Capítulo 19. A teoria cinética dos gases

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1 Capítulo 19 A teora cnétca dos gases Neste capítulo, a ntroduzr a teora cnétca dos gases que relacona o momento dos átomos e moléculas com olume, pressão e temperatura do gás. Os seguntes tópcos serão abordados: Le dos gases deas Energa nterna de um gás deal Dstrbução de elocdades entre os átomos de um gás Calor especíco a olume constante Calor especíco a pressão constante (19-1) Epansão adabátca de um gás deal

2 n M M N M mn N amostra amostra A A Número de Aocadro Um "mole" de qualquer substânca é denda como a quantdade contda em uma massa gual a massa molar desta substânca. O mole de qualquer substânca contém o mesmo número de átomos (ou moléculas). Isto é conhecdo como o Número de Aocadro N A =6, átomos / mol. O número n de moles é gual a massa M amostra de um substânca dddo por M é a massa molar da substânca, que por sua ez M é dendo como sendo mn A onde m é a massa de um átomo ou molécula. Assm, n=n/n A. (19 - )

3 p nrt p NkT Gases deas ercou-se epermentalmente que se 1 mole de qualquer gás or colocado num recpentes com o mesmo olume e se mantda à mesma temperatura T, eles apresentarão apromadamente a mesma pressão p. As derenças na pressão rão desaparecer se quanto menor or a densdade do gás que or utlzado. Outras eperêncas mostraram que todos os gases a baa densdade obedecer à equação: p =nrt Aqu R=8,31 K / (mol*k) é conhecda como o "constante dos gases. A equação é conhecda como o "le do gás deal". A constante R pode ser epressa como: R=kN A Aqu k é chamado a constante de Boltzmann e é gual a 1, J/K Se substturmos R como como n na le do gás deal temos a orma equalente: p = NkT Aqu N é o número de moléculas ou átomo de um gás. O comportamento real de todos os gases que se aproma ao de um gás deal desde que a densdades seja sucentes baa. Baas densdades sgnca que as moléculas de gás estão sucentemente aastadas que eles não nteragrem umas com