Y ++ Y + j + Yj ++ + Y++ + ) a qual representa a a varação de uma observação em relação à méda geral amostral como uma soma da varação da méda da -ésma lnha em relação à méda geral, com a varação da méda da j-ésma coluna em relação à méda geral, com a varação da méda da j-ésma coluna em relação à méda geral, com a varação da méda do k-ésma tratamento em relação à méda geral, e com a varação do erro expermental Elevando-se ao quadrado os dos membros da dentdade acma e somando em relação aos índces e j, obtemos: k k j ( Y jk Y +++ ) k ( Y ++ Y +++ ) + k j ( Y + j + Y +++ ) + k t ( Y ++ k Y +++ ) + k k k j t ( Y jk Y ++ Y + j + Y j + + Y +++ ), Ou seja, a Soma de quadrados do Total (SQT) é gual à Soma de Quadrados do efeto colocado nas lnhas (SQL), mas a Soma de Quadrados do efeto colocado nas colunas (SQC), Mas a Soma de Quadrados dos tratamentos (SQTr), mas a Soma de Quadrados dos resíduos (SQR) Notem que exste k observações, então a SQT tem k - graus de lberdade Exste k lnhas, k colunas e k tratamentos, tal que cada uma das três soma de quadrados SQL, SQC e SQTr têm k- graus de lberdade Fnalmente, os graus de lberdade para SQR pode ser calculado pela dferença entre os graus de lberdade entre a SQT e soma dos graus de lberdade para lnhas, colunas e tratamentos ((k -)- (k-)-k-)-(k-)(k-)(k-)) Assm, os graus de lberdade assocados a cada membro da equação acma fca: Total Lnhas Colunas Tratamentos Resíduo ( k -) (k-) + (k-) + (k-) + (k-)(k-) 6 QUADRADOS MÉDIOS Dvdndo a SQL, SQC, SQTr e SQR pelos correspondentes graus de lberdade, obtemos, respectvamente o Quadrado Médo das Lnhas (QML), o Quadrado Médo das Colunas (QMC), o Quadrado

94 94 Médo de Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resíduo (QMR), sto é, SQL SQC QML, QMC k k e QMTr SQTr k SQR e QMR ( k )( k ) 7 ESTATÍSTICA E REGIÃO CRÍTICA DO TESTE A estatístca para o teste é QMTr F c, QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F c tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (k -) e (k-)(k-) graus de lberdade no numerador e no denomnador, respectvamente Resumdamente, ndcamos: F F, sob H c ~ ( k,( k )( k ), α ) 0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca α se F >, c F( k,( k )( k ), α ) sendo, F( k,( k )( k ), α ) o quantl de ordem ( α ) da dstrbução F- Snedecor com (k -) e (k-)(k-) graus de lberdade no numerador e no denomnador 8 QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) Dspomos as expressões necessáras ao teste na Tabela abaxo, denomnada de Quadro de Análse de Varânca (ANOVA) Fonte de varação gl SQ QM F Lnhas k - k Y ++ ( Y++ + ) k k Colunas k k j Y + j + ( Y++ + ) k k Tratamentos k - Resíduo (k-)(k-) k t TOTAL K k Y ++ t ( Y++ + ) r k k J Y SQL k SQC k SQTr k SQR ( k )( k ) jt ( Y k +++ ) QMTr QMR

95 95 Pode-se provar que: E( QMR ) σ, ou seja, QMR é um estmador não vesado da varânca σ ; k r E( QMTr ) σ + τ, ou seja, QMTr é um estmador não ( k ) vesado da varânca σ se a hpótese H0 : τ τ τ k 0 é verdadera 9 DETALHES COMPUTACIONAIS Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA ( ++ + ) Calcule a correção para a méda CM ; k Calcule a Soma de Quadrados dos Totas (SQT) SQT k k j jt CM ; Calcule a Soma de Quadrados Entre os Tratamentos (SQTr) k Y++ t SQTr CM ; t k Calcule a Soma de Quadrados das Lnhas (SQL) k Y ++ SQL CM ; j k Calcule a Soma de Quadrados de Colunas (SQC) k Y+ j + SQC CM ; j k Calcule a Soma de Quadrados Resdual (SQR) pela dferença, sto é, SQR SQT SQL SQC SQTr ; Calcule os Quadrados Médos Entre os Tratamentos (QMTr) e o Quadrado Médo Resdual (QMR) SQL SQC SQTr SQR QML, QMC, QMTr e QMR k k k ( k )( k ) Calcule F c para tratamentos, lnhas e colunas, ou seja, QMTr QML QMC FcTr, FL efc QMR QMR QMR EXEMPLO 0 EXEMPLOS Vamos consderar os dados do exemplo apresentado no tem Os cálculos para montar-mos o quadro da ANOVA são: k 4, e k N 6 Então

