SÍNTESE DA MODELAGEM CONJUNTA DA MÉDIA E DISPERSÃO DE NELDER E LEE PARA APLICAÇÃO À METODOLOGIA DE TAGUCHI

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 003, Natal-RN SÍNTESE DA MODELAGEM CONJUNTA DA MÉDIA E DISPERSÃO DE NELDER E LEE PARA APLICAÇÃO À METODOLOGIA DE TAGUCHI Resumo Edmlson Rodrgues Pnto COPPE/UFRJ Departamento de Engenhara de Produção e-mal: edmlsonr@hotmal.com Antôno C. M. Ponce de Leon UERJ Insttuto de Medcna Socal Nos últmos anos, uma coleção de técncas para a melhora da qualdade fo desenvolvda, no Japão, por Gench Taguch no planeamento, na evolução e na fabrcação de produtos ndustralzados. Esta revolução, no campo da qualdade, despertou o nteresse, no mundo ntero, de város engenheros e estatístcos, que propuseram város métodos alternatvos, mas claros e efcentes do que aqueles propostos por Taguch. Nelder e Lee observaram que a metodologa de Taguch conduza à modelagem conunta da méda e dspersão e propuseram o uso da classe dos modelos lneares generalzados. Eles mostraram como esta classe é geral e sufcente para a análse desses modelos. O obetvo deste artgo é fazer uma síntese da modelagem conunta da méda e dspersão, proposta por Nelder e Lee, explctando, de uma forma concsa, os prncpas pontos da teora. Palavras-chave: Métodos de Taguch, modelagem conunta da méda e dspersão, quase verossmlhança estendda. Abstract Recently, n Japan, Gench Taguch developed some technques to mprove the qualty of the products durng ts desgn, evoluton and manufacture. Hs deas have rased the attenton of engneers and statstcans around the world who have proposed some alternatve methods that are smpler and more effcent than Taguch s methods. Nelder and Lee observed that Taguch s methodology leads to ont modelng of mean and dsperson and proposed the use of class of the generalzed lnear models. They showed that ths class s general and suffcent to analyze Taguch s Models. The purpose of ths work s to descrbe ont modelng of mean and dsperson, that was proposed by Nelder and Lee, and the key ponts of the theory n a concse manner. Key-words: Taguch s methods, ont modelng of mean and dsperson, extended quaslkelhood.. INTRODUÇÃO A ntensa competção exstente no mercado nternaconal tem revelado que a qualdade dos produtos é a chave para o sucesso das ndústras. Nos últmos anos Taguch ntroduzu uma nova flosofa de qualdade. Esta flosofa tem produzdo uma únca e poderosa dscplna de melhoramento da qualdade, que dfere das prátcas tradconas. A contrbução no campo do controle de qualdade é um dos desenvolvmentos mas sgnfcantes das últmas décadas. O obetvo de Taguch é o desenvolvmento de produtos que seam robustos, sto é, que seam

2 pouco afetados por varações nevtáves que venham a ocorrer em seus componentes, nas condções de fabrcação ou no ambente em que serão usados. Contraramente à stuação de expermentos clásscos, em que os fatores são fxos durante e no decorrer do expermento, Taguch ntroduzu os chamados fatores de ruído. Os fatores de ruído são fxados durante o expermento, mas varam aleatoramente fora do contexto expermental. A déa é mnmzar a varabldade da méda do produto em relação ao seu valor deal. A varabldade pode ser causada por três tpos de ruídos:. Ruído externo: causado por condções ambentas, como temperatura e umdade;. Ruído nterno: causado pela deteroração por uso ou por armazenagem; 3. Ruído de fabrcação: causado por mperfeções no manufaturamento. A fm de encontrar um produto que sea nsensível aos ruídos, de modo que sua méda fque próxma a um valor pré-especfcado, os fatores serão classfcados em dos grupos: - Fatores de controle da varabldade (FCV): os quas afetam a varabldade e, possvelmente, a méda do produto. - Fatores de controle do alvo (FCA): os quas afetam somente a méda do produto. A meta dos planeamentos robustos de Taguch é dentfcar uma combnação dos níves de FCV, que mnmze a varabldade, untamente com uma combnação dos níves de FCA, que assegure a méda próxma a um valor deal. FCA são chamados fatores de austamento, pos são usados para trazer a méda do produto próxma a um valor alvo, depos de á ter decddo uma combnação