4.1. Variáveis de Resposta

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1 4 Análse da Méda Neste Capítulo defnremos um rotero para uma nvestgação que permta a escolha do modelo mas adequado para representar o comportamento da méda de uma característca de qualdade (resposta) de um processo ou produto. Um modelo adequado para a méda é mportante para ajustar os fatores que afetam a méda e então conduz-la a um valor desejado. Ademas, um modelo nadequado para a méda em expermentos não replcados pode acarretar a dentfcação de fatores espúros afetando a dspersão. Isto porque, não havendo replcações, o modelo para a dspersão é obtdo através dos resíduos provenentes do modelo da méda, o que exge uma dentfcação correta dos fatores que afetam a méda, sob pena de dentfcação de efetos espúros na dspersão (ver Pan, 999, e McGrath e Ln, 00). No Capítulo 5 voltaremos ao assunto quando tratarmos da análse da dspersão. O rotero será apresentado em város estágos da nvestgação. Cada parte destes estágos será explcada detalhadamente, defnndo-se as atvdades a serem realzadas e quas as decsões que devem ser tomadas. Exemplos lustrarão os dversos estágos. Na Seção 4. descreveremos as propredades das varáves de resposta que caracterzam a qualdade em produtos e processos produtvos. Na Seção 4. consderaremos, para modelagem destas varáves, a metodologa apresentada no Capítulo, ou seja: usaremos os modelos lneares gaussanos juntamente com o método dos mínmos quadrados (MQ). Quando os pressupostos do modelo lnear normaldade, adtvdade e varânca constante não puderem ser acetos, a alternatva é a transformação da resposta ou os modelos lneares generalzados. Na Seção 4.3 usaremos a alternatva de transformar a resposta y para outra escala, tal como ln(y), aplcando aos dados transformados anda os mesmos procedmentos da Seção 4..

2 96 Na Seção 4.4 será descrta a utlzação dos modelos lneares generalzados (MLG), nclundo aí a quase-verossmlhança (QV), como descrtos no Capítulo Varáves de Resposta No começo do processo de modelagem é necessáro caracterzar a varável de resposta como dscreta ou contínua. A rgor, em aplcações prátcas, toda varável aleatóra é dscreta, mesmo quando o espaço amostral da varável é contínuo. Isto porque o que se faz são medções na varável de resposta, que são lmtadas pela precsão do nstrumento de medda. Por consegunte, exste um número fnto de meddas possíves, o que não ocorre com os modelos probablístcos de varáves contínuas. Entretanto, quando o espaço amostral é contínuo e o número de meddas possíves é elevado em relação ao tamanho da amostra, a aproxmação pelas dstrbuções de varáves contínuas é satsfatóra. Varáves Contínuas As varáves contínuas são utlzadas quando a característca de qualdade pode ser representada por uma grandeza defnda num ntervalo dos números reas, como é o caso das meddas de comprmento, superfíce, volume, resstênca, velocdade, voltagem, pureza, etc. Nestes casos o espaço amostral da varável de resposta é contínuo, sendo então elas serem representadas por varáves contínuas. Portanto, nestes casos, podem ser consderadas as dstrbuções normal, gama e normal nversa. A dstrbução normal é smétrca em relação à méda e tem varânca constante. As dstrbuções gama e normal nversa são assmétrcas e têm a varânca aumentando junto com a méda. Evdente que, se temos prévas nformações sobre a smetra e o comportamento da varânca da varável de resposta, poderemos usá-las na escolha da dstrbução de probabldade. Raramente, em aplcações prátcas, as meddas fetas na resposta tomam valores negatvos. As grandezas acma menconadas (comprmento, etc) são sempre postvas, sendo então mas comum haver assmetra com uma cauda mas longa do lado dreto da curva. Por consegunte, modelos com dstrbução normal para a resposta devem ser utlzados com precaução. Eles devem ser consderados apenas nos casos em que a probabldade de uma medda na resposta ser zero é pratcamente nula. Nestes casos a normal pode proporconar um ajuste

3 97 satsfatóro, quando se observa que a resposta é aproxmadamente smétrca em relação à méda e que sua varânca é aproxmadamente constante. Se, adconalmente, os efetos a ela transmtdos pelas varáves de regressão são adtvos, podem-se usar os métodos de análse apresentados na Seção 4.. Entretanto, mesmo que não se tenha estas evdêncas, justfca-se a tentatva (de usar os métodos apresentados na Seção 4.) porque em mutas aplcações ndustras essa abordagem tem-se mostrado adequada [Box, et al. (978), Box e Draper, (987), Montgomery (00) e Myers e Montgomery (00)]. Caso um ou mas dos três pressupostos normaldade, adtvdade e varânca constante não possam ser consderados, uma tentatva válda é alterar a escala da varável de resposta, transformando-a e aplcando o método dos MQ (Seção 4.3). Cook e Wesberg (999), pág. 37, afrmam que é surpreendente o grande número de casos em que os pressupostos são alcançados com uma únca transformação. Város destes casos podem ser vstos em Cook e Wesberg (999), Atknson e Ran (000) e Atknson (985). Por consegunte vale a pena tentar. Ademas, transformação e MLG freqüentemente conduzem a modelos smlares: ver, por exemplo, Lews et al. (00). Entretanto, com uma únca transformação, nem sempre se consegue atngr a normaldade, a equalzação da varânca e a adtvdade dos efetos. Ver o Exemplo 4.. Portanto, para estes casos devemos consderar os MLG (Seção 4.4). Com os MLG podemos consderar outras dstrbuções que não a normal, não é necessáro que a varânca seja constante e consegumos lneardade através da função de lgação. Temos três tros em vez de um; um para cada alvo. Ademas, Lews, et al. (00a) e (00b), analsando város exemplos, concluíram que os MLG devem ser preferdos à transformação da resposta, uma vez que em todos os casos os MLG apresentaram melhor desempenho na estmatva da resposta, pos propcaram ntervalos de confança menores. Por consegunte, mesmo que com uma únca transformação venhamos a alcançar a normaldade, a equalzação da varânca e a adtvdade dos efetos, recomendamos utlzar os MLG quando for desejável uma estmatva da resposta mas confável.

