346 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 22, no. 3, Setembro, (From Ising to Metropolis) Departamento de Fsica e Informatica

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1 346 Revsta Braslera de Ensno de Fsca, vol. 22, no. 3, Setembro, 2000 De Isng a Metropols (From Isng to Metropols) Valter L. Lbero Departamento de Fsca e Informatca Insttuto de Fsca de S~ao Carlos - USP C. P. 369, , S~ao Carlos, SP, Brazl Recebdo em 15 de Janero, Aceto em 5 de Mao, 2000 O modelo de Isng por sua formulac~ao smples e soluc~ao exata n~ao trval em redes bdmensonas e frequentemente refer^enca ao se construr novas tecncas de calculo, analtcas ou numercas. Este artgo compara os resultados exatos de Onsager para a magnetzac~ao, energa meda e calor especco, com resultados obtdos de duas tecncas consagradas, a aproxmac~ao de campo medo, e o algortmo Monte Carlo de Metropols. The two-dmensonal Isng model by ts smple formulaton and non trval soluton s often used as a reference when new numercal or analytcal technques are developed. Ths paper compares the exact results obtaned by Onsager for magnetzaton, mean energy and specc heat, wth results from two well known proceedure, the mean-eld approxmaton and the Monte Carlo algorthm of Metropols. I Introduc~ao N~ao e possvel falarmos de magnetsmo sem refer^enca ao modelo de Isng.[1] Proposto em 1920 por Wlhelm Lenz ao seu aluno de doutorado Ernest Isng, tnha como objetvo estudar um dos fen^omenos mas mportantes em matera condensada, o ferromagnetsmo de momentos localzados. O modelo ncal era bem smples, uma cadea lnear de momentos magnetcos S nteragndo com seus vznhos S +1 e S ;1 na forma ;JS (S +1 + S ;1 ). Para J>0oalnhamento paralelo dos momentos e favorecdo, o que compete com a desordem mposta pela temperatura. Dessa competc~ao era esperada uma temperatura crtca abaxo (acma) da qual havera (n~ao havera) ordenamento de toda cadea. Para desapontamento de Isng, e certamente do seu orentador, esse modelo n~ao apresenta transc~ao para uma fase ordenada em qualquer temperatura T dferente de zero. Entende-se esse desapontamento ja que a melhor teora de magnetsmo da epoca, a teora do campo molecular de Perre Wess,[2] preva transc~ao de fase em temperatura n~ao nula ndependente da dmens~ao do sstema. Hoje, com argumentos ate relatvamente smples, sabemos que em uma dmens~ao a cadea de spns e nstavel em qualquer temperatura n~ao nula, ordenandose apenas em T =0. O resultado obtdo por Isng, que e correto, n~ao deve ser vsto como fracasso. O pecado de Isng fo na verdade ter conjecturado que em duas ou mas dmens~oes tambem n~ao havera transc~ao de fase, o que sabemos esta errado. Adea central do modelo, a nterac~ao entre momentos magnetcos localzados em uma rede, pareca boa demas para levar a tantos fracassos. Isso parece ter motvado Hesenberg em 1928 a propor um modelo semelhante ao de Isng, porem, com os S substtudos por operadores de spns S ~ o carater qu^antco dos momentos magnetcos passou a ser mportante.[3] O modelo de Hesenberg e anda um dos mas estudados.