96 96 Graus de lberdade: Total k N 6 5; Trat k 4 3 Lnhas k 4 3, Colunas k 4 3 e Re s ( k )( k ) ( 4 )( ) 8 ( 54, 94) CM 88, SQT ( 3, 6) + ( 4, 5) + + ( 3, 40) CM 9, 87 88, 586 3, 6055 ( 4, ) (, 94) ( 4, 5) ( 3, 63) SQTr + + CM , , 586 0, 33 ( 4, 0 ) ( 3, 90 ) ( 3, 7) ( 3, ) SQL CM , , 586 0, 065 (, 64 ) ( 4, 76 ) (, 45 ) ( 5, 08 ) SQC CM , , 586, 474 SQR SQT SQTr SQL SQC 3, , 33 0, 065, 474, , 33 0, 065 QMTr 0, 077, QML 3 3, 8094 e QMR 0, , 0355,, 474 QMC 3 0, 4758 F F ctr cc QMTr QMR QMC QMR 0, , 899 e F 0, , 4758, , 3064 cl QML QMR 0, , 306 0, 59 Organzando estes resultados no Quadro da ANOVA, temos: Fonte de varação gl SQ QM F Lnhas 3 0,065 0,0355 Colunas 3,474 0,4758 Tratamentos 3 0,33 0,0874 0,899 Resíduo 6,8384 0,305 TOTAL 5 3,6055 Das tabelas das dstrbuções F, temos que F( 3, 6, 0, 05 ) 4, 76 e F( 3, 6, 0, 0 ) 9, 78 O valor FcTr 0,899 é menor do que estes valores tabelados, então não rejetamos a hpótese nula H0

97 97 para um nível α 0, 05, ou 5% de probabldade e concluímos que os dados não evdencam uma dferença sgnfcatva entre as quatros drogas Os dados também não evdencam uma varação sgnfcatva entre os efetos colocados nas lnhas (p0,946) e nas colunas (p0,90) Segundo o que alguns pesqusadores sugerem não consderaríamos os efetos de lnhas e colunas em futuros expermentos, tendo em vsta que o valor do nível de sgnfcânca para lnhas e colunas é superor a 0,5 Análse de varânca, teste de normaldade e teste de homogenedade das varâncas no R summar(tx_nfav) summar(tx_nfav) # o mesmo resultado é obtdo com o comando anova(tx_nf) O teste da normaldade dos ε jt, ou seja, H0 : εjt ~ N(0, σ ) é dado pelos comandos resduo <- resd(tx_nfav) # obtendo o rsduo shaprotest(resduo) # teste de normaldade dos resíduos Resultados fornecdos pelo R Shapro-Wlk normalt test data: resduo W 0983, p-value 0586 E o teste da homogenedade das varâncas, ou seja, pelo comando H0 σ σ : é executado 4 bartletttest(tx_nf~lnha+coluna+trat) # teste de homogenedade das varâncas Resultados fornecdo pelo R Bartlett test of homogenet of varances data: tx_nf b lnha b coluna b trat Bartlett's K-squared 47087, df 3, p-value 0944 Exemplo Com o objetvo de estudar o efeto da dade da castração no desenvolvmento e produção de suínos, fo utlzado um delneamento em quadrado latno com 4 tratamentos envolvendo a castração aos 7 das (C); aos das (D); aos 56 das (A) e suínos nteros (B) A varação exstente entre as letegadas fo controlada pelas lnhas do quadrado e a varação dos pesos dos letões dentro das letegadas fo solada pelas colunas Os ganhos de peso, em kg, ao fnal do expermento (5 das) estão apresentados no quadro a segur:

98 98 Letegada Classe de pesos dos letões dentro das letegadas 3 4 Totas 93,0 (A) 08,6 (B) 8,9 (C) 0 (D) 4,5 5,4 (B) 96,5 (D) 77,9 (A) 0, (C) 390,0 3, (C) 90,9 (A) 6,9 (D) 06,0 (B) 409,9 4 7,6 (D) 4, (C) 8,7 (B) 95,6 (A) 448,0 Totas 48, 44, 4,4 395,8 660,4 Quadro da ANOVA Fonte de varação gl SQ QM F Letegadas 3 436,55 49,65 0,7 Classe 3 48,95 45,5, Tratamentos 3 93,57 304,5 4,4 Resíduo 6 43,00 68,83 TOTAL 5 9,07 Das tabelas das dstrbuções F, temos que F( 3, 6, 0, 05 ) 4, 76 e F( 3, 6, 0, 0 ) 9, 78 O valor F ctr 4,4 é menor do que estes valores tabelados, então não rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível α 0, 05, ou 5% de probabldade e concluímos que a hpótese de que os efetos de tratamento são todos nulos não é rejetada, ou seja, os ganhos de peso dos letões submetdos às dferentes dades de castração são todos guas a 03,78 Solução no R ex_dados <- readtable("exdqltxt",headertrue) # letura dos dados pelo readtable ex_dados summar(ex_dados) #resumo dos dados do arquvo ex_dados attach(ex_dados) letegada <- factor(letegada); classe<- factor(classe); trat <- factor(trat) # passando os níves de lnha # coluna e trat como fatores boxplot(peso~trat,col,xlab"tratamentos") pesoav <- aov(peso~letegada+classe+trat) summar(pesoav) # o mesmo resultado é obtdo com o comando anova() resduo <- resd(pesoav) # obtendo os resduos shaprotest(resduo) # teste de normaldade dos resduos bartletttest(peso~trat) # teste de homogenedade das varâncas COMO CONTORNAR O PROBLEMA DO PEQUENO NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE PARA O RESÍDUO? Um problema que aparece quando usamos o delneamento em quadrado latno com um número pequeno de tratamentos, é que o resíduo passa a ser estmado com um número pequeno de graus de lberdade No quadro a segur, apresentamos o número de graus de lberdade do resíduo no DQL para dferentes números de tratamentos:

99 99 Número de tratamentos gl do resíduo RESPOSTA: Planejar mas de uma repetção do quadrado latno para consegur um número satsfatóro de graus de lberdade para o resíduo Por exemplo, se k 4 tratamentos e queremos um número de gl para o resíduo superor a, devemos fazer pelo menos r repetções do QL orgnal Solução : usar as mesmas lnhas e mesmas colunas; QL C C C 3 C 4 QL C C C 3 C 4 L A B C3 D L D A B C L B C D A L C D A B L 3 C D A B L 3 B C D A L 4 D A B C L 4 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de varação gl QL r Tratamentos k 3 Lnhas k 3 Colunas k 3 Resíduo (k )[ r (k + ) 3] Total r k 3 Solução : usar as mesmas lnhas com as colunas dferentes (ou mesmas colunas com lnhas dferentes); QL C C C 3 C 4 QL C 5 C 6 C 7 C 8 L A B C D L D A B C L B C D A L C D A B L 3 C D A B L 3 B C D A L 4 D A B C L 4 A B C D

100 00 Quadro da ANOVA resultante Causas de varação gl QL r Tratamentos k 3 Lnhas k 3 Colunas (QL) r ( k ) 6 Resíduo (k )(r k ) 8 Total r k 3 Solução 3: usar lnhas e colunas dferentes QL C C C 3 C 4 QL C 5 C 6 C 7 C 8 L A B C D L 5 D A B C L B C D A L6 C D A B L 3 C D A B L 7 B C D A L 4 D A B C L 8 A B C D Quadro da ANOVA resultante Causas de varação gl QL r Tratamentos k 3 Lnhas (QL)* r ( k - ) 6 Colunas (QL)** r ( k - ) 6 Resíduo (k ) [ k (k ) ]5 Total r k 3 (*) lê-se Efeto de lnhas dentro de quadrado latno (**) lê-se Efeto de colunas dentro de quadrado latno Suponha que um expermentador esteja nteressado em estudar os efetos da atvdade da estmulação hormonal folcular (follclestmulaton hormone - FSH) Em vacas é meddo em bo ensaos pesando-se o ováro (mg) de ratos maturos Duas varáves conhecdas que nfluencam no peso de ováros de ratos são: a consttução genétca e o peso corporal Acredta-se que o peso corporal é ndependente das dferenças genétcas, assm o delneamento quadrado latno (DQL) é adequado Dos quadrados latnos 4 x 4 foram usados com as lnhas nnhadas de ratos e colunas classes de peso corporal O pesqusador consderou a dferença nos pesos corporas nos dos quadrados para preservar os graus de lberdade do erro expermental, dado que a ampltude do peso corporal era consstente de nnhada para nnhada, ou seja, o pesqusador repetu o expermento consderando as mesmas classes de peso corporal