4 98 Varáves Dscretas Mutas das característcas de qualdade não podem ser representadas por meddas numércas de grandezas físcas ou químcas. Em tas casos, usualmente classfcam-se os produtos nspeconados como conforme ou não conforme (com) as especfcações. A termnologa não defetuoso e defetuoso é freqüentemente empregada para estas duas classfcações do produto. Um exemplo típco é o de um dspostvo que funcona ou não. Característcas de qualdade desse tpo são denomnadas de atrbutos. O número de produtos defetuosos em uma amostra aleatóra segue a dstrbução bnomal. A otmzação é alcançada com a mnmzação do número esperado de produtos defetuosos por amostra. Para tanto é necessáro se estabelecer uma relação (regressão) entre os fatores de produção (varáves de regressão) e o número de produtos defetuosos por amostra (varável de resposta), de modo a dentfcar a combnação de valores para os fatores de produção que mnmze a resposta. Outro tpo de característca de qualdade dscreta é o número de defetos por undade de nspeção. Em mutos casos a undade de nspeção será uma undade do produto, embora nem sempre. A undade de nspeção é smplesmente tomada de acordo com a convenênca da coleta de dados. Geralmente a ocorrênca de defetos é um evento de probabldade baxa, podendo serem nspeconadas váras undades sem que ocorram defetos. Um produto pode ter um ou mas defetos e não ser consderado defetuoso (os defetos podem ser reparados ou não). Um exemplo típco é o de uma máquna (ou um produto comercalzado a metro) que pode ter um ou mas pequenos defetos que não afetam o seu funconamento, podendo então ser classfcada como conforme (pode até ser comercalzada por um preço reduzdo se os defetos não forem reparados). Entretanto, caso o número de defetos seja elevado ou afete o seu funconamento, e eles não possam ser reparados, a máquna será então classfcada como não conforme. A contagem de defetos (eventos) é feta em um ntervalo contínuo (un, b, ou trdmensonal). Freqüentemente acontecem as três condções seguntes: ) ndependênca dos eventos (defetos), ) os defetos ocorrem aleatoramente em qualquer ponto do ntervalo e ) não podem ocorrer dos ou mas defetos em um mesmo ponto do ntervalo. Neste caso, o número de defetos em um determnado ntervalo segue a dstrbução de Posson. A otmzação é alcançada com a mnmzação do número

5 99 médo de defetos por produto. Isto pode ser consegudo ao se estabelecer uma relação (regressão) entre os fatores de produção (varáves de regressão) e a méda de defetos por undade de nspeção do produtos (varável de resposta). Como se sabe, nas dstrbuções de Posson e bnomal a varânca é função da méda. Ademas, nas stuações em que essas dstrbuções são usadas, os efetos das varáves de regressão sobre a varável de resposta geralmente não são transmtdos adtvamente (geralmente são transmtdos multplcatvamente, daí a ntensa utlzação dos modelos log-lneares, [Myers et al. 00, Cap. 3]). Por consegunte, os métodos própros para modelos lneares, propostos na Seção 4. não são recomendados para os casos em que se deve usar estas dstrbuções. Tendo em vsta alcançar os pressupostos de normaldade, varânca constante e adtvdade, város autores já sugerram transformar a escala da resposta. Entretanto, não há razão para se acredtar que, com uma únca mudança de escala, esses pressupostos sejam alcançados. McCullagh e Nelder (989), pág, afrmam que, nas aplcações em que a dstrbução Posson é adequada, a normaldade aproxmada é alcançada com y /3, a equalzação da varânca com y / e a adtvdade com ln (y). Por consegunte, os métodos propostos na Seção 4.3 não são recomendados para os casos em que se devem usar estas dstrbuções. Como fo vsto no Capítulo 3, as dstrbuções de Posson e bnomal são membros da famíla de dstrbuções exponencal. Portanto, nestas stuações, recomenda-se o uso de modelos lneares generalzados (MLG), que serão vstos na Seção Estágo : Modelo Lnear e Mínmos Quadrados (MQ) No Estágo é feta uma tentatva de utlzar o modelo lnear com erro λ normal y ( ) = Xβ + ε, juntamente com o método dos mínmos quadrados (MQ) para estmatva do vetor β.para este estágo temos duas etapas: I) Estmatva e Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros do Modelo II) Testes de Adequação do Modelo

6 00 I) Estmatva e Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros do Modelo Para calcular os parâmetros do modelo são utlzados os MQ, descrtos no Capítulo. Entretanto, eventualmente, temos problemas para dentfcar quas são os parâmetros sgnfcatvos do modelo. Quando o expermento tem repetções, pode-se estmar dretamente o desvo-padrão do erro puro (sem contamnação de componentes de erro de ajuste do modelo), que é utlzado para testar a sgnfcânca dos efetos dos fatores, o que não acontece quando o expermento não tem repetções. Uma abordagem para superar esta falta de meddas dretas do erro puro é assumr que os efetos de nterações de três ou mas fatores não são sgnfcatvos, combnando-se então os respectvos quadrados médos para estmar o erro puro. Essa prátca provém do prncípo dos efetos esparsos, que afrma que os efetos prncpas e as nterações de baxa ordem é que, geralmente, são mportantes. Acontece que em expermentos em dos níves pode não haver um número de observações sufcente para estmar os quadrados médos das nterações de três ou mas fatores. Isto é partcularmente crítco em expermentos fraconados. Por exemplo, em um expermento 5- tem-se que estmar o termo constante, os 5 efetos prncpas e os 0 efetos de segunda ordem, num total de 6 efetos, dspondo apenas de 6 observações. Ademas, ocasonalmente, em aplcações reas pode ocorrer que nterações de três ou mas fatores sejam mportantes. Para maores detalhes ver Montgomery (00), pg. 45. Dadas essas consderações, para uma seleção prelmnar dos parâmetros quando são usados expermentos fatoras em dos níves, recomenda-se o método proposto por Danel (959). Para dentfcar os efetos fatoras atvos em expermentos não replcados com dos níves, ele propôs usar o gráfco de probabldade normal das estmatvas dos efetos. A estmatva do efeto de um fator é defnda como sendo gual à mudança méda na resposta, quando se muda o nível do fator. Pode-se mostrar que, em expermentos fatoras com dos níves, a estmatva do efeto de um fator é gual ao dobro da estmatva do respectvo coefcente, quando ajustamos um modelo lnear por MQ (Montgomery 00). Portanto, quando ajustamos um modelo de regressão, podemos calcular as estmatvas dos efetos de cada fator multplcando por dos a estmatva do coefcente de regressão correspondente.

7 0 Caso nenhum efeto seja mportante, as suas estmatvas terão dstrbução normal. A construção do gráfco de probabldade normal das estmatvas dos efetos é smlar ao gráfco de probabldade normal dos resíduos, vsta na Seção.3.. Os efetos não mportantes seram dstrbuídos normalmente com méda zero e varânca constante e tenderam a se alnhar numa reta, enquanto os efetos mportantes estaram fora desta reta. Um modelo prelmnar é então especfcado com os fatores assocados aos efetos que aparentemente são mportantes. Os quadrados médos assocados aos fatores não sgnfcatvos são então combnados para estmar o erro puro; em seguda, pode-se testar a sgnfcânca dos fatores. Quando são usados expermentos fatoras em três níves, não podemos usar o método de Danel; sso porque, nesse caso os efetos não são meddos como nos expermentos de dos níves. Para expermentos em três níves usamos apenas os MQ. Combnamos então os respectvos quadrados médos de nterações de três ou mas fatores para estmar o erro puro (ver o Exemplo.). II) Testes de Adequação do Modelo Para testar a adequação dos modelo são utlzados os gráfcos dos resíduos, descrtos no Capítulo. Vamos apresentar três exemplos lustratvos. Exemplo 4.. Myers e Montgomery (00) analsaram um expermento de moldagem cuja resposta é a contração. São estudados sete fatores (A-G). Trata-se de um expermento fatoral 7-3 com resolução IV. Os geradores são I=ABCE, I=BCDF e G=ACDG. Os dados são apresentados na Tabela 4.. Com base no gráfco de probabldade Normal, mostrado na Fgura 4., Montgomery consderou A, B e AB como efetos mportantes. Usando-se o método MQ ajusta-se o segunte modelo: Modelo M: yˆ = 7,3+ 6,94A + 7,8B + 5, 94AB. McGrath e Ln (00) também analsaram este exemplo e, com base no gráfco de probabldade normal dos efetos (Fgura 4.), propuseram adconar os efetos G e CG. Usando-se o método MQ ajusta-se o segunte modelo: Modelo M: yˆ = 7,3+ 6,94A + 7,8B + 5,94 AB,44G, 69CG Para estmatva dos parâmetros dos modelos (M) e (M) e para construção dos gráfcos das Fguras 4. e 4., fo utlzado o software Desgn Expert.