[4] Sua sostcac~ao e tamanha que na verdade em mutas stuac~oes volta-se a formulac~ao mas smples de Isng, que com o tempo ganhou generaldade ee abordado com tecncas renadas, tanto em duas como em tr^es dmens~oes. O objetvo deste artgo e mostrar de forma ddatca algumas dessas tecncas. Umas s~ao smples, como a teora do campo medo (TCM), outras mas elaboradas, como Monte Carlo. Alem de ferrromagnetsmo, o modelo de Isng tambem pode descrever outros sstemas fscos, como o gas de rede e a lga bnara. Em 1952 Yang e Lee [5] usaram o termo gas de rede para descrever um modelo em que M atomos ocupam aleatoramente os N > M stos de uma rede. A cada par de stos vznhos ocupados da-se uma energa E = E 0 senum par vznho faltar pelo menos um atomo tem-se E =0.Anterac~ao tem a mesma forma anteror, ;JS (S +1 +S ;1 ), mas S pode ter os valores 0 (aus^enca de atomo) ou 1 (presenca de atomo). Hdrog^eno adsorvdo em uma superfce (110) de ferro e o sstema prototpo. Ja a lga bnara consste em dos tpos de atomos ocupando aleatoramente

2 Valter L. Lbero 347 os stos de uma rede. Dependendo se os vznhos s~ao do mesmo tpo (mesmo atomo) ou n~ao atrbu-se energa dferente ao par. Neste caso, S = 1 representa um tpo de atomo enquanto S = ;1 representa o outro tpo. O sstema prototpo e a lga cobre-znco. Exstem generalzac~oes naturas do modelo de Isng, que s~ao mportantes em determnadas stuac~oes ao se descrever sstemas mas realstas. Por exemplo, a ntroduc~ao de nterac~oes entre segundos vznhos, varavel S de mas de dos valores (ou spn maor que 1/2), nterac~oes envolvendo tr^es ou quatro stos, etc. Por quest~oes de ddatca, vamos nos ater apenas ao caso de redes bdmensonas, quadradas, com S = 1 enterac~oes de prmeros vznhos. Alem dsso, usaremos apenas a vers~ao do modelo para ferromagnetsmo. uma dada varac~ao E = 2J, resultando numa entropa S f = k B ln 2 N. A entropa ncal e zero ja queha apenas um estado em T =0. Portanto, a uma certa temperatura nta a varac~ao do potencal de Gbbs e G =E ; T S =2J ; k B T ln 2 N. No lmte termodn^amco, sto e, N!1, para qualquer T 6= 0 teremos G<0, mostranto assm que a cadea lnear e nstavel contra qualquer mudanca de spn. Em outras palavras, para T 6= 0 o sstema prefere ter todas as suas lgac~oes com spns antparalelos. Em duas ou mas dmens~oes Peerls mostrou que esse mesmo argumento n~ao dmnu G, an~ao ser acma de uma temperatura crtca T c 6=0 e portanto, e possvel haver uma fase ordenada para T 6= 0. II Modelo de Isng para ferromagnetsmo Para uma rede lnear com N stos, a Hamltonana que descreve o modelo de Isng e H = ;J N;1 S S +1 : (1) Comumente consdera-se que a varavel S possa ter apenas dos valores, 1, assm mtando os estados de um spn 1/2. No da-a-da ate nos refermos a S como um spn (spn de Isng), mas ha de se entender que nesse modelo os S n~ao seguem nenhuma relac~ao de comutac~ao de momento angular. Quando o termo de nterac~ao J, chamado de termo de troca, for postvo os spns tendem a se orentar numa mesma drec~ao e assm formar uma fase ferromagnetca. Quando J for negatvo a tend^enca e a orentac~ao antparalela e portanto de formar uma fase antferromagnetca. Peerls, em 1936, fo o prmero a demonstrar que o modelo de Isng em duas ou mas dmens~oes apresentava transc~ao de fase em temperatura n~ao nula.