ÍNDICES DE CAPACIDADE COMBINADOS

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1 ÍNDICES DE CAPACIDADE COMBINADOS Edvaldo Antono Bulba Depto. Eng. Produção EPUSP Caxa Postal 6548 CEP SP Lnda Lee Ho Depto. Eng. Produção EPUSP Caxa Postal 6548 CEP SP Abstract Here we present methods to determne capablty ndces such as Cp and Cpk when the qualty characterstcs of nterest s unobservable and gven by = f(,, 3,... k ), and ' s are random varables wth means and varance respectvely equal to µ and σ ; lower and upper specfcatons lmts respectvely L and U, =,,3,... k and functon f are known. The determnaton s based on Taylor s seres and we llustrate the procedure wth a practcal example. Key words combned capablty ndex,uncertanty propagaton, Taylor seres Introdução A avalação de quão adequado é um processo a fm de cumprr determnadas especfcações de engenhara através dos índces de capacdade tem sdo aplcada com ntensdade crescente desde que JURAN (974) ntroduzu o conceto básco de índce de capacdade. Dada a mportânca destes índces, o períodco JOURNAL OF QUALIT TECHNOLOG (99) dedcou um número especal a este tópco e o mesmo peródco (00) fez uma revsão de cerca de 70 publcações sobre os índces de capacdade entre 99 a 000 relatvo a este tema. KOTZ e JOHNSON(993), BOTHE(997), entre outros, publcaram lvros que tratam exclusvamente deste tema. Não obstante, os índces de capacdade combnados, objeto do trabalho que ora apresentamos fo muto pouco explorado e não é menconado nas referêncas acma. Comumente na engenhara ocorrem stuações onde uma característca de qualdade é obtda ndretamente por outras característcas. Isto é, a característca de qualdade não observável é dependente de um certo número de varáves de entrada ; ; 3;... k, relaconados através de uma função conhecda = f(,, 3,... k ), onde f pode ser uma relação funconal lnear ou não. Nas stuações onde obtemos ndretamente a característca de qualdade da varável resultante através de váras varáves de entrada, haverá um acúmulo de tolerâncas de projeto e consequentemente acúmulo de ncertezas decorrentes dos processos de fabrcação. Do ponto de vsta da qualdade, este aspecto é de grande mportânca, pos a soma resultante destas tolerâncas e ncertezas produzrá amplas faxas de varação que por sua vez acarretará numa função perda sgnfcatva.[taguchi(99) e ROSS (99)] Ressalta-se como condções de contorno deste trabalho que os erros para aplcação da prmera ordem da sére de Taylor são consderados desprezíves e as varáves de entrada assumem dstrbução normal. ENEGEP 00 ABEPRO

2 Na seção apresentamos respectvamente os índces de capacdade Cp e Cpk combnados. Na seção 3 apresentamos um exemplo e fnalmente temos a conclusão na seção 4. Índce de capacdade combnado Cp O parâmetro do índce de capacdade Cp é defndo como [JURAN(974)] T Cp = onde T é a tolerânca de projeto e é a tolerânca natural de processo [BANKS(989)], [BURR(976)]. No caso de váras varáves de entrada, =,,3,... k, que defnem um modelo matemátco f = (,, 3,... k), onde E( ) = µ e Var( ) = σ, o parâmetro do índce de capacdade combnado Cp é dado pela segunte relação T Cp = sendo que T é dado por k T = =µ T = e expressa a tolerânca acumulada de projeto na varável de resposta e é dada pelo método determnístco do por caso de acúmulo das tolerâncas de entrada, através de uma combnação lnear obtda pela lnearzação da varáves de entrada por meo da aplcação da prmera ordem da sére de Taylor [CREVELING (997)] Por sua vez é a tolerânca natural da varável de resposta onde K K K = = µ + j, j = = j= + j σ σ σ σ ρ e corresponde ao desvo padrão de expresso estatstcamente pela prmera ordem da sére de Taylor na forma de le de propagação de ncertezas onde ρ, j é o coefcente de correlação entre varáves de entrada,. É mportante lembrar que a combnação lnear de varáves com dstrbuções normas ndependentes entre sí ou não resulta em uma varável de resposta também com dstrbução normal. [DIETRICH (99)]. Neste caso teremos os índces de capacdade combnados respetando a normaldade na varável de resposta, o que é uma condção básca. Deve-se ressaltar que a expansão de Taylor até a prmera ordem somente pode ser aplcada quando os erros de segunda ordem forem desprezíves, não obstante [ULLMAN (997)] confrma que na maora dos casos prátcos esta condção é alcançada. Na Fgura representamos gráfca e analtcamente o parâmetro do índce de capacdade combnado Cp para duas varáves ndependentes, onde as duas varáves de entrada estão com índces de capacdade gual a, proporconando um índce de capacdade na varável de resposta maor que j ENEGEP 00 ABEPRO

3 A y B y Fgura - Acúmulo de tolerâncas e ncertezas num modelo não lnear com duas varáves de entrada Na Fgura as tolerâncas nas varáves de entrada são respectvamente BC = T e BC = Te a contrbução destas tolerâncas na varável de resposta são obtdas pela técnca de lnearzação, aproxmadamente dada por AB = T e A B = T. A tolerânca na varável de resposta será T = AB = A B + A B que portanto corresponde a T = T + T Consderando os índces de capacdade CP = CP = temos T = e T = daí a tolerânca natural na resposta será.,, f f A B 6 σ 6 6 σ σ = = + e o índce de capacdade nesta resposta será obtdo por T A B CP = =,, A B,, Nota-se que AB A B portanto Cp é maor do que. Isto é devdo a soma quadrátca das tolerâncas naturas de entrada, portanto quanto maor for o número de varáves de entrada o ganho em Cp será cada vez mas sgnfcatvo. Na fase posteror de manufatura devemos utlzar as estmatvas do desvo padrão σ, da méda µ e do coefcente de correlação ρ, j dsponíves através de controles estatístcos ENEGEP 00 ABEPRO 3

4 de processo. Desta forma obteremos uma estmatva pontual do índce de capacdade combnado estmado Cp. Smlar ao Cp, podemos obter o índce de capacdade combnado Cpk que expressa concomtantemente erros de precsão ou aleatóros (varabldade medda pelo desvo padrão σ ) e erros de posconamento ou sstemátcos (expressos pela méda µ ), seja µ m k = ( LSE LIE) onde m é o valor central de projeto, µ m corresponde ao erro sstemátco em valor absoluto e o fator k expressa quanto o processo está descentralzado para determnado lado da especfcação. Por exemplo, k = 0,5 corresponde a uma descentralzação de 5% para dreta ou para a esquerda. Daí temos que Cpk = Cp ( k ). Substtundo K a relação entre os dos índces é dada por µ LIE LSE µ Cpk = mn ; 3σ 3σ A mportânca de se prever erros sstemátcos antes de ocorrer a manufatura (projeto dos processos) envolvendo acúmulo de tolerâncas fo abordada por [EVANS (975)] que propõe um fator de segurança de,5 no desvo padrão da varável de resposta, assm, segundo esta abordagem, obteríamos um Cp com margem de segurança substtundo o valor de Cpk. Segundo outros autores [BREFOGLE (999)], [HARR (987)] o modo de se levar em conta os erros sstemátcos nas crcunstâncas envolvendo acúmulo de tolerâncas sera estabelecer um erro sstemátco e smétrco nas varáves de entrada correspondente a ±, 5σ em torno da méda. [WILSON ( 000 )] entretanto crtca este procedmento, argumentando que o erro sstemátco não pode ser fxado arbtraramente em ±, 5σ. Portanto, apresentamos aqu um procedmento onde podemos estabelecer no projeto qualquer valor de erro sstemátco smétrco para cada varável de entrada, o que conduzrá ao valor do erro sstemátco na varável de resposta. Para podermos obter o fator k da varável devemos novamente aplcar a expansão da prmera ordem da sére de Taylor junto aos erros sstemátcos estabelecdos para as varáves de entrada. O erro sstemátco smétrco confere um comportamento semelhante ao do acúmulo das tolerâncas. Devdo a sto, as dferencas parcas na expansão de Taylor devem aparecer em valor absoluto e os erros sstemátcos ou de posção de cada varável também. A dferença entre o parâmetro da méda da dstrbução µ e o valor médo de projeto m P = µ m corresponde ao erro sstemátco obtdo em cada varável de entrada. Aplcando-se a lnearzação de Taylor, teremos o erro sstemátco na varável de resposta K P = =µ. P = Obtdo P, temos condção de determnar o fator k µ m P k = = T T Daí, podemos determnar Cpk Cpk = Cp k. ( ) ENEGEP 00 ABEPRO 4

5 3 Exemplo de aplcação Consderemos uma stuação onde chapas são cortadas prmeramente na largura e depos no comprmento e a área resultante é uma característca crítca de qualdade. No projeto devemos determnar qual deve ser a máxma varação para cada processo de corte a ser escolhdo a fm de ndretamente controlarmos a área lustrada na Fgura Fgura - Exemplo de controle da área de um retângulo Os valores nomnas e tolerâncas de e são respectvamente = 00mm =± 0, T = 0. = 00 = 00mm =± 0, T = 0. = 00 E a função que relacona a varável respostal e as varáves de entrada é =. Para determnar a tolerânca da varável resposta, vamos aplcar a prmera ordem da sére de Taylor,utlzando-se das tolerâncas das varâncas de entrada, obtendo-se T = T + T = 00.0, , = 60 Em seguda, vamos determnar o parâmetro da tolerânca natural ( ) na varável de resposta, aplcando também a prmera ordem da sere de Taylor na forma de le de propagação de ncertezas, tendo como dados as tolerâncas naturas das varáves de entrada. Tomando por base as tolerâncas determnístcas de entrada, T =, obtemos 6 σ f ( 6 ) ( 6 ) ( 00) ( 0,) ( 00) ( 0,) 44,7 σ = + σ = + = E o índce de capacdade na varável de resposta ( Cp ) será gual a Cp T 60 = = =, 34 44,7 ENEGEP 00 ABEPRO 5

6 De modo smlar vamos determnar a tolerânca do erro sstemátco na varável de resposta aplcando a prmera ordem da sére de Taylor. Dado que P = ± 0,0 e P = ± 0,0, portanto P =. P +. P = 00. 0, ,0 = 4 E determnando o fator k na varável de resposta, temos Segue-se que o valor de k Cpk P 4 = = = T / 60/ 0,33 Cpk = Cp ( k ) =,34( 0,33) =,6 y y y 4 Conclusões Apresentamos um trabalho que proporcona um melhor controle de qualdade sobre uma varável de resposta dependente de váras varáves de entrada por ntermédo dos índces de capacdade combnados, que por sua vez se apoam na le de propagação de ncertezas e na lnearzação através da expansão de Taylor. Exstem outros tópcos relaconados aos índces de capacdade combnados e de relevânca não abrangdos por este trabalho, como por exemplo a quantfcação dos erros de segunda ordem a fm de testar se são desprezíves, a aplcação destes índces no controle de processos e a obtenção de ntervalos de confança para as estmatvas destes índces de capacdade combnados, os quas apresentamos em outro trabalho. Bblografa Banks J.- Prncples of Qualty Control, New ork, John Wley & Sons, Frst Edton, Georga Insttute of Technology, 989 Burr, I. W. Statstcal Qualty Control Methods, New ork, Marcel Dekker, 976 Breyfogle III, F. W. Implementng Sx Sgma New ork, Ed. John Whley & Sons, 999. Crevelng, C.M. Tolerance Desgn, Massachusetts, Addson Wesley Longman, Inc, 997 Detrch, C. F. Uncertanty, Calbraton and Probablty, New ork, Adam Hlger, Second Edton, 99 Evans, D. H. Statstcal Tolerancng The State of the Art, Part III. Shfts and Drfts., Journal of Qualty Technology, Mlwaukee, vol.7, n., p.7-76, 975 Harry, M.; Stewart R. Sx Sgma Mechancal Desgn Tolerancng, Motorola Unversty Press, Schaumburg, IL, 988. Juran, J. M.- Qualty Control Handbook, New ork, Mc Graw-Hll, 974. Journal of Qualty Technology Specal Issue,, Mlwaukee, 99 Kotz S.; Johnson, N. L. Process Capablty Indces, New ork, Ed. Chapman & Hall, 993. ENEGEP 00 ABEPRO 6

7 Kotz S.; Johnson, N. L. Process Capablty Indces- A Revew, , Journal of Qualty Technology, Mlwaukee, vol.34, n., p.-53, 00 Ross, P. J. - Aplcações das Técncas Taguch na Engenhara da Qualdade - São Paulo, Makron Books, 99 Taguch, G. - Robust Qualty - Harvard Busness Revew Paperback Ed. Harvard, USA, 99 Ullman, D. G.- The Mechancal Desgn Process, Oregon State Unversty, Second Edton, Mc Graw-Hll Internatonal Edtons, 997. Wlson, M. P. Ses Sgma- Compreendendo o Conceto, As Implcações e os Desafos, Ro de Janero, Ed. Qualtymark, 000 ENEGEP 00 ABEPRO 7