Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil

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1 Unversdade Federal do Ro Grande do Sul Escola de Engenhara Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS ATRAVÉS DA ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Patríca Tonon Porto Alegre 2016

2 PATRÍCIA TONON SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS ATRAVÉS DA ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Dssertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Engenhara Porto Alegre Ano 2016

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4 PATRÍCIA TONON SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS ATRAVÉS DA ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Esta dssertação de mestrado fo julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA, área de estruturas, e aprovada em sua forma fnal pelo professor orentador e pelo Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul. Porto Alegre, 06 de abrl de 2016 Prof. Alexandre Lus Braun Dr. pelo PPGEC/UFRGS orentador Prof. Carlos Torres Formoso Coordenador do PPGEC/UFRGS BANCA EXAMINADORA Prof. Adrane Prsco Petry (PROMEC/UFRGS) Dra. pelo PROMEC/UFRGS Prof. Álvaro Luz de Bortol (PPGMAp/UFRGS) Dr. pelo POSMEC/UFSC Prof. Ináco Benvegnu Morsch (PPGEC/UFRGS) Dr. pelo PPGEC/UFRGS

5 Aos meus amados pas: Marzete e Léo Tonon.

6 AGRADECIMENTOS Agradeço ncalmente ao meu orentador Prof. Alexandre Lus Braun, por sua nestmável contrbução na realzação desse trabalho e em mnha formação acadêmca. Agradeço especalmente ao meu namorado Julán Camlo, por acredtar e fazer com que eu acredtasse também em mm mesma. Agradeço a mnha famíla: meus pas, Marzete e Léo, e meus rmãos, Fernando e Gabrela, por estarem sempre presentes me ncentvando a segur em frente. Agradeço aos amgos que conquste no mestrado pelo apoo e pela companha ao longo dessa camnhada. Agradeço ao CNPQ e CAPES, pelo apoo fnancero, sem o qual essa pesqusa não tera sdo possível. Fnalmente, mas não menos mportante, agradeço a Deus, por me conceder os dons necessáros para a concretzação desse trabalho.

7 Não se o que posso parecer aos olhos do mundo, mas aos meus pareço apenas ter sdo como um menno brncando à bera-mar, dvertndo-me com o fato de encontrar de vez em quando um sexo mas lso ou uma concha mas bonta que o normal, enquanto o grande oceano da verdade permanece completamente por descobrr à mnha frente Isaac Newton

8 RESUMO TONON, P. Smulação Numérca de Escoamentos Incompressíves através da Análse Isogeométrca Dssertação (Mestrado em Engenhara) Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, UFRGS, Porto Alegre. O presente trabalho tem por objetvo desenvolver uma formulação numérca baseada em Análse Isogeométrca para o estudo de escoamentos ncompressíves sotérmcos de fludos newtonanos. Com o emprego desta metodologa, os procedmentos de pré-processamento e análse são unfcados, melhorando as condções de contnudade das funções de base empregadas tanto na dscretzação espacal do problema como na aproxmação das varáves do sstema de equações. O sstema de equações fundamentas do escoamento é formado pelas equações de Naver-Stokes e pela equação de conservação de massa, descrta segundo a hpótese de pseudo-compressbldade, além de uma equação consttutva para fludos vscosos de acordo com a hpótese de Stokes. Para problemas com escoamentos turbulentos emprega-se a Smulação de Grandes Escalas - LES (Large Eddy Smulaton), na qual o modelo clássco de Smagornsky é utlzado para a representação das escalas nferores à resolução da malha. O esquema explícto de dos passos de Taylor-Galerkn é aplcado no contexto da Análse Isogeométrca para a dscretzação das equações governantes, sendo que a dscretzação espacal é realzada empregando-se funções NURBS (Non Unform Ratonal Bass B-Splnes). Essas funções base apresentam vantagens em relação às tradconas funções utlzadas no MEF (Método dos Elementos Fntos), prncpalmente no que dz respeto à facldade de obtenção de contnudade superor a C 0 entre os elementos e representação precsa das geometras. Propõe-se também o desenvolvmento de ferramentas de pré e pós-processamento baseadas na estrutura de dados da Análse Isogeométrca para a geração de malhas e vsualzação de resultados. Alguns problemas clásscos da Dnâmca dos Fludos Computaconal são analsados para a valdação da metodologa apresentada. Os resultados apresentados demonstram boa aproxmação da formulação em relação a dados de referênca, além de maor versatldade quanto à dscretzação espacal dos problemas em comparação com as tradconas formulações baseadas em elementos fntos. Palavras-chave: Dnâmca dos fludos computaconal; Análse Isogeométrca; NURBS; Escoamentos ncompressíves.

9 ABSTRACT TONON, P. Smulação Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca Dssertação (Mestrado em Engenhara) Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, UFRGS, Porto Alegre. Ths work ams to develop a numercal formulaton based on Isogeometrc Analyss for the study of ncompressble flows of Newtonan fluds under sothermal condtons. By usng ths methodology, pre-processng and analyss procedures are unfed, mprovng the condtons of contnuty of the bass functons utlzed n the approxmatons of the equaton varables and spatal dscretzaton of the problem. The system of fundamental equatons of the flud flow s consttuted by the Naver-Stokes equatons and the mass conservaton equaton, whch s descrbed accordng to the pseudo-compressblty hypothess. In addton, a consttutve equaton for vscous fluds accordng to Stokes' hypothess s also provded. Turbulent flows are analyzed usng LES (Large Eddy Smulaton), where the Smagornsky s model s adopted for sub-grd scales. The explct two-step Taylor-Galerkn method s appled nto the context of Isogeometrc Analyss for the dscretzaton of the flow equatons, where spatal dscretzaton s carred out takng nto account Non Unform Ratonal Bass B-Splnes (NURBS) bass functons. These bass functons have advantages over tradtonal functons employed n the FEM (Fnte Element Method). Partcularly, t s easer to obtan contnuty order hgher than C 0 between adjacent elements and geometry representaton s more accurate. Pre and post-processng tools for mesh generaton and results vsualzaton are also proposed consderng the data structure nherent to Isogeometrc Analyss. Some classc problems of Computatonal Flud Dynamcs are analyzed n order to valdate the proposed methodology. Results obtaned here show that the present formulaton has good approxmaton when compared wth predctons obtaned by reference authors. Moreover, Isogeometrc Analyss s more versatle than tradtonal fnte element formulatons when spatal dscretzaton procedures are consdered. Key-words: Computatonal Flud Dynamcs; Isogeometrc Analyss; NURBS; Incompressble flows.

10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL OBJETIVOS DO TRABALHO E METODOLOGIA ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA DEFINIÇÕES GERAIS FUNÇÕES B-SPLINES FUNÇÕES NURBS REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS FUNÇÕES NURBS MÚLTIPLOS MACRO-ELEMENTOS QUADRATURA GAUSSIANA EQUAÇÕES QUE GOVERNAM A DINÂMICA DOS FLUIDOS EQUAÇÕES GOVERNANTES HÍPOTESE DA PSEUDO-COMPRESSIBILIDADE SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS (LES) SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL: MÉTODO EXPLÍCITO DE TAYLOR- GALERKIN DE DOIS PASSOS Equação conservação de quantdade de movmento Equação de Conservação de Massa DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL: MÉTODO DE BUBNOV-GALERKIN APLICADO A ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Equação de Conservação da Quantdade de Movmento e Equação de Conservação de Massa MATRIZES DE CONECTIVIDADE CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE CONDIÇÃO DE CONVERGÊNCIA REPRESENTAÇÃO DE GEOMETRIAS A PARTIR DE FUNÇÕES NURBS REFINAMENTO DE CURVAS, SUPERFÍCIES E SÓLIDOS NURBS POR INSERÇÃO DE NÓS REFINAMENTO DE CURVAS, SUPERFÍCIES E SÓLIDOS NURBS POR ELEVAÇÃO DE GRAU CONSTRUÇÃO DAS MALHAS Escoamento sobre um clndro 2d 1 macro-elemento Escoamento em cavdade 2d... 73

11 5.3.3 Escoamento sobre clndro 2d múltplos macro-elementos Canal com Degrau Múltplos macro-elementos ETAPAS DA ANÁLISE PRÉ-PROCESSAMENTO SIMULAÇÃO NUMÉRICA PÓS-PROCESSAMENTO Suavzação dos campos de pressão Obtenção dos Coefcentes Aerodnâmcos APLICAÇÕES ESCOAMENTO LAMINAR EM UMA CAVIDADE 2D ESCOAMENTO TURBULENTO EM UMA CAVIDADE 2D ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL EM UM CANAL COM DEGRAU ESCOAMENTO SOBRE UM CILINDRO 2D CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 116 REFERÊNCIAS

12 LISTA DE FIGURAS Fgura 1: Representação de uma geometra crcular. (baseado em: COTTRELL et al., 2006) 16 Fgura 2: Funções de forma Lagrangeanas quadrátcas undmensonas representadas no espaço paramétrco de um elemento Fgura 3: Defnções sobre a Análse Isogeométrca (baseado em: COTTRELL et al., 2009) 27 Fgura 4: Funções base B-Splnes de grau 0, 1 e Fgura 5: Funções base B-splne quadrátcas Fgura 6: Curva B-splne quadrátca Fgura 7: Produto tensoral entre funções B-splnes quadrátcas Fgura 8: Malha de pontos de controle e malha físca para uma superfíce com funções quadrátcas (baseado em: COTTRELL et al., 2009) w Fgura 9: a) transformação dos projetvos pontos de controle w transformação da projetva curva B-splne ( ) B em pontos de controle B b) C ξ em uma curva NURBS ( ) C ξ (baseado em: COTTRELL et al., 2009) Fgura 10: Funções base na nterface de macro-elementos (Fonte: COTTRELL et al., 2009) 38 Fgura 11: Mapeamentos do espaço físco para o espaço de quadratura (baseado em: COTTRELL et al., 2009) Fgura 12: Defnções do problema: (a) espaço ndcal; (b) espaço físco malha de elementos; (c) espaço físco malha de pontos de controle Fgura 13: Funções base B-Splnes quadrátcas após nserção da coordenada Fgura 14: Pontos de controle para de uma curva B-Splne quadrátca após nserção de coordenada paramétrca Fgura 15: Rede de pontos de controle que descrevem uma superfíce após a nserção de um nó (baseado em: PIEGL and TILLER et al., 1997) Fgura 16: Exemplo de elevação de grau. a) Curva cúbca orgnal defnda pelo vetor de nós b) o grau da função elevado uma vez (Fonte: PIEGL e TILLER et al., 1997) Fgura 17: Rede de pontos de controle que descrevem uma superfíce após a elevação de grau. (baseado em: PIEGL and TILLER et al., 1997) Fgura 18: Representação dos pontos de controle para um arco que varre 90º Fgura 19: Pontos de controle que descrevem a crcunferênca Fgura 20: Pontos de controle que descrevem o retângulo Fgura 21: Processo de refnamento Fgura 22: Obtenção da rede de pontos de controle que geram a superfíce Fgura 23: Espaço ndcal e a representação dos elementos não nulos nesse espaço Fgura 24: Rede de pontos de controle para uma superfíce retangular Fgura 25: Espaço ndcal e a representação dos elementos não nulos nesse espaço Fgura 26: Rede de pontos de controle para uma superfíce retangular vazada por uma crcunferênca em seu nteror Múltplos macro-elementos Fgura 27: Espaços ndcal e representação dos elementos não nulos Múltplos macroelementos Fgura 28: Rede de pontos de controle para um canal com degrau Múltplos macroelementos Fgura 29: Espaços ndcal e representação dos elementos não nulos Múltplos macroelementos Fgura 30: Coefcentes aerodnâmcos em um escoamento (baseado em: BRAUN, 2007) Fgura 31: Característcas geométrcas do problema e condções de contorno Fgura 32: Perfl de velocdade V1 Re

13 Fgura 33: Perfl de velocdade V2 Re Fgura 34: Perfl de velocdade V1 para Re Fgura 35: Perfl de velocdade V2 para Re Fgura 36: Perfl de velocdade V1 para Re Fgura 37: Perfl de velocdade V2 para Re Fgura 38: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re Fgura 39: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re Fgura 40: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re Fgura 41: lnhas de corrente para Re 100, 400 e 1000 (Fonte: GHIA et al., 1982) Fgura 42: Perfl de velocdade V1 para Re Fgura 43: Perfl de velocdade V2 para Re Fgura 44: Lnhas de corrente para Re Fgura 45: Lnhas de corrente V2 para Re (Fonte: GHIA et al., 1982) Fgura 46: Perfl de velocdade V1 para Re e dferentes valores de Cs Fgura 47: Perfl de velocdade V2 para Re e dferentes valores de Cs Fgura 48: Domíno e dmensões característcas do escoamento sobre degrau Fgura 49: Comprmento de recolamento do vórtce prncpal Fgura 50: Detalhe das lnhas de corrente no vórtce prncpal para Reynolds 100,200,400,600,800 e Fgura 51: Detalhe das lnhas de corrente no vórtce secundáro para Reynolds 600, 800 e Fgura 52: Isolnhas de pressão para Reynolds 100, 200, 400, 600,800 e Fgura 53: Característcas geométrcas do problema e condções de contorno 1 macroelemento Fgura 54: Característcas geométrcas do problema e condções de contorno múltplos macro-elementos Fgura 55: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re Fgura 56: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re 10, 20, 30, Fgura 57: Campos de pressão para Re 100 Múltplos macro-elementos Fgura 58: Campos de pressão para Re 100, 300, 500, 700 e Fgura 59: Comportamento do escoamento ncdndo sobre um clndro (baseado em: LIENHARD, 1966) Fgura 60: Coefcente C para os Reynolds em estudo D Fgura 61: Coefcente C versus número de Reynolds (Fonte: NORBERG, 2001) L RMS Fgura 62: Número de Strouhal ( St ) para os Reynolds 100, 300, 500, 700 e Fgura 63: Regstro ao longo do tempo para os coefcentes C D para os Reynolds 10, 20, 30, 40, Fgura 64: Regstro ao longo do tempo para os coefcentes C D para os Reynolds 100, 300, 500,700, Fgura 65: Regstro ao longo do tempo para os coefcentes C L para os Reynolds 100, 300, 500, 700, Fgura 66: Varação do C para os Reynolds de 40, 100, 500 e P

14 LISTA DE TABELAS Tabela 1: Matrz INC. 58 Tabela 2: Matrz IEN. 59 Tabela 3: Característcas do fludo, do escoamento e da malha de dscretzação com funções NURBS. 85 Tabela 4: Propredades do fludo, do escoamento e da dscretzação com funções NURBS. 90 Tabela 5: Propredades do fludo, do escoamento e da malha de dscretzação com funções NURBS 95 Tabela 7: Dados da dscretzação com funções NURBS e ncremento temporal 1 macroelemento. 104 Tabela 8: Dados da dscretzação com funções NURBS e ncremento temporal Múltplos Macro-elementos. 105 Tabela 9: Característcas do fludo e do escoamento 105 Tabela 10: Característca dos vórtces formados na regão de recrculação para Re Tabela 11: Característcas dos vórtces formados na regão de recrculação para Re Tabela 12: Coefcente Cl-RMS 111

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16 13 1 INTRODUÇÃO A smulação numérca de escoamentos de fludos tem sdo realzada tradconalmente empregando-se formulações baseadas no Método dos Elementos Fntos e no Método dos Volumes Fntos. No Método dos Elementos Fntos, o espaço físco do problema e as equações que governam o escoamento são dscretzadas através de elementos fntos, nos quas funções de nterpolação Lagrangeanas são adotadas para a obtenção das varáves do escoamento e coordenadas de pontos no nteror dos elementos a partr dos respectvos valores nodas. Devdo às característcas do método, as funções de base utlzadas apresentam geralmente contnudade 0 C (prmera dervada descontínua, mas fnta). Além dsso, o processo de dscretzação pressupõe uma fase de pré-processamento, na qual a geometra do problema é defnda e a dvsão do espaço em elementos fntos é feta. Como os geradores de malha empregam uma formulação matemátca dstnta para a construção das geometras, os procedmentos de dscretzação geralmente levam a erros de aproxmação. Com o objetvo de unfcar as formulações adotadas nos procedmentos de préprocessamento e análse e melhorar as condções de contnudade fo crada a chamada Análse Isogeométrca (COTTRELL et al., 2009), na qual funções de base do tpo NURBS são utlzadas na dscretzação espacal do problema e na aproxmação das varáves das equações fundamentas. Neste trabalho, buscou-se o desenvolvmento de uma ferramenta numérca para a smulação de escoamentos de fludos em regme ncompressível baseada na Análse Isogeométrca. Com sso, espera-se a obtenção de resultados mas precsos no estudo de escoamentos sobre corpos rombudos através de uma representação exata da geometra do problema, sobretudo no tratamento das regões de camada lmte e em escoamentos em regme turbulento. 1.1 ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA A Análse Isogeométrca é um método numérco ntroduzdo recentemente por Hughes et al. (2005) para a obtenção de soluções aproxmadas de problemas governados por Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

17 14 equações dferencas, podendo ser consderado como uma generalzação do Método dos Elementos Fntos (MEF) clássco a partr da utlzação de funções de nterpolação especas. A solução de equações dferencas pelo MEF consste, em termos geras, no uso de uma formulação varaconal e de um espaço de funções de base para a dscretzação do espaço físco e das varáves das equações. As funções de base são defndas no nteror dos elementos fntos, que são representações do espaço em nível local, sendo os elementos uma decomposção, sem sobreposção, do domíno em formatos smples. Comumente, os elementos fntos são defndos em termos de polnômos, prncpalmente pelos Lagrangeanos e pelos de Hermte. As funções de base utlzadas na descrção da geometra e das varáves na maora dos casos são as mesmas, sendo denomnada a formulação nesses casos de soparamétrca (ZIENCKIEWICZ et al., 2005a; BATHE, 1996). Na Análse Isogeométrca as funções de base escolhdas para a dscretzação do espaço solução e do espaço físco são as mesmas utlzadas nos sstemas CAD (Computed Aded Desgn). No âmbto dos sstemas CAD exstem váras tecnologas empregadas na geração de modelos computaconas de geometras que podem ser estenddas à Análse Isogeométrca. Dentre as técncas numércas dsponíves as mas comuns são aquelas baseadas em funções NURBS, fazendo com que essas funções sejam o ponto de partda dos estudos sobre Análse Isogeométrca. As curvas NURBS são obtdas através de uma combnação de funções de base NURBS defndas em um dado espaço paramétrco pré-defndo e valores de coordenadas assocadas a um polígono de pontos denomnados pontos de controle, os quas não se encontram geralmente sobre a curva e tem sua posção determnada de acordo com a forma desejada para esta curva. De uma forma smlar, superfíces NURBS podem ser também obtdas consderando-se um produto tensoral de funções de base NURBS defndas ndependentemente em duas dreções paramétrcas dspostas perpendcularmente entre s e uma rede bdmensonal de pontos de controle. Na grande maora das stuações prátcas, é necessáro para descrever um domíno o uso de múltplos patchs NURBS, denomnados nesse trabalho de macro-elementos. Cada macro-elemento é consttuído por um espaço paramétrco, funções base e rede de pontos de controle dstntos. O uso de múltplos macro-elementos é necessáro em função do produto tensoral de um únco espaço paramétrco não ser adequado para a representação de geometras complexas multplamente conectadas. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