[6] Ele demonstrou que a ordem de longo alcance presente em T = 0, sto e, o ordenamento de todos os spns, perssta mesmo aumentando-se a temperatura levemente apenas a partr de uma dada temperatura nta, denomnada de crtca, e que esse ordenamento desaparecera. Isso certamente crou eufora em torno do modelo, que agora dava esperancas de descrever uma transc~ao de fase magnetca. O argumento de Peerls e faclmente elaborado em uma dmens~ao e resulta em temperatura crtca T c = 0: partndo de uma cadea de spns alnhados, Fg.1(a), vramos todos os spns a partr de um certo sto, como na Fg.1(b). A energa ncal era E = ;NJ que passou a ser E f = ;(N ; 1)J + J. Assm, E = E f ; E =2J e maor que zero e portanto em T = 0 o sstema prefere car todo alnhado. Essa quebra pode se dar em qualquer uma das N lgac~oes entre os spns. Ent~ao, teremos N congurac~oes para Fgura 1. (a) Cadea lnear de spns S = 1 ordenados. Cada spn nterage com seus dos vznhos atraves de um termo de troca J. (b) O custo energetco para vrar parte da cadea como lustrado e 2J, que corresponde a energa para quebrar uma lgac~ao ""e formar uma lgac~ao "#. O argumento de Peerls n~ao determna qual e a temperatura crtca, mas apenas arma que ela exste e e n~ao nula em duas dmens~oes. Em face das dculdades matematcas envolvdas os prmeros metodos a procurarem pela soluc~ao do modelo de Isng consstam em se expandr a func~ao de partc~ao em seres de pot^encas de J=k B T J para temperaturas altas ou em pot^encas de exp(;j) para temperaturas baxas.[7] Apenas em 1941 com Kramers e Wanner [8] e que se determnou o valor exato da temperatura crtca para uma rede quadrada. Eles mostraram que a func~ao de partc~ao numa temperatura T relacona-se com a func~ao de partc~ao numa temperatura T atraves da relac~ao: Z(T )cosh N 2J = Z(T )cosh N 2 J (2) sempre que T e T se relaconarem por snh 2 J snh 2J =1: (3) Assumndo que houvesse apenas um ponto sngular na func~ao de partc~ao, o que fo provado apenas em 1952 por Yang e Lee,[5] ela tem que ocorrer para T c = T c. Assm, T c vale snh c J =1! k B T c =J 2: : (4) Express~oes exatas para a func~ao de partc~ao, energa meda, magnetzac~ao e calor especco foram obtdas em 1944 por Onsager.[9] Embora expressas em

3 348 Revsta Braslera de Ensno de Fsca, vol. 22, no. 3, Setembro, 2000 termos de ntegras eltcas de prmera ou segunda especes, essas express~oes s~ao relatvamente smples. Elas s~ao encontradas, por exemplo, na refer^enca [10]. Nas proxmas sess~oes vamos mostrar resultados obtdos por tecncas alternatvas e compara-los com os resultados exatos obtdos por Onsager. Esse, alas, e o maor merto do modelo de Isng, ou seja, ter soluc~ao exata. Isso permte comparac~oes com resultados obtdos de outras abordagens mas geras, mutas vezes aproxmadas, mas que podem ser aplcadas em modelos mas realstas. III Campo medo A crescente sostcac~ao dos modelos descrevendo magnetsmo tem aumentado consderavelmente as dculdades matematcas em suas abordagens. A tecnca de campo medo (TCM), de longe a mas smples de todas, permte que se faca um estudo prelmnar do modelo, que pode servr de base para mplementac~oes mas so- stcadas. O fato do modelo de Isng ter soluc~ao exata consttu oportunndade, um tanto rara, de se vercar ovalor da TCM. Exstem varos camnhos alternatvos para se mplementar a TCM. Em todos, a dea e que cada spn da rede esta na presenca de um campo magnetco efetvo produzdo por todos os demas spns. Esse campo e proporconal a magnetzac~ao meda do sstema e como consequ^enca, apenas parte da utuac~ao de cada spn em torno de seu valor medo e consderada. Vamos partr dessa dea e mplementar a TCM de manera a enfatzar que estamos consderando apenas as utuac~oes em prmera ordem. Prmeramente, tomemos a vers~ao em duas dmens~oes da Hamltonana dada pela Eq. 1: H = ;J S S j (5) < j> onde