UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL GEOVANNE VIANA NOGUEIRA ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO FORTALEZA 03

2 GEOVANNE VIANA NOGUEIRA ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO Monografa apresentada ao Curso de Engenhara Cvl do Departamento de Engenhara Estrutural e Construção Cvl da Unversdade Federal do Ceará, como requsto parcal para obtenção do grau de Engenhero Cvl. Orentador: Prof. Dr. Evandro Parente Junor FORTALEZA 03

3 Dados Internaconas de Catalogação na Publcação Unversdade Federal do Ceará Bbloteca de Cêncas e Tecnologa N7a Noguera, Geovanne Vana. Análse não lnear físca de pórtcos planos de concreto armado / Geovanne Vana Noguera 0. 8 f. : l. color., enc. ; 30 cm. Monografa (graduação) Unversdade Federal do Ceará, Centro de Tecnologa, Departamento de Engenhara Estrutural e Construção Cvl, Engenhara Cvl, Fortaleza, 0. Orentação: Prof. Dr.Evandro Parente Junor.. Método dos Elementos Fntos.. Método das Fatas. 3. Le Consttutva. I. Título. CDD 60

4 GEOVANNE VIANA NOGUEIRA ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO Monografa apresentada ao Curso de Engenhara Cvl do Departamento de Engenhara Estrutural e Construção Cvl da Unversdade Federal do Ceará, como requsto parcal para obtenção do grau de Engenhero Cvl. Orentador: Prof. Dr. Evandro Parente Junor Aprovada em 08 / 0 / 03. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Evandro Parente Junor (Orentador) Unversdade Federal do Ceará (UFC) Prof. Dr. Antôno Macáro Cartao de Melo Unversdade Federal do Ceará (UFC) Prof. Dr. Leonardo Melo Bezerra Unversdade Federal do Ceará (UFC)

5 À Deus. Aos meus pas, Geová e Sonha. Às mnhas rmãs, Glacyanne, Ledyanne, Lelyanne, Llyanne e Ldanne. À mnha amga e namorada Rafaelly.

6 AGRADECIMENTOS Em prmero lugar, agradeço à Deus por ter me ajudado e dado força não só para elaborar este trabalho, mas também para superar os desafos encontrados ao longo de todo o curso de graduação. Agradeço a mnha famíla, por toda a compreensão e apoo rrestrto. Faço um especal agradecmento ao professor Evandro Parente Junor pelo seu ecelente trabalho de acompanhamento para o desenvolvmento desse trabalho e por todo o conhecmento repassado.

7 RESUMO No Estado Lmte Últmo o comportamento da estrutura é fortemente não lnear devdo à ocorrênca de fenômenos como grandes deslocamentos, flambagens, plastfcações, fssuração, entre outros. Um problema é dto não lnear quando a rgdez depende dos deslocamentos da estrutura. Esta dependênca é dta fscamente não lnear quando a rgdez é função do estado de deformação que o materal está sujeto e por sua Le Consttutva. O presente trabalho vsa realzar análses estruturas de pórtcos planos de concreto armado com seção retangular, modelados utlzando o Método dos Elementos Fntos e consderando a não lneardade físca. Serão consderadas para o concreto e para o aço as Les Consttutvas descrtas na NBR 68:003 e no Eurocode :004. A não lneardade geométrca é consderada nas análses estruturas, mas não é abordada neste trabalho, pos é utlzado o programa FAST que já possu a mplementação computaconal necessára para realzar uma análse estrutural não lnear geométrca de pórtcos planos baseada na formulação corrotaconal. Com o objetvo de consderar a não lneardade físca nas análses estruturas, pretende-se apresentar os dversos métodos empregados para a ntegração das tensões na seção transversal com foco no Método das Fatas, que é o método adotado. O desenvolvmento do trabalho consstu ncalmente por uma revsão bblográfca sobre o conceto e os tpos de não lneardades presentes nas estruturas. A revsão também fo dreconada para entender a formulação de elementos fntos de pórtco plano baseada na teora de Naver-Bernoull e para dentfcação e entendmento das dversas técncas de ntegração das tensões na seção transversal como o Método das Fatas. Com a mplementação computaconal estabelecda, partu-se para a modelagem e análse estrutural de pórtcos planos de concreto armado com seção retangular. Fo constatado que para o dagrama tensãodeformação da NBR 68:003 e para uma seção retangular de concreto armado, são necessáros no mínmo 00 fatas na dscretzação da seção transversal para que a ntegração das tensões apresente resultados satsfatóros. As dvergêncas encontradas em relação aos resultados epermentas e numércos de outros autores estão relaconadas prncpalmente à Le Consttutva empregada para o concreto e para o aço. É mportante, na análse estrutural não lnear físca, empregar modelos consttutvos mas adequados que o dagrama parábolaretângulo sugerdo pela NBR 68:003 sendo mas ndcado empregar a curva tensãodeformação do concreto na compressão sugerdo pelo Eurocode :004. Palavras-chave: Análse não lnear. Não lneardade físca. Método dos Elementos Fntos. Método das Fatas. NBR 68:003. Eurocode :004. Concreto armado. Le Consttutva.

8 ABSTRACT In the Ultmate Lmt State the structural behavor s strongly nonlnear due to the occurrence of phenomena such as large dsplacements, bucklng, lamnates, crackng, among others. One problem s sad nonlnear when the dsplacement depends on the stffness of the structure. Ths dependence s sad physcally nonlnear stffness when s a functon of the state of deformaton that the materal s subject and ts Consttutve Law. Ths study ams to perform structural analyss of renforced concrete plane frames wth rectangular secton, modeled usng the fnte element method and consderng the physcal nonlnearty. It wll be consdered for the concrete and steel Consttutve Laws descrbed n NBR 68:003 and Eurocode :004. The geometrc nonlnearty s consdered n the structural analyss, but s not addressed n ths study, because the FAST program s used that already has a computer mplementaton necessary to perform a geometrc nonlnear structural analyss of plane frames based on the corotatonal formulaton. Amng to consder the physcal nonlnearty n structural analyss, ths paper ams to present the varous methods used for the ntegraton of the stresses n the cross secton focusng on the Method of Slces, whch s the method adopted. The development work orgnally conssted of a lterature revew on the concept and types of nonlneartes present n the structures. The revew was also amed to understand the fnte element formulaton of plane frame based on the theory of Naver-Bernoull and for dentfyng and understandng the varous ntegraton technques tensons n cross secton as the Method of Slces. By mplementng computatonal establshed, broke for modelng and structural analyss of renforced concrete plane frames wth rectangular secton. It was found that for the stress-stran dagram of the NBR 68:003 and a rectangular secton of concrete renforced are requred at least 00 slces n the dscretzaton of the cross secton for the ntegraton of the tensons present satsfactory results. The dfferences found n relaton to the epermental and numercal results of other authors are prmarly related to the Consttutve Laws used for concrete and steel. It s mportant, n physcs nonlnear structural analyss, employng consttutve models more sutable than the parabola-rectangle dagram suggested by NBR 68:003 been more approprately employ the stress-stran curve of concrete n compresson suggested by Eurocode :004. Keywords: Nonlnear Analyss. Physcal nonlnearty. Fnte Element Method. Method of Slces. NBR 68:003. Eurocode :004. Concrete renforced. Consttutve Law.

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Fgura - Eemplo de Curva de Equlíbro (a) Lnear e (b) Não Lnear... 7 Fgura - Efeto do Deslocamento, (a) vga em balanço e (b) plar engastado e lvre... 0 Fgura 3 - Relação tensão-deformação (a) lnear e (b) não lnear... Fgura 4 - Modelos Consttutvos: (a) elástco, (b) plástco, (c) elastoplástco, (d) vscoelástco e (e) vscoplástco... 3 Fgura 5 - Dagrama tensão-deformação dealzado do concreto na compressão... 3 Fgura 6 - Dagrama tensão-deformação blnear do concreto na tração... 4 Fgura 7 - Dagrama tensão-deformação para aços de armadura passva... 4 Fgura 8 - Dagrama tensão-deformação para concreto na compressão... 5 Fgura 9 - Eemplo de problema de contato... 6 Fgura 0 - Curva carga-deslocamento para o eemplo do problema de contato Fgura - Malha de elementos fntos... 8 Fgura - Deslocamentos de uma barra fletda... 9 Fgura 3 - Eemplos de projetos baseados no modelo de barras Fgura 4 - Geometra de placas e cascas Fgura 5 - Hpótese de Krchhoff para placas... 3 Fgura 6 - Elementos fntos... 3 Fgura 7 - (a) Mola não lnear e (b) comportamento de enrjecmento e amolecmento... 3 Fgura 8 - Camnhos não lneares de equlíbro Fgura 9 - Vga de concreto armado smplesmente apoada sob ações de servço Fgura 0 - Plar equvalente Fgura - Comportamento de pórtcos planos e espacas e plar E-L Fgura - Confguração ndeformada e deformada da vga baseada nas hpóteses da TCV. 44 Fgura 3 - Elementos de trelça (a), de vga (b) e de pórtco plano (c) Fgura 4 - Ações genércas Fgura 5 - Representação gráfca dos polnômos de Hermte... 5 Fgura 6 - Graus de lberdade do elemento de pórtco plano no sstema de coordenadas local (a) e global (b) Fgura 7 - Ângulo de nclnação do elemento em relação ao sstema de coordenadas global Fgura 8 - Sstema de eos local e global Fgura 9 - Estados de deformação possíves da seção... 7

10 Fgura 30 - Curva C fechada, smples, secconalmente suave Fgura 3 - Dscretzação do contorno C em segmentos de retas Fgura 3 - Regões para ntegração do concreto Fgura 33 - Parametrzação do segmento da polgonal Fgura 34 - Integral defnda Fgura 35 - Regra do Retângulo Fgura 36 - Regra dos Trapézos Fgura 37 - Regra dos Trapézos Fgura 38 - Regra de Smpson Fgura 39 - Área sob o trecho parabólco... 8 Fgura 40 - Regra de Smpson... 8 Fgura 4 - Integração numérca na seção transversal com quadratura de Gauss Fgura 4 - Integração numérca em sub-regões Fgura 43 - Dscretzação de uma seção retangular em fatas Fgura 44 - Decomposção da seção transversal em fbras Fgura 45 - Assocação entre o método das fatas e a quadratura de Gauss Fgura 46 - Seção para avalação do Método das Fatas... 9 Fgura 47 - Erro do Método das Fatas para a Força Normal Fgura 48 - Erro do Método das Fatas para o Momento Fletor Fgura 49 - Vga em balanço de concreto armado Fgura 50 - Curva de equlíbro da vga em balanço de concreto armado Fgura 5 - Barra de concreto armado Fgura 5 - Curva de equlíbro da barra de concreto armado Fgura 53 - Vga de concreto armado, carregamento e geometra (dmensões em mm)... 0 Fgura 54 - Curvas equlíbro para a vga de concreto armado... 0 Fgura 55 - Plar de concreto armado: geometra, materal e carregamento Fgura 56 - Curva de equlíbro do plar de concreto armado Fgura 57 - Quadro de concreto armado: geometra, materal e carregamento Fgura 58 - Curva de equlíbro do quadro de concreto armado Fgura 59 - Pórtco de concreto armado: geometra, materal e carregamento Fgura 60 - Malha de elementos fntos do pórtco de concreto armado Fgura 6 - Curvas de equlíbro do pórtco de concreto armado Fgura 6 - Dagrama tensão - deformação para o concreto traconado... 0 Fgura 63 - Carregamento e geometra da vga... 0

11 Fgura 64 - Flecha ncal para as 0 vgas bapoadas...

12 LISTA DE TABELAS Tabela - Pesos da quadratura de Gauss Tabela - Pesos da quadratura de Lobatto Tabela 3 - Característcas das metodologas de análse de seções Tabela 4 - Lmtes de ntegração dos estados de deformação... 7 Tabela 5 - Estados de deformação... 9 Tabela 6 - Propredades das barras de aço da vga... 0 Tabela 7 - Cargas e armaduras das vgas...

13 SUMÁRIO INTRODUÇÃO Objetvos Organzação do teto Metodologa... 5 ANÁLISE NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS Análse lnear não lnear Não lneardade geométrca Não lneardade físca....4 Problemas de contato Fundamentos do Método dos Elementos Fntos Métodos de solução da equação de equlíbro PRESCRIÇÕES DA NBR 68:003 PARA ANÁLISE LINEAR E NÃO LINEAR Análse lnear Análse não lnear Dspensa da consderação dos efetos globas de º ordem Parâmetro de nstabldade Coefcente z 3.. Análse de estruturas de nós fos Análse de estruturas de nós móves MODELO DISCRETO DE PÓRTICO PLANO Pórtcos planos consderando a teora de vgas de Naver-Bernoull Hpóteses Campo de deslocamentos Relações deformação-deslocamento Relações tensão-deformação Esforços nternos Elemento fnto de pórtco plano Equações de equlíbro do elemento Formulação do elemento fnto Parcela de membrana... 50

14 4... Parcela de fleão Elemento de pórtco plano Elemento de pórtco plano com lneardade físca Elemento de pórtco plano com não lneardade físca Técncas de ntegração ao longo do eo longtudnal Transformação para o sstema global MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL Integração analítca Integração dreta Emprego do teorema de Green Integração numérca Regra do retângulo, regra do trapézo e regra de Smpson Quadraturas de Gauss e de Lobatto Método das Fatas Assocação entre Método das Fatas e quadratura de Gauss EXEMPLOS Avalação do Método das Fatas Avalação da mplementação computaconal Eemplo de verfcação: vga em balanço Eemplo de verfcação: barra sob carga aal e transversal na etremdade Eemplo de valdação: vga de concreto armado Eemplo de valdação: plar de concreto armado Eemplo de valdação: quadro de concreto armado Eemplo de valdação: pórtco de concreto armado Cálculo de flechas em vgas utlzando a rgdez equvalente de Branson (968) e através da análse não lnear físca CONCLUSÃO... 3 REFERÊNCIAS... 5

15 3 INTRODUÇÃO Com o avanço tecnológco e os recursos computaconas dsponíves, cada vez mas se busca a realzação de análses estruturas mas refnadas e realstas, pos a ferramenta computaconal permte o cálculo com grande velocdade e precsão. Dessa forma, análses estruturas que levem em consderação as não lneardades tendem a se tornar mas comuns nos projetos das estruturas. No que dz respeto às estruturas de concreto armado utlzadas em edfcações, as estruturas retculadas consttuídas por vgas e plares, formando os pórtcos, são a tpologa estrutural mas empregada. O avanço da ferramenta computaconal assocado ao desenvolvmento de materas mas resstentes tem vablzado a eecução de estruturas de edfcações cada vez mas altas e com elementos estruturas mas esbeltos. Assm, torna-se mas dfícl atender às hpóteses necessáras à aplcação da análse estrutural lnear, pos esta é baseada prncpalmente na hpótese de pequenos deslocamentos e no comportamento lnear dos materas. Dante desse conteto, a realzação de análses estruturas mas realstas deve consderar tanto a não lneardade geométrca e como a físca, conforme recomenda a NBR 68:003. Uma poderosa ferramenta para análse não lnear de estruturas é o Método dos Elementos Fntos, pos permte a modelagem de dferentes estruturas sujetas a dferentes solctações e restrções. A formulação dos modelos dscretos de elementos fntos empregada é a de elementos fntos de pórtco plano consderando como base para sua formulação a Teora de Naver-Bernoull. Segundo Fonseca (006), em mecânca computaconal, um problema é dto não lnear quando a rgdez depende dos deslocamentos da estrutura. Esta dependênca é dta fscamente não lnear quando a rgdez é função do estado de deformação que o materal está sujeto e por sua Le Consttutva. No presente trabalho, serão consderadas para o concreto e para o aço as Les Consttutvas descrtas na NBR 68:003 e no Eurocode :004. A não lneardade geométrca é consderada nas análses estruturas, mas não é abordada neste trabalho, pos se utlza o programa FAST que está em desenvolvmento no Laboratóro de Mecânca Computaconal e Vsualzação (LMCV) da UFC e que possu a mplementação computaconal necessára para realzar uma análse estrutural não lnear geométrca de pórtcos planos baseada na formulação corrotaconal (MEIRELES NETO, 0).