101 0 (Solução ) QL C C C 3 C 4 Totas QL C C C 3 C 4 Totas L (D) 44 (C) 39 (B) 5 (A) L 5 (B) 5 (C) 74 (A) 74 (D) 8 8 L (B) 6 (A) 45 (D) 49 (C) L 6 (D) 6 (A) 74 (C) 75 (B) L 3 (C) 67 (D) 7 (A) 8 (B) L 7 (A) 7 (D) 67 (B) 60 (C) 74 7 L 4 (A) 77 (B) 74 (C) 88 (D) L 8 (C) 49 (B) 47 (D) 58 (A) 68 Totas Totas dos tratamentos: 563 (A), 465 (B), 54 (C), 533 (D) Cálculos: ( ) SQL 489, 69 ; 4 3 (4 + 33) + + ( ) ( ) SQC 89,09; ( ) SQTr 63,59; 8 3 ( ) SQT ,; 3 SQR SQT SQTr SQC SQL 38,56; O quadro da ANOVA fca Causas de varação gl SQ QM F P QL 63,8 63,8 Tratamentos 3 63,59 0,53 9,9 0,0004 Lnhas (QL) 6 489,69 85,8 38,6 Colunas 3 89,09 606,36 8,53 Resíduo 8 9 6, Total Das tabelas das dstrbuções F, temos que F( 3, 8, 0, 05 ) 3, 6 e F( 6, 8, 0, 0 ) 5, 09 O valor F ctr 9,9 é maor que estes valores tabelados, então rejetamos a hpótese nula H 0 para um nível α 0, 0, ou% de probabldade e concluímos que a hpótese de que os efetos de tratamento são todos nulos é rejetada, ou seja, nos pesos dos ováros de ratos maturos (bo-ensao para vacas) exste pelo menos dos tratamentos que dferem entre s quanto ao peso de ováros Podemos usar o teste de Tuke para compararmos as médas dos tratamentos (note que temos 4 tratamentos e cada um deles aparece 8 vezes) Então, QMR,5 d m s q( 4, 8, 0,05) 3,997 6,5 rk 8

102 0 Peso médo* Drogas (mg) A 70,37 a D 66,63 a C 65,50 a B 58,3 b (* Médas segudas pelas mesmas letras na coluna não dferem entre s pelo teste de Tuke a 5%) Com base nos resultados apresentados na tabela anteror pode-se afrmar que os pesos de ováros tratados com as drogas A, D e C não dferem entre s e os pesos dos ováros tratados com as drogas C e B também não dferem entre s As dferenças nos pesos de ováros estão entre as drogas A, D e C quando comparadas, ndvdualmente, com a droga B Organzando o arquvo de dados no Excel e no bloco de notas Arquvo de dados xls (pesoxls) ql lnha coluna trat put q l c D 44 q l c B 6 q l3 c C 67 q l4 c A 77 q l c C 39 q l c A 45 q l3 c D 7 q l4 c B 74 q l c3 B 5 q l c3 D 49 q l3 c3 A 8 q l4 c3 C 88 q l c4 A 73 q l c4 C 58 q l3 c4 B 76 q l4 c4 D 00 q l5 c B 5 q l6 c D 6 q l7 c A 7 q l8 c C 49 q l5 c C 74 q l6 c A 74 q l7 c D 67 q l8 c B 47 q l5 c3 A 74 q l6 c3 C 75 q l7 c3 B 60 q l8 c3 D 58 q l5 c4 D 8 q l6 c4 B 79 q l7 c4 C 74 q l8 c4 A 68 Arquvo de dados txt (pesotxt) ql lnha coluna trat put q l c D 44 q l c B 6 q l3 c C 67 q l4 c A 77 q l c C 39 q l c A 45 q l3 c D 7 q l4 c B 74 q l c3 B 5 q l c3 D 49 q l3 c3 A 8 q l4 c3 C 88 q l c4 A 73 q l c4 C 58 q l3 c4 B 76 q l4 c4 D 00 q l5 c B 5 q l6 c D 6 q l7 c A 7 q l8 c C 49 q l5 c C 74 q l6 c A 74 q l7 c D 67 q l8 c B 47 q l5 c3 A 74 q l6 c3 C 75 q l7 c3 B 60 q l8 c3 D 58 q l5 c4 D 8 q l6 c4 B 79 q l7 c4 C 74 q l8 c4 A 68