e j s~ao stos vznhos numa rede quadrada de N stos ao todo. Substtundo cada spn S por seu valor medo S mas sua utuac~ao S = S ; S, sto e, fazendo S = S +S (6) ate prmera ordem em S a Hamltonana ca H = ;J ( S Sj + S S j + Sj S ) (7) < j> que substtundo S de volta resulta em H = ;J (; S Sj + S S j + Sj S ) : (8) < j> Essa Hamltonana e bem mas smples que a ncal, uma vez que n~ao contem operadores quadratcos e uma Hamltonana de um corpo. Invaranca translaconal mplca que S = S j S e portanto H = ; 1 N 2 2J4 S S JN S 2 : (9) O fator 4 em ambos os termos da dreta vem da soma sobre os quatro stos vznhos ao spn S, enquanto o fator 1/2 compensa a dupla contagem de cada lgac~ao S com S j. Agora e smples dagonalzar H. As energas dependem da congurac~ao fsg dos spns em toda a rede (na verdade so dependem de quantos spns +1 ou -1 exstem) e podem ser expressas por E fsg = ;4J S N S +2JN S 2 : (10) A func~ao de partc~ao pode ent~ao ser determnada: Z = fsg e ;E fsg = e ;2JN S 2 = e ;2JN S 2 N Y Como S = 1, S =1 S 1 S 2 ::: S N e 4J S P S e 4J SS : (11) Z = e ;2JN S 2 2 N cosh N 4J S: (12) Da func~ao de partc~ao podemos obter outras func~oes termodn^amcas. A magnetzac~ao por spn e em undades de g B e denda por S = 1 N = 1 NZ N S = 1 Z fsg( fsg 1 N S )e 4J S( N P S e ;E fsg S);2JN S 2 : (13) Chamando 4J S temporaramente de podemos reescrever essa equac~ao convenentemente como S = 1 NZ d d Z = 1 N d ln Z (14) d que substtundo Z dado pela Eq.12 resulta em S = tanh(4j S) : (15) Esse resultado fo obtdo por Wess em 1907 por um procedmento equvalente ao apresentado e que enfatzou a preseca do campo medo atuando sobre cada spn. A Fg. 2 mostra os lados esquerdo e dreto da equac~ao acma em func~ao da varavel S.Para uma certa temperatura T c a func~ao do lado dreto tem nclnac~ao untara e apenas a soluc~ao trval S = 0 aparece. Para T < T c ha uma soluc~ao n~ao nula e pode se mostrar que ela mnmza a energa lvre F = ;k B T ln Z. E, portanto, estavel e corresponde a magnetzac~ao S do

4 Valter L. Lbero 349 sstema. Para T>T c nenhuma soluc~ao n~ao nula aparece. A temperatura T c e denomnada de crtca e e, portanto, obtda da condc~ao de nclnac~ao untara: 4 c J =1! k B T c =J =4: (16) A soluc~ao exata e k B T c 2:2692J, portanto, o campo medo superestma T c em pouco mas de 50 %. Esse procedmento de TCM quando elaborado para uma rede com numero de coordenac~ao q (numero de prmeros vznhos de um sto qualquer) fornece k B T c =J = q, ndependente da dmens~ao da rede. Da a esperanca de Isng de obter uma transc~ao de fase em seu modelo undmensonal (TCM prev^e k B T c =J = 2 neste caso). Fgura 2. Metodo graco para soluc~ao da Eq. 15. A soluc~ao de equlbro S numa dada temperatura T e encontrada pela ntersec~ao da reta y = S, lnha pontlhada, com a func~ao y = tanh(4j S). Para T Tc, lnhas tracejadas, a unca ntersec~ao e para S =0. Para T<T c, lnha contnua, alem de S = 0 temos uma soluc~ao n~ao nula estavel. calor especco tambem ser gual a zero. Nessa aproxmac~ao, a entropa permanece em k B ln 2 N para qualquer T T c. Flutuac~oes da magnetzac~ao presentes mesmo em T>T c s~ao gnoradas pela TCM, e sso leva a esse cenaro. Essas utuac~oes exstem devdo a ordem de curto alcance entre os spns apenas a ordem de longo alcance e nula. Exstem varos esquemas alternatvos que levam em conta utuac~oes da magnetzac~ao em ordem mas alta. Salentamos apenas o esquema