ótma de FCV. A metodologa proposta por Taguch, nnguém dscorda ser de fundamental mportânca para se ter uma excelente prátca ndustral. Entretanto, as técncas utlzadas por ele vêm sofrendo dversas crítcas, e procedmentos alternatvos têm sdo desenvolvdos. Uma dscussão edtada por Nar (99) dá uma vsão geral sobre esta controvérsa. Com o ntuto de dar uma abordagem geral ao tema proposto por Taguch e com uma sólda teora estatístca, Nelder e Lee (99) ntroduzram a modelagem conunta da méda e dspersão usando Modelos Lneares Generalzados (MLG). Onde, neste caso, são necessáros dos MLG s nterlgados, um para a méda outro para a dspersão. A modelagem conunta da méda e dspersão será abordada nas seções seguntes. Nesta mesma lnha, modelagem conunta da méda e dspersão, podemos ctar os trabalhos de Smyth(989), que trata de modelos lneares generalzados com o parâmetro de dspersão varando, Atkn (987) que trata da modelagem da varânca em modelos normas e mas recentemente, sando do ponto de vsta clássco, Cuervo (00) fornece uma abordagem bayesana à metodologa de modelagem conunta da méda e dspersão. Também não podemos dexar de ctar o trabalho de Dey, Gelfand e Peng (997) que abordam modelos lneares generalzados com sobredspersão, mas agora usando não a quase verossmlhança estendda, como nós usaremos, mas a famíla exponencal dupla de Efron (986). Lee e Nelder (000) dscutem o relaconamento entre a famíla exponencal dupla e a quase verossmlhança estendda e mostram as condções em que elas conduzem a nferêncas dêntcas.. MODELOS LINEARES GENERALIZADOS Os modelos lneares generalzados estendem a classe de modelos lneares em dos sentdos. Prmero, eles permtem que os erros venham de uma classe de dstrbuções ao nvés de somente a dstrbução normal. Esta classe, conhecda pelos estatístcos como famíla exponencal, nclu algumas das prncpas dstrbuções como normal, Posson, bnomal, multnomal, gama, bnomal negatva e a nversa Gaussana. Segundo, um MLG gera uma escala adtva para a estrutura do erro provenente das varáves explcatvas. A escala, na qual os efetos são assumdos serem adtvos, é relaconada à méda da dstrbução do erro por uma função de lgação. Usando MLG s não necesstamos transformar os dados para obter adtvdade. Mutas característcas dos modelos lneares clásscos são medatamente estenddas por MLG s. Essas característcas ncluem a estrutura do predtor lnear, a tabela ANOVA e as déas de dagnóstcos de modelos por meo de análse de resíduos, efeto de alavanca, 645

3 nfluênca, e assm por dante. Além dsso, um algortmo smples, uma versão do Algortmo de Mínmos Quadrados Reponderados Iteratvos, austa todos os MLG s. Uma propredade mportante de todos os MLG s é a forma da varânca, sto é, Var ( y) = φ V ( µ ). Isto mostra que a varânca se dvde em duas partes: φ, chamado parâmetro de dspersão, o qual é ndependente da méda e V ( µ ), chamada de função de varânca, a qual descreve como a varânca vara com a méda (McCullagh e Nelder 989). O crtéro de separação de Box (988) pode ser obtdo por MLG s através da descoberta de uma função aproprada para a varação dos dados. De manera smlar, a modelagem da varânca é generalzada pela modelagem da dspersão. Varânca e dspersão são guas somente para erros normas. O segundo crtéro de Box, parcmôna, é nterpretado como a descoberta de uma função de lgação aproprada para produzr adtvdade dos efetos das covaráves, untamente com um conunto parcmonoso de varáves explcatvas que estmam bem a varabldade da resposta. 3. MODELAGEM CONJUNTA DA MÉDIA E DISPERSÃO Quando méda e dspersão são modeladas smultaneamente, necesstamos de dos MLG s, um para a méda µ e outro para a dspersão φ. O modelo para a dspersão requer uma varável resposta e três componentes padrão do MLG. Para a varável resposta podemos usar d, o desvo (devance) ou r P, o desvo generalzado de Pearson, como defndos abaxo; para os componentes do MLG requeremos uma função de lgação para a dspersão, ξ = h( φ ) e um predtor lnear, ξ = γ kuk, onde os u k 's são as covaráves do modelo para a dspersão com os parâmetros assocados γ k. Para a dstrbução do erro, uma escolha natural é da dstrbução gama (partcularmente, quando d é usado como resposta), com função logarítmca para a lgação (outras escolhas também são possíves). Uma covarável de dspersão pode ou não ser a mesma que uma covarável para a méda. Com sto, na formulação do MLG, as duas metas: separação e parcmôna, são nterpretadas da segunte forma: Separação: será encontrada escolhendo a função de varânca correta para a méda µ, de modo que φ fque lvre das nfluêncas da méda. Parcmôna: será encontrada escolhendo corretamente a função de lgação e o predtor lnear para os dos modelos, para a méda e dspersão. A dspersão, d = d( y, µ ), é uma estatístca aproprada, escolhda como uma medda de dspersão. As duas possíves escolhas para a estatístca d são: ( y µ ) ( y µ ) - O desvo generalzado de Pearson: d = rp = onde rp =. V ( µ ) V ( µ ) - O desvo (devance): d = rd onde rd = Sgn( y µ ) d com µ y d = t dt. y V t Modelo para a Méda ( ) = g ( ) = x = X η µ β β. As observações são assumdas serem ndependentes. Modelo para a dspersão ( φ ) : E( d) ξ = h( φ ) = u γ = Uγ () µ : E( y ) = µ ; Var ( y ) φ V ( µ ) = ; = φ ; Var ( d ) = τv ( φ ); D As varáves u são normalmente, mas não necessaramente, um subconunto das varáves x. Os fatores expermentas podem ocorrer em X em U ou em ambos. 646

4 No modelo para a méda, a Var ( y) = φ V ( µ ), sto é, a varânca de y é um produto de dos componentes; V ( µ ) expressa a parte da varânca funconalmente dependente de µ, enquanto φ expressa a varabldade, ndependente da méda envolvda. Usando os fatores expermentas ocorrendo em U (ou em ambos X ou U ), procuramos por um conunto de fatores e níves que mnmzem a varânca. Usando os fatores ocorrendo somente em X, podemos austar a méda para um valor preestabelecdo, sem afetar a varânca. V µ, não exste uma famíla de dstrbução do MLG; No caso onde, para um dado ( ) Wedderbun (974) propôs a Quase Verossmlhança (QV). A QV é usada, freqüentemente, para fazer nferênca sobre o modelo para a méda (utlzando φ como constante), mas não pode ser usada para fazer nferênca sobre o modelo para a dspersão. Para a estmação conunta dos parâmetros da méda e da dspersão, necesstamos de um crtéro aproprado de otmzação, sto é, a Quase Verossmlhança Estendda (QVE), ntroduzda por Nelder e Pregbon (987). 3. A Quase Verossmlhança A quase verossmlhança é defnda por: ( µ, ) (, ) Q µ y y µ = µ a φ µ ( ) V( ) µ y t Q y = dt ou y a ( φ ) V( t) A quase verossmlhança, ou mas corretamente, a log quase verossmlhança, é construída como sendo uma função cua dervada em relação à méda µ sea gual à mesma dervada do Q( µ, y) l( µ, y) logartmo da verossmlhança, sto é, =. µ µ O uso de Q como um crtéro de austamento, permte estender a classe de MLG s a modelos defndos somente pelas propredades dos dos prmeros momentos ( méda e varânca). A quase verossmlhança, Q, será uma verdadera verossmlhança, se exstr uma Var y = φ V µ. dstrbução do tpo MLG tendo ( ) ( ) Quase verossmlhanças permtem dos tpos de extensões de MLG`s. Na prmera, MLG s com φ = fxo podem ser estenddos para admtrem uma varável φ ; por exemplo, os modelos log-lneares com erros de Posson, para os quas Var ( y ) = µ, podem ser expanddos para admtrem sobredspersão com Var ( y) = φµ. Na segunda extensão, V ( µ ) pode tomar α uma forma que não corresponde àquela de um MLG padrão, por exemplo, V ( µ ) = µ, com α varável. Uma quase verossmlhança tem as mesmas equações de estmação como um MLG padrão, dando estmatvas de máxma quase verossmlhança no lugar de estmatvas de máxma verossmlhança; e também dá orgem a um desvo (devance) e a um resíduo de Pearson. A quase verossmlhança pode ser pensada como uma forma de defnr, aproxmadamente, dstrbuções exponencas, quando a varânca não admte uma dstrbução exponencal exata. Quase verossmlhanças são essencas para modelar quantdades e proporções sobredspersas. (McCullagh e Nelder 989) 3. A Quase Verossmlhança Estendda Em MLG s a função desvo é usada para medr a dscrepânca de um auste, e também pode ser usado para comparar modelos com dferentes predtores lneares e/ou funções de lgação. A função desvo não pode, contudo, ser usada para comparar modelos com dferentes funções de varânca ou dferentes estruturas de dspersão, que aparecem na modelagem conunta da méda e dspersão. Um crtéro aproprado para este tpo de problema é a Quase 647