103 03 Resolvendo no R dados_put <- readtable("ex3dqltxt",headertrue) dados_put attach(dados_put) summar(dados_put) # # análse de varânca # putav <-aov(put~ql+lnha+coluna+trat) anova(putav) requre(agrcolae) puttu <-HSDtest(putav,"trat") bargroup(puttu,lmc(0,90),denst, col"brown", xlab"tratamentos",lab"peso do Utero",man"Teste de Tuke") CASUALIZAÇÃO DOS TRATAMENTOS Suponha que queremos dspor os tratamentos A, B, C, e D sobre um quadrado latno 4 x 4: escolhemos aleatoramente um dos quadrados padrões de tamanho 4 suponha 3 4 A B C D B C D A 3 C D A B 4 D A B C seleconemos uma das permutações de,, 3, e 4 suponha, 4,, 3 então 3 4 B C D A 4 D A B C A B C D 3 C D A B seleconemos uma outra das permutações de,, 3, e 4 suponha, 3, 4, então 3 4 B D A C 4 D B C A A C D B 3 C A B D Este é o delneamento escolhdo

104 04 3 EXEMPLOS EM QUE AS UNIDADES EXPERIMENTAIS SÃO ANIMAIS OU PESSOAS Neste tpo de expermento os própros anmas ou pessoas servem como um crtéro de classfcação (lnhas) e o tempo (colunas) é o outro, ou seja, meddas repetdas não aleatóras são obtdas de cada anmal (pessoa) dstrbuídos a uma seqüênca de tratamentos EXEMPLO 4 O objetvo deste expermento fo testar o efeto de quatro dferentes suplementos (A, B, C, D) adconados ao feno na engorda de novlhos O expermento fo delneado em um expermento Quadrado Latno com quatro anmas em quatro períodos de 0 das As ovelhas foram mantdas soladas ndvdualmente Cada período conssta de 0 das de adaptação e de 0 de meddas Os dados apresentados abaxo são as médas de 0 das Solução no R Novlhos Período N N N3 N4 0,0 (B) 9,0 (D), (C) 0,8 (A) 0, (C),3 (A), (B),0 (D) 3 8,5 (D), (B),8 (A),0 (C) 4, (A),4 (C),7 (D),0 (B) dados_peso <- readtable("ex4dqltxt",headertrue) dados_peso attach(dados_peso) perodo <- factor(perodo); novlho <- factor(novlho); trat <- factor(trat) summar(dados_peso) # # análse de varânca # pesoav <-aov(peso~perodo+novlho+trat) anova(pesoav) summar(pesoav) resduo <- resd(pesoav) shaprotest(resduo) bartletttest(peso~trat+perodo+novlho) # RESOLVENDO COM O PACOTE ExpDes requre(expdes) latsd(trat, perodo, novlho, peso, qual TRUE, mcomp "tuke")

105 05 RESUMO: LEITURAS RECOMENDADAS CAPITULO 7 VIEIRA, S Análse de Varânca (ANOVA) São Paulo: Atlas: p SAMPAIO, IBM Estatístca aplcada à expermentação anmal Belo Horzonte: Fundação de Ensno e Pesqusa em Medcna Veternára e Zootecna, 00, 3 ed 64 p LIMA, C G Apostla de notas de aulas Faculdade de Zootecna e Engenhara de Almentos Departamento de Cêncas Báscas USP, Prassununga SP KAPS, M; LAMBERSON, W Bostatstcs for anmal scence Wallngford: CABI Publshng, 007, 445p (pdf)