de Bethe[11] de 1935, que consste em tratar de forma exata a nterac~ao de um spn central, dgamos S 0, com os seus vznhos S j, enquantoanterac~ao destes ultmos com os demas spns da rede e feta de forma analoga a anteror, sto e, atraves de um campo medo. Esse campo e determnado pela condc~ao de consst^enca S 0 = S j. Uma melhora consderavel e obtda por esse esquema. Em partcular, a energa meda e o calor especco n~ao se anulam para T>T c eparat>>t c ou T<<T c s~ao assntotcamente corretos. O valor de T c tambem e bem mas proxmo do exato: k B T c =J =2= ln(q=(q;2)) gual a para uma rede quadrada, contra 4 do campo medo. Em uma dmens~ao o valor de q e 2 e o esquema de Bethe prev^e corretamente T c =0. Para redes com numero de coordenac~ao muto grande tanto TCM como Bethe prev^eem a mesma temperatura crtca. A Eq. 15 pode ser resolvda numercamente para cada temperatura, e as soluc~oes substtudas na Eq. 17 ou na Eq. 18. Nas Fg. 3, 4 e 5 s~ao comparados a magnetzac~ao, a energa meda e o calor especco, em func~ao da temperatura, com as respectvas soluc~oes exatas. Essas guras mostram tambem as soluc~oes aprmoradas de Bethe. A energa meda E pode tambem ser faclmente calculada: E = 1 Z fsg E e ;E fsg = ; d d ln Z = ;2JN S 2 (17) onde usamos a Eq. 12 para Z e a Eq. 15 para S. Determnaremos apenas mas uma func~ao termodn^amca, o calor especco C: C = d E dt = ;4NJ S d S dt = 16Nk B (J) 2 S 2 1 cosh 2 (4JS) ; 4J : (18) Tanto a energa meda como o calor especco dependem dretamente da magnetzac~ao S.Para T>T c temos que S = 0, o que e correto, mas leva E e C tambem a zero, o que e ncorreto. Na TCM os spns sentem uns aos outros somente atraves do campo medo que e proporconal a magnetzac~ao. Acma de T c sendo S = 0, os spns est~ao absolutamente lvres, da a energa total ser constante e gual a zero e consequentemente o Fgura 3. Magnetzac~ao meda por spn e em undades g B obtda pela aproxmac~ao de campo medo (), Eq. 15, comparada com o resultado exato de Onsager (lnha contnua). Tambem e mostrada uma soluc~ao de campo medo melhorada (?), devdo a Bethe. Os crculos vazos () foram obtdos da smulac~ao Monte Carlo para uma rede quadrada contendo 1600 stos.

5 350 Revsta Braslera de Ensno de Fsca, vol. 22, no. 3, Setembro, 2000 Como se v^e dessas guras, campo medo fornece bons resultados onde as utuac~oes s~ao pouco mportantes. Isso acontece longe da temperatura crtca. Veja que proxmo de T = 0 como o sstema esta pratcamente ordenado n~ao deve haver grandes utuac~ao dos spns e a soluc~ao de campo medo e boa.para T>T c mesmo n~ao tendo magnetzac~ao, ou seja, n~ao tendo ordem de longo alcance, fo mportante consderar utuac~oes dos spns o despreso delas levou a E =0eC = 0 na TCM ja no esquema de Bethe, que leva utuac~oes mas em conta, sso n~ao ocorre. Pode-se mostrar que a TCM torna-se mas precsa a medda que o numero de coordenac~ao da rede aumenta. No lmte de coordenac~ao nnta, ou de dmens~ao da rede nnta, a TCM e exata. Por exemplo, denotando a temperatura crtca de campo medo por Tc cm ede T c a exata, temos que, para S = 1, numa rede quadrada Tc cm =T c vale 1.76 enquanto para uma rede cubca smples vale 1.33 e para uma rede cubca de face centrada vale Enquanto outras tecncas, como a de Monte Carlo descrta abaxo, tornam-se cada vez mas computaconalmente onerosas a medda que a dmens~ao do sstema aumenta, a TCM torna-se cada vez melhor. Alada ao fato dela prever de forma qualtatvamente correta o dagrama de fases em tr^es ou mas dmens~oes, ela se coloca como uma alternatva na abordagem de mutos problemas e como unca fonte de nformac~ao em mutos casos. Sendo assm, n~ao e raro encontrarse na lteratura trabalhos baseados exclusvamente na TCM.