5 Verossmlhança Estendda (QVE), Q +. O quase desvo estenddo é dado por: d Q log{ πφ µ + y = + V( y) }, onde t d = φ dt denota o componente do desvo y V() t para a méda. Note que Q +, assm como Q, não pressupõe a suposção de uma dstrbução completa, mas somente a forma dos dos prmeros momentos. As estmatvas de β, obtdas pela maxmzação de Q +, são guas àquelas obtdas maxmzando Q, sto é, são estmatvas de quase verossmlhança, pos Q + é uma função lnear de Q com coefcentes ndependentes de β. Quando exste uma dstrbução da famíla exponencal, com uma dada função de varânca, a QVE é uma aproxmação para o ponto de sela desta dstrbução. A aproxmação é exata para a dstrbução normal e a nversa Gaussana; para a dstrbução gama, dfere somente por uma função do parâmetro de forma e para dstrbuções dscretas, pela substtução de todos os fatoras por suas aproxmações de Strlng. (Jφrgensen 987). A quase verossmlhança requer o conhecmento da função de varânca multplcada por uma constante. Usando Q +, este requermento pode ser relaxado. Consdere a varânca pertencente a uma famíla de funções ndexadas por um parâmetro desconhecdo θ, de modo d µ + θ y que: Qθ = + log{ πφvθ ( y) }, onde t dθ = dt φ. y Vθ () t Uma famíla, muto útl para V θ ( µ ) é obtda consderando potêncas de µ : θ Vθ ( µ ) = µ (Nelder e Pregbon 987). Os valores mas comuns de θ são: 0,, e 3; os quas correspondem às funções de varâncas assocadas com as dstrbuções normal, Posson, gama e nversa Gaussana, respectvamente. Para esta famíla de função de varânca, o desvo é dado por: { ylog ( y µ ) ( y µ )} θ= dθ ( y; µ ) = { y µ log ( y µ ) } θ= θ θ θ { y ( θ ) yµ + ( θ ) µ } caso contráro ( θ)( θ) () θ θ Outro tpo de função de varânca que pode ser usada é a famíla Vθ ( µ ) = µ ( µ ) (Nar e Pregbon-988). Para θ = 0 temos a varânca constante e para θ = temos uma função de varânca do tpo bnomal. Para θ fxado, a estmatva de quase verossmlhança de β é faclmente obtda. 3.. Análse da méda Para dado φ, sem levar em conta a constante, a QVE é a QV para um modelo com a função de varânca V ( µ ). Desta forma, maxmzando Q + com respeto a β dará os mesmos estmadores da QV, com pesos + φ, satsfazendo: Q y µ µ = = 0. β φ V ( µ ) β d A EQV fornece um desvo padronzado, sto é,, o qual pode ser usado como uma φ medda de dscrepânca. 648

6 3.. Análse da dspersão Para um dado µ, a QVE toma a forma de uma verossmlhança gama com varável resposta d. Desta forma: E( d) = φ e Var ( d) = φ. A ustfcatva para fxar a função de varânca para a dspersão como gama é que o desvo tem uma dstrbução próxma da gama até mesmo quando o erro de y não é normal. (Nelder e Lee em Nar 99). Note que a afrmação é exata quando y é normal. A função de lgação, usualmente, é tomada como a função logarítmca. A parte sstemátca do modelo pode ser escrta com uma função de lgação para a dspersão, ξ = h( φ ), a qual, possvelmente, gera um modelo adtvo smples ξ = ukγ k. Os u k 's são covaráves de dspersão, com parâmetros γ k a serem estmados. As equações de + Q d φ φ estmação para γ são dadas por: = = 0. γ φ γ 3.3 Austamentos para as equações de estmação O uso de Q + como um crtéro de otmzação é equvalente a assumr que o componente do desvo tem uma função de varânca da forma VD ( φ ) = φ, ndferente à função de varânca para Y. Isto pode ser apenas aproxmadamente correto, de modo que consderaremos alguns austamentos para as equações de estmação Austamento para a curtose (McCullagh e Nelder 989) d = r = y µ tem dstrbução gama com fator de Para a dstrbução Normal, ( ) P d φ χ ). Assm, ( ) ( ) ( ( )) escala ( ~ Var d = Var y µ = φ V µ = φ, pos V ( µ ) = ; consequentemente, a QVE e o crtéro de máxma verossmlhança são os mesmos. Contudo, para dstrbuções não normas, a varânca de d, freqüentemente, excede o valor de φ.. A varânca correta de Nestes casos, deveremos fazer uma correção na varânca de ( y µ ) ( y µ ) é dada por: ( ) 4 Var y µ = k + k = k + ( k = E( Y), k = Var( Y) ), k φ V( µ ) =, ρ, onde k é o momento de ordem 3 V ( µ ) k4 = φ e ρ 4 =. µ k 4 k 4 Segundo Nelder e Lee (99), na prátca, esta correção faz pouca dferença para a estmatva de γ, mas pode afetar as covarâncas estmadas. Para o caso de estarmos trabalhando com dspersão, teremos que: Var ( r P ) ρ = φ + 4 r P e E( rp ) ( y µ ) V ( µ ) = como varável resposta para a smlares, a méda e a varânca aproxmadas do desvo D Var r ( ) ( (, )) D φ b φµ +, onde b( φµ, ) ( 5ρ 3 3ρ4) = ; ( µ ) ( ) = Var Y = φ. Sob suposções V r, serão: E( rd ) φ ( b( φµ, )) k ρ = e k 3 3 k 3 + e ( µ ) V = φ µ. 649