106 06 Captulo 8 Expermentos Fatoras EXPERIMENTOS FATORIAIS Nos expermentos mas smples comparamos tratamentos ou níves de um únco fator, consderando que todos os demas fatores que possam nterferr nos resultados obtdos se mantenham constantes Por exemplo: quando comparamos tpos de drogas em anmas expermentas, os demas fatores, como raça, dade, sexo etc, se mantêm constantes, sto é, devem ser os mesmos para todas as drogas estudadas Entretanto, exstem dversos casos em que város fatores devem ser estudados smultaneamente Nesses casos, utlzamo-nos dos expermentos fatoras, que são aqueles nos quas são estudados, ao mesmo tempo, os efetos de dos ou mas tpos de fatores ou tratamentos Entenda-se por fator uma varável ndependente cujos valores (níves do fator) são controlados pelo expermentador Cada subdvsão de um fator é denomnada de nível do fator e os tratamentos nos expermentos fatoras consstem de todas as combnações possíves entre os dversos fatores nos seus dferentes níves Por exemplo: num expermento fatoral podemos combnar doses de um antbótco com 3 dferentes níves de vtamna B Neste caso teremos um fatoral x 3, com os fatores Antbótcos (A) e Vtamna (V), que ocorrem em níves (A e A ) e 3 níves (V, V e V 3 ), respectvamente, e os x 3 6 tratamentos são: A V A V A V 3 A V A V A V 3 Outro exemplo: num expermento fatoral 3 x podemos combnar 3 Doses de uma droga (D, D e D 3 ), Idades (I e I) e teremos 3x 6 tratamentos, que resultam de todas as combnações possíves dos níves dos 3 fatores, ou seja, D I D I D I D I D 3 I D 3 I Os expermentos fatoras não consttuem um delneamento expermental e sm um esquema orentado de desdobramento de graus de lberdade de tratamentos e podem ser nstalados em qualquer um dos delneamentos expermentas já estudados (DIC, DBC e DQL, por exemplo) Em um expermento fatoral nos podemos estudar não somente os efetos dos fatores ndvduas, mas também, se o expermento fo bem conduzdo, a nteração entre os fatores Para lustrar o conceto de nteração vamos consderar os seguntes exemplos: Suponha que as médas dos 3 x 6 tratamentos deste últmo exemplo são apresentadas na tabela abaxo:

107 07 Fator B - Idade Fator A- Dose da Droga I 0 I D D 0 5 D Idade - Fator B b 6 4 Doses da Droga - Fator A a Tempo de redução (mlsegundos) b 0 Tempo de redução (mlsegundos) a 0 0 a Doses da droga - Fator A 4 0 Idade- Fator B Os seguntes aspectos mportantes dos dados na Tabela acma devem ser destacados: Para ambos os níves do fator B, a dferença entre as médas para quasquer níves do fator A é a mesma; Para todos os níves do fator A, a dferença entre as médas para os dos níves de B é a mesma; Uma tercera característca é notada por meo do gráfco Notamos que as curvas correspondentes aos dferentes níves de um fator são todas paralelas Quando os dados da população possuem estas três característcas lstadas acma, dzemos que não exste nteração presente entre os fatores A presença de nteração entre os fatores pode afetar as característcas dos dados de váras formas dependendo da natureza da nteração Vamos lustrar o efeto de um tpo de nteração modfcando os dados da tabela apresentada anterormente Fator B: Idade Fator A: Dose da Droga I 0 I D D 0 0 D 0 5 Os seguntes aspectos mportantes dos dados na Tabela acma devem ser destacados: A dferença entre as médas para qualquer dos dos níves de A não é a mesma para ambos os níves de B;

108 08 A dferença entre as médas para ambos os níves do fator B não é o mesmo nos níves do fator A; As curvas dos fatores não são paralelas, como é mostrado nos gráfcos abaxo; 0 Idade - Fator B 0 8 b 0 8 Doses da Droga - Fator A Tempo de redução (mlsegundos) Tempo de redução (mlsegundos) a 0 a b 6 a 4 3 Doses da droga - Fator A 4 0 Idade - Fator B Quando os dados da população exbem as característcas acma, dzemos que exste nteração entre os dos fatores Enfatzamos que o tpo de nteração lustrada acma é somente uma das dos mutos tpos de nteração que podem ocorrer entre dos fatores Em resumo, podemos afrmar que exste nteração entre dos fatores se uma modfcação em um dos fatores produz uma modfcação na resposta em um dos níves do outro fator dferente dos produzdos nos outros níves deste fator As vantagens de um expermento fatoral: A nteração dos fatores pode ser estudada; Exste uma economa de tempo e de esforço Nos expermentos fatoras todas as observações podem ser usadas para estudar o efeto de cada um dos fatores nvestgados A alternatva, quando dos fatores são nvestgados, sera o de conduzr dos dferentes expermentos, cada um para estudar cada um dos dos fatores Se sto é feto, as observações somente produzrão nformações sobre um dos fatores, e o outro expermento somente fornecerá nformação sobre o outro fator Para se obter o nível de precsão dos expermentos fatoras, mas undades expermentas seram necessáras se os fatores fossem estudados por meo de dos expermentos Isto mostra que expermento com dos fatores é mas econômco que expermentos com fator cada um Vsto que os város fatores são combnados em um expermento, os resultados têm uma grande ampltude de aplcação