16 4. Objetvos Com o objetvo de consderar a não lneardade físca nas análses estruturas, o presente trabalho pretende apresentar os dversos métodos empregados para a ntegração das tensões na seção transversal com foco no Método das Fatas, que é o método adotado. Além dsso, o presente trabalho vsa realzar análses estruturas de pórtcos planos de concreto armado com seção retangular, modelados utlzando o Método dos Elementos Fntos e consderando a não lneardade físca e geométrca. Como objetvos específcos, pretende-se: a) apresentar os métodos de ntegração das tensões na seção transversal para a obtenção dos esforços nternos e da matrz consttutva tangente; b) avalar a efcênca do Método das Fatas; c) realzar a mplementação computaconal da formulação do Método das Fatas no programa FAST; d) verfcar a flecha de vgas bapoadas obtda através da rgdez equvalente, calculada com a fórmula de Branson (968), e através da análse não lnear físca.. Organzação do teto O teto deste trabalho está dvddo em 7 capítulos. No Capítulo, é feta uma dscussão sobre a dferença entre uma análse lnear e uma análse não lnear, são dentfcadas e caracterzadas as prncpas fontes de não lneardades nas estruturas (a geométrca, a físca e a de contato) e é eposto o fundamento do Método dos Elementos Fntos. O Capítulo 3 contém as prescrções da NBR 68:003 sobre a realzação de análses estruturas lneares ou não lneares. Neste capítulo, são apresentados os parâmetros que dentfcam quando se deve realzar uma análse não lnear e os métodos para realzar essa análse de forma apromada. No Capítulo 4, é apresentada toda a formulação do modelo dscreto de pórtco plano mplementada no programa FAST, que é baseada em elementos fntos de pórtco plano consderando a teora de Naver-Bernoull.

17 5 Uma revsão bblográfca sobre os métodos de ntegração das tensões na seção transversal é apresentada no Capítulo 5, no qual se encontra a eposção sobre o Método das Fatas, que fo o método adotado e mplementado no programa FAST. No Capítulo 6, são epostos os resultados sobre a avalação da efcênca do Método das Fatas. Também estão apresentados os resultados obtdos para os eemplos de verfcação e valdação, que foram utlzados para avalar a mplementação computaconal, e os resultados das verfcações de flechas em vgas bapoadas. Conclusões, bem como sugestões para futuros trabalhos de pesqusa, são apresentadas no Capítulo 7..3 Metodologa A metodologa para o desenvolvmento do trabalho consstu ncalmente de uma revsão bblográfca sobre o conceto e os tpos de não lneardades presentes nas estruturas. Com o entendmento sobre as não lneardades, buscou-se conhecer as recomendações da NBR 68:003 a respeto de como consderar as não lneardades presentes nas estruturas de concreto armado. A revsão também fo dreconada para entender a formulação de elementos fntos de pórtco plano baseada na Teora de Naver-Bernoull que permte a realzação de análses estruturas consderando as não lneardades físca e geométrca. Por fm, a revsão bblográfca se voltou para dentfcação e entendmento das dversas técncas de ntegração das tensões na seção transversal como o Método das Fatas. O Método das Fatas fo, então, mplementado no programa FAST e uma sére de eemplos, tanto de verfcação como de valdação, foram analsados e os resultados confrontados com os encontrados na lteratura. Com a mplementação computaconal estabelecda, partu-se para a modelagem e análse estrutural de vgas bapoadas de concreto armado com seção retangular para verfcar as flechas obtdas de acordo com a fórmula de Branson (968) e de acordo com a análse não lnear físca.

18 6 ANÁLISE NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS Uma grande quantdade de fenômenos apresenta comportamento não lnear e cada um possu uma determnada dfculdade para a formulação de um modelo aproprado. É o caso, por eemplo, de problemas de transferênca de calor, radação, problemas de fluo de fludos e de estruturas mecâncas. Em estruturas é realzada a análse estrutural cujo objetvo é a determnação das respostas mecâncas da estrutura quando sujeta a ações eternas. Essas respostas são consttuídas por deslocamentos, deformações, esforços e tensões nternas. Na verfcação da segurança das estruturas, a análse estrutural é realzada com a carga de colapso. De acordo com as normas técncas, essa carga corresponde a um Estado Lmte Últmo (ELU). A segurança está garantda quando a carga de colapso é superor às ações eternas mesmo na combnação mas desfavorável. Na stuação próma ao ELU, é observado epermentalmente que o comportamento da estrutura é fortemente não lnear devdo à ocorrênca de fenômenos como grandes deslocamentos, flambagens, plastfcações, fssuração, entre outros (PARENTE JUNIOR, 0). A não lneardade mpõe dfculdades na descrção do fenômeno através de modelos matemátco e numércos e também na resolução das equações não lneares que surgem. O enfoque requerdo e o custo computaconal para a análse aumentam substancalmente. Mesmo com o aumento dos recursos computaconas dsponíves, a análse estrutural anda é feta normalmente no regme lnear. Isto porque os modelos lneares produzem resultados satsfatóros para mutos problemas de nteresse prátco, em que os deslocamentos são lmtados, e também porque a análse lnear é muto mas smples e rápda do que a não lnear. Apesar da dfculdade de se realzar uma análse não lnear, ela por ser mas realsta traz como prncpal vantagem a possbldade de redução dos coefcentes de segurança e, com sso, a obtenção de projetos mas econômcos sem comprometer os níves de segurança da estrutura. Outra vantagem da análse não lnear é a consderação do efeto da plastfcação, que permte a redstrbução de esforços em vgas, pórtcos, placas e cascas, e do efeto dos deslocamentos, que pode levar ao enrjecmento de cabos, vgas e placas sob carga transversal (PARENTE JUNIOR, 0).

19 7. Análse lnear não lnear Quando a estrutura apresenta comportamento lnear, para cada condção de carregamento este sempre um e somente um deslocamento assocado. O problema lnear sempre possu solução ndependente da carga aplcada. No caso de estruturas com comportamento não lnear, o problema pode tanto não ter solução, como para cargas acma da carga de colapso, como ter mas de uma solução, quando a curva de equlíbro apresenta pontos de mámos e de mínmos. Fgura - Eemplo de Curva de Equlíbro (a) Lnear e (b) Não Lnear Fonte: Própro autor. Como pode ser vsto na Fgura (a), para qualquer carga a curva de equlíbro lnear só apresenta um únco deslocamento correspondente. A representação do comportamento lnear é dada pela Le de Hooke. P ku () O comportamento de uma estrutura não lnear pode apresentar uma curva de equlíbro típca como a da Fgura (b). Nessa curva, podemos observar, por eemplo, que para um dado carregamento P pode haver mas de um deslocamento de equlíbro u, u, u 3. A equação que descreve uma curva de equlíbro não lnear pode ser escrta de forma genérca por: P f (u) ()

20 8 A curva de equlíbro é uma ferramenta essencal à análse não lnear, permtndo vsualzar o comportamento da estrutura, estudar sua establdade e avalar sua capacdade de carga (PARENTE JUNIOR, 0). Para a curva da Fgura (b), podemos dentfcar três trechos bem defndos. No trecho 0A, a curva é crescente até um ponto lmte A, que é um mámo local, e representa uma stuação de equlíbro estável, pos para haver aumento de deslocamento é necessáro aumento da carga aplcada. O segundo trecho va de A até o ponto B, que é um mínmo local. Nesse trecho, a curva é decrescente e representa uma stuação de equlíbro nstável, pos o deslocamento aumenta com a redução da carga aplcada. Após o ponto B, a curva volta a ser crescente e a estrutura é novamente estável até o ponto C. Quando a equação de equlíbro é não lnear, o prncípo da superposção não é mas aplcável. Cada caso de carregamento requer uma análse separada e não é possível combnar os resultados das análses de casos de carregamento ndvduas para obter os resultados de uma combnação de casos de carregamento. Por eemplo, se um caso de carregamento é composto por duas porções que são sequencalmente aplcadas, nvertendo essa sequenca de aplcação de cargas, podem-se obter resultados dferentes. Na análse estrutural, o objetvo é determnar os deslocamentos, tensões, deformações da estrutura quando sujeta às ações eternas. Assm, a manera mas ntutva de traçar a curva carga-deslocamento é aplcar dversos níves de carga e obter os deslocamentos correspondentes até que se atnja a carga máma de projeto ou que a estrutura entre em colapso. Esse procedmento, no entanto, é mas compleo, pos envolve a resolução de uma equação não lnear (Equação ()). A resolução de equações não lneares não é um problema trval porque estas podem tanto não ter solução como ter múltplas soluções. Além dsso, esse procedmento não é capaz de traçar a parte nstável da curva de equlíbro. Ao aumentarmos a carga além do ponto A, a estrutura saltara para uma confguração de equlíbro cuja carga correspondente estara entre A e C. Este fenômeno é conhecdo na lteratura como snapthrough ou salto dnâmco. Segundo Cook et al (00), em estruturas mecâncas as fontes de não lneardades podem ser dvddas em três tpo: a) geométrca: em que os deslocamentos são grandes. As equações de equlíbro devem ser escrtas com relação à geometra deformada da estrutura;

21 9 seguntes. b) físca ou do materal: em que as propredades do materal são funções do estado de tensão ou de deformação; c) de contorno ou de contato: em que as condções de contorno se modfcam com as ações eternas. É o caso, por eemplo, de uma fssura entre partes adjacentes que pode dmnur ou aumentar, ou de uma área de contato entre partes que se modfca com a mudança das forças de contato, ou de um deslzamento do contato. Cada um dos tpos de não lneardades será mas bem caracterzado nos tens. Não lneardade geométrca A não lneardade geométrca surge quando os deslocamentos são grandes o sufcente para alterar a dstrbução e orentação das cargas aplcadas e, consequentemente, dos esforços nternos. Na lteratura de Engenhara Cvl, a análse não lnear geométrca é conhecda por análse de º ordem e os efetos dos deslocamentos são conhecdos também por efetos de º ordem. A dfculdade de se realzar uma análse não lnear geométrca ocorre porque as equações de equlíbro devem ser escrtas com relação à geometra deformada da estrutura, que não é conhecda com antecedênca (COOK et al, 00). A confguração geométrca ncal ou ndeformada só é uma confguração de equlíbro quando não há forças eternas sendo aplcadas à estrutura. Se há forças eternas, a confguração de equlíbro é deformada. Problemas com não lneardade geométrca podem smultaneamente apresentar problemas de contato e de não lneardade físca. A não lneardade geométrca leva naturalmente a problemas de nstabldade e flambagem. Dos eemplos clásscos da nfluênca da não lneardade geométrca na análse estrutural são os casos da vga engastada e em balanço e o do plar engastado e lvre conforme está representado na Fgura.

22 0 Fgura - Efeto do Deslocamento, (a) vga em balanço e (b) plar engastado e lvre Fonte: Própro autor. ndeformada é: No caso da vga, o momento fletor no engaste calculado na confguração M PL (3) No entanto, a horzontal só é uma confguração de equlíbro se P 0. Para P 0, o momento fletor na confguração deformada é dado por: M P( L u) M PL( u L) (4) Esta epressão mostra que o momento fletor dmnu com o deslocamento horzontal u da etremdade lvre da vga. Esse é um eemplo em que a estrutura apresenta enrjecmento com ação do carregamento. Nos casos reas, as normas técncas lmtam os deslocamentos transversas (flechas) das vgas. Dessa forma, a relação u L se torna muto pequena. Assm: u L M PL (5) que é o momento de prmera ordem, sto é, baseado na confguração ncal (ndeformada). ndeformada é: No caso do eemplo do plar, o momento fletor na base calculado na confguração M HL (6) Com a atuação da força horzontal, a etremdade lvre do plar sofrerá um deslocamento vertcal e um deslocamento horzontal. Consderando esses deslocamentos,

23 a carga vertcal passa a contrbur com momento fletor na base do plar e o momento devdo à carga horzontal é reduzdo. A epressão do momento fletor passa a ser: M L P M M M H (7) onde M = HL é o momento de prmera ordem e M = P - H é conhecdo como momento de segunda ordem. O momento de segunda ordem rá contrbur com um aumento do deslocamento horzontal em relação ao que havera se não houvesse a carga vertcal. Consequentemente, esse aumento de deslocamento leva a um aumento também do momento de segunda ordem, o que mostra um efeto da não lneardade geométrca. Esse efeto é conhecdo na lteratura como Efeto P. Um aspecto relevante do Efeto P é que embora as normas técncas de projeto lmtem os deslocamentos a valores pequenos, normalmente as cargas dos plares são bastante elevadas, tornando esse efeto sgnfcatvo e mportante para a verfcação da segurança. Isto mostra a relevânca do contraventamento de edfícos altos, cuja função prncpal é lmtar os deslocamentos lateras, tornando a estrutura mas rígda e reduzndo a nfluênca do efeto de segunda ordem. A consderação da não lneardade geométrca ganha cada vez mas mportânca à medda que os edfícos fcam cada vez mas altos e os materas mas resstentes, tornando as estruturas mas esbeltas e fleíves. Dessa dscussão, vemos que garantr a hpótese de pequenos deslocamentos é fundamental para permtr a realzação de uma análse lnear de prmera ordem com uma precsão adequada. Uma análse não lnear rgorosa consdera tanto grandes deslocamentos quanto deformações. Como a maora dos materas empregados nas estruturas não podem ter grandes deformações sem nvablzar seu emprego, é possível admtr que os materas sofrem deformações pequenas, mesmo quando a estrutura apresenta grandes deslocamentos. Esta hpótese é consderada na maora das análses não lneares de estruturas, o que permte smplfcar as formulações matemátcas utlzadas.

24 .3 Não lneardade físca Como comentado anterormente, numa análse lnear, consdera-se que os materas apresentam comportamento lnear elástco. A não lneardade físca ocorre quando a relação tensão-deformação não pode ser representada pela Le de Hooke e sm por uma relação não lnear. A Fgura 3 mostra dagramas tensão-deformação lnear e não lnear. As relações que representam essas curvas podem ser escrtas como: E Le de Hooke f ( ) M ateral Não Lnear (8) Fgura 3 - Relação tensão-deformação (a) lnear e (b) não lnear Fonte: AltoQ (0). Na Le de Hooke, E representa o módulo de elastcdade longtudnal do materal. A prncpal característca dessa le é a proporconaldade entre tensões e deformações, consttundo uma das condções essencas para o emprego da superposção de efetos que é a base da análse lnear. Quando essa relação não é mas lnear, a proporconaldade dea de estr e o prncípo da superposção não pode mas ser empregado. Esse é um dos fatores que tornam a análse não lnear mas complea. Conforme observado por Ptanguera (998), o efeto da não lneardade físca do materal ocorre de tal manera que, durante o processo de deteroração da estrutura, alguns pontos apresentam característcas mecâncas dstntas dos demas, observando-se que esta combnação de materas com característcas muto dversas (regões danfcadas junto a outras com as característcas do materal homogêneo ncal) causa efetos não lneares pronuncados na resposta da estrutura.

25 3 A relação entre tensões e deformações é únca e não depende da geometra. Esta relação é uma propredade do materal e é conhecda na lteratura como a Le Consttutva do materal. Esta é a dea usual da análse por elementos fntos, que consdera o meo contínuo, o materal ncalmente homogêneo e a le tensão-deformação conhecda a pror (FONSECA, 006). Estem dversos modelos consttutvos para representar o comportamento mecânco dos materas, além do lnear, há os elastoplástcos, vscoelástcos, vscoplástcos, etc. Fgura 4 - Modelos Consttutvos: (a) elástco, (b) plástco, (c) elastoplástco, (d) vscoelástco e (e) vscoplástco Fonte: Pmenta (006). Os dagramas tensão-deformação recomendados pela NBR 68:003, para análses estruturas nos estados lmtes últmos são o dagrama dealzado parábola-retângulo para concreto comprmdo (Fgura 5), o dagrama blnear para o concreto traconado (Fgura 6) e o dagrama elastoplástco (Fgura 7) para o aço. Fgura 5 Dagrama tensão-deformação do concreto na compressão Fonte: NBR 68:003.

26 4 Fgura 6 Dagrama tensão-deformação blnear do concreto na tração Fonte: NBR 68:003. A equação que representa o trecho parabólco do dagrama tensão-deformação do trecho comprmdo é dada por: c c 0,85 f cd 0 00 (9) onde c ( ) é o módulo da deformação de compressão do concreto e f é tensão de cd compressão resstente de cálculo do concreto para uma dade gual ou superor a 8 das e gual a f, com c gual a,4. ck c Fgura 7 Dagrama tensão-deformação para aços de armadura passva Fonte: NBR 68:003. onde E é o módulo de elastcdade, que na falta de ensaos ou valores fornecdos pelo CS fabrcante pode ser admtdo gual a 0 GPa, f é a resstênca característca ao escoamento yk e f yd f é a resstênca ao escoamento de cálculo, com s yk s gual a,5.

27 5 O dagrama tensão-deformação para o concreto na compressão, recomendado pelo Eurocode :004, para análses estruturas nos estados lmtes últmos é o dagrama representado por uma função raconal do tpo: k c f cm (0) k 0, 3 onde c c, em que 0, fcm é a deformação no pco da tensão e k,05 c cm c 7 E cm f, em que o módulo de elastcdade é E (GPa) 0, f 0, 3 com fcm 8 em MPa. Esta equação é válda para 0 c cu, em que 0 cu 00 f ck cm cm 3, 5 para fck 50MPa. A curva tensão-deformação representada por esta equação está lustrada na fgura abao: Fgura 8 Dagrama tensão-deformação para concreto na compressão Fonte: Eurocode : Problemas de contato A análse lnear consdera que as condções de contorno em forças e deslocamentos permanecem constantes durante a aplcação do carregamento. Na prátca, sso nem sempre ocorre, como é o caso quando se consdera na análse estrutural o problema da nteração entre o solo e a estrutura. De acordo com Cook et al (00), problemas de contato são um tpo de não lneardade que surge quando estruturas dferentes ou superfíces dferentes de uma únca

28 6 estrutura entram em contato, separam-se ou deslzam uma sobre as outras. As forças de contato podem aumentar ou dmnur e devem ser determnadas e representadas para que se possa avalar sua nfluênca no comportamento da estrutura como, por eemplo, as forças de atrto. Além dsso, a localzação e etensão do contato não são conhecdas a pror e também devem ser determnadas. Um eemplo smples de problema de contato é o da vga engastada e em balanço lustrada na Fgura 9 que apresenta uma folga entre sua etremdade e uma mola de rgdez k. Fgura 9- Eemplo de problema de contato. Fonte: Própro autor. A etremdade da vga sofrerá um deslocamento v quando for aplcada uma força P. Enquanto v for menor que, somente a vga resstrá à carga, mas com o aumento de P, o deslocamento vertcal pode superar a folga e a carga passará a ser resstda pela vga e a mola juntas. Consderando um comportamento lnear da vga e da mola, a relação entre a carga e o deslocamento vertcal pode ser representada matematcamente por: 3EI P v se v 3 L () 3EI P v k( v ) se v 3 L A curva carga - deslocamento resultante dessas relações apresenta dos trechos retos com o segundo trecho apresentando uma nclnação maor, pos a rgdez aumentou com a nfluênca da mola. A Fgura 0 representa a curva carga-deslocamento para esse problema. Apesar de a curva carga-deslocamento ser composta por trechos retos, ela é não lnear, pos a proporconaldade só é válda dentro do domíno de deslocamento de cada trecho.

29 7 Fgura 0- Curva carga-deslocamento para o eemplo do problema de contato. Fonte: Própro autor..5 Fundamentos do Método dos Elementos Fntos Em uma análse estrutural, o problema de meo contínuo da estrutura real é representado por um modelo matemátco utlzando-se hpóteses smplfcadoras. Matematcamente o problema do meo contínuo é descrto por equações dferencas ou por ntegras cujas soluções analítcas são desconhecdas para a maora dos casos, eceto para problemas smples. O prmero passo para a resolução de um problema é dentfcar os aspectos que envolvem o problema como qual o fenômeno físco mas mportante, se há ou não dependênca do tempo, quas não lneardades estão envolvdas, entre outros. Além dsso, é necessáro conhecer quas as nformações que se deseja obter com a análse e qual a precsão requerda. Após o estudo da natureza físca do problema, um modelo para a análse é concebdo e um método analítco é aplcado. Na modelagem, procura-se eclur detalhes superfcas, mas são ncluídas todas as característcas essencas para a descrção do problema real com sufcente precsão. O modelo geométrco se torna um modelo matemátco quando seu comportamento é descrto ou apromado por equações dferencas e condções de contorno. Essas equações podem ncorporar restrções como homogenedade, sotropa, propredades do materal, consderação de pequenas deformações e rotações, entre outras (COOK et al, 00). Enfm, um modelo matemátco é uma dealzação em que geometra, propredades do materal, carregamento e condções de contorno são smplfcadas com base

30 8 no entendmento de quas característcas são mportantes na obtenção dos resultados requerdos. Para superar as lmtações da resolução das equações dferencas assocadas às soluções analítcas, adota-se um modelo numérco apromado dto modelo dscreto (PITANGUEIRA, 000). Nos modelos dscretos, as equações são algébrcas e as ncógntas são determnadas em um número fnto de pontos ou nós. Em relação à realdade, duas fontes prncpas de erro podem ser dentfcadas: os erros ntroduzdos pelo modelo consderado e os erros ntroduzdos pela dscretzação. Além dsso, as operações artmétcas realzadas pelo computador produzem erros numércos devdo à consderação de números com uma precsão fnta para a representação das nformações e dos resultados das nformações. Dentre os métodos dscretos, o Método dos Elementos Fntos (MEF) é o mas dfunddo. No modelo de deslocamentos do MEF, o problema é dvddo em subdomínos de dmensões fntas, denomnados elementos fntos, onde o campo de deslocamentos é arbtrado. O conjunto de elementos fntos forma a malha. Escrevendo-se o campo de deslocamentos de cada elemento em função dos deslocamentos nodas, obtém-se um sstema de equações que permte soluconar o problema (FONSECA, 006). Fgura - Malha de elementos fntos Fonte: Assan (003). A malha desse retculado pode ser aumentada ou dmnuída varando o tamanho dos elementos fntos, que é conhecdo por refnamento h. Em vez de buscar uma função admssível que satsfaça as condções de contorno para todo o domíno, no MEF, as funções admssíves são defndas apenas no domíno de cada elemento fnto (ASSAN, 003). A essênca do MEF é a apromação das quantdades de campo desejadas por funções de nterpolação e comumente se utlza o método de Raylegh-Rtz com funções de nterpolação

31 9 polnomas. Outra forma de melhorar a precsão dos resultados obtdos é através do aumento do grau dos polnômos de nterpolação, que é conhecdo por refnamento p. Deve-se atentar, no entanto, que, para a acuráca do modelo dscreto, é necessáro um modelo matemátco adequado e a defnção de um meo contínuo coerente com a estrutura real. Dessa forma, a análse estrutural se basea em três smplfcações de geometra presentes nos modelos de barras, placas e cascas. As barras são elementos caracterzados por uma seção transversal de dmensões pequenas quando comparadas com o seu comprmento. A análse de tensões em barras fletdas se basea na hpótese de que seções transversas permanecem planas e ortogonas à curva defnda pelo seu eo. Esta é a hpótese de Naver-Bernoull que defne o campo de deslocamentos de uma barra fletda conforme está lustrado na fgura abao. Fgura - Deslocamentos de uma barra fletda Fonte: Martha (994). Com a hpótese de Naver-Bernoull, o campo de deslocamentos ( u, v, w) de todos os pontos de uma barra fca defndo pelo deslocamento da curva do centróde das seções. Com sto, a equação dferencal que descreve o comportamento deste campo dea de ser parcal e torna-se ordnára. A descrção dos deslocamentos a partr da etremdade e a contnudade do campo de deslocamentos entre elementos requerem, entretanto, a utlzação de rotações como meddas de deslocamentos. Na mecânca de pequenos deslocamentos, estas rotações são apromadas por dervadas de deslocamentos e tratadas como vetores (MARTHA, 994).

32 30 Fgura 3 Eemplos de projetos baseados no modelo de barras Fonte: Martha (994). Outra smplfcação de geometra mportante é a que ocorre no estudo dos elementos de placas e cascas. Placas (planas) e cascas (curvas) são objetos com uma dmensão (espessura) bem menor que as outras duas. Fgura 4 Geometra de placas e cascas Fonte: Martha (994). Os deslocamentos das placas e cascas são descrtos a partr dos deslocamentos de sua superfíce méda. A hpótese de Krchhoff estabelece que a normal à superfíce méda permanece reta e perpendcular à superfíce após o deslocamento da placa.

33 3 Fgura 5 Hpótese de Krchhoff para placas Fonte: Martha (994). A equação parcal de placas e cascas é função das duas varáves que descrevem a superfíce méda e sua dscretzação requer o uso de rotações para representar o campo de deslocamentos. De uma manera geral, pode-se dzer que a dea central do MEF é subdvdr o domíno da equação que descreve o fenômeno físco em pequenas regões (elementos) onde o comportamento do campo possa ser apromado por um polnômo de grau bao. Este polnômo é escrto em função de valores do campo nos vértces (nós) destes elementos e estes valores (ncógntas do problema dscreto) podem ser determnados através da mnmzação de um funconal assocado à equação dferencal (MARTHA, 994). A Fgura 6 lustra alguns tpos de elementos comumente encontrados na engenhara. Fgura 6 Elementos fntos Fonte: Martha (994).

34 3.6 Métodos de solução da equação de equlíbro Na análse não lnear, a matrz de rgdez e o vetor de cargas nodas se tornam funções dos deslocamentos ou deformações. Problemas desse tpo são não lneares porque, na equação de equlíbro KD = R, a matrz de rgdez K e talvez a de cargas R se tornam função dos deslocamentos D. Assm, não é possível resolver a equação medatamente para obter D porque K e R não são conhecdos. Um processo ncremental-teratvo é necessáro para obter D e seus assocados K e R (COOK et al, 00). Um problema que retrata de forma smples esse comportamento é o de uma força aplcada a uma mola não lnear conforme mostra a fgura abao: Fgura 7 - (a) Mola não lnear e (b) comportamento de enrjecmento e amolecmento Fonte: Cook et al (00). A relação entre uma força P e um deslocamento u pode ser escrto: ku P ( k 0 k N ) u P, k N k N ( u) () como k é uma função de u, não é possível calcular u dretamente a partr de um valor prescrto para P. Em vez dsso, u é obtdo por uma sére de passos lneares, cada um correspondendo a uma mudança na carga, que pode ser calculada usando a rgdez tangente k t dp du. A solução da equação de equlíbro através de um processo ncremental-teratvo pode ser realzada bascamente através do Método de Newton-Raphson ou do Método com Controle de Deslocamentos ou do Método do Comprmento de Arco (COOK et al, 00). A fgura abao lustra as stuações em que cada método é mas adequado:

35 33 Fgura 8 - Camnhos não lneares de equlíbro. Fonte: Mereles Neto (0). O Método de Newton-Raphson consste em terações a cada ncremento de carga, contudo há estruturas que apresentam a ocorrênca dos snap-through e snap-back. Como lustra a Fgura 8(b) e (c). Assm, o Método de Newton-Raphson, o qual trabalha com ncremento de carga, não é capaz de traçar o camnho de equlíbro de todas as estruturas, somente daquelas que apresentam camnhos de equlíbro como da Fgura 8(a). A Fgura 8(b) apresenta um camnho com snap-through. Nesta stuação, o Método de Newton-Raphson não é capaz de traçar o camnho, pos não é possível representar o trecho em que há uma queda na carga. Por outro lado, pode-se usar um método com Controle de Deslocamento para este camnho, pos é um método em que o ncremento passa a ser o deslocamento em vez da carga. Fnalmente, a Fgura 8(c), além de possur um camnho com snap-through, apresenta o snap-back. Nesta stuação ambos os métodos de Newton-Raphson e Controle de Deslocamento não são capazes de construr este tpo de camnho de equlíbro. Como método mas refnado e capaz de representar esta tercera stuação, há o Método do Comprmento de Arco. Segundo Crsfeld (99), é um método destnado a permtr que algortmos passem por pontos lmtes. Sua nterpretação tende a ser mas geométrca do que físca, pos o ncremento não é de carga nem de deslocamento e sm um passo dado no camnho de equlíbro.

36 34 3 PRESCRIÇÕES DA NBR 68:003 PARA ANÁLISE LINEAR E NÃO LINEAR O objetvo da análse estrutural é obter os efetos das ações em uma estrutura, determnando as dstrbuções de esforços nternos, deformações, deslocamentos e tensões na estrutura, com a fnaldade de efetuar verfcações de estados lmtes últmo e de servço. O modelo estrutural deve ser realsta e deve permtr representar o comportamento e as característcas geométrcas dos elementos, as vnculações, os camnhos percorrdos pelas ações até os apoos da estrutura e também as propredades dos materas. Como hpóteses báscas, a NBR 68:003 estabelece que: a) as condções de equlíbro devem ser sempre respetadas. As equações de equlíbro podem ser estabelecdas com base na geometra ndeformada da estrutura (teora de º ordem), eceto nos casos em que os deslocamentos alterem de manera sgnfcatva os esforços nternos (teora de º ordem); b) a compatbldade deve ser atendda nos deslocamentos ao longo da estrutura e quando as condções de compatbldade não forem verfcadas no estado lmte últmo consderado, devem ser adotadas meddas que garantam ductldade adequada da estrutura, resguardando um desempenho adequado nos estados lmtes de servço. A ductldade é a capacdade de a estrutura apresentar grandes deformações antes da ruptura; c) o carregamento pode ser consderado monotônco desde que os cclos de carga e descarga, em servço, não solctem o concreto a tensões de compressão superores a 0,5 f ck. Caso contráro, podera haver deformações resduas e sera necessáro conhecer o hstórco de carregamento. Para a análse de estruturas que possam ser assmladas a elementos lneares (vgas, plares, trantes, arcos, pórtcos, grelhas, trelças), a NBR 68:003 admte as seguntes hpóteses: a) manutenção da seção plana após a deformação (hpótese da teora de vgas de Naver-Bernoull); b) representação dos elementos pelos seus eos longtudnas (hpótese da teora de vgas de Naver-Bernoull); c) comprmento lmtado pelos centros de apoos ou pelo cruzamento com o eo de outro elemento estrutural.

37 35 3. Análse lnear Na análse lnear, a NBR 68:003 admte comportamento elástco-lnear para os materas. Para uma análse global, as característcas geométrcas podem ser determnadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturas. Já em análses locas para cálculo de deslocamentos, a fssuração deve ser consderada. Para análses elástcas de projeto e para a avalação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, quando não forem fetos ensaos, deve ser consderado o módulo de elastcdade secante, dado por: E 0, 85 cs E c (3) onde E é o módulo de elastcdade tangente ncal, estmado por: c Ec 5600 f ck (4) com E e c f dados em megapascal (MPa). ck Na avalação do comportamento global da estrutura, pode ser utlzado em projeto o módulo de elastcdade tangente ncal E. c Os resultados de uma análse lnear são usualmente empregados nas verfcações de estado de lmte de servço, como para a verfcação do estado lmte de abertura de fssuras e de deformação ecessva. Nesse últmo, no entanto, deve ser utlzada a rgdez equvalente ( EI ) eq. De acordo com a NBR 68:003, a verfcação dos valores lmtes para a deformação da estrutura deve ser realzada através de modelos que consderem a rgdez efetva das seções dos elementos estruturas. Nesse sentdo, deve-se levar em consderação a presença das armaduras e a fssuração do concreto no cálculo da rgdez, além das deformações dferdas no tempo. Para uma avalação apromada da deformação em vgas e em lajes, pode-se admtr o concreto e o aço como materas de comportamento lnear elástco. Em uma vga ou laje, há trechos não fssurados (Estádo I) e fssurados (Estádo II) para os carregamentos de estado lmte de servço, conforme está lustrado na Fgura 9.

38 36 Fgura 9- Vga de concreto armado smplesmente apoada sob ações de servço. Fonte: Carvalho e Fgueredo Flho (00). Assm, para uma avalação da flecha medata, a NBR 68:003 permte o uso da rgdez equvalente, obtda a partr do modelo smplfcado de Branson (968), para o cálculo da flecha medata, cuja equação é dada por: ( EI ) eq E cs M M r a 3 I c M M r a 3 I II E cs I c (5) onde: I é o momento de nérca da seção bruta de concreto, c I é o momento de nérca da II seção fssurada do concreto no Estádo II, calculado com E E, e s cs a M é o momento fletor na seção crítca do vão consderado e estrutural. M é o momento de fssuração do elemento r Para verfcações de estado lmte últmo, é permtdo utlzar uma análse lnear, mesmo com tensões elevadas, desde que a estrutura apresente sufcente ductldade para atngr a dstrbução das solctações prevstas. Essa egênca é na verdade uma aplcação do Teorema Estátco da Teora da Plastcdade Geral também conhecdo como Teorema do Lmte Inferor, que para ter valdade necessta que as peças tenham um comportamento plástco (ALTOQI, 0). É por esse motvo que a norma ege uma ductldade mínma das peças.

39 37 3. Análse não lnear Na análse não lnear, consdera-se o comportamento não lnear dos materas. Toda a geometra da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precsam ser conhecdas para que a análse não lnear possa ser efetuada, pos a resposta da estrutura depende de como ela fo armada. Condções de equlíbro, compatbldade e ductldade devem ser necessaramente atenddas. De acordo com a NBR 68:003, as análses não lneares podem ser utlzadas tanto para verfcações de estado lmte últmo como para verfcações de estado lmte de servço. Chamam-se efetos de º ordem aqueles que se somam aos obtdos numa análse de º ordem quando a análse do equlíbro da estrutura passa a ser realzada com a confguração deformada e obrgatoramente consderando o comportamento não lnear físco dos materas. Conforme a NBR 68:003, os nós da estrutura deslocam-se horzontalmente sob a ação de cargas horzontas e vertcas e os esforços de º ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efetos globas de ordem. Assm, quanto maores forem esses deslocamentos, maores serão os efetos globas de ordem, sendo necessáro, portanto, adequar a rgdez adotada para os dversos elementos estruturas de forma a lmtar esses efetos que nfluencam dretamente nos momentos de dmensonamento. Com base na ordem de grandeza dos efetos globas de º ordem, as estruturas são classfcadas em estruturas de nós fos e de nós móves. As estruturas consderadas de nós fos são mas rígdas, apresentam deslocamentos horzontas pequenos e podem ser desprezados os efetos globas de º ordem, pos são nferores a 0% dos respectvos esforços de º ordem. As estruturas de nós móves são mas fleíves e, por sso, os deslocamentos horzontas não são pequenos. Nessas estruturas, os efetos globas de º ordem são mportantes e superores a 0% dos respectvos esforços de º ordem. 3.. Dspensa da consderação dos efetos globas de º ordem A classfcação de uma estrutura com relação à consderação dos efetos globas de º ordem, ou seja, se é uma estrutura de nós fos ou de nós móves pode ser realzada através de dos processos apromados, o parâmetro de nstabldade e o coefcente. z

40 Parâmetro de nstabldade Segundo Carmo (995), o parâmetro fo dealzado por Beck e Kong (966) como uma grandeza para avalar a rgdez horzontal de uma estrutura. O desenvolvmento deste parâmetro fo feto a partr de análses da rgdez de pórtcos rotulados, contraventados por paredes. É uma grandeza capaz de avalar a sensbldade de uma estrutura com relação aos efetos globas de º ordem. Segundo a NBR 68:003, uma estrutura smétrca pode ser consderada de nós fos se seu parâmetro de nstabldade for menor que, conforme a epressão: N k H tot E I (6) cs c sendo: = 0, + 0,n, se n 3; = 0,6, se n 4 e para estruturas usuas de edfícos, assocações de plaresparede e para pórtcos assocados a plares-parede; = 0,7, se n 4 e para contraventamento consttuído eclusvamente por plares-parede; = 0,5, se n 4 e quando só houver pórtcos. onde n é o número de pavmentos acma da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo, H tot é a altura total da estrutura, N k é o somatóro de todas as cargas vertcas atuantes na estrutura, com seu valor característco e E cs I c representa o somatóro dos valores de rgdez de todos os plares na dreção consderada. No caso de estruturas de pórtcos, de trelças ou mstas, ou com plares de rgdez varável ao longo da altura, pode ser consderado o valor da epressão E cs I c de um plar equvalente de seção constante. Para que o parâmetro seja representatvo, o edfíco deve ser preferencalmente smétrco, pos o parâmetro de nstabldade não se aplca a estruturas sgnfcatvamente assmétrcas ou que apresentem deslocamentos horzontas aprecáves sob a ação das cargas vertcas (IBRACON, 006). No cálculo do, o valor de I deve ser calculado consderando as seções brutas c dos plares e pode ser adotado o módulo de elastcdade tangente ncal.

41 39 A NBR 68:003 permte substtur E pela rgdez calculada através de um I cs c plar equvalente. Este plar pode ser engastado e lvre com carga concentrada na etremdade, como mostrado na Fgura 0. Igualando-se o deslocamento horzontal do plar sob a ação de uma carga horzontal P ao deslocamento obtdo para o sstema de contraventamento, obtém-se a rgdez equvalente: Fgura 0 - Plar equvalente Fonte: Própro autor. 3 PH 3E I cs c E cs I c PH 3 3 (7) Em contrapartda à facldade de determnação do parâmetro, a maora das estruturas não apresenta comportamento semelhante ao de um plar engastado e lvre (E-L), como lustra a Fgura. Outros aspectos relevantes dzem respeto à questão do parâmetro supor que EI é constante ao longo da altura, o que usualmente não acontece, e ao fato de ele não permtr uma estmatva dos acréscmos de esforços devdo aos efetos globas de º ordem.

42 40 Fgura - Comportamento de pórtcos planos e espacas e plar E-L Fonte: AltoQ (0) Coefcente z O coefcente permte avalar a establdade global, estmar os esforços globas z de º ordem de edfícos e classfcar as estruturas quanto à deslocabldade dos nós, tendo sdo dealzado por Franco e Vasconcelos (99). O coefcente de avalação da mportânca dos esforços globas de º ordem é z váldo para estruturas retculadas de no mínmo quatro pavmentos. Ele pode ser determnado a partr dos resultados de uma análse lnear de ordem. O valor de epressão: é dado pela z z M M tot, d, tot, d (8) onde M, tot, d é o momento de tombamento devdo às ações horzontas e M tot, d é o momento orundo do produto de todas as forças vertcas pelos respectvos deslocamentos horzontas de seus pontos de aplcação. Consdera-se que a estrutura é de nós fos quando,. A utlzação do parâmetro em estruturas com menos de quatro pavmentos não z é recomendada devdo à possbldade de se terem casos reas com valores de rgdez menores que os recomendados. Neste caso, sugere-se a utlzação do parâmetro (IBRACON, 006). z

43 4 3.. Análse de estruturas de nós fos Com relação à análse global, as estruturas de nós fos são sempre consderadas como deslocáves sob a ação de forças horzontas. O fato de a estrutura ser classfcada como sendo de nós fos dspensa apenas a consderação dos efetos globas de º ordem, sendo anda necessáro serem consderados os fetos locas e localzados de º ordem. O dmensonamento de estruturas de nós fos pode ser realzado consderando cada elemento comprmdo soladamente onde se aplcam os esforços obtdos pela análse da estrutura efetuada segunda a teora de º ordem Análse de estruturas de nós móves De acordo com a NBR 68:003, na análse de estruturas de nós móves, devem ser obrgatoramente consderados os efetos da não lneardade geométrca e físca e, portanto, devem ser obrgatoramente consderados, no dmensonamento, os fetos globas de º ordem, além dos efetos locas e localzados. A norma permte realzar uma determnação apromada dos esforços globas de º ordem, obtendo assm os esforços fnas (º ordem + º ordem), a partr da majoração adconal dos esforços horzontas por 0,95, desde que z z, 3. A consderação da não lneardade físca devera prever o cálculo da rgdez da seção a partr das relações consttutvas dos materas, da quantdade e dsposção das armaduras e do nível de solctação atuante. Por ser complcado e trabalhoso obter os dados de um modelo consttutvo que represente de manera mas fel o comportamento do concreto armado, a NBR 68:003 propõe a adoção de fatores que reduzam a rgdez do elemento analsado. A redução da rgdez à fleão dos elementos é dada por: onde é o fator de redução da rgdez, c o momento de nérca da seção bruta de concreto. EI E I sec c c (9) E é o módulo de elastcdade tangente ncal e I é c Dessa forma, a norma permte a consderação da não lneardade físca de forma apromada, tomando-se como rgdez dos elementos estruturas os seguntes valores: a) Lajes: EI 0, 3E I c c sec ; b) Vgas: EI 0, 4E I para sec c c A ' s A ou EI 0, 5E I para s sec c A c s As ' ;

44 4 onde c) Plares: EI 0, 8E I c c sec. E é o módulo de elastcdade tangente ncal, c A s é a área da armadura traconada e ' A é a área da armadura comprmda. s Quando a estrutura de contraventamento for composta eclusvamente por vgas e plares, permte-se tomar a rgdez de vgas e plares por EI 0, 7E I c c sec.

45 43 4 MODELO DISCRETO DE PÓRTICO PLANO Neste capítulo está descrta a formulação do elemento fnto de pórtco plano utlzada que tem como base para a sua formulação a teora de vgas de Naver-Bernoull. As prncpas hpóteses e aspectos dessa teora também são ntroduzdos nesse capítulo. 4. Pórtcos planos consderando a teora de vgas de Naver-Bernoull Também chamada na lteratura por Teora Clássca de Vgas (TCV), esta teora adota uma sére de hpóteses estátcas e cnemátcas para transformar a análse de vgas de um problema 3D para D. Uma vga possu o comprmento longtudnal preponderante em relação às dmensões transversas. Segundo a NBR 68:003, para ser consderado como vga, o comprmento longtudnal deve superar em pelo menos três vezes a maor dmensão transversal. 4.. Hpóteses Como as vgas são estretas e suas faces lateras estão lvres de tensões, pode-se consderar que todas as forças atuantes estão contdas no plano y, assm, o estado de tensões de uma vga é plano. Esta hpótese reduz o problema de 3D para D. As tensões e deformações perpendculares ao eo da vga são pequenas e muto menores que as tensões na dreção do eo e podem, portanto, ser desprezadas. Adconalmente, o efeto de Posson e do csalhamento são desprezados. Estas hpóteses reduzem o problema de D para D. A prncpal hpótese da TCV consdera que as seções planas e perpendculares ao eo da vga antes da deformação, permanecem planas e perpendculares ao eo da vga após a deformação. Esta hpótese é conhecda como hpótese de Naver e está lustrada na Fgura.

46 44 Fgura - Confguração ndeformada e deformada da vga baseada nas hpóteses da TCV Fonte: Própro autor. 4.. Campo de deslocamentos A partr das hpóteses adotadas para a TCV e da observação da Fgura, pode-se obter o campo de deslocamentos para qualquer ponto de uma barra. Da hpótese de tensões transversas e efeto de Posson nulos, obtemos que os deslocamentos transversas só dependem da posção ao longo do eo longtudnal: v y 0 y 0 0 (0) y v(, y) v( ) () onde v representa os deslocamentos transversas do eo da vga. Da hpótese das seções planas, obtemos a nclnação do eo a partr do deslocamento transversal v e obtemos os deslocamentos aas ao longo da seção transversal: dv u tg u y () d y dv u (, y) y yv' (3) d Adconando os deslocamentos aas do eo da vga u (), geralmente assocado ao centróde da seção, que surgem devdo aos esforços normas atuantes em um pórtco plano,

47 45 temos que o campo de deslocamentos ( u, v ) baseados na TCV para qualquer ponto da barra do elemento é dado por: u (, y) u( ) y v' (4) v(, y) v( ) (5) onde u e v representam os deslocamentos aas e transversas do eo da vga, respectvamente Relações deformação-deslocamento A partr do campo de deslocamentos descrto e consderando a teora da elastcdade clássca para pequenos deslocamentos e deformações, obtêm-se as seguntes relações entre deformações e deslocamentos para um ponto qualquer da barra: u u y v (6) ' ' ' y v' 0 (7) y u v v v 0 (8) y ' y ' ' portanto, a únca deformação presente é a deformação aal ao eo da barra. Podemos escrever a Equação (6) de forma mas convenente como: ' y (9) m onde é a deformação de membrana geralmente assocada ao eo do centróde da barra e m se deve aos esforços normas, é curvatura da barra e se deve aos momentos fletores. A deformação de membrana deformações generalzadas: e a curvatura m consttuem o vetor chamado de m ε (30)

48 Relações tensão-deformação Uma propredade do materal que não depende da geometra da estrutura e que relacona as tensões e deformações é a sua Le Consttutva. Essa propredade do materal deve ser prescrta como um dado eterno à análse. No caso mas geral, pode-se assumr uma Le Consttutva não lnear: ( ) (3) 4..5 Esforços nternos Para o caso de elementos de pórtco plano baseados na TCV, os esforços de nteresse são a força normal N e o momento fletor M, pos o csalhamento é desprezado. Os esforços nternos podem ser obtdos a partr da resultante devdo à ntegração das tensões na seção da barra. Assm, a força normal é a resultante das forças geradas pelas tensões atuantes na dreção do eo da barra e é obtda por: N da A (3) onde A é a área da seção transversal da barra. O momento fletor é a resultante dos momentos em torno do eo horzontal da seção transversal gerados pelas tensões aas. O momento fletor pode ser obtdo por: M y A da (33) Os esforços nternos resultantes N, M consttuem um vetor das tensões generalzadas: N σ (34) M

49 47 4. Elemento fnto de pórtco plano O desenvolvmento de um elemento fnto consste ncalmente na determnação dos graus de lberdade e das funções de nterpolação. Para o caso do elemento de pórtco plano apresentado neste capítulo, os graus de lberdade consderados serão resultado de uma assocação entre as parcelas de membrana e de fleão, ou seja, uma assocação entre os graus de lberdade de um elemento de trelça e de um elemento de vga. A fgura abao lustra essa assocação: Fgura 3- Elementos de trelça (a), de vga (b) e de pórtco plano (c) Fonte: Própro autor. 4.. Equações de equlíbro do elemento Para a obtenção das equações de equlíbro do elemento, pode-se utlzar o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (PTV), pos este prncípo pode ser empregado em stuações onde o campo de energa não é conservatvo. Este é o caso quando se realza uma análse estrutural não lnear. De acordo com o PTV, o trabalho vrtual realzado pelas forças nternas é gual ao trabalho vrtual realzado pelas forças eternas devdo a um deslocamento vrtual aplcado. Este deslocamento vrtual é magnáro, pequeno, possível e compatível com as vnculações da estrutura: U W et (35)

50 48 onde U representa o trabalho vrtual nterno e Wet o trabalho vrtual eterno. Como o elemento de pórtco plano consderado é baseado na TCV, a únca tensão de nteresse é. Assm, o trabalho vrtual nterno pode ser obtdo por: U V dv T (36) De acordo com a equação (9), a deformação vrtual é dada por: m y (37) Substtundo a equação (37) na equação (36), obtemos uma epressão para o cálculo do trabalho vrtual nterno de pórtcos planos: T U ( y ) dv ( y ) V m L A m T dad (38) Separando a ntegral, podemos escrever o trabalho vrtual nterno como a soma de duas parcelas: T T U dad ( y ) dad L m A L A (39) A deformação de membrana e a curvatura varam ao longo do comprmento da barra e são constantes na seção transversal, por sso saem da ntegral de área. A Equação (39) pode ser reescrta utlzando as epressões dos esforços nternos obtdos a partr das Equações (3) e (33). T T U mnd Md U m U b (40) L L Nesta epressão, as parcelas e Ub correspondem ao trabalho vrtual nterno Um de membrana e de fleão, respectvamente. Esta epressão pode ser escrta de forma compacta: U L ε T σd (4) onde os vetores ε e σ correspondem às deformações e tensões generalzadas: ε m σ N (4) M

51 49 O trabalho vrtual eterno Wet é defndo como o trabalho realzado pelas forças de campo (vetor b ) e de superfíce (vetor q ), somado ao trabalho realzado pelas forças aplcadas dretamente sobre os nós do elemento (vetor P ). A fgura abao lustra um elemento sujeto a forças eternas genércas para o caso de um elemento de pórtco plano: Fgura 4 - Ações genércas Fonte: Adaptado de Fonseca (006). Então, o trabalho vrtual eterno pode ser calculado através da epressão: W et T T T ( u b) dv ( u q) ds u P (43) V S e onde u e u e representam os vetores de deslocamento no nteror do elemento e de deslocamentos nodas, respectvamente. 4.. Formulação do elemento fnto Neste tem é apresentada a formulação do elemento fnto de pórtco plano que é resultante da assocação entre os comportamentos de membrana (elemento de trelça) e de fleão (elemento de vga).

52 50 Para cada elemento, são descrtos os graus de lberdade consderados e as funções de nterpolação. Para garantr a convergênca do MEF, essas funções de nterpolação precsam ter contnudade C m-, onde m é a maor ordem de dervação que aparece na epressão do trabalho vrtual (COOK et al, 003) Parcela de membrana No caso da parcela de membrana, a equação do trabalho vrtual nterno envolve apenas dervadas de prmera ordem, como pode ser vsto nas Equações (6) e (39), relatva à parcela da energa de membrana. Assm, as funções de nterpolação precsam ser contínuas (contnudade C 0 ). Os deslocamentos aas podem ser nterpolados através de uma função lnear, que requere apenas dos graus de lberdade. Pode-se, então, escrever o deslocamento aal no elemento. u L u L (44) u onde u e u são os deslocamentos nodas na dreção aal e L e L são os polnômos de nterpolação lneares de Lagrange. Esses polnômos são defndos no ntervalo L L L L 0 L por: (45) Escrevendo a Equação (44) de forma matrcal, temos: u u 0 0 (46) u 0 0 L 0 0 L 0 0 u N mu e Obtdo o campo de deslocamentos aas no elemento, a deformação de membrana pode ser escrta:

53 5 m N m u e u 0 0 ' ' (47) u 0 0 L 0 0 L 0 0 m B mu e onde B m é a parcela de membrana da matrz deformação-deslocamento, responsável por transformar os deslocamentos nodas aas em deformações aas no nteror do elemento Parcela de fleão No caso da parcela de fleão, a equação do trabalho vrtual nterno envolve dervadas de segunda ordem, como pode ser vsto na Equação (39). Assm, tanto as funções de nterpolação como as dervadas de prmera ordem precsam ser contínuas (contnudade C ). Fscamente, sso sgnfca que tanto as defleões como as rotações precsam ser contínuas entre elementos adjacentes, a menos que haja uma rótula. Portanto, para garantr a contnudade dos deslocamentos transversas e das rotações no nteror do elemento, é necessáro empregar os quatro graus de lberdade nodas do elemento de vga como mostrado na Fgura 3(b). Assm, os deslocamentos transversas são nterpolados através da epressão segunte: v H (48) v H H 3v H 4 onde as funções de nterpolação H são conhecdas como os polnômos de Hermte (COOK et al, 00). Estes polnômos são cúbcos, pos são utlzados para uma nterpolação a partr de quatro graus de lberdade nodas. Usam-se os polnômos de Hermte quando se quer nterpolar entre dos pontos com dos valores e duas tangentes conhecdas. As epressões e a representação gráfca dos polnômos de Hermte estão mostradas abao:

54 L L H L L H L L H L L H (49) Fgura 5 Representação gráfca dos polnômos de Hermte Fonte: Cook et al (00). Escrevendo a equação (48) de forma matrcal, temos: e b v v v H H H H v u N (50) Obtdo o campo de deslocamentos transversas no elemento, a deformação de fleão pode ser escrta: e b e b v v H H H H u B u N 4' 3' ' ' (5) onde b B é a parcela de fleão da matrz deformação-deslocamento, responsável por transformar os deslocamentos nodas na curvatura no nteror do elemento.

55 Elemento de pórtco plano Um pórtco plano apresenta comportamento tanto de membrana (trelça) como de fleão (vga), logo, o elemento de pórtco plano pode ser obtdo pela composção desses dos comportamentos. Com base nas equações anterores, podemos escrever a nterpolação dos deslocamentos como: u L v 0 0 H 0 H L 0 0 H 3 0 H 4 u v u v u Nu e (5) onde u representa os deslocamentos no nteror do elemento, N é a matrz das funções de forma que realza a nterpolação dos deslocamentos nodas e nodas do elemento de pórtco plano. u e representa os deslocamentos A partr do campo de deslocamentos do elemento, pode-se obter o vetor das deformações generalzadas ε : m L 0 ' H 0 ' H 0 ' L ' 0 H 0 3' H 0 4' u v u v ε Bu e (53) onde B representa a matrz deformação-deslocamento para o elemento de pórtco plano. Os elementos da matrz B não dependem dos deslocamentos, assm, podemos escrever o vetor das deformações vrtuas por: ε B (54) u e Com o vetor das deformações vrtuas estabelecdo, podemos substtuí-lo na Equação (4) e obter o trabalho vrtual nterno do elemento:

56 54 U ε g e L L T e T U u g σd T B σd e T T u e B σd L u T e L T B σd (55) onde g e representa o vetor de forças nternas para o elemento de pórtco plano. Substtundo as deformações vrtuas na epressão do trabalho vrtual nterno subdvddo nas parcelas de membrana e de fleão (Equação (40)), podemos escrever o vetor de forças nternas subdvddo nessas duas parcelas: U u B Nd u B Md u ( g g ) g g m T e L g b T m T e L T b T e m b (56) onde B m e B b correspondem às parcelas de membrana e de fleão da matrz B, respectvamente, g m e g b correspondem a: g g m b B L B L T m T b Nd Md (57) É possível, também, defnr o vetor de forças eternas substtundo os deslocamentos vrtuas na epressão do trabalho vrtual eterno (Equação (43)): W W W et et et T T T T T ( u N b) dv ( u N q) ds u P V u u T e T e e T T ( N bdv N qds P) V ( f b f q P) S S e e (58) f e f b f q P onde f e representa o vetor de forças eternas equvalentes nodas e f b e f q são os vetores de forças eternas equvalentes nodas relatvos às forças de campo e de superfíce. A partr das Equações (56), (58) e do PTV, representado pela Equação (35), temos que para um deslocamento vrtual arbtráro u e, o equlíbro ocorre quando: u g u f g f (59) T e e T e e e e

57 55 Vale ressaltar que esta formulação é válda para qualquer materal, seja ele lnear ou não lnear Elemento de pórtco plano com lneardade físca Consderando o materal elástco lnear, a relação entre as tensões e deformações é dada pela Le de Hooke: E (60) Para o elemento de pórtco plano baseado na TCV, a deformação aal é representada pela Equação (9): E( y) (6) m Dessa forma, os esforços nternos atuantes na seção transversal do elemento, que compõem o vetor das tensões generalzadas σ, podem ser determnados substtundo a Equação (6) nas ntegras dadas pelas Equações (3) e (33). N E( A m y ) da E da E ( y) da m A M ( y) E( y ) da E ( y) da E y da m m A A A A (6) Nessa Equação, as ntegras representam a área A, o momento estátco S e o momento de nérca I da seção transversal: A da A S ( y) da I y da (63) A A Os esforços nternos podem ser representados de forma compacta por: N M EA ES m m ES EI (64) e na forma matrcal como: N EA M ES ES EI m (65) Se os eos da seção transversal tverem orgem no centróde, o momento de prmera ordem é nulo e as tensões e deformações generalzadas fcam desacopladas:

58 56 N EA M 0 0 EI m (66) A relação entre tensões generalzadas e deformações generalzadas pode ser escrta de manera smbólca: σ Cε (67) onde C representa a matrz consttutva do materal. Utlzando a Equação (53), podemos representar as tensões generalzadas em função dos deslocamentos nodas: σ CBu e (68) Substtundo na epressão do vetor de forças nternas g, representado em (55), temos: e g g e e T T T B σd B CBued ( B CBd) L L L Ku e u e (69) Nessa epressão, K representa a matrz de rgdez do elemento de pórtco plano. Realzando e as ntegras, a epressão analítca da matrz Método da Rgdez Dreta: K é dêntca à forma clássca obtda através do e EA EA L L EI 6EI EI 6EI L L L L 6EI 4EI 6EI EI 0 0 K L L L L e (70) EA EA L L EI 6EI EI 6EI L L L L 6EI EI 6EI 4EI 0 0 L L L L 4..4 Elemento de pórtco plano com não lneardade físca Quando a não lneardade físca (NLF) é consderada, a relação entre deslocamentos e forças nternas passa a ser não lnear. Para a solução do sstema de equações de equlíbro (Equação (59)), é necessáro o emprego de um procedmento ncremental-

59 57 teratvo como o método de Newton-Raphson. Para sso, é calculado o resíduo, que é o valor do desequlíbro nodal dado pela dferença entre o vetor de forças nternas e o vetor de forças eternas (PARENTE JUNIOR, 0): f u g u r ) ( ) ( (7) Para que haja o equlíbro, esse resíduo deve ser nulo ou atender a uma tolerânca pré-estabelecda. Epandndo através de uma sére de Taylor e truncando para dos termos, o resíduo pode ser representado por: u u u r u r u u r u u u r u u u r u r u u r ) ( ) ( ) (...! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (7) Fazendo a Equação (7) ser nula, obtemos a equação que aplca o método de Newton-Raphson em uma determnada teração: ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( u g f u K u r u u u r u u u r u r u u r T (73) onde K T representa a matrz de rgdez tangente do elemento. Da Equação (7), podemos verfcar que a matrz de rgdez tangente é gual à taa de varação do vetor de forças nternas em relação ao vetor de deslocamentos nodas: u u g K u f u u g u u r K ) ( ) ( ) ( T T (74) Dferencando a Equação do vetor de forças nternas (55), podemos calcular a matrz de rgdez tangente: L T L T T d d u ε ε σ B u σ B u u g K ) ( (75) Consderando a Equação (53), a matrz de rgdez tangente pode ser escrta como:

60 58 K T L T B C Bd t (76) onde Ct deformação: é a matrz consttutva tangente que relacona os ncrementos de tensão e de dσ C dε (77) t A matrz consttutva tangente é obtda a partr da dferencação do vetor de tensão generalzada σ em relação ao vetor de deformação generalzada ε. A partr da Equação (9) a (34), a matrz C t pode ser escrta como (PARENTE JUNIOR, 0): N N EA ES m C t M M (78) ES EI m Os termos da matrz consttutva tangente são dados por: N EA m da A A m da m N ES da A A M da m (79) M EI y da y A A da que podem ser escrtos em função do módulo de elastcdade tangente E t da curva tensãodeformação do materal: EA E da A t ES E yda A t (80) EI E y da A t onde E t é dado por: E t (8)

61 59 É mportante notar que, devdo à NLF, o módulo de elastcdade tangente E t vara na seção transversal, pos depende da deformação curva tensão-deformação do materal. do ponto consderado na seção e da 4..5 Técncas de ntegração ao longo do eo longtudnal O cálculo das ntegras de área das epressões da matrz consttutva tangente (Equação (79)), bem como, das ntegras dos esforços resstentes da seção (Equações (3) e (33)) pode ser realzado por dversos métodos, alguns analítcos e outros numércos. Os métodos para a obtenção dos esforços nternos e dos termos da matrz consttutva tangente são dscutdos no prómo capítulo. Já para calcular as ntegras ao longo do eo longtudnal do elemento, necessáras para a obtenção do vetor de forças nternas (Equação (56) e (57)) e da matrz de rgdez tangente local (Equação (76)), são empregados métodos de ntegração numércos. Para a realzação da ntegração numérca ao longo do eo longtudnal do elemento, os métodos mas utlzados são as quadraturas de Gauss e de Lobatto. No método das quadraturas, consdera-se ncalmente uma função contínua f () defnda em um ntervalo a, b. Para calcular o valor apromado da ntegral defnda, utlza-se uma combnação lnear de valores da função f () em certos pontos pertencentes ao ntervalo a, b e certos valores w, chamados pesos, de modo que a ntegral é calculada somando-se os produtos dos pesos de cada ponto pelos valores respectvos da função nos mesmos pontos (ASSAN, 003): b f ( ) d w f ( ) w f ( )... wn f ( n ) (8) a No caso da quadratura de Gauss, os pontos e os pesos w são determnados de modo que a ntegração numérca seja eata para uma função polnomal de grau n, onde n é o número de pontos de Gauss no ntervalo [-, ]. No caso da quadratura de Lobatto, os pontos e os pesos w são determnados de modo que a ntegração numérca seja eata para uma função polnomal de grau n 3, onde n é o número de pontos de Lobatto no ntervalo [-, ].

62 60 Na quadratura de Gauss, os pontos são dstrbuídos de forma smétrca em relação ao centro do ntervalo de ntegração e os pares smétrcos possuem o mesmo peso. A quadratura de Gauss não nclu os valores da função nos lmtes do ntervalo de ntegração, mas a quadratura de Lobatto consdera os pontos etremos e o ponto médo. O ntervalo de ntegração corresponde a uma parametrzação da varável para t, que vara no ntervalo [-, ]. A ntegral é, então, transformada da segunte forma: b a f ( ) d J g( t) dt (83) onde J é chamado de Jacobano da transformação. A obtenção desse Jacobano vem da transformação de varáves: b a t b a d dt b a J a b b a f ( ) d b a g( t) dt (84) A ntegração numérca a partr das quadraturas passa a ser, então, obtda por: b f ( ) d J g( t) dt J w g( t ) J w g (85) a n onde n é o número de pontos de ntegração, é o número do ponto de ntegração, t é a coordenada do ponto de ntegração e w é o peso assocado ao ponto. De acordo com o tpo de quadratura empregada, há tabelas específcas que assocam o número de pontos de ntegração com o número dos pontos, sua coordenada e seu peso, como pode está eemplfcado nas tabelas abao. n

63 6 Tabela Pesos da quadratura de Gauss n t w contnua

64 6 n t w Fonte: Wkpeda (Gaussan..., 0). Tabela Pesos da quadratura de Lobatto n t w contnua

65 63 n t w Fonte: Wkpeda (Gaussan..., 0). Deve-se observar que se a função a ser ntegrada não for um polnômo, não se obterá uma ntegração eata, mas será tão mas precsa quanto maor for o número de pontos de ntegração usado Transformação para o sstema global Nos desenvolvmentos anterores, foram obtdos o vetor de forças nternas e a matrz de rgdez tangente no sstema local, onde os graus de lberdade são paralelos aos eos do elemento. No entanto, em uma estrutura real, os elementos apresentam dferentes nclnações, sto é, cada elemento possu um sstema local própro (PARENTE JUNIOR, 0). Para a defnção únca dos deslocamentos da estrutura (graus de lberdade) e para a obtenção das equações de equlíbro é necessáro a defnção de um sstema de coordenadas comum a todos os elementos, conhecdo como sstema de coordenadas global. A fgura abao lustra a dferença entre os dos sstemas de coordenadas: Fgura 6 Graus de lberdade do elemento de pórtco plano no sstema de coordenadas local (a) e global (b)

66 64 Fonte: Própro autor. Os deslocamentos podem ser transformados do sstema local para o global, bastando conhecer as coordenadas do nó ncal e fnal do elemento, pos, assm, pode-se obter o cosseno e o seno do ângulo de nclnação do elemento em relação ao sstema global conforme a Fgura 7: y L y c L y y (86) s y L onde (,y ) e (,y ) são as coordenadas do nó ncal e fnal do elemento, respectvamente, c = cos e s = sen. Fgura 7 Ângulo de nclnação do elemento em relação ao sstema de coordenadas global Fonte: Própro autor.

67 65 Com essa nformação, a transformação dos deslocamentos aal e transversal no sstema local pode ser feta para o sstema global. A rotação é ndferente em relação aos sstemas. Da Fgura 8, temos: Fgura 8 Sstema de eos local e global Fonte: Própro autor. v u c s s c v u v u c s s c v u vc us v vs uc u (87) onde c = cos e s = sen. Consderando os três deslocamentos dos dos nós do elemento, obtemos a matrz de transformação global-local para os elementos de pórtco plano: Tu u v u v u c s s c c s s c v u v u (88) onde u é o vetor de deslocamentos nodas no sstema local, u é o vetor de deslocamentos nodas no sstema global e T é a matrz de transformação global-local. As forças nternas nodas podem ser transformadas utlzando o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, pos o trabalho é um escalar e, portanto, é ndferente aos sstemas. g T g g T u g u g u T T T T T (89) A matrz de rgdez relacona os deslocamentos com forças nternas em um dado sstema, dessa forma, temos:

68 66 g T T g T T Ku T T KTu g Ku (90) Portanto, a matrz de rgdez no sstema global pode ser obtda a partr da transformação da matrz de rgdez no sstema local. T K T KT (9)

69 67 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL Em cada elemento fnto de pórtco plano é realzada a ntegração longtudnal através de um dos métodos de ntegração numérca dscutdos anterormente, que são as quadraturas de Gauss e de Lobatto. Vu-se que esses métodos transformam a ntegral em um somatóro dos produtos de um peso pelo valor da função a ser ntegrada em determnados pontos do domíno. Em cada um desses pontos, é necessára a realzação de ntegrações na seção transversal do elemento. Essas ntegras envolvem as epressões dos esforços resstentes da seção (Equações (3) e (33)) e da matrz consttutva tangente (Equação (79)). Há dversos métodos para o cálculo dessas ntegras de área, alguns analítcos e outros numércos. Esses métodos são dscutdos neste capítulo. O problema da realzação de ntegrações em seções transversas arbtráras tem recebdo atenção na lteratura desde a década de 970. Ao longo dos anos, váras metodologas analítcas, numércas ou mstas têm sdo sugerdas para a análse de seções de varada compledade em termos de geometra e materal de composção. Os dversos métodos se dferencam com relação à efcênca, precsão, smplcdade e generaldade. Segundo Papankolaou (0), cnco característcas prncpas nas metodologas de análse de seções podem ser dentfcadas: a) tpo de seção: se a seção é de concreto armado ou msta (aço e concreto armado); b) le consttutva do materal: se é composta por funções polnomas ou por funções arbtráras; c) subdvsão da seção: se é mposta ou não para a ntegração das tensões; d) método de ntegração das tensões; e) estratéga de solução das equações de equlíbro de forças. Além dessas cnco característcas, pode-se acrescentar mas uma relatva à fnaldade das metodologas propostas para análse de seções. As metodologas podem ser destnadas à obtenção dos esforços resstentes da seção ou ao cálculo da matrz consttutva tangente.

70 68 Autores Penels (969), De Vvo e Rosat (998), Alfano et al (007) Werner (974) Brondum Nelsen (985), Dundar e Sahn (993), Yen (99) Yau et al. (993) Rodrguez e Ochoa (999) Chen et al. (00) Fafts (00) Sfakanaks (00) Bonet et al. (004) Sousa e Munz (007) Charalampaks e Koumouss (008) Rosat et al. (008) Pallarés et al. (009) contnua Tabela 3 Característcas das metodologas de análse de seções Tpo de seção concreto armado concreto armado concreto armado concreto armado concreto armado composta concreto armado composta concreto armado composta composta composta concreto armado Le consttutva do materal parábola lnear parábola lnear constante (retangular) constante (retangular) parábola-lnear com amolecmento parábola - lnear parábola lnear parábola-lnear com amolecmento funções parcas não polnomas (arbtráras) funções parcas polnomas de até tercero grau funções parcas polnomas de até tercero grau parábola - lnear não polnomal -lnear (EC) Subdvsão da seção um polígono por parte de um polígono por parte de não subdvde não subdvde trapézos não subdvde Integração das tensões analítca por polígono analítca por polígono analítca analítca analítca por trapézo analítca não subdvde Green/Gauss - não subdvde um polígono (fata espessa) por parte de um polígono por parte de trapézos curvlíneos um polígono por parte de não subdvde método das fbras D Gauss ou Green/Gauss por polígono analítca por polígono analítca por trapézo analítca por polígono analítca Estratéga de solução Newton- Raphson terações annhadas método de Newton sem dervada (regula-fals) Newton- Raphson sem dervada (Regula-Fals) pesqusa ncremental - - sem dervada (Brent) procedmento teratvo Newton- Raphson Fnaldade da metodologa matrz de rgdez tangente e esforços resstentes - esforços resstentes esforços resstentes matrz de rgdez tangente e esforços resstentes esforços resstentes esforços resstentes esforços resstentes matrz de rgdez tangente e esforços resstentes matrz de rgdez tangente e esforços resstentes esforços resstentes matrz de rgdez secante e esforços resstentes matrz de rgdez tangente e esforços resstentes

71 69 Autores Chorean (00) Papankolaou (0) Tpo de seção composta composta Le consttutva do materal parábola-lnear com amolecmento funções parcas não polnomas (arbtráras) Subdvsão da seção não subdvde não subdvde Fonte: Papankolaou (0). Integração das tensões Green/Gauss- Lobatto com bsseção adaptatva Green/Gauss com adaptação ao mapeamento de deformação Estratéga de solução comprmento de arco sem dervada (Brent) Fnaldade da metodologa esforços resstentes esforços resstentes Uma revsão crítca das metodologas encontradas na lteratura (lstadas na Tabela 3) leva às seguntes observações (PAPANIKOLAOU, 0): um sgnfcatvo número de algortmos sugerdos são lmtados às seções de concreto armado de forma smples e com barras de aço ndvduas. Esses métodos não apresentam, portanto, grande generaldade, mas possuem boa precsão e efcênca; mutos estudos mpõem restrção à le consttutva do materal, geralmente utlzando as les consttutvas especfcadas pelos códgos normatvos ou funções polnomas parcas. É o que ocorre com os métodos analítcos, que, em contrapartda, são altamente precsos e efcentes; com relação aos métodos de ntegração das tensões podem ser dentfcados três métodos prncpas: - Método das Fbras: é um método apromado, lento e requer um aumento da densdade da malha de fbras para se consegur uma precsão acetável. No entanto, esse é o método mas adequado quando se trabalha com carregamentos cíclcos ou com materas cujo comportamento depende da hstóra do carregamento, como os materas elastoplástcos (PARENTE JUNIOR, 0). Este método apresenta como prncpal vantagem a alta generaldade, permtndo analsar seções com qualquer geometra e Le Consttutva para os materas. A seção pode ser de concreto armado ou msta; - ntegração analítca: é um método que produz resultados eatos e rápdos, mas é restrta à geometra da seção e a uma relação tensão-deformação

72 70 específca. Este, portanto, é um método altamente efcente e precso, mas é de baa generaldade; - ntegração numérca usando quadraturas de Gauss nas ntegras de contorno com o emprego do Teorema de Green: é um camnho para produzr uma solução geral para les consttutvas arbtráras. Porém, em certos casos, a solução numérca pode ter um custo computaconal maor que os métodos analítcos e o emprego de uma ntegração numérca de baa ordem pode produzr erros nacetáves; mutos métodos de ntegração das tensões requerem, para ter efcênca, uma subdvsão préva da seção, o que naturalmente leva a uma redução da velocdade de eecução e a uma maor compledade na mplementação; a maora das estratégas de solução encontradas na lteratura se baseam no Método de Newton-Raphson, que requer o cálculo prévo de dervadas (rgdez). Essa é uma desvantagem apenas quando se trata da obtenção dos esforços nternos, pos há um custo computaconal adconal para o cálculo das dervadas, além das questões nerentes a não convergênca; em geral os métodos são desenvolvdos para o cálculo dos esforços resstentes da seção. Somente os trabalhos voltados para a análse não lnear de estruturas aplcam os métodos também para cálculo da matrz de rgdez tangente. 5. Integração analítca 5.. Integração dreta Conhecda a curva tensão-deformação do concreto, é possível calcular os esforços nternos de manera analítca realzando as ntegras defndas pelas Equações (3) e (33), desde que a geometra da seção seja smples, como no caso da seção retangular ou de seções trapezodas. Conforme realzado por Melo (000) em uma seção retangular, para o cálculo da parcela de contrbução do concreto, é necessáro dvdr a seção transversal em sub-regões cujas coordenadas lmtes dependem das deformações que defnem os trechos da curva. A coordenada correspondente à deformação lmte de uma sub-regão é obtda a partr da Equação (9):

73 7 m m y y (9) Nessa equação, se caso for nulo, não há necessdade da realzação das ntegras, pos a seção de concreto estará sujeta à compressão smples e os esforços nternos serão smplesmente dados por N ( m ) A e M 0. Para a stuação de fleo-compressão reta, o prmero passo para o cálculo dos esforços nternos atuantes na seção retangular é o cálculo das deformações lmtes da seção. Consderando as deformações de compressão com snal negatvo e as deformações de tração com snal postvo, as deformações lmtes para uma curvatura postva são dadas por: mn ma h m h m (93) Em função dos valores obtdos para e mn, a seção transversal poderá está ma sujeta a qualquer um dos estados de deformação apresentados na Fgura 9. Fgura 9- Estados de deformação possíves da seção Fonte: Própro autor.

74 7 Tabela 4 Lmtes de ntegração dos estados de deformação Lmte de Estado de a b c d deformação deformação a a ,0035 mn 3,5 o ma oo a 3-0,00 ma -0,0035-0,00 a 4-0,00 0-0,0035-0,00 b - - mn ma 3,5 o o oo mn oo b -0,00 ma mn -0,00 b 3-0,00 0 mn -0,00 o 0 c o mn ma - - oo mn oo c mn mn o oo d Fonte: Própro autor. A dentfcação do estado de deformação da seção é necessára para o cálculo correto das ntegras dos esforços nternos. De acordo com a curva tensão-deformação da NBR 68:003, as epressões analítcas das ntegras desenvolvdas neste tem são específcas para a regão parabólca e para a regão retangular da curva, desprezando-se a parcela de resstênca à tração do concreto. Assm, dentfcado o estado de deformação da seção em um dos casos mostrados na Fgura 9, a parcela dos esforços nternos atuantes sobre o concreto pode ser obtda por: N M N M par par N ret M ret (94) Nessa epressão, as parcelas N e par M correspondem à contrbução de força normal e par momento fletor, respectvamente, devdas ao trecho parabólco da curva tensão-deformação e as parcelas N e ret M correspondem à contrbução de força normal e momento fletor, ret respectvamente, devdas ao trecho retangular da curva tensão-deformação. Cada uma dessas parcelas é calculada por ntegração analítca dreta e são dadas por: N M par par 850 f κ cd 850 f κ cd b 50 3 b ε ε ε ε ε a 4 a b ε 4 b a 50ε ε 3 b m ε 3 a ε 3 b m ε a ε b (95) que corresponde a contrbução do trecho parabólco da dstrbução de tensões na seção transversal para 0, 00 ε a, ε 0, e: b

75 73 N M ret ret 0, 85 f κ 0, 85 f κ cd cd b ( ε b c 0, 85 f cd bεm ε ε ε ε c ε d d ) κ c d (96) corresponde a contrbução do trecho retangular da dstrbução de tensões na seção transversal para 0, 0035 εc, εd 0, 00. Nessas equações,, a lmtes de ntegração defndos na possíves, f cd f ck c, b e c são os d Tabela 4 de acordo com os estados de deformação é a resstênca à compressão de projeto do concreto, b é a base do retângulo, é a curvatura e é deformação de membrana. m 5.. Emprego do teorema de Green O teorema de Green epressa uma ntegral dupla sobre uma regão R em termos de uma ntegral de lnha ao longo da frontera de R. Segundo Lethold (994), dadas M e N funções de duas varáves e y, de tal modo que tenham dervadas parcas prmeras contínuas em um dsco aberto B em /R, se C for uma curva fechada, smples, secconalmente suave, contda nteramente em B, e se R for a regão lmtada por C, então: C M N M y, yd N, ydy da (97) O teorema de Green se refere a uma curva C fechada, smples, secconalmente suave que forma a frontera de uma regão R no plano e o sentdo ao longo de C é anthoráro, conforme lustra a fgura abao: R Fgura 30- Curva C fechada, smples, secconalmente suave Fonte: Lethold (994).

76 74 As ntegras referentes aos esforços nternos (Equações (3) e (33)) podem ser resolvdas após uma transformação das ntegras de área em ntegras de contorno através de uma aplcação do Teorema de Green conforme sugerdo por Werner (974) e realzado por dversos autores como Dumont e Musso Jr. (987), Fafts (00), Bonet et al (004), Sousa Jr. e Caldas (005), Sousa Jr. e Munz (007) e Chorean (00). Essa técnca também pode ser utlzada para o cálculo das ntegras referentes aos termos da matrz consttutva tangente (Equação (79)). Com o uso do teorema de Green, pode-se obter de forma analítca qualquer ntegral polnomal em domíno plano fechado, smples e secconalmente suave. Para sso o contorno da seção é descrto através de segmentos de retas. Fgura 3- Dscretzação do contorno C em segmentos de retas Fonte: Adaptado de Campos Flho (000). N A epressão do teorema de Green fca, então, da segunte forma: M da M, yd N, ydy M, yd N, ydy y (98) R C onde n representa o número de segmentos que dscretza o contorno C, vértces de cada segmento de reta. n P P P e P são os Para que a ntegração seja realzada, é necessáro que a dscretzação do contorno da seção seja feta em cada regão dentro de um ntervalo de deformação correspondente aos trechos parabólco e retangular da curva tensão-deformação do concreto da NBR 68:003, conforme lustra a Fgura 3.

77 75 Fgura 3- Regões para ntegração do concreto Fonte: Campos Flho (000). Após a dentfcação e dscretzação das regões de ntegração na seção, as ntegras de superfíce referentes aos esforços nternos e aos termos da matrz consttutva tangente podem ser calculadas. Os ntegrandos desses termos são funções polnomas de no mámo tercero grau, pos a le consttutva do concreto é representada por funções polnomas parcas parabólcas ou lneares. Assm, podem-se manpular as funções M(,y) e N(,y), que representam os ntegrandos, de forma a escrevê-las em função de termos do tpo: A a y b da (99) com a e b números nteros. Nessa equação, e y são as coordenadas de um ponto da seção em relação a um sstema de eos localzado no centróde da seção e com o eo paralelo à lnha neutra. Usando o teorema de Green, a ntegral de área da Equação (99) pode ser escrta em uma ntegral de contorno: A a b y da C a b y dy a (00) Como o contorno é representado por uma polgonal fechada, a ntegral (00) pode ser substtuída por um somatóro: A a b y da C a b y dy a n I ab (0) com

78 76 y a b I ab y dy (0) a y sendo n o número de segmentos da polgonal, y e y as ordenadas do -ésmo segmento. Fazendo a parametrzação de um segmento genérco da polgonal, obtêm-se as seguntes epressões: t y y y t (03) com 0 t y. Fgura 33- Parametrzação do segmento da polgonal Fonte: Própro autor. obtemos: Substtundo a parametrzação das coordenadas do segmento na Equação (0), I ab y a b t y t dt (04) a 0 y Como a le consttutva do concreto adotada é o dagrama parábola-retângulo da NBR 68:003 e com a hpótese das seções planas, as ntegras de área a serem calculadas serão realzadas em ntegrandos polnomas de no mámo tercero grau. Além dsso, para pórtcos planos com seção retangular, só há esforços de fleão composta reta em que a lnha neutra é sempre paralela ao eo. Dessa forma, os termos I ab que necesstam ser calculados são do tpo I 00, I 0, I 0 e I 03. Segundo Campos Flho (000), substtundo os valores correspondentes de a e b em (04), esses termos resultam em:

79 77 y y y y y y y y y y y y y I y y y y y y y y y I y y y y y I y I (05) 5. Integração numérca Em análse numérca, a ntegração numérca consttu uma ampla famíla de algortmos empregados com ntuto de calcular o valor numérco de uma ntegral defnda. O termo quadratura numérca também é empregado no lugar de ntegração numérca, prncpalmente quando aplcado em ntegrações undmensonas. O problema básco a ser resolvdo pela ntegração numérca é calcular uma solução apromada para uma ntegral defnda, ou seja, encontrar um valor apromado para o valor de S (Fgura 34). b a d f S (06) Fgura 34 Integral defnda Fonte: Wkpeda (Numercal..., 0). Os dversos métodos de ntegração numérca são aplcados sobre curvas suaves e sobre lmtes de ntegração bem defndos. Estem dversas razões para a realzação da ntegração numérca. O ntegrando f pode ser conhecdo somente em certos pontos do

80 78 domíno, como os dados obtdos epermentalmente ou por amostragem. O ntegrando pode ser conhecdo, mas pode ser dfícl ou mpossível a obtenção da antdervada, que é uma função elementar. Pode ocorrer, também, de ser possível encontrar uma antdervada, mas, às vezes, é mas fácl calcular uma apromação numérca do que o cálculo da antdervada. Os métodos de ntegração numérca podem geralmente ser descrtos com uma combnação de avalações do ntegrando em um número fnto de pontos, chamados pontos de ntegração, e uma soma ponderada desses valores é usada para apromar a ntegral. Os pontos de ntegração e os pesos dependem do método específco utlzado e da precsão requerda para a apromação. Uma parte mportante na análse de qualquer método de ntegração numérca é o estudo do erro de apromação como uma função do número de pontos de ntegração. A redução do número de pontos de ntegração reduz o número de operações artmétcas envolvdas e, portanto, reduz os erros de arredondamentos. Além dsso, deve-se levar em conta também que, em cada avalação do ntegrando, um determnado tempo é gasto. Dessa forma, os métodos que produzem erros pequenos para um pequeno número de pontos de ntegração são consderados superores. Uma grande quantdade de quadraturas é dervada do emprego de funções de nterpolação de fácl ntegração. Geralmente essas funções de nterpolação são polnomas. A nterpolação com polnômos avalados em pontos gualmente espaçados em a, b produz as fórmulas de Newton-Cotes, da qual pertencem a regra do retângulo, a regra do trapézo e a regra de Smpson. Quando se permte a varação entre os ntervalos dos pontos de ntegração, surge outro grupo de quadraturas, tal como as quadraturas de Gauss. As quadraturas de Gauss são tpcamente mas precsas do que as fórmulas de Newton-Cotes quando se emprega uma mesma quantdade de pontos de ntegração e quando o ntegrando é uma função suave (se a função é sufcentemente dferencável) (WIKIPEDIA, 0). Em qualquer um dos métodos de ntegração numérca, pode-se obter uma maor precsão na apromação através da subdvsão do ntervalo de ntegração a, b em N subntervalos, calculando uma apromação para cada subntervalo e realzando um somatóro dos resultados de cada subntervalo cujo resultado é o resultado total. Esta técnca é chamada de regra composta, estendda ou teratva.

81 Regra do retângulo, regra do trapézo e regra de Smpson Um dos métodos mas smples é o que utlza como função de nterpolação uma função constante (polnômo de grau zero) que passa pelo ponto médo do ntervalo de ntegração a b, f a b do retângulo.. Este método é chamado de regra do ponto médo ou regra b a b f a d b a f (07) Na ntegração numérca através da regra do retângulo, se a função f for contínua no ntervalo fechado a, b e os números a o,,,..., regular de a, b, então: n b formarem uma partção b b a 0 n n f d f f... f (08) n a Fgura 35 Regra do tetângulo Fonte: Wkpeda (Numercal..., 0). que passa pelos pontos Quando a função de nterpolação é uma função afm (polnômo de prmero grau) a, f a e f b b,, a quadratura é chamada de regra dos trapézos. A ntegração numérca através da regra dos trapézos faz uma apromação da regão sob o gráfco da função equação abao e pela Fgura 36: f com um trapézo e calcula sua área, como está representado pela b a b f f f d b a (09) a

82 80 Fgura 36 Regra dos trapézos Fonte: Wkpeda (Trapezodal..., 0). Segundo Lethold (994), a regra do trapézo pode ser enuncada formalmente através do segunte teorema: se a função f for contínua no ntervalo fechado a, b e os números a o,,,..., n b formarem uma partção regular de a, b, então b b a f 0 n n a d f f f... f f n (0) Fgura 37 Regra dos trapézos Fonte: Lethold (994). Para consderar a precsão da apromação da ntegral defnda, devem ser consderados dos tpos de erros. Um deles é o erro de truncamento que surge quando o gráfco da função é apromado por uma função polnomal qualquer. O outro erro é chamado de erro de arredondamento e é nevtável porque números reas são representados por números com fntas casas decmas. O teorema segunte, provado em análse numérca, fornece um método para estmar o erro de truncamento cometdo quando se emprega a regra do trapézo (LEITHOLD, 994): seja f uma função contínua no ntervalo fechado a, b e f e f

83 8 estem em b d a,. Se T b T f então, este algum número em a, b tal que: a, onde T é o valor apromado pela regra do trapézo, b af '' T () Assm, a regra do trapézo ntegra eatamente funções polnomas de prmero grau, pos a dervada segunda de uma função lnear é nula. Outro método empregado para apromar o valor de uma ntegral defnda é regra de Smpson. Na regra de Smpson, os pontos sucessvos no gráfco de por segmentos de parábola. f são conectados Fgura 38 Regra de Smpson Fonte: Wkpeda (Smpson s..., 0). Se P, P e 0, y 0 0, y parábola com y 0, y e y postvos, P, y forem três pontos não colneares sobre uma 0 h e h, então, a área delmtada pela parábola, pelo eo e pelas retas 0 e será dada por: h f d y0 4y y () 3 0

84 8 Fgura 39 Área sob o trecho parabólco Fonte: Lethold (994). Seja f uma função contínua no ntervalo fechado a, b. Consderando uma partção regular do ntervalo a, b em n subntervalos, onde n é par e com a o,,,..., n b. A regra de Smpson estabelece, então, que (LEITHOLD, 994): b b a f n 4 n 3n a d f 4 f f 4 f f... f f f n (3) Fgura 40 Regra de Smpson Fonte: Lethold (994). O teorema segunte, provado em análse numérca, fornece um método para estmar o erro de truncamento cometdo quando se emprega a regra de Smpson (LEITHOLD, 994): seja f uma função contínua no ntervalo fechado a, b e v f estentes em b a,. Se f d S Smpson, então, este algum número em a, b tal que: S b a f, f, f,, onde S é o valor apromado pela regra de

85 83 v b af 4 s (4) 80 Assm, a regra de Smpson ntegra eatamente até funções polnomas de tercero grau, pos a dervada quarta de uma função cúbca é nula. 5.. Quadraturas de Gauss e de Lobatto Uma forma smples de obter as ntegras do vetor de forças nternas e da matrz consttutva tangente é através da ntegração numérca com o emprego das quadraturas de Gauss (BATHE, 996; COOK et al., 004) e de Lobatto (CRISFIELD, 99). Fgura 4- Integração numérca na seção transversal com quadratura de Gauss Fonte: Própro autor. Para a aplcação da quadratura de Gauss, é necessára a mudança da varável y para uma varável paramétrca t que vara no ntervalo [-, ]: y b a t b a dy Jdt (5) onde J = (b-a)/ é o jacobano da transformação de coordenadas. Fazendo a mudança de varável nas epressões dos esforços nternos (Equações (3) e (33)), obtemos: N M ( ( y( t))) b( y( t)) J dt y( t) ( ( y( t))) b( y( t)) J dt (6)

86 84 As outras ntegras na seção transversal que necesstam ser calculadas são as que fornecem os termos da matrz consttutva tangente (Equação (79)). Aplcando a mudança de varável a essas ntegras, temos: EA ES EI E ( ( y( t))) b( y( t)) Jdt t E ( ( y( t))) y( t) b( y( t)) Jdt E ( ( y( t))) y t t ( t) b( y( t)) Jdt (7) Após a mudança de varável, as ntegras podem ser avaladas através de um somatóro do produto entre o valor do ntegrando, em pontos smétrcos do domíno, e o peso correspondente a cada par de pontos smétrcos: N J n M J EA J b w n n n t ES J Et yb w n EI J E y b w t y b w E b w (8) onde é a tensão no ponto de ntegração, y é a coordenada cartesana do ponto de ntegração, b é a largura da seção no ponto de ntegração, ponto de ntegração, número de pontos de ntegração. w é o peso correspondente ao E t é módulo de elastcdade tangente no ponto de ntegração e n é o Se a quadratura de Gauss for aplcada para o caso de uma seção retangular com o sstema de coordenadas localzado no centróde da seção bruta de concreto, a base b passa a ser um termo constante b e o Jacobano se torna J = h/. Assm, os termos da epressão (8) fcam da segunte forma:

87 85 bh N bh EA n bh M w n n E t n bh ES E n bh EI Et y y w w t w y w (9) A quadratura de Gauss possu uma elevada precsão numérca, pos n pontos ntegram eatamente um polnômo de grau p n. A quadratura de Lobatto possu uma precsão numérca nferor e, portanto, para a obtenção da mesma precsão da quadratura de Gauss é necessáro mas pontos de ntegração, pos n pontos ntegram eatamente um polnômo de grau p n 3. Uma função polnomal de tercero grau sera ntegrada eatamente por dos pontos de ntegração no caso da quadratura de Gauss ou por três pontos de ntegração no caso da quadratura de Lobatto. No entanto, o emprego da quadratura de Lobatto é mas efcente para captar o níco do processo de plastfcação, pos há sempre pontos de ntegração nos etremos do ntervalo ( t e t ), onde as tensões são mámas para esforços de fleão. A ntegração numérca leva a ecelentes resultados quando aplcada a seções com varações suaves de geometra e em materas com uma curva tensão-deformação também suave. No caso de seções com varações bruscas, como seções I e T, e curvas tensãodeformação defndas por trechos, como a curva do concreto da NBR 68:003, os resultados obtdos não são tão bons, pos o ntegrando dea de ter uma varação suave na seção. Uma alternatva para melhorar os resultados obtdos com a ntegração numérca é realzá-la em sub-regões com comportamento suave em termos de geometra e materal. Por eemplo, em seções I, pode-se aplcar a ntegração numérca separadamente para as abas e para alma. Além dsso, ao longo da seção transversal, podem-se dentfcar os pontos que lmtam os trechos da curva tensão-deformação do materal. Por eemplo, dentfcando os trechos do ntervalo de ntegração onde se desenvolve o trecho parabólco e reto da curva do

88 86 concreto da NBR 68:003 e, dessa forma, realzar a ntegração de forma eata em cada subregão. Fgura 4- Integração numérca em sub-regões Fonte: Própro autor. cada sub-regão m : Os termos da epressão (9) são obtdos a partr do somatóro da contrbução de N M EA ES EI m j m j m j m j m j N j M EI j EA ES j j j (0) 5..3 Método das Fatas Quando se consdera a não lneardade físca, as propredades mecâncas (ou rgdez da seção transversal) e o vetor de forças nternas são obtdos através de ntegração numérca das tensões na seção transversal da barra como pode ser observado nas Equações (3), (33), (34), (78) e (79), que representam os elementos consttuntes do vetor de forças nternas σ e da matrz consttunte tangente C t.

89 87 Conhecdas as deformações na seção transversal, as tensões atuantes podem ser determnadas a partr da le consttutva do materal. De posse da dstrbução de deformação e de tensão na seção transversal, as ntegras da matrz consttutva tangente e do vetor de forças nternas podem ser calculadas. Para seções smples como a retangular, as ntegras podem ser obtdas analtcamente, como realzado por Melo (000). Para geometras mas compleas e para qualquer curva tensão-deformação, as ntegras da seção transversal podem ser obtdas de forma apromada através do Método das Fatas, como empregado por Assan (003) e Bratna e Plannc (004). Nesse método, a seção é dvdda em n fatas horzontas e em cada uma dessas fatas toma-se a deformação e a tensão constantes e guas aos valores correspondentes ao ponto no centro da fata. Pode-se observar que o Método das Fatas nada mas é do que uma aplcação da regra do retângulo em que o ntegrando f é a tensão em função da posção ao longo da seção transversal, com o sstema de eos no centróde da seção bruta de concreto. Cada fata representa um subntervalo do domíno da função tensão e o valor da tensão no centro da fata é o valor da função no centro do subntervalo. A Equação () lustra a assocação entre a regra do retângulo e o Método das Fatas: b a n f y y () Fgura 43 Dscretzação de uma seção retangular em fatas Fonte: Própro autor.

90 88 Com as deformações nos centros das fatas e com a le consttutva do concreto, obtêm-se as tensões. De posse das tensões no centro das fatas, as ntegras na seção transversal podem ser obtdas de acordo com as epressões abao: N n b y M n b y y EA n E t A () ES EI E A y n n E t t I A y onde y é a coordenada do centro da fata, y é a altura da fata e b é largura da fata. O Método das Fatas é smples e robusto, podendo ser aplcado em seções transversas de geometra complea e relações tensão-deformação defndas por trechos e com varações não suaves (descontnudades) entre os trechos. Obvamente, os esforços calculados não serão eatos, mas a precsão pode ser melhorada aumentando o número de fatas. Outra vantagem deste método é que ele pode ser faclmente adaptado para a fleão composta oblíqua, dvdndo cada fata em um conjunto de retângulos obtendo, assm, o chamado Método das Fbras. Este método fo utlzado nos trabalhos realzados por Spacone, Flppou e Taucer (996), Sfakanaks (00) e Fonseca (006), como lustrado na fgura abao: Fgura 44 - Decomposção da seção transversal em fbras Fonte: Fonseca (006). Por outro lado, a utlzação do Método das Fatas quando a relação tensão-deformação é descrta por uma curva suave resulta em uma precsão nferor a dos métodos de ntegração

91 89 numérca dscutdos anterormente, quando a mesma dscretzação é utlzada. Esta menor precsão é decorrente das hpóteses de tensão constante e largura constante em cada fata. Assm, normalmente este método requer uma dscretzação mas refnada a fm de obter uma boa precsão. O Método das Fatas produz erros maores porque utlza como função de nterpolação em cada fata um polnômo de grau zero, que é a tensão constante. Assm, para obter uma maor precsão nos resultados das ntegras é necessáro aumentar o número de fatas, que leva a um aumento do custo computaconal. Uma forma de melhorar a precsão dos resultados obtdos sem a necessdade de aumentar o número de fatas é utlzar polnômos de nterpolação com graus maores, por eemplo, utlzando um polnômo de prmero grau (função lnear) que é a aplcação da regra do trapézo ou utlzando um polnômo de segundo grau (parábola) que é a aplcação da regra de Smpson Assocação entre Método das Fatas e quadratura de Gauss Uma forma de realzar as ntegrações na seção transversal que se mostra bastante efcente em termo de precsão numérca e custo computaconal é assocar o Método das Fatas com a ntegração numérca através da quadratura de Gauss ou de Lobatto, conforme pode ser observado no trabalho de Bratna e Plannc (004). A assocação consste bascamente em computar a contrbução de cada fata através de uma ntegração numérca com o emprego das quadraturas. Empregando, por eemplo, dos pontos de Gauss ou três pontos de Lobatto, a maor parte dos termos dos somatóros da epressão () seram ntegrados eatamente para o caso do emprego da curva tensão-deformação da NBR 68:003, pos os trechos dessa curva são polnômos com grau mámo gual a dos. Assm, os termos da Equação () que possuem maor grau são o momento fletor M e a parcela EI, ambos os polnômos são cúbcos para as fatas que caem no trecho parabólco da curva tensão-deformação. Dessa forma, as úncas fatas que possuram erro numérco na ntegração seram aquelas que contvessem os pontos lmtes entre os trechos da curva tensão-deformação, pos a ntegração não sera realzada em um trecho suave da curva. A fgura abao lustra a dea da assocação entre o Método das Fatas e a quadratura de Gauss para uma seção retangular.

92 90 Fgura 45- Assocação entre o método das fatas e a quadratura de Gauss Fonte: Própro autor.

93 9 6 EXEMPLOS Neste capítulo são epostos os resultados das análses estruturas não lneares realzadas pelo programa FAST em dversos eemplos encontrados na lteratura. Para verfcar a efcênca e precsão do Método das Fatas, calcularam-se os esforços nternos resstentes de uma seção retangular de concreto armado para todos os estados de deformações lustrados na Fgura 9. Os esforços nternos foram calculados utlzando a Integração Dreta e o Método das Fatas. A avalação da mplementação computaconal do Método das Fatas que permtu a realzação de análses não lneares físcas fo feta através de dos eemplos de verfcação e em quatro eemplos de valdação, os quas são consttuídos por vgas em balanço, vgas bapoadas, plares e pórtcos. Todos os eemplos foram dscretzados com elementos fntos de pórtco plano, alguns foram analsados consderando somente a não lneardade físca e outros consderando as não lneardades físca e geométrca. Além dsso, alguns eemplos foram analsados consderando tanto a le consttutva do concreto recomendada pela NBR 68:003 como pelo Eurocode :004. Os resultados das análses foram confrontados com os obtdos pelas análses numércas realzadas por outros autores e com os resultados epermentas. Por fm, para realzar uma aplcação prátca do programa FAST, obtveram-se as flechas de vgas bapoadas utlzando a análse não lnear físca. Os resultados foram comparados com as flechas obtdas empregando a rgdez equvalente calculada com a fórmula de Branson (968) (Equação (5)) e com resultados epermentas e numércos encontrados na lteratura. 6. Avalação do Método das Fatas Sabe-se que o aumento do número de fatas na dscretzação de uma seção para a ntegração das tensões leva a uma redução do erro cometdo quando se consdera a tensão constante dentro de uma mesma fata. No entanto, como na análse não lnear o processo é ncremental e teratvo e a estrutura deve ser melhor dscretzada com elementos fntos para que se tenha resultados acetáves, a quantdade de fatas utlzadas na dscretzação da seção transversal do elemento fnto tem bastante nfluênca no custo computaconal e no tempo de processamento das análses. Assm, é nteressante otmzar a quantdade de fatas empregadas.

94 9 Para avalar o erro cometdo com o emprego do Método das Fatas, os esforços nternos (Força Normal e Momento Fletor) foram calculados em uma seção retangular de concreto armado lustrada na Fgura 46 para todos os estados de deformação representados pela Fgura 9 e com os valores para curvatura () e deformação de membrana ( m ) descrtos na Tabela 5. Em todos os casos analsados o concreto possu f ck de 30 MPa, o aço possu tensão de escoamento f yk de 500 MPa e módulo de elastcdade gual a 0 GPa. Não se consderou a contrbução do concreto na resstênca à tração. Tabela 5 - Estados de deformação Casos mn ma (m - ) m a -0,0050-0,0040 0, ,00450 a -0,0050-0,0030 0, ,00400 a 3-0,0050-0,000 0, ,00300 a 4-0,0050 0,0005 0, ,005 b -0,0030-0,000 0, ,0050 b -0,0030-0,000 0, ,0000 b 3-0,0030 0,0005 0, ,005 c -0,050-0,0005 0, ,00775 c -0,050 0,0005 0, ,0075 d 0,0005 0,0050 0, ,0075 Fonte: Própro autor. Fgura 46- Seção para avalação do Método das Fatas Fonte: Própro autor. O erro cometdo com o cálculo dos esforços nternos pelo Método das Fatas fo obtdo em relação aos esforços nternos obtdos de forma eata utlzando a ntegração dreta epressa pelas Equações (95) e (96). Além dsso, o erro fo calculado separadamente para o

95 93 esforço normal N e para o momento fletor M. O número de fatas varou de 5 a 50, com ncrementos de 5 fatas, e de 50 a 000, com ncrementos de 50 fatas. Os gráfcos abao apresentam a varação do erro com relação ao numero de fatas: Fgura 47 Erro do Método das Fatas para a Força Normal

96 94 Fonte: Própro autor. Para o cálculo da Força Normal, pode-se observar que até 50 fatas os erros anda são elevados, fcando em torno de 5 %. Somente a partr de 00 fatas, os erros apresentam uma redução para valores mas acetáves. Fgura 48 Erro do Método das Fatas para o Momento Fletor

97 95 Fonte: Própro autor. Para o cálculo do Momento Fletor, pode-se observar que até 50 fatas os erros anda são elevados, fcando em torno de 0%. Somente a partr de 00 fatas, os erros apresentam uma redução para valores mas acetáves. Tanto no cálculo da Força Normal como do Momento Fletor, observou-se uma osclação dos resultados com o aumento do número de fatas. Isso ocorre porque a curva do concreto utlzada para a avalação (parábola-retângulo) é composta por funções polnomas

98 96 parcas. Assm, quando se dscretza a seção em fatas com tensão constante, surgem erros tanto para as fatas que se encontram no trecho parabólco e como para as fatas que se encontram na nterseção entre os trechos da curva. Apesar da osclação, observou-se que a tendênca é de redução do erro com o aumento do número de fatas. Pode-se conclur que com 00 fatas se obtém um erro menor que % para o cálculo da Força Normal e menor que 5% para o cálculo do Momento Fletor. Abao de 00 fatas, os erros são sgnfcatvos e podem comprometer os resultados da análse não lnear físca. O Método das Fatas é smples e robusto, mas ege uma grande dscretzação da seção para que os resultados sejam precsos. Dessa forma, o método apresenta baa efcênca, pos leva a um custo computaconal elevado. Uma forma de melhorar o desempenho do método sera assocá-lo a uma ntegração de Gauss. Dentro de cada fata podera ser aplcada uma ntegração de Gauss com dos pontos. Dessa forma se obtera ntegras eatas para todas as fatas que se encontrassem totalmente dentro dos trechos com dstrbução de tensão parabólca ou lnear. As úncas fatas que produzram erros seram aquelas que se localzassem na nterseção entre dos trechos da curva. 6. Avalação da mplementação computaconal Com o objetvo de verfcar e valdar a mplementação computaconal do Método das Fatas no programa FAST, foram seleconados ses eemplos encontrados na lteratura para a realzação das análses não lneares. Em cada eemplo, os resultados obtdos no FAST são comparados aos obtdos por outros autores. Com eceção do eemplo da vga em balanço etraída do trabalho do Fonseca (006), todos os outros eemplos foram analsados consderando a não lneardade físca e a geométrca. A não lneardade físca fo consderada dscretzando as seções com 00 fatas e a não lneardade geométrca fo baseada na formulação corrotaconal (MEIRELES NETO, 0).

99 Eemplo de verfcação: vga em balanço A vga em balanço, cuja confguração geométrca e de cargas está representada na Fgura 49, fo modelada sem armadura e utlzando 4 áreas de armadura dferentes:,5 cm², 3,0 cm², 6,0 cm² e,0 cm². Fgura 49- Vga em balanço de concreto armado Fonte: Fonseca (006). Foram adotados na dscretzação, 6 elementos fntos de pórtco plano. A seção transversal da vga fo dscretzada com 00 fatas, dferente das 5 fatas adotadas por Fonseca (006). Para o concreto, consderou-se a Le Consttutva da NBR 68:003, com f ck = 0 MPa. Para o aço das armaduras, consderou-se comportamento elastoplástco sem endurecmento com E s = 0 GPa e f y = 40 MPa. Consderou-se anda para o aço um alongamento lmte de 0, como lmtação à fssuração do concreto. Na análse não lnear da vga, adotou-se o método ncremental-teratvo de controle de deslocamentos, com ncremento de m para o deslocamento vertcal da etremdade lvre da vga, com tolerânca para convergênca de 0 4. As curvas de equlíbro correspondentes ao deslocamento vertcal da etremdade lvre da vga para cada caso de armadura estão apresentadas na fgura abao:

100 98 Fgura 50- Curva de equlíbro da vga em balanço de concreto armado Fonte: Própro autor. Vu-se que as curvas de equlíbro obtdas com o programa FAST pratcamente concdram com as obtdas por Fonseca (006). Além dsso, elas representaram de forma coerente as cargas mámas para cada caso de armadura. 6.. Eemplo de verfcação: barra sob carga aal e transversal na etremdade Este eemplo fo analsado por Ararpe (998) no qual se consderou tanto a não lneardade geométrca como a físca. A barra fo analsada com o modelo consttutvo da NBR 68:003 e do Eurocode :004, mas a tração no concreto fo desprezada. O aço fo representado pelo modelo elastoplástco sem endurecmento com alongamento lmte de 0. A barra analsada está representada na fgura abao:

101 99 Fgura 5- Barra de concreto armado Fonte: Ararpe (998). Os dados do problema são: - f ck = 3,94 MPa; - f ctk = 0,0 MPa; - E c = 7,3 GPa (NBR 68: 003); - E c = 3,46 GPa e c = -,07 (Eurocode : 004); - f yk = 483 MPa; - E s = 0 GPa; - A s = 5, cm²; - c =,4 e s =,5; - L = 4 m, b = 0,40 m, d = 0,04 m; - F = 80 kn. A barra fo modelada com 0 elementos de pórtco plano e a seção transversal fo dscretzada com 00 fatas, dferente das 0 fatas adotadas por Ararpe (998). Na análse não lnear da barra, adotou-se o método ncremental-teratvo de controle de deslocamentos, com ncremento de m para o deslocamento vertcal da etremdade lvre, com tolerânca para convergênca de 0 6. A curva de equlíbro correspondente ao deslocamento vertcal da etremdade lvre da barra está apresentada na fgura abao:

102 00 Fgura 5- Curva de equlíbro da barra de concreto armado Fonte: Própro autor. As curvas de equlíbro de ambos os modelos consttutvos apresentaram resultados muto prómos à curva obtda por Ararpe (998), nclusve representando bem a carga de ruptura da barra, que é próma a 70 kn Eemplo de valdação: vga de concreto armado Esta vga fo ensaada por Veccho e Shm (004) com o objetvo de comparar e dscutr o comportamento observado no ensao (nclundo a curva carga-deslocamento) com os resultados obtdos nos ensaos de Bresler e Scordels (963 apud VECCHIO E SHIM, 004), que são comumente utlzados para calbrar modelos de análse com elementos fntos. Esta vga fo analsada com o modelo consttutvo da NBR 68:003, consderando a tração no concreto, e do Eurocode :004, sem consderar a tração no concreto. Como os resultados a serem comparados são epermentas, a análse estrutural fo feta consderando a não lneardade geométrca e físca. O aço fo representado pelo modelo elastoplástco sem endurecmento com alongamento lmte de 0. A vga analsada está representada na fgura abao:

103 0 Fgura 53- Vga de concreto armado, carregamento e geometra (dmensões em mm) Fonte: Olvera (0). O concreto apresenta resstênca à compressão f ck = 5,90 MPa, resstênca à tração f ct = 3,37 MPa e módulo de elastcdade E c = 3,9 GPa. As propredades das barras de aço estão descrtas na tabela abao: Tabela 6 - Propredades das barras de aço da vga Aço Área (mm²) f yk (MPa) E s (GPa) M M M Fonte: Veccho e Shm (004). A vga fo modelada com 0 elementos de pórtco plano e a seção transversal fo dscretzada com 00 fatas. Na análse não lnear, adotou-se o método ncremental-teratvo de controle de deslocamentos, com ncremento de m para o deslocamento vertcal do meo da vga, com tolerânca para convergênca de 0 3. A curva de equlíbro correspondente ao deslocamento vertcal do meo da vga está apresentada na fgura abao:

104 0 Fgura 54- Curvas equlíbro para a vga de concreto armado Fonte: Própro autor. A partr das curvas de equlíbro obtdas, vê-se que o comportamento da vga fo semelhante tanto com o modelo consttutvo do concreto da NBR 68:003 como o do Eurocode :004. No entanto, o comportamento epermental mostrou uma ductldade maor, pos apesar de a carga máma ser pratcamente gual ao das análses, em torno de 360 kn, os deslocamentos foram maores e a queda da capacdade resstente da peça não fo brusca. Acredta-se que sso se deve ao fato de não ter sdo levado em consderação a resstênca ao csalhamento, pos além da própra resstênca do concreto ao csalhamento a vga era armada com estrbos de 6,4 mm de dâmetro a cada 9 cm. A desconsderação do csalhamento também pode ter sdo o provável responsável por um comportamento mas rígdo nas análses realzadas. A capacdade resstente resdual após a queda brusca observada na análse realzada com a curva da NBR 68:003 pode ser devda uncamente ao aço traconado, pos este possu uma capacdade de deformação maor que a do concreto e gual a Eemplo de valdação: plar de concreto armado O plar fo submetdo a uma carga ecêntrca com um aumento da carga até o colapso. Os resultados epermentas foram documentados por Espon (993 apud