UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenharia. 3º ano

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1 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenhara ransmssão de calor 3º ano

2 4. ransmssão de Calor em Regme ransente Introdução Sstemas Concentrados Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Fluxo de calor transente t em Sstemas Multdmensonas Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu

3 4. ransmssão de Calor em Regme ransente A temperatura t de um corpo, em geral, vara com o tempo, bem como com a posção. Em coordenadas retangulares, essa varação é expressa como (x,y,z, t), onde (x,y,z) ndca a varação nos exos x, y, e z, respectvamente, e t ndca a varação no tempo. Até aqu, consderou-se a condução de calor sob condções de equlíbro, para as quas a temperatura de um corpo em qualquer ponto não vara com o tempo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 3

4 4. ransmssão de Calor em Regme ransente A consderação de condções de equlbro certamente smplfcou a análse, especalmente porque a temperatura varou numa únca dreção e conseguu-se obter soluções analítcas. Agora va-se consderar a varação da temperatura com o tempo, bem como com a posção em sstemas un e multdmensonas. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 4

5 4. Introdução L x Consdere-se se a placa nfnta de espessura L. Incalmente a placa está a temperatura e no tempo zero as superfíces são subtamente resfradas até a p temperatura = Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 5

6 4. Introdução Para analsar a transmssão de calor pode-se resolver a equação geral pelo método de separação de varáves = x α τ (4.) Introduzndo: θ Obtém-se: θ θ = x α τ (4.) Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 6

7 4. Introdução Com a condção ncal e as condções de contorno: a) θ = θ = para τ = 0, 0 x b ) θ = 0 c) θ = 0 em x = 0, em x = L, τ > 0 τ > 0 L (4.3) Admtndo para a solução um produto θ(x,τ) obtém-se: d X + λ X dx dℵ + λ ℵ = dττ = 0 (4.4) 0 Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 7

8 4. Introdução A solução geral ltem a forma: θ λ α t ( C λx C sn λx ) e = + (4.5) cos + Da condção de contorno b) C =0 para τ >0 0, como C não pode ser gual a zero, concluí-se que Lh = 0, ou: nπ λ = n =,,3K (4.6) L Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 8

9 4. Introdução A forma fnal lda equação é: θ [ nπ L] αt nπx = C e sn (4.7) n= n L Et Esta equação poder ser reconhecda como a expansão da sére é de senos e da condção de contorno determna-se C n C n L nπx 4 = θ sn dx = θ n =,,3K (4.8) L 0 L nπ Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 9

10 4. Introdução A solução fnal fca: θ = 4 = θ π n = n e [ nπ L] αt sn nπx L n =,,3K (4.9) Esta equação, mas tarde, será apresentada na forma gráfca para facltar os cálculos l Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 0

11 4. Sstemas Concentrados Na análse de transferênca de calor, alguns corpos comportam-se como um "caroço", " cuja temperatura t nteror permanece unforme em todos os momentos do processo de transferênca de calor. A temperatura desses corpos pode ser consderada como função só do tempo, t (). A análse de transferênca de calor que utlza essa dealzação é conhecda como análse de sstemas concentrados, o que proporcona p grande smplfcação de certo tpo de problemas de transferênca de calor sem por em causa a sua precsão. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu

12 4. Sstemas Concentrados Consdere-se um corpo de forma arbtrára de massa m, volume V, área de superfíce A s, massa específca ρ e calor específco C p ncalmente a uma temperatura unforme. No tempo t=0, o corpo é colocado num meo à temperatura, e ocorre transferênca de calor entre o corpo e o ambente, com a um coefcente de transferênca de calor h. Para dscussão, vamos supor que >, mas a análse é gualmente válda para o caso oposto. Assummos que a análse de sstemas concentrados é aplcável, de modo que a temperatura seja unforme no nteror do corpo em todo o tempo e altera-se com o tempo, =(t). Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu

13 4. Sstemas Concentrados O balanço dos fluxos de energa através da frontera do sstema e as alterações nternas que podem ocorrer podem ser expressas duma forma geral como: E & + E& E& = n g out E& s Frontera do sstema E n E g E s E out Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 3

14 4. Sstemas Concentrados Durante a consderação do balanço de energa as desgnações usadas para os fluxos de energa transferdos ou geradas são as seguntes: E n - é o fluxo de energa fornecda ao sstema E out - é o fluxo deenerga que sa do sstema t E g - é o fluxo de energa gerada no nteror do sstema E s - é o fluxo de energa que está sendo armazenada no sstema Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 4

15 4. Sstemas Concentrados Se não houver geração de energa nem energa sando do sstema a equação transforma-sese em: E& = E& (4.0) n s Frontera do sstema E n E s d ou (4.) ( ) has = mcp dt Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 5

16 4. Sstemas Concentrados Assumndo que Θ - e que m = ρv pode-se reescrever : dθθ has dt θ = ρvc (4.) P Separando as varáves e ntegrando para as condções ncas nas quas t=0 e (0) = tem-se: Que resulta em: ρ VC ha s P θ θ d θ θ = θ ha ln s t θ ρvcρ P t 0 dt (4.3) = (4.4) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 6

17 4. Sstemas Concentrados Aplcando a exponencal em ambas as partes da gualdade obtém-se: Ou por outra: ha s θ = e ρvc θ P t (4.5) θ = = θ e bt (4.6) Onde: b = ha s ρvcρ P s (4.7) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 7

18 4. Sstemas Concentrados b é um valor postvo, cuja dmensão é o (tempo) -. A nversa de b tem undades de tempo (normalmente s), e é chamada constante de tempo. A Equação 4.6 é representada na fgura ao lado para dferentes valores de b. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 8

19 4. Sstemas Concentrados Há duas observações que podem ser fetas a partr da fgura anteror e da relação acma:. A Equação 4.6 permte determnar a temperatura (t) de um corpo em função do tempo t, ou, alternatvamente, o tempo t necessáro para a temperatura chegar a um valor especfcado (t).. A temperatura de um corpo aproxma-se da temperatura ambente exponencalmente. A temperatura do corpo vara rapdamente no níco, mas muto lentamente depos. Um valor elevado de b ndca que o corpo va atngr a temperatura ambente num curto espaço de tempo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 9

20 4. Sstemas Concentrados Quanto maor o valor do expoente b, maor será a taxa da queda da temperatura. Note-se que b é proporconal à superfíce, mas nversamente proporconal à massa e ao calor específco do corpo, p, o que não é surpreendente,,pos demora-se mas a aquecer ou arrefecer uma massa maor, especalmente quando ela tem um elevado calor específco. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 0

21 4. Sstemas Concentrados Uma vez que a temperatura (t) no tempo t seja conhecda a partr da Equação 4.6, a taxa de transferênca de calor por convecção entre o corpo e seu ambente no tempo, pode ser determnada a partr de le do arrefecmento de Newton como: ( ) Qt () = has t (4.8) O valor total da transferênca de calor entre o corpo e o meo ambente durante o ntervalo de tempo t=0 a t é smplesmente a alteração da quantdade de energa do corpo: ( ) Qt mc t () = P (4.9) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu

22 4. Sstemas Concentrados O valor da transferênca de calor atnge o seu lmte máxmo, quando o corpo atnge a temperatura ambente Portanto, o máxmo de transferênca de calor entre o corpo e o meo ambente é: [ ] Qt mc () = P (4.0) Pode-se também, obter esta equação substtundo a relação de (t) da Equação 4.6 para o Q (t) na relação 4.9 e ntegrando a partr de t = 0até t. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu

23 4. Sstemas Concentrados A análse de sstemas concentrados certamente oferece uma grande comoddade na análse de transferênca de calor, e, naturalmente, é necessáro saber-se quando é aproprado usá-la. O prmero passo para estabelecer um crtéro para a aplcabldade da análse de sstemas concentrados é a defnção de um comprmento característco como: E o número de Bot como: L c = V A s (4.) B hl c k = (4.) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 3

24 4. Sstemas Concentrados ambém pode ser expresso como: B = h Δ kl Δ = c Convecção na superfíce do corpo Condução no nteror do corpo ou B Lc k Resstênca do corpo à condução = = h Resstênca à convecção na superfíce do corpo Quando um corpo sóldo é aquecdo pelo fludo quente (4.0) ao seu redor (como sendo uma batata cozda em um forno), o calor é prmero transferdo por convecção ao corpo e posterormente conduzdo dentro do corpo. O número de Bot é a razão entre a resstênca nterna de um corpo a condução de calor, pela sua resstênca tê externa à convecção de calor. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 4

25 4.. Valdade do Método de Análse Concentrada Um pequeno número de Bot representa uma pequena resstênca à condução de calor e assm, pequenos gradentes de temperatura dentro do corpo. A análse de sstemas concentrados pressupõe uma dstrbução unforme de temperatura por todo o corpo, que será o únco caso em que a resstênca térmca do corpo à condução de calor (a resstênca de condução) é zero. Deste modo, a análse de sstemas concentrados é exacta quando B = 0 e aproxmada quando B>0. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 5

26 4.. Valdade do Método de Análse Concentrada É geralmente acete que a análse de sstemas concentrados é aplcável se: B 0 0, (4.3) Quando este crtéro é satsfeto, as temperaturas no nteror do corpo em relação ao o ambente (ou seja, - ) permanecem na faxa de 5 por cento, mesmo para geometras bem arredondadas como uma bola esférca. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 6

27 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas No subcapítulo anteror consderou-se se crcunstâncas em que a varação da temperatura dentro do corpo fo desprezível, sto é, corpos que permanecem quase sotérmcos durante um processo. Os corpos relatvamente pequenos de materas altamente condutvos aproxmam-se deste comportamento. Em geral, porém, a temperatura dentro de um corpo vara de ponto para ponto, bem como com o tempo. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 7

28 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas Consdere-se uma parede plana de espessura L, um clndro longo de rao r o, e uma esfera de rao r o, ncalmente a uma temperatura unforme, como apresentado na fgura. No tempo t = 0, cada geometra é colocada num meo de grandes dmensões que está a uma temperatura constante e mantda nesse meo durante t > 0. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 8

29 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 9

30 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas A varação do perfl de temperatura ao longo do tempo na parede plana encontra-se lustrada na fgura. Quando a parede é exposta ao meo envolvente, < em t=0, toda a parede encontra-se a sua temperatura ncal. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 30

31 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas A formulação de problemas para a determnação da dstrbução de temperatura undmensonal transente (x, t) em uma parede resulta numa equação dferencal parcal, que pode ser resolvda usando técncas de matemátca avançada. A solução, no entanto, mplca normalmente séres nfntas, que são complexas de se resolver. Portanto, são claras as motvações para apresentar a solução em forma de tabelas ou gráfcos. No entanto, a solução envolve os parâmetros x, L, t, k, h,, e, que são mutos para se fazer qualquer apresentação gráfca dos resultados prátcos. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 3

32 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas A fm de reduzr o número de parâmetros, admensonalza-seo problema através da defnção das seguntes grandezas admensonas: emperatura admensonal θ ( xt, ) = ( x, t ) (4.4) Dstânca do centro admensonal X = x L (4.5) Coefcente de transferênca de calor admensonal B = hl k (4.6) empo admensonal αt τ = L (4.7) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 3

33 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas O número de Fourer no tempo t pode ser vsto como a razão entre a taxa de calor conduzdo e a taxa de calor armazenado nesse nstante. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 33

34 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas É de notar que o expoente da Equação 4.6 pode ser expresso em termos dos Módulos de Bot e de Fourer se a relação (V/A) for consderada como dmensão característca, assm: ha h hl k t t t B Fo ρvc = ρlc = k ρc L = (4.8) P P P Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 34

35 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas O problema de condução de calor transente undmensonal já descrto. pode ser resolvdo com exatdão para qualquer das três geometras, mas a solução envolve séres nfntas que são de dfícl solução. Os termos nas soluções convergem rapdamente com o aumento do tempo e para t>0,, mantendo o prmero termo e neglgencando os restantes da sére, resulta um erro nferor a %. Geralmente o nteresse está em soluções para tempos t > 0,, assm é convenente expressar a solução que usa este únco termo como: Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 35

36 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas Para uma parede Plana: (, ) x t λτ θ( xt, ) = = Ae cos ( λx L), τ>0, Parede Para um Clndro (, ) r t λτ θ( xt, ) = = Ae Jo( λr ro), τ>0, Clndro Para uma Esfera θ (4.9) (4.30) ( r, t) sen( λ ) r r ( xt ) = = Ae λτ o,, τ>0, Esfera λ r r (4.3) Onde as constantes A e λ são funções só de Bot e os seus valores constam da abela 4. o Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 36

37 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas A função J (o) é a função de Bessel de ordem zero do prmero tpo e os seus valores podem ser determnados da tabela 4.. É de notar que o cos(0) =J 0 (0)= e o lmte de sen(x)/x também é. Estas relações smplfcam as anterores, dando orgem às seguntes, para o caso do centro da parede plana, clndro ou esfera: Para o centro de uma parede Plana: θ = = A e 0 0, Parede λ τ (4.3) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 37

38 4.3 Condução de Calor em regme rasente com Efetos Espacas Para o centro de um Clndro: θ 0 = = (4.33) λ τ 0, Clndro Ae Para o centro de uma esfera: θ = = A e 0 0, Esfera λ τ (4.34) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 38

39 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas Basta conhecer o número de Bot, as relações acma podem ser usadas para determnar a temperatura de qualquer ponto do corpo. A temperatura do corpo vara desde a temperatura ncal até a temperatura do meo que é o fm do processo de condução em regme transente. Da, a quantdade máxma de calor que o corpo pode ganhar ou perder, (no caso de > ) é a smples varação da energa que o corpo tnha, e é dada por: ( ) ρ ( ) Q mc Vc = = (4.35) max p p Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 39

40 abela 4. Coefcentes usados na solução aproxmada para o Regme ransente Undmensonal (I) Parede Plana Clndro Esfera B λ A λ A λ A 0,0 0,0998,007 0,4,005 0,730,0030 0,0 0,40,0033 0,995,0050 0,445,0060 0,04 0,987,0066 0,84,0099 0,3450,00 0,06 0,45,0098 0,3438,048 0,47,079 0,0808 0,79,030 0,3960,097 0,4860,039 0, 0,3,06 0,447,046 0,543,098 0, 0,438,03 0,670,0483 0,7593,059 0,3 0,58,0450 0,7465,07 0,908,0880 0,4 0,593,0580 0,856,093,058,64 0,5 0,6533,070 0,9408,43,656,44 0,6 0,705,084,084,345,644,73 0,7 0,750606,098 08,0873,539 3,355 9,978 0,8 0,790,06,490,74,430,36 0,9 0,874,07,048,90,5044,488,0 0,8603,99,558,07,5708,73 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 40

41 abela 4. Coefcentes usados na solução aproxmada para o Regme ransente Undmensonal (II) Parede Plana Clndro Esfera B λ A λ A λ A,0,0769,785,5995,3384,088,4793 3,0,95,0,7887,49,889,67 4,0,646,87,908,4698,4556,70 5,0,338,403,9898,509,5704,7870 6,0,3496,479,0490,553,6537,8338 7,0,3766,53,0937,54,765,8673 8,0,3978,570,86,556,7654,890 9,0,449,598,566,56,8044,906 0,0,489,60,795,5677,8363,949 0,0,496,699,880,599,9857,978 30,0,50,77,36,5973 3,037, ,0,535,73,3455,5993 3,063,994 50,0,5400,77,357,600 3,0788,996 00,0,555,73,3809,605 3,0,9990,5708,73,4048,60 3,46,0000 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 4

42 abela 4. Funções de Bessel de ordem zero e de prmera ordem do prmero tpo ξ J o (ξ) J (ξ) 0,0,0000 0,0000 0, 0,9975 0,0499 0, 0,9900 0,0995 0,3 0,9776 0,483 0,4 0,9604 0,960 0,5 0,9385 0,43 0,6 0,90 0, ,7 0,88 0,390 0,8 0,8463 0,3688 0,9 0,8075 0,4059,0 0,765 0,4400, 0,796 0,4709, 0,67 0,4983,3 0,60 0,50,4 0,5669 0,549 ξ J o (ξ) J (ξ),5 0,58 0,5579,6 0,4554 0,5699,7 0,3980 0,5778,8 0,3400 0,585,9 0,88 0,58,0 0,39 0,5767, 0,666 0,5683, 0,04 0,5560,3 0,0555 0,5399,4 0,005 0,50 6,6-0, ,4708,8-0,850-0,4097 3,0-0,60-0, , -0,30-0,63 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 4

43 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas Os gráfcos de temperatura transente nas três fguras seguntes, para uma grande parede plana, um clndro longo e uma esfera foram prmeramente apresentados pelo MP Hesler em 947 e são chamados de cartas de Hesler. Eles foram completados em 96 como gráfcos de transferênca de calor em regme transente por H. Gröber. Há três gráfcos assocados a cada geometra: o prmero gráfco serve para determnar a temperatura no centro da geometra num dado tempo t. O segundo para determnar a temperatura em outros locas ao mesmo tempo, em termos de o e o tercero gráfco serve para determnar a quantdade total de calor transferdo até ao tempo t. Estas cartas são váldas para τ>0,. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 43

44 Carta para placa plana nfnta Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 44

45 Carta para clndro longo Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 45

46 Carta para esfera Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 46

47 4.3 Condução de Calor em regme ransente com Efetos Espacas As fracções do calor transferdo podem também ser determnadas das relações baseadas nas equações já dscutdas: Para uma parede Plana: Para um Clndro Para uma Esfera Q Q Senλ λ = θ0, parede max parede Q Q clndro = ( λ ) θ0, clndro max λ clndro Q Senλ λ cos λ = Q θ0, esfera 3 max λ esfera J (4.36) (4.37) (4.38) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 47

48 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Um sóldo sem-nfnto é um corpo dealzado que tem uma superfíce plana e únca e estende-se até ao nfnto em todas as drecções. Esse corpo dealzado é usado para ndcar que a alteração da temperatura na parte do corpo em que estamos nteressados (regão próxma à superfíce) ocorre devdo a condções térmcas em uma únca superfíce. A terra,,p por exemplo,,p pode ser consderada um meo sem-nfnto em determnar a varação ação da temperatura a próxmo àsupe superfíce. ce Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 48

49 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Esquema de um corpo sem- nfnto Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 49

50 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Consdere-sese um sóldo sem-fnto mantdo a temperatura. A temperatura da superfíce é subtamente baxada e mantda a temperatura 0. Pretende-se encontrar uma expressão para a dstrbução das temperaturas em função do tempo = α τ (4.39) x As condções ncas e de contorno são: ( x,0) = (4.40) ( 0, τ ) = 0 paraττ > 0 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 50

51 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Varação da temperatura com a posção e o tempo num sóldo semnfnto ncalmente a submetdo à convecção num ambente a, com um coefcente de transferênca de calor por convecção de h. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 5

52 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto A solução exata do problema com recurso às ransformadas de Laplace é expressa como: (, ) x τ x hx h αt x h αt = erf exp erfc + ατ k k αt k (4.4) Onde a função erf(ξ) erro de Gauss é defnda como: erf ( ξ ) = e d ξ η η 0 π (4.4) 4) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 5

53 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Apesar de sua aparênca smples, a ntegral lda equação anteror não pode ser realzada analtcamente. Portanto, é avalada numercamente para dferentes valores, e os resultados estão lstados na abela 4.3. Para o caso especal de h, a temperatura da superfíce s torna-se gual à temperatura do fludo, e a Equação reduz-se a: ( ) x, τ x = erf (4.43) 43) ατ s Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 53

54 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto O fluxo de calor transmtdo para ou do ambente pode-se calcular da Le de Fourer 0 Q o = ka x x=0 x Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 54

55 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Ofl fluxo de calor numa posção x éd dado d por: Q x ka x = (4.44) Efectuando a dervação da equação 4.44 obtém-se: x x = ( 0 ) e = e x π x ατ πατ 4ατ 0 x 4ατ (4.45) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 55

56 4.4 Fluxo de calor transente num sóldo sem-fnto Na superfíce o fluxo de calor é: Q = ( ) ka o πατ 0 (4.46) O calor na superfíce é avalado do gradente de temperaturas em x = 0 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 56

57 abela 4.3 Erro da Função ξ erfc(ξ) ξ erfc(ξ) ξ erfc(ξ) ξ erfc(ξ) ξ erfc(ξ) ξ erfc(ξ) 0,00, ,38 0,5900 0,76 0,850,4 0,0690,5 0,0359,90 0,007 0,0 0, ,40 0,5760 0,78 0,7000,6 0,0090,54 0,094,9 0,0066 0,04 0, ,4 0,5550 0,80 0,5790,8 0,0956,56 0,0737,94 0, ,06 0,9340 0,44 0, ,8 0,460,0 0,08969,58 0,0545,96 0, ,08 0, ,46 0,5530 0,84 0,3490, 0,08447,60 0,0365,98 0,005 0,0 0, ,48 0, ,86 0,390,4 0,07950,6 0,096,00 0, , 0,8650 0,50 0, ,88 0,330,6 0,07476,64 0,0038,0 0,0098 0,4 0,8430 0,5 0,460 0,90 0,030,8 0,0707,66 0,0890,0 0,0086 0,6 0,800 0,54 0,4450 0,9 0,930,30 0,06599,68 0,075,30 0, ,8 0, ,56 0, ,94 0,8370 3,3 0, ,70 0, ,40 0, ,0 0, ,58 0,40 0,96 0,7460,34 0,05809,7 0,0500,50 0,0004 0, 0, ,60 0,3960 0,98 0,6580,36 0,05444,74 0,0387,60 0,0004 0,4 0, ,6 0,38060,00 0,5730,38 0,05098,76 0,08,70 0, ,6 0, ,64 0, ,0 0,490 40,40 0, , ,083 80,80 0, ,8 0,690 0,66 0,35060,04 0,430,4 0,0446,80 0,009,90 0, ,30 0,6740 0,68 0,3360,06 0,3390,44 0,0470,8 0,0006 3,00 0,0000 0,3 0, ,70 0,30,08 0,670,46 0,03895,84 0,0096 3,0 0,0000 0,34 0, ,7 0,30860,0 0,980,48 0,03635,86 0, ,40 0, ,36 0,6070 0,74 0,9530, 0,30,50 0,03390,88 0, ,60 0,00000 Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 57

58 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas ld As cartas de Hesler podem ser utlzadas para obter a dstrbução de temperaturas numa placa nfnta de espessura L, num clndro longo, ou numa esfera. Quando consdera-se uma parede cujas dmensões de altura e profunddade não são tão grandes, quando comparadas com a espessura, ou um clndro cujo comprmento não e muto grande quando comparado com o seu dâmetro, são necessáras coordenadas espacas adconas para especfcar a temperatura. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 58

59 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas ld É possível combnar soluções para sstemas undmensonas de uma manera drecta para obtenção de soluções para sstemas multdmensonas. A barra nfnta rectangular pode ser formada por duas placas nfntas de espessura L e L. A equação dferencal para esta stuação é: + = x y α τ Para se obter uma solução pelo método de separação de varáves deve se fazer: ( x z τ ) = X ( x ) Z ( z ) Θ ( τ ), (4.47), (4.48) 48) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 59

60 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas Barra rectangular nfnta y x L L z Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 60

61 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas Em seguda mostra-se que a dstrbução de temperaturas g q ç p admensonal, pode ser expressa pelo produto da solução dos problemas das placas de espessura L el : (4 49) placa L placa L barra = (4.49) Onde e a temperatura ncal e a temperatura ambente Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 6

62 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas Para duas barras ft nfntas as equações dferencassão: x =, = α τ z α τ (4.50) e as soluções produtos admtdas: ( x τ ) (,τ ) =, z = (4.5) Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 6

63 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas A solução produto obtém-se de um smples produto das funções ( ) ( ) ( ) τ τ τ z x z x = (4.5) (, ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ,,,, z x z x = As dervadas apropradas para a Equação 5.56 são obtdas da (5.60), = = ( ) z z x x (4.53) τ τ τ + = Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 63 τ τ τ

64 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas Usando a Equação 4 53 obtém-se: (4.54) + = α α Usando a Equação 4.53 obtém se: ( ) x z + = α α τ (4 55) Substtundo as equações em (4.47) obtém-se: + = + z x z x α α α (4.55) Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 64

65 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas A solução produto admtda d na Equação 4.55 realmente satsfaz a Equação dferencal orgnal 4.47 Da mesma forma a solução de um bloco trdmensonal pode ser dada pelo produto de três soluções para placas de espessuras dos três lados dos blocos Prof. Dr. Engº Jorge Nhambu 65

66 4.5 Fluxo de calor transente em Sstemas Multdmensonas Um pequeno clndro de rao r o e altura a é a ntersecção de um clndro longo de rao r o e uma parede plana de espessura a. Se as propredades forem assumdas constantes, pode ser demonstrado que a solução deste problema bdmensonal pode ser expressa como: ( ) rxt,, ( xt, ) ( rt, ) = clndro parede clndro curto plana nf nto (4.56) Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 66

67 Soluções multdmensonas, expressas como produto de soluções undmensonas para corpos que estão ncalmente a uma temperatura unforme e são expostas à convecção em todas as superfíces num meo a Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 67

68 Soluções multdmensonas, expressas como produto de soluções undmensonas para corpos que estão ncalmente a uma temperatura unforme e são expostas à convecção em todas as superfíces num meo a Prof. Doutor Engº Jorge Nhambu 68