8 0 Tabela 4. - Dados do Expermento de Moldagem. A B C D E=ABC F=BCD G=ACD Y DESIGN-EXPERT Plot Contração Normal plot A: A B: B C: C D: D E: E F: F G: G Normal % probablty A AB B Effect Fgura 4. - Gráfco dos Efetos - Modelo (M) DESIGN-EXPERT Plot Contração Normal plot A: A B: B C: C D: D E: E F: F G: G Normal % probablty G CG A AB B Effect Fgura 4. - Gráfco dos Efetos Modelo (M)

9 03 Observando os gráfcos é dfícl dzer quem está com a razão. O caráter subjetvo deste método eventualmente leva a dúvdas sobre quas fatores devem ser ncluídos no modelo. Por va das dúvdas, devemos nclur os fatores G e CG, escolhendo, portanto, o modelo M. Entretanto, devemos aplcar o prncípo da herarqua. Montgomery (00), pág. 03, descreve este prncípo: se um modelo contém uma nteração, deve conter também todos os fatores que a compõem. Ele afrma que sto promove uma consstênca nterna no modelo e que mutos estatístcos seguem este prncípo. Nelder e Lee (998), pág. 69, denomnam este prncípo de regra margnal. Com base nsto, ncluímos o fator C, apesar dele não ter sdo consderado sgnfcatvo. Para testar a sgnfcânca dos parâmetros do modelo em questão, são usados os métodos descrtos no Capítulo. Na Tabela 4., fornecda pela planlha Excel, apresentamos os testes para sgnfcânca dos coefcentes para o modelo. Tabela 4. - Estmatvas dos coefcentes e Teste t para o Modelo M. Coefcentes Erro-padrão t 0 P-valor Interseção 7,35 0, ,35,03E- A 6,9375 0,4934 4,0,98E-07 B 7,85 0, ,0 4,76E- C -0,4375 0,4934-0,89 0, G -,4375 0,4934-4,94 0, AB 5,9375 0,4934,03 7,5E-07 CG -,6875 0,4934-5,45 0, Então, o modelo consderado é: yˆ = 7,3+ 6,94 A + 7,8B + 5,94 AB 0,44C,44G, 69CG Para comparação dos dos modelos, com e sem o fator C, apresentamos na Fgura 4.3 os gráfcos de probabldade normal dos resíduos, fornecdos pelo software ARC. Ambos os gráfcos da Fgura 4.3 não ndcam desvos na normaldade que justfquem a nvaldação dos modelos. Entretanto, notamos que no gráfco da esquerda os pontos estão mas alnhados. É plausível que seja conseqüênca da exclusão de C no modelo. Os gráfcos apresentados nas fguras 4.4 a 4.7 foram fornecdos pelo software ARC.

10 04 Fgura 4.3 Gráfcos de Probabldade Normal dos Resíduos. Modelos com o Fator C (esquerda) e sem o Fator C (dreta). O gráfco da Fgura 4.4 apresenta lnha resultante do amortecmento (lowess) aproxmadamente horzontal e próxma da reta horzontal de ordenada zero, ndcando que a suposção de erros com méda zero é satsfatóra. Fgura 4.4 Gráfco dos Resíduos versus Valores Ajustados. No gráfco da Fgura 4.5 todos os valores da dstânca de Cook são nferores a 0.5. Portanto, não há ndcação de observações nfluentes. No gráfco da Fgura 4.6 temos os valores dos resíduos outler-t. Cabe lembrar que este tpo de resíduo segue a dstrbução t com n-p- graus de lberdade, o que permte fazer um teste para verfcar se exstem observações atípcas. Entretanto, esse teste só é necessáro quando há resíduo com valor absoluto superor a 3,5 (ver Capítulo ). Portanto, não há ndcação de observações atípcas.

11 05 Fgura 4.5 Dstânca de Cook Fgura 4.6 Gráfco dos Resíduos Outler-t Para verfcar consderação de varânca pode constante, temos o gráfco da Fgura 4.7. Nesse gráfco, temos o valor absoluto dos resíduos versus o valor ajustado. A lnha resultante do amortecmento (lowess) não ndca crescmento sstemátco da varânca com o aumento da méda. A conclusão provenente da análse do gráfco da Fgura 4.7 é apenas uma ndcação. Um teste formal para a varânca, proposto por Cook e Wesberg (999), fo mostrado no Capítulo. Neste exemplo a estatístca de teste é ( e sobre yˆ ) ( e ) SSreg ET = n = 0,08.

12 06 A estatístca segue uma dstrbução qu-quadrado com um grau de lberdade; o valor obtdo corresponde a um P-valor de 0,776. Então, não há ndcação de que a varânca não seja constante, o que vem corroborar a conclusão provenente da análse do gráfco da Fgura 4.7. Fgura 4.7 Gráfco Valor Absoluto do Resíduo Versus Valor Ajustado. Em conclusão, os testes de adequação do modelo ndcaram que o modelo M é adequado. Exemplo 3. (cont.) Na Tabela 3.3 apresentamos os dados de um expermento que fo gerado a partr do modelo µ = 0, , 008x + + 0, 00x + 0, 0x3 + 0, 005xx3 0, 00 x x 3 e dstrbução de probabldade gama com parâmetro de dspersão φ = 0, 0. É lustratvo analsar este expermento como se o modelo fosse lnear e os erros normas. Na Fgura 4.8, temos o gráfco de probabldade normal, fornecdo pelo software Desgn Expert. Os efetos consderados mportantes são os das varáves x, x, x 3, x x e x x 3. Para calcular os coefcentes destas varáves e testar a sua sgnfcânca, usamos a planlha Excel, que forneceu a Tabela 4.3.

13 07 DESIGN-EXPERT Plot Y Normal plot A: X B: X C: X3 D: X AB Normal % probabldade C B A BC Efeto Fgura Gráfco dos Efetos Modelo Lnear Tabela Estmatvas dos Coefcentes e Teste t para o Modelo Lnear. Coefcentes Erro padrão t 0 P-valor Interseção 30,338 0,863 37,67 4,73E- X -6,668 0,863-8,69 9,8E-06 X -8,68 0,863-0,570 9,54E-07 X3-9,044 0,863 -,044 6,35E-07 XX 3,3456 0,863 4,099 0,0049 XX3,844 0,863 3,460 0,006 Construímos então o modelo lnear ŷ = 30, 338 6, 668x, x, x +, x x +, x x No modelo construído observamos que a nteração espúra x x, é consderada mportante, tomando o lugar da nteração x x 3, que é real. Se o objetvo fosse maxmzar a méda da varável de resposta, escolheríamos o nível - para as varáves x, x, x 3, e estaríamos tomando a decsão correta, uma vez que o modelo real conduz à mesma decsão. O mesmo acontecera se o objetvo fosse mnmzar, quando o nível escolhdo sera +. Entretanto, sto só acontece porque o máxmo e o mínmo correspondem a um dos pontos amostras. Neste caso, não só a decsão sera correta, como as estmatvas do máxmo ou do mínmo seram adequadas. Senão, vejamos.

14 08 As estmatvas das respostas em pontos que não sejam os pontos amostras pode resultar em dferenças sgnfcatvas das respostas do modelo em relação à resposta real. Na Tabela 4.4 apresentamos as estmatvas das respostas para o modelo lnear e para o modelo lnear generalzado ajustado na Seção 3.5, referentes a combnações de níves das varáves de regressão. Tabela Estmatvas das Respostas para o Modelo Lnear e MLG-Gama. Nível das Varáves Estmatva da Resposta Dferença % x x x 3 Real Lnear MLG(Gama) Lnear MLG(Gama) ,8 60,8 60,6 0,03 0, ,48 40,79 4,5-0,06-0, ,30 3, 30,96 0,03 0,0-5,64 4,58 4,94-0,04-0, ,04 37,4 37,45 0,00 0,0-8,87 7, 6,86-0,09-0, - 9,6 8,84 9,9-0,04-0,0,99,0,8-0,06-0, ,00 30,34 3,8 0, -0, ,5 37,0 3,35 0,8 0,00-0, ,78 33,67 7,06 0, -0,03-0,5-0,4 3,5 37,79 30,46 0, -0,03 As oto prmeras lnhas correspondem às respostas dos pontos amostras. Para estes pontos as estmatvas da resposta, para os dos modelos, são adequadas; a dferença percentual em relação ao modelo real está em torno de 5%, sendo de % no por caso. As últmas quatro lnhas correspondem às respostas de pontos dentro da regão de expermentação, mas dferentes dos pontos amostras. Para esses pontos, o modelo MLG-Gama contnua fornecendo respostas cujas dferenças percentuas estão em torno de 5%, enquanto o modelo lnear fornece respostas cujas dferenças percentuas estão em torno de 0%. Por consegunte, a capacdade de predção do modelo lnear ca muto quando tomamos pontos que não são pontos amostras. Vejamos um exemplo. Suponha que o valor desejado ( alvo ) da característca de qualdade seja 30. Caso usemos o modelo lnear, podemos escolher o ponto (0 0 0), cuja resposta é 30,34. Nesse caso a estmatva da resposta estara % acma do valor real (5,00). Caso usemos o modelo MLG- Gama, podemos escolher o ponto ( -0,5-0,4), cuja resposta é 30,46. Neste caso a estmatva da resposta estara 3% abaxo do valor real (3,5).

15 09 Cabe lembrar que, no Exemplo 3., a varânca da resposta tem dstrbução gama, portanto cresce com o quadrado da méda, e que o modelo lnear torna-se nstável quando a varânca não é constante; o que sgnfca que dferentes amostras podem resultar em modelos sgnfcatvamente dferentes (ver Seção.3). Para lustrar a nstabldade do modelo, tomamos outra amostra aleatóra do expermento, apresentada na Tabela 4.5. O procedmento é o mesmo descrto na Seção 3.5, porém, com a semente para geração dos números aleatóros unformes gual a Tabela Dados do Expermento. x x x 3 x 4 µ Unforme [0, ] β y ,83 0,86 0,588 53, ,48 0,0 0, , ,3 0,3556 0,3030 9, ,65 0,6543 0,564 6, ,04 0,5603 0, , ,87 0,9030 0,887, ,6 0,605 0,96 0,06 -,99 0,08 0,99, ,83 0,0559 0,588 49, ,48 0,843 0, , ,3 0,6 0,3030 7,99-5,65 0,096 0,564, ,04 0,99 0,3704 4,33-8,87 0,3533 0,887 8, - 9,6 0,0997 0,96 7,4,99 0,963 0,99 4,9 Com os dados da Tabela 4.4 e o software Desgn Expert, construímos o modelo lnear µ = 0, 903 4, 7769x, x, x +, x x Para facltar a comparação, repetmos aqu o modelo anteror: µ = 30, 338 6, 668x, x, x +, x x +, x x Observamos que: ) a nteração espúra x x permanece no modelo; ) a nteração real x x 3, contnua fora do modelo; ) a nteração real x x 3 está fora do modelo, e v) as estmatvas de alguns coefcentes são bastante dferentes. Por consegunte, para outras amostras, este novo modelo deverá levar a dferentes conclusões. 3

16 0 Testes de Adequação do Modelo Lnear para o Expermento do Exemplo 3. Na Fgura 4.9 apresentamos, à esquerda, o gráfco de probabldade normal dos resíduos e, à dreta, o gráfco de probabldade normal dos resíduos outler-t, ambos fornecdos pelo software ARC. Ambos os gráfcos ndcam uma observação atípca. Trata-se da observação 9. O valor do outler-t é 4,673, o que corresponde a um P-valor de 0, Entretanto, sabemos que esta observação não é atípca, e sm que o modelo é que é nadequado. Fgura Gráfco de Probabldade dos Resíduos. Na Fgura 4.0 apresentamos o gráfco dos resíduos versus valores ajustados (esquerda) e o gráfco do valor absoluto dos resíduos versus valores ajustados (dreta), fornecdos pelo software ARC. Fgura Gráfcos dos Resíduos versus Valor Ajustado. O gráfco da esquerda apresenta lnha resultante do amortecmento (lowess) aproxmadamente horzontal e próxma da reta horzontal de ordenada zero, ndcando que a suposção de erros com méda zero é satsfatóra. No gráfco da dreta há ndcação de que a varânca cresce com a méda.

17 Um teste formal para a varânca é o da estatístca ET (ver Capítulo ). Neste exemplo ET = 7.04 com um P-valor de 0, Então, o teste confrma que a varânca não deve ser constante. Na Fgura 4. apresentamos o gráfco da dstânca de Cook, onde temos a ndcação de que a observação 9 é nfluente, além de atípca. Sabemos que esta observação não é atípca, e sm que o modelo é nadequado. Fgura 4. Dstânca de Cook. Na Fgura 4. apresentamos os resultados da FS para a estmatva σˆ da varânca do termo do erro (esquerda) e do coefcente de determnação múltpla R (dreta). Sgma^ m R^ m Fgura 4. Forward Search de σˆ e de R.

18 A observação 9 é a últma a ser ncluída. Quando esta observação é ncluída, σˆ cresce drastcamente. Este fato confrma que a observação 9 é atípca e nfluente. A letura do gráfco de R é smlar à letura do gráfco de σˆ. Na Fgura 4.3 apresentamos o gráfco dos resultados da FS para os resíduos padronzados. Durante toda a FS, o resíduo da observação 9 destaca-se de todos os outros. Este fato confrma a ndcação anteror de que é uma observação atípca. Resíduo Padronzado m Fgura 4.3 Forward Search dos Resíduos Padronzados. O modelo lnear se mostrou nadequado para o expermento do Exemplo 3.. A prncpal ndcação da nadequação é a de que a varânca não é constante. Mas adante, na Seção 4.., vamos tentar a alternatva de transformar a resposta para este exemplo. Exemplo 4. Danel (976) analsou um expermento fatoral 4 que estuda a taxa de avanço y de uma perfuratrz de poços. Segundo Danel, sabe-se que três fatores têm efetos postvos: A, carga sobre a broca; B, fluxo da lama e C, velocdade

19 3 rotaconal. O quarto fator, D, é o tpo de lama usado. Os dados estão na Tabela 4.5. Tabela Expermento da Perfuratrz. A B C D Y , , , , , , ,97-9, ,07 - -, ,09-4, ,77-9,43 -,75 6,30 Danel (976) usou as transformações ln (y) e y -/, conclundo que os efetos dos fatores prncpas A, B, C e D são mportantes, fcando em dúvda sobre a nclusão das nterações BC e CD. Suas conclusões não foram defntvas, sugerndo a obtenção de mas dados. Box et al. (978) e Montgomery (00), usaram a transformação ln (y), conclundo que apenas os efetos dos fatores prncpas B, C e D são mportantes. Myers et al. (00) e Lews et al. (00a) usaram modelos lneares generalzados com dstrbução gama e função de lgação logarítmca, conclundo gualmente que apenas os efetos dos fatores prncpas B, C e D são mportantes. Com base no gráfco de probabldade normal, construído com o software Desgn Expert, mostrado na Fgura 4.4, podemos consderar B, C, D, BC e CD como efetos mportantes. Na Tabela 4.6, fornecda pela planlha Excel, apresentamos os testes para sgnfcânca dos coefcentes para o modelo. Confrmamos a ndcação dos fatores sgnfcatvos B, C, D, BC e CD, pos as estmatvas de seus parâmetros apresentam P-valor nferor a 0,05.

20 4 DESIGN-EXPERT Plot Y A: A B: B C: C D: D C Normal % probabldade BC CD D B Efeto Fgura 4.4 Gráfco de Probabldade Normal dos Efetos Tabela Teste t para Expermento da Perfuratrz. Coefcentes Erro-padrão t 0 P-valor Interseção 6,550 0,9079,7 0,00000 B,6488 0,9079 5,67 0,000 C 3,63 0,9079,06 0,00000 D,45 0,9079 3,93 0,008 BC 0,755 0,9079,59 0,0705 CD 0,7988 0,9079,75 0,0059 Testes de Adequação do Modelo Para os testes de adequação, utlzamos os gráfcos apresentados nas Fguras 4.5 a 4.9, fornecdos pelo software ARC. O gráfco de probabldade normal dos resíduos é apresentado na Fgura 4.5. Este gráfco não apresenta um perfl condzente com a dstrbução normal. Isto porque há cnco pontos fora do envelope, um dos quas (assnalado com um +) ntdamente não está alnhado com os demas, sugerndo uma observação atípca, o que será confrmado no gráfco da Fgura 4.9. O gráfco da Fgura 4.6 apresenta lnha resultante do amortecmento (lowess) aproxmadamente horzontal e próxma da reta horzontal de ordenada zero, ndcando que a suposção de erros com méda zero é satsfatóra.

21 5 Fgura 4.5 Gráfco de Probabldade Normal dos Resíduos com Envelope Fgura 4.6 Gráfco dos Resíduos versus Valores Ajustados Para verfcar se a varânca pode ser consderada constante, temos, na Fgura 4.7, o gráfco do valor absoluto dos resíduos versus o valor ajustado (ver Capítulo ). A lnha resultante do amortecmento (lowess) ndca crescmento da varânca com o aumento da méda. No Capítulo vmos um teste formal para a varânca é o da estatístca ET. Neste exemplo ET = 0,09 com um P-valor de 0, Então, o teste confrma que a varânca não deve ser constante.

22 6 Fgura 4.7 Gráfco Valor Absoluto do Resíduo versus Valor Ajustado No gráfco da Fgura 4.8, o outler-t da resposta 6 (assnalado com um +) destaca-se dos demas. Seu valor é 5,84, o que corresponde, na dstrbução t com 5 graus de lberdade, a um P-valor de 0,00044, ndcando a resposta 6 como atípca. Fgura 4.8 Gráfco dos Resíduos Outler-t Cabe lembrar que a ocorrênca de uma observação atípca pode ser causada por nadequação do modelo. O gráfco da Fgura 4.7 e o teste de Cook e Wesberg ndcaram que a varânca não é constante. Por consegunte, a resposta 6 pode não ser atípca.

23 7 No gráfco da Fgura 4.9 a dstânca de Cook da resposta 6 é 0,790, portanto, superor a 0,5. Neste caso temos ndcação de que a resposta 6, além de atípca, é nfluente. Fgura 4.9 Gráfco da Dstânca de Cook Forward Search Os gráfcos das fguras a segur foram gerados com o módulo de regressão lnear do programa Forward Search (FS), nstalado no S-Plus. Este procedmento fo descrto no Capítulo. Na Fgura 4.0 apresentamos os resultados da FS para a estmatva σˆ da varânca do termo do erro (esquerda) e do coefcente de determnação múltpla R (dreta). A observação 6 é a últma a ser ncluída. Quando esta observação é ncluída, atípca e nfluente. σˆ cresce drastcamente. Este fato confrma que a observação 6 é Cabe regstrar que a observação 6 fo ncluída por últmo na FS porque é uma observação atípca, e não porque seja a últma observação no expermento. A letura do gráfco de R é smlar à letura do gráfco de σˆ. Na Fgura 4. apresentamos o gráfcos dos resultados da FS para os resíduos padronzados. Durante toda a FS, o resíduo da observação 6 destaca-se de todos os outros. Este fato confrma que ela é atípca.

24 8 S^ R^ Subset Sze Subset Sze Fgura 4.0 Dados do Exemplo 4.: Forward Search de σˆ e de R. Resíduos padronzados m Fgura 4. Forward Search dos Resíduos Padronzados O modelo lnear mostrou-se nadequado para o expermento do Exemplo 4.. A prncpal ndcação é de que a varânca não é constante. Para este exemplo, na Seção 4.3., vamos tentar a alternatva de transformar a resposta.

25 Estágo : Transformação da Resposta Cook e Wesberg (999, Cap. 3) e Atknson e Ran (000, Cap. 4) são excelentes referêncas para a análse da transformação da resposta. Esse estágo torna-se necessáro caso o modelo utlzado no Estágo não tenha se mostrado adequado especfcamente, se um ou mas dos seguntes pressupostos não tverem sdo consderados satsfatóros: normaldade, varânca constante e adtvdade dos efetos (lneardade). Nessas stuações, há dos camnhos a segur: transformação da resposta ou MLG. A transformação da resposta mutas vezes pode ser satsfatóra. Entretanto, com uma únca transformação, nem sempre se consegue atngr a normaldade, a equalzação da varânca e a adtvdade dos efetos. Vejamos o Exemplo 4.. Com o modelo lnear e o método dos MQ a normaldade não é acetável (Fgura 4.5) e há ndcação de que a varânca cresce com a méda estmada (Fgura 4.7). Ademas, temos evdêncas de uma observação atípca (Fgura 4.8) e de uma observação nfluente (Fgura 4.9). Veremos que, com a transformação logarítmca, consegumos normaldade satsfatóra (Fgura 4.3) e uma aparente adtvdade nos efetos (Fgura 4.4), embora não tenhamos ndcação de establzação da varânca (Fgura 4.5) e anda haja suspeta de uma observação nfluente (Fgura 4.7). Para estes casos devemos consderar os MLG. Lews et al. (00a) e (00b), analsando város exemplos, concluíram que os MLG devem ser preferdos à transformação da resposta, uma vez que em todos os casos os MLG apresentaram melhor desempenho na estmatva da resposta, pos propcaram ntervalos de confança menores. Por consegunte, mesmo que com uma únca transformação venhamos a alcançar a normaldade, a equalzação da varânca e a adtvdade dos efetos, recomendamos utlzar os MLG quando for desejável uma estmatva da resposta mas confável. Por outro lado, a modelagem através da transformação da resposta pode oferecer ndcações para a escolha das funções de lgação e de varânca. Anda no Exemplo 4., todos os métodos utlzados para a escolha da transformação da resposta, descrtos na Seção 4.., ndcaram a transformação logarítmca, o que sugere o uso de uma função de lgação logarítmca para os MLG. Ademas, há ndcação de que a varânca cresce com o aumento da méda (Fgura 4.5), o que sugere as dstrbuções gama e nversa normal para os MLG. Por consegunte,

26 0 mesmo que sejam utlzados os MLG, caso não haja nformações sobre a forma dessas funções, a transformação da resposta é um estágo recomendado. Quando o modelo gerado pela transformação da resposta é consderado adequado, em todos os casos por nós observados este modelo é pratcamente o mesmo que o modelo gerado pelos MLG. Portanto, nestes casos, podemos fcar no estágo da transformação, desde que seja desejado apenas avalar a mportânca dos fatores e haja dfculdade de utlzar os MLG. Em síntese, sempre devemos preferr os MLG. Caso haja alguma dfculdade em utlzá-los, só recomendamos fcar no estágo da transformação da resposta se o modelo for consderado adequado e não for mportante uma estmatva da resposta mas confável. Propomos então três etapas para o estágo de transformação da resposta. I) Defnção da Transformação da Resposta II) Estmatva e Teste de Sgnfcânca dos Parâmetros do Modelo III) Testes de Adequação do Modelo Defnção da Transformação da Resposta. Serão descrtos quatro métodos voltados para defnção da transformação: o de Box e Cox (964), o de Cook e Wesberg (999), o de Cook e Olve (00) e o de Atknson e Ran (000). O prmero é um método numérco que fornece um ntervalo de confança para λ, enquanto os outros três são métodos gráfcos. O método de Atknson e Ran usa um gráfco de uma estatístca de teste. Os métodos de Box e Cox e de Atknson e Ran buscam obter normaldade na resposta transformada, enquanto os métodos de Cook e Wesberg e de Cook e Olve buscam a lneardade. Entretanto, os quatro métodos geralmente conduzem a uma só transformação. Exceção se faz quando há observações atípcas, quando então o método de Box e Cox pode apresentar resultados dferentes, uma vez que é sensível a este tpo de observações (Cook e Olve, 00, e Atknson e Ran, 000). Todos os quatros métodos são aplcados a modelos sem nterações ou termos quadrátcos. Embora não esteja explícto em nenhum dos textos, faz sentdo que esses autores aplquem a transformação da resposta para smplfcar

27 modelos que apresentam nterações e termos quadrátcos, para obter modelos sem esses termos. Infelzmente, como veremos mas adante, temos evdêncas de que todos os quatro métodos só fornecem a transformação adequada na ausênca de nterações mportantes.. Método de Box e Cox Box e Cox (964) desenvolveram um procedmento numérco para escolher uma transformação da resposta tal que a dstrbução da varável transformada esteja o mas próxmo possível da dstrbução normal. Para sso, é defnda a segunte famíla de transformações em potênca: λ y y( λ) = para λ 0 λ y( λ) = ln( y) para λ = 0 Supõe-se que exste um valor de λ tal que o modelo de regressão lnear na escala transformada, ( λ ) = Xβ ε y + tenha erros normalmente dstrbuídos com méda zero e varânca constante. Uma possbldade ntutva é escolher o valor de λ que mnmza a soma dos quadrados dos resíduos, SQR(λ), resultante da regressão com MQ. Entretanto, as undades das SQR(λ) são dferentes para cada valor de λ. Por consegunte, não se podem comparar as SQR(λ) para os dversos valores de λ. Para contornar este problema defne-se a transformação de potênca normalzada: λ y z( λ) = para λ 0 λ λy& z( λ) = y& ln( y) para λ = 0 onde y = exp( ln y n) & é a méda geométrca das respostas. Seja SQR z (λ) a soma dos quadrados dos resíduos resultante da regressão com MQ com o modelo ( ) = Xβ ε z λ +. Atknson (985) demonstra que mnmzar SQR z (λ) conduz à maxmzação da função de log-verossmlhança da transformação de potênca normalzada z(λ).

28 Pode-se demonstrar, também, que as undades das SQR z (λ) são as mesmas para qualquer valor de λ. Portanto, pode-se comparar as SQR z (λ) para os dversos valores de λ, escolhendo o valor de λ que mnmza SQR z (λ). Resumndo: a. Escolhem-se valores para λ. Geralmente toma-se λ = -, -0,5, 0, 0,5 e. b. Com os valores escolhdos de λ, usa-se a transformação de potênca normalzada z(λ). c. Para esses valores de λ, faz-se a regressão com MQ com o modelo ( ) = Xβ ε z λ +. d. O valor escolhdo de λ é aquele que mnmza a soma dos quadrados dos resíduos SQR z (λ). Um ntervalo para λ com 00(-α)% de confança é calculado a partr dos valores para os quas onde λˆ é o valor que mnmza SQR z (λ). n [ ln( SQR ( )) ln( SQR ( ˆ λ )] Z λ Z χ, α Exemplo 4. (cont.) Para o exemplo da taxa de avanço da perfuratrz, o software Desgn Expert fornece o gráfco do ln(sqr z ) versus λ apresentado na Fgura 4.. D E S I G N -E XP E R T P lo t R e s p o n s e B o x- C o x P lo t L a m b d a C u rre n t = B e s t = L o w C. I. = H g h C. I. = 0. 9 R e c o m m e n d t ra n s f o rm : L o g (L a m b d a = 0 ) Ln(SQR) L a m b d a Fgura 4. Gráfco da Transformação de Box Cox.

29 3 No gráfco também são fornecdos o valor de ˆ λ = e o ntervalo [-0,9 0,9] para 95% de confança. Portanto, a transformação recomendada por este método é ln(y), correspondendo a λ = 0.. Método de Cook e Wesberg Cook e Wesberg (999) propuseram um método gráfco muto smples. Eles supõem que para uma transformação T(y) há um modelo lnear de tal modo que É defnda a transformação T T ( y ) = Xβ + ε T. λ ( y) = y para λ 0 ( y) = ln( y) para λ = 0 Para determnar o valor de λ, ncalmente é feta a regressão sem transformação (λ = ) resultando em yˆ = Xβˆ, os valores ajustados. Em seguda é construído um gráfco com Xˆ β no exo vertcal e y no exo horzontal, o qual eles denomnam de gráfco nverso. A esse gráfco acrescenta-se uma curva ajustada a partr da regressão de sobre a transformação proposta T ( y). O valor de λ cuja curva fornecer o melhor ajuste deve ser o escolhdo. Exemplo 4. (cont.) O software ARC permte faclmente construr e comparar gráfcos para dversos valores de λ, os quas são apresentados na Fgura 4.3. Observando os gráfcos fca evdente que λ = 0 propca o melhor ajuste dentre os quatro valores expermentados. Xˆ β

30 4 λ = - λ = -0,5 3. Método de Cook e Olve λ = 0 λ = 0,5 Fgura 4.3 Gráfco Inverso para Valores de λ Cook e Olve (00) consderam a famíla de transformações de potênca: λ y y( λ) = λ y( λ) = ln y para λ 0 para λ = 0 Os autores sugerem ncalmente consderar λ no ntervalo [,] Portanto, consderam-se as transformações y( ), y( 0,5), y( 0), y( 0,5), y() λ.. Para cada transformação e supondo o uso do método dos mínmos quadrados, procedese ao ajuste dos modelos, calculando os valores ajustados: yˆ ( ), yˆ( 0,5), yˆ ( 0), yˆ ( 0,5), yˆ ( ) ajustado ( ) y λ ˆ versus valor ajustado ( ). Em seguda faz-se uma sére de gráfcos de valor yˆ λ j.

31 5 Exemplo 4. (cont.) Na Fgura 4.4 são apresentados esses gráfcos para o Exemplo 4.. Fgura Gráfcos de Valor Ajustado versus Valor Ajustado. Os dos números que aparecem em cada quadrado do gráfco são os valores ajustados máxmo e mínmo para cada transformação consderada. Observa-se que há uma forte correlação dos dversos valores ajustados. O menor coefcente de correlação é 0,9956. Cook e Olve asseguram que, caso todos os valores do coefcente de correlação sejam superores a 0,84, há ndcação que a transformação adequada está no ntervalo [, ] λ. Em seguda escolhe-se qualquer um dos conjuntos de valores ajustados, por exemplo ŷ ( ). Para cada um dos valores consderados para λ fazem-se gráfcos dos dversos valores transformados y ( λ) versus ŷ ( ) apresentados esses gráfcos.. Na Fgura 4.5 são

32 6 a) λ = b) λ = 0,5 c) λ = 0 d) λ = -0,5 e) λ = - Fgura Gráfcos dos Valores Transformados y(λ) versus ŷ ( ). Vsualmente, o gráfco que fornece o melhor ajuste é o de ŷ ( 0). O método de Box e Cox (964) fornece um ntervalo de confança [-0,8 0,8]. Portanto, a transformação ndcada deve ser mesmo a logarítmca (λ = 0).

33 7 4. Método de Atknson e Ran Atknson e Ran (000), pág 86, também empregam a transformação de potênca normalzada utlzada por Box e Cox: onde y = exp( ln y n) &. λ y z( λ) = λ λy& z( λ) = y& ln( y) para λ 0 para λ = 0 Entretanto, para seleconar λ, eles propõem alternatvamente um teste de uma estatístca-escore provenente da expansão de z(λ) em sére de Taylor: onde z ( λ) =& z( λ ) + ( λ λ ) w( ) w ( λ ) λ0 ( λ) = z λ Combnando com o modelo de regressão onde: γ ( λ ) λ 0 =. z z λ = λ0 ( λ ) 0 = xβ ( λ λ0 ) w( λ0 ) ( λ ) = xβ + γ w( λ ) + ε 0 0 y = x β + ε, obtém-se A expressão acma é um modelo de regressão com uma varável a mas, w ( λ 0 ), provenente da transformação. Esta nova varável é denomnada de varável construída. A estmatva de γ é ˆ γ ( λ) e a varânca da estmatva de γ é onde ( λ) w expressão: Var ( ˆ γ ) w = w = w ( λ)( I H) z( λ) ( λ)( I H) w( λ) + ε s w ( λ) ( λ)( I H) w( λ) s é a soma dos quadrados dos resíduos que estma σ, calculada pela ( n p ) s ( λ) = z ( λ)( I H) z( λ) w Então a estatístca de teste é T p ( λ) = s w z w ˆ γ ( λ) [ w ( λ)( I H) w( λ) ] ( λ) (( I H) w( λ) ) ( λ)( I H) w( λ)

34 O teste para γ = 0 é então o teste para λ0 λ =. Para calcular ( λ) p 8 T é assumdo um valor para λ e feta a regressão com X e w(λ). Esta estatístca pode ser montorada com a Forward Search, descrta no Capítulo. Exemplo 4. (cont.) T p ( λ) Na Fgura 4.6 é apresentada a FS com os gráfcos da estatístca de teste, fornecdos pelo módulo de transformação da resposta do programa Forward Search (FS), nstalado no S-Plus. Foram consderados cnco valores de λ, perfazendo cnco modelos de regressão lnear. Os autores do método afrmam que, quando se nclu uma observação atípca no decorrer do procedmento, a lnha do gráfco dá um salto, sendo então a observação dentfcada como atípca para o modelo correspondente à lnha. Se há saltos em todas lnhas quando da nclusão de uma mesma observação, esta é verdaderamente atípca. No gráfco da Fgura 4.6 há saltos para λ = -, 0,5 e, mas não para 0 e 0,5, o que ndca que não há observações atípcas, e sm modelos nadequados para λ = -, 0,5 e. Score Test Statstc MLE Subset Sze Fgura 4.6 Forward Search - Gráfco da Estatístca de Teste.

35 9 As lnhas horzontas no gráfco correspondem a ±,58, que são os lmtes de 99% de confança para a dstrbução normal padronzada. Observa-se que a transformação para λ = 0 é a únca que se mantém dentro dos lmtes durante todo o procedmento. O estmador de máxma verossmlhança é λˆ = -0, Estmação e Teste de Sgnfcânca dos Coefcentes Uma vez escolhda a transformação, faz-se o ajuste do modelo da resposta transformada, com o método dos MQ. Exemplo 4. (cont.) Consderando a transformação logarítmca, ndcada por todos os métodos, temos, na Fgura 4.7, o gráfco de probabldade normal dos efetos, fornecdo pelo Desgn Expert. Temos ndcação que os fatores B, C e D são sgnfcatvos, havendo dúvda sobre os fatores A e CD. DESIGN-EXPERT Plot Ln(Y) Normal plot A: A B: B C: C D: D C Normal % probabldade A CD D B Efeto Fgura 4.7 Gráfco de Probabldade Normal dos Efetos. Na Tabela 4.7, fornecda pelo Excel, apresentamos os testes para sgnfcânca dos coefcentes para o modelo. Confrmamos a ndcação dos fatores sgnfcatvos A, B, C, D e BC, pos as estmatvas de seus parâmetros apresentam P-valor nferores a 0,05.

36 30 Tabela Teste t para Expermento da Perfuratrz. Coefcentes Erro-padrão t 0 P-valor Interseção,5977 0, ,83,99E-5 A 0,0650 0,0053 3,7 0,00054 B 0,900 0,0053 4,3 6,E-08 C 0,577 0,0053 8, 7,5E- D 0,633 0,0053 7,95,4E-05 CD 0,049 0,0053,39 0, Testes de Adequação do Modelo Para testar a adequação do modelo são utlzados os gráfcos dos resíduos, descrtos no Capítulo. Estes gráfcos são apresentados nas Fguras 4.8 a 4.3. Para construção dos gráfcos fo utlzado o software ARC. O gráfco de probabldade normal dos resíduos com envelope na Fgura 4.8 não apresenta pontos fora do envelope e não observamos pontos muto fora do alnhamento. Por consegunte, não há ndcação de que deva ser rejetada a consderação de normaldade. Fgura 4.8 Gráfco de Probabldade Normal com Envelope. O gráfco da Fgura 4.9 apresenta lnha resultante do amortecmento (lowess) aproxmadamente horzontal e próxma da reta horzontal de ordenada zero, ndcando que a suposção de erros com méda zero é satsfatóra.

37 3 Fgura 4.9 Gráfco dos Resíduos versus Valores Ajustados. Para verfcar se a varânca deve ser consderada constante temos da Fgura 4.30 o gráfco do valor absoluto dos resíduos versus o valor ajustado. A lnha resultante do amortecmento (lowess) ndca crescmento da varânca com o aumento da méda. Fgura Gráfco dos Valores Absolutos dos Resíduos. A ndcação do gráfco da Fgura 4.30 não é um teste formal. Portanto, efetuou-se o teste de Cook e Wesberg (999), descrto no Capítulo. A estatístca de teste ET = 6,4 corresponde a um P-valor de 0,03. Então, o teste ndca crescmento da varânca com o aumento da méda. No gráfco da Fgura 4.3 temos os valores dos resíduos outler-t. Cabe lembrar que este tpo de resíduo segue a dstrbução t com n-p- graus de

38 3 lberdade, o que permte fazer um teste para verfcar se exstem observações atípcas. Entretanto, este teste só é necessáro quando há resíduo com valor absoluto superor a 3,5. Portanto, não há ndcação de observações atípcas. Fgura 4.3 Gráfco dos Resíduos Outler-t. No gráfco da Fgura 4.3 o valor da dstânca de Cook da resposta 5 é 0,53, portanto é maor do que 0,5. Logo, temos ndcação de que é uma observação nfluente. Fgura 4.3 Gráfco da Dstânca de Cook. Forward Search Exemplo 4. Os gráfcos das fguras a segur foram gerados com o módulo de regressão lnear da FS, nstalado no S-Plus. Este procedmento fo descrto no Capítulo.

39 33 Na Fgura 4.33 apresentamos os resultados da FS para a estmatva σˆ da varânca do termo do erro (esquerda) e do coefcente de determnação múltpla R (dreta). As respostas 8 e 5 são as mas nfluentes (ver Fgura 4.3). Justamente, são as duas últmas a serem ncluídas na FS. Até a nclusão da observação 8 os valores de σˆ e de R mudam lentamente. Quando esta observação e a observação 5 são ncluídas, observações. σˆ e R mudam drastcamente. Este fato confrma a nfluênca das duas Sgma^ m R^ m Fgura 4.33 Dados do Exemplo 4.: Forward Search de σˆ e de R. Na Fgura 4.34 apresentamos o gráfcos dos resultados da FS para os resíduos padronzados. Durante toda a FS, os resíduos das observações 8 e 5 destacam-se de todos os outros e permanecem elevados até serem ncluídos. Isto ndca observações atípcas mascaradas. Cabe lembrar que a ocorrênca de observações atípcas pode ser causada por nadequação do modelo. O gráfco da Fgura 4.5 e o teste de Cook e Wesberg ndcaram que a varânca não deve ser consderada constante. Por consegunte, as respostas 8 e 5 podem não ser atípcas.

40 34 Resíduos padronzados m Fgura 4.34 Forward Search dos Resíduos Padronzados. Comentáro sobre os métodos de dentfcação da transformação da resposta Observamos que em todos os exemplos apresentados pelos autores desses métodos não há nterações sgnfcatvas. Os métodos são aplcados apenas com fatores prncpas. O mesmo acontece com os exemplos apresentados por Box e Cox, (964), Box et al (978), Montgomery (00a) e Myers e Montgomery, (00). Embora não esteja explícto em nenhum texto, faz sentdo que esses autores aplquem a transformação da resposta para smplfcar modelos que apresentam nterações e termos quadrátcos, obtendo modelos sem esses termos. Entretanto, o que fazer se há nterações sgnfcatvas no expermento? A segur vamos apresentar um exemplo em que há nterações sgnfcatvas e veremos que nenhum dos quatro métodos funcona.

41 35 Exemplo 4.3 Transformação da resposta Na Tabela 3.3 apresentamos os dados de um expermento que fo gerado a partr do modelo µ = 0, ,008x x x x x + + 0,00 + 0, , , 00 x x 3. A dstrbução de probabldade escolhda fo a gama com parâmetro de dspersão φ = 0, 0. Entretanto, como os métodos de dentfcação assumem que a dstrbução da resposta é normal, para aplcá-los, vamos gerar os dados a partr dessa dstrbução. O modelo é y = µ + ε. O erro ε tem méda zero e var (ε) = 4. Para gerar aleatoramente os dados usamos a nversa da dstrbução normal acumulada (INVNORMAL) do Excel. Para sto necesstamos de 6 números aleatóros unformes entre zero e um, os quas foram gerados no software S-Plus a partr da semente Portanto, temos que y = INVNORMAL{Unforme [0, ]; µ ; desvo padrão} Na Tabela 4.8 apresentamos a méda verdadera, os números unformes e as respostas geradas. Tabela Dados do Expermento. x x x 3 x 4 µ Unforme [0, ] y ,8 0, , ,48 0,3935 4, ,30 0,7853 3, ,64 0,365 4, ,04 0,305 36, ,87 0,554 9, ,6 0,78 7,7 -,99 0,009 8, ,8 0, , ,48 0,3657 4, ,30 0,437 9,99-5,64 0,5067 5, ,04 0,469 36,67-8,87 0,4393 8,56-9,6 0,806,37,99 0,753 4,3 Método de Box e Cox Na Fgura 4.35 apresentamos o gráfco do ln(sqr z ) versus λ, fornecdo pelo Desgn Expert. No gráfco também são fornecdos o valor de ˆ λ = 0, 4 e o ntervalo