SIMULAÇÃO POR VOLUMES FINITOS COM MALHA OCTONÁRIA

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1 SIMULAÇÃO POR VOLUMES FINITOS COM MALHA OCTONÁRIA Marcos A. S. Lourenço, 2 Ele L. M. Padlla e 3 Rafael S. de Lma Professor da Engenhara Mecânca da UTFPR, campus Cornélo Procópo 2 Professor da Engenhara Mecânca da UFU/MG 3 Professor da Engenhara Mecânca da UTFPR, campus Londrna Faculdade de Engenhara Mecânca da Unversdade Tecnológca Federal do Paraná. Av. Alberto Carazza, 468, Cornélo Procópo - PR, CEP Faculdade de Engenhara Químca da Unversdade Federal de Uberlânda. Av. João Naves de Ávla, 22, Bloco 5P, Campus Santa Mônca, Uberlânda - MG, CEP Faculdade de Engenhara Mecânca da Unversdade Tecnológca Federal do Paraná, Londrna - PR. e-mal: mlourenco@utfpr.edu.br RESUMO - A smulação numérca de escoamentos de fludos envolvendo descontnudades ou elevados gradentes de propredades é lmtada mutas vezes pela resolução da malha empregada na análse numérca. Malhas com Refnamento Adaptatvo (AMR) permtem que a malha sea refnada somente em locas de nteresse. No presente trabalho tem-se a mplementação de um aplcatvo para solução das equações de Naver-Stokes ncompressível com processamento paralelo do tpo de memóra. O acesso e armazenamento das varáves é feto através de uma estrutura de dados octonára que, além de efcênca no processo de refnamento, anda smplfca o processo de balanceamento de carga computaconal. Todas essas característcas são postvas para aplcação em smulações de problemas envolvendo domínos com altas razões de aspecto, como no processo de perfuração de poços de grande profunddade. As equações são aproxmadas com segunda-ordem de exatdão no espaço e no tempo e são dscretzadas com o Método dos Volumes Fntos. São apresentados os aspectos numércos e resultados comparatvos utlzando a aplcação. Palavras-Chave: ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL, PROCESSAMENTO PARALELO, ADAPTATIVIDADE DE MALHA. INTRODUÇÃO A partr do advento dos computadores, o ser humano vu a possbldade de se representar, de manera aproxmada, o comportamento de fenômenos físcos relaconados a problemas prátcos em mutas áreas da cênca. Atualmente, a grande mportânca da análse por smulação numérca pode ser ustfcada pelo grande número de softwares comercas e lvres, dsponíves para aplcação nas mas dversas áreas da ndústra e da pesqusa centífca. Na grande maora dos casos, busca-se a automatzação e controle de processos, bem como sua otmzação, a custos bem mas acessíves do que aqueles necessáros em uma análse expermental clássca. Adconalmente, novas técncas de solução numérca e modelos matemátcos foram desenvolvdos, melhorando a determnação de resultados por análse computaconal como um todo. Nesse contexto, uma das áreas da engenhara mecânca que se benefcou com essa tecnologa é a área de térmcas e fludos. Estudos de trocadores de calor, da aerodnâmca de veículos, aeronaves e embarcações e da efcênca de motores de combustão nterna e externa são apenas alguns exemplos de aplcação de tal tecnologa, popularmente conhecda pela sgla CFD (do nglês Computatonal Flud Dynamcs) ou Dnâmca dos Fludos Computaconal. A modelagem de um problema de CFD geralmente é baseada na solução das equações de Naver-Stokes (822 e 845), dado seu domíno contínuo e fornecdas as condções de contorno pertnentes. Para sso, a abordagem frequentemente adotada é dscretzar o problema contínuo de modo que suas varáves dependentes esteam localzadas em pontos dscretos ou fxadas em regões no espaço (contínuas por partes). O domíno de análse resultante é chamado de malha computaconal, na qual o problema físco é resolvdo na forma de um problema algébrco nos volumes ou nós que a compõem. Nesse ponto, entre os métodos mas empregados na dscretzação espacal estão os mé-

2 todos de dferenças fntas (FDM) de elementos fntos (FEM) e de volumes fntos (FVM), conforme BREZINSKI (2005). A utlzação de um ou outro método va depender do problema envolvdo, de requstos físcos como conservabldade e da exatdão necessára na solução. Embora um grande número de esquemas não necesstem de malhas computaconas (LIU, 2002), a qualdade da malha desempenha um papel mportante na exatdão alcançada para determnado problema. Essa qualdade pode ser nterpretada tanto como o tpo e a ordem de seus elementos em uma solução por FEM, como a capacdade de se obter alta densdade de volumes ou nós em locas estratégcos nos métodos de FDM e FVM. O papel desempenhado pela malha na solução numérca de determnado problema é tão mportante, que nos códgos modernos o refnamento e/ou melhoramento da malha não é aplcado em todo o domíno e devem ser adaptados de acordo com as necessdades do problema a ser tratado (LöHNER, 987). Como resultado, tem-se economa de armazenamento em memóra e de processamento computaconal, o que possblta a solução de problemas cada vez mas complexos. Essa nova dsponbldade de recursos tem elevado o nível de dfculdade e tamanho característco dos problemas que podem ser resolvdos ao ponto que, mesmo com a evolução quase exponencal dos processadores de acordo com a Le de Moore (PARHAMI, 2002), é cada vez maor a utlzação de clusters de computadores nos cálculos de grande porte (SOUZA; SOUZA; SILVEIRA NETO, 2006). O paradgma comum, ou talvez o mas utlzado, de mplementação de programação paralela por transferênca de mensagens é o padrão MPI (Message Passng Interface), á descrto, por exemplo, em Campregher (2005). Clusters modernos também á dspõem do processamento adconal de placas do tpo GPU (Graphcal Processng Unts), que são centras de processamento que antgamente eram somente utlzadas para processamento gráfco, mas atualmente são um recurso valoso em cálculos de alto desempenho. No âmbto de smulação numérca por CFD á exstem grandes grupos de pesqusa no país, alguns trabalhando com softwares comercas ou lvres e outros com aplcações de desenvolvmento própro como, por exemplo, o grupo de mecânca dos fludos (CNPq), formado na Unversdade Federal de Uberlânda (UFU) e do qual, entre as ferramentas desenvolvdas está o presente trabalho O fato é que a área de desenvolvmento, solução e nterpretação dos fenômenos físcos, va smulação por computadores, anda se encontra pouco desenvolvda no país, devdo prncpalmente à falta de mão de obra e ao alto preço dos softwares comercas que são, em sua maora, mportados. METODOLOGIA No presente trabalho são utlzadas as hpóteses de escoamentos ncompressíves e sotérmcos para solução das equações de Naver-Stokes, ou sea, da contnudade e da quantdade de movmento que, para um fludo newtonano tem, respectvamente, a segunte forma: u x u t nas quas 0 u p x u x x u x f (2) () u e p representam os campos de velocdade e de pressão. e são as propredades do fludo, vscosdade cnemátca e massa específca, respectvamente. f representa as forças no método de frontera mersa. As Equações e 2 são dscretzadas no domíno de solução a partr da aplcação do método de volumes fntos (FVM). As nterpolações espacas são realzadas por dferenças centradas, com exatdão de segundaordem. O mesmo nível de exatdão é consegudo para a dscretzação temporal, na qual fo utlzado o método de Adams-Bashforth. O acoplamento dos campos de pressão e velocdade é feto por meo do método de passos-fraconados de dos passos. RESULTADOS O problema do escoamento de Taylor-Couette serve mutas vezes de base para analsar o fenômeno assocado à dnâmca das estruturas de fludos exstentes no nteror da regão anular de um rser utlzado na perfuração de poços de petróleo e gás. Para este problema, foram seleconados alguns resultados determnados utlzando-se a ferramenta com malha adaptatva e o método de frontera mersa para representação das paredes dos dutos nterno e externo. A Fgura lustra os sovalores de velocdade axal para o escoamento de Taylor-Couette a Ta 00. Note que

3 lustram resultados qualtatvos para a mesma smulação. Na Fgura 3 são mostrados detalhes da malha nas regões próxmas às paredes dos dutos nterno e externo, que naturalmente são as regões para atvar o refnamento local. Detalhes das superfíces dos referdos sovalores mostram que as dervadas são melhor calculadas na malha mas fna. Fgura - Iso-superfíces de velocdade axal. Fgura 3 - Detalhes da malha utlzada. Fgura 4 - Resolução das so-superfíces de velocdade axal. Fgura 2 - Iso-contornos de velocdade axal. os valores estão coerentes, de acordo com publcações anterores para o mesmo valor do número de Ta, onde pares na dreção radal defnem os vórtces de Taylor. Na Fgura2 é mostrado um corte axal que evdencam os contornos da componente axal da velocdade e os lmtes do nível mas fno da malha. As Fguras 3 e 4 também Neste problema exemplo, a necessdade de refnamento local é mposta pela presença das nterfaces sóldas. De forma geral, é possível realzar refnamento local com mas níves, segundo necessdade, e nclusve ser adaptatvo, sto é, refnar em outros locas a cada passo de tempo sob o comando de ndcadores defndos, que podem ser novas posções da nterface ou regões

4 de maor vortcdade ou ntensdade de turbulênca. adequados entre densdade de malha e níves de refnamento. CONCLUSÕES A alternatva para melhorar o desempenho na smulação por CFD, proposta neste trabalho, se mostrou vável a partr dos resultados apresentados, embora anda se trate de uma ferramenta em desenvolvmento. Vale ressaltar que os resultados foram determnados utlzandose desenvolvmentos própros complementado com software lvre. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Fgura 5 - Valores de velocdade axal. Fgura 6 - Valores de velocdade radal. Resultados quanttatvos são apresentados nas Fguras 5 e 6. A Varação de velocdade axal admensonal, na dreção radal, para Ta=00 é mostrada na Fgura 5. Os valores são referentes à lnha passando pelo núcleo de um dos vórtces. Na Fgura 6 é mostrada a componente de velocdade radal admensonal sobre a lnha axal passando pelo centro dos vórtces para Ta = 00. Os valores são tomados no ntervalo entre dos vórtces contra-rotatvos. Os dados CCCl3D correspondem à solução referênca usando um códgo em coordenadas clíndrcas (PADILLA e SILVEI- RA NETO, 2008), MFV e MDF são soluções de versões anterores com modelos para resolver a nterface: modelo físco vrtual e modelo de múltpla forçagem, respectvamente. Os testes prelmnares apresentam soluções da presente versão, MLS, com duas densdades de malha, onde é evdente a maor representação dos perfs quando comparados com a referênca. Novos testes estão em andamento para estabelecer crtéros BREZINSKI, C., Numercal methods and algorthms. [S.l.]: Sprnger. CAMPREGHER, R., Modelagem matemátca trdmensonal para problemas de nteração fludo-estrutura. Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda, Uberlânda, (Tese de Doutorado), 79 p. LIU, G. R. Mesh Free Methods: Movng Beyond the Fnte Element Method.. ed. [S.l.]: CRCPress, Hardcover. ISBN LöHNER, R., 987. An adaptve fnte element scheme for transent problems n cfd. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, v. 6, p LOURENÇO, M. A. de S., 202. Desenvolvmento de uma plataforma para computação de alto desempenho de escoamentos transentes, utlzando estrutura octonára, Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda, Uberlânda (Tese de Doutorado) 8 p. MARIANO, F. P., 20. Solução numérca das equações de Naver-Stokes usando uma hbrdação das metodologas frontera mersa e pseudo-espectral de Fourer, Unversdade Federal de Uberlânda (Tese de Doutorado), 5 p. MOREIRA, L. Q., 20. Modelagem Matematca de Jatos em Jatos em Desenvolvmento Espacal Usando a Metodologa Pseudo Espectral de Fourer, Unversdade Federal de Uberlânda, (Tese de Doutorado)77 p PARHAMI, B. Introducton to Parallel Processng. Algorthms and archtectures. New York: Kluwer Academc Publshers, p. (Plenum Seres n Computer Scence). ISBN: PADILLA, E. L. M.; SILVEIRA NETO, A., Large-eddy smulaton of transtons to turbulence n natural convecton n a horzontal

5 annular cavty. Int. J. of Heat and Transfer, v5, p SOUZA, A. M. de; SOUZA, F.; SILVEIRA NETO, A., Métodos pseudo-espectras e dferenças fntas de segunda ordem para análse da transção à turbulenca em atos crculares lvres. ENCIT2006, Curtba PR, p.. TöLKE, J.; KRAFCZYK, M., Teraflop computng on a desktop pcs wth gpus for 3d cfd. v. 22, n. 7, p MASSARANI, G., 997. Fludodnâmca em Sstemas Partculados. Edtora UFRJ, Ro de Janero - RJ, 92 p. AGRADECIMENTOS Os autores gostaram de agradecer à Fapemg e à Petrobras, pelo apoo fnancero para realzação deste trabalho.