18 15 A Análse Isogeométrca tem como um dos prncpas ntutos propcar uma maor ntegração entre as técncas numércas utlzadas nos sstemas CAD e o processo de análse por elementos fntos, a qual requer sempre a geração de malhas baseadas nos dados obtdos a partr de programas CAD. Verfca-se que em problemas de Engenhara envolvendo geometras complexas as geometras CAD nunca são felmente representas pelo modelo dscreto em elementos fntos, onde aproxmações polnomas de grau baxo são geralmente adotadas. Nesse sentdo, a Análse Isogeométrca apresenta-se vantajosa, pos permte a representação exata de tas geometras devdo ao uso das mesmas funções de base usadas no modelo CAD, as quas são capazes de representar exatamente mutas formas comuns, tas como as seções côncas, círculos, clndros, esferas e elpsodes. A própra solução por elementos fntos pode em mutas stuações ser afetada sgnfcatvamente devdo à falta de precsão na forma geométrca do modelo computaconal. Como exemplos pode-se ctar a flambagem de cascas, que é um problema extremamente sensível a mperfeções geométrcas, os fenômenos de camada lmte, que dependem fortemente da precsão geométrca da superfíce dos corpos mersos no escoamento, e o contato normal entre corpos, o qual não pode ser representado exatamente sem uma precsa descrção da geometra, gerando dfculdades de convergênca nos processos não lneares. Na Análse Isogeométrca, geometras complexas podem ser obtdas usando-se, nclusve, malhas grosseras, bastando para sso a utlzação de funções de base NURBS e uma rede de pontos de controle adequados. Por outro lado, no MEF observa-se o contráro, já que a geometra exata só é obtda no lmte do processo de refnamento (h-refnamento), como vsualza-se na Fgura 1. Outra vantagem da Análse Isogeométrca é a possbldade de empregarem-se procedmentos sstemátcos de refnamento e elevação de grau das funções, tendo como prncpal característca o fato que fxando a geometra exata em malhas mas grosseras, esta não será alterada ao térmno desses procedmentos. Dessa forma, obtém-se a smplfcação do processo de refnamento pela elmnação da necessdade de comuncação com a descrção CAD da geometra, como é feto nos modelos em elementos fntos. As funções NURBS possuem mutas propredades atratvas para aplcação em Análse Isogeométrca. Uma das característcas mas mportantes para a modelagem numérca é a suavdade, que dz respeto ao fato de que as funções são p 1 vezes contínuas sobre o contorno dos elementos, sendo p o grau da função. No contexto do Método dos Elementos Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

19 16 Fntos, os elementos soparamétrcos comumente utlzados na dscretzação trabalham com contnudade 0 C entre elementos, pos os elementos com contnudade maor são complcados e apresentam maor custo computaconal. Para os casos de flexão em placas fnas e cascas, por exemplo, em que exste a necessdade de contnudade 1 C, muda-se a formulação varaconal para drblar a necessdade da contnudade superor. Outras característcas atratvas das funções NURBS aos métodos numércos serão tratadas ao longo do texto e podem ser vsualzadas com mas detalhes em Cottrell et al. (2009) e Pegl e Tller (1997). Fgura 1: Representação de uma geometra crcular (Baseado em: COTTRELL et al., 2006) Hughes et al. (2005) demonstraram a aplcabldade do método tanto em problemas de Mecânca dos Sóldos quanto nos de Mecânca dos Fludos. Desde então, mutos trabalhos vêm sendo desenvolvdos mostrando a efcáca da Análse Isogeométrca nas mas dversas áreas, tas como: análse placas e cascas, problemas de otmzação, problemas de vbrações estruturas, problemas de contato, escoamentos de fludos, entre outros. Nos problemas de placas e cascas a Análse Isogeométrca tem se mostrado vantajosa sobre as aproxmações convenconas, vsto que a suavdade das funções base NURBS proporcona faclmente a contnudade C 1 necessára entre elementos. Esses resultados podem ser observados nos trabalhos, por exemplo, de Kendl et al. (2009), Hossen et al. (2013) e Tran et al. (2013). Nas formulações de contato usando dscretzação convenconas da geometra, a presença de superfíces em contato pode levar a saltos e osclações nas tensões, a menos que malhas muto refnadas sejam utlzadas. O uso da análse Isogeométrca leva a uma lgação suave entre as geometras e, consequentemente, a tensões mas precsas. Além dsso, pode ser Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

20 17 vsualzado no trabalho, por exemplo, de Temzer et al. (2010) uma melhora na convergênca dos problemas em relação ao uso de elementos fntos de contnudade C 0. Com relação a problemas de otmzação, pode-se ctar o trabalho de Espath (2009), desenvolvdo no CEMACOM/PPGEC/UFRGS, no qual se realzou um estudo de otmzação de forma de cascas baseada em funções NURBS. Uma das vantagens do uso de funções de forma NURBS nesse contexto está relaconada ao fato que se pode modfcar a geometra das cascas sem perder a parametrzação, evtando, dessa forma, a geração de uma nova malha ao se modfcar a forma. Nesse estudo obtveram-se cascas de alto desempenho estrutural, demonstrando a efcênca da análse escolhda. No contexto da análse de problemas de vbração estrutural, o uso da Análse Isogeométrca apresentou-se muto atratva. Uma das prncpas vantagens observadas por Cotrell et al. (2006) fo o uso do refnamento k (exclusvo da Análse Isogeométrca) no lugar do refnamento p, típco do método dos elementos fntos. Esse procedmento resultou em espectros de frequênca mas precsos. No que dz respeto à Mecânca dos Fludos, tem-se nvestgado, prncpalmente, a nfluênca do uso das funções NURBS no estudo da turbulênca, em problemas com equações dferencas de alta ordem, e em análses com geometras complexas, conforme pode ser observado nos trabalhos relatados na sequênca. Bazlevs et al. (2007) desenvolveram um modelo numérco baseado em Análse Isogeométrca para a avalação de escoamentos turbulentos usando a metodologa de turbulênca RBVMS (resdual-based varatonal multscale turbulence modelng). Os resultados obtdos para um problema smples de dspersão demonstram que as funções NURBS proporconaram melhores aproxmações quando comparadas às funções usadas no MEF clássco em processos advectvos e dfusvos, os quas desempenham um papel mportante no cálculo da turbulênca. Akkerman et al. (2008) estudaram o papel da contnudade das funções na turbulênca, comparando funções quadrátcas NURBS, com contnudade C 1, com as utlzadas no método dos elementos fntos clássco, que possuem contnudade C 0. Nesse estudo demonstrou-se que o uso de funções com maor suavdade apresenta melhores resultados nos problemas de turbulênca. Além dsso, verfcou-se que esse efeto é maor à medda que o número de Reynolds é elevado. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

21 18 No trabalho de Gomez et al. (2010), a Análse Isogeométrca é utlzada para estudos sobre as equações sotérmcas de Naver-Stokes-Korteweg. A resolução desse conjunto de equações requer o uso de funções suaves com contnudade global C 1. No contexto do MEF clássco, exste um número lmtado de funções com essa contnudade que podem ser aplcadas a geometras complexas em problemas bdmensonas e nenhuma para problemas trdmensonas. Dessa forma, o uso das funções NURBS permtu resolver a forma forte da equação dferencal de tercera ordem que representa a caplardade. Em Bazlevs e Akkerman (2010), a Análse Isogeométrca é empregada em uma smulação do escoamento turbulento de Taylor-Couette. Com o uso das funções NURBS pode-se representar exatamente a geometra complexa do problema, sem aproxmações, em todos os níves de dscretzação. Testes numércos demonstraram que resultados precsos podem ser obtdos com malhas relatvamente grosseras. Devdo à efcênca demonstrada da Análse Isogeométrca, mutos trabalhos atuas a ncorporam como metodologa de análse numérca de problemas da mecânca dos fludos e problemas de nteração fludo-estrutura, como por exemplo, os trabalhos de Bazlevs et al. (2014), Nguyen et al. (2014) e Hsu et al. (2014). 1.2 DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL A DFC (Dnâmca dos Fludos Computaconal) (ZIENCKIEWICZ et al., 2005; REDDY e GARTLING, 1994; GRESHO E SANI, 1999) tem como fnaldade o emprego de técncas numércas para a obtenção de uma solução aproxmada para as equações que governam os escoamentos e os processos de transferênca de calor e massa nos fludos em geral, vsto que a solução analítca dessas equações é conhecda para poucos e smples casos. Neste contexto, os seguntes tópcos são de fundamental mportânca: os processos de dscretzação espacal e temporal, os métodos de establzação e a modelagem de escoamentos turbulentos. A solução numérca de escoamentos vscosos ncompressíves apresenta uma dfculdade básca relaconada à equação de conservação de massa. Ao levar-se em conta a ncompressbldade do escoamento, obtém-se a chamada equação da contnudade, onde o termo temporal desaparece, restando apenas o temo de dvergente do vetor velocdade. Do ponto de vsta computaconal, este aspecto traz uma sére de problemas para a obtenção do campo de pressão. Para superar estas dfculdades, város métodos têm sdo empregados para Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

22 19 o tratamento da equação de conservação de massa em escoamentos ncompressíves, entre os quas se destacam as formulações mstas, o método da penaldade, o método da pseudocompressbldade e os métodos fraconados. A análse numérca de escoamentos ncompressíves ncou-se através da utlzação da formulação msta, na qual a velocdade e a pressão são tomadas como varáves prmáras do sstema de equações fundamentas, sendo um dos prmeros trabalhos publcado sobre o assunto desenvolvdo por Hood e Taylor (1974). Neste caso, a pressão é vsta como um multplcador de Lagrange mpondo a restrção de dvergente nulo no campo de velocdades do escoamento. Consequentemente, mpõe-se um lmte na ordem de aproxmação do campo de pressão, a qual deve ter a mesma ordem da restrção mposta pelo multplcador de Lagrange, ou seja, o dvergente do campo de velocdades. O método da penaldade é uma varação da formulação msta e o prmero regstro de sua utlzação fo no trabalho de Zenckewcz (1974). Neste método, assume-se a pressão como sendo gual ao negatvo do valor do parâmetro de penaldade aplcado à equação da contnudade. Essa expressão é substtuída no gradente de pressão apresentado nas equações de Naver Stokes e então a pressão é elmnada. O parâmetro de penaldade deve ser grande o sufcente para forçar a contnudade, mas não tão elevado para evtar que outros termos da equação de Naver-Stokes sejam calculados sem precsão. Os campos de pressão e velocdade devem também serem aproxmados empregando-se funções de base consstentes com a condção de Babuska-Brezz (BREZZI, 1974). O método da pseudo-compressbldade, utlzado nesse estudo, fo desenvolvdo ncalmente por Chorn (1967) e trata-se da aplcação de uma compressbldade artfcal à equação da contnudade, sendo o seu uso justfcado no fato de que o escoamento de um fludo em meo natural não é estrtamente ncompressível, ou seja, a velocdade do som se propaga a um valor fnto (ver, por exemplo, KAWAHARA e HIRANO, 1983). Como consequênca, obtém-se uma equação de conservação de massa com um termo temporal de pressão, a partr da qual é possível obter-se a pressão de forma explícta. Os métodos fraconáros também foram ntroduzdos por Chorn (1968) no contexto do Método das Dferenças Fntas e baseam-se no cálculo ncal do campo de velocdades omtndo-se das equações de momento o termo de pressão. A pressão é calculada posterormente através de uma equação de Posson usando as componentes de velocdades obtdas ncalmente. O campo de velocdades é então corrgdo com o uso da pressão obtda no passo anteror. Os prmeros trabalhos envolvendo métodos fraconados no contexto do Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

23 20 Método dos Elementos Fntos devem-se a Schneder et al. (1978) e Donea (1982). Mas recentemente, a aplcação de métodos fraconados pode ser encontrada, por exemplo, em Ramaswamy (1993), Tabarrok e Su (1994) e Ntharasu et al. (2004). No âmbto da DFC, as metodologas mas utlzadas no processo de dscretzação espacal são: o Método das Dferenças Fntas (MDF), o Método dos Elementos Fntos e o Método dos Volumes Fntos (MVF). No presente trabalho, será utlzada a Análse Isogeométrca, que consste em uma generalzação do MEF. Para garantr que as aproxmações estejam o mas próxmo possível da solução real, emprega-se como formulação varaconal o método dos resíduos ponderados. O método dos resíduos ponderados (ASSAN, 2003) mnmza os resíduos resultantes das funções aproxmadoras através de uma função peso, sendo o produto entre a função resdual suposto gual a zero no domíno de ntegração de cada elemento. Quando a função ponderadora é a mesma utlzada na dscretzação têm-se o denomnado método clássco de Galerkn (Bubnov-Galerkn). O Método dos Elementos Fntos (MEF) surgu na década de 50, tornando-se rapdamente a ferramenta numérca mas utlzada na análse de problemas de Mecânca dos Sóldos e Mecânca das Estruturas. As prmeras aplcações na Mecânca dos Fludos remetem a meados da década de 60 e desde então tem sdo usado em város problemas, embora não tendo a mesma populardade observada nas aplcações em Mecânca dos Sóldos. O método apresenta como vantagens o fato de que complexas geometras são faclmente acomodadas e que as condções de contorno podem ser aplcadas exatamente, além de ter um embasamento matemátco consstente. Até a década de 70 o MEF anda não era utlzado com sucesso na DFC por não possur as ferramentas necessáras para ldar com as nstabldades que ocorrem em escoamentos com advecção domnante. As nstabldades em escoamentos com advecção domnante resultam do fato que os termos de transporte advectvo tornam o sstema de equações fundamentas não auto adjuntas, o que conduz a soluções osclatóras no campo de velocdade quando o método de Galerkn clássco é utlzado (ZIENCKIEWICZ et al. 2005). Hstorcamente o processo de establzação dos termos de advecção ncou-se com o MDF, onde os modelos baseados em aproxmações em dferenças fntas centradas foram substtuídos por dferenças fntas upwnd para aproxmação de dervadas de prmera ordem. No campo dos elementos fntos desenvolveu-se o método de Petrov-Galerkn, equvalente ao upwnd para dferenças fntas, que consste na utlzação de funções dstntas para as funções de base e peso, sendo equvalente a aplcação do método de Galerkn convenconal com adção de uma constante de dfusão artfcal (ZIENCKIEWICZ et al. 2005). Essa Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

24 21 metodologa fo desenvolvda ncalmente nos trabalhos de Zenckewcz et al. (1976), Chrste et al. (1976), Henrch et al. (1977) e Grffths e Lorenz (1978). Brooks e Hughes (1982) consoldaram a formulação SUPG (streamlne upwnd Petrov-Galerkn), a qual possu as qualdades dos clásscos métodos de Petrov-Galerkn sem a perda de precsão apresentada nesses métodos. A dea básca do SUPG é adconar uma dfusão artfcal que age apenas na dreção do escoamento. Segundo essa mesma metodologa de establzação tem-se o método de GLS (Galerkn Least Square), proposto por Hughes et al. (1989), no qual os termos de establzação são resultantes de um processo de mnmzação por mínmos quadrados de um operador resdual da forma fraca das equações. Um dos nconvenentes apresentados nos métodos de Petrov-Galerkn é a obtenção de matrzes de massa não smétrcas, o que dfculta seu uso em esquemas explíctos. Para sanar esse nconvenente uma alternatva de establzação é o método de T-G (Taylor Galerkn), ntroduzdo por Donea (1984), onde a establzação para os problemas de convecção é obtda através da ntrodução de termos de mas alta ordem para as expansões em sére de Taylor no processo de dscretzação temporal, sendo a dscretzação espacal realzada pelo método convenconal de Bubnov-Galerkn. Na mesma flosofa do método T-G, tem-se o método BTD (balanced tensor dffusvty) ntroduzdo por Gresho et al. (1984), onde acrescenta-se um tensor dfusvo, compensando o erro devdo ao truncamento da dscretzação do tempo. Esses procedmentos possuem um equvalente no campo do MDF, desenvolvdo orgnalmente por Lax e Wendroff (1964). Uma alternatva mas recente é o denomnado método CBS (characterstc based splt), ntroduzdo por Zenkewcz e Codna (1995). O esquema CBS utlza métodos fraconáros para a resolução das equações da DFC aplcadas a escoamentos compressíves e ncompressíves através do procedmento de Galerkn característco. Como resultado, obtémse um modelo numérco com característcas de establzação excelentes. O método permte a resolução através de um esquema totalmente explícto, mesmo nos casos de escoamentos ncompressíves, com auxílo da compressbldade artfcal, e de forma sem-mplícta, onde o campo de pressão é obtdo de forma mplícta a partr de uma equação de conservação de massa descrta na forma de uma equação de Posson (ver, por exemplo, Ntharasu, 2004). Além da nstabldade devdo a advecção domnante podem surgr anda osclações no campo de pressão devdo ao uso do mesmo grau de nterpolação para as funções de velocdade e pressão, não cumprndo com a condção de Babuska-Brezz (BREZZI, 1974). Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

25 22 Os prncpas métodos de dscretzação temporal utlzados na DFC baseam-se em esquemas de solução ndependente para o espaço e o tempo, chamados de métodos das lnhas ou métodos de sem-dscretzação. Estes esquemas são anda classfcados em mplíctos e explíctos. Os esquemas mplíctos são os mas comuns, admtndo um passo de tempo muto maor do que aquele usado por métodos explíctos, sem que sso afete a establdade do processo de ntegração. Por sso, são geralmente métodos mas robustos e com maor velocdade de convergênca, embora exjam um gasto de memóra computaconal muto maor. Dentre os métodos mplíctos destacam-se os métodos de Crank-Ncholson e de Euler, que utlzam esquemas em dferenças fntas para aproxmação temporal (ver REDDY E GARTLING, 1994). Os métodos explíctos apresentam em geral baxo custo computaconal, facldade de mplementação, e ocupam pouco espaço na memóra computaconal. Por outro lado, o tamanho do ncremento de tempo é restrngdo à condção de establdade. Entretanto, para os fenômenos que ocorrem a altos números de Reynolds em que se necessta de ncrementos de tempo reduzdos, o esquema explícto torna-se mas efcente. Os esquemas explíctos mas populares no âmbto da DFC são os métodos de multpasso, também conhecdos como métodos de Runge-Kutta, onde a solução é função de város passos de tempo dentro de um mesmo ncremento de tempo. A nfluênca de cada passo no resultado fnal é defnda a partr de coefcentes escolhdos adequadamente a fm de aumentar a establdade e assegurar a convergênca. Dependendo do número de coefcentes (ou passos), a aproxmação será de segunda ordem (2 passos) ou superor. Uma alternatva bastante utlzada na DFC é o modelo de T-G, que pode ser utlzado tanto de forma explícta quanto mplícta dependendo da forma de avanço do tempo. Nesse trabalho é utlzado o método explícto de Taylor-Galerkn de dos passos, ntroduzdo ncalmente por Kawahara e Hrano (1983) e aplcado, mas recentemente, nos trabalhos de Texera (2001), Petry (2002), Braun (2007) e Madalozzo (2012) apresentados no CEMACOM/PPGEC/UFRGS e PROMEC/UFRGS. Outro aspecto relevante nas smulações numércas dz respeto à reprodução de escoamentos turbulentos. As equações de Naver-Stokes têm valdade tanto para escoamentos lamnares como para turbulentos. Entretanto, a utlzação da chamada Smulação Dreta da Turbulênca (DNS drect numercal smulaton) leva em geral a custos computaconas elevados, tendo em vsta que o nível de refnamento da malha necessáro para representar todas as escalas de turbulênca se torna cada vez mas alto à medda que se eleva o número de Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