109 09 DEFINIÇÕES INICIAIS Consderemos um expermento fatoral x, com os fatores, Antbótco (A) e Vtamna B (B) nos níves: a 0 (sem antbótco) e a (com antbótco); b 0 (sem Vtamna B ) e b (com vtamna B ), respectvamente, adconados a uma deta básca e os seguntes valores médos de ganho de peso (g) para os x 4 tratamentos: Fator B: Vtamna B Fator A: Dose do antbótco b 0 B Totas a a Totas A representação gráfca fca: Defnções: EFEITO SIMPLES DE UM FATOR: como a medda da varação que ocorre com a característca em estudo (ganho de peso, neste exemplo) correspondente às varações nos níves desse fator, em cada um dos níves do outro fator Efeto smples do antbótco no nível 0 de vtamna B : dentro de b ab0 a0b ) Efeto smples do antbótco no nível de vtamna B : ( dentro de b ab a0b ) Efeto smples da vtamna B no nível 0 de antbótco : dentro de a a0b a0b ) Efeto smples da vtamna B no nível de antbótco : a b a b 53 3 A ( 0 A B ( 0 B( dentro de a ) 0 0

110 0 EFEITO PRINCIPAL DE UM FATOR: é uma medda da varação que ocorre com a característca em estudo, correspondente às varações nos níves desse fator, em méda, de todos os níves do outro fator Efeto Efeto prncpal prncpal de de A A B B ( dentro de b0 ) ( dentro de a0 ) + A + B ( dentro de b ) ( dentro de a ) EFEITO DA INTERAÇÃO ENTRE OS DOIS FATORES: é uma medda da varação méda que ocorre com a característca em estudo, correspondente às varações nos níves de um fator, ao passar de um nível a outro do outro fator A( dentro de b ) A( ) 30 8 dentro de b 0 Efeto da nt eração A x B 6, ou anda, B( dentro de a ) B( ) 9 dentro de a 0 Efeto da nt eração deb x A 6, sto é, tanto faz calcular a nteração A x B como a nteração B x A As prncpas desvantagens dos expermentos fatoras: O número de tratamentos aumenta muto com o aumento do número de níves e de fatores, tornando pratcamente mpossível dstrbuí-los em blocos casualzados, devdo à exgênca de homogenedade das parcelas dentro de cada bloco A análse estatístca é mas trabalhosa (efetos prncpas e nteração de todos os fatores) e a nterpretação dos resultados se torna mas dfícl à medda que aumentamos o número de níves e de fatores no expermento 3 O MODELO MATEMÁTICO O modelo de um expermento fatoral com dos fatores, num delneamento nteramente casualzado com r repetções, pode ser escrto como: µ + α + β + ( αβ ) + ε jk j Sendo: kj é a k ésma resposta que recebeu o nível do fator β ; j jk ésmo nível do fatorα e o j ésmo µ é uma cons tante( méda ) comum a todas as observações;

111 α é o efeto do ésmo nível do fator α com β é o efeto do j ésmo nível do fator β com j j αβ j é o efeto da nt eração do ésmo nível j ésmo nível do fator β;,, a;,, b; do fator α com o efeto do ε é o erro exp ermental assocado à observação com k,, r jk jk 4 SUPOSIÇÕES DO MODELO As suposções assocadas ao modelo; As observações de cada célula ab consttuem uma amostra aleatóra de tamanho r retrada de uma população defnda pela partcular combnação dos níves dos dos fatores; Cada uma das ab populações é normalmente dstrbuída; Todas as populações têm a mesma varânca; ε jk ~ N( o, σ ) ; e os parâmetros α, β j e ( αβ ) j satsfazem as condções a b a b α β j 0 e ( αβ ) j ( αβ ) j 0 j Vale observar que a é o número de níves do fator A, b é o número de níves do fator B e r é o número de repetções de cada um dos ab tratamentos No total temos abr undades expermentas j 5 HIPÓTESES ESTATÍSTICAS As seguntes hpóteses podem ser testadas nos expermentos fatoras A hpótese de que não exste ou exste nteração AB é equvalente às hpóteses H0 AB : ( αβ ) j 0 vs HAB : ( αβ ) j 0 com,, a e j,, b ; De manera análoga as hpóteses de que não exste efeto prncpal do fator A e B é a mesma que as hpóteses H0 A : α 0 vs HA : α 0 com,, a, H0B : β j 0 vs HB : β j 0 com j,, b respectvamente 6 DETALHES COMPUTACIONAIS Apresentaremos alguns passos que facltam os cálculos das somas de quadrados da ANOVA O quadro abaxo mostra um possível arranjo dos dados de um expermento com os tratamentos em um arranjo fatoral x

