UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL PEDRO SANDERSON ASTOS ARROS AORDAGEM ISOGEOMÉTRICA PARA O ESTUDO DA ESTAILIDADE DE COMPÓSITOS LAMINADOS CONSIDERANDO FALHA PROGRESSIVA FORTALEZA 6

2 PEDRO SANDERSON ASTOS ARROS AORDAGEM ISOGEOMÉTRICA PARA O ESTUDO DA ESTAILIDADE DE COMPÓSITOS LAMINADOS CONSIDERANDO FALHA PROGRESSIVA Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenhara Cvl: Estruturas e Construção Cvl da Unversdade Federal do Ceará como requsto parcal para obtenção do grau de Mestre em Engenhara Cvl. Área de Concentração: Estruturas. Orentador: Prof. D. Sc. Evandro Parente Junor. FORTALEZA 6

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4 PEDRO SANDERSON ASTOS ARROS AORDAGEM ISOGEOMÉTRICA PARA O ESTUDO DA ESTAILIDADE DE COMPÓSITOS LAMINADOS CONSIDERANDO FALHA PROGRESSIVA Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenhara Cvl: Estruturas e Construção Cvl da Unversdade Federal do Ceará como requsto parcal para obtenção do grau de Mestre em Engenhara Cvl. Área de Concentração: Estruturas. Orentador: Prof. D. Sc. Evandro Parente Junor. Aprovada em / /. ANCA EXAMINADORA Prof. D.Sc. Evandro Parente Junor (Orentador) Unversdade Federal do Ceará (UFC) Prof. D. Sc. Áurea Slva de Holanda (Membro Interno) Unversdade Federal do Ceará (UFC) Prof. D. Sc. Mauríco Vcente Donadon (Membro Eterno) Insttuto Tecnológco de Aeronáutca (ITA)

5 Uma estrela se apagou. Mutos podem dzer que o céu contnua da mesma forma mas a únca certeza que tenho é que hoje ele não está mas tão lumnado. À ta Rozlede (n memoram).

6 AGRADECIMENTOS Agradeço prmeramente a Deus por me guar pela força sabedora e pacênca conceddas a mm para a realzação deste trabalho. Aos meus pas por todos os seus ensnamentos pela calma suporte e compreensão durante todos estes anos. À mnha ta e mãe de coração Rozlede Mara arros Cabral (n memoram) pelos seus cudados por sempre me apoar e nunca me dear desanmar mesmo nos momentos mas dfíces de sua vda. Ao professor Evandro Parente Junor que é um grande eemplo de profssonal pela sua amzade orentação ncentvo e conhecmentos repassados ao longo dos anos. Espero um da poder ser um Evandro para aqueles que ncam sua jornada na engenhara. Aos professores Antôno Macáro Cartao de Melo Tereza Dense de Araújo e João atsta Marques Souza Junor pelas dversas vezes que me ajudaram durante esta etapa de mnha vda. A todas as amzades fetas no Laboratóro de Mecânca Computaconal e Vsualzação ao longo destes anos por toda a ajuda pelas brncaderas e momentos de descontração. De modo especal agradeço aos meus amgos: Elas arroso Pedro Luz Rocha Leandro Soares Edson Dantas Davd Rodrgues Erc Mateus e Danel rto. À Jos e ao Jefferson por proporconar a mm e a tantos outros um ambente de trabalho adequado pela amzade desenvolvda e momentos de descontração. À mnha namorada Gabrella Uchôa pelo amor compreensão ncentvo e companhersmo. Aos meus amgos: Marcelo Lra Julana Cavalcante Monque Mederos Samara Zada e Paulo Régs por todo apoo e companhersmo. A todos que contrbuíram de forma dreta ou ndreta neste trabalho. A CAPES pelo suporte fnancero.

7 RESUMO A flambagem tem grande mportânca no projeto de placas e cascas lamnadas já que geralmente estas estruturas são bastante esbeltas. A avalação do comportamento pós-crítco tem grande mportânca pos permte classfcar a forma de perda da establdade estrutural obter a capacdade de carga e quantfcar a sensbldade às mperfeções ncas. A maor parte dos estudos de establdade de estruturas lamnadas desprezam a falha do materal consderando que toda a perda de establdade ocorre no regme elástco. Contudo mesmo no caso de estruturas esbeltas a degradação do materal pode ocorrer de forma smultânea a problemas de establdade e grandes deslocamentos com a nteração entre estes efetos resultando em uma redução da capacdade de carga da estrutura. A Análse Isogeométrca (AIG) pode ser entendda com uma etensão do Método dos Elementos Fntos (MEF) onde a nterpolação da geometra e dos deslocamentos do domíno é realzada por meo das funções utlzadas em programas CAD (Computer Aded Desgn). Com esta abordagem é possível representar eatamente geometras compleas ndependente da dscretzação adotada elmnando um dos erros ntrínsecos ao MEF. Neste trabalho propõe-se estudar problemas de establdade de placas e cascas abatdas consderando a degradação do materal utlzando uma abordagem baseada na Análse Isogeométrca. Para sto aplca-se a Teora de Marguerre para análse de cascas abatdas com rotações moderadas. Na representação da falha do materal modelos de degradação nstantânea são utlzados. São apresentados eemplos de aplcação com foco na determnação da carga crítca de placas lamnadas e na obtenção do seu camnho pós-crítco consderando ncalmente somente a não lneardade geométrca e posterormente nclundo a falha do materal. Em seguda é apresentado um estudo de establdade de cascas abatdas. Verfcou-se que efetos de travamento são reduzdos de forma bastante sgnfcatva quando se utlza polnômos de ordem superores na AIG. Anda observa-se que a utlzação de restrções de falha da prmera lâmna em problemas de otmzação pode levar a projetos conservadores para este tpo de componentes uma vez que o níco da falha pode ocorrer a níves consderavelmente nferores à carga crítca ou da carga lmte da estrutura. Palavras-chave: Flambagem Comportamento Pós-Crítco Falha Progressva Modelo de Degradação Instantânea Análse Isogeométrca.

8 LISTA DE FIGURAS Fgura Tpos de compóstos fbrosos Fgura Compósto lamnado Fgura Esquema típco de lamnação.... Fgura 4 Varação das deformações e tensões ao longo de um lamnado usando uma teora do tpo Lâmna Equvalente Fgura 5 - Confguração ndeformada e deformada de um trecho de uma placa sob as hpóteses de Ressner-Mndln Fgura 6 - Placa lamnada e esforços nternos em um elemento nfntesmal Fgura 7 Placa sujeta a esforços no plano Fgura 8 Elemento nfntesmal deformado Fgura 9 Resstêncas de uma lâmna no sstema de eos local.... Fgura Envoltóras de falha Fgura Eemplo de bases -Splnes quadrátcas Fgura Eemplo de bases -Splnes quadrátcas com multplcdade no knot ξ.5. 4 Fgura Formas de refnamento do modelo geométrco na Análse Isogeométrca Fgura 4 Formas de refnamento do modelo geométrco na Análse Isogeométrca Fgura 5 Malha de controle e malha físca de uma superfíce Fgura 6 Trecho de uma placa com furo Fgura 7 Fenômeno snap-through no camnho de equlíbro de uma estrutura Fgura 8 Tpos de degradação utlzados em lamnados Fgura 9 Processo de falha progressva Fgura Malha condções de contorno e carregamento utlzados no FAST e no AAQUS Fgura Curvas carga versus deslocamento aal obtda pelo AAQUS Fgura Curvas carga versus deslocamento aal obtdos pelos modelos de degradação nstantânea Fgura Identfcação dos pontos onde se nca o processo de falha na placa traconada. 68 Fgura 4 Dagrama de cores obtdo no AAQUS referente ao deslocamento aal na placa Fgura 5 Evolução do dano na matrz da lâmna (θ 45º) Fgura 6 Malha condções de contorno e carregamento utlzados no AAQUS.... 7

9 Fgura 7 Modo de flambagem obtdo no AAQUS Fgura 8 Curva de convergênca da carga crítca da placa analsada Fgura 9 Curva carga-deslocamento aal obtdos no AAQUS Fgura Curva carga-deslocamento aal para dversos crtéros de falha Fgura Identfcação dos pontos de níco do processo de falha progressva na placa retangular Fgura Deformada da placa sujeta à compressão aal Fgura Regão danfcada no nstante da perda de establdade da placa Fgura 4 Efeto das mperfeções ncas na curva carga-deslocamento da placa aplcando o modelo de degradação baseado no Crtéro da Máma Tensão Fgura 5 Efeto das mperfeções ncas na curva carga-deslocamento da placa aplcando o modelo de degradação de Kurash et al. () Fgura 6 Dscretzação condções de contorno e carregamento utlzados Fgura 7 Modo de flambagem da placa com furo sujeta à compressão aal Fgura 8 Curva carga-encurtamento obtdos pelo AAQUS Fgura 9 Curva carga-encurtamento obtdos pelos modelos de degradação nstantânea... 8 Fgura 4 Identfcação dos pontos de níco do processo de falha progressva na placa retangular Fgura 4 Confguração deformada obtda pelo AAQUS Fgura 4 Regão danfcada no nstante da perda de establdade da placa para város modos de falha Fgura 4 Malha adotada e prmero modo de flambagem da estrutura analsada Fgura 44 Pontos de ntegração em uma placa quadrada com dversas ordens de nterpolação e ntegração completa Fgura 45 Pontos de Gauss em uma placa quadrada com dversas ordens de nterpolação e ntegração reduzda Fgura 46 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h Fgura 47 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h Fgura 48 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h Fgura 49 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h Fgura 5 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h Fgura 5 Curvas das relações entre a carga crítca de uma placa cross-pl antssmétrca com n lâmnas e a solução ortotrópca deal para váras razões a/h

10 Fgura 5 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl smétrco em relação à sua carga crítca para a/h Fgura 5 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl smétrco em relação à sua carga crítca para a/h Fgura 54 Curvas das relações entre a carga crítca de uma placa angle-pl smétrca com n lâmnas e a solução ortotrópca deal para váras razões a/h.... Fgura 55 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl antssmétrco em relação à sua carga crítca para a/h.... Fgura 56 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl antssmétrco em relação à sua carga crítca para a/h Fgura 57 Curvas das relações entre a carga crítca de uma placa angle-pl antssmétrca com n lâmnas e a solução ortotrópca deal para váras razões a/h.... Fgura 58 - Placa smplesmente apoada sujeta a carregamento baal.... Fgura 59 Aplcação da curvatura ncal na placa Fgura 6 - Placa sotrópca (a/h 5) smplesmente apoada sujeta a carregamento unaal (Δ -4 ) Fgura 6 - Placa (a/h ) smplesmente apoada sujeta a carregamento baal Fgura 6 Verfcação da nfluênca da consderação da não lneardade físca em placas mperfetas Fgura 6 Modelo sogeométrco de uma placa quadrada com furo central com relação d/a /5 dvdda em 8 patches.... Fgura 64 Convergênca do valor da carga crítca em função do grau do polnômo e do número de dvsões em cada patch da placa analsada.... Fgura 65 Pontos de controle de uma placa lamnada com furo central para a relação d/a /5.... Fgura 66 Curvas não lneares obtdas para as placas cross-pl em função do dâmetro do furo Fgura 67 Curvas não lneares obtdas para as placas angle-pl em função do dâmetro do furo Fgura 68 Casca abatda sujeta a carga concentrada Fgura 69 Camnho de equlíbro da casca abatda com lamnação [/9/] de Sze et al. (4)....

11 Fgura 7 Camnho de equlíbro da casca abatda sujeta à carga P com lamnação [9/] n/.... Fgura 7 Camnho de equlíbro da casca abatda sujeta à carga P com lamnação [/9] n/.... Fgura 7 Camnho de equlíbro da casca abatda sujeta à carga P com lamnação [(45/-45) n/4] s.... Fgura 7 Camnho de equlíbro da casca abatda sujeta à carga q para a lamnação [(/9) n/4] s Fgura 74 Camnho de equlíbro da casca abatda sujeta à carga q para a lamnação [(45/- 45) n/4] s Fgura 75 Camnho de equlíbro da casca abatda sujeta à carga q para a lamnação [(θ/- θ) ] s.... 5

12 LISTA DE TAELAS Tabela - Propredades mecâncas da fbra de carbono-epó T/4-C Tabela Energas de fratura assocadas fbra de carbono-epó T/4-C (J/m ) Tabela Comparação entre as cargas de ruptura da placa para dferentes crtéros Tabela 4 - Propredades mecâncas do compósto de carbono-epó T/ Tabela 5 Estudo de convergênca da carga crítca da placa analsada Tabela 6 Comparação entre as cargas de ruptura da placa para dferentes crtéros Tabela 7 Valores das cargas crítcas obtdas no AAQUS para as relações lado/espessura consderadas Tabela 8 Estudo de convergênca para as placas com relação a/h Tabela 9 Estudo de convergênca para as placas com relação a/h Tabela Estudo de convergênca para as placas com relação a/h Tabela Estudo de convergênca para as placas com relação a/h Tabela Estudo de convergênca para as placas com relação a/h Tabela Número de pontos de ntegração (NPI) usados em cada modelo Tabela 4 Valores das cargas crítcas para lamnados cross-pl smétrcos Tabela 5 Valores dos coefcentes da matrz D em lamnados cross-pl smétrcos Tabela 6 Relação entre a carga crítca da placa com n lâmnas e a solução obtda pela TCL Tabela 7 - Dados do Eemplo com undades no sstema brtânco de meddas Tabela 8 - Propredades mecâncas da fbra de carbono A-S/Epó Tabela 9 Valor da carga quando ocorre a falha da prmera lâmna e carga lmte Tabela Estudo de convergênca da malha e do polnômo de nterpolação.... Tabela Estudo da nfluênca do tamanho do furo na capacdade de carga de placas crosspl smétrcas com n lâmnas Tabela Estudo da nfluênca do tamanho do furo na capacdade de carga de placas anglepl smétrcas com n lâmnas Tabela Carga referente à FPF e cargas lmtes (Valores em Netons)....

13 ÍNDICE. INTRODUÇÃO Objetvos e Contrbuções Organzação do Teto COMPÓSITOS LAMINADOS Relações Consttutvas..... Teora de Ressner-Mndln..... Establdade de Placas Crtéros de Falha Máma Tensão e Máma Deformação Tsa-Wu Hashn SPLINES E NURS Splnes NURS Múltplos Patches ANÁLISE NÃO LINEAR Elemento de Casca Abatda Análse Isogeométrca Solução da Equação de Equlíbro Não Lnear Análse Não Lnear Físca Modelos de Degradação do Materal Avalação Numérca Valdação dos Modelos de Degradação EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Carga Crítca de uma Placa Lamnados Cross-pl Smétrcos Lamnados Cross-pl Antsmétrcos Lamnados Angle-pl Smétrcos Lamnados Angle-pl Antsmétrcos Análse Não Lnear Geométrca de Placas Isotrópcas e Lamnadas...

14 5.. Establdade de Placas Lamnadas Consderando a Falha Progressva Establdade de Placas Lamnadas com Furo Consderando a Falha do Materal 5.5. Análse Não Lnear Físca e Geométrca de Cascas Abatdas CONCLUSÃO Sugestões para Trabalhos Futuros... 8 REFERÊNCIAS ILIOGRÁFICAS... 9

15 4. INTRODUÇÃO A elevada capacdade resstente e o bao peso alados à versatldade de fabrcação tem feto crescer a aplcação de materas compóstos na engenhara. Deste modo placas e cascas lamnadas têm sdo amplamente utlzadas na fabrcação de componentes das ndústras aeronáutca automoblístca e naval. A flambagem tem grande mportânca no projeto destas estruturas já que geralmente elas são muto esbeltas de modo que a sua falha possa ocorrer com as tensões nferores à resstênca do materal. Desta forma o projeto de mutos componentes estruturas é determnado a partr de restrções de establdade juntamente com resstênca e rgdez (LIU et al. ; LOOMFIELD et al. 9). A avalação do comportamento pós-crítco tem notável mportânca pos permte classfcar a forma de perda de establdade obter a capacdade de carga e quantfcar a sensbldade às mperfeções ncas destas estruturas. Assm estem dversos trabalhos dsponíves na lteratura onde se estuda a establdade de placas e cascas lamnadas nclundo a determnação do camnho pós-crítco (RASHEED & YOUSIF 5; HOULIARA & KARAMANOS 6; LE-MANH & LEE 4). Contudo estes trabalhos geralmente desprezam a falha do materal consderando que toda a perda de establdade ocorre no regme elástco. Na prátca mesmo no caso de estruturas esbeltas os fenômenos não lneares físcos devdo à degradação ou falha do materal podem ocorrer de forma smultânea a problemas de establdade e grandes deslocamentos e a nteração entre essas não lneardades pode resultar em uma redução da capacdade de carga da estrutura em relação à resstênca calculada consderando um comportamento puramente elástco. Anda é mportante notar que o níco do processo de falha em estruturas lamnadas não mplca que ela atngu necessaramente sua capacdade de carga uma vez que as tensões resstdas pelo materal que falhou podem ser redstrbuídas para as lâmnas adjacentes. Sabe-se que o Método dos Elementos Fntos (MEF) é o método mas utlzado para a análse de estruturas sejam elas fetas de materal homogêneo e sotrópco ou compóstos lamnados. Usualmente no MEF é utlzada uma formulação soparamétrca de

16 5 modo que os polnômos que nterpolam os deslocamentos sejam os mesmos usados para descrever a geometra da estrutura. Deste modo em eceção às formas geométrcas smples modelos de elementos fntos contêm erros provenentes tanto do campo de deslocamentos quanto da apromação da geometra analsada. Ambos os erros são reduzdos mas não elmnados à medda que se refna o modelo dscretzando a malha utlzada (refnamento h) ou aumentando o grau do polnômo que nterpola os deslocamentos (refnamento p). A Análse Isogeométrca (AIG) pode ser entendda como uma etensão do Método dos Elementos Fntos que propõe utlzar na descrção da geometra e na nterpolação dos deslocamentos as mesmas funções utlzadas em programas CAD (Computer Aded Desgn) como -splnes e NURS (Non-Unform Raconal -Splnes). O uso destas funções permte representar eatamente geometras compleas ndependente da dscretzação adotada para apromar o campo de deslocamentos. Com sso um dos erros ntrínsecos do MEF é elmnado. A AIG permte a utlzação de três tpos de refnamento: refnamento p (referente ao aumento do grau dos polnômos de nterpolação dos deslocamentos no MEF) que é bastante lmtado em elementos fntos por conta da sua compledade de mplementação; o refnamento h que é equvalente ao aumento do número de elementos; e o refnamento k que corresponde à superposção dos anterores com a vantagem de aumentar a contnudade entre os elementos. A Análse Isogeométrca fo ncalmente proposta por Hughes et al. (5) e vem sendo eplorada em város trabalhos desde então (AZILEVS et al. 6a 6b; COTTRELL et al ; KAPOOR & KAPANIA ; ORDEN et al. ; ESPATH et al. 4). Város trabalhos com a fnaldade de aplcar a Análse Isogeométrca em problemas de flambagem vêm sendo publcados: Yu et al. (6) fazem um estudo da carga crítca de placas FGPs com furos sob efeto da temperatura e os autores obtêm bons resultados em relação a métodos sem analítcos propostos na lteratura. Tha et al. (; ) realzam análses estátcas de vbração lvre e flambagem em placas lamnadas de dversas geometras. Shojaee et al. () e Yn et al. (5) apresentam estudos de cálculo de cargas crítcas e de frequêncas naturas para placas retangulares lamnadas varando os esquemas de lamnação. Yn et al. (5) também avalam a efcênca da AIG para placas com város tpos de furos. Estem também alguns trabalhos com foco na análse não lnear geométrca de placas lamnadas como Le-Mahn & Lee (4) Kapoor & Kapana () e Yu et al. (5).

17 6 Nestes trabalhos são utlzados elementos com deformações moderadas de von Kármán para representar a não lneardade geométrca. Há város trabalhos presentes na lteratura que mostram o efeto da falha progressva em estruturas lamnadas aplcando o Método dos Elementos Fntos (LANZI 4; DEGENHARDT et al. 8; LOPEZ et al. 9). Entretanto o mesmo não ocorre quando se trata da Análse Isogeométrca. Neste trabalho propõe-se avalar o comportamento não lnear físco e geométrco de placas e cascas abatdas utlzando uma abordagem baseada na Análse Isogeométrca. Para sto aplca-se a Teora de von Kármán para o cálculo das deformações e a Teora de Marguerre para a consderação das mperfeções ncas. Para a representação da falha do materal optou-se pela utlzação de modelos de degradação nstantânea... Objetvos e Contrbuções Este trabalho tem como objetvo avalar o efeto da falha progressva no comportamento pós-crítco e na capacdade de carga de estruturas lamnadas de materal compósto e comparar com os resultados obtdos por análses puramente não lneares geométrcas. Deste modo fo utlzada a formulação de um elemento fnto soparamétrco clássco de casca abatda mplementado por Rocha () no programa FAST (Fnte element AnalSs Tool). Esta formulação fo estendda para a Análse Isogeométrca com base no trabalho de arroso (5). As prncpas contrbuções desenvolvdas foram as mplementações de crtéros de falha e modelos de degradação nstantânea. A valdação dos crtéros de falha e dos modelos de degradação mplementados foram fetas utlzando resultados epermentas além da avalação da Análse Isogeométrca em problemas de establdade... Organzação do Teto O presente trabalho fo dvddo em ses capítulos. No Capítulo são apresentados os concetos báscos acerca dos materas compóstos. Uma breve ntrodução é feta juntamente com os tpos e classfcações para este tpo de materal. É dado maor enfoque nos compóstos lamnados uma vez que eles foram empregados. Neste trabalho é apresentado o

18 7 desenvolvmento físco e matemátco das equações que regem o comportamento mecânco de uma lâmna. De modo a ncorporar o efeto de todas as lâmnas é apresentada a Teora de Ressner-Mndln para placas. Em seguda é mostrada a formulação matemátca que rege um problema de establdade de placas. No fnal do capítulo são apresentados os crtéros de falha utlzados nesta dssertação. No Capítulo é feta uma breve revsão acerca dos concetos báscos de -Splnes e NURS base da dea da Análse Isogeométrca. As -Splnes são mportantes de se menconar uma vez que as NURS são uma etensão delas. No Capítulo 4 é apresentado o desenvolvmento do elemento sogeométrco de casca abatda. Neste elemento é utlzada a formulação Lagrangeana Total na consderação de deformações e rotações moderadas. Na sequênca é apresentada a forma de consderação da não lneardade físca e é feto um breve comentáro acerca de como a avalação numérca da falha é realzada em um programa de elementos fntos. Fnalzando o capítulo são apresentados alguns eemplos de valdação dos modelos de degradação mplementados. O Capítulo 5 contém os eemplos numércos da dssertação. Inca-se por um estudo da nfluênca do esquema de lamnação no valor da carga crítca de lamnados. Em seguda é apresentada uma verfcação da AIG em análses não lneares geométrcas. Posterormente são propostos estudos numércos de placas consderando a não lneardade físca e geométrca. Um eemplo com placas com furo central também é avalado e é feto um estudo da nfluênca do tamanho deste furo na capacdade de carga e no comportamento não lnear da estrutura. Fnalmente são apresentados estudos de establdade em cascas abatdas. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões da dssertação e comentáros fnas e são deadas algumas sugestões para trabalhos futuros.

19 8. COMPÓSITOS LAMINADOS Materal composto ou compósto é o resultado da unão de dos ou mas materas em escala macroscópca cujo objetvo fnal é se obter um novo materal com propredades físcas e mecâncas superores aos de seus consttuntes soladamente para determnadas solctações consderadas em projeto. De um modo geral os compóstos podem ser classfcados como partculados fbrosos ou lamnados. Os compóstos partculados consstem em partículas apresentando váras formas e tamanhos dspersas em uma matrz. Por conta da dstrbução aleatóra das partículas em escala macroscópca estes materas são apromadamente homogêneos e sotrópcos. O concreto convenconal e o asfáltco utlzado na pavmentação são bons eemplos desse tpo de compósto. Os compóstos fbrosos consstem em fbras dspersas em uma matrz (geralmente polmérca mas podem ser encontradas matrzes metálcas e cerâmcas). As fbras que podem ser curtas ou longas são as responsáves pela resstênca mecânca do sstema já a matrz é a responsável pela transferênca das tensões de csalhamento (dstrbução das tensões). Devdo à orentação das fbras (undreconas bdreconas trançadas ou aleatóras) os compóstos fbrosos são materas ortotrópcos. A Fgura mostra os tpos de materas compóstos fbrosos. Fgura Tpos de compóstos fbrosos. (a) Fbras undreconas (b) Fbras bdreconas (c) Fbras trançadas (d) Fbras aleatóras

20 9 Fonte: Redd 4. Os compóstos lamnados foco do presente trabalho consstem em camadas (ou lâmnas) emplhadas umas sobre as outras e perfetamente undas onde estas lâmnas podem ser de materas dferentes (compóstos lamnados híbrdos) ou não. Segundo Jones (999) a lamnação é utlzada para combnar as melhores característcas dos consttuntes das lâmnas de modo a se obter um materal mas efcente. Uma estrutura de alto desempenho pode ser o resultado de um lamnado consttuído de matrz polmérca reforçada por fbras undreconas (Compósto Lamnado Reforçado por Fbras). A Fgura mostra um esquema geral de lamnação. Fgura Compósto lamnado. Fonte: Redd (4). Dentre as prncpas característcas dos compóstos reforçados por fbras podemse ctar: elevadas relações resstênca/peso e rgdez/peso resstênca à corrosão e à abrasão boa trabalhabldade em baas ou elevadas temperaturas baa condutvdade térmca e elétrca bom solamento acústco boa resposta à fadga sob carregamentos cíclcos. A manera mas comum de se representar o esquema de lamnação de um lamnado é adotando a forma [α/β/γ/.../ω] sendo respectvamente α β e γ os ângulos de orentação das fbras da prmera segunda tercera camada do lamnado em relação a algum eo de referênca e assm sucessvamente. A Fgura apresenta a representação de um lamnado.

21 Fgura Esquema típco de lamnação. Fonte: Rocha (). Quanto à orentação das fbras podem-se dvdr os lamnados em cross-pl ou angle-pl. Nos lamnados cross-pl as lâmnas apresentam ângulos defasados de 9º em sua confguração enquanto nos lamnados angle-pl as lâmnas podem apresentar quasquer dreções dentro do ntervalo [-9º 9º]. Em relação à smetra os lamnados podem ser classfcados como smétrcos antssmétrcos ou assmétrcos. Os lamnados smétrcos antssmétrcos e assmétrcos são aqueles que apresentam espessuras orentações e materal smétrcos antssmétrcos e assmétrcos em relação à superfíce méda do lamnado respectvamente. Os lamnados são dtos balanceados quando para cada lâmna acma da superfíce méda do lamnado este outra com mesmo materal e espessura mas com dreção oposta abao desta superfíce (REDDY 4)... Relações Consttutvas Em condções usuas de servço e para cargas estátcas onde o efeto das deformações lentas é desprezado o comportamento mecânco dos lamnados pode ser consderado como lnear elástco (JONES 999). Neste caso o comportamento tensãodeformação pode ser representado pela le de Hooke generalzada. Devdo à ortotropa das lâmnas a relação entre deformações ε e tensões σ no sstema de eos da lâmna é dada por:

22 ε S ε S ε S γ γ γ S S S S S S S 44 S 55 S 66 σ σ σ τ τ τ ε Sσ () onde S é smétrca (JONES 999) e é conhecda como matrz de flebldade do materal cujos coefcentes são dados por: S S 44 E G S S 55 E G S S 66 E G S υ E S υ E S υ E () sendo as varáves E E e E os módulos de elastcdade nas dreções prncpas enquanto υ j é o coefcente de Posson na dreção devdo a aplcação de uma carga na dreção j e G G e G são os módulos de elastcdade ao csalhamento. Para materas elástcos ortotrópcos os coefcentes de Posson ( υ j ) devem satsfazer a segunte relação (JONES 999): υ j υ j j E E j ( ) () Em placas fnas é usual a consderação da hpótese de Estado Plano de Tensões (EPT) ou seja σ γ γ. Aplcando as equações mostradas anterormente nas z z z relações cnemátcas da Teora da Elastcdade pode-se obter a matrz de transformação T m que relacona as deformações no sstema global para o local como se segue: ε cos θ ε sen θ γ senθ cosθ sen θ cos θ senθ cosθ senθ cosθ ε senθ cosθ ε cos θ sen θ γ ε T m ε (4) Invertendo a Equação () consderando o EPT tem-se a relação tensãodeformação no sstema do materal:

23 σ Q σ Q τ Q Q ε ε σ Q 66 γ Q mε (5) onde: E ν E Q Q Q Q66 ν ν ν ν ν ν E G (6) Quando as lâmnas são espessas torna-se necessáro captar o efeto do csalhamento transversal. Deste modo as componentes de deformação γ e γ devem ser consderadas. Verfca-se que pela Teora da Elastcdade pode-se obter uma matrz T s que transforma as deformações de csalhamento entre os sstemas global e local: γ cosθ γ senθ senθ γ z γ cosθ γ z T t s γ (7) As tensões de csalhamento referentes a estas deformações são obtdas por: τ Q τ 44 τ z τ Q sτ Q 55 τ z (8) sendo Q 44 G e Q 55 G. Pode-se mostrar também que a transformação das tensões do sstema local para o sstema global é realzada através de: σ T (9) t t m σ τ Ts τ Fnalmente substtundo as Eqs. (4) e (5) e as Eqs. (7) e (8) na Eq. (9) obtêm-se as relações tensão-deformação no sstema de coordenadas global: σ Q ε Q T Q T τ Q γ Q T Q T () m m t m m m s s t s s s sendo:

24 Q Q Q6 Q44 Q45 Q m Q Q Q6 Q s () Q45 Q55 Q6 Q6 Q66 Qm Q Q s () onde Q é a matrz consttutva transformada e os coefcentes operações apresentadas anterormente. Q j são calculados conforme as.. Teora de Ressner-Mndln A Teora Clássca de Lamnação (TCL) é uma etensão para compóstos lamnados da teora de placas de Krchhoff. A TCL é dervada da Teora da Elastcdade trdmensonal onde hpóteses smplfcadoras são fetas no que se refere às relações cnemátcas de deformação ou estados de tensões ao longo da espessura do lamnado (REDDY 4). A partr destas smplfcações o problema trdmensonal passa a ser tratado como bdmensonal. Entretanto a teora clássca leva a bons resultados para placas fnas mas esta precsão dmnu à medda que a espessura da estrutura aumenta. Os resultados obtdos pela Teora da Elastcdade para alguns problemas mostra que este erro é da ordem do quadrado da espessura da placa (SZILARD 4). Com esta lmtação da TCL para placas espessas tornou-se necessáro o desenvolvmento de teoras mas refnadas de modo a se obter resultados mas precsos para este tpo de estrutura. Epermentos anda mostram que a TCL subestma as defleões e superestma as frequêncas naturas e cargas crítcas de placas espessas (SZILARD 4). Estas dscrepâncas se devem pelo fato de se desprezar o efeto do csalhamento transversal. Assm dversas teoras foram desenvolvdas com a fnaldade de levar em conta o efeto do csalhamento transversal. Ressner (945) desenvolveu uma teora onde as tensões eram tratadas como varáves e em seguda Mndln (95) tratou os deslocamentos como varáves do problema. Em ambas as teoras o csalhamento transversal é tratado como constante ao longo da seção sendo conhecdas como teoras de prmera ordem.

25 4 Recentemente teoras mas sofstcadas vêm sendo apresentadas de modo que o csalhamento não é mas apromado de forma constante mas quadratcamente como se requer em um problema de fleão sob carregamento unforme (ALUCH & VOYIADJIS 98; REDDY 984; MURTY & VELLAICHAMY 988; SHI 7). Estas teoras são conhecdas como Teoras de Alta Ordem. Anda é mportante notar que nas teoras menconadas anterormente o lamnado é tratado como uma lâmna equvalente. Deste modo é feta uma compatbldade nas deformações do lamnado e as suas tensões são descontínuas ao longo da espessura como mostrado na Fgura 4. Fgura 4 Varação das deformações e tensões ao longo de um lamnado usando uma teora do tpo Lâmna Equvalente. Fonte: Redd (4). Entretanto estem teoras que não apromam o lamnado como uma lâmna equvalente mas consderam o efeto de cada lâmna soladamente. Estas são dtas Teoras Laerse. Nessas teoras faz-se uma compatbldade das tensões de modo que as faces das lâmnas apresentem uma contnudade e portanto haja equlíbro (REDDY 4; CARRERA ). Teoras como a Laerse assm como as teoras de alta ordem para modelos de Lâmna Equvalente se tornam mportantes quando a espessura das estruturas analsadas faz com que a dstrbução de tensões fora do plano (τ z τ z e σ z ) se tornem relevantes (REDDY 4; CARRERA ; ). Teoras do tpo Laerse estão fora do escopo do presente trabalho. A hpótese básca da Teora de Mndln é que uma reta normal ao plano médo da placa permanecerá reta mas não necessaramente normal a este plano após a deformação

26 5 como mostrado na Fgura 5. Deste modo pode-se constatar que os deslocamentos em qualquer ponto da placa são dados por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z u z v z u z u z u z θ θ () onde u v e são os deslocamentos no plano e z e θ e θ são as rotações da reta normal em torno dos eos e respectvamente. Fgura 5 - Confguração ndeformada e deformada de um trecho de uma placa sob as hpóteses de Ressner-Mndln. Quando os deslocamentos são moderadamente grandes há uma nteração entre os efetos de membrana e fleão devdo aos deslocamentos transversas. Para levar em conta este acoplamento utlzam-se as deformações de von Kármán que são as deformações de Green-Lagrange desprezando os termos não-lneares assocados às componentes do deslocamento nas dreções do plano da placa u e u (CRISFIELD 99). Neste caso as componentes de deformações em qualquer ponto da placa são dadas por: ( ) b m m L m z z v u v u ε ε κ ε ε ε ε θ θ θ θ γ ε ε (4) onde as duas prmeras parcelas correspondem às deformações de membrana (ε m ) e a tercera parcela está assocada à curvatura (κ) da placa.

27 6 As deformações de membrana são compostas por duas parcelas: a prmera é provenente do comportamento lnear ( m ε ) e a outra por conta do efeto não lnear dos deslocamentos transversas ( m L ε ). Como se sabe as deformações devdo ao csalhamento transversal são calculadas por: z z θ θ γ γ γ (5) As forças e momentos resultantes são obtdos por ntegração das tensões ao longo da espessura da placa: / / / / / / h h z z z z h h h h dz V V z dz M M M dz N N N τ τ τ σ σ τ σ σ V M N (6) É mportante notar que as deformações são contínuas ao longo da espessura da lâmna sendo que o mesmo não ocorre com as componentes de tensão. Em geral sso se dá devdo à mudança das propredades de cada lâmna (espessura materal e/ou orentação da fbra). De modo a smplfcar as epressões anterores os esforços nternos generalzados σˆ podem ser escrtos em forma matrcal como se segue: Cε σ γ κ ε G D A V M N ˆ m (7) onde as componentes das sub-matrzes são dadas por: ( ) ( ) ( ) ( ) n k k k k j s j n k k k k j j n k k k k j j n k k k k j j z z Q f G z z Q D z z Q z z Q A (8)

28 7 Sendo A D e G as matrzes de rgdez etensonal de acoplamento membrana-fleão fleonal e de csalhamento respectvamente e f s 5/6 é o fator de correção das tensões de csalhamento (REDDY 4). A matrz C é normalmente chamada de matrz consttutva do lamnado e seus componentes são funções dos termos Q j e da orentação das lâmnas. As epressões da TCL podem ser obtdas fazendo θ - e θ na Eq. (5) que são o resultado da hpótese das seções planas e perpendculares assm permanecerem após a aplcação das cargas. Com sto têm-se anda que V (Eq. (6)) e G (Eq. (7))... Establdade de Placas O prncpal objetvo deste capítulo é apresentar as equações que regem um problema de establdade de placas lamnadas baseadas na Teora de Ressner-Mndln. De posse das equações mostra-se a dfculdade nerente à obtenção de soluções analítcas para a determnação da carga crítca de placas lamnadas. Consdere uma placa com n lâmnas e de espessura unforme conforme mostrado na Fgura 6-a. Se retrarmos um elemento nfntesmal de dmensões d d e h nas dreções e z respectvamente pode-se mostrar os esforços nternos neste trecho como apresentado na Fgura 6 para os esforços normas (N e N ) de csalhamento no plano (N ) momentos fletores (M e M ) e torsores (M ) e esforços de csalhamento transversal (V e V ). Fazendo o somatóro das forças nternas e de momentos nas dreções e e das forças nternas na dreção z nulas na confguração de equlíbro obtêm-se as seguntes epressões: F M N M N M V F N M N M M F V V z V V (9) Consderando anda que a placa analsada está submetda às cargas eternas por undade de comprmento N N e N como mostrado na Fgura 7 e supondo que as deformações são pequenas a confguração de um elemento nfntesmal após a aplcação destas cargas é dado pela Fgura 8. Admtndo que os deslocamentos sejam pequenos o seno do ângulo formado entre a aresta do elemento antes e depos da aplcação das cargas pode ser

29 8 apromado pelo própro ângulo. Assm o somatóro das forças vertcas devdo às solctações é dado por: F z N N N N () Fgura 6 - Placa lamnada e esforços nternos em um elemento nfntesmal. (a) Placa lamnada. (b) Esforços de membrana (c) Momentos fletores e torsores. (d) Csalhamento transversal. Fgura 7 Placa sujeta a esforços no plano.

30 9 Fgura 8 Elemento nfntesmal deformado. No equlíbro os esforços nternos devem ser guas aos eternos. Portanto: N N N V V F F F N z V z z () Dervando as epressões para os momentos fletores da Eq. (9) em relação às coordenadas e respectvamente somando-as e substtundo a Equação () nesta soma temos que: N N N M M M () Combnando a Eq. (7) com a Eq. () e utlzando as relações cnemátcas da Eq. (4) obtêm-se as equações de equlíbro em função dos termos A j j e D j :

31 ( ) ( ) ( ) A A A A A A v A v A A v A u A u A u A F θ θ θ θ θ θ () ( ) ( ) ( ) A A A A A A v A v A v A u A u A A u A F θ θ θ θ θ θ (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N v v v v u u u u D D D D D D D D D D F z θ θ θ θ θ θ θ θ (5)

32 Nota-se a partr das Equações () (4) e (5) que para um lamnado qualquer o cálculo da carga crítca requer a solução acoplada destas três equações dferencas. Entretanto para alguns tpos de lamnados as equações menconadas são smplfcadas. Por eemplo no caso de lamnados smétrcos os termos j são nulos. Supondo que os deslocamentos são pequenos os termos quadrátcos de membrana da Eq. (4) são desprezados fazendo com que o cálculo da carga crítca recaa na solução da segunte equação dferencal: D 6 θ ( D D ) θ ( D D66 ) D6 N N N 66 θ D θ 6 θ D θ D θ D 6 θ (6) Mas smplfcações podem ser fetas a partr da confguração do lamnado. Para lamnados do tpo cross-pl smétrco tem-se que além dos termos de acoplamento membrana-fleão os termos de acoplamento ao csalhamento A 6 A 6 D 6 e D 6 são nulos. Pode-se mostrar que os termos menconados anterormente tendem a se tornar desprezíves quando o número de lâmnas de um lamnado cresce muto mantendo sua espessura total constante (JONES 999). Um estudo acerca deste efeto será apresentado posterormente. Em contrapartda em lamnados do tpo angle-pl smétrcos tem-se que os termos A 6 A 6 D 6 e D 6 não são anulados porém à medda que o número de lâmnas do lamnado aumenta mantendo-se sua espessura mostra-se que a magntude destes termos dmnu em comparação com os outros termos das matrzes A e D (DANIEL & ISHAI 994). Temos anda que a aplcação de um lamnado balanceado mplca na anulação dos termos de acoplamento ao csalhamento da matrz de rgdez etensonal A do lamnado ou seja A 6 A 6. Estes lamnados podem ser smétrcos antssmétrcos ou assmétrcos. Sabe-se que no lamnado balanceado antssmétrco os termos de acoplamento ao csalhamento da matrz de rgdez fleonal D do lamnado também são nulos ou seja D 6 D 6. Mostra-se que se o lamnado for do tpo cross-pl balanceado antssmétrco os termos A A D D Para lamnados balanceados angle-pl antssmétrcos tem-se que além dos termos de acoplamento ao csalhamento das matrzes A e D do lamnado também serem nulos os termos 66. Danel

33 & Isha (994) anda afrmam que os termos não nulos da matrz de acoplamento membranafleão tendem à zero à medda que se aumentam o número de camadas do lamnado mantendo-se a espessura total do mesmo. Consderando que a Teora de Krchhoff pode ser aplcada tem-se que θ θ. Portanto a Eq. (6) pode ser epressa por: e D N 4 4D 4 6 N 4 ( D D ) D 6 4 D 4 N 4 (7) Fnalmente para uma placa sotrópca temos que os termos D D D D υd D 66 ( υ)d e D 6 D 6. Deste modo a Eq. (7) assume a forma apresentada por Chajes (974): 4 4 D 4 4 E h 4 N N N D (8) ( υ ) sendo D a rgdez à fleão da placa E é o módulo de elastcdade do materal h é a espessura total e υ é o coefcente de Posson..4. Crtéros de Falha No tem. mostrou-se a relação tensão-deformação de um lamnado no regme lnear elástco. Entretanto apenas com esta hpótese teorcamente o lamnado nunca falhara o que não condz com a realdade. Para sto foram desenvolvdos város crtéros que estmam quando uma lâmna falha (TSAI & WU 97; HASHIN 98; PUCK & SCHURMANN 998; PINHO et al. 5; CAMANHO et al. 5) e com estes estma-se a capacdade de carga da estrutura analsada (LANZI 4; CHEN & SOARES 7; DEGENHARDT et al. 8). Na análse da falha de uma lâmna solada város crtéros podem ser utlzados cada qual fornecendo dferentes envoltóras de resstênca para o mesmo materal. Tas envoltóras geralmente consstem no ajuste de curvas a séres de pontos obtdas epermentalmente e fornecem resultados com precsão varada dependendo do tpo de

34 lamnado e carregamento aplcado. Além dsso alguns crtéros são capazes de prever o modo pelo qual se dará a falha (chamados crtéros fenomenológcos) aulando em um posteror procedmento de degradação. Város trabalhos abordam os dferentes crtéros de falha utlzados em compóstos lamnados e dscutem suas vantagens e desvantagens (SODEM et al. 998; LOPEZ et al. 9; NALI & CARRERA ). Fgura 9 Resstêncas de uma lâmna no sstema de eos local. Antes da defnção dos crtéros de falha é mportante se conhecer os parâmetros de resstênca de uma lâmna. Em uma análse bdmensonal da lâmna é necessára a determnação de 5 constantes (Fgura 9): F T F C F T F C e S 6 onde F T F C e S 6 são as resstêncas à tração e à compressão nas dreções ( ) e a resstênca ao csalhamento no plano - respectvamente. É mportante menconar que o snal das resstêncas ao csalhamento é rrelevante..4.. Máma Tensão e Máma Deformação O crtéro da máma tensão fo dealzado para refletr o resultado de ensaos de tensão unaas. No crtéro a falha em cada dreção do sstema do materal é tratada separadamente. A falha da lâmna ocorre portanto quando a tensão em uma das dreções ultrapassa a respectva resstênca. Sua envoltóra de falha para o caso bdmensonal é dada por:

35 4 6 quando quando quando quando S F F F F C T C T < > < > τ σ σ σ σ σ σ (9) O Crtéro da Máma Deformação é análogo ao Crtéro da Máma Tensão. Deste modo as deformações em cada dreção são tratadas ndependentemente e a falha ocorre quando pelo menos uma deformação ultrapassa a resstênca do materal. Em sua forma bdmensonal o crtéro pode ser escrto como: u u C u T u C u T quando quando quando quando γ γ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε < > < > () onde u T ε u C ε ( ) e u γ são as deformações normas e de csalhamento mámas do materal respectvamente. Ambos os crtéros são consderados dependentes do modo de falha pos os mesmos contêm epressões específcas para cada modo de falha. Apesar de ser consderado não-nteratvo alguns termos de nteração surgem se o Crtéro da Máma Deformação for escrto em termos de tensões. Tas nterações são decorrentes do efeto dos coefcentes de Posson: 6 quando quando quando quando S F F F F C T C T < > < > τ ε ε σ υ σ ε ε σ υ σ () Apesar das epressões anterores representarem envoltóras de falha (Fgura ) mutas vezes é nteressante a obtenção de um Fator de Segurança (S f ) que é um multplcador

36 5 que quando aplcado às componentes de tensão produz um estado crítco para que se dê a falha. Para o crtéro da Máma Tensão tal fator é calculado como: F T F C F T FC S6 S f mn () σ σ σ σ τ De forma semelhante para o Crtéro da Máma Deformação temos que o Fator de Segurança é dado por: u u u u u ε T ε C ε T ε C γ S mn f () ε ε ε ε γ Fgura Envoltóras de falha. (a) Crtéro da Máma Tensão. (b) Crtéro da Máma Deformação. Fonte: Elaborada pelo Autor..4.. Tsa-Wu O crtéro de Tsa-Wu basea-se em uma teora polnomal de falha que utlza tensores baseados nas resstêncas báscas do materal para ponderar os valores das tensões. Crtéros baseados em teoras polnomas não têm embasamento físco sendo obtdos a partr de ajustes de curvas (TSAI & WU 97; LIU & TSAI 998). Neste crtéro consdera-se um crtéro quadrátco que pode ser epresso da segunte forma: f σ f σ σ j... 6 (4) j j

37 6 Para o caso de Estado Plano de Tensões pode-se mostrar que a equação acma toma a segunte forma: f σ f σ f σ f σ σ f σ f τ (5) 66 6 onde f F T F C f jj F jt F jc (6) Em geral a determnação do termo de nteração é dfícl ou pouco precsa. Entretanto Lu & Tsa (998) mostram que o termo f pode ser apromado de forma razoável por: f β (7) f f onde β é um parâmetro de nteração. Para lâmnas típcas com fbras de carbono ou vdro o parâmetro de nteração pode ser apromado por β /. Como se pode notar o crtéro é epresso em uma só equação de modo que este não é capaz de dentfcar dretamente o modo de falha da lâmna. Da sua defnção e por conta da natureza quadrátca do Crtéro de Tsa-Wu podese mostrar que o cálculo do Fator de Segurança para um estado plano de tensões é realzado a partr da solução da segunte equação do segundo grau (DANIEL & ISHAI 994): ( f σ f σ σ f σ f τ ) S ( f σ f σ ) S 66 6 f f (8) Anda pode-se mostrar que fazendo as devdas smplfcações para materas sotrópcos a combnação das Eqs. (4) a (7) se resume ao crtéro de von Mses utlzado para metas..4.. Hashn Este crtéro ao contráro do mostrado anterormente caracterza-se por ser dependente do modo de falha ou seja este tenta prever não somente se a falha acontece ou não mas se esta ocorre de que modo ela acontece. O crtéro fo ncalmente proposto por

38 7 Hashn e Rotem (97) e em seguda modfcado por Hashn (98) tomando a forma atual. Neste trabalho quatro modos de falha são consderados (SLEIGHT 999): Falha da matrz na tração: 6 S F T τ σ (9) Falha da matrz na compressão: F C σ (4) Falha da fbra na tração: 6 S F T τ σ (4) Falha da fbra na compressão: S S S F F T T τ σ σ (4) Para se obter o fator de segurança para este crtéro deve-se analsar cada modo de falha separadamente. Como nas epressões são utlzados termos quadrátcos o cálculo do S f é feto de forma semelhante ao apresentado no Crtéro de Tsa-Wu. O fator de segurança é o menor valor de S f obtdo para as quatro epressões.

39 8. -SPLINES E NURS No Método dos Elementos Fntos os polnômos de Lagrange são a base da análse numérca enquanto na Análse Isogeométrca as -Splnes as NURS e as T-Splnes são usadas. Tanto a Análse Isogeométrca (AIG) quanto o Método dos Elementos Fntos (MEF) tradconal usam o conceto soparamétrco ou seja as funções que apromam a geometra analsada são as mesmas empregadas na nterpolação dos deslocamentos do problema. A grande dferença entre os dos métodos consste que tanto a geometra que é conhecda quanto os deslocamentos são nterpolados de forma apromada no MEF enquanto na AIG a forma pode ser representada de forma eata. A capacdade de representação eata de geometras é uma das prncpas razões pelas quas as NURS estão sendo amplamente empregadas em programas do tpo CAD (Computer Aded Desgn). Outra grande característca da Análse Isogeométrca é a possbldade de se aumentar o grau dos polnômos de nterpolação do campo de solução do problema de forma smples em comparação com o Método dos Elementos Fntos uma vez que a utlzação dos polnômos de Lagrange no MEF pode tornar a formulação deste tpo de refnamento muto complcada. Este também um tpo de refnamento na AIG que além de aumentar o grau do polnômo de nterpolação aumenta a contnudade entre elementos. Este tpo de refnamento é chamado Refnamento k e será comentado posterormente. Com esta vantagem pode-se aplcar as Teoras de Krchhoff-Love (KIENDL et al. 9; ) de Ressner-Mndln (ENSON et al. ; ) e de Alta Ordem (TRAN et al. ; 5; THAI et al. 5). Este capítulo tem como objetvo a apresentação dos concetos báscos e característcas das -Splnes e das NURS que são uma forma generalzada da prmera... -Splnes As -Splnes são curvas capazes de descrever város segmentos dstntos ao longo de uma representação paramétrca. Esta característca é obtda lmtando a atuação das funções base em regões do espaço paramétrco. Estas regões são conhecdas na lteratura como knot spans e são defndas por um vetor de valores paramétrcos o vetor de knots. As - Splnes podem representar qualquer curva polnomal.

40 9 Uma curva -Splne é obtda a partr da combnação lnear entre os pontos de controle p e as funções de base N p (ξ) da segunte forma: n ( ) ( ξ ) C ξ (4) N p p onde n é o número de funções de base p é o grau da curva e ξ é a coordenada paramétrca da curva. As bases -Splnes requerem um vetor de knots que consste num conjunto de valores não negatvos e não decrescentes delmtados ao longo do ntervalo paramétrco [ξ ξ np ] no qual a curva fo defnda. Consderando o vetor de knots Ξ [ξ ξ... ξ np ] as funções de base -Splne são defndas pela fórmula recursva de Co-de oor (PIEGL & TILLER 997): N ξ ξ ξ ξ (44) caso contráro ( ) N ξ ξ ξ p ( ) N ( ξ ) N ( ξ ) p ξ p p ξ p ξ ξ n ξ ξ (45) Cada base N p contrbu ao longo do ntervalo paramétrco [ξ ξ np ]. O número de bases n pode ser calculado em função do tamanho do vetor de knots ks e do grau p por: n ks p (46) A dervada de N p pode ser calculada por: d N dξ p ξ ( ξ ) N ( ξ ) N ( ξ ) p p p ξ p ξ n ξ p (47) Esta dervada é mportante no conteto da Análse Isogeométrca pos ela é utlzada na avalação da matrz de rgdez K da estrutura. A epressão para o cálculo de dervadas de ordem superor pode ser encontrada em Pegl & Tller (997). Consderando o eemplo de uma base quadrátca com vetor de knots Ξ [.5 ] onde as bases são apresentadas na Fgura pode-se notar que a base N

41 4 contrbu ao longo do ntervalo [ξ ξ 4 ]. Na mesma fgura são mostradas as bases -Splnes para um vetor de knots mas dscretzado. Os valores paramétrcos no nteror dos vetores de knots podem aparecer repetdamente sendo o número de repetções que um dado valor paramétrco ξ possu conhecdo como a multplcdade do knot. Uma das propredades das -splnes é possur contnudade C p- dentro do knot span. Em caso de algum knot ter multplcdade m a contnudade da curva naquela coordenada paramétrca será C p-m. Uma mportante observação é que caso um knot nterno ξ possua multplcdade gual ao grau da -splne (m p) então a curva nterpolará um ponto de controle em ξ (Fgura ). Se os knots etremos tverem esta multplcdade m p então os pontos de controle etremos serão nterpolados. Por este motvo que a maora das representações - splnes utlzadas em Análse Isogeométrca possuem multplcdade p nos knots etremos garantndo que os pontos de controle ncal e fnal sejam nterpolados. Este tpo de vetor de knots é conhecdo vetor de knots aberto. Fgura Eemplo de bases -Splnes quadrátcas. (a) Ξ [.5 ]. (b) Ξ [. 67 ] Fonte: arroso (5). De modo resumdo Pegl & Tller (997) lstam as prncpas característcas das funções de base -Splnes: Não negatvdade:

42 4 ( ξ ) N (48) p Partção da undade: n ( ) N ξ (49) p Suporte compacto: N p (ξ) se ξ estver fora do ntervalo [ξ ξ np ]. Dado um knot span [ξ j ξ j ] p funções de base são não nulas neste ntervalo. Todas as dervadas de N p estem no nteror dos knot spans. Nos knots as bases são dferencáves p m vezes onde m é a multplcdade do knot. Fgura Eemplo de bases -Splnes quadrátcas com multplcdade no knot ξ.5. Fonte: arroso (5). Outro aspecto nteressante acerca das -Splnes são as operações referentes ao refnamento do modelo. Na Análse Isogeométrca estem três formas de refnamento: Adção de Knot Elevação de Grau e Refnamento k. Ambos os procedmentos menconados anterormente alteram a descrção da curva sem modfcar sua forma. A Adção de Knot nsere um novo knot ξ no vetor Ξ uma nova base N p e um novo ponto de controle. Para manter a geometra ncal alguns pontos são modfcados. Este procedmento corresponde ao refnamento h tradconal do Método dos Elementos Fntos uma vez que possblta dscretzar o modelo nserndo um número maor de graus de lberdade. A Fgura -a representa a operação acma no vetor de knots Ξ [ ].

43 4 A Elevação de Grau atua nas -splnes elevando o grau da curva em cada ntervalo paramétrco mantendo a contnudade orgnal em cada knot. A multplcdade de cada knot é aumentada em preservando a sua contnudade orgnal. Do ponto de vsta da Análse Isogeométrca este artfíco permte melhorar a solução numérca do problema uma vez que utlza funções de forma de ordens maores. Esta operação é equvalente ao refnamento p utlzado comumente no MEF. A Fgura -b representa a operação acma no vetor de knots Ξ [ ]. Fgura Formas de refnamento do modelo geométrco na Análse Isogeométrca. (a) Adção de knots. (b) Elevação de grau. (c) Refnamento k. Fonte: Nguen-Thanh ().

44 4 O Refnamento k é uma combnação dos dos operadores menconados anterormente. A dea é aumentar a ordem da curva juntamente com a contnudade nos lmtes do elemento. Isto é feto smplesmente aumentando a multplcdade do prmero e últmo valor do vetor de knots (Fgura -c). A contnudade é aumentada pelo mesmo valor da multplcdade na Elevação de Grau. Maores nformações acerca dos operadores supractados ou mplementações computaconas podem ser obtdas nos trabalhos de Pegl & Tller (997) Nguen-Than (a) e arroso (5)... NURS NURS (Non-Unform Ratonal -Splnes) são representações paramétrcas amplamente utlzadas em modelagem computaconal pos oferecem uma forma matemátca capaz de representar tanto modelos analítcos padrão (côncas ou superfíces de revolução por eemplo) como também modelos de forma lvre utlzando a mesma base de dados para armazenamento de ambos (HUGHES 5). Uma curva NURS C de grau p é construída por uma combnação lnear entre os pontos de controle p e funções de base raconal R p (ξ) como mostra a epressão: C n ( ξ ) ( ξ ) R p p (5) onde n é o número de bases da curva. As funções de base NURS são avaladas em função das funções de base -Splne N p e dos pesos pela epressão: R ( ξ ) N N ( ξ ) p p n p ( ξ ) N p W ( ξ ) ( ξ ) (5) onde W(ξ) é a função peso. Cada ponto de controle p possu uma peso correspondente. A consderação dos pesos permte alterar a geometra fnal do modelo como também a modelagem de côncas como crcunferêncas e elpses. É mportante menconar que as funções de base raconas R p (ξ) herdam as propredades das funções de base -Splne N p (ξ). Deste modo as operações de refnamento

45 44 do modelo apresentadas no tem anteror contnuam váldas por eemplo. A Fgura 4 mostra um arco de crcunferênca de 8º modelada por -Splnes e por NURS. Fgura 4 Formas de refnamento do modelo geométrco na Análse Isogeométrca. Fonte: arroso (5). Uma superfíce NURS defnda por um produto tensoral é construída em função do produto de duas bases unvarantes. Uma superfíce S é defnda por um tensor de pontos de controle P (n m) a partr de uma NURS de grau p na dreção ξ com vetor de knots Ξ [ξ ξ... ξ np ] e outra de grau q na dreção η com vetor de knots Η [η η... η mq ] da segunte forma: S m ( ξ η) R( ξ η) n p j (5) onde R(ξ η) é a função de base raconal bvarante dada por: R ( ξ η) j j N p W ( ξ ) N j q ( η) ( ξ η) (5) sendo W a função peso bvarante: W m n ( ξ η) N ( ξ ) N ( η) j p j q (54) As dervadas parcas das funções de base bvarantes podem ser calculadas através da regra de dervação do quocente:

46 45 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η ξ ξ η ξ η ξ η ξ η η ξ η η ξ ξ η ξ ξ ξ η ξ η η ξ ξ ' ' W N W N W N R W N W N W N R q j q j p j j p p q j j j (55) onde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n q j p j m n q j p j N N W N N W ' ' η ξ η ξ η η ξ η ξ ξ (56) É mportante salentar que na Análse Isogeométrca se trabalha com pontos de controle e a forma que se quer representar é de um modelo físco. Portanto em modelos sogeométrcos são utlzadas duas malhas: uma defnda pelos pontos de controle p e outra físca obtda a partr da prmera. A Fgura 5 apresenta uma superfíce cúbca com três elementos e mostra a dstnção entre estas duas malhas. Fgura 5 Malha de controle e malha físca de uma superfíce. Fonte: Nguen-Thanh (b).

47 46... Múltplos Patches A palavra patch é utlzada na lteratura como uma entdade NURS seja ela uma curva uma superfíce ou um sóldo. Mesmo que uma entdade NURS possa ser sufcente para modelagem de geometras compleas estem casos em que pode ser útl representar o modelo através de múltplas entdades. Por eemplo quando váras regões do modelo apresentam dferentes atrbutos como materal carregamento e condções de contorno pode ser nteressante representar tas regões por entdades dstntas. Por outro lado verfca-se que a utlzação de város patches leva a uma redução na contnudade nas suas fronteras como mostrado na Fgura 6. Fgura 6 Trecho de uma placa com furo. (a) Modelo com patch. (b) Modelo com patches. Fonte: arroso (5).

48 47 4. ANÁLISE NÃO LINEAR Estem três tpos de não lneardades em análse de estruturas: a geométrca a físca e a de contato (CRISFIELD ). Neste trabalho será lmtada a apresentação das duas prmeras fontes de não lneardade. A análse não lnear geométrca é a que ncorpora os efetos dos deslocamentos no comportamento da estrutura ou seja ela está relaconada com as mudanças devdo às deformações sofrdas. Quando se realza uma análse lnear geométrca em uma estrutura tem-se como hpótese que os deslocamentos e as deformações provenentes do carregamento nesta são pequenas de modo que as equações de equlíbro do sstema possam ser escrtas na confguração ndeformada da estrutura sem que haja dferenças sgnfcatvas entre os resultados da análse. Entretanto algumas estruturas podem apresentar grandes deslocamentos e deformações mesmo sem que o seu materal consttunte saa do regme elástco lnear de modo que se torna necessára a determnação do seu camnho de equlíbro além da verfcação da estênca de pontos lmtes no comportamento estrutural. A análse não lnear físca está relaconada ao comportamento do materal quando este não segue mas à Le de Hooke onde as tensões são funções lneares das deformações. Neste tpo de não lneardade podem ser consderados os efetos de plastfcação dano e colapso do sstema estrutural analsado. No caso dos materas compóstos a falha de uma lâmna não mplca necessaramente na perda de capacdade de carga da estrutura. Ao nvés dsto o que ocorre é uma redstrbução das tensões na estrutura e à medda que as lâmnas vão falhando a rgdez do lamnado va dmnundo caracterzando um processo de falha progressva. 4.. Elemento de Casca Abatda Nesta seção será apresentada a formulação sogeométrca para análse de cascas abatdas lamnadas. Esta formulação é baseada no trabalho de Crsfeld (99) que utlzou a teora de Ressner-Mndln para representar a fleão e o csalhamento transversal e a teora de Marguerre para representar o efeto das curvaturas ncas e das rotações moderadas.

49 48 Assm adcona-se à parcela de membrana da Eq. (4) uma função ) ( z conhecda (CRISFIELD 99). Deste modo tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z v u v u m ε (57) onde ) ( z representa a elevação da casca abatda. Desenvolvendo a Eq. (57) tem-se: z z z z v u v u m m m γ ε ε m L m m ε ε ε (58) Como se pode notar na presente formulação ocorrem três tpos de acoplamento membrana-fleão: um devdo ao efeto do lamnado por conta da matrz (Eq. (7)); o segundo devdo à Teora de von Kármán que ncorpora a não lneardade nos termos de deformação de membrana de Green-Lagrange smplfcando-os para o caso deslocamentos moderadamente grandes e; por fm o tercero ocorre por conta da curvatura ncal da estrutura gerada pela consderação de z que gera uma nova parcela nas componentes de deformação. É nteressante notar que no caso de uma placa perfetamente plana z e se obtém as deformações de von Kármán. Combnando a Eq. (58) com as Eqs. (4) e (5) obtemos o vetor de deformação assocado à Teora de Ressner-Mndln dado por: { } { } T T z z m m m γ ε ε ε b m γ γ κ κ κ γ ε ε (59) onde ε m ε b e γ são mostrados nas equações menconadas anterormente.

50 Análse Isogeométrca No Método dos Elementos Fntos são utlzadas funções polnomas para nterpolar os deslocamentos em cada elemento. Aplcando a formulação soparamétrca podese descrever a geometra da estrutura da mesma forma que os deslocamentos. Na Análse Isogeométrca com formulação soparamétrca nverte-se essa sequênca nterpolando os deslocamentos da estrutura pelas funções de forma utlzadas na descrção da geometra que são as NURS. Deste modo a geometra de uma casca abatda é nterpolada da segunte forma: nn R nn R z nn R z (6) sendo R as funções de forma defndas pela Eq. (5) e nn é o número de nós. No elemento de casca abatda cnco graus de lberdade são nterpolados: os deslocamentos de membrana e transversal (u v e respectvamente) e as rotações da estrutura relaconadas à fleão (θ e θ ): u nn R u v nn R v nn R nn θ R θ θ R θ (6) nn Compactando a equação acma em notação matrcal temos: u R u e (6) sendo u e u e os vetores de deslocamentos da estrutura e nos seus pontos de controle e R a matrz das funções de forma dada por: R [ R R L ] (6) R nn e a contrbução de cada nó é: R R I (64) 5 5 onde I é a matrz dentdade.

51 5 O vetor de deformações (Eq. (59)) se relacona com o vetor de deslocamentos nodas u e por meo de uma matrz da segunte forma: u e ε γ κ ε γ κ ε ε m L m m (65) De modo a se obter os termos da matrz deve-se analsar cada termo de deformação separadamente. Combnando as Eqs. (59) e (6) tem-se: m m m R Z R Z R R R Z R R Z R z z v u z v z u u ε e (66) G u e β Aβ ε m L (67) m L m L m L W R W R W R W R u A G u ε e e (68) b b R R R R u κ e θ θ θ θ (69) s s R R R R u γ e θ θ (7) sendo: R R G (7) nn nn nn nn R W R W z R Z z R Z (7)

52 5 Portanto a Eq. (65) pode ser reescrta da segunte forma: m m L b ε u e u e L u e s u e (7) 4... Vetor de forças nternas Com o campo de deformações apresentado na Eq. (59) as equações de equlíbro do sstema podem ser obtdas. Deste modo fazendo a varação do trabalho vrtual nterno gual a varação do trabalho vrtual eterno temos que: δ W δ nt W et (74) sendo: T m T T δε σˆ dv ( δε ) NdA δκ M da V A A A T δ W δγ VdA (75) nt n V A T T T δ Wet δu bdv δu qda δu p δu T f (76) onde δw nt e δw et são as varações do trabalho nterno e eterno respectvamente δε é a deformação vrtual decorrente do deslocamento vrtual nfntesmal δu b representa as forças de corpo q é o vetor das forças de superfíce prescrtas em A σ é o vetor das tensões δu é o deslocamento vrtual no ponto de aplcação de p que representam as cargas concentradas que atuam em n pontos sobre a estrutura e f é o vetor de cargas eternas na casca. As ntegrações são fetas na área e volume ncas da casca A e V vsto que uma formulação Lagrangeana Total está sendo aplcada. Desenvolvendo a equação da varação do Trabalho nterno aplcando a Eq. (59) substtundo o vetor das tensões e fazendo a ntegral no volume ncal gual à ntegral na área ncal e na espessura obtém-se a forma do δw nt apresentada na Eq. (75). Pode-se anda relaconar os ncrementos de deformação δε com os ncrementos de deslocamentos nodas δu e por meo de uma matrz que pode ser obtda a partr das Eqs. (66) a (7) como se segue:

53 5 e m L m m u ε γ κ ε γ κ ε ε δ δ δ δ δ δ δ δ δ (77) Sendo: e m e m m u u ε δ δ δ (78) ( ) e m L e m L e e e m L u u u AG u AG AG u ε δ δ δ δ δ δ (79) e b e b u u κ δ δ δ (8) e s e s u u γ δ δ δ (8) Portanto a Eq. (77) pode ser reescrta da segunte forma: ( ) e e L e m L e s b m u u u u ε δ δ δ δ δ (8) Substtundo os termos obtdos na Eq. (75) tem-se: ( ) ( ) ( ) nt ˆ A T T A T s A T b A T m T da da da da W σ u V M N δu δ δ (8) Fnalmente a Eq. (74) que descreve o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (PTV) pode ser compactada da segunte forma: ( ) ˆ ˆ A T A T T da σda u g f σ u δ (84) Nota-se que o vetor de forças nternas g(u) depende dos deslocamentos da estrutura por conta dos efetos da não lneardade geométrca nos termos de deformação de Green-Lagrange além de possíves não lneardades físcas que serão abordadas posterormente.

54 5 Do PTV admte-se que δu é arbtráro e cnematcamente possível. Portanto a partr da Eq. (84) obtemos a condção de equlíbro do sstema que mplca que as forças eternas estejam em equlíbro com as forças nternas: ( u) f r g (85) 4... Matrz de rgdez tangente A solução das equações de equlíbro não lneares e o traçado do camnho de equlíbro são realzados normalmente utlzando métodos ncrementas-teratvos como Controle de Carga Deslocamento ou Comprmento de Arco (CRISFIELD 99). Nestes métodos a solução das equações de equlíbro a cada passo é realzada através do Método de Neton-Raphson. Este método é baseado na lnearzação das equações de equlíbro sendo necessáro determnar a matrz de rgdez tangente da estrutura. A matrz de rgdez tangente corresponde à varação do resíduo r em relação aos deslocamentos nodas u. No caso de cargas ndependentes dos deslocamentos tem-se: [ g( u) f ] g( u) T r T σˆ K ˆ T da σ da (86) u u u A u A u Aplcando a regra da cadea na prmera parte da epressão mostrada anterormente pode-se obter uma ntegral que depende da le consttutva do materal. O resultado obtdo a partr desta ntegração é conhecdo como Matrz de Rgdez K L. Anda pode-se mostrar que a dervada da matrz é dada por um vetor que contém apenas a dervada da parcela de membrana. A ntegral na área ncal do elemento da multplcação desta matrz pelo vetor das tensões generalzadas ˆ { } T σ N M V resulta na Matrz de Rgdez Geométrca K σ que depende apenas na parcela de membrana. Deste modo tem-se que: m T m T L T L N C da N K L K A A t da da A σ (87) σ ε K T ε u u T da A u sendo C t a matrz que defne a le consttutva do materal e que não necessaramente segue a Le de Hooke.

55 54 Da Eq. (79) tem-se que de Rgdez Geométrca obtém-se: m L AG. Aplcando este resultado na parcela da Matrz T T T T K σ du G da N da G SG da du K σ G SG da (88) A A A onde: N S N N N (89) 4... Solução da Equação de Equlíbro Não Lnear Em uma estrutura com n graus de lberdade a mposção do equlíbro (Eq. (85)) é representada por um sstema de n equações. Porém para descrever completamente a curva carga-deslocamento devem-se determnar tanto os deslocamentos u quanto um fator de carga λ de modo que f λq resultando em n ncógntas e apenas n equações: ( u λ) g( u) λq r (9) Por conta da dferença entre o número de ncógntas e equações de equlíbro o sstema se torna mpossível de ser resolvdo de forma dreta. De modo a soluconar este problema város métodos para o traçado do camnho de equlíbro foram desenvolvdos como o Método do Controle de Carga Controle de Deslocamento e Comprmento de Arco (CRISFIELD 99). Nos Métodos de Controle de Carga e Controle de Deslocamento uma das n varáves é mantda constante a cada passo tornando possível a solução do sstema. Já nos Métodos de Comprmento de Arco uma equação adconal é utlzada mantendo varações tanto na carga quanto nos deslocamentos. Aplcando o Método de Neton-Raphson as equações de equlíbro podem ser representadas lnearmente da segunte forma: r r r n r δu δλ (9) u λ Supondo que a carga aplcada não depende dos deslocamentos temos:

56 55 ( g f ) r g K T (9) u u u Portanto a Eq. (9) pode ser representada da segunte forma: r rn r K Tδu δλ (9) λ Segundo Parente Junor et al. (6) em todos os métodos para o traçado do camnho de equlíbro consdera-se que o processo teratvo de Neton-Raphson convergu quando: ma r ( q ) tol (94) onde tol é uma tolerânca pré-estabelecda. Na sequênca será apresentado o Método do Controle de Carga. Para maores nformações acerca dos demas métodos para o traçado do camnho de equlíbro consultar Crsfeld (99) Parente Junor et al. (6) e Rocha () Método do Controle de Carga A forma mas smples de se resolver o sstema de n equações menconadas anterormente é utlzando o Método do Controle de Carga. Neste método elmna-se a varável λ mpondo que a carga seja ncrementada de forma constante em cada passo (δλ ). Deste modo a Eq. (9) pode ser reescrta da segunte forma: r r K δu (95) n T Fazendo com que o resíduo seja anulado (r n ) pode-se calcular a varação dos deslocamentos a cada teração: δ u K r (96) T Com esta varação pode-se obter os deslocamentos no fnal da teração da segunte forma: u n u δu (97)

57 56 Aplcando este método pode-se obter o camnho de equlíbro de estruturas nas quas um aumento na carga provoque necessaramente um aumento nos deslocamentos. Caso o camnho de equlíbro da estrutura apresente o fenômeno snap-through (Fgura 7) esta passará para a posção estável mas próma (do ponto A ao ponto C na fgura) vsto que um ncremento postvo ou negatvo de carga provoca um ncremento de mesmo snal nos deslocamentos. Para se obter a curva compreendda entre os pontos A e C na Fgura 7 podese usar o Método do Controle de Deslocamentos ou um Método de Comprmento de Arco. Como menconado anterormente a formulação destes métodos não será mostrada neste teto mas pode ser obtda em Crsfeld (99) Parente Junor et al. (6) e Rocha (). Fgura 7 Fenômeno snap-through no camnho de equlíbro de uma estrutura. Fonte: Adaptado de Rocha (). 4.. Análse Não Lnear Físca Com a utlzação de algum crtéro de falha pode-se determnar a carga de falha de uma lâmna a partr do seu estado de tensões ou deformações. Após esta carga ser atngda ocorre uma redução na rgdez na lâmna e com sso o lamnado também perde rgdez. Como hpótese de projeto pode-se dzer que o lamnado falhou quando alguma de suas lâmnas falha. Por outro lado adotar esta hpótese pode tornar o projeto anteconômco vsto que a falha de uma lâmna não mplca na perda de capacdade de carga do lamnado como todo. Deste modo a análse pode contnuar desde que se consdere a perda de rgdez do

58 57 lamnado descarregando as lâmnas que falharam. Esta metodologa de análse é conhecda como falha progressva. A falha catastrófca de uma estrutura lamnada raramente acontece quando ocorre a falha da prmera lâmna. Na verdade geralmente a estrutura falha devdo à propagação ou a acumulação de dano quando a carga é ncrementada (SLEIGHT 999). Deste modo é necessáro que se aplque um crtéro de falha e de propagação adequados. A degradação da rgdez das lâmnas que falharam pode ser realzada utlzando dversas abordagens (SLEIGHT 999 GARNICH 9). Além da escolha do crtéro como já menconado deve-se decdr em que nível a degradação será feta. Segundo Garnch (9) a degradação pode ser realzada de três formas: no nível mcromecânco com redução das constantes elástcas ou redução dos coefcentes Q j mostrados na Eq. (). No nível mcromecânco quando uma lâmna falha degradam-se os módulos de elastcdade da fbra e da matrz e em seguda se calculam as constantes elástcas E G j e υ j utlzando a Le das Msturas por eemplo. No modelo de redução das propredades mecâncas os parâmetros E G j e υ j são degradados dretamente sem a necessdade de recorrer às complcações do nível mcromecânco (GARNICH 9). Após a degradação das propredades as matrzes consttutvas são recalculadas. Este é o método aplcado no presente trabalho. Fnalmente no modelo de degradação dreta dos coefcentes Q j os termos das matrzes consttutvas do materal na escala local da lamna são degradados (SPOTTSWOOD & PALAZOTTO ). É mportante menconar que Garnch (9) mostra que a aplcação deste tpo de metodologa pode levar a ganhos de rgdez espúros em algumas propredades mecâncas. Anda estem dversas formas de se fazer este tpo de smulação desde a utlzação de metodologas baseadas na aplcação da Mecânca do Dano Contínuo (MIAMÍ et al. 7a; 7b) de modo a degradar as propredades mecâncas de forma gradual. Nestes modelos pode-se adotar um tpo de evolução do dano dependendo do tpo de falha que ocorre na lâmna (DONADON et al. 8; 9; YOKOYAMA et al. ). Esta é a metodologa utlzada no AAQUS por eemplo para se levar em consderação a não lneardade físca em compóstos lamnados (SIMULIA 9). No softare um modelo de dano ortotrópco é proposto para prever o comportamento pós-falha de materas reforçados com fbras. O crtéro de falha de Hashn (98) é utlzado para

59 58 predzer o níco da falha. A evolução do dano é baseada na energa de fratura dsspada durante este processo. Esta le de evolução é uma generalzação da abordagem proposta por Camanho & Dávlla () para a modelagem de delamnação usando elementos de zona coesva (LAPCZYK & HURTADO 7). A degradação das propredades mecâncas é feta conforme o modelo proposto por Matzenmller et al. (995). Estem também modelos mas smples de degradação seja ela uma degradação à tensão constante ou degradação nstantânea (REDDY et al. 995; PADHI et al. 998; PAL & RAY ; PRUSTY 5; AKHRAS & LI 7) como mostrado na Fgura 8. Fgura 8 Tpos de degradação utlzados em lamnados. Fonte: Adaptado de Sleght (999). Os modelos de degradação nstantânea podem anda ser subdvddos pelos tpos de degradação que podem ser consderadas na lâmna: elmnação total da lâmna degradação não nteratva ou nteratva (GARNICH 9). No modelo de elmnação total da lâmna todas as propredades mecâncas nos pontos onde ocorreu a falha são degradados (SCIUVA et al. 998; PAL & RAY ; PRUSTY 5). É o método mas conservatvo dentre os supractados. No modelo de degradação não nteratva propredades soladas são degradadas dependendo do tpo de falha. Por eemplo se a falha detectada em uma lâmna ocorre na matrz apenas o módulo de elastcdade transversal E é degradado. Fnalmente no modelo de degradação nteratva utlzado no presente trabalho váras propredades podem ser degradadas dependendo do tpo de falha sem necessaramente anular todas as propredades da lâmna no ponto que falhou

60 59 (REDDY et al. 995; KAM et al. 996; PADHI et al. 998; SLEIGHT 999; SPOTTSWOOD & PALAZOTTO ). Por eemplo pode-se adotar que E G e υ são degradados quando se dentfca a falha na matrz de uma lâmna. Nos modelos de degradação à tensão constante o materal se comporta de forma smlar a um elasto-plástco perfeto de modo que ao alcançar a tensão resstente a lâmna não é descarregada mas consdera-se que ela suporta a carga equvalente a esta tensão até que a falha do lamnado completo ocorra. Modelos de degradação nstantânea são comuns na consderação da degradação das propredades mecâncas de uma lâmna (SLEIGHT 999). Nesta metodologa uma ou váras propredades mecâncas da lâmna podem ser degradadas nos pontos de ntegração onde se dentfcou a falha. Essa redução pode anular as propredades mecâncas envolvdas ou reduz-las a uma fração de seus valores orgnas a partr de um parâmetro α que pode ser nulo ou assumr um valor muto pequeno de modo a evtar problemas numércos. O fator de redução das propredades mecâncas aplcado pode ou não ser dependente do modo de falha (SLEIGHT 999; KUIRASHI ): E f j α E (98) j onde E j e f E j é uma propredade mecânca qualquer antes e depos da sua degradação. A escolha das propredades degradadas depende do modo de falha que se dará. É mportante notar que ndependente do modelo de degradação adotado quando uma lâmna falha esta é smplesmente trocada por um materal contínuo e homogêneo de menor rgdez. Ao reduzr as propredades elástcas o modelo promove o descarregamento da lâmna uma vez que para as mesmas deformações as tensões no materal degradado são muto menores que antes da falha. Estas tensões são redstrbuídas para lâmnas que anda estão ntactas. Com o aumento do carregamento as tensões em outras lâmnas vão aumentando e a falha va se espalhando pela estrutura. Por conta deste fato o processo passou a ser conhecdo como falha progressva. O colapso da estrutura ocorre quando esta não for capaz de redstrbur as tensões atuantes no materal que falhou.

61 Modelos de Degradação do Materal Os tpos de falha progressva aplcando uma degradação do materal foram apresentados no tópco anteror. Nesta seção serão apresentadas as formas de degradação utlzadas neste trabalho para os crtéros de falha abordados no tem Modelo de degradação para os crtéros da Máma Tensão Máma Deformação e Hashn Nestes modelos as propredades mecâncas são reduzdas drastcamente após a dentfcação da falha. Quando ocorre a falha da matrz a degradação das propredades mecâncas é feta a partr de um coefcente de redução α: E d d d α E G αg υ αυ (99) As mesmas degradações são realzadas em caso de falha por csalhamento fbra-matrz. Por outro lado quando a falha ocorre nas fbras a segunte degradação das propredades mecâncas é realzada: E d d d α E G αg υ αυ () Segundo Sleght (999) α -n onde n é um número ntero compreenddo entre zero e vnte Modelo de degradação de Engelstad. (99) Este modelo de degradação é baseado no proposto por Engelstad (99) e é baseado no crtéro de Tsa-Wu. Contudo como este crtéro é ndependente do modo de falha adotam-se três varáves a fm de avalar a contrbução de cada componente de tensão na falha do lamnado: H H H 6 f σ f σ τ 66 f σ f f σ () O modo de falha é determnado a partr do fator de maor magntude.

62 6 Para a falha da matrz ou por csalhamento fbra-matrz a degradação das propredades mecâncas é feta a partr de um coefcente de redução α: E d d d α E G αg υ αυ () Do mesmo modo quando a falha ocorre nas fbras a degradação das propredades mecâncas é realzada pelo mesmo coefcente de redução α mostrado anterormente: E d d d d α E E αe G αg υ αυ () 4... Modelo de degradação de Kurash et al. () Este modelo de degradação fo proposto por Kurash et al. () dentro do Worldde Falure Eercse (WFE) tendo sdo um dos crtéros que apresentou os melhores resultados na comparação entre as dversas teoras de falha partcpantes deste eercíco (SODEN et al. 4). Este modelo é baseado no crtéro de falha de Tsa-Wu. Para aplcação da degradação este modelo defne dos estados báscos para o materal compósto: o Estado Intacto e o Estado Degradado. No Estado Intacto o materal possu sua resstênca e rgdez ncal. No Estado Degradado admte-se que a prmera falha corresponde à falha da matrz e a segunda falha corresponde à falha das fbras. Após a falha o materal permanece contínuo e ocupando a mesma posção mas tem suas propredades elástcas reduzdas. Quando ocorre a falha da matrz a degradação das propredades mecâncas é feta a partr de um coefcente de redução α m : E E G G d d d α m α m υ α mυ (4) onde o superescrto d ndca que a propredade mecânca fo degradada. Consdera-se anda uma redução da resstênca à compressão das fbras dada por: F d C F C E E d n (5) sendo n um fator eponencal de degradação.

63 6 Se ocorrer uma segunda falha do mesmo materal consdera-se que esta corresponde à falha das fbras e as propredades elástcas do materal são degradadas utlzando um fator α f : f f d f d f d E α f E E α f E G α f G υ α fυ (6) onde o superescrto f ndca a propredade mecânca do materal após a falha. Os valores dos parâmetros de degradação utlzados neste trabalho são α m.8 α f. e n. (KURAISHI et al. ) Avalação Numérca A formulação desenvolvda nos tens anterores pode ser utlzada tanto para materas com comportamento lnear elástco como com comportamento não lnear nclundo o modelo de falha progressva descrto no Item 4.. No caso de materas com comportamento lnear a matrz consttutva (Q) de cada lâmna é constante do mesmo modo que a matrz consttutva do lamnado (C C t ). Assm a matrz C pode ser ntegrada eatamente na espessura utlzando a Eq. (8) e os esforços nternos podem ser calculados dretamente utlzando a Eq. (7). Em consequênca a ntegração numérca é realzada apenas na superfíce méda da casca utlzando a quadratura de Gauss. Por outro lado no caso de materas com comportamento não lnear a matrz consttutva (Q) pode varar ao longo da lâmna (tanto na superfíce quanto na espessura) à medda que o materal va falhando. Assm os esforços nternos (σ) e a matrz consttutva tangente do lamnado (C t ) utlzadas nas Eqs. (84) (87) e (89) devem ser ntegrados numercamente ao longo da espessura. Neste trabalho a ntegração ao longo da espessura é efetuada utlzando a quadratura de Lobatto com pontos de ntegração em cada lâmna. Esta quadratura fo escolhda porque ela possu pontos nos etremos do ntervalo permtndo captar melhor o níco do processo de degradação do materal. Além dsso pontos de Lobatto permtem ntegrar eatamente os esforços nternos e a matrz consttutva quando o materal está no

64 6 regme elástco (.e. antes da falha). A ntegração ao longo da superfíce méda da casca contnua a ser realzada utlzando a quadratura de Gauss. Com a matrz consttutva C a matrz K T (Eq. (87)) é avalada e os deslocamentos são determnados. Uma mportante observação a ser feta é que a falha progressva pode ser utlzada com ou sem a consderação da não lneardade geométrca. Caso só a falha seja consderada a matrz K T dependerá dos deslocamentos eclusvamente devdo à matrz C. A partr dos deslocamentos as tensões no sstema local de cada ponto de ntegração na espessura são calculadas. Com as tensões calculadas o crtéro de falha adotado é avalado. Se uma falha for detectada ocorre uma degradação fctíca que vale apenas durante a teração corrente. As tensões são então calculadas novamente com as propredades degradadas e o crtéro é novamente checado. Tal processo se repete até que nenhuma falha seja detectada. As tensões são então usadas para avalar se a estrutura está em equlíbro verfcando se o resíduo r (Eq. (85)) que é a dferença entre as forças nternas g e cargas eternas f é menor que uma tolerânca pré-estabelecda. Se a estrutura não estver em equlíbro correções teratvas na carga e deslocamentos obtdos na solução da equação de equlíbro não lnear (Eq. (9)) são aplcadas e a matrz C é recalculada. Antes das tensões serem novamente avaladas o estado do materal retorna ao do últmo ponto de equlíbro da curva carga-deslocamento. A degradação das propredades é realzada somente após a convergênca das terações de equlíbro. Este processo contnua até que o número de passos estpulado seja eecutado ou até que a análse teratva não atnja uma convergênca por falta de rgdez do materal. A Fgura 9 representa o procedmento eplcado nos parágrafos anterores Valdação dos Modelos de Degradação A formulação apresentada neste trabalho fo desenvolvda no FAST (MORORÓ ; ROCHA ; DANTAS JUNIOR 4; ARROSO 5) que é um programa de análse de estruturas pelo Método dos Elementos Fntos crado no Laboratóro de Mecânca Computaconal e Vsualzação da UFC. O FAST (Fnte element AnalSs Tool) é um programa mplementado em C que utlza o paradgma de Programação Orentada a Objetos (POO). O programa de Elementos Fntos fo desenvolvdo ncalmente para

65 64 materas homogêneos e depos fo estenddo para o tratamento de materas compóstos (ROCHA ; DANTAS JUNIOR 4). Atualmente o softare também comporta análses numércas a partr da Análse Isogeométrca (ARROSO 5). Neste tem serão apresentados três eemplos para a verfcação dos modelos de degradação aqu apresentados: duas placas sujetas à compressão e uma sujeta à tração. Os resultados obtdos são verfcados com os determnados usando o AAQUS (SIMULIA 9) e valdados por resultados epermentas estentes na lteratura. Fgura 9 Processo de falha progressva. Fonte: Rocha () Placa com furo sujeta à tração Neste eemplo será avalado o comportamento de uma placa longa engastada em uma aresta e lvre nas demas com furo crcular sujeta a uma tração unforme. Para verfcar a formulação apresentada os resultados obtdos são comparados com Sleght (999). A placa é feta de fbra de carbono T com resna epó do tpo 4-C cujas propredades mecâncas são apresentadas na Tabela 4 e tem. mm de comprmento (L) e 5.4 mm de largura (b). O furo crcular tem 6.5 mm de dâmetro (d) é localzado no centro da placa (ver

66 65 Fgura 6). O esquema de lamnação adotado fo [/( ± 45) /9 ] s e cada lâmna tem espessura de.8 mm. Os resultados obtdos pelos modelos de degradação determnados também são comparados com o modelo de dano contínuo presente no AAQUS (SIMULIA 9). São usados elementos quadrátcos do tpo S8R. Utlzou-se o Método do Controle de Deslocamentos (CRISFIELD 99) para determnação do camnho de equlíbro da estrutura. Para cada passo da análse um deslocamento de.5 m fo aplcado ao nó central da face dreta da placa cujas coordenadas são (L b/). As energas de fratura na tração (T) e na compressão (C) adotadas no modelo de dano contínuo do AAQUS na dreção das fbras (F) e transversas a estas (M) são dadas na Tabela (MAIMÍ 6). Tabela - Propredades mecâncas da fbra de carbono-epó T/4-C. E (GPa) 46.8 E E (GPa).47 υ υ.9 v.45 G G (GPa) 6. G (GPa).8 F T (MPa) 7. F C (MPa) 79. F T F T (MPa) 66.5 F C F C (MPa) 68. S 4 S 5 S 6 (MPa) 58. Tabela Energas de fratura assocadas fbra de carbono-epó T/4-C (J/m ). G FT G FC G MT G MC A malha aplcada nas análses por elementos fntos tanto no FAST quanto no AAQUS é apresentada na Fgura.

67 66 Fgura Malha condções de contorno e carregamento utlzados no FAST e no AAQUS. A Tabela mostra os valores obtdos para as cargas referentes à Falha da Prmera Lâmna (FPF) e à carga de pco. Pode-se observar que apesar da sua smplcdade o modelo de degradação nstantânea baseado no crtéro da Máma Tensão fornece valores bem prómos aos obtdos por Sleght (999). Os resultados obtdos pelos demas crtéros também são bastante satsfatóros eceto no caso do Crtéro de Hashn. Verfca-se também que os valores da carga referente à falha da prmera lâmna estão todos na mesma ordem de grandeza. Observa-se também uma boa concordânca entre os resultados epermentas e os obtdos pelo modelo de dano contínuo presente no AAQUS. Tabela Comparação entre as cargas de ruptura da placa para dferentes crtéros. Crtéro P FPF (kn) P ma (kn) P/P Sleght Hashn Sleght (999) Máma Tensão Máma Deformação Hashn Engelstad Tsa Hashn AAQUS A Fgura mostra a curva carga-alongamento da placa analsada no AAQUS avalando o comportamento lnear e não lnear físco da estrutura. A Fgura apresenta o resultado obtdo em termos do alongamento da placa utlzando város modelos de degradação nstantânea. Pode-se notar que o comportamento não lnear do lamnado é bem representado por estes modelos dentro das lmtações de suas formulações mas as cargas de pco determnadas estão um pouco abao das obtdas por Sleght (999).

68 67 Fgura Curvas carga versus deslocamento aal obtda pelo AAQUS. Fgura Curvas carga versus deslocamento aal obtdos pelos modelos de degradação nstantânea. A Fgura mostra a lâmna a regão onde se nca o processo de falha juntamente com a respectva carga (P FPF ) obtda nos modelos dsponíves no AAQUS. Esta regão é dentfcada pelo índce de falha obtdo no softare. Nos trechos onde este índce é maor que a undade se verfca que a estrutura perde a capacdade de resstr aos esforços e se

69 68 nca a falha progressva redstrbundo as tensões para outras regões do corpo até que a estrutura não suporte determnado carregamento e colapse. Fgura Identfcação dos pontos onde se nca o processo de falha na placa traconada. (a) Máma Tensão P FPF 6.96 kn. (b) Tsa-Wu P FPF 5.75 kn. (c) Hashn P FPF 6.7 kn. É nteressante notar que a falha nca nos pontos de concentração de tensão e que dependendo do crtéro de falha avalado tanto a carga quanto a lâmna referente à falha

70 69 podem ser dferentes. Neste caso observa-se que no Crtéro de Tsa-Wu a falha se nca antes dos demas crtéros testados. A confguração deformada da placa lamnada é apresentada na Fgura 4. A evolução do dano na matrz à tração é determnada no softare em uma lâmna específca e mostrada na Fgura 5. Verfca-se que a evolução do dano no elemento estrutural se dá a partr do furo que é uma regão de concentração de tensões. Fgura 4 Dagrama de cores obtdo no AAQUS referente ao deslocamento aal na placa. Fgura 5 Evolução do dano na matrz da lâmna (θ 45º). (a) P.49 kn. (b) P.954 kn. (c) P.56 kn. (d) P 4.97 kn.

71 Placa sujeta à compressão Neste eemplo é modelada uma placa retangular com 58 mm de comprmento (L) e 7.45 mm de largura (b). Os resultados obtdos são comparados com os determnados por estudos epermentas propostos por Starnes & Rouse (98). A placa é feta de compósto de fbra de carbono T com resna epó do tpo 58 cujas propredades mecâncas são apresentadas na Tabela 4. O esquema de lamnação é [ ± 45/ / ± 45/ / ± 45//9] s e cada lâmna tem espessura de.589 mm. Tabela 4 - Propredades mecâncas do compósto de carbono-epó T/58. E (GPa).4 E E (GPa).97 υ υ. v.45 G G (GPa) 6.8 G (GPa) 4.69 F T (MPa) 8. F C (MPa) 4. F T F T (MPa) 8. F C F C (MPa) 89. S 4 (MPa). S 5 S 6 (MPa) 69. As condções de contorno do problema são (SLEIGHT 999): u v θ θ θ θ θ em em e b 7) em L Para o modelo sogeométrco um estudo de convergênca fo feto para a escolha da malha e do grau do polnômo. Três malhas dferentes foram analsadas assm como polnômos do º º e 4º grau. A carga crítca obtda no modelo do AAQUS (Fgura 6) fo P cr 4.7 kn e o modo de flambagem assocado é mostrado na Fgura 7. Neste é utlzada uma malha com

72 7 5 7 elementos quadrátcos do tpo S8R. Os resultados obtdos no estudo de convergênca são apresentados a segur na Tabela 5 e na Fgura 8. Fgura 6 Malha condções de contorno e carregamento utlzados no AAQUS. Fgura 7 Modo de flambagem obtdo no AAQUS.

73 7 Tabela 5 Estudo de convergênca da carga crítca da placa analsada. Grau do Polnômo 4 Malha Graus de Lberdade P cr / P craaqus Fgura 8 Curva de convergênca da carga crítca da placa analsada. Com os valores apresentados anterormente optou-se por fazer as análses procedentes com uma malha de 4 8 utlzando polnômos do º grau. Adotou-se uma mperfeção ncal de 5% da espessura do lamnado no prmero modo de flambagem nas análses não lneares. Para determnação do camnho de equlíbro da estrutura aplcou-se o Método do Controle de Deslocamentos (CRISFIELD 99). Para cada passo da análse um

74 7 deslocamento de -.5 m fo aplcado ao nó central da face dreta da placa cujas coordenadas são (L b/). Os resultados obtdos pelos modelos de degradação obtdos também são comparados com o modelo de dano contínuo presente no AAQUS (SIMULIA 9). Neste são utlzados 5 7 elementos quadrátcos do tpo S8R (Fgura 6). Neste caso utlzou-se o Método do Comprmento de Arco de Rks (CRISFIELD 99) para determnação do camnho de equlíbro da estrutura. A malha aplcada nas análses por Elementos Fntos é apresentada na Fgura 6. As energas de fratura adotadas no modelo de dano contínuo do AAQUS são apresentadas na Tabela (MAIMÍ 6). Para verfcação do modelo sogeométrco utlzou-se o AAQUS e foram fetas análses não lneares geométrcas juntamente com o FAST. O resultado desta comparação é apresentado na Fgura 9. A Fgura apresenta o resultado obtdo em termos do encurtamento da placa. Pode-se notar que o comportamento não lnear do lamnado é bem representado pelos modelos de degradação nstantânea mas algumas cargas de pco obtdas estão muto abao das determnadas epermentalmente como por eemplo a provenente do modelo de degradação de Tsa como mostrado na Tabela 6. Em contrapartda verfca-se uma boa concordânca dos resultados epermentas com os obtdos pelo dano contínuo presente no AAQUS. Tabela 6 Comparação entre as cargas de ruptura da placa para dferentes crtéros. Crtéro P lm /P cr P lm /P epermental Epermental.7. Máma Tensão Máma Deformação Hashn Engelstad Tsa.8.89 Hashn AAQUS

75 74 Fgura 9 Curva carga-deslocamento aal obtdos no AAQUS. Fgura Curva carga-deslocamento aal para dversos crtéros de falha. A Fgura mostra a lâmna e o ponto onde se nca o processo de falha juntamente com a respectva carga (P FPF /P cr ) obtda nos modelos dsponíves no AAQUS. Observa-se neste caso que o processo de falha no Crtéro de Hashn se nca para uma carga

76 75 67% maor em comparação com os resultados obtdos com o Crtéro da Máma Tensão e o Crtéro de Tsa-Wu. Nota-se também que apesar das cargas P FPF serem guas no Crtéro da Máma Tensão e no Crtéro de Tsa-Wu a lâmna onde se nca o processo de degradação da placa é dferente. Fgura Identfcação dos pontos de níco do processo de falha progressva na placa retangular. (a) Máma Tensão P/P cr.8. (b) Tsa-Wu P/P cr.8. (c) Hashn P/P cr.8. A Fgura e a Fgura apresentam respectvamente a confguração deformada e a regão danfcada da placa obtda pelo AAQUS antes da perda de establdade apresentada na Fgura.

77 76 Fgura Deformada da placa sujeta à compressão aal. Fgura Regão danfcada no nstante da perda de establdade da placa. (a) Dano na fbra à compressão (θ 45º). (b) Dano na matrz à tração (θ 45º).

78 77 Neste eemplo fo feto também um estudo acerca da nfluênca das mperfeções ncas no comportamento pós-crítco da estrutura. Para sto foram fetas análses de placas com mperfeções de.%.5% % e 5% no valor da espessura do lamnado. A Fgura 4 e a Fgura 5 mostram os resultados obtdos para este estudo usando o Crtéro da Máma Tensão que fo o que apontou uma carga de pco mas próma dos resultados epermentas e o Crtéro de Tsa com o modelo de degradação de Kurash et al. () que será amplamente empregado no decorrer deste trabalho. Percebe-se que as mperfeções ncas geram efetos consderáves para cargas prómas ao carregamento crítco e nestes casos quanto maor o nível de mperfeção da placa maor a deformação desta quando N/N cr. Por outro lado nota-se que para níves de carregamento superor à carga crítca as curvas convergem e apresentam pratcamente a mesma carga de ruptura. Fgura 4 Efeto das mperfeções ncas na curva carga-deslocamento da placa aplcando o modelo de degradação baseado no Crtéro da Máma Tensão.

79 78 Fgura 5 Efeto das mperfeções ncas na curva carga-deslocamento da placa aplcando o modelo de degradação de Kurash et al. () Placa com furo sujeta à compressão Neste eemplo será avalado o comportamento de uma placa longa com furo crcular sujeta a uma compressão unforme em uma de suas faces. Para valdar e verfcar a formulação aqu apresentada os resultados são comparados com estudos epermentas propostos por Starnes & Rouse (98). A placa é feta de fbra de carbono T com resna epó 58 cujas propredades mecâncas foram apresentadas na Tabela 4 e tem 58 mm de comprmento (L) e 9.7 mm de largura (b). O furo crcular de 9.5 mm de dâmetro (d) é localzado a 9.5 mm de dstânca do ponto de aplcação da carga (ver Fgura 6). O esquema de lamnação é [ ± 45//9/ ± 45//9/ ± 45//9] s e cada lâmna tem espessura de mm. As condções de contorno do problema são (SLEIGHT 999): u v θ θ θ v θ θ em em e b 8) em L A malha aplcada nas análses é apresentada na Fgura 6. A carga crítca obtda pelo AAQUS fo P cr kn e o modo de flambagem é apresentado na Fgura 7.

80 79 Fgura 6 Dscretzação condções de contorno e carregamento utlzados. Adotou-se uma mperfeção ncal de 5% da espessura do lamnado no prmero modo de flambagem nas análses não lneares. Para determnação do camnho de equlíbro da estrutura aplcou-se o Método do Controle de Deslocamentos (CRISFIELD 99). Para cada passo da análse um deslocamento de -. m fo aplcado ao nó central da face dreta da placa cujas coordenadas são (L b/). Fgura 7 Modo de flambagem da placa com furo sujeta à compressão aal. Os resultados obtdos pelos modelos de degradação aqu apresentados também são comparados com o modelo de dano contínuo presente no AAQUS (SIMULIA 9). Neste são utlzados elementos quadrátcos do tpo S8R. Neste caso utlzou-se o Método do Comprmento de Arco de Rks (CRISFIELD 99) para determnação do camnho de equlíbro da estrutura.

81 8 A Fgura 8 apresenta as curvas carga-encurtamento obtdas pelo AAQUS com o Modelo de Dano Contínuo e a Fgura 9 apresenta uma comparação entre os resultados determnados pelos Modelos de Degradação Instantânea. Fgura 8 Curva carga-encurtamento obtdos pelo AAQUS. Fgura 9 Curva carga-encurtamento obtdos pelos modelos de degradação nstantânea.

82 8 Pode-se notar que o comportamento não lnear do lamnado é bem representado pelos modelos de degradação nstantânea no níco das curvas carga-deslocamento mas as cargas de pco determnadas estão muto abao das obtdas epermentalmente. Em contrapartda verfca-se uma boa concordânca dos resultados epermentas com os obtdos pelo dano contínuo presente no AAQUS. A dscrepânca entre os resultados obtdos nos modelos de degradação nstantânea podem ser devdo à degradação brusca das propredades mecâncas enquanto em um modelo de dano contínuo como o do AAQUS tem-se um modelo de progressão de dano dferente para cada tpo de falha. A Fgura 4 mostra a lâmna e o ponto onde se nca o processo de falha de acordo com os modelos de falha dsponíves no AAQUS. Observa-se que de modo semelhante ao modelo da placa traconada o níco da falha e a sua propagação decorrem da concentração de tensões desenvolvdas em torno do furo da placa. Fgura 4 Identfcação dos pontos de níco do processo de falha progressva na placa retangular. (a) Máma Tensão (b) Tsa-Wu

83 8 (c) Hashn A Fgura 4 e a Fgura 4 apresentam respectvamente a confguração deformada e a regão danfcada da placa obtda pelo softare no nstante da perda de establdade da estrutura. É nteressante notar que apesar do níco da degradação ocorrer em torno do furo a regão com maor degradação ocorre nas bordas da regão central da peça onde os deslocamentos mudam de snal. Fgura 4 Confguração deformada obtda pelo AAQUS.

84 8 Fgura 4 Regão danfcada no nstante da perda de establdade da placa para város modos de falha. (a) Dano nas fbras à compressão da lâmna (θ º). (b) Dano na matrz à tração da lâmna (θ 45º). (c) Dano por csalhamento da lâmna 7 (θ º).

85 84 5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO A segur serão apresentados eemplos de análse de placas e cascas homogêneas e lamnadas com objetvo de valdar a formulação apresentada e de estudar o efeto da degradação do materal sobre a capacdade de carga da estrutura. 5.. Carga Crítca de Placas Quadradas Smplesmente Apoadas O prmero eemplo trata da análse do efeto dos acoplamentos gerados na carga crítca de uma placa quadrada de lado a smplesmente apoada e sujeta à compressão unaal a partr da escolha do tpo de lamnação. É feta a avalação do efeto dos acoplamentos gerados pelos componentes da matrz C (Eq. (7)) na carga crítca da placa à medda que o número de lâmnas da estrutura aumenta. Serão avaladas lamnações do tpo cross-pl e angle-pl. Em ambos os casos analsa-se o efeto da consderação da smetra ou antssmetra nos lamnados. A espessura h da estrutura também é varada e o seu efeto também é dscutdo. Jones (999) apresenta um estudo onde é utlzada a Teora Clássca da Lamnação (TCL) em lamnados com relação lado/espessura gual a 5. Neste trabalho foram utlzadas relações lado/espessura gual a 5 5 e aplcando a Teora de Ressner-Mndln de modo que a perda de capacdade de carga da estrutura devdo ao efeto do csalhamento transversal seja captada. Nestas análses para cada relação lado/espessura a espessura total da placa é mantda e o efeto do aumento do número de lâmnas na carga crítca é avalado. É mportante menconar lamnados com relação a/h 5 e a/h não têm aplcações prátcas sendo estudados neste trabalho apenas para avalar o travamento em csalhamento (shear lockng) à medda que se aumenta o grau do polnômo nterpolador nos elementos sogeométrcos. O materal utlzado tem as seguntes propredades mecâncas E 6 ps E /E 5 G.5E e ν.5. Nos lamnados angle-pl os estudos foram fetos somente para as razões a/h e a/h 5. Nas análses utlzou-se tanto a Análse Isogeométrca por meo do FAST quanto o Método dos Elementos Fntos pelo AAQUS. Um estudo de convergênca fo feto para se estmar a malha necessára nas análses subsequentes. Neste estudo utlzou-se uma

86 85 lamnação [/9] s. Também fo avalado como o grau do polnômo nterpolador nfluenca nos resultados obtdos. No AAQUS fo adotada uma malha de totalzando elementos (Fgura 4). O elemento utlzado é de casca com 8 nós e ntegração reduzda (S8R). As condções de contorno utlzadas são: u θ θ θ a a (9) Fgura 4 Malha adotada e prmero modo de flambagem da estrutura analsada. (a) Malha adotada. (b) Prmero modo de flambagem. Fo avalado também o efeto do tpo de ntegração na análse sogeométrca. Para sto fo utlzada a ntegração completa que segue a mesma flosofa da utlzada em Elementos Fntos e a metodologa de ntegração reduzda proposta por Adam et al. (4 5) em vgas placas e cascas sujetas à fleão. Adam et al. (4 5) apresentada uma metodologa aplcável para dferentes ordens de nterpolação e válda para contnudade C à C p. Entretanto neste trabalho se lmtará a apresentação e aplcação de polnômos nterpoladores quadrátcos cúbcos quártcos e quíntcos com contnudade C p. A Fgura 44 e a Fgura 45 mostram como é feta a ntegração completa e a reduzda em uma placa quadrada de aresta gual a com 6 elementos para as dversas ordens de nterpolação usada no knot span.

87 86 Fgura 44 Pontos de ntegração em uma placa quadrada com dversas ordens de nterpolação e ntegração completa (a) Polnômos quadrátcos. (b) Polnômos cúbcos (c) Polnômos quártcos. (d) Polnômos quíntcos.

88 87 Fgura 45 Pontos de Gauss em uma placa quadrada com dversas ordens de nterpolação e ntegração reduzda. (a) Polnômos quadrátcos. (b) Polnômos cúbcos. (c) Polnômos quártcos. (d) Polnômos quíntcos. Os resultados obtdos pelo MEF no AAQUS para as relações lado/espessura são mostrados na Tabela 7. Utlzou-se como carga de referênca (N ref ) a carga crítca obtda pela Teora Clássca da Lamnação (REDDY 4):

89 88 N ref D D ( D D ) π 66 D m a D m () onde m vem da apromação da confguração deformada da placa por curvas formadas por senos e este representa o número de meas ondas formadas na dreção. Tabela 7 Valores das cargas crítcas obtdas no AAQUS para as relações lado/espessura consderadas. a/h N cr N cr /N ref A normalzação da carga crítca é feta a partr da carga de referênca N ref para se mostrar como o efeto do csalhamento va se tornando mas mportante à medda que a espessura do lamnado aumenta. Dos resultados obtdos pelo AAQUS verfca-se que à medda que a espessura do lamnado dmnu o efeto do csalhamento transversal também se reduz com a carga de flambagem obtda por Ressner-Mndln convergndo para a solução da TCL. No lamnado com relação a/h a perda de capacdade de carga devdo ao csalhamento transversal é de apromadamente 4% enquanto para lamnados fnos (a/h 5 ou a/h ) a carga crítca é reduzda em menos de % do valor obtdo da teora clássca. Da Tabela 8 à Tabela são apresentados os resultados do estudo de convergênca da carga crítca obtdos pela Análse Isogeométrca feta no FAST para as relações a/h avaladas neste problema. Na sequênca na Fgura 46 à Fgura 5 são plotadas curvas mostrando grafcamente a convergênca da carga crítca da estrutura. Pode-se observar que os resultados obtdos pela AIG são mas precsos para uma malha com dvsões em comparação com os calculados pelo MEF com a mesma dscretzação no caso das placas com relação a/h e a/h 5 uma vez que por defnção a carga crítca da estrutura é o menor autovalor obtdo em uma análse de flambagem.

90 89 Entretanto para a placa com relação lado/espessura gual a percebe-se que o efeto do lockng é muto forte e os resultados obtdos pelo AAQUS são mas precsos. Tabela 8 Estudo de convergênca para as placas com relação a/h. Grau do Número Graus de Integração Completa Integração Reduzda Polnômo de dvsões lberdade N cr N ref N cr N ref Fgura 46 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h.

91 9 Tabela 9 Estudo de convergênca para as placas com relação a/h 5. Grau do Número Graus de Integração Completa Integração Reduzda Polnômo de dvsões lberdade N cr N ref N cr N ref Fgura 47 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h 5.

92 9 Tabela Estudo de convergênca para as placas com relação a/h. Grau de Número Graus de Integração Completa Integração Reduzda Polnômo de dvsões lberdade N cr N ref N cr N ref Fgura 48 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h.

93 9 Tabela Estudo de convergênca para as placas com relação a/h 5. Grau de Número Graus de Integração Completa Integração Reduzda Polnômo de dvsões lberdade N cr N ref N cr N ref Fgura 49 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h 5.

94 9 Tabela Estudo de convergênca para as placas com relação a/h. Grau de Número Graus de Integração Completa Integração Reduzda Polnômo de dvsões Lberdade N cr N ref N cr N ref Fgura 5 Convergênca da carga crítca para o lamnado com relação a/h. Quando se utlza a ntegração completa nos modelos de elementos fntos percebe-se que à medda que a relação lado/espessura da placa dmnu o efeto do lockng se

95 94 torna mas forte. Entretanto ao se utlzar a ntegração reduzda proposta por Adam et al. (4 5) verfca-se que os resultados obtdos convergem rapdamente para a solução correta mesmo quando polnômos de º grau são utlzados na nterpolação. É nteressante notar que ao se utlzar dos elementos por aresta o resultado obtdo por ntegração completa ou reduzda é a mesma. Isto decorre do fato de que todos os elementos da malha gerada são elementos de quna levando a ntegração completa e a reduzda a serem equvalentes em número e na localzação dos pontos de ntegração. No caso da ntegração reduzda as tabelas e fguras anterores mostram que as malhas com 4 4 elementos apresentam resultados pores que as malhas com elementos. Contudo os resultados convergem para a solução do problema à medda que a malha é refnada apesar desta convergênca não ser monotônca. Tabela Número de pontos de ntegração (NPI) usados em cada modelo. INTEGRAÇÃO COMPLETA (IC) Malha/Grau do polnômo INTEGRAÇÃO REDUZIDA (IR) Malha/Grau do polnômo RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE PONTOS DE INTEGRAÇÃO (NPI IR /NPI IC ) Malha/Grau do polnômo A Tabela mostra um comparatvo entre o número de pontos de ntegração em cada modelo. É nteressante notar que nas malhas com 8 8 elementos são necessáros cerca de 5% do número de pontos de ntegração no modelo reduzdo para se obter respostas

96 95 bastante satsfatóras. Nestes casos observa-se uma grande economa no aspecto de esforço computaconal. Verfca-se que à medda que a placa se torna mas fna os resultados obtdos pelos polnômos de segundo grau com ntegração completa não convergem para a solução do problema por conta do efeto do travamento mesmo com a utlzação de malhas relatvamente refnadas ( ). Em contrapartda a efcênca do refnamento k característco da análse sogeométrca é bastante notóra uma vez que uma dscretzação com duas dvsões por aresta resulta em ecelentes resultados para polnômos do 4º e 5º grau. Além dsso observa-se pelas fguras anterores que o efeto do lockng é rapdamente suavzado com este tpo de refnamento. Com os resultados obtdos do estudo de convergênca nas análses subsequentes será utlzada uma malha com 4 dvsões por aresta juntamente com um polnômo de nterpolação de tercero grau. Apesar da grande vantagem em relação ao custo computaconal neste trabalho não fo realzado um estudo da nfluênca da ntegração reduzda em análses não lneares geométrcas e físcas. Portanto nos restante do teto será utlzada ntegração completa nos modelos Lamnados Cross-pl Smétrcos Quando se adotam lamnados cross-pl smétrcos e se utlzam placas retangulares de dmensões a e b nas dreções e respectvamente e fnas a solução para a carga crítca pode ser obtda analtcamente por uma equação desenvolvda para materas ortotrópcos deas: N cr π D b D D b m a ( D D ) D 66 m 4 a b () onde m vem da apromação da confguração deformada da placa por curvas formadas por senos e este representa o número de meas ondas formadas na dreção. Deste modo fo realzada uma sére de análses varando o número n de lâmnas e as espessuras das placas vsando o cálculo das cargas crítcas de uma placa quadrada com as propredades descrtas anterormente. A Tabela 4 apresenta os resultados obtdos pelo FAST.

97 96 Observa-se que as soluções obtdas pela TCL não mudam com o aumento do número de lâmnas uma vez que a placa é quadrada e a soma dos termos D e D não vara e os termos D e D 66 se mantêm constantes com o aumento do número de lâmnas como mostrado na Tabela 5. Tabela 4 Valores das cargas crítcas para lamnados cross-pl smétrcos. a/h n FAST TCL df (%) Tabela 5 Valores dos coefcentes da matrz D em lamnados cross-pl smétrcos. a/h n D D D D 66 N cr

98 97 Como esperado para placas fnas (a/h 5 ou a/h ) os resultados obtdos estão em concordânca com os valores analítcos obtdos pela TCL. Para a placa com relação a/h a aplcação da Eq. () mplca em uma dferença da ordem de 4% no valor da carga crítca da placa vsto que o efeto do csalhamento é desprezado. É nteressante notar que à medda que o número de lâmnas aumenta a carga crítca obtda pela Teora de Ressner-Mndln também é ncrementada Lamnados Cross-pl Antsmétrcos Lamnados do tpo cross-pl antssmétrco não têm acoplamentos entre deformações ou curvaturas devdo a carregamentos normas e de csalhamento e possuem os termos de acoplamento membrana-fleão nulos eceto. Deste modo as equações de equlíbro do sstema são acopladas tornando-as nváves de se resolver analtcamente. Assm uma sére de análses utlzando a AIG fo realzada de modo a se representar os efetos propostos neste estudo. A Tabela 6 e a Fgura 5 mostram os resultados obtdos para lamnados com e lâmnas. Tabela 6 Relação entre a carga crítca da placa com n lâmnas e a solução obtda pela TCL. n N cr n / N ref a/h a/h 5 a/h Nas análses para este tpo de lamnação e posterores utlzou-se como referênca a carga crítca obtda pela TCL uma vez que quando o número de lâmnas em um lamnado aumenta mantendo-se sua espessura o efeto dos termos de acoplamento tendem a se tornar desprezíves levando a bons resultados para a solução obtda pela Eq. (). Pode-se notar a partr da Tabela 6 e da Fgura 5 que para lamnados com mas de 6 lâmnas o efeto dos acoplamentos já é pequeno de modo que as respostas obtdas sejam prómas da solução analítca da TCL. Anda assm para lamnados com relação a/h

99 98 a perda de capacdade de carga é da ordem de 5%. Para lamnados com relação lado/espessura gual a 5 a perda de capacdade é de.7%. Fgura 5 Curvas das relações entre a carga crítca de uma placa cross-pl antssmétrca com n lâmnas e a solução ortotrópca deal para váras razões a/h Lamnados Angle-pl Smétrcos Para lamnados do tpo angle-pl smétrcos os termos D 6 e D 6 não são nulos o que nvablza a aplcação dreta da Eq. (). Entretanto mantendo a espessura do lamnado constante e aumentando o número de lâmnas pode-se mostrar que o efeto destes termos dea de ser domnante de modo que eles se tornam desprezíves frente aos demas termos da matrz D. Assm quando se utlza mutas lâmnas a Eq. () pode dar uma boa estmatva da carga crítca da placa. Neste tem foram fetas análses com θ varando de º a 9º com ncrementos de 5º. A Fgura 5 mostra um estudo paramétrco em relação ao número de lâmnas de um lamnado com relação a/h e a/h 5 da nfluênca deste ângulo θ em função de um parâmetro admensonal ξ dado por: N a ξ cr () E h

100 99 Fgura 5 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl smétrco em relação à sua carga crítca para a/h. Nota-se que para placas moderadamente espessas (a/h ) o efeto do número de lâmnas é mas sgnfcatvo vsto que as dferenças das respostas chegam a quase % em comparação com o lamnado com 8 lâmnas (Fgura 5). Em contrapartda para placas fnas onde a/h 5 os erros são mnmzados e seu maor valor é de cerca de 8% em um lamnado com 8 lâmnas (Fgura 5). É mportante notar que a dferença entre as respostas obtdas pela TCL (Eq. ()) e as apresentadas varando o número de lâmnas nas fguras anterores se deve por dos fatores: os termos de acoplamento que estem devdo ao tpo de lamnação e o efeto do csalhamento que é consderado na Teora de Ressner-Mndln. Comparando as curvas com n 6 e n verfca-se que os resultados dferem pouco de modo a se conclur que a maor parte da perda de capacdade de carga provém do efeto do csalhamento na estrutura.

101 Fgura 5 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl smétrco em relação à sua carga crítca para a/h 5. A Fgura 54 apresenta os resultados obtdos; varando a relação lado/espessura da placa para as lamnações formadas por ângulos de 45º pos como se pode notar pela Fgura 5 este é o ângulo que leva a maores dferenças entre a solução da TCL e a obtda pela AIG. Fgura 54 Curvas das relações entre a carga crítca de uma placa angle-pl smétrca com n lâmnas e a solução ortotrópca deal para váras razões a/h.

102 Verfca-se que à medda que a espessura do lamnado dmnu e o número de lâmnas aumenta o efeto dos acoplamentos estentes nas lamnações do tpo angle-pl smétrcos dmnuem fazendo com que a epressão da TCL leve a bons resultados Lamnados Angle-pl Antsmétrcos Para lamnados do tpo angle-pl antssmétrcos além dos termos D 6 e D 6 os termos 6 e 6 da matrz e os termos A A A e A 66 da matrz A não são nulos. Deste modo estem acoplamentos entre as equações () (4) e (5) para o cálculo da carga crítca. Do mesmo modo que no tem anteror foram fetas análses de lamnados com e lâmnas com θ varando de º a 9º com ncrementos de 5º. Tal como no caso anteror a Fgura 55 e a Fgura 56 mostram um estudo paramétrco em relação ao número de lâmnas de um lamnado com relação a/h e a/h 5 da nfluênca deste ângulo θ em função do parâmetro admensonal ξ calculado conforme a Eq. (). Fgura 55 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl antssmétrco em relação à sua carga crítca para a/h. Observa-se que para placas moderadamente espessas (a/h ) o efeto do número de lâmnas é mas sgnfcatvo assm como mostrado na Fgura 5 para o caso de angle-pl smétrcos. Neste caso as dferenças das respostas chegam a % em comparação

103 com o lamnado com 8 lâmnas quando a/h (Fgura 55) e em torno de 7% quando a/h 5 (Fgura 56). Fgura 56 Estudo paramétrco da nfluênca do ângulo θ de um lamnado angle-pl antssmétrco em relação à sua carga crítca para a/h 5. Fgura 57 Curvas das relações entre a carga crítca de uma placa angle-pl antssmétrca com n lâmnas e a solução ortotrópca deal para váras razões a/h.

104 A Fgura 57 apresenta os resultados obtdos varando a relação lado/espessura da placa para as lamnações formadas por ângulos de 45º. Nota-se que à medda que a espessura do lamnado dmnu o efeto dos acoplamentos estentes dmnu fazendo com que a epressão analítca para materas ortotrópcos deas leve a bons resultados. 5.. Análse Não Lnear Geométrca de Placas Isotrópcas e Lamnadas Este eemplo trata da nvestgação do comportamento pós-crítco de placas quadradas sotrópcas e lamnadas smplesmente apoadas sujetas a cargas de compressão unaal e baal. Estes estudos foram comparados com os trabalhos desenvolvdos por Le- Manh & Lee (4) que aplcam a Análse Isogeométrca Le et al. (6) que utlzam um método sem malha (Mesh-Free) e Sundaresan et al. (996) que realza suas análses utlzando o MEF. Os dados da geometra (Fgura 58) e os parâmetros dos materas são apresentados na Tabela 7. As análses deste eemplo foram realzadas utlzando os programas FAST para avalar a Análse Isogeométrca e o AAQUS na verfcação dos resultados por Elementos Fntos. Utlzaram-se malhas com 6 6 elementos quadrlateras quadrátcos com ntegração reduzda no AAQUS e ntegração completa no FAST. Para obtenção do camnho póscrítco o Método do Controle de Carga (CRISFIELD 99) fo utlzado. Fgura 58 - Placa smplesmente apoada sujeta a carregamento baal.

105 4 Tabela 7 - Dados do Eemplo com undades no sstema brtânco de meddas. Geometra Materal Tpo a b h E ( 6 ) E ( 5 ) υ G G ( 4 ) G ( 4 ) Isotrópca (45/-45) s Lamnada (45/-45) Fonte: Le-Manh & Lee (4). A geometra mperfeta da estrutura pode ser modelada como o resultado de uma combnação lnear dos seus modos de flambagem (φ ): mp perf n φ ) onde mp e perf são as coordenadas dos pontos que defnem a geometra na confguração mperfeta e perfeta respectvamente e Δ é a ampltude da mperfeção relaconada ao modo de flambagem φ uma vez que estes são normalzados de forma que sua maor componente seja untára. Neste trabalho consderou-se apenas o prmero modo. É mportante notar que na Análse Isogeométrca os pontos de controle não nterpolam a geometra do modelo logo não se pode obter a geometra mperfeta dretamente pela aplcação da Eq. (). Apesar dsto aplcando a equação com o modo de flambagem untáro (Δ.) pode-se avalar a maor ampltude obtda no modelo mperfeto untáro (Δ u ). Como as NURS possuem propredade de nvarânca afm a geometra com a ampltude de mperfeção correta pode ser obtda aplcando-se uma transformação de escala na dreção z de valor S c Δ /Δ u em todos os pontos de controle do patch. A Fgura 59 lustra o procedmento. Fgura 59 Aplcação da curvatura ncal na placa. As condções de contorno utlzadas neste eemplo são:

106 5 v θ u θ ± a ± b (4) que são as mesmas condções de contorno aplcadas por Sundaresan (996) e Le et al. (6). Incalmente fo modelada uma placa sotrópca sujeta a carregamento unaal com mperfeção Δ -4. A Fgura 6 apresenta a curvas carga-deslocamento normalzada obtda. Fgura 6 - Placa sotrópca (a/h 5) smplesmente apoada sujeta a carregamento unaal (Δ -4 ). As dferenças obtdas entre Le-Mahn & Lee (4) Le et al. (6) e Sundaresan et al. (996) se devem às condções de contorno aplcadas na placa uma vez que Le-Mahn & Lee (4) aplcam as seguntes condções de contorno: θ θ ± a ± b (5) Verfca-se que o comportamento pós-crítco da estrutura é sensível à condção de contorno aplcada vsto que o ganho de capacdade de carga da placa quando os

107 6 deslocamentos chegam à magntude da espessura é da ordem de 7% quando os apoos são defndos como Le (6) e Sundaresan (996) e de % quando se aplcam as condções de contorno apresentadas por Le-Mahn & Lee (4). Os autores eplcam equvocadamente que as dscrepâncas nos camnhos de equlíbro podem ter ocorrdo devdo à contnudade C obtda na Análse Isogeométrca ao passo que a dferença entre as respostas se deve às condções de contorno aplcadas como mostrado. Na sequênca são analsadas placas com lamnações do tpo angle-pl smétrca (45/-45) s e antssmétrca (45/-45) sujetas a compressão baal. Em ambos os casos aplcam-se as condções de contorno conforme apresentado por Le-Mahn & Lee (4). A Fgura 6 mostra o camnho de equlíbro das placas para mperfeções ncas Δ -4 e Δ -. Observa-se que ambas as curvas estão em boa concordânca com os autores ctados. Neste eemplo também se verfca que à medda que a mperfeção ncal é aumentada a carga que a placa suporta para um determnado nível de deslocamentos é menor como era de se esperar. Pode-se eplcar a dferença na curva pós-crítca obtda no AAQUS pelo fato de se utlzar um elemento de casca geral no softare e por conta da espessura muto elevada da estrutura proposta. Fgura 6 - Placa (a/h ) smplesmente apoada sujeta a carregamento baal. (a) Lamnação angle-pl smétrca.

108 7 (b) Lamnação angle-pl antssmétrca. 5.. Establdade de Placas Lamnadas Consderando a Falha Progressva Neste eemplo será estudado o efeto da consderação da não lneardade físca utlzando o modelo de degradação nstantânea apresentado por Kurash et al. () em placas mperfetas sujetas a carregamento baal. O efeto do número de lâmnas n também é avalado no camnho de equlíbro. Para tal uma placa quadrada de fbra de carbono A- S/Epó (KADDOUR & HINTON ) de lado a. m e espessura por lâmna t.7 mm é modelada. As propredades mecâncas do materal são apresentadas na Tabela 8. A mperfeção utlzada para a obtenção das curvas é Δ h/ onde h n t e n ou. Um breve estudo de convergênca no camnho de equlíbro fo feto mas aqu não é mostrado. Pode-se mostrar que uma malha de 6 6 elementos com polnômos de 4ª ordem é sufcente para bem representar as análses posterores.

109 8 Tabela 8 - Propredades mecâncas da fbra de carbono A-S/Epó. E (GPa) 4. E E (GPa). υ υ. v.49 G G (GPa) 6. G (GPa).5 F T (MPa) 99. F C (MPa) 5. F T F T (MPa) 8. F C F C (MPa) 5. S 4 (MPa) 5. S 5 S 6 (MPa) 7. Fgura 6 Verfcação da nfluênca da consderação da não lneardade físca em placas mperfetas. (a) Lamnação cross-pl smétrca.

110 9 (b) Lamnação angle-pl smétrca. Os resultados obtdos são apresentados para lamnações do tpo cross-pl (Fgura 6a) e angle-pl (Fgura 6b). É mportante notar que após o níco da falha a verfcação da smetra do lamnado não é mas válda necessaramente. Como esperado para placas fnas (n 4 ou 8) a não lneardade geométrca é domnante no comportamento pós-crítco da estrutura. Entretanto à medda que a espessura do lamnado aumenta percebe-se a mportânca da consderação da não lneardade físca. Tabela 9 Valor da carga quando ocorre a falha da prmera lâmna e carga lmte. Lamnação Cross-pl Angle-pl n N FPF / N cr N lm / N cr N FPF / N lm N FPF / N cr N lm / N cr N FPF / N lm É mportante lembrar também que os resultados obtdos para as placas com 4 lâmnas podem apresentar dferenças sgnfcatvas se um modelo consderando grandes deformações e rotações no espaço for utlzado. A Tabela 9 apresenta os valores lmtes de

111 carga determnados das placas para as lamnações especfcadas. Como esperado nos lamnados mas fnos a falha da prmera lâmna tende a acontecer para cargas acma da carga crítca assm como a capacdade de carga da estrutura antes da falha total. À medda que a espessura do lamnado aumenta tanto a falha da prmera lâmna quanto o colapso da estrutura tendem a ocorrer prómos à carga crítca. Ressalta-se que para o lamnado anglepl com lâmnas a ruptura da placa ocorre logo após a falha da prmera lâmna Establdade de Placas Lamnadas com Furo Consderando a Falha do Materal Neste eemplo será avalado o comportamento das placas analsadas no eemplo anteror quando estas apresentam um furo central. As placas são fetas de fbra de carbono A- S/Epó cujas propredades mecâncas estão dspostas na Tabela 8. A nfluênca do furo na capacdade de carga da estrutura será mensurada a partr da consderação de três placas com furos com relação dâmetro/aresta (d/a) gual a / / e /5. Por conta do furo nas placas a forma mas smples de se atrbur as condções de contorno e carregamento no modelo sogeométrco proposto é fazendo a estrutura dvdda em 8 patches. A Fgura 6 mostrada na sequênca apresenta uma placa com furo de dâmetro de cm segundo a dea da dvsão da placa em múltplos patches. Fo feto um estudo de convergênca a partr do valor da carga crítca obtda por elementos fntos no AAQUS de uma placa com furo central com relação d/a / e lamnação cross-pl smétrca com 4 lâmnas para uma malha de elementos de casca com ntegração reduzda (S8R) em cada otavo da estrutura o que resulta em 7 elementos e 8 graus de lberdade. O valor da carga crítca obtda fo N ref No modelo sogeométrco fo feto um refnamento no número de elementos e no grau do polnômo como mostrado na Tabela e na Fgura 64. Mostra-se que quando a nterpolação é feta a partr de polnômos de º grau a carga crítca apresenta uma dferença de.8% para a por dscretzação utlzada neste modelo enquanto para uma nterpolação realzada com funções quadrátcas esta dferença é muto maor da ordem de 4%.

112 Fgura 6 Modelo sogeométrco de uma placa quadrada com furo central com relação d/a /5 dvdda em 8 patches. Tabela Estudo de convergênca da malha e do polnômo de nterpolação. Grau do polnômo 4 Número de dvsões por lado em cada patch gdl N cr N cr / N ref

113 Fgura 64 Convergênca do valor da carga crítca em função do grau do polnômo e do número de dvsões em cada patch da placa analsada. A partr dos resultados obtdos do estudo de convergênca e de modo a fcar compatível com o eemplo anteror será aplcada uma malha com 5 dvsões por lado em cada patch e o polnômo nterpolador será de 4º grau. A Fgura 65 mostra os pontos de controle da placa da Fgura 6. Nas análses não lneares consderou-se uma mperfeção gual à mposta no eemplo anteror de modo que alguns resultados obtdos anterormente possam ser reutlzados neste eemplo. O prmero modo de flambagem é aplcado na determnação da geometra mperfeta e um fator /h / é utlzado nas mperfeções. Para a obtenção do camnho de equlíbro da estrutura aplcou-se o Método do Comprmento de Arco (CRISFIELD 99). Nos estudos apresentados na sequênca o fator de carga é calculado normalzando-se a carga a cada passo em relação à carga crítca obtda para uma placa sem furo. Esta abordagem fo escolhda por representar bem a perda de capacdade de carga que a estrutura sofre com o aumento do dâmetro do furo.

114 Fgura 65 Pontos de controle de uma placa lamnada com furo central para a relação d/a /5. Como no eemplo anteror dos tpos de lamnados são consderados nas análses: um cross-pl e um angle-pl smétrco sendo o segundo formado por lâmnas com orentação de 45º e -45º. As curvas obtdas para o lamnado cross-pl e angle-pl smétrco são apresentadas na Fgura 66 e na Fgura 67. Em ambas as fguras menconadas anterormente fo feto um estudo da perda de capacdade de carga da placa à medda que se aumenta o dâmetro do furo na placa. Para sto foram modeladas placas com e lâmnas conforme o eemplo anteror. As curvas não lneares puramente geométrcas são representadas por lnhas tracejadas. Os valores da carga referente à falha da prmera lâmna juntamente com a carga lmte das placas estão dspostas na Tabela para os lamnados cross-pl e na Tabela para os lamnados angle-pl.

115 4 Tabela Estudo da nfluênca do tamanho do furo na capacdade de carga de placas crosspl smétrcas com n lâmnas. n d/a N FPF / N ref N lm / N ref N lm / N lm sem furo / / / / / / / / / / / / Tabela Estudo da nfluênca do tamanho do furo na capacdade de carga de placas anglepl smétrcas com n lâmnas. n d/a N FPF / N ref N lm / N ref N lm / N lm sem furo / / / / / / / / / / / /

116 5 Fgura 66 Curvas não lneares obtdas para as placas cross-pl em função do dâmetro do furo. (a) Placas com 4 lâmnas. (b) Placas com 8 lâmnas.

117 6 (c) Placas com 6 lâmnas. (d) Placas com lâmnas.

118 7 Fgura 67 Curvas não lneares obtdas para as placas angle-pl em função do dâmetro do furo. (a) Placas com 4 lâmnas. (b) Placas com 8 lâmnas.

119 8 (c) Placas com 6 lâmnas. (d) Placas com lâmnas. Das fguras e tabelas apresentadas anterormente pode-se verfcar que como esperado à medda que o tamanho do furo aumenta tanto a carga referente à falha da prmera lâmna quanto a capacdade de carga da placa dmnuem. Observa-se também que nas placas cross-pl a perda de capacdade de carga é da ordem de % nos lamnados com 4 lâmnas e de % nos lamnados com lâmnas. Do

120 9 mesmo modo nas placas angle-pl a perda de capacdade de carga é da ordem de % em lamnados com 4 lâmnas e de 4% em lamnados com lâmnas. É nteressante notar que nas placas angle-pl com lâmnas com relações d/a / e /5 a falha das estruturas ocorrem para cargas nferores à sua carga crítca. Com sto conclu-se que furos em placas compóstas tendem a reduzr a capacdade de carga da estrutura de forma mas acentuada à medda que o lamnado va se tornando mas espesso Análse Não Lnear Físca e Geométrca de Cascas Abatdas Neste eemplo serão abordadas análses não lneares de uma casca abatda sujeta a uma carga concentrada P como mostrada na Fgura 68 e outra sujeta a uma carga dstrbuída q ao longo de sua superfíce. Os parâmetros geométrcos da estrutura são R.5 m θ. rad L. m. Assm como no Eemplo uma avalação do comportamento da estrutura é feta a partr do número de lâmnas do lamnado e do tpo de lamnação adotado. As propredades do materal são as mesmas apresentadas no eemplo anteror e podem ser obtdas pela Tabela 8. Fgura 68 Casca abatda sujeta a carga concentrada. Fonte: Adaptado de Sze et al. (4). As cascas são consderadas smplesmente apoadas (u ) nos trechos A e DE e lvre em AD e E. Nos problemas envolvendo uma carga centrada serão utlzadas três lamnações: [(/9) n/ ] [(9/) n/ ] e [(45/-45) (n/4) ] s. Nas cascas sujetas ao carregamento q