26 23 Reynolds. Para contornar esse problema são desenvolvdas metodologas para a smulação de escoamentos turbulentos, onde modelos de turbulênca são adotados para representar as escalas da turbulênca nferores à resolução da malha adotada. Os modelos que utlzam as equações RANS (Reynolds Averaged Naver Stokes) modelam o efeto das flutuações turbulentas no escoamento médo a partr da aplcação de uma operação de méda temporal sobre as equações fundamentas. Dentro da metodologa RANS o modelo de turbulênca comumente utlzado é o k ε, ntroduzdo por Launder e Spaldng (1974). O método possu algumas lmtações, como por exemplo, em lnhas de correntes curvas, escoamentos sob a ação de gradentes adversos de pressão e em escoamentos com regões de separação, condções tpcamente encontradas em problemas da DFC. Nos modelos LES, escolhdo como metodologa de smulação da turbulênca para este trabalho, as grandes escalas de turbulênca são resolvdas dretamente pelas equações de Naver-Stokes fltradas, enquanto que as escalas nferores à resolução da malha são resolvdas por modelos de turbulênca sub-malha. Os modelos LES tveram seu níco com o trabalho de Smagornsky (1963), sendo utlzado pela prmera vez em aplcações de engenhara no trabalho de Deardoff (1970). Apesar de a modelagem LES conduzr a gastos computaconas muto superores aos modelos RANS, a metodologa tem se mostrado mas adequada do que os modelos RANS, além de que, com o avanço contínuo na tecnologa dos computadores, o emprego da metodologa LES fca cada vez mas acessível. Trabalhos mas recentes que empregam a metodologa LES podem ser vsualzados, por exemplo, em: Elshaer et al. (2016) e Colomés et al. (2016). 1.3 OBJETIVOS DO TRABALHO E METODOLOGIA O objetvo básco deste trabalho é desenvolver um modelo numérco baseado em Análse Isogeométrca para a smulação de escoamentos de fludos newtonanos em regme ncompressível. Dentro deste processo, busca-se também o desenvolvmento de ferramentas de pré-processamento especas para a geração de malhas em formulações NURBS, nclundo o uso de város macro-elementos. Como objetvo últmo, busca-se a aplcação da formulação aqu desenvolvda em problemas clásscos da DFC com ntuto de valdar a metodologa através da comparação com resultados expermentas e com resultados numércos de outros autores. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

27 24 Para a análse de escoamentos ncompressíves de fludos newtonanos utlzou-se nesse trabalho um modelo numérco baseado em uma formulação msta para a solução das equações de Naver-Stokes e da equação de conservação de massa, com o acoplamento entre velocdade e pressão sendo realzado através da hpótese de pseudo-compressbldade. Nos casos que envolvem escoamentos turbulentos emprega-se a metodologa de Smulação de Grandes Escalas ( LES ) e para a modelagem sub-malha o modelo de Smagornsky clássco. O modelo computaconal é construído a partr da aplcação do método de Taylor-Galerkn de dos passos sobre as equações fundamentas do escoamento. A dscretzação espacal é realzada através da aplcação do método de Bubnov-Galerkn no contexto da Análse Isogeométrca, onde funções de base NURBS são empregadas. A ntegração temporal é realzada usando-se séres de Taylor de segunda ordem sobre os termos temporas das equações. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

28 25 2 ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Como fo exposto anterormente, a Análse Isogeométrca é uma partcularzação do Método dos Elementos Fntos, na qual funções de forma, comumente Lagrangeanas, são substtuídas pelas funções do tpo NURBS, o que leva a algumas mudanças na formulação tradconal (ver, por exemplo, COTTRELL et al., 2009). Esse capítulo tem o ntuto de apresentar as prncpas partculardades dessa formulação em relação ao Método dos Elementos Fntos. 2.1 DEFINIÇÕES GERAIS No MEF tradconal têm-se uma únca noção de malha e de elemento, com os elementos podendo ser representados de duas maneras dstntas: no domíno físco e no domíno paramétrco para a quadratura numérca. Os elementos são usualmente defndos pelas suas coordenadas nodas e pelas funções de base, as quas apresentam característcas tpcamente nterpoladoras, podendo assumr valores postvos ou negatvos. Nos elementos dtos soparamétrcos, nos quas as funções de base usadas para a descrção das varáves são as mesmas utlzadas para a descrção da geometra, a escolha do tpo de função a ser utlzada é realzada prmeramente pela necessdade de aproxmação das varáves do problema, sendo a dscretzação da geometra através dessas funções uma consequênca. Na Fgura 2 observase funções de forma Lagrangeanas quadrátcas defndas no espaço paramétrco de um elemento fnto undmensonal. Na Análse Isogeométrca, têm-se duas noções de malha: a malha de controle e a malha físca. Os pontos de controle defnem a malha de controle, que possu a aparênca de uma malha típca de elementos fntos. Entretanto, a malha de controle não defne a geometra, ela é apenas um esqueleto que controla a geometra. As varáves de controle são os graus de lberdade do problema, defndas dretamente nos pontos de controle. Ao contráro do MEF tradconal, a malha de controle pode ser severamente dstorcda e até nvertda e, anda assm, se as funções forem sufcentemente suaves, a geometra físca permanece válda. A malha físca corresponde à representação dscretzada da geometra ou regão que defne o problema a ser analsado no espaço físco. Nessa malha exstem duas defnções dstntas de elementos: o macro-elemento (patch), e o knot span, denomnado nesse estudo de Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

29 26 elemento, por ser equvalente aos elementos do MEF, uma vez que determnam os espaços onde se realza a quadratura numérca. Fgura 2: Funções de forma Lagrangeanas quadrátcas undmensonas representadas no espaço paramétrco de um elemento. A geometra do problema pode ser descrta utlzando-se um ou mas macro elementos dependendo de sua complexdade. Cada macro-elemento possu representação tanto no espaço paramétrco, onde as funções base são defndas, quanto no espaço físco. Cada macro-elemento pode ser decomposto anda em elementos, que são defndos a partr do vetor de nós ou de vetores de nós, de acordo com a topologa do problema. Esses elementos são defndos como pontos ou lnhas, superfíces e volumes nos espaços físcos undmensonal, bdmensonal e trdmensonal, respectvamente, representando a magem mapeada dos elementos do espaço paramétrco. Outra mportante defnção sobre o estudo das funções NURBS é o espaço ndcal de um macro-elemento, o qual dentfca exclusvamente cada nó e dstngue os nós com multplcdade maor do que um. As funções NURBS são tpcamente não nterpoladoras e possuem sempre valor postvo em seu domíno de defnção, o espaço paramétrco. Ao contráro do que acontece no MEF, as funções de base são escolhdas com o objetvo prncpal de descrever a geometra. Na Fgura 3 é apresentado um esquema que permte a vsualzação dos espaços relatados para um modelo de uma superfíce com um macro-elemento construído a partr de funções de base NURBS quadrátcas. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

30 27 Fgura 3: Defnções sobre a Análse Isogeométrca (Baseado em: COTTRELL et al., 2009) 2.2 FUNÇÕES B-SPLINES As funções NURBS usadas na Análse Isogeométrca são obtdas a partr da raconalzação das funções B-splnes. As funções base B-splnes undmensonas são defndas no espaço paramétrco por um vetor de nós, que consste em um conjunto crescente de coordenadas, descrto por { ξ0, ξ1,..., ξ n + p + 1} Ξ=, sendo n + 1 a quantdade de pontos de controle no espaço e p o grau dessas funções. Os nós do espaço paramétrco dvdem esse espaço em elementos (ou knot spans). Uma função B-splne undmensonal N, p nca na coordenada paramétrca ξ, com = 0,1,..., n, e é defnda recursvamente de acordo com a fórmula de Cox-deBoor (COX, 1972 e DEBOOR 1972) da segunte manera: Equaton Chapter 2 Secton 1 Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

31 28 N 1 se ξ ξ < ξ + 1,0 = p= 0 caso contráro para 0 ξ ξ ξ ξ N = N + N para p= 1,2,3,..., + p+ 1 ( ξ) ( ξ), p, p 1 + 1, p 1 ξ+ p ξ ξ+ p+ 1 ξ+ 1 (2.1) Na Fgura 4 observa-se funções de forma B-splnes de graus 0, 1 e 2. Nota-se que essas funções são dêntcas aos polnômos de Lagrange para os graus 0 e 1. Além dsso, percebe-se que todas as funções de base são dêntcas e apenas deslocadas, o que confere a essa base de funções um padrão homogêneo. 1 0 N 0, ξ 1 0 N 0, ξ 1 N 1,0 1 N 1, ξ ξ 1 N 2,0 1 N 2, ξ ξ 1 0 N 0, ξ 1 0 N 1, ξ 1 N 2,2 ξ Fgura 4: Funções base B-Splnes de grau 0, 1 e 2. Para obtenção de funções de base nterpoladoras no níco e no fm do espaço paramétrco utlza-se o conceto de vetores de nós abertos, que consste em repetr p+ 1 Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

32 29 vezes os valores paramétrcos dos nós nas extremdades do vetor de nós. Isso se deve ao fato de que funções de base de ordem p possuem contnudade qualquer, sendo p m sobre um nó nterno m a multplcdade do nó defndo pela coordenada paramétrca ξ. Na Fgura 5 observa-se um espaço paramétrco defndo através de um vetor de nós aberto Ξ= [ 0,0,0,1,2,3,3,4,4,4 ] e dscretzado por funções de base B-splnes quadrátcas. Nota-se, de acordo com o que fo exposto, que o uso desse tpo de vetor de nós conduz a funções nterpoladoras no níco e no fm do espaço paramétrco. Além dsso, nota-se uma redução de contnudade das funções sobre um nó com multplcdade superor a um. Por fm, vsualza-se que em um mesmo elemento apenas p+ 1 funções possuem valores não nulos. Dessa forma, as prncpas propredades no que dz respeto às funções B-splnes são: a) Partção da Undade: n N, p( ξ) = 1 (2.2) = 0 b) Postvdade: Cada função de base é postva, ou seja, ( ) todos os coefcentes da matrz de massa são maores ou guas a zero. N, p ξ 0, ξ. Assm, c) suavdade: Uma função de ordem p tem p 1 dervadas contnuas ao longo do contorno dos elementos. d) Suporte Compacto: O suporte de cada N, p está contdo no ntervalo ξ, ξ + p + 1, ou seja N ( ) ξ = se ξ estver fora desse ntervalo. Dessa forma em um dado, p 0 elemento [, ] ξ ξ +, no máxmo p+ 1 funções são não nulas: N p, p,..., N, 1 p. 1 N 0,2 N1,2 N 2,2 N3,2 N 4,2 N5,2 N 6, Fgura 5: Funções base B-splne quadrátcas. ξ Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

33 30 Uma curva B-splne é construída através da combnação lnear entre funções de base B-splne e um polígono de pontos de controle, que para um espaço físco defndo por coordenadas cartesanas ortogonas ( x, y, z ) é defnda por: = ( x y z ) = N, p( ) ( ) ( ), ( ), ( ) n C ξ ξ ξ ξ ξ B (2.3) na qual B = 0,1,..., n representa as coordenadas dos pontos pertencentes ao polígono de controle. As propredades ctadas das funções base B-splnes são mantdas para a curva, apresentando anda as seguntes característcas: a) Transformação afm: Obtém-se a transformação afm pela aplcação de transformações dretamente sobre os pontos de controle, sendo a prncpal característca para satsfazer os patch-tests. b) Localdade: Devdo ao suporte compacto das funções de base, movendo-se um ponto de controle afeta-se não mas do que ( p+ 1) elementos da curva. c) Forte característca de envelope convexo: Uma curva B-splne é completamente contda dentro do polígono composto pelos pontos de controle. d) Dmnução da varação da função: Nenhum plano possu mas nterseções com a curva do que com o polígono de controle, levando a função a ser monótona. Na Fgura 6 pode ser observada uma curva quadrátca obtda através da combnação de funções de base descrtas com o mesmo vetor de nós apresentado na Fgura 5. Em a) têmse representado juntamente com a curva o polígono de pontos de controle que a gerou. Notase novamente nessa magem a característca nterpoladora dos vetores de nós abertos, que leva os pontos de controle a estarem sobre a curva. Observa-se que em ξ = 3 a multplcdade dos do nó tornou a curva nterpoladora também nesse ponto, o que acontece quando = 0 m p, sendo m a multplcdade do nó. Além dsso, nota-se que a contnudade C 1 esperada para uma curva B-splne de grau 2 é alterada nesse ponto para C 0. Em b) observa-se a magem dos elementos do espaço paramétrco mapeados sobre a curva. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

34 31 Fgura 6: Curva quadrátca. a) Curva e polígono de pontos de controle; b) Curva e elementos no espaço físco. Uma superfíce B-splne é obtda a partr das coordenadas assocadas a uma malha de pontos de controle B com = 0,1,..., n e j= 0,1,..., m, e pelo produto tensoral entre duas B-, j splnes undreconas: n m S ξ, η ξ, η, ξ, η, ξ, η ( ξ) η B (2.4) = ( x y z ) = N M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) na qual as funções N,p( ξ ) e j, q( ) nós { ξ0, ξ1,..., ξn+ p+ 1} e { η0, η1,..., ηm+ q+ 1} Ξ= Η =. = j= 1, p j, q, j M η, de grau p e q, são defndas a partr dos vetores de Na Fgura 7 observa-se o produto tensoral entre duas funções quadrátcas undreconas Nɶ ( ξ, η) = N ( ξ) M ( η) 2,2:2,2 2,2 2,2 Ξ= { 0,0,0,1 5,2 5,3 5,4 5,1,1,1}., sendo o vetor de nós em ambas as dreções O suporte local das funções base segue o mesmo formato das funções ɶ é undmensonas. O suporte de uma função bdmensonal N ( ξ, η) = N ( ξ) M ( η), j: p, q, p j,q exatamente ξ, ξ + p+ 1 η j, η j+ q+ 1. A únca propredade não conservada das curvas B- splnes na geração da superfíce é a dmnução da varação da função. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

35 32 Fgura 7: Produto tensoral entre funções B-splnes quadrátcas. Na Fgura 8 observa-se a rede de pontos de controle e a malha físca correspondente para uma superfíce defnda a partr de funções de forma quadrátcas nas dreções ξ e η com vetores de nós: Ξ= [ 0,0, 0,1 2,1,1,1], [ 0,0,0,1,1,1 ] Η=. Fgura 8: Superfíce quadrátca. a) Rede de pontos de controle; b) Malha físca (Fonte: COTTRELL et al., 2009)., j, k Analogamente, um sóldo B-splne é obtdo pelas coordenadas dos pontos de controle B com = 0,1,..., n, j= 0,1,..., m e k= 0,1,..., l, e pelo produto tensoral das funções N, M, L de grau p, q e r, respectvamente, defndas pelos vetores de nós, p j, q k, r { ξ0, ξ1,..., ξ n+ p+ 1}, { η0, η1,..., ηm+ q+ 1} e { ζ 0, ζ 1,..., ζ l+ r+ 1} Ξ= Η = Ζ= da segunte manera: Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

36 33 = ( x y z ) = N ( ) M ( ) L ( ) (,, ) (,, ), (,, ), (,, ) n m l T ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ B (2.5) = 0 j= 0 k= 0, p j, q k, r, j, k 2.3 FUNÇÕES NURBS É de conhecmento da matemátca clássca que todas as curvas côncas, nclundo o círculo, podem ser representadas com o uso de funções raconas, as quas são obtdas pela razão entre dos polnômos. É nesse contexto que a transformação de uma função nãoraconal B-splne para uma função do tpo NURBS apresenta-se vantajosa para aplcação em Análse Isogeométrca. A construção de uma função de base NURBS ( R ) é dada pela segunte relação: R p ( ξ) = n N î= 0, p N ( ξ) î, p w ( ξ) w î (2.6) Sendo w e w î os denomnados pesos. Uma curva NURBS é obtda através da segunte expressão: C n = B (2.7) = 0 p ( ξ) R ( ξ) Analogamente ao apresentado para as curvas não-raconas B-splnes, as superfíces NURBS são obtdas pelas respectvas relações: R p, q, j ( ξ, η) = n m ˆ= 0 ˆj = 0 ( ξ) N M w, p j, q, j ( ξ) ( η) N M w ˆ, p ˆj, q ˆ, ˆj (2.8) n m = = 0 j= 0 p, q ( ξ, η) R ( ξ, η) S B (2.9), j, j e um sóldo NURBS por: R ( ξ, η, ζ) = ( ξ) ( η) ( ζ), q, r, p j, q k, r, j, k, j, k n m l ˆ= 0 ˆj = 0 kˆ = 0 N M L w ( ξ) ( η) ( ζ) N M L w ˆ, p ˆj, q kˆ, r ˆ, ˆj, kˆ (2.10) Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

37 34 n m l = = 0 j= 0 k= 0 p ( ), q,,, r ξ η ζ R ( ξ, η, ζ) T B (2.11), j, k, j, k 2.4 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS FUNÇÕES NURBS Uma função raconal é defnda como a razão entre duas funções polnomas e pode ser representada da segunte manera: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X ξ Y ξ Z ξ x( ξ) = y( ξ) = z( ξ) = (2.12) W ξ W ξ W ξ sendo X,Y, Z e W funções polnomas e x, y, z funções coordenadas que tem o mesmo denomnador. Curvas raconas com o mesmo denomnador possuem uma representação geométrca elegante através das coordenadas homogêneas, as quas permtem um processamento efcente de armazenamento de manera compacta. As coordenadas homogêneas representam a curva raconal defnda no espaço n -dmensonal como um polnômo no espaço ( n+ 1) - dmensonal. Consderando ncalmente um ponto P( x, y, z ) no espaço trdmensonal eucldano, o qual é representado no espaço com quatro dmensões por ( xw yw zw w) w P =,,, = ( X, Y, Z, W), a obtenção de P( x, y, z ) a partr de P w dvsão de todas as coordenadas de P w pela quarta coordenada W : é possível pela X Y Z W P( x, y, z) =,,, W W W W (2.13) ou seja, mapeando P w da orgem até o hperplano W = 1. Dessa forma, pode-se representar uma função NURBS em coordenadas homogêneas da segunte manera: w com B ( w x, w y, w z, w) n w w C ( ξ) = N, p( ξ) B (2.14) = 0 = e w sendo o peso relaconado ao ponto de controle de índce. A curva C é relaconada com sua projetva pela segunte expressão: Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

38 35 sendo W( ξ) a função peso, defnda como: ( ξ) ( ξ) w C ( ξ) = C (2.15) W n = (2.16), p = 0 ( ξ) ( ξ) W N w Na Fgura 9 observa-se o círculo no espaço R 2 projetva de uma B-splne quadrátca no espaço R 3. construído pela transformação Fgura 9: Transformação projetva. a) transformação dos projetvos w pontos de controle B em pontos de controle B ; b) transformação da w C ξ projetva curva B-splne C ( ξ ) em uma curva NURBS ( ) (Baseado em: COTTRELL et al., 2009). Analogamente, uma superfíce NURBS é defnda em coordenadas homogêneas por: w com B, j ( w, jx, j, w, j y, j, w, jz, j, w, j) segunte expressão: n m w w S ( ξ, η) = N, pm j, q( ξ, η) B (2.17), j = 0 j= 0 =. A superfíce é relaconada com sua projetva pela Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

39 36 S ( ξ, η) w S = W ( ξ, η) ( ξ, η) n m = = 0 j= 0 ( ξ, η) ( ξ, η) W N M w, p j, q, j (2.18) Por fm, tem-se um sóldo em coordenadas homogêneas defndo por: n m l w w T ( ξ, η) = N, pn j, qnk, r( ξ, η, ζ) B (2.19), j, k = 0 j= 0 k= 0 w sendo B, j, k ( w, j, k x, j, k, w, j, k y, j, k, w, j, k z, j, k, w, j, k) =. O sóldo é relaconado com sua projetva de acordo com a expressão: S ( ξ, η, ζ) w S = W ( ξ, η, ζ) ( ξ, η, ζ) n m l = = 0 j= 0 k= 0 ( ξ, η, ζ) ( ξ, η, ζ) W N M L w, p j, q k, r, j, k (2.20) 2.4 ABORDAGEM ISOPARAMÉTRICA A geometra de um problema geometrcamente undmensonal (uma curva no plano ou no espaço) no espaço físco pode ser representada a partr das funções de base NURBS usando-se a segunte relação: n = = 0 p ( ξ) R ( ξ) sendo x ( ξ) o vetor de coordenadas x( ξ), y( ), z( ) x B (2.21) ξ ξ de um ponto qualquer do espaço físco correspondente à coordenada paramétrca ξ e B um vetor contendo as coordenadas dos pontos de controle. Da mesma forma, uma varável qualquer θ é aproxmada através das funções de base NURBS de acordo com a segunte equação: n = θ (2.22) = 0 p ( ) R ( ξ) θ ξ Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