112 a a b b b b r r r r Pode-se montar o segunte quadro auxlar dos totas (r) b b Totas a Y + Y + Y + + a Y + Y + Y + + TOTAL ++ Y Y ++ Y ++ + Assm os cálculos do quadro da análse de varânca são dados pelas seguntes expressões: Soma de Quadrados do Total (SQT) r a b ( Y+++ ) ( Y++ + ) SQT Y, sendo CM, sendo a e b abr abr k j jk a Soma de Quadrados do fator A, SQ(A) SQ( A) Y ++ CM ; br b Soma de Quadrados do fator, B SQ(B) SQ( B) Y+ j + CM ; ar j Soma de Quadrados da nteração AxB, SQ(AxB)SQ(A,B)- a b SQ(A)-SQ(B) ou SQ( AxB ) Yj + CM, sendo a SQ(A,B) r j a soma de quadrado conjunta, que nos fatoras com dos fatores é gual à SQTr; Soma de Quadrados do Resíduo (SQR) SQRSQT-SQ(A)- SQ(B)-SQ(AxB) ou SQR r a b k j Y jk Y r k j + ;

113 3 7 QUADRO DA ANOVA Calculadas as SQ podemos montar o segunte Quadro da ANOVA: Fonte de Varação gl SQ QM F Fator A a- SQ(A) QM(A)SQ(A)/(a-) QM(A)/QMR Fator B b- SQ(B) QM(B)SQ(B)/(b-) QM(B)/QMR Int A xb (a-)(b-) SQ(AxB) QM(A)SQ(AxB)/(a-)(b-) QM(AxB)/QMR Tratamentos ab- SQTr QMTrSQTr/(ab-) QMTr/QMR Resíduo ab(r-) SQR QMR+SQR/ab(r-) TOTAL abr- SQT 8 ESTATÍSTICA E REGIÃO CRÍTICA DO TESTE As estatístcas para os testes F da ANOVA são: QM( A) QM( B ) QM( AxB ) FcA, FcB e FcAB, QMR QMR QMR a qual, deve ser próxmo de se H 0 for verdadera, enquanto que valores grandes dessa estatístca são uma ndcação de que H 0 é falsa A teora nos assegura que F ca tem, sob H 0 dstrbução F Snedecor com (a -) e ab(r-)) graus de lberdade no numerador e no denomnador, respectvamente Resumdamente, ndcamos: F F, sob H ca ~ ( a, ab( r ), α ) 0 Rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca α se F >, ca F( a, ab( r ), α ) sendo, F( a, ab( r ), α ) o quantl de ordem ( α ) da dstrbução F- Snedecor com (a -) e ab(r-) graus de lberdade no numerador e no denomnador De modo análogo temos F cb Para a nteração A x B a F, sob H cab ~ F( ( a )( b ), ab( r ), α ) 0 e rejetamos H 0 para o nível de sgnfcânca α se F > F,, cab ( ( a )( b ), ab( r ), α ) sendo, F( ( a )( b ), ab( r ), α ) o quantl de ordem ( α ) da dstrbução F- Snedecor com (a -)(b-) e ab(r-) graus de lberdade no numerador e no denomnador respectvamente

114 4 9 EXEMPLOS EXEMPLO consdere o esquema fatoral x ( dos níves de antbótco, dos níves de vtamna B ) para estudar o aumento de peso (Kg) dáro em suínos a 0 sem antbótco; a com 40 µg de antbótco b 0 sem vtamna B ; b com 5 mg de vtamna B a 0 a Repetção b 0 b b 0 b,30,6,05,5,9,,00,56 3,08,9,05,55 Totas 3,57 3,66 3,0 4,63 Formato do arquvo txt ant vt_b g_peso ao b0 30 ao b0 9 ao b0 08 ao b 6 ao b ao b 9 a b0 05 a b0 00 a b0 05 a b 5 a b 56 a b 55 Formato no Excel No R dados_ex <- readtable("ex_aula8txt", headert) # Entrando com os dados dados_ex #lsta o arquvo attach(dados_ex) # # calculo das nterações - Quadros Auxlares # nttotal <- tappl(g_peso, lst(ant, vtb), sum) nttotal ntmeda <- tappl(g_peso, lst(ant, vtb), mean) ntmeda OBS: neste caso o delneamento expermental fo o nteramente casualzado com os tratamentos num esquema fatoral x, com 3 repetções