7 As equações de estmação para os parâmetros da dspersão podem ser austadas ρ4 ncorporando +, no caso do resíduo de Pearson, ou ( + b( φµ, )), no caso do desvo (devance), ou uma estmatva destes valores, como peso a pror. Para maores detalhes, vea MacCullagh e Nelder (989) Austamento para os graus de lberdade (McCullagh e Nelder 989) As equações de estmação para a dspersão, dervadas da QVE, não fazem compensação para o fato de que p parâmetros foram austados para a méda. Neste caso, deve ser feto um austamento a fm de dmnur o tamanho médo das varáves de resposta para a dspersão. Um ν austamento smples é multplcar o segundo termo em Q + por, onde ν = n p é o grau de n lberdade do desvo. Desta forma, o auste do modelo para a dspersão é defndo por: + d ν QM log{ πφv( y) } φ n 650

8 rápda e pode ser feta austando um MLG com ( ) Var d = φ. * * * d como uma resposta gama com E( d ) = φ e 4. ANÁLISE DE TAGUCHI USANDO MODELOS LINEARES GENERALIZADOS Em MLG s, φ e µ são, naturalmente, meddas de desempenho para o ruído e para a méda, respectvamente. A dependênca funconal entre a méda e a varânca é elmnada através de uma escolha aproprada da função de varânca V ( µ ). As meddas de desempenho do alvo, MDA( µ ), e de desempenho do ruído MDR(φ ), são modeladas através de especfcações apropradas para as funções de lgação da méda e da dspersão. Neste estágo, o crtéro de parcmôna é nvocado, afm de gerar modelos adtvos smples para a méda e dspersão. Na equação da QVE podemos ter duas stuações. Se consderarmos φ conhecdo, teremos o desvo para o MLG da méda com φ como dspersão, ou se consderarmos µ e, consequentemente, d conhecdos, teremos uma quase verossmlhança gama para o modelo da dspersão. Desta forma, poderemos usar a QVE como um crtéro a ser mnmzado para os modelos da méda e da dspersão. α V µ = µ, A classe de função de varânca consderada por Box (988), da forma ( ) quando V ( µ ) não é conhecda, pode ser estmada usando a QVE para obter uma estmatva de + Q α, resolvendo a equação = 0. α Usando QVE, como crtéro de otmzação, necesstamos somente do conhecmento dos dos prmeros momentos EY ( ) = µ e Var ( Y ) = φ V ( µ ). A tabela 0 dá um resumo da modelagem da méda e da dspersão. Tabela 0: Sumáro da modelagem conunta da méda e dspersão Componente Modelo para méda Modelo para dspersão Resposta Y d Méda µ φ Varânca φ V ( µ ) φ Função de Lgação η = g ( µ ) ( g qualquer) ξ log( φ ) Predtor Lnear Componente do desvo Peso a pror η d = (usualmente log) = X β ξ = Zγ φ µ y t = dt d ( d φ ) y log + V() t 4. Um algortmo para a modelagem conunta da méda e dspersão φ Nelder e Lee (99) sugerem o segunte algortmo para a modelagem conunta da méda e dspersão. Passo 0: Identfcação de V ( µ ) Neste estágo o crtéro de separação deve ser o mas mportante. O gráfco da méda a varânca de Nar e Pregbon (988) ou o método de regressão smples de Logothets (990) são recomendados como ferramentas exploratóras. Passo 0: Modelagem conunta da méda e dspersão φ 65

9 Neste estágo o crtéro de parcmôna é mas mportante. Isto pode ser feto escolhendo, para cada modelo, uma função de lgação aproprada untamente com as covaráves no predtor lnear. O gráfco proposto por Box (988) é recomendado como uma ferramenta exploratóra. Passo 03: Verfcação do modelo Verfque o auste dos modelos (Vea McCullagh e Nelder 989). Vá ao passo 0 se necessáro. Caso contráro, vá ao passo 04 Passo 04: Predção dos modelos Prmero, mnmze a varabldade, encontrando os conuntos ótmos dos fatores de controle da varabldade FCV. Depos auste a méda próxma ao valor alvo, escolhendo os conuntos aproprados de fatores de controle da méda FCM. O algortmo se resume em: prmero, procuramos a separação, a qual é aqu nterpretada como descobrr uma função de varânca aproprada para a méda. Austamos modelos saturados para ambos modelos, da méda e da dspersão; e procuramos por um máxmo da quase verossmlhança estendda. Agora procuramos parcmôna, sto é, procuramos por funções de lgação e um conunto parcmonoso de termos que nas varáves explcatvas para os modelos da méda e da dspersão. Então, usando os pesos dervados do nverso dos dspersões austadas, sto é, w = φ, modelamos a méda. O próxmo passo é verfcar o auste dos dos modelos, voltando aos passos anterores se necessáro. Quando a verfcação é satsfatóra, podemos proceder à predção dos modelos, encontrando conuntos de varáves explcatvas satsfazendo o nosso propósto. 4. O método de mínmos quadrados reponderados teratvos para o modelo de Taguch Modelo para a méda Começamos assumndo φ constante. Assm, usando o método dos mínmos quadrados T reponderados teratvos, temos que: ( ) µ =, sendo W ( w w ) T β X WX X WZ η w = ; ( ) η V ( µ ), Z = z L zn com z = η + ( y µ ) µ ( n p) ; W é ( n n) ; Z é ( n ) e ( w w ) Dag,, n. Onde = L com Dag,, n β é ( ) p ; X é L representa uma matrz dagonal com os elementos w na dagonal. A cada teração um novo β é obtdo e o algortmo contnua até que um crtéro de convergênca sea encontrado. Um possível crtéro de convergênca pode ser: onde representa a norma de um vetor. Após a convergênca ter sdo encontrada, o últmo para o cálculo da méda µ, sto é, µ g ( η) g ( Xβ ) β β < δ, β é guardado como β e é utlzado = =, g é uma função nversível. Agora y y t d = dt. De posse do µ V() t valor de d passamos ao modelo da dspersão. com o valor estmado de µ, calculamos o vetor d ( n ), com Modelo para a dspersão Dado d ( d d ) =,, L n podemos encontrar ξ Z e W como anterormente, mas agora z = ξ + ( d φ ) φ T γ, de modo que γ ( ) e w =, com T X WX X WZ φ =. ξ φ 65

10 Da mesma forma como feto para a méda, a cada teração um novo γ é obtdo e o algortmo contnua até que um crtéro de convergênca sea encontrado. Após a convergênca ter sdo encontrada, o últmo γ é guardado como γ e é utlzado para o cálculo da méda φ, sto é, φ h = ( ξ) = h ( Xγ ), h é uma função nversível. Agora com o valor de φ = ( φ,, L φn ) estmado, voltamos para o modelo da méda. Usaremos, novamente, o método dos mínmos quadrados reponderados teratvos, agora com os novos pesos µ, sto é, β e W têm a mesma forma, mas agora w =. O vetor φ η φ V ( µ ) Z permanece nalterado. Da mesma forma como anterormente, calculamos um β e com esse valor calculamos um novo µ e, consequentemente, um novo d e passamos para o modelo da dspersão, onde, como anterormente, obtemos um γ e voltamos de novo para o modelo da méda. Fcamos alternando entre os modelos da méda e da dspersão até que um crtéro de convergênca sea + + Qk ( Qk ) encontrado, sto é, por exemplo, < ε, onde Q + + é o valor do quase desvo Qk estenddo obtdo no -ésmo cclo e representa o valor absoluto. Observe que no k-ésmo cclo devemos averguar se o modelo para a méda ou para a dspersão está bem austado, verfcando também se algum dos β k ou γ k deve ou não ser excluído do modelo. No últmo cclo, sto é, quando tvermos alcançado a convergênca, teremos encontrado o vetor de parâmetros β que nterfere na méda e o vetor de parâmetros γ que nterfere na dspersão. Note que β e γ podem ter elementos em comum. O próxmo passo agora é verfcar quas são os melhores níves para os parâmetros do vetor γ, de modo que φ sea mínmo; depos verfcamos quas são os melhores níves para os parâmetros do vetor β, de modo que µ fque o mas próxmo possível do valor préespecfcado (valor alvo). 5. EXEMPLO: MISTURA PARA BOLO Este exemplo, retrado de Box et al.(989) e também analsado por Atknson e Donev (99), concentra no desenvolvmento de uma nova mstura para bolo a ser apresentada no mercado. O produto necessta ser robusto às condções nadequadas de cozmento, representadas pelos fatores ambentas, como temperatura do forno, x 4, e tempo em que o bolo permanece assando, x 5. Os três fatores sob controle do fabrcante são: a quantdade de farnha, de açúcar e de ovo, denotadas, respectvamente, por x, x e x 3. O planeamento expermental, dado na tabela 0, consste de um fatoral 3, com ponto central nos fatores de planeamento, cruzado com um fatoral, mas o ponto central nos fatores ambentas. Os níves dos fatores, zero, correspondem à composção pretendda da mstura e às condções deas de cozmento sugerdas pelo fabrcante. A resposta é um índce de predleção, e assm quanto maor melhor. Inspeconando os resultados da tabela 0 podemos notar que os ensaos 7 e 9 produzem msturas que são menos suscetíves às varações nos fatores ambentas x 4 e x 5, mas o ensao 7 tem a méda mas alta e assm deve ser a melhor mstura para o mercado. Esta análse nformal dos resultados deste expermento é sufcente para extrar nformação relevante. Contudo, em expermentos mas complcados, uma análse mas sofstcada sera necessára. 653

11 Tabela 0 Exemplo: mstura para bolo Fatores de planeamento Quantdade de Farnha Açúcar Ovo Fatores ambentas x 4 Temperatura do forno x x x 3 x 5 Tempo no forno ,7 3,4 5,4 4, 3, ,, 5,7 6,4, , 3,8 4,9 4,3, - - 5,3 3,7 5, 6,7,9-4, 4,5 6,4 5,8 5, - - 5,9 4, 6,8 6,5 3,5-6,9 5,0 6,0 5,9 5,7-3,0 3, 6,3 6,4 3,0 4,5 3,9 5,5 5,0 5,4 Para este exemplo, segumos o mesmo procedmento como descrto em Engel e Huelle (996), sto é, estamos consderando (,, T Y = y L y n ) o vetor das respostas; x, Lxk são k fatores ' de planeamento e r, L rq, q fatores de ruído. Sea f ( x ) a -ésma lnha da matrz de planeamento =, L, n. A matrz de planeamento pode conter efetos lneares, quadrátcos e ' nterações. Os níves dos fatores de ruído na lnha são denotados por r. Var Y, a méda e a varânca do Nosso obetvo é obter um modelo para E ( Y ) e para ( ) processo, respectvamente. Durante o expermento, o vetor resposta é observado condconalmente aos níves dos fatores de ruído, desta forma, prmero defnremos µ = E ( y r) e σ = Var ( y r). O segunte modelo de regressão fo proposto para o problema de planeamento robusto: y = µ + ε onde ε ~ N ( 0, σ ). A méda condconal µ é lnear nos conuntos de fatores de ruído na lnha. ' ' ' µ = β0 + g ( x) β + rδ + g ( x) Λ r, onde β 0 é uma constante, β e δ são os vetores dos parâmetros e Λ é uma matrz que contém os coefcentes de regressão das nterações entre os ' σ = exp u γ (ou fatores de planeamento e ruído. A varânca condconal é modelada como ( ) ' logσ = u γ ). Como E ( y r) fatores de ruído. Da mesma forma, a função de varânca Var ( y r) varânca também condconal aos fatores de ruído. Podemos encontrar E ( y ) e Var ( y ) segunte forma: E ( y) = E( E( y r) ) e Var( y) = Var( E( y r) ) + E( Var( y r) ). µ =, sgnfca que temos o valor esperado da resposta, condconal aos σ = é uma resposta para a da Observe que da forma como fzemos a modelagem, estamos supondo, para a modelagem conunta da méda e dspersão: dstrbução normal e lgação dentdade, para o modelo da méda; dstrbução gama e lgação logarítmca para o modelo da dspersão. O algortmo da modelagem conunta da méda e dspersão fo faclmente mplementado em lnguagem de programação FORTRAN. O programa fo aplcado aos dados para o problema da mstura de bolo. A matrz de planeamento com colunas:, x, x, x 3, x 4, x 5, xx 4, xx 5, xx 3, xx 4, xx 5, x3x 4, x3x 5, fo consderada tanto para o modelo da méda quanto para o modelo da dspersão. O programa convergu após 6 terações, e o resultado para os modelos da méda e da dspersão foram os seguntes: 654

12 ˆ µ = x3 0.69xx 3 e ˆ σ = exp( 0.744x ). Desta forma, Ê ( Y ) = ˆ µ = x3 0.69xx 3 e Var ˆ ( Y ) = ˆ σ = exp( 0.744x ), pos nenhuma nteração com os fatores de ruído fo sgnfcatva em nenhum dos modelos. Para que a varânca sea mínma, deveremos ter x = (nível alto de farnha) e para que a méda fque a mas alta possível, deveremos ter x = (nível baxo de açúcar) e x 3 = (nível alto de ovo). Logo a melhor combnação possível é:, - e, correspondendo, exatamente, à lnha 7 da tabela 0; como era esperado. Vale ressaltar que os mesmos resultados foram obtdos por Atknson e Donev (99), utlzando modelos separados para a méda e para dspersão. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS Como fo mostrado, a modelagem smultânea da méda e dspersão é geral e sufcente para austar os modelos de Taguch. Usando GLM s não necesstamos transformar os dados para obter normaldade aproxmada, e consequentemente, podemos manear respostas nas formas de contagens e proporções de uma forma tão smples como nos casos contínuos. O crtéro de separação pode ser satsfeto pela especfcação correta da função de varânca no MLG. Parcmôna dos modelos da méda e dspersão pode ser encontrada escolhendo funções apropradas de lgação e covaráves para os parâmetros da méda e da dspersão, respectvamente. A abordagem descrta neste artgo, e lustrada na seção 5, pressupõe que os níves dos fatores, para a méda e dspersão, são fxados. Contudo, em futuros trabalhos pretende-se utlzar a teora de expermentos ótmos para determnar, por exemplo, níves ótmos desses fatores a partr do conhecmento a pror da especfcação do modelo e respectvos parâmetros. 7. REFERÊNCIAS [] Atknson, A. C. e Donev, A. N. (99). Optmum Expermental Desgns. Oxford Scence Publcatons, Clarendon Press, UK. [] Box, G. E. P.(988). Sgnal to nose, performance crtera and transformatons. Technometrcs, 30: -7. [3] Box, G. E. P.; Bsgaard, S. e Fung, C. (989). An explanaton and crtque of Taguch s contrbuton to qualty engneerng. In Taguch Methods: Applcatons n world ndustry (ed. Bendel, A.; Dsney, J. e Prdmore, W. A.) : IFS Publcatons, Bedford, UK. [4] Cuervo, E. C.(00). Modelagem da varabldade em modelos lneares generalzados. Tese de doutorado, IM UFRJ. [5] Cordero, G. M. (986). Modelos Lneares Generalzados. VII SINAPE Campnas SP. [6] Cordero, G. M. e Paula, G. A. (989). Modelos de Regressão para a Análse de Dados Unvarados. 7 o Colóquo Braslero de Matemátca IMPA. [7] Cox, D. R. e Red, N.(987). Parameter orthogonalty and aproxmate condtonal nference. Journal of The Royal statstcal Socety Sere B, 49(): -39. [8] Dey, K. D.; Gelfand, A. E. e Peng, F. (997). Overdspersed generalzed lnear models. Journal of Statstcal Plannng and Inference, 64: 93-07, 997. [9] Efron, B. (986). Double exponental famles and ther use n generalzed lnear regresson. Journal of Amercan Statstcal Assocaton, 8: [0] Engel, J. e Huelle, A. F. (996). A generalzed lnear modelng approach to robust desgn. Technometrcs, 38(4): [] Guedes, T. A. (996). Procedmentos de otmzação no planeamento e controle da qualdade de produtos e processos. Tese de doutorado. Depto. de Engenhara de Produção UFSC. [] Jφrgensen, B. (987). Exponencal dsperson models (wth dscusson). Journal of The Royal Satstcal Socety Sere B, 49():

13 [3] Jφrgensen, B. (99). The Theory of Exponencal Dsperson Models and Analyss of Devance. Monografa de Matemátca, n o 5 IMPA. [4] Logothets, N. (990). Box-Cox transformatons and Taguch method. Appled Statstcs, 39: [5] McCullagh, P. e Nelder, J. A. (989). Generalzed Lnear Models a edção, Londres, Chapman e Hall. [6] Nar, V. N. (99). Taguch s parameter desgn: a panel dscusson. Technometrcs, 34(): 7-6. [7] Nar, V. N. e Pregbon, D. (988). Analysng dsperson effects from replcated factoral experments. Technometrcs, 30: [8] Nar, V. N. e Pregbon, D. (988). Dscusson of paper by Box. Technometrcs, 30: 4-9. [9] Nelder, J. A. e Lee, Y. (99). Generalzed lnear models for the analyss of Taguch-type experments. Appled Stochastc Models and Data Analyss, 7: [0] Nelder, J. A. e Lee, Y. (998). Jont modelng of mean and dsperson. Technometrcs, 40(): [] Nelder, J. A. e Lee, Y. (998). Generalzed lnear models for analyss of qualty mprovement experments. The Canadan Journal of Statstcs, 6(): [] Nelder, J. A. e Lee, Y. (000). The relatonshp between double-exponental famles and extended quas-lkelhood famles, wth applcaton to modellng Gessler s human Sex rato data. Appled Statstcs, 49(3): [3] Phadke, M. S. (989). Qualty Engneerng Usng Robust Desgn. Prentce-Hall, Englewood Clffs, New Jersey. [4] Smth, G. K. (989). Generalzed lnear models wth varyng dsperson. Journal of The Royal Statstcal Socety Sere B, 5(): [5] Wedderbun, R. W. M. (974). Quas-lkelhood functons, generalzed lnear models and the Gauss-Newton method. Bometrka, 6: