Efeito do tipo de norma sobre a ordem de acurácia do erro de soluções numéricas em CFD

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1 feto do tpo de norma sobre a ordem de acuráca do erro de soluções numércas em CFD Márco A. Martns Depto. de Matemátca, nversdade stadual do Centro Oeste, ICTRO 854-8, C.., uarapuava, R; -mal: mandre@uncentro.br Carlos H. Marc, Marco A. V. nto, Lucano K. Arak, Smone F. T. onçalves Depto. de ngenara Mecânca, nversdade Federal do araná, FR, Curtba, R -mals: marc@ufpr.br; marcovllela@ufpr.br; lucarak@ufpr.br; smone.tg@ufpr.br Lucane ross, ulano. La uarda Depto. de Matemátca e statístca, nversdade stadual de onta rossa,, onta rossa, R -mals: lgbombacn@aoo.com.br; gglaguarda@aoo.com.br Resumo: este trabalo analsa-se o emprego de sete tpos de normas vetoras (baseadas nas normas l, l e l ) sobre o erro de dscretzação em Dnâmca dos Fludos Computaconal (CFD). Constatou-se que, apesar dessas normas serem equvalentes, a ordem de acuráca resultante pode ser dstnta. As deduções analítcas foram corroboradas pelos resultados numércos. Os modelos matemátcos consderados foram: equação de advecção-dfusão D, equação de osson D e equações de Burgers D. Os métodos numércos empregados foram: Dferenças Fntas (MDF) e Volumes Fntos (MVF), com apromações de dversas ordens (). Verfcou-se que o emprego das normas nvestgadas pode manter, degenerar ou aumentar. As normas que mantém o valor de são: a méda da norma l, a norma l da méda dos quadrados dos erros nodas e a norma l. alavras-cave: erro de dscretzação, norma vetoral, ordem de acuráca, equação de Burgers, equação de advecção-dfusão. Introdução a lteratura vgente é comum a utlzação de normas vetoras em procedmentos de verfcação numérca onde se estma, bascamente, o erro numérco () envolvdo e sua ordem de acuráca () [7]. A determnação de é mportante, sobretudo, nos seguntes aspectos: ) utlzação de estmadores de, como CI (rd Convergence Inde) [6] e Rcardson []; ) para confrmação de teórca do modelo numérco utlzado; e ) para a estmatva de quando o resultado teórco é desconecdo. Ao se nvestgar, para um número fo de varáves e ntervalo de dscretzação, a escola da norma a ser empregada pode acarretar dferentes resultados, e sso pode levar a nterpretações equvocadas. O objetvo deste trabalo é, então, avalar o uso de sete tpos de normas na verfcação de soluções numércas em CFD. Mas especfcamente, pretende-se mostrar que, no presente conteto (espaços vetoras reas de dmensão fnta), as normas vetoras podem revelar dferentes, e dentfcar quas são as que mantêm teórca do modelo numérco adotado. ara tanto, são abordados alguns aspectos teórcos sobre e normas vetoras, e são apresentados resultados de epermentos numércos consderando-se o emprego de malas unformes em domínos un e bdmensonas (D e D). Como trabalo futuro, pretende-se abordar também outros tpos de malas. Verfcação numérca em CFD O erro numérco () pode ser defndo como a dferença entre a solução analítca () de uma varável de nteresse e a sua solução numérca ( ), entretanto ao se consderar o emprego de um método de dscretzação em um domíno de cálculo, o erro de dscretzação pode ser consderado a prncpal fonte de [7], e com essa perspectva, segue a sua representação [, 6] 99

2 p p p p k k k k..., () em que os coefcentes k j, j =,,,,... são números reas obtdos em função da varável dependente (do problema) e de suas dervadas, mas ndependem de (espaçamento entre os pontos nodas da mala ). or defnção, as ordens verdaderas, p V, são os epoentes de na q. () e, são números reas que seguem a relação: p p p p.... O menor epoente, p, é denomnado ordem assntótca e, mutas vezes, é tratada na lteratura por ordem do erro ou ordem de acuráca e denotada por [7]. Quando, a prmera parcela da q. () é a prncpal componente de, sto é, domna o seu valor total []; admte-se então, de ordem p, para (refnamento de ), sto é, p k c. () pode ser calculada através das ordens efetva ( ) e/ou aparente ( ). ara sso, consderam-se F as soluções numércas F,, e S obtdas nas malas fna ( ), grossa ( ), e supergrossa S ( ), respectvamente, geradas com razão de refno constante r / F S / []; ( F ) e ( ) correspondem aos respectvos de F e ; log[ ( ) / ( F )] log[( S ) /( F )] ; e. () log( r) log( r) m cada ponto de, tem-se um assocado ), entretanto, busca-se normalmente quantfcar e nerente a todos os pontos nodas de. esse caso, é denomnado erro de dscretzação global ) [7]. ara ( g D com pontos nodas, ( g pode ser epresso por g c (4) em que o operador envolve todos os valores locas (nodas) (q. ()) c,,...,. ara D, são consderados: os eos cartesanos e ; (4), e o teto [4], de manera que se obtém ; ; as qs. () e c c c c ( c c ) d, d g d, (5) em que n n n n n pontos nodas de (D). sualmente corresponde a uma norma vetoral. Consdera-se então, dadas na Tabela. g com as normas orma pressão / Tabela : Defnção das normas para ma R

3 roblemas-modelo os problemas consderados adotou-se [,] (D) no caso, e [,] [,] (D) nos casos e (Tabela ). Caso quações Solução analítca () Advecção dfusão () osson dt d T e ; T ( ) ; T ( ). d d T T e e e T ( ). e 4 4 T (, ) T(, ), T(, ) ( )( ), S ; T (,) T (,). S proposto em [5]. () u ( uv) p u u Burgers, Re ( uv) v p v v S; Re u(,) u(, ) u(, ) v(,) v(, ), 4 v(, ) v(,), u(,) 6( ). u(, ) 8( Tabela : Defnção dos roblemas-modelo 4 )(4 ), v(, ) 8(4 6 )( p e S propostos em [8]. 4 ), As soluções numércas foram obtdas: no caso com MVF e e [5]; e no caso com MVF e []., e []; no caso com MDF 4 Resultados e Conclusão m todos os esquemas numércos adotados observou-se que, para o ponto nodal stuado no centro de,, ; ou seja, á confrmação de teórca de local. Sobre g, com base nas qs. (4) e (5), e na Tabela, são consderados os prómos tens. ) e : para [,], c c / c c, em que c é determnado com base no conceto de lmte superor (maor valor de aderênca), sto é, c lm sup c (D); e para [,] [,], d lm sup d (D). d d / d d ) e : para [,], c * / c * c *, com c * lm (ma c ) (D); e para, onde [,] [,], d * / d * d *, em que d * lm (ma d ) (D).

4 ) /, e : / ˆ para [,], / cˆ, ˆ / c, c, em que ĉ lm sup c (D); e para [,] [,], ˆ / d, ˆ d, dˆ lm sup d (D). d, com ˆ Os resultados numércos obtdos corroboram essas deduções analítcas, e ndcam que, e /, mantém teórca do modelo numérco adotado. Como lustração, na Tabela, consderam-se (mantém ) e (mantém ) e n n (degenera ) sobre os casos e ; e na Fgura, consderam-se (eleva ) sobre o caso com =, e. Ordem de Ordem de Caso Caso Caso Caso ,855,965,994,9978,9994,9998,9999,9999,9999,89,9564,989,997,999,9998,9999,9999,744,677,657,846,985,9655,98,996,9958,5,688,576,857,956,9595,98,99,95,,,,,,,,,986,,,,,,,,746,756,79,8498,964,969,98,99,9955,496,859,5,7596,886,9449,97,9866 Tabela : Ordens prátcas para a resolução numérca dos casos e (Tabela ), com = / Ordem (a) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) log() Fgura : Ordens prátcas de (a) Order 4,5 4,,5,,5,,5, / e (b) (b) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) log() na resolução numérca do caso Agradecmentos Os autores agradecem o apoo fnancero do Cq (Conselo aconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco), AB (Agênca spacal Braslera) através do rograma nespaço,

5 Fundação Araucára (araná) e CAS (Coordenação de Aperfeçoamento de essoal de ível Superor). O prmero autor agradece a ICTRO. O segundo autor é bolssta do Cq. Referêncas []. M. ermer, Verfcação de funções de nterpolação em advecção-dfusão D com Volumes Fntos, Dssertação de Mestrado, MC-FR, Curtba, 9. [] S. F. T. onçalves, studo de parâmetros do método multgrd geométrco para equações D e volumes fntos, Tese de doutorado, MC-FR, Curtba,. [] C. H. Marc, A. F. C. Slva, ndmensonal numercal soluton error estmaton for convergent apparent order, um. Heat Transfer, art. B, vol. 4, pp , (). [4] C. H. Marc, A. F. C. Slva, Mult-dmensonal dscretzaton error estmaton for convergent apparent order, Journal of te Brazlan Soc. of Mec. Sc. and ng., vol. 7, pp. 4-49, (5). [5] F. Olvera, feto de malas ansotrópcas bdmensonas sobre o desempeno do método multgrd geométrco, Tese de doutorado, MC-FR, Curtba,. [6]. J. Roace, Verfcaton and valdaton n computatonal scence and engneerng, Hermosa, Albuquerque, 998. [7] J. C. Ro, W. L. Oberkampf, A compreensve framework for verfcaton, valdaton, and uncertant quantfcaton n scentfc computng, Comp. Met. n Appl. Mec. ng., vol., pp. -44, (). [8] T. M. S, C. H. Tan, B. C. Hwang, ffects of grd staggerng on numercal sceme, Internatonal Journal for umercal Metods n Fluds, vol. 9, pp. 9-, (989).