[12] IV Monte Carlo Apesar do avanco de dversas tecncas analtcas hoje dsponves, com o progresso alcancado pelos computadores o calculo numerco passou a ser uma ferramenta mportante, com profundo mpacto no desenvolvmento das c^encas em geral. Hoje e comum consderar-se que a Fsca se dvde em expermental, teorca e computaconal. Para enfatzar aqu a mport^anca de calculos numercos, basta dzer que anda n~ao sabemos a soluc~ao analtca exata do modelo de Isng em tr^es dmens~oes, mas de smulac~oes numercas sabemos todas as suas caracterstcas. Soma-se tambem o fato de em smulac~oes podermos alterar par^ametros fscos de forma convenente, que dclmente conseguramos expermentalmente (por, exemplo, par^ametros de rede, valores de potencas at^omcos, etc). Fgura 5. Calor especco obtdo pela TCM () comparado com o resultado exato de Onsager (lnha contnua) e com resultados de Monte Carlo (). A aproxmac~ao de Bethe (?) melhora bastante os resultados, e em partcular o calor especco acma de T c n~ao se anula. Apresenta, no entanto, uma descontnudade em T c, sendo que a soluc~ao exata mostra uma dverg^enca logartmca. Fgura 4. Energa meda por spn e em undades de J obtda pela TCM (). A soluc~ao de Bethe tambem e mostrada (?), que dferentemente da TCM n~ao se anula para T > T c = 2:885 e converge para o resultado exato para k BT=J > 5. Os resultados de Monte Carlo () concdem com a soluc~ao exata de Onsager (lnha contnua). Para T! 0 todos os spns est~ao alnhados de manera que E e gual ao numero de lgac~oes na rede, 2N, vezes ;J e, portanto, E=(NJ)=;2. Para T!1todas as correlac~oes entre os spns devem se anular e portanto eles se comportar~ao como lvres, resultando em E =0. Dentre as tecncas numercas, a de Monte Carlo tem destaque em todas as areas da Fsca. Suas aplcac~oes v~ao desde mec^anca estatstca, como exemplcado abaxo, a fsca de partculas elementares. Omarco hstorco no desenvolvmento dessa tecnca e o trabalho de Metropols e colaboradores em 1953.[13] Fare uma ntroduc~ao as deas prncpas do algortmo de Metropols. N~ao tenho a ntens~ao de justcar todos os procedmentos, mas de utlzar a tecnca para obter resultados para o modelo de Isng. Uma breve justcatva pode ser encontrada na Ref. [14], enquanto um estudo mas detalhado e apresentado na Ref. [15]. Resultados

6 Valter L. Lbero 351 para o modelo Isng s~ao exaustvamente mostrados na Ref. [16]. Como cou explcto na sess~ao anteror, o calculo de valores medos e comum em mec^anca estatstca. Para uma quantdade Q qualquer (por exemplo, magnetzac~ao ou energa) o seu valor medo e dendo por Q = P M Q(c )e P ;E(c) M (19) e ;E(c) sendo E(c ) a energa da -esma congurac~ao c.todas as congurac~oes devem ser somadas, mas como sso e pratcamente mpossvel para um sstema com mutos graus de lberdade o melhor e nclur apenas as M con- gurac~oes mas mportantes numa dada temperatura. Suponhamos que essas congurac~oes mas mportantes sejam escolhdas com uma certa probabldade P (c ). Ent~ao, Q passa a ser dada por P M Q = Q(c )e ;E(c) =P (c ) P M e ;E(c) =P (c ) : (20) A escolha mas ntelgente para P P (c ) naturalmente e P (c )=e ;E(c) M =Z, comz = e ;E(c), o que mplca em Q = 1 M M Q(c ) (21) sto e, uma smples meda artmetca. O problema e achar um procedmento que faca essa amostragem por mport^anca das congurac~oes (em vez de gerar todas as congurac~oes). Fo o que fez Metropols. Sua dea fo construr uma sequ^enca de congurac~oes c 1 c 2 ::: c k c k+1 ::: c M em que c k+1 fosse construda a partr de c k atraves de uma probabldade de transc~ao W (c k! c k+1 ) prevamente denda. E o que se chama um processo Markovano. Para M sucentemente grande sera possvel escolher W tal que uma congurac~ao c gerada no processo Markovano tenha probabldade P (c )=e ;E(c) =Z, como desejado. Na mplementac~ao do programa de Monte Carlo comecamos com uma rede de spns S = 1 dspostos aleatoramente. Escolhemos um spn S e fazemos a mudanca S!;S. Se a dferenca de energa entre a congurac~ao apos a mudanca e antes dela, E = E(;S ) ; E(S ), for negatva acetamos essa mudanca em S. Se E>0, sorteamos um numero aleatoro r no ntervalo 0 r 1eseexp(;E) >r tambem acetamos a mudanca. So a rejetamos se exp (;E) <r. Uma vez percorrda toda a rede fazendo essas mundancas usamos a congurac~ao nal de spns para calcular a meda termodn^amca de acordo com a Eq. 21. Pode-se mostrar que esse procedmento gera um processo Markovano em que as congurac~oes atngem um equlbro termodn^amco. O letor nteressado pode consultar por exemplo as Ref. [14] e [15]. Na verdade, esse procedmento devdo a Metropols e condc~ao apenas sucente [18] exstem outros algortmos que podem gerar congurac~oes em equlbro.[19] A congurac~ao aleatora com que se nca a cadea de Markov certamente n~ao corresponde aquela de equlbro na temperatura de nteresse. Ent~ao, antes de calcular qualquer meda percorremos toda a rede mutas vezes (mlhares de vezes) acetando e rejetando congurac~oes. No nal teremos uma rede termalzada, sto e, as congurac~oes corresponder~ao ao equlbro termodn^amco naquela temperatura. So ent~ao passamos a gerar novas congurac~oes e calcular medas. Exstem vers~oes sostcadas de programas de Monte Carlo para spns em redes, que utlzam recursos modernos de computac~ao como processadores dedcados, vetorzac~ao, etc. E possvel,noentanto, encontrar vers~oes mas smples em lvros textos, como o da Ref. [17] para redes bdmensonas quadradas e o da Ref. [15] para redes trdmensonas cubcas. O letor pode tambem tentar fazer o seu propro programa, n~ao e dfcl. NasFg.3,4e5s~ao comparados resultados para magnetzac~ao, energa meda e calor especco obtdos por Monte Carlo () com os respectvos resultados exatos obtdos por Onsager (lnha contnua). Utlzouse uma rede quadrada com 1600 stos. Foram fetas varreduras sobre a rede para termalza-la e M = 2:500:000 congurac~oes para calcular as medas. Esses numeros podem ser reduzdos em func~ao da capacdade do computador. N~ao ha necessdade de numeros muto altos para se consegur resultados bons. Como se v^e por essas guras, as smulac~oes reproduzem bastante bem os resultados exatos (que valem no lmte de rede nnta). Avancos notaves nas smulac~oes de Monte Carlo a tornaram muto mas ecentes que aquelas fetas por Metropols. Em partcular, o recurso de multhstograma de Ferrenberg e Swendsen[20] reduz consderavelmente o tempo computaconal numa smulac~ao e/ou melhora a precs~ao dos resultados em grandes ntervalos de temperatura. A beleza desse metodo pode se aprecada na