40 37 O vetor θ contém os valores da varável defndos sobre os pontos de controle. Ao adotarem-se as mesmas funções de base p R tanto para a geometra como para as varáves, obtém-se uma abordagem soparamétrca para o problema analsado. As equações (2.21) e (2.22) podem ser estenddas dretamente para superfíces substtundo a função undmensonal pelo produto tensoral entre funções e pontos de controle por uma rede de pontos adequada: e, para um sóldo NURBS, tem-se: n m = = 0 j= 0 p, q ( ξ, η) R ( ξ, η) x B (2.23), j, j n m =, j θ, j (2.24) = 0 j= 0 p, q (, ) R ( ξ, η) θ ξ η n m l = = 0 j= 0 k= 0 p ( ), q,,, q ξ η ζ R ( ξ, η, ζ) x B (2.25), j,k, j, k n m l =, j, k θ, j, k (2.26) = 0 j= 0 k= 0 p ( ), q,,, r R ( ξ, η, ζ) θ ξ η ζ 2.5 MÚLTIPLOS MACRO-ELEMENTOS Na grande maora das stuações prátcas, é necessáro para descrever um domíno o uso de város macro-elementos NURBS, vsto que o produto tensoral do espaço paramétrco não é adequado para a representação de domínos complexos multplamente conectados. Além dsso, mesmo em smples domínos, do ponto de vsta das smulações numércas, o uso de múltplos macro-elementos pode resultar em melhores malhas, conforme veremos mas tarde no capítulo de exemplos. De acordo com Cottrell et al. (2009), o uso de múltplos macro-elementos pode anda facltar análses numércas quando dferentes materas e modelos físcos são usados em dferentes partes do domíno ou, quando por exemplo, dferentes subdomínos estão sendo resolvdos em paralelo, quando torna-se convenente do ponto de vsta de estrutura de dados não ter um únco macro-elemento entre dferentes processadores. A utlzação de múltplos macro-elementos mplca em compatblzar a dscretzação na nterface dos macro-elementos, ou seja, o mapeamento e a parametrzação devem ser dêntcos nesses locas. Cada ponto de controle em uma face de macro-elementos adjacentes Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

41 38 deve possur um correspondente na outra face, assm como as varáves do problema para as smulações numércas. Esses pontos de controle guas serão tratados com um únco ponto de controle no sstema global resultante da análse numérca. Na Fgura 10 são apresentadas as funções base na nterface de dos macro-elementos. Pode-se notar que na nterface de dos macro-elementos a contnudade das funções será C 0. Fgura 10: Funções base na nterface de macro-elementos (Fonte: COTTRELL et al., 2009) 2.5 QUADRATURA GAUSSIANA A ntegração numérca nos subdomínos é realzada através da quadratura Gaussana. Para sso, conforme observa-se na Fgura 11, realzam-se dos mapeamentos. Prmeramente e mapea-se o elemento do espaço físco ( Ω ) para o espaço paramétrco ( Ω ˆ e ) através de um mapeamento geométrco e então através de um segundo mapeamento afm o elemento é e levado para o espaço da quadratura ( Ω ɶ ). Consderando ( x, y, z) x como o vetor de coordenadas no espaço físco, ( ξ, η, ζ) ξ o vetor de coordenadas no espaço paramétrco onde estão defndas as funções de base e ( ξ, η, ζ ) ξ ɶ ɶ ɶ ɶ o vetor de coordenadas no espaço paramétrco de quadratura, a matrz jacobana do mapeamento do espaço físco para o espaço quadratura fca defndo através da segunte relação: dx dx dξ = dξ ɶ dξ dξ ɶ (2.27) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

42 39 O termo dx dξ é calculado através da equação (2.21). Para o segundo termo da dreta, consderando o elemento ˆ e [ ξ, ξ ] [ η, η ] [ ζ, ζ ] Ω =, calcula-se,, ˆ e ξ η ζ Ω a partr de ɶ e ξ, ɶ η, ɶ ζ Ωɶ através das seguntes relações: ξ = ξ + ξ + η = η + η+ ζ = ζ + ζ + ( ɶ ) ( ξ ) + 1 ξ 1 2 ( ) ( η ) + 1 η ɶ 1 2 ( ɶ ) ( ζ ) + 1 ζ 1 2 (2.28) Fgura 11: Mapeamentos do espaço físco para o espaço de quadratura (Fonte: COTTRELL et al., 2009). Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

43 40 3 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA DOS FLUIDOS A análse do escoamento de um fludo newtonano requer a solução das equações que governam a dnâmca dos fludos, ou seja, as equações de Naver-Stokes, expressas a partr do balanço de momento lnear sobre um volume dferencal e da le da vscosdade de Newton generalzada usando-se a hpótese de Stokes. Deve-se levar em conta anda a equação de conservação de massa e, nos casos em que ocorram varações sgnfcatvas no campo de temperatura, a equação de conservação de energa, a qual deve ser utlzada também no caso de escoamentos compressíves juntamente com relações termodnâmcas (ver, por exemplo, Whte, 1991). Essas equações dão orgem a um sstema de equações dferencas parcas acopladas e não lneares que tornam possível avalar o comportamento de um fludo no espaço e no tempo. No caso de escoamentos ncompressíves, quando a equação de conservação de massa reduz-se à condção de dvergente nulo sobre o campo de velocdades, deve-se utlzar uma metodologa que permta o acoplamento entre a pressão e a velocdade, sendo nesse estudo utlzado a hpótese da pseudo-compressbldade proposta por Chorn (1967). As equações que descrevem o escoamento de fludos podem representar em teora todas as escalas da turbulênca. Entretanto, a chamada smulação DNS dos escoamentos leva a necessdade de uma dscretzação do domíno em elementos de tamanho nferores às menores escalas do escoamento (escala de Kolmogorov). Para alguns escoamentos naturas exstentes, as menores escalas são tão pequenas que ultrapassam a capacdade dos computadores mas potentes atuas (BLOCKEN, 2014). Para sanar tal nconvenente, são utlzados os chamados modelos de turbulênca, sendo utlzada nesse trabalho a metodologa LES, pos é capaz de ldar corretamente com fenômenos complexos que surgem em escoamentos altamente transentes. 3.1 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS As equações de Naver-Stokes são dervadas da Segunda Le de Newton, onde se tem que a soma das forças externas que atuam sobre um elemento nfntesmal de fludo é gual à varação temporal da quantdade de movmento do mesmo. Consderando um sstema de coordenadas cartesano ortogonal e uma descrção cnemátca Eulerana, obtém-se a forma conservatva das equações de Naver-Stokes: Equaton Chapter 3 Secton 1 Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

44 41 ( ρv) ( ρv v ) P τ + = + = t x x x j j X δj j j j (, j, k 1,2,3) (3.1) Nessa equação têm-se como varáves prmáras as componentes do vetor velocdade do fludo v e a pressão termodnâmca P, ambas descrtas em função da sua posção com relação às coordenadas cartesanas x e em função do tempo t, sendo ρ a massa específca do fludo. As componentes X representam as forças de volume atuantes e τ j são as componentes do tensor de tensões vscosas. O símbolo δ j é conhecdo como delta de Kroenecker, sendo δ j= 1 para δ = para = j e 0 j j. As componentes do tensor de tensões vscosas para um fludo newtonano são representadas pela segunte equação consttutva: v τ µ v v (, j, k 1,2,3) j k j = + + λ δj = x j x xk (3.2) sendo µ o coefcente de vscosdade dnâmca e λ o coefcente de vscosdade volumétrca que corresponde a 2µ 3, de acordo com a Hpótese de Stokes. Substtundo a relação apresentada em (3.2) na equação (3.1), chega-se a expressão: ( ρ ) ( ρv v ) v P v v v t x x x x x x j j k + = X δ j+ µ + + λ δj j j j j k (, j, k= 1,2,3 ) (3.3) A equação de conservação de massa, por sua vez, realza um balanço em um volume nfntesmal entre as parcelas de massa entrando e sando por undade de tempo e a mudança em densdade, sendo expressa por: ( ρv ) ρ + = 0,, = 1, 2,3 t x ( j k ) (3.4) A equação da conservação de energa é dervada da prmera Le da Termodnâmca e realza um balanço entre a energa nterna no sstema e a energa trocada através de suas fronteras com o exteror na forma de calor e trabalho. Para escoamentos de fludos newtonanos, a equação de conservação de energa pode ser expressa por: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

45 42 ( ρe) ( ρev j) v j T + + p = K, + µφ+, = 1,2,3 j Q j t x j x j x xj ( ) (3.5) onde T é a temperatura, e é a energa total específca, K, j representa as componentes do tensor de condutbldade térmca e Q é o termo fonte de calor. A parcela µφ é conhecda como termo de dsspação vscosa, o qual é representado pela segunte equação: 2 2 v v v 2 v v v µφ 2µ µ = x1 x2 x3 3 x1 x2 x v2 v 1 v3 v 2 v1 v3 µ x1 x2 x2 x3 x3 x 1 (3.6) Nesse estudo trabalha-se apenas com escoamentos sotérmcos, fazendo com que não seja mas necessáro o uso da equação de conservação de energa. Para a resolução das equações que descrevem o comportamento do fludo devem ser anda fornecdas as condções ncas e as condções de contorno essencas e naturas das varáves do problema. As condções ncas de velocdade ( v 0) e pressão ( 0) de análse Ω são representadas por: P em t= t0 sobre o domíno [ 1, 2, 3] = 0 ( = 1, 2,3) [,, ] = v x x x v P x x x P (3.7) relações: As condções de contorno essencas ou de Drchlet são dadas pelas seguntes v = v em Γ * v P * = P em Γ p (3.8) sendo * v e * p os valores prescrtos nos contornos Γ v e Γ p do domíno de análse Ω, respectvamente. equação: As condções de contorno Naturas ou de Neumann são obtdas através da segunte Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

46 43 * v v j v k t = Pδ j + µ + + λ δj n j em Γ σ, j, k = 1,2,3 x j x xk ( ) (3.9) onde t * são as componentes do vetor de tração prescrtas na dreção x agndo sobre a regão Γ σ do contorno e n j são as componentes do vetor de co-senos dretores da normal a um ponto qualquer do contorno Γ σ segundo a dreção x j dos exos coordenados. 3.2 HÍPOTESE DA PSEUDO-COMPRESSIBILIDADE O problema da redução da equação da conservação de massa para um escoamento de fludo ncompressível a uma smples equação do dvergente do campo de velocdades pode ser resolvdo através da hpótese da pseudo-compressbldade elaborada por Chorn (1967). Esta hpótese basea-se no fato de que, para um fludo em meo natural, a velocdade do som ( c ) se propaga a um valor fnto, conforme a segunte equação: c 2 P = (3.10) ρ Dessa forma, é possível obter-se um termo explícto para a pressão na equação de conservação de massa: v P + 2 j ρc = t x j 0 (j=1,2,3) (3.11) 3.3 SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS (LES) A metodologa LES é empregada na smulação de escoamentos turbulentos, stuando-se em uma posção ntermedára entre a smulação DNS e a smulação utlzando as equações RANS. A formulação basea-se no fato de que para altos números de Reynolds o escoamento turbulento pode ser consderado como uma composção de vórtces, no qual os grandes vórtces nteragem com o escoamento prncpal extrando energa do mesmo e transferndo-a para os vórtces de escala nferor. Os vórtces de escalas nferores transferem energa para vórtces anda menores e assm sucessvamente até que em uma dada escala as forças vscosas tornam-se predomnantes e a energa é dsspada. Esse comportamento é Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

47 44 conhecdo como cascata de energa, cuja descrção detalhada pode ser encontrada, por exemplo, em Hnze (1975) e Leseur (2008). As grandes escalas de turbulênca são responsáves pela maor parte do transporte de energa e de quantdade de movmento, sendo resolvdas dretamente pelas equações fundamentas fltradas. As escalas nferores à resolução da malha são representadas através de modelos de turbulênca sub-malha, que tem por fnaldade representar os efetos do processo físco de transferênca de energa entre as menores escalas sobre as grandes escalas. A dferencação entre grandes escalas e as pequenas é realzada através de um processo de fltragem espacal aplcada sobre as varáves de campo do problema da segunte manera: ( ) v = v + v ', j, k = 1, 2,3 P= P+ P ' (3.12) na qual o símbolo barra ndca uma varável de grandes escalas e o símbolo apóstrofe de pequenas escalas. A parcela das grandes escalas pode ser obtda através da convolução da varável a ser fltrada com uma função fltro (LEONARD, 1974). Consderando uma varável f e uma função fltro G( x ) têm-se: ( ) ( ) f ( x ) = G x x ' f ( x ') dx ' = 1, 2,3 (3.13) De acordo com Fndkaks e Street (1982), a função fltro tpo box é a que apresenta melhores resultados, sendo defnda como: n dm 1 Π para x x ' < = 1 2 G( x x ') = 0 para x x ' > 2 (3.14) com sendo a dmensão do fltro na dreção coordenada x e ndm o número de dmensões do problema. No contexto do Método dos Elementos Fntos e da Análse Isogeométrca, o fltro é consttuído pelo tamanho do elemento, sendo a dmensão característca dada por: = ( x y z) 1 3 (3.15) em que x, y e z ndcam as dmensões do elemento segundo as dreções coordenadas x. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

48 45 O fltro unforme empregado conduz a uma operação de méda espacal das varáves envolvdas. Consderando f e g duas varáves genércas, as prncpas propredades para a operação de fltragem dessas varáves consstem em: f = f g = g f ' = 0 g ' = 0 f f g g g+ f = f + g = = s s s s gf gf gf ' gf ' gf ' 0 (3.16) Aplcando a decomposção das varáves de acordo com (3.12) e as propredades apresentadas em (3.16) nas equações (3.3) e (3.11), chega-se às seguntes equações: ( ) ( v v ) v j 1 P v v j v k X + + δj ν + + λ δj = t x j ρ x j x j x j x x k ρ (, j, k = 1, 2,3 ) v P + 2 j ρc = t x j 0 (j=1,2,3) (3.17) (3.18) com ν sendo a vscosdade cnemátca do fludo. Os termos sub-malha, que consstem em termos resultantes do produto entre varáves de pequenas escalas, são desprezados na equação de conservação de massa. A parcela advectva da equação (3.17) pode ser reescrta como: ( ' ' ' ') v v = v v + v v + v v + v v (3.19) j j j j j Consderando a aproxmação de Leonard (1974) para o termo vv j e a aproxmação de Clark et al. (1979) para os termos cruzados, chega-se à segunte expressão para o termo advectvo: em que: ( ' ') v v = v v + L + C + v v (3.20) j j j j j L j + C = j 2 k v v 2γ x x k j k (3.21) Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

49 46 para a função fltro tpo box, toma-se γ = 6. Em Petry e Awruch (1997) demonstra-se que os termos de Leonard e os termos cruzados aumentam o tempo de processamento e exercem pouca nfluênca sobre o resultado, podendo-se então reduzr a equação (3.20) a: ( ' ') v v = v v + v v (3.22) j j j Com sso, o termo v' v ' é ntroduzdo na equação (3.17), com o tensor de tensões sub-malha sendo representado por τ SGS = ρv ' v '. j j j O tensorτ deve ser modelado com um modelo de fechamento. Os modelos de SGS j fechamento mas utlzados baseam-se na hpótese de Boussnesq (ver SCHLICHTING, 1979). A hpótese é uma analoga com a le da vscosdade de Newton defnda para escoamentos lamnares, sendo no contexto da smulação LES defnda por: em que SGS τ = 2µ S (3.23) j t j µ t é a vscosdade dnâmca turbulenta do escoamento e S j é o tensor taxa de deformação expresso em termos das velocdades de grandes escalas da segunte forma: S j 1 v v j = + 2 xj x (3.24) Portanto, os modelos sub-malha têm como objetvo a determnação de µ t. Nesse trabalho será utlzado o modelo clássco de Smagornsky (1963), no qual a vscosdade turbulenta é obtda de acordo com a segunte expressão: com S dado por: t ( C ) 2 s µ = ρ S (3.25) S ( 2S ) 1 2 j S j = (3.26) e C s correspondendo à constante de Smagornsky, que usualmente assume valores entre 0,1 e 0,25. A forma fnal para as equações fundamentas do escoamento fca defnda então por: Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

50 47 ( ) ( v v ) v j 1 P v v j v k X + + δj ( ν + ν t) + + λ δj = t x j ρ x j x j x j x x k ρ (, j, k = 1, 2,3 ) v P + 2 j ρc = t x j 0 (j=1,2,3) (3.27) (3.28) Um fato mportante a ser entenddo é que a vscosdade turbulenta não é uma característca do fludo, mas sm do escoamento. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

51 48 4 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO A smulação numérca de escoamentos de fludos consste em resolver de forma aproxmada as equações que governam a dnâmca dos fludos através de procedmentos de dscretzação temporal e espacal dessas equações. No contexto do MEF, prncípos varaconas devem ser consderados adequadamente a fm de produzr uma formulação numérca estável, além de garantr que as aproxmações conduzam a resultados esperados. Nesse trabalho, a dscretzação temporal é realzada através do método de Taylor- Galerkn de dos passos, que consste na utlzação de séres de Taylor para a aproxmação no tempo das varáves das equações fundamentas do escoamento, seguda da aplcação do método de convenconal de Galerkn. Esta formulação tem demonstrado ser muto efcente na establzação dos termos advectvos e tem sdo utlzada em város trabalhos do PPGEC/UFRGS, como em Texera (2001), Braun (2007) e Madalozzo (2012), mostrando-se muto aproprada prncpalmente nos aspectos referentes ao processamento, establdade e qualdade de resultados. Para a dscretzação espacal utlza-se uma abordagem baseada na aplcação do método de Bubnov-Galerkn no contexto da Análse Isogeométrca, a qual pode ser vsta como uma formulação em elementos fntos generalzada, propcando o uso de funções de base em número e grau qualquer. A representação da geometra e aproxmações para as varáves do escoamento são obtdas a partr de funções de base do tpo NURBS juntamente com o conceto de pontos de controle. Equaton Chapter 4 Secton DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL: MÉTODO EXPLÍCITO DE TAYLOR- GALERKIN DE DOIS PASSOS A dscretzação temporal explícta de Taylor-Galerkn de dos passos é realzada através de uma expansão em sére de Taylor aplcada sobre as varáves de campo (pressão e velocdade). Consderando uma varável genérca φ ( x, t), a expansão é realzada até os termos de segunda ordem, sendo defnda por: n 2 2 n n n 1 n t n n t t φ φ φ φ φ t φ φ + = + + = t 2! t t 2 t (4.1) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

52 49 na qual n equvale ao nstante de tempo t em um ntervalo de tempo [t, t + t]. Essa equação é resolvda em dos passos, sendo que no prmero passo calculam-se as varáves de campo no nstante de tempo t+ t 2, que corresponde aos termos dentro dos parênteses da equação (4.1), ou seja: n n+ 1 2 n t φ φ = φ + 2 t (4.2) No segundo passo, as varáves são calculadas no tempo t obtdos no passo t+ t 2 de acordo com: + t usando os valores φ = φ + t n+ 1 n n+ 1 2 φ t (4.3) Equação de conservação da quantdade de movmento. Para a dscretzação temporal de acordo com a equação (4.1) deve-se ncalmente obter as dervadas prmera e segunda da varável a ser dscretzada. Para a equação de conservação da quantdade de movmento apresentada em (3.3) dscretza-se temporalmente o vetor velocdade, com a prmera dervada obtda dretamente solando-se esse termo, como mostrado abaxo: n v 1 v 1 P v v j λ v k X v j δj ( ν ν t) δj t = ρ x j ρ x j x j x j x ρ x k n (4.4) Dervando-se a equação (4.4) em relação a t chega-se a segunda dervada temporal: v X v v P δj t t t x x t x t 2 n 1 v j 1 = v 2 + j ρ j j ρ j v v j λ v k ( ν + ν t) + + δj x j x j t x t ρ xk t n (4.5) De acordo com Braun (2002), o termo ( v j t)( v x j) pode ser desprezado da equação sem levar a perda de precsão das soluções. Consdera-se uma lnearzação das dervadas temporas para a expressão (4.5), que para uma varável genérca φ consste em: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

53 50 φ φ φ φ = = t t t n n+ 1 n n+ 1 (4.6) e substtundo as relações (4.5) e (4.4) em (4.1) chega-se a segunte expressão: v n+ v P v j λ v k v = t X v j δj + ( ν + ν t) + + δj ρ x j ρ x j x j x j x ρ x k t 1 v 1 P v v j λ v k X v j δj + ( ν + ν t) + + δj 2 ρ x j ρ x j x j x j x ρ x k n n+ 1 (4.7) velocdade: Trabalhando com a equação (4.7) chega-se a relação exposta em (4.3) para a v n+ v P v j λ v k v = t X v j δj + ( ν + ν t) + + δj ρ x j ρ x j x j x j x ρ x k 1 n+ 2 (4.8) ou seja, v v t n+ 1 n = + v t n+ 1 2 (4.9) n 1 Dessa forma, o processo de determnação de v + consste em prmeramente calcular-se a varável v no tempo n Para sso, utlza-se uma expansão em sére de Taylor em n+ 1 2 que para uma varável genérca φ( x, t) é descrta por: φ ( t 2) 2 1 n 2 n n+ 2 n t φ φ = φ t 2! t (4.10) A dervada prmera da velocdade é smplesmente a equação (4.4) e a dervada segunda é obtda substtundo-se (4.4) em (4.5). Elmnando-se todos os termos de velocdade com dervadas guas ou superores a tercera ordem, os termos com dervadas temporas de forças de volume e, por fm, os termos de pressão com dervadas guas ou superores a segunda ordem, chega-se fnalmente a: 2 n 2 v 1 X v 1 P = 2 v j + v jvk j t ρ x j x jxk ρ t x δ j n (4.11) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

54 51 Substtundo as equações (4.4) e (4.11) em (4.10) e omtndo-se da equação (4.11) o termo de pressão, chega-se a expressão para a velocdade em n+ 1 2 : 1 n+ 1 2 n t v v j λ v k v = v + X + ( ν + ν t) + + δj 2 ρ x j x j x ρ x k 2 v t 1 X 1 P t v v j + δj+ v jv k 2 x j 4 ρ x j ρ x j 4 x x j n (4.12) O campo de velocdades deve ser corrgdo pelo termo de pressão omtdo da equação (4.11) através da segunte relação: v n+ 2 n+ n+ 2 1 t P 2 2 = v δj ρ 8 x j (4.13) sendo que a dedução do termo 1 n 2 P + é apresentada mas adante. Por fm, a solução obtda em (4.13) é substtuída em (4.8) para a obtenção da velocdade em n Equação de Conservação de Massa Na equação de conservação de massa o termo expanddo pela sére de Taylor é a pressão. A dervada prmera é obtda dretamente pela equação (3.11) solando-se o termo de pressão: n P P v 2 j = v j + ρc t x j x j n (4.14) A segunda dervada é obtda dervando-se em relação a t a expressão (4.14): 2 P P v 2 j = v 2 j + ρc t x j t x j t n (4.15) Substtundo as expressões (4.14) e (4.15) em (4.1) e consderando a lnearzação das dervadas temporas de acordo com (4.6), chega-se à equação: v 1 2 j v n+ P t P 2 j P = t v j + ρc v j + ρc x j x j 2 x j x j n n+ 1 (4.16) que pode ser reescrta da segunte manera: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

55 52 1 n+ v 2 n+ 1 P 2 j j ρ x j x j P = t v + c (4.17) Dessa forma o problema de se determnar n 1 P + consste em determnar-se ncalmente a pressão em n A prmera dervada é obtda dretamente de (4.14) e a segunda dervada é obtda substtundo (4.14) em (4.15), consderando-se apenas o termo que contém a dervada segunda da pressão, ou seja: 2 2 P P v 2 = jvk t x j xk n (4.18) Substtundo-se (4.14) e (4.18) em (4.10), consderando a pressão como varável, chega-se a 1 n 2 P + : 1 2 n 2 n t P v 2 j t P P + P = v j + ρc v jv k 2 x j x j 4 x j xk (4.19) tempo n+ 1. Por fm, substtu-se a expressão (4.19) em (4.17) para a obtenção da pressão no 4.2 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL: MÉTODO DE BUBNOV-GALERKIN APLICADO A ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Na Análse Isogeométrca as varáves das equações dferencas e a geometra do problema são aproxmadas por funções de base NURBS através da dscretzação do problema em subdomínos. Como a função aproxmadora não é, em geral, a solução exata da equação dferencal, tem-se um resíduo que deve ser mnmzado. O método dos resíduos pondera os resíduos resultantes das funções aproxmadoras através de uma função peso, sendo o produto entre a função resdual e a função peso suposto gual a zero no domíno de ntegração de cada elemento, determnando a condção de ortogonaldade. Suponha-se a segunte equação dferencal: L( v) f = 0 em Ω (4.20) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

56 53 onde L ( ) é um operador dferencal, v é o vetor que representa a solução exata do problema, f é um vetor de constantes e Ω representa o domíno de análse. Emprega-se uma função aproxmadora ( vɶ ) para v dada pela segunte expressão: n = = 0 vɶ N vɶ (4.21) onde N representa as funções NURBS e vɶ são as varáves de controle localzadas nos pontos de controle do elemento. Dessa forma, a equação (4.20) transforma-se em: L( vɶ ) f = R em Ω (4.22) onde R é o resíduo resultante da aproxmação. A ortogonalzação do resíduo é realzada em relação a uma função peso ( W ) em todo o domíno da análse, chegando-se a: ( L ) ( ɶ ) d Ω = dω = 0 (4.23) T T W v f e W R Ωe Ωe Nesse trabalho utlza-se o método de Bubnov-Galerkn, no qual a função peso W é gual a aproxmação da varação da varável ndependente aproxmada da equação analsada, ou seja, W= Nδ vɶ. A função aproxmadora deve ser contínua até a ordem de dervação mas elevada que exsta na equação dferencal, no entanto, essa restrção pode ser dmnuída utlzando-se a formulação fraca do problema, que consste em realzar uma ntegral por partes nos termos que contenham dervadas de mas alta ordem Equação de Conservação da Quantdade de Movmento e Equação de Conservação de Massa As varáves que necesstam ser aproxmadas para a solução do sstema de equações fundamentas são a velocdade e a pressão, que são expressas vetoralmente por: e v = Nv (4.24) P=NP (4.25) sendo v e P o vetor das varáves de controle localzadas nos pontos de controle do elemento e N é uma matrz lnha que contém as funções de base NURBS. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

57 54 Para reduzr a exgênca de contnudade das funções de base realzou-se uma ntegração por partes nos termos que apresentam dervadas de segunda ordem nas equações (4.12) e (4.19) através do teorema de Gauss-Green. O termo de pressão na equação de quantdade de movmento também fo submetdo ao procedmento de ntegração por partes. Assm, substtundo-se as expressões (4.24) e (4.25) nessas equações e aplcando então o método de Bubnov-Galerkn, chega-se as equações de conservação da quantdade e momento e massa para obtenção de velocdade e pressão no tempo n+ 1 2 : n 1 2 n t 1 ˆ 1 2 p Mv + = Mv + ( ) + jδ j j j+ + 2 X AD + BD v G P D v tɶ bdv ɶ ρ ρ (4.26) MP n n+ 1 2 n t = MP + 2 T ( + ) + ρc j j 2 AD BD P G v bdp ɶ (4.27) Realzando-se o mesmo procedmento de substtução das funções aproxmadoras e a aplcação método de Bubnov-Galerkn à equação (4.13) obtém-se a correção da velocdade para o passo n+ 1 2 : 1 t N Mv = Mv N d ( ) x δ Ω P P (4.28) n+ 1 2 n+ 1 2 T n+ 1 2 n j ρ 4 Ωe j Por fm, conhecdas as varáves no tempo n+ 1 2 e substtundo-se as aproxmações (4.24) e (4.25) em (4.8) e (4.17) obtêm-se as varáves de velocdade e pressão no tempo n+ 1: n n+ 1 n p Mv = Mv + t X ADv + G jδjp Dj v j+ tɶ ρ ρ n+ 1 2 (4.29) n+ 1 2 MP n+ 1 n 2 T = MP + t ( AD ) P ρc G v j j (4.30) As matrzes e vetores apresentados nas equações desse tem são defndos da segunte forma: T M= NN dω (4.31) Ω e Ν AD Nv N (4.32) n T = j dω x Ω e j Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

58 55 Ν Ν G N G N (4.33) T T T j = dω j = dω x e j x Ω Ω e j T t n n Ν Ν BD= ( j)( k) dω 4 Nv Nv (4.34) x x Ω e ( )( ) T n n n j k j 4 x Γ e k j t Ν bdv ɶ = N Nv Nv v n dγ (4.35) t Ν bdp ɶ N Nv Nv P (4.36) ( )( ) T n n n = j k n jdγ 4 x Γ e k n ( ) T d Ω e k X = N NX Ω (4.37) ˆ t n T Ν n X = X j dω 4 Nv N X (4.38) x Ω e T N n N n λ N n 1 n tɶ = N ( ν + ν t) v + v j + vk δj NP n jdγ (4.39) x e j x ρ xk ρ Γ j D 2 p j se =j (k=valores restantes) T T λ N N N N 2( ν ν t) d ( ν ν t) ρ x e x j x e k x Ω Ω k + + Ω+ + dω = se j T T N N λ N N ( ν ν t) d x e x j ρ x e k x Ω Ω k + Ω+ dω (4.40) Todas as matrzes apresentadas de (4.31) a (4.40) são ntegradas numercamente em cada subdomíno através do método de Gauss-Legendre com mapeamento realzado de acordo com o apresentado no tem 2.5. massa dscreta Para utlzação de um sstema explícto desacoplado emprega-se uma matrz de M D no lugar da matrz consstente M. A fm de auxlar o processo de establzação do campo de pressão, emprega-se neste trabalho o conceto de parâmetro seletvo de massa proposto por Kawahara e Hrano (1983). Assm, no termo de massa à dreta da gualdade na equação de conservação de massa, equação (4.30), adota-se: Mɶ = em + (1 e) M (4.41) D Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

59 56 onde e é o parâmetro de dagonalzação seletva, o qual tem por fnaldade controlar o amortecmento numérco, assumndo valores entre 0 e 1. Nesse trabalho fo utlzado o valor de 0,9 para esse parâmetro. 4.3 MATRIZES DE CONECTIVIDADE Assm como no MEF, na Análse Isogeométrca adota-se uma convenção para a numeração das funções em nível global e uma numeração em nível local (nível de elemento). Durante o processo de ntegração das matrzes da formulação em nível de elemento são utlzadas numerações locas. A proposta das matrzes de conectvdade é relaconar de forma smples o esquema local com o global, possbltando o armazenamento dos dados obtdos em cada elemento em um sstema global, onde fnalmente são aplcadas as condções ncas e de contorno do problema e então o conjunto de equações é resolvdo de forma desacoplada. No contexto na Análse Isogeométrca exstem duas matrzes que possbltam essa lgação entre o sstema local e o global: as matrzes INC e IEN. Para smplfcar o processo de entendmento dessas matrzes, adota-se um exemplo bdmensonal, com p = 2 e q = 2 e vetores de nós Ξ= [ 0,0,0,1,1,1 ] e [ 0,0,0,1,1,1 ] Ζ=, resultando nos espaços apresentados na Fgura 12 com apenas um elemento não nulo e 9 funções de forma. a) b) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

60 57 c) Fgura 12: Defnções do problema: a) espaço ndcal; b) espaço físco malha de elementos; c) espaço físco malha de pontos de controle. Antes da apresentação da matrz INC é necessáro que sejam defndas as seguntes característcas referentes às malhas NURBS: numeração global das funções e coordenadas NURBS. A numeração global ( A ) de uma função bdmensonal tensoral entre N( ξ ) e N j( ) η é defnda da segunte forma: N A formada pelo produto A= ( n+ 1) j+ + 1 ( = 0,1,..., n; j= 0,1,..., m) (4.42) sendo n + 1 a quantdade de funções na dreção ξ e m + 1 a quantdade de funções na dreção η. As coordenadas NURBS podem ser entenddas como os índces que defnem os vértces do espaço paramétrco. A matrz INC relacona o número global das funções com as coordenadas NURBS onde o suporte dessa função nca. Dessa forma, para a função j são defndas através da matrz INC da segunte manera: N A as coordenadas NURBS e = INC( A,1) j= INC( A,2) (4.43) A matrz de conectvdade INC do exemplo em questão é representada na Tabela 1. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

61 58 Tabela 1: Matrz INC. A(número global das funções de forma) INC (ξ ) (η ) Para melhor compreensão da matrz IEN defne-se prmeramente os concetos de elemento, de numeração local e global dentro do mesmo. A numeração de um elemento e, no espaço bdmensonal, é realzada através da segunte relação: e= ( j q)( n+ 1 p) + ( + 1 p) ( p n; q j m) (4.44) onde j e são as coordenadas NURBS do vértce esquerdo nferor do elemento e p e q são os graus das funções nas dreções ξ e η, respectvamente. Assm, a posção de um elemento pode ser defnda por Ω e = [ξ, ξ +1 ] x [η, η +1 ]. Do conhecmento das propredades das funções B-Splnes, sabe-se exatamente quas funções de forma tem suporte no elemento e, sto é, qualquer função no formato N α ( ) N ( ) ξ ξ, de tal modo que p α e j q α j. Então, o número total de β funções de forma em um elemento é defndo como ( p 1)( q 1) + +. Consderando como função local de número 1 no elemento a função de forma com coordenadas NURBS e j correspondentes ao vértce nferor esquerdo do elemento, as demas funções de forma locas são numeradas da dreta para esquerda no sentndo de ξ e de cma para baxo no sentndo de η. A função local 1 possu uma numeração global equvalente a A defnda de acordo com a equação (4.42). Dessa forma, para a obtenção da numeração global respectva aos demas valores locas faz-se o mesmo camnho para trás. A numeração global das prmeras p+1 funções na dreção de ξ são A, A-1,...A-p. Movendo-se uma lnha na dreção de η a numeração contnua com A-n, A-n-1, A-n-p. Novamente movendo-se para a próxma lnha a numeração segue A-2n, A-2n-1, A-2n-p e assm até a últma função de forma do elemento. A matrz IEN conecta as funções de forma globas com a respectva numeração local no elemento. Consderando o elemento de numeração e e a função de forma local de numeração b, sua função global B é dada por: Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

62 59 B= IEN ( b, e) (4.45) A matrz de conectvdade IEN para o exemplo em questão é representada na. Tabela 2. Tabela 2: Matrz IEN. b (funções de forma local) IEN e= CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE O uso de esquemas explíctos mplca a restrção do tamanho de ncremento de tempo a uma condção de establdade. Nesse trabalho se utlza a condção de Courant, descrta pela segunte equação em nível de elemento: ( ) ( ) =α x e t e c+ V e (4.46) onde ( ) ( α 1 ),( ) é o ncremento de tempo no elemento e, α é um coefcente de segurança t e é a dmensão característca do elemento, x e elemento e c é a velocdade do som. Nesse trabalho adota-se como ( ) entre todos os elementos. Ve é a velocdade do escoamento no o menor valor obtdo t e 4.5 CONDIÇÃO DE CONVERGÊNCIA Nos escoamentos permanentes verfca-se a cada passo de tempo se o escoamento já chegou numercamente a esse estado através da avalação do resíduo de uma ou mas varáves do problema. Quando o resíduo se guala a uma tolerânca ncalmente determnada, dz-se que a análse convergu. Nesse trabalho utlza-se a norma eucldana para a avalação do resíduo nas varáves de velocdade e pressão, conforme expressa na segunte equação: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

63 60 npc n+ 1 n ( φ φ ) = 1 npc n ( φ ) = tolerânca (4.47) n sendo φ a varável no ponto de controle e no tempo n, n 1 φ + a varável no ponto de controle e no tempo n+ 1 e npc a quantdade total de pontos de controle do problema. A tolerânca para os problemas fo adotada geralmente como sendo Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

64 61 5 REPRESENTAÇÃO DE GEOMETRIAS A PARTIR DE FUNÇÕES NURBS Nesse capítulo serão apresentadas ferramentas comumente utlzadas para descrção de geometras, como os refnamentos por nserção de nós e por elevação de grau. Além dsso, tem-se como prncpal ntuto apresentar o processo de obtenção das geometras NURBS utlzadas neste trabalho.equaton Chapter (Next) Secton REFINAMENTO DE CURVAS, SUPERFÍCIES E SÓLIDOS NURBS POR INSERÇÃO DE NÓS O procedmento de refnamento de curvas, superfíces e sóldos NURBS por nserção de nós é uma ferramenta muto valosa para a Análse sogeométrca, pos propca um processo sstemátco de refnamento e possblta que as malhas sejam refnadas sem que a geometra ncalmente descrta seja modfcada. n = = 0 w Consderando a curva NURBS C ( ξ) N ( ξ), p B defnda sobre o vetor de nós Ξ= ξ0, ξ1,..., ξ n + p + 1, o processo de nserr uma coordenada ξ ξk, ξ k + 1) em Ξ gera um novo vetor de nós Ξ= ξ0 = ξ0,..., ξk = ξ k, ξk+ 1 = ξ, ξ k+ 2 = ξk+ 1,..., ξ n+ p+ 2 = ξ n+ p+ 1. Se V u e V u representam os espaços vetoras das curvas defndas em Ξ e Ξ, respectvamente, então claramente Vu w, e C ( ) Vu ξ tem uma representação em Ξ defnda da segunte forma: = w n+ 1 w w C ( ξ) N, p( ξ) Q (5.1) = 0 sendo N, p smplesmente as funções base B-splnes de grau p defndas no vetor Ξ. Dessa forma, o processo de nserção consste em determnar os novos pontos de controle através da solução do segunte sstema lnear: w Q n n+ 1 w w w ( ξ) = N, p( ξ) = N, p( ξ) = 0 = 0 C B Q (5.2) O procedmento de resolução da equação (5.2) pode ser vsto com mas detalhes em Pegl e Tller (1997) e resulta na segunte expressão: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

65 62 ( 1 α ) 1 Q = α B + B w w w 1 k p ξ ξ α = k - p+ 1 k ξ+ p ξ 0 k+ 1 (5.3) Nota-se que o processo de refnamento é defndo sobre a curva projetva, sendo ao fnal desse procedmento aplcado o mapeamento apresentado no tem 2.4 para obtenção dos valores relatvos à curva raconal NURBS. Para fns prátcos, o processo de refnamento consste na aplcação sucessva do procedmento descrto acma com a nserção consecutva de coordenadas no vetor de nós. Um algortmo mas efcente para realzar esse procedmento pode ser encontrado em Pegl e Tller (1997). Na Fgura 13 pode ser observada a mudança de funções base quadrátcas com a nserção da coordenada ξ = 1 2 no vetor de nós Ξ= [ 0,0,0,1 5,2 5,3 5,4 5,1,1,1]. Na Fgura 14 observa-se anda, a mudança que ocorre aos pontos de controle orgnas com essa nserção, e o fato que a geometra contnua nalterada. 1 N 0,2 =N' 0,2 N 6,2 =N' 7,2 N 1,2 =N' 1,2 N 5,2 =N' 6, Fgura 13: Funções base B-Splnes quadrátcas após nserção da coordenada ξ=0.5 Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

66 63 6 y B 6 =Q 7 B 5 =Q B 1 =Q 1 B 4 =Q B 2 =Q 2 Q 3 B 3 x Q 4 Fgura 14: Pontos de controle para de uma curva B-Splne quadrátca após nserção de coordenada paramétrca. n m = = 0 j= 0 w S ξ, η N N ξ, η B Consderando agora a superfíce defnda por ( ), p j, q( ), com vetores de nós Ξ e Η, o processo de refnamento do vetor de nós Ξ consste na aplcação do algortmo de refnamento nas m+ 1 colunas de pontos de controle, enquanto que o processo de refnamento em Η requer a aplcação do algortmo nas n+ 1 lnhas dos pontos de controle. Analogamente, o processo de refnamento pode ser aplcado a sóldos. w j a) b) Fgura 15: Processo de refnamento por nserção de nós. a) Rede de pontos de controle que descrevem uma superfíce; b) Rede de pontos de controle após a nserção de nó em uma das dreções paramétrcas (Fonte: PIEGL and TILLER et al., 1997). Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

67 64 Na Fgura 15 acma é apresentada uma rede de pontos de controle que descrevem uma superfíce (cúbca x quadrátca) defnda pelos seguntes vetores de nós: Ξ= [ 0,0,0,0,1,1,1,1 ] e [ 0, 0,0,1 2,1,1,1] Η=. Nessa mesma fgura é apresentada a rede de pontos de controle após a nserção do nó ξ = 2 5 nas m+1 colunas de pontos de controle. O refnamento por nserção de nós é muto semelhante ao refnamento h clássco do MEF, onde se cram novos elementos através da dvsão de antgos. A metodologa dfere-se, entretanto, na quantdade de novas funções que são cradas, assm como na contnudade das funções base no contorno dos novos elementos (C p-1 ). Para uma total equvalênca com o refnamento h clássco, deve-se nserr cada novo nó p vezes, para que as funções tornem-se C 0 sobre os novos contornos. 5.2 REFINAMENTO DE CURVAS, SUPERFÍCIES E SÓLIDOS NURBS POR ELEVAÇÃO DE GRAU = n w p, p = 0 w Consderando a curva C ( ξ) N ( ξ) w nós Ξ, o processo de elevação de grau da curva ( ξ) novos pontos de controle w w Nota-se que C ( ξ) e ( ξ) p w Q e um novo vetor de nós ˆΞ, tal que: nˆ w w w p( ξ) = p+ 1 ( ξ) = N, p+ 1( ξ) = 0 B de grau p defnda sobre um vetor de C de p para p+ 1 consste em defnr p C C Q (5.4) C são a mesma curva, tanto geometrcamente como p+ 1 w w parametrcamente. Assm, C ( ξ) é apenas ( ξ) segunte forma: p+ 1 C em um espaço dmensonal mas alto. p Para determnação de ˆn e ˆΞ assume-se ncalmente que o vetor de nós Ξ tem a Ξ= ξ0,..., ξ n+ p+ 1 = a,..., a, ξ1,..., ξ1,..., ξs,..., ξs,b,..., b p+ 1 m1 ms p+ 1 (5.5) sendo m a multplcdade do nó nterno do vetor de nós. Em um nó com multplcdade w observa-se que a curva ( ξ) C tem contnudade p p m C w. Para que p+ 1( ξ) mesma contnudade, o vetor de nós ˆΞ fca representado da segunte manera: Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca m C mantenha a

68 65 Ξ= ξ0,..., ξ nˆ + p+ 1 = a,..., a, ξ1,..., ξ1,..., ξs,..., ξs,b,...,b p+ 2 m1+ 1 ms+ 1 p+ 2 (5.6) Dessa forma ˆn é dado pela segunte relação: nˆ = n+ s+ 1 (5.7) Por fm, para a determnação dos novos pontos de controle algortmo efcente apresentado em Pegl e Tller (1997) que consste em: w Q utlza-se um a) transformar a curva NURBS em segmentos de uma curva de Bézer através da nserção de nós. Uma curva B-splne pode ser entendda como a generalzação de uma curva de Bézer construída sobre um vetor de nós da forma: Ξ= 0,...,0,1,...,1 p+ 1 p+ 1 b) elevação de grau do segmento da curva de Bézer; c) Remoção dos nós desnecessáros entre os segmentos 1 e. O processo de elevação de grau de um segmento da curva de Bézer nesse algortmo é defndo pela metodologa apresentada em Forrest (1972), na qual para elevação de uma curva de grau p para p+ 1 tem-se a segunte formulação para obtenção dos novos pontos de controle: com α defndo como: ( 1 α) α 1 w w w = + Q B B (5.8) α = = 0,..., p+ 1 p+ 1 (5.9) Para elevação de grau de p para p+ t, sendo t a quantdade de vezes que a curva será elevada de grau, tem-se a segunte expressão: p t w mn( p, ) B j t j j B = = 0,..., p+ t (5.10) j= máx(0, t) p+ t onde os termos dentro dos parênteses defnem a segunte expressão: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

69 66 a! a = b!(a b)! b (5.11) sendo a e b dos nteros quasquer. Na Fgura 16 é apresentado o resultado da elevação de grau em uma função cúbca defnda orgnalmente pelo vetor de nós Ξ= [ 0,0,0,0,4 10,7 10,1,1,1,1 ]. Nota-se que a geometra não é modfcada após a aplcação desse processo, e que os pontos de controle se aproxmam da curva após esse procedmento. Fgura 16: Exemplo de elevação de grau. a) Curva cúbca orgnal defnda pelo vetor de nós; b) Curva após o grau da função ser elevado uma vez (Fonte: PIEGL e TILLER et al., 1997). Na Fgura 17 é apresentada uma rede de pontos de controle que descrevem uma superfíce (cúbca x quadrátca) defnda pelos seguntes vetores de nós: Ξ= [ 0,0,0,0,1,1,1,1 ] e Η= [ 0, 0,0,1 2,1,1,1]. Nessa mesma fgura é apresentada a rede de pontos de controle após uma elevação de grau por dreção. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

70 67 a) b) Fgura 17: Processo de elevação de grau em uma superfíce. a) Rede de pontos de controle que descreve a superfíce; b) Rede de pontos de controle após a elevação de grau. (Fonte: PIEGL and TILLER et al., 1997). Assm como no processo de nserção de nós, essa ferramenta é defnda sobre a curva projetva. Dessa forma, ao térmno do processo, os valores obtdos devem ser mapeados para a curva raconal. A elevação de grau é claramente muto semelhante ao refnamento p clássco em elementos fntos, no qual se eleva a ordem polnomal das funções base. A maor dferença entre as duas metodologas consste em que no refnamento p nca-se sempre o processo com funções que são C 0 em todos os lugares, enquanto que a elevação de ordem é compatível com qualquer contnudade exstente nas funções na malha não refnada. Além do refnamento por elevação de grau e por nserção de nós, exste anda, apenas no contexto da Análse Isogeométrca, o denomnado k-refnamento. Esse refnamento proporcona a elevação de grau concomtantemente com a elevação de contnudade entre elementos. Para mas nformações, a cerca desse tpo de refnamento, consultar Cottrell et al., CONSTRUÇÃO DAS MALHAS Escoamento sobre um clndro 2d 1 macro-elemento Para a smulação de um escoamento ncdndo sobre um clndro 2d construu-se uma superfíce retangular vazada centralmente por uma crcunferênca. A cração dessa superfíce pode ser realzada através de um únco macro-elemento bdmensonal. O procedmento de Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

71 68 construção consste na determnação dos vetores de nós para as dreções paramétrcas ξ e η e de uma rede bdreconal de pontos de controle e pesos adequados. A dreção paramétrca ξ corresponde no espaço físco à dreção angular da geometra, enquanto que a dreção paramétrca η corresponde à dreção radal. O procedmento de obtenção dessa superfíce utlzado nesse trabalho pode ser decomposto nos seguntes passos: a) obtenção de um vetor de nós na dreção paramétrca ξ e um conjunto de pontos de controle baseado na necessdade de representação da crcunferênca; b) anda na dreção paramétrca ξ obtêm-se os pontos de controle que descrevem a curva mas externa nessa dreção, ou seja, o retângulo; c) refnamento do espaço paramétrco na dreção ξ até que se obtenha a quantdade de pontos de controle desejado; d) determnação do vetor de nós na dreção paramétrca η de acordo com grau das funções base e quantdade de pontos de controle requerdos nessa dreção e geração dos demas pontos de controle que defnem a geometra, através da dscretzação radal da reta que lga os pontos de controle da crcunferênca com os do retângulo. O passo a consste na determnação de um espaço paramétrco e de pontos de controle necessáros à representação exata de uma crcunferênca. A crcunferênca é uma curva muto comum em problemas de DFC e exstem mutas maneras de construí-la a partr de curvas NURBS. Neste trabalho será empregada uma metodologa apresentada por Pegl e Tller (1997), onde uma crcunferênca completa é obtda através de funções quadrátcas e nove pontos de controle. forma: Um arco quadrátco pode ser obtdo através de funções base NURBS da segunte C ( ξ) N w B + N w B + N B 0, , ,2 2 = ξ < N w + N w + N w 0,2 0 1,2 1 2,2 2 0 < 1 (5.12) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

72 69 que pode ser expresso também por: ( ξ ) = 0,2 0+ 1,2 1+ 2,2 2 C R B R B R B (5.13) A equação (5.12) é uma cônca, sendo o tpo de cônca determnado através da avalação do denomnador dessa equação. É costumero admtr-se que w0 = w2 = 1, denomnada essa de parametrzação normal. Dessa forma, B 0 e B 2 concdem com os pontos ncal e fnal da curva. O tpo de curva fca então defndo a partr do valor de w 1 da segunte manera (mas detalhes em Pegl e Tller, 1997): 2 a) Se w < 1 - elpse; 1 b) Se 2 w = 1 - parábola; 1 2 c) Se w > 1 - hpérbole. 1 Um arco crcular de ângulo menor que 180º também pode ser representado pela equação (5.12), sendo um caso especal de elpse. Por smetra se sabe que B0B1B 2 (Fgura 18) devem formar um trângulo sósceles, logo B0B 1 = B1B 2 e w 1 é defndo de acordo com Pegl e Tller (1997) através da segunte relação: w1 = cosθ (5.14) Sendo θ = B1B 2M, e M o ponto médo entre a reta que lga os pontos de controle ncal e fnal da curva ( B0B 2), conforme pode ser observado também na Fgura 18. Fgura 18: Representação dos pontos de controle para um arco que varre 90º. Dessa forma, uma crcunferênca que varre 90 possu θ = 45 e pode ser representada com funções de forma NURBS de grau dos construídas sobre um vetor de nós Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

73 70 aberto Ξ= [ 0,0,0,1,1,1 ]. A representação de um círculo completo pode ser realzada unndo quatro arcos de 90 através de múltplos nós. O vetor de nós fca defndo então por Ξ= [ 0,0,0,1 4,1 4,1 2,1 2,3 4,3 4,1,1,1]. Os pontos de controle são defndos em função do rao da crcunferênca adotado. Na Fgura 19 observa-se a dstrbução da rede de pontos de controle e a curva resultante na geração de uma crcunferênca. Fgura 19: Pontos de controle que descrevem a crcunferênca. É mportante notar que nesse tpo de parametrzação, nos pontos de lgação entre as curvas, devdo à multplcdade maor que um da coordenada paramétrca, reduz-se a contnudade das funções base para 0 C e os pontos de controle se encontram sobre a curva. O passo b consste em representar a curva correspondente ao retângulo no espaço paramétrco ξ. Deve-se manter o mesmo vetor de nós utlzado para a crcunferênca e a mesma quantdade e dstrbução de pontos de controle. Os pontos de controle são defndos em função das dmensões do retângulo sendo localzados sobre a própra curva. Os pesos para essa geometra são untáros. Na Fgura 20 é ndcado o procedmento realzado no passo 2. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

74 71 Fgura 20: Pontos de controle que descrevem o retângulo. O passo c consste no refnamento do espaço paramétrco ξ até que se chegue ao à quantdade de pontos de controle requerdos. Este procedmento é realzado com um algortmo baseado nas equações apresentadas no tem 5.1, nserndo-se novas coordenadas paramétrcas no centro dos elementos não nulos já exstentes. Na Fgura 21 observa-se o resultado do procedmento para uma nserção por elemento, que resulta em n= 12, ou seja, 13 pontos de controle. Nota-se que apesar do espaço paramétrco estar defndo com espaçamentos unformes, os pontos de controle não se dstrbuem dessa manera. Fgura 21: Processo de refnamento. No passo d), por fm, dscretza-se o espaço paramétrco na dreção η. Consderando-se o uso de funções base de grau q e o índce do últmo ponto de controle Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

75 72 nessa dreção equvalente a m, tem-se o segunte vetor de nós H = 0,0,0, η + 2,..., η,1,1,1. Nesse trabalho utlzou-se uma dstrbução unforme para o vetor de nós. A obtenção dos demas pontos de controle e pesos é realzada através de uma nterpolação lnear entre os pontos de controle dstrbuídos na crcunferênca e os pontos dstrbuídos no retângulo, sendo a quantdade de pontos nserdos defnda em função do índce do últmo ponto de controle nessa dreção ( m ). O espaçamento entre esses pontos pode ser unforme, através de uma progressão geométrca undreconal ou anda através de uma progressão geométrca bdreconal. No espaçamento defndo pela progressão geométrca undreconal determna-se ncalmente a dstânca entre os dos prmeros pontos de controle localzados em uma das extremdades de uma dada dreção paramétrca e o número de pontos de controle desejado. A localzação dos pontos de controle é obtda empregando-se uma progressão geométrca em função da dstânca entre os pontos de controle extremos nesta dreção e a dstânca dos prmeros dos pontos de controle. No espaçamento determnado pela progressão geométrca bdreconal tem-se um procedmento smlar, com exceção à defnção da dstânca entre os dos prmeros pontos de controle, que é feta em relação a ambas as extremdades da dreção paramétrca na qual será feta a dscretzação. Na Fgura 22 pode ser observada a rede de pontos de controle resultantes de uma dscretzação radal com progressão geométrca undreconal com m = 8 e funções quadrátcas. q m Fgura 22: Obtenção da rede de pontos de controle que geram a superfíce. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

76 73 Na Fgura 23 é apresentado o espaço ndcal para o exemplo apresentado nesse tem. Trata-se de um espaço onde todas as coordenadas paramétrcas são representadas com gual espaçamento entre s. Além dsso, nessa mesma fgura observam-se os elementos, correspondentes aos espaços hachurados, que são resultantes de subntervalos não nulos do espaço paramétrco. Fgura 23: Espaço ndcal e a representação dos elementos não nulos nesse espaço Escoamento em cavdade 2d Para a smulação de um escoamento em uma cavdade bdmensonal é necessáro a geração de uma superfíce plana retangular que pode ser obtda através de um únco macroelemento bdmensonal. O procedmento de construção consste na determnação dos vetores de nós para as dreções paramétrcas ξ e η e de uma rede de pontos de controle e pesos adequados. As dreções paramétrcas ξ e η correspondem no espaço físco às dreções horzontal e vertcal respectvamente. O processo de obtenção da geometra pode ser dvdo em dos passos: a) obtenção do vetor de nós na dreção paramétrca ξ e obtenção dos pontos de controle que descrevem as m lnhas do espaço paramétrco nessa dreção. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

77 74 b) obtenção do vetor de nós na dreção paramétrca η e obtenção dos pontos de controle que descrevem as n colunas do espaço paramétrco nessa dreção. No passo a) obtém-se o vetor de nós na dreção ξ de acordo com a necessdade de pontos de controle nessa dreção, prescrta pela varável n, e de acordo com o grau defndo para as funções nessa dreção, defndo por p. Dessa forma o vetor fca defndo como: Ξ= 0,...0, ξ p+ 2,..., ξn,1,...,1. O espaçamento entre os nós é defndo, nesse estudo, por uma p+ 1 p+ 1 dstrbução unforme. Os pontos de controle por sua vez são dstrbuídos ao longo da dreção horzontal no espaço físco, com o espaçamento podendo ser realzado através de dstrbução unforme, dstrbução com progressão geométrca undreconal e dstrbução com progressão geométrca bdreconal, conforme abordado no tem Além dsso, no caso do retângulo, os pesos dos pontos de controle são untáros. Da mesma forma, no passo b) obtém-se o vetor de nós de acordo com a quantdade pontos de controle determnada ncalmente ( m ) e de acordo com o grau requerdo para as funções de forma nessa dreção ( q ), sendo o espaçamento entre os nós defndo como unforme. Assm, o vetor de nós fca defndo como: Η= 0,...0, ηq+ 2,..., ηm,1,...,1. Os pontos q+ 1 q+ 1 de controle são dstrbuídos vertcalmente no espaço físco de acordo com uma das seguntes dstrbuções: unforme, dstrbução com progressão geométrca undreconal, dstrbução com progressão geométrca bdreconal, sendo o peso consderado como untáro. Na Fgura 24 é apresentada uma rede de pontos de controle para obtenção de um retângulo, com n= 20 e m= 20 e funções lneares. Na Fgura 25 é apresentado o espaço ndcal para o exemplo apresentado nesse tem, assm como a representação dos elementos não nulos nesse espaço. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

78 75 Fgura 24: Rede de pontos de controle para uma superfíce retangular. Fgura 25: Espaço ndcal e a representação dos elementos não nulos nesse espaço Escoamento sobre clndro 2d múltplos macro-elementos Embora o tem se refra a cração de uma superfíce retangular com uma crcunferênca centrada em seu nteror com um únco macro-elemento, o uso de uma geometra dferente a uma superfíce de um quadrado com uma crcunferênca centrada no seu nteror conduz a malhas não unformes para a análse numérca. O problema físco que se deseja smular com esse tpo de geometra é de um escoamento ncdndo sobre um clndro. Para sto, é mas adequado que se tenha uma fgura retangular, pos é necessára uma dmensão maor na dreção horzontal para o desenvolvmento do escoamento do que na dreção vertcal. Além dsso, é mas adequado que o clndro não se encontre no centro do domíno computaconal, vsto que a dmensão Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

79 76 horzontal, após a ncdênca do escoamento no clndro, tem necessdade de ser superor em relação à dmensão horzontal anteror ao mesmo, em função do surgmento da estera de vórtces para Reynolds superores a 40, aproxmadamente. Dessa forma, propõe-se o uso de múltplos macro-elementos (5 para esse exemplo) para a construção de uma geometra mas adequada à análse do escoamento. Para sso, crouse uma superfíce quadrada com um clndro centrado em seu nteror com o uso de 4 macroelementos, e lgado a parte dreta desse quadrado um retângulo representado por um únco macro-elemento. A superfíce quadrada com o clndro centrado em seu nteror com 4 macroelementos fo obtda analogamente à superfíce descrta para apenas 1 macro-elemento. Entretanto, como cada macro-elemento representa apenas 1/ 4 da geometra, o vetor de nós na dreção ξ fo partconado e, além dsso, os pontos de controle nas nterfaces entre os macro-elementos devem estar presentes em ambos os lados. Já a superfíce do retângulo fo crada analogamente ao apresentado no tem 5.3.2, tendo como únca ressalva o fato de que o vetor de nós e os pontos de controle na nterface dos macro-elementos devem ser concdentes.na Fgura 26 pode ser observado o resultado do procedmento consderando que os quatro macro-elementos que representam o clndro possuem n= 8 e m= 12, dstrbução progressva geométrca undreconal dos pontos de controle na dreção radal do espaço físco, e funções de base quadrátcas. O qunto macro-elemento representa o retângulo e fo dscretzado com n= 12 e m= 12 e, da mesma forma, com funções quadrátcas. Na Fgura 27 pode ser observado o espaço ndcal para essa mesma geometra. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

80 77 Patch 1 Patch 2 Patch 3 Patch 4 Patch 5 Fgura 26: Rede de pontos de controle para uma superfíce retangular vazada por uma crcunferênca em seu nteror Múltplos macroelementos. a) b) Fgura 27: Espaços ndcal e representação dos elementos não nulos. a) Macro-elemento 1, 2, 3 e 4; b) Macro-elemento Canal com Degrau Múltplos macro-elementos Para a smulação de um problema de escoamento ncompressível em um canal com um degrau crou-se uma malha com múltplos macro-elementos retangulares (5 no total). As superfíces retangulares foram cradas exatamente como descrtas no tem 5.3.2, tendo-se apenas como ressalva a compatbldade na nterface dos macro-elementos. Na Fgura 28 apresenta-se a rede de pontos de controle para o problema em questão, consderando-se funções lneares. Os pontos de controle possuem a segunte dstrbução: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

81 78 n= 10 e m= 10 com dstrbução do tpo progressva geométrca bdreconal em ambas as dreções para os macro-elementos 1, 4 e 5; n= 20 e m= 10 com dstrbução do tpo progressva geométrca undreconal na dreção paramétrca ξ e progressva geométrca bdreconal na dreção paramétrca η para os macro-elementos 2 e 3. Nessa fgura, os pontos de controle se localzam nos pontos onde as lnhas se nterceptam. Além dsso, na Fgura 29 é apresentado para o exemplo em questão o espaço ndcal e os elementos não nulos nesse espaço. Patch 1 Patch 4 Patch 5 Patch 2 Patch 3 Fgura 28: Rede de pontos de controle para um canal com degrau Múltplos macro-elementos. Fgura 29: Espaços ndcal e representação dos elementos não nulos. a) Macro-elemento 1,4 e 5; b) Macro-elemento 2 e 3. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

82 79 6 ETAPAS DA ANÁLISE O processo de analsar numercamente um escoamento pode ser dvddo em três etapas prncpas: Pré-processamento, Smulação Numérca e Pós-processamento. Nesse tem será apresentada a metodologa utlzada em cada uma dessas etapas para a construção desse trabalho. 6.1 PRÉ-PROCESSAMENTO A etapa de pré-processamento consste em modelar geometrcamente o problema a ser analsado. No contexto da Análse Isogeométrca, a etapa de modelagem geométrca deve resultar na obtenção de uma malha de pontos de controle e vetores de nós necessáros à descrção da geometra e das varáves do problema, assm como uma lsta de pontos de controle com condções de contorno prescrtas e nformações acerca dessas condções. Devdo à metodologa da Análse Isogeométrca ser recente, quando comparada ao método dos elementos fntos, por exemplo, não foram encontrados softwares lvres que proporconam a geração de tas nformações necessáras às análses. Dessa forma, optou-se por crar um gerador para as geometras necessáras às smulações desse estudo. O códgo fo mplementado em lnguagem de programação Fortran 90, sendo a metodologa utlzada para a cração das geometras apresentada no tem SIMULAÇÃO NUMÉRICA Na fase de smulação numérca foram empregados um conjunto de códgos computaconas mplementados em lnguagem Fortran 90 que representam as operações matemátcas necessáras à solução das equações fundamentas do problema. Nessa fase se faz necessáro um conjunto de dados de entrada referentes ao pré-processamento, propredades do fludo e característcas do escoamento e obtém-se como resultado um conjunto de dados de saída com o resultado da análse. No quadro 1 é apresentado uma esquematzação da resolução do problema de análse numérca de escoamentos através de uma smplfcação do algortmo utlzado. Tendo em vsta a redução no tempo de processamento computaconal das smulações numércas mplementou-se a paralelzação em memóra compartlhada OpenMP. OpenMP é Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

83 80 uma desgnação a um conjunto de dretvas de complação, bblotecas de rotnas e varáves de ambente que podem ser usadas para paralelzação em memóra compartlhada em lnguagem Fortran, C e C++. O emprego do OpenMP permtu a paralelzação de laços crítcos do códgo computaconal, ou seja, a repartção do laço entre os processadores lógcos exstentes em uma máquna, reduzndo o tempo fnal de processamento. Os aspectos de mplementação da paralelzação podem ser vsualzados com mas detalhes em Hermanns (2002). 1. Letura e armazenamento dos dados de entrada 2. Incalzação das varáves v e P em t= 0 3. Cálculo das matrzes constantes no tempo 4. Contagem do tempo t= t+ t 4.1 Passo 1 - t= t+ t Cálculo das matrzes varáves no tempo Se escoamento turbulento: Cálculo da vscosdade cnemátca turbulenta ν t n Cálculo de v através da equação (4.12) n Cálculo de P através da equação (4.19) n Correção de v através da equação (4.13) n+1 2 n Aplcação das condções de contorno em v e em P. 4.2 Passo 2 - t= t+ t Cálculo das matrzes varáves no tempo Se escoamento turbulento: Cálculo da vscosdade cnemátca turbulenta ν t n Cálculo de v através da equação (4.8) n Cálculo de P através da equação (4.17) n Aplcação das condções de contorno em v e em 4.3 Verfcar condção de convergênca Se Resíduo tolerânca ou t t fnal Ir para o número 6 Se não Ir para o número 5 5. Fm do laço de tempo: retornar para 4 6. Impressão da saída de dados 7. Fm da análse n+1 P Quadro 1 : Algortmo que esquematza a solução do problema de escoamentos. 6.3 PÓS-PROCESSAMENTO A fase de pós-processamento desse estudo pode ser dvdda em três partes: obtenção de campos suavzados de pressão, geração de coefcentes aerodnâmcos e vsualzação dos Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

84 81 resultados de saída através do programa Tecplot 9.0 (2000) da AMTEC ENGINEERING INC. Nesse tem serão apresentados os procedmentos utlzados para a obtenção dos campos suavzados e dos coefcentes aerodnâmcos. Equaton Chapter (Next) Secton Suavzação dos campos de pressão A fm de elmnar osclações ocasonas no campo de pressão e melhorar a vsualzação dos resultados é realzada uma suavzação neste campo. Para sso, obtém-se ncalmente a pressão nos pontos de ntegração através da segunte relação: nlpc p( ξ, η, ζ ) = N p (6.1) onde nlpc é a quantdade de pontos de controle no elemento, N são as funções de base e p é a pressão não suavzada em cada ponto de controle desse elemento. no qual n= 1 Através do método dos mínmos quadrados obtém-se um funconal em nível local: 1 π = ( p ) 2 s p d 2 Ω (6.2) Ωe p s é a pressão suavzada nos pontos de controle do elemento. A mnmzação deste funconal é obtda mpondo-se que a prmera varação de π seja nula: ( ) p e s pδ psd (6.3) Ω δπ = Ω Consderando p s = Np s e p=np têm-se a segunte expressão: Τ Mp = Ν ( Νp ) dω (6.4) s Ωe em que M é a conhecda matrz de massa. Para obtenção de um sstema desacoplado é necessáro o uso da matrz de massa dscreta local para p s : M d, chegando-se a segunte relação em nível -1 Τ p = M Ν ( Νp ) dω (6.5) s d Ωe A obtenção da pressão suavzada global é realzada da mesma forma ao apresentado para as equações que governam o escoamento. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

85 Obtenção dos Coefcentes Aerodnâmcos Os coefcentes aerodnâmcos são usados comumente na DFC para a determnação das característcas aerodnâmcas dos corpos mersos em um escoamento. O coefcente de arrasto ( C D) está relaconado com o efeto das forças que agem paralelamente ao escoamento, já o coefcente de sustentação ( C L) dz respeto às forças que agem transversalmente ao escoamento, conforme pode ser observado na Fgura 30. A determnação desses coefcentes é dada através das seguntes relações: C D npcc Fx = 1 2 = 1 2ρV HW (6.6) C L npcc Fy = 1 2 = 1 2ρV HW (6.7) sendo F x a força paralela ao escoamento agndo no ponto de controle, F y a força transversal ao escoamento, V é a velocdade característca do escoamento, npcc é o número de pontos de controle sobre o contorno do corpo merso, HW e apresentadas na Fgura 30 e representam as áreas de atuação das forças HL são dmensões F x e F y. Fgura 30: Coefcentes aerodnâmcos em um escoamento (baseado em: BRAUN, 2007) equação (4.39). As forças sobre o contorno são obtdas através da ntegral de contorno apresentada na Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

86 83 Outro coefcente mportante é o de pressão ( C p) que mede a pressão exercda pelo escoamento sobre a superfíce de corpos mersos e é obtdo através da segunte relação: C p p p0 = (6.8) 2 1 2ρV com p equvalente a pressão no ponto de controle e p0 uma pressão de referênca, que pode ser a pressão em uma regão não perturbada, ou anda um ponto de estagnação sobre o corpo. O número de Strouhal ( S t) também é amplamente usado na caracterzação de um escoamento sobre corpos mersos, estando relaconado ao fenômeno de formação e desprendmento de vórtces, sendo calculado através da segunte relação: S t fd = (6.9) V sendo f a frequênca de desprendmento de vórtces e D a dmensão característca do escoamento. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

87 84 7 APLICAÇÕES Nesse capítulo serão apresentados resultados obtdos em análses de problemas clásscos da DFC, comparando-os com resultados obtdos por outros autores com ntuto de valdar a metodologa proposta. 7.1 ESCOAMENTO LAMINAR EM UMA CAVIDADE 2D Nesse tem será apresentado o estudo de um escoamento de fludo vscoso em uma cavdade 2D, para os seguntes números de Reynolds: 100,400,1000. Tem-se como ntuto prncpal valdar o método proposto comparando os resultados obtdos para os perfs de velocdade vertcal e horzontal no centro da cavdade com os apresentados pela bblografa de referênca. Na Fgura 31 são apresentados os dados referentes a geometra do problema e as condções de contorno aplcadas ao mesmo. Na Tabela 3 são apresentadas as característcas do fludo, do escoamento e da dscretzação com funções base NURBS para as smulações realzadas. As malhas foram dscretzadas tanto horzontalmente, quanto vertcalmente com funções de forma de grau um e com dstrbução de pontos de controle do tpo progressva geométrca bdreconal, ou seja, os pontos de controle encontram-se mas próxmos nas regões das paredes e mas espaçados na regão central da cavdade. Fgura 31: Característcas geométrcas do problema e condções de contorno. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

88 85 Tabela 3: Característcas do fludo, do escoamento e da malha com funções NURBS. Característcas geras Re 100 Re 400 Re 1000 Massa específca - ρ 1kg/m³ Vscosdade Volumétrca λ 0 Ns/m² Dmensão característca - D 1 m Velocdade característca - V 10 m/s Velocdade do som no fludo - c 70 m/s Vscosdade dnâmca - µ 0,1 Ns/m² Pontos de controle na dreção ξ 60 Pontos de controle na dreção η 60 Menor dstânca entre P.C Incremento de tempo - t 4,3x10-5 s Número de elementos 3600 Vscosdade dnâmca - µ 0,025 Ns/m² Pontos de controle na dreção ξ 100 Pontos de controle na dreção η 100 Menor dstânca entre P.C Incremento de tempo - t 2,5x10-5 s Número de elementos Vscosdade dnâmca -µ 0,01 Ns/m² Pontos de controle na dreção ξ 120 Pontos de controle na dreção η 120 Menor dstânca entre P.C Incremento de tempo - t 1,0x10-5 s Número de elementos As malhas foram escolhdas de forma que o espaçamento entre os prmeros pontos de controle descrevessem adequadamente o comportamento do escoamento próxmo às paredes e a quantdade total de pontos de controle fosse adequada para descrever o comportamento na regão central. Para sso, tomou-se para cada um dos Reynolds em estudo uma malha pouco dscretzada como base e se buscou refná-la, através do processo de aumentar a quantdade de pontos de controle e reduzr o tamanho do prmero elemento, até que a dferença entre as varáves resultantes da malha menos refnada e a da malha mas refnada atngsse o segunte crtéro: n = 1 ( φ ) 2 θ 3 n = 1 φ 2 5x10 (6.10) Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

89 86 sendo φ o vetor das varáves do problema na malha mas refnada no ponto, θ o vetor das varáves do problema para a malha menos refnada no ponto, n a quantdade de pontos avalados. Da Fgura 32 a Fgura 37 são apresentados perfs de velocdade V1 e V2 para os dferentes Reynolds, assm como o perfl obtdo pela bblografa de referênca Gha et al. (1982), o qual usa uma malha de 129 x 129 pontos. O perfl de velocdade V1 equvale ao perfl da velocdade horzontal ao longo da reta em que x = 0,5, enquanto que o perfl de velocdade V2 corresponde a velocdade vertcal ao longo da reta y = 0,5. y (m) Perfl velocdade V1 - Re Rerefênca Gha et al. (1982) presente estudo V1(m/s) Fgura 32: Perfl de velocdade V1 Re V2 (,m/s) Perfl velocdade V2 - Re x(m) referênca Gha et al. (1982) presente trabalho Fgura 33: Perfl de velocdade V2 Re 100. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

90 Perfl velocdade V1 - Re 400 y(m) referênca Gha et al. (1982) 0.10 presente estudo V1 (m/s) Fgura 34: Perfl de velocdade V1 para Re V2(m/s) Perfl velocdade V2 - Re x (m) referênca Gha et al. (1982) presente estudo Fgura 35: Perfl de velocdade V2 para Re 400. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

91 Perfl velocdade V1 - Re 1000 y(m) referênca Gha et al. (1982) presente estudo V1 (m/s) Fgura 36: Perfl de velocdade V1 para Re V2 (m/s) Perfl de velocdade V2 - Re x (m) referênca Gha et al. (1982) presente estudo Fgura 37: Perfl de velocdade V2 para Re Da Fgura 38 a Fgura 40 são apresentados os campos de pressão e as lnhas de corrente respectvos aos dferentes Reynolds dos escoamentos estudados. Nota-se a formação de dos vórtces na parte nferor da cavdade que vão se tornando maores à medda que o número de Reynolds cresce. Na Fgura 41 são apresentadas as lnhas de corrente obtdas por Gha et al. (1982), demonstrando a efcênca do método aplcado. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

92 89 Fgura 38: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re 100. Fgura 39: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re 400. Fgura 40: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

93 90 Fgura 41: Lnhas de corrente para Re 100, 400 e 1000 (Fonte: GHIA et al., 1982) 7.2 ESCOAMENTO TURBULENTO EM UMA CAVIDADE 2D Nesse tem será apresentado o estudo de um escoamento vscoso em cavdade para Reynolds Por se tratar de um número de Reynolds que conduz a um escoamento turbulento, utlzou-se para essa análse a smulação semelhante a LES, em um espaço bdmensonal, com modelo sub-malha de Smagornsky clássco conforme apresentado nesse trabalho. Teve-se como ntuto realzar uma comparação entre o uso de funções lneares e quadrátcas nos problemas envolvendo turbulênca e a valdação do método proposto através da comparação do valor médo do perfl ao longo do tempo com a referênca de Gha et al. (1982) que utlza o método das dferenças fntas com uma malha de 257 x 257 pontos. Tabela 4: Propredades do fludo, do escoamento e da dscretzação com funções NURBS. Massa específca - ρ 1 kg/m³ Vscosdade volumétrca - λ 0 Ns/m² Vscosdade dnâmca -µ 0,01 Ns/m² Coefcente de Smagornsky C s 0,15 Dmensão característca - D 1 m Velocdade característca - V 10 m/s Velocdade do som no fludo - c 70 m/s Pontos de controle na dreção ξ 100 Pontos de controle na dreção η 100 Menor dstânca entre P.C 0,0025 Incremento de tempo - t 1,0x10-5 s Número de elementos funções grau Número de elementos funções grau A geometra fca defnda conforme a Fgura 31 apresentada no tem anteror, sendo a dscretzação dos pontos de controle na dreção horzontal e vertcal realzado através da Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

94 91 progressão geométrca bdreconal. As propredades do fludo, do escoamento e da malha NURBS utlzadas no estudo com funções lneares e quadrátcas são as apresentadas na Tabela 4. Na Fgura 42 é apresentado o perfl para a velocdade horzontal na reta em que x = 0,5 para Reynolds usando-se funções de forma lneares, funções de forma quadrátcas e o perfl apresentado pela referênca. Pode-se notar que apesar de ser uma malha muto menos refnada que a da referênca em questão os resultados apresentados estão muto satsfatóros. Com relação ao uso de funções quadrátcas não se observou uma notóra dferença entre os resultados. Entretanto, o uso de funções quadrátcas levou a convergênca mas acelerada para o problema. Perfl de velocdade V1 - Re y (m) Referênca Gha et al. (1982) Funções lneares 0.00 Funções quadrátcas V1(m/s) Fgura 42: Perfl de velocdade V1 para Re Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

95 V2(m/s) Perfl de velocdade V2 - Re x(m) 1E Referênca Gha et al. (1982) Funções Lneares Funções quadrátcas Fgura 43: Perfl de velocdade V2 para Re Na Fgura 44 são apresentadas as lnhas de corrente obtdas com o Reynolds e na Fgura 45 as obtdas pela referênca em questão. Observa-se novamente que a metodologa aplcada é capaz de representar muto bem os vórtces formados ao longo do escoamento. Fgura 44: Lnhas de corrente para Re Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

96 93 Fgura 45: Lnhas de corrente V2 para Re (Fonte: GHIA et al., 1982) Por fm, fez-se uma análse da nfluênca da constante de Smagornsky nos resultados dos perfs de velocdade, adotando para sso as funções lneares. Foram comparados os resultados para Cs = 0,15 e Cs = 0,20. Pode-se notar nas Fgura 46 e Fgura 47 que o aumento dessa constante levou ao afastamento da solução da referênca em questão. Perfl de velocdade V1 - Re y(m) Referênca Gha et al. (1982) Cs = 0,15 Cs = 0,20 V1(m/s) Fgura 46: Perfl de velocdade V1 para Re e dferentes valores de Cs. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

97 V2(m/s) Perfl de velocdade V2 - Re x(m) Referênca Gha et al. (1982) Cs = 0,15 Cs = 0,20 Fgura 47: Perfl de velocdade V2 para Re e dferentes valores de Cs. 7.3 ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL EM UM CANAL COM DEGRAU Nesse tem será apresentado o estudo de um escoamento em um canal com um degrau, conforme apresentado na Fgura 48, para os Reynolds 100, 200, 400, 600, 800 e O objetvo dessa análse é a valdação do modelo proposto com o uso de múltplos macroelementos em vrtude de exstr na lteratura uma sére de resultados expermentas e numércos acerca desse problema que possbltam a comparação. O escoamento sobre um degrau é caracterzado por produzr áreas de recrculação onde o fludo se separa e forma vórtces. A dstânca entre o degrau e ponto de recolamento do vórtce prncpal ( x r) é denomnada de comprmento de recolamento e é uma das prncpas característcas verfcadas nesse estudo. As dmensões utlzadas para o canal foram h= 1,0 m, s= 0,94 m, x = 1 m e e x t = 30 m. Como condções de contorno do escoamento consderaram-se nas paredes do canal velocdades nulas ( v1= v2= 0), na entrada do canal um perfl de velocdade parabólco ( v1 = v( y) e v2= 0), e na saída do canal pressão nula ( 0) através da segunte relação: p=. A função v( y ) é defnda Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

98 95 ( ) v y ( ) 2 y s h / 2 h / 2 = V1 Máx 1 (6.11) Sendo V 1Máx a velocdade máxma apresentada no perfl e y representa a coordenada cartesana vertcal. O número de Reynolds fo calculado de acordo com o apresentado em Armaly et al.(1984) : 2V 1max ρ 2h 3 Re= (6.12) µ Para a dscretzação do problema foram usados 5 macro-elementos (patches), conforme são ndcados na Fgura 48, sendo utlzados em todos eles funções de forma de grau 1. Os pontos de controle dos macro-elementos 1, 4 e 5 são dscretzados vertcalmente e horzontalmente baseados na metodologa de progressão geométrca bdreconal e os macroelementos 2 e 3 são dscretzados vertcalmente através da progressão geométrca bdreconal e horzontalmente com o uso da progressão geométrca undreconal. As dmensões dos macro-elementos foram defndas em função da dmensão x r apresentada nas bblografas de referênca. As demas característcas do escoamento, do fludo e das malhas são apresentadas na Tabela 5. Fgura 48: Domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau. Tabela 5: Propredades do fludo, do escoamento e da malha de funções NURBS Característcas geras Massa específca - ρ 1 kg/m³ Vscosdade Volumétrca - λ 0 Ns/m² Velocdade máxma no perfl - V 1máx 10 m/s Velocdade do som no fludo - c 70 m/s Re 100 Vscosdade dnâmca - µ 0,1333 Ns/m² Incremento de tempo - t 2,6x10-4 s Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

99 96 Menor elemento 0,03 Número de elementos Macro-elemento 1 Pontos de controle na dreção ξ 60 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 2 Pontos de controle na dreção ξ 200 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 3 Pontos de controle na dreção ξ 200 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 4 Pontos de controle na dreção ξ 60 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 5 Pontos de controle na dreção ξ 20 Pontos de controle na dreção η 20 Re 200 Vscosdade dnâmca 0,0666Ns/m² Incremento de tempo - t 2,6x10-4 s Menor elemento 0,03 Número de elementos Macro-elemento 1 Pontos de controle na dreção ξ 100 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 2 Pontos de controle na dreção ξ 180 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 3 Pontos de controle na dreção ξ 180 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 4 Pontos de controle na dreção ξ 100 Pontos de controle na dreção η 20 Macro-elemento 5 Pontos de controle na dreção ξ 20 Pontos de controle na dreção η 20 Re 400 Vscosdade dnâmca 0,03333 Ns/m² Incremento de tempo - t 1,7x10-4 s Menor elemento 0,020 Número de elementos Macro-elemento 1 Pontos de controle na dreção ξ 200 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 2 Pontos de controle na dreção ξ 220 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 3 Pontos de controle na dreção ξ 220 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 4 Pontos de controle na dreção ξ 200 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 5 Pontos de controle na dreção ξ 24 Pontos de controle na dreção η 24 Re 600 Vscosdade dnâmca 0,02222 Ns/m² Incremento de tempo - t 1,7x10-4 s Menor elemento 0,020 Número de elementos Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

100 97 Macro-elemento 1 Pontos de controle na dreção ξ 274 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 2 Pontos de controle na dreção ξ 200 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 3 Pontos de controle na dreção ξ 200 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 4 Pontos de controle na dreção ξ 274 Pontos de controle na dreção η 24 Macro-elemento 5 Pontos de controle na dreção ξ 24 Pontos de controle na dreção η 24 Re 800 e 1000 Vscosdade dnâmca Re 800 0,01666 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re ,010 Ns/m² Incremento de tempo - t 1,3x10-4 s Menor elemento 0,015 Número de elementos Macro-elemento 1 Pontos de controle na dreção ξ 400 Pontos de controle na dreção η 30 Macro-elemento 2 Pontos de controle na dreção ξ 224 Pontos de controle na dreção η 30 Macro-elemento 3 Pontos de controle na dreção ξ 224 Pontos de controle na dreção η 30 Macro-elemento 4 Pontos de controle na dreção ξ 400 Pontos de controle na dreção η 30 Macro-elemento 5 Pontos de controle na dreção ξ 30 Pontos de controle na dreção η 30 Na Fgura 49 são apresentados os resultados obtdos para o comprmento de recolamento do vórtce admensonalsado, juntamente com os resultados apresentados em Armaly et al. (1983) de ensaos expermentas e os resultados de Wllams e Baker (1997) obtdos através de smulações numércas bdmensonas. O valor de X r S até Reynolds 400 fcou muto próxmo aos das referêncas apresentadas. Entretanto, para Reynolds superores nota-se que o valor do presente trabalho, afasta-se da curva expermental. A defasagem entre os valores expermentas e os de smulações bdmensonas é esperado à medda que o Reynolds cresce, vsto que o escoamento va se tornando trdmensonal. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

101 Wllams e Baker (1997) - smulação numérca 2d Armaly et al. (1983) - expermental Presente estudo 10 Xr/S Reynolds Fgura 49: Comprmento de recolamento do vórtce prncpal. Na Fgura 50 observam-se os detalhes do vórtce prncpal formado atrás do degrau para os dferentes Reynolds estudados. Além dsso, na Fgura 51 é apresentado o vórtce secundáro que se forma para os Reynolds 600, 800 e Os tamanhos admensonalsados pela altura do degrau do canal (S) para o vórtce secundáro foram de: 5,50, 7,45, 8,50 para os Reynolds 600, 800 e 1000 respectvamente. Armaly et. al. obtveram os valores de 5,87, 9,17, 10,4 para esses mesmos Reynolds. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

102 99 Fgura 50: Detalhe das lnhas de corrente no vórtce prncpal para Reynolds 100, 200, 400, 600, 800 e Na Fgura 52 são apresentadas as Isolnhas de pressão para os Reynolds em estudo. É mportante ressaltar que as lnhas de corrente e as Isolnhas de pressão para Re 600, 800 e 1000 são obtdos através da méda temporal realzada a partr da metade do tempo do escoamento. A méda permte amenzar as perturbações que começam a ocorrer ao longo da parede à medda que o Reynolds aumenta. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

103 100 Fgura 51: Detalhe das lnhas de corrente no vórtce secundáro para Reynolds 600, 800 e Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

104 101 Fgura 52: Isolnhas de pressão para Reynolds 100, 200, 400, 600, 800 e ESCOAMENTO SOBRE UM CILINDRO 2D Neste tem será apresentado um estudo sobre escoamento de um fludo vscoso em torno de um clndro colocado transversalmente ao escoamento prncpal para dferentes números de Reynolds: 10, 20, 30, 40, 50, 100, 300, 500, 700, Teve-se como ntuto a Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

105 102 obtenção dos coefcentes aerodnâmcos meddos ao longo do tempo: coefcente de arrasto C D, coefcente de sustentação C L, coefcente de pressão C P ao redor do clndro, assm como o número de Strouhal St. Além dsso, procurou-se verfcar se o modelo é capaz de reproduzr fenômenos relaconados à formação e desprendmento de vórtces. Para esses exemplos fo utlzado um únco macro-elemento na descrção da geometra e funções quadrátcas em ambas as dreções. Por fm, nesse tem serão apresentados anda resultados obtdos para Reynolds 100 utlzando-se múltplos macro-elementos na descrção da geometra, e para Reynolds 40 utlzando-se um únco macro-elemento, porém com funções quadrátcas na dreção paramétrca ξ e funções lneares na dreção paramétrca η. A dscretzação radal dos pontos de controle fo efetuada através da progressão geométrca undreconal, sendo a dstânca entre dos prmeros pontos de controle gual à dstânca méda entre os pontos de controle que descrevem a curva da crcunferênca. relação: O número de Reynolds ( Re ) para esse problema é obtdo através da segunte VD Re= (6.13) ν onde D é a dmensão característca, sendo nesse caso o dâmetro do clndro. Na Fgura 53 são apresentadas as característcas geométrcas do problema, assm como as condções de contorno usadas para os Reynolds de 10, 20, 40, 50. Para os demas Reynolds apenas foram alteradas as dmensões do retângulo que passa a ter 20 dâmetros a partr do centro do clndro nas dreções horzontal (postva e negatva) e vertcal (negatva e postva). Essas característcas dzem respeto ao uso de apenas um macro-elemento. Na Fgura 54 são apresentadas as característcas geométrcas do problema para múltplos macroelementos, sendo que as condções de contorno são as mesmas apresentadas para um únco macro-elemento. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

106 103 Fgura 53: Característcas geométrcas do problema e condções de contorno 1 macro-elemento. Fgura 54: Característcas geométrcas do problema e condções de contorno múltplos macro-elementos. Na Tabela 6 são apresentados os dados referentes a dscretzação com funções NURBS e ncrementos de tempo para os dferentes números de Reynolds avalados para as geometras dscretzadas com apenas um macro-elemento. Na Tabela 7 são apresentadas essas mesmas característcas para o caso resolvdo com múltplos macro-elementos. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

107 104 Tabela 6: Dados da dscretzação com funções NURBS e ncremento temporal 1 macro-elemento. Re: 10,20,30,40,50 Re: 100,300 Re: 500 Re: 700,1000 Re: 40 Pontos de controle na dreção ξ 100 Pontos de controle na dreção η 70 Grau das funções na dreção ξ 2 Grau das funções na dreção η 2 Número de elementos 6624 Incremento de tempo - t 1,5x10-4 s Pontos de controle na dreção ξ 120 Pontos de controle na dreção η 90 Grau das funções na dreção ξ 2 Grau das funções na dreção η 2 Número de elementos Incremento de tempo - t 2,2x10-4 s Pontos de controle na dreção ξ 152 Pontos de controle na dreção η 110 Grau das funções na dreção ξ 2 Grau das funções na dreção η 2 Número de elementos Incremento de tempo - t 1,8x10-4 s Pontos de controle na dreção ξ 168 Pontos de controle na dreção η 120 Grau das funções na dreção ξ 2 Grau das funções na dreção η 2 Número de elementos Incremento de tempo - t 9,3x10-5 s Pontos de controle na dreção ξ 100 Pontos de controle na dreção η 70 Grau das funções na dreção ξ 2 Grau das funções na dreção η 1 Número de elementos 6720 Incremento de tempo - t 1,5x10-4 s Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

108 105 Tabela 7: Dados da dscretzação com funções NURBS e ncremento temporal Múltplos Macro-elementos. Re: 100 Múltplos macroelementos Macro-elemento 1, 2, 3, 4 Pontos de controle na dreção ξ 25 Pontos de controle na dreção η 70 Macro-elemento 5 Pontos de controle na dreção ξ 25 Pontos de controle na dreção η 25 Número de elementos 7200 Incremento de tempo - t 2,2x10-4 s Na Tabela 8 podem ser vsualzadas as característcas geras referentes ao fludo e ao escoamento usados nesse estudo. Tabela 8: Característcas do fludo e do escoamento Massa específca - ρ 1kg/m³ Vscosdade volumétrca - λ 0 Ns/m² Velocdade do som no fludo - c 70 m/s Velocdade característca - V 10 m/s Dmensão característca - D 1 m Vscosdade dnâmca Re 10 - µ 1,000 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re 20 - µ 0,500 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re 30- µ 0,333 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re 40 - µ 0,250 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re 50 -µ 0,200 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re µ 0,100 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re µ 0,033 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re µ 0,014 Ns/m² Vscosdade dnâmca Re µ 0,001 Ns/m² Na Fgura 55 são apresentados o campo de pressões e as lnhas de corrente para um escoamento de Re 40 com funções em ambas as dreções quadrátcas. Pode-se observar a formação de dos vórtces smétrcos e estaconáros na regão de recrculação logo após o clndro, sendo esse o comportamento esperado para valores de Reynolds entre 5 e 50, aproxmadamente. As característcas dos vórtces formados são apresentadas na Tabela 9 e comparados com os apresentados em Wanderley e Lev (2002) para uma malha com 200 x 200 elementos usando dferenças fntas e com os de Braun (2007) que utlza o MEF com uma malha de 6800 elementos soparamétrcos e funções de forma lneares. Nota-se que a Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

109 106 metodologa aplcada é capaz de representar adequadamente o processo de formação de vórtces. Fgura 55: Campos de pressão e lnhas de corrente para Re 40. Tabela 9: Característca dos vórtces formados na regão de recrculação para Re 40. Grandeza Referênca 1 Referênca 2 Presente trabalho C D 1,6 1,77 1,58 L/D 2,10 2,10 2,21 a/d 0,69 0,71 0,71 b/d 0,58 0,58 0,59 θ 53,2 53,2 52,1 Referênca 1 - Wanderley e Lev (2002)/Referênca 2 - Braun (2007) Na Tabela 10 são apresentadas as característcas dos vórtces para Reynolds 40 com o uso de funções quadrátcas nas duas dreções paramétrcas (Avalação 1) e com o uso de funções quadrátcas na dreção ξ e funções lneares na dreção η (Avalação 2). Essas smulações tveram como objetvo demonstrar a versatldade que a Análse Isogeométrca proporcona quanto à escolha de grau de funções de forma. Além dsso, ao observar os resultados das análses nota-se que o uso de funções quadrátcas nas duas dreções proporconou resultados lgeramente melhores. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

110 107 Na Fgura 56, podem ser vsualzados as lnhas de corrente e campos de pressão para os Reynolds 10, 20, 30 e 50. Nota-se que o comprmento do par de vórtces estaconáro aumenta conforme se eleva o número de Reynolds. Tabela 10: Característcas dos vórtces formados na regão de recrculação para Re 40 Grandeza Avalação 1 Avalação 2 C D 1,58 1,62 L/D 2,21 2,23 a/d 0,71 0,71 b/d 0,59 0,59 θ 52,1 51,5 Na Fgura 58 são apresentados os campos de pressão e as lnhas de corrente no tempo de 30 segundos para os de Reynolds 100, 300, 500, 700 e 1000 com o uso de um únco macro-elemento. Na Fgura 57 é apresentado o campo de pressões juntamente com lnhas de corrente para Reynolds 100 usando para a descrção da geometra múltplos macro-elementos. Nota-se nessas magens que o par de vórtces se quebra e passa a exstr uma estera de vórtces, denomnada de estera de Von Kárman, que ocorre devdo à formação de vórtces de manera alternada entre as regões superor e nferor da superfíce do clndro. O comportamento da estera va se tornando turbulento à medda que o Reynolds do escoamento é elevado, embora o regme do escoamento anda seja lamnar para essa faxa de Reynolds. Na Fgura 59 vsualza-se esse mesmo comportamento apresentado nos estudos de Lenhard (1966). Na Fgura 60 são apresentados os coefcentes aerodnâmcos C D para os dferentes números de Reynolds, obtdos no presente estudo. Nota-se que até aproxmadamente Reynolds 100 o coefcente de arrasto decresce conforme se aumenta o número de Reynolds, sendo essa redução mas acentuada nos Reynolds menores. Após sso, têm-se um período entre os Reynolds 100 e 300 que a curva que descreve o coefcente de arrasto mantém-se pratcamente constante. Por fm, acontece um leve aumento no coefcente de arrasto com o aumento do número de Reynolds que concde com a formação da estera de vórtces de Von Kárman. Nessa mesma fgura têm-se uma curva apresentada em Henderson (1997) que é ajustada por dados de smulações bdmensonas, a partr da qual se pode comprovar que o Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

111 108 modelo apresentado é capaz de representar adequadamente o coefcente de arrasto resultante de um escoamento ncdndo sobre corpo clíndrco. a) b) c) d) Fgura 56: Campos de pressão e lnhas de corrente. a) Reynolds 10; b) Reynolds 20; c) Reynolds 30; d) Reynolds 50. Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

112 109 Fgura 57: Campos de pressão para Re 100 Múltplos macroelementos a) b) b) d) e) Fgura 58: Campos de pressão. a) Reynolds 100; b) Reynolds 300; c) Reynolds 500; d) Reynolds 700; e) Reynolds Patríca Tonon Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

113 110 Na Tabela 11 são apresentados os valores RMS (valor quadrátco médo) obtdos para o coefcente de sustentação C L, nota-se que esses valores crescem com o aumento do número de Reynolds. Na Fgura 61 são mostrados os valores apresentados em Norberg (2001), na qual se pode notar que esse comportamento de elevação do coefcente é o comportamento esperado para smulações bdmensonas. Fgura 59: Comportamento do escoamento ncdndo sobre um clndro (Fonte: LIENHARD, 1966) Coefcente de arrasto (Cd) Reynolds (Re) Fgura 60: Coefcente Presente estudo Referênca Henderson (1997) C D para os Reynolds em estudo. Na Fgura 62 é apresentado o número de Strouhal para o Reynolds superores a 100, além dsso, são mostrados os valores apresentados em Henderson (1997) ajustados com dados de smulações bdmensonas. Nota-se que em smulações bdmensonas o número de Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

114 111 Strouhal, e consequentemente a frequênca de desprendmento de vórtces, cresce suavemente com o aumento do número de Reynolds. Além dsso, a curva descreve um escoamento peródco perfeto. Todava, esse mesmo comportamento não é observado em smulações trdmensonas. De acordo com Henderson (1997), para Reynolds superores a 190 têm-se uma transção para escoamento trdmensonal e a frequênca de desprendmento de vórtces passa a osclar dentro de uma ampla banda de frequêncas. Os coefcentes C L, CD e obtdos para um únco macro-elemento foram aproxmadamente os mesmos do que os obtdos com múltplos macro-elementos. Tabela 11: Coefcente Cl-RMS Reynolds Cl-RMS 100 0, , , , ,05442 Na Fgura 63 podem ser vsualzados os hstórcos de coefcente de arrasto para os Reynolds de 10, 20, 30, 40, 50. Pode-se notar que o valor de S t CD têm grandes osclações até que o escoamento esteja totalmente desenvolvdo. Após sso, o escoamento se torna estaconáro e os valores permanecem constantes ao longo do tempo. Fgura 61: Coefcente NORBERG, 2001). CL RMS versus número de Reynolds (Fonte: Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

115 112 Na Fgura 64 são apresentados os hstórcos do coefcente de arrasto para os Reynolds 100, 300, 500, 700 e Nota-se, assm como nos Reynolds mas baxos, uma osclação ncal alta até o escoamento tornar-se estatstcamente permanente. Entretanto, após sso, devdo ao fenômeno de desprendmento de vórtces, o coefcente C D não se torna constante, e sm, osclante dentro de uma faxa de valores menores, sendo essa faxa maor com o aumento dos valores de Reynolds. Na Fgura 65 são apresentados os valores de regstro ao longo do tempo para o coefcente de sustentação. Por fm, são apresentados na Fgura 66 os coefcentes de pressão para os Reynolds 40, 100, 500 e 1000 e sua varação conforme o número de Reynolds é ncrementado. Strouhal (St) Fgura 62: Número de Strouhal ( St ) para os Reynolds 100, 300, 500, 700 e Presente trabalho Referênca Henderson (1997) Reynolds (Re) Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

116 113 Fgura 63: Regstro ao longo do tempo para os coefcentes C D a) Reynolds 10; b) Reynolds 20; c) Reynolds 30; d) Reynolds 40; e) Reynolds 50. Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.

117 114 Fgura 64: Regstro ao longo do tempo para os coefcentes C D. a) Reynolds 100; b) Reynolds 300; c) Reynolds 500; d) Reynolds 700; e) Reynolds Análse Numérca de Escoamentos Incompressíves Através da Análse Isogeométrca

118 115 Fgura 65: Regstro ao longo do tempo para os coefcentes C L. a) Reynolds 100; b) Reynolds 300; c) Reynolds 500; d) Reynolds 700; e) Reynolds Patríca Tonon (patríca_tonon@hotmal.com). Dssertação. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS, 2016.