Ref. [21] onde as smulac~oes s~ao fetas no modelo de Isng undmensonal. V Conclus~ao O modelo de Isng e uma aproxmac~ao para sstemas reas mas complexos, mas com o grande merto de ter soluc~ao exata, da qual aprendeu-se muto sobre magnetsmo e mec^anca estatstca em geral. Aqu nos restrngmos apenas a sua aplcac~ao no ferromagnetsmo, comparando a soluc~ao exata de Onsager com smulac~oes de Monte Carlo e com a aproxmac~ao de campo medo. De Isng a Metropols certamente n~ao contempla todas as des mportantes do perodo marcado por esses nomes. Nem apresenta a evoluc~ao que delas surgram. De passagem, tencas como a da matrz de transfer^enca, ou a de grupo de renormalzac~ao, tem lugar garantdo entre

7 352 Revsta Braslera de Ensno de Fsca, vol. 22, no. 3, Setembro, 2000 as mas mportantes.[14] Concetos como unversaldade e expoentes crtcos s~ao essencas em dscuss~oes sobre magnetsmo.[14] Apesar do volume menso de nformac~oes presentes na lteratura a respeto do modelo de Isng, nem sempre ele e explorado nos cursos de mec^anca estatstca que acabam sendo excessvamente formas e perdem a chance assm de abordar um modelo nteressante. Com os modernos mcrocomputadores e com lnguagem de manpulac~ao smbolca e facl explorar as dversas aproxmac~oes dsponves para as func~oes termodn^amcas do modelo. Em resumo, o modelo Isng deve contnuar pelo novo ml^eno como um otmo laboratoro tanto no desenvolvmento de novas tecncas, como para apresentac~ao ddatca de concetos nem sempre aparentes em outros sstemas mas sostcados. Agradecmentos Ao Professor J. R. Drugowch de Felco pelas mportantes e agradaves dscuss~oes que tvemos em torno desse tema. Refer^encas [1] E. Isng, Z. Physk 31, 253 (1925). [2] P. Wess, J. Phys. Radum, Pars 6, 667 (1907). [3] W. Hesenberg Z. Physk bf 49, 619 (1928). [4] M. J. Olvera, Phys. Rev. B 48, 6141 (1993). [5] C. N. Yang e T. D. Lee, Phys. Rev. 87, 404, 410 (1959). [6] R. E. Peerls, Proc. Camb. Phl. Soc. 32, 471 (1936). [7] J. G. Krkwood, J. Chem. Phys. 6, 70 (1938). [8] H. A. Kramers e G. H. Wanner, Phys. Rev. 60, 252, 263 (1941). [9] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944). Veja tambem B. kaufmann, Phys. Rev. 76, 1232 (1949). [10] R. K. Pathra, Statstcal Mechancs, Internatonal Seres n Natural Phlosophy, Vol. 45, Pergamon Press [11] H. A. Bethe, Proc. Roy. Soc. London A 150, 552 (1935). [12] V. L. Lbero e N. A. Lma, aceto para publcac~ao no Phys. Rev. B, 61, fev/2000. Ver tambem V. L. Lbero e D. L. Cox, Physcal Rev. B 48, 3783 (1993). [13] N. Metropols, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller e E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953). [14] J. M. Yeomans, Statstcal Mechancs of Phase Transtons, Oxford Unversty Press, Oxford, Cap. 7. [15] K. Bnder e D. W. Heermann, Monte Carlo Smulaton n Statstcal Physcs, Sold-State Scences 80, Sprnger- Verlag. [16] D. P. Landau, Phys. Rev. B 13, 2997 (1976). [17] S. E. Koonn e Dawn C. Meredth, Computatonal Physcs, Addson-Wesley Publshng Company, [18] Ele garante que P (c k)w (c k! c l)+p (c l)w (c l! c k)= 0, que e denomnado balanco detalhado. [19] K. Kawasak, Phase Transtons and Crtcal Phenomena, ed. by C.Domb, M. S. Green, Vol. 2 (Academc, New York 1972) p [20] A. Ferrenberg e R. H. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 61, 2635 (1988). [21] J. R. Drugowch de Felco e Valter Luz Lbero, Am. J. Phys. 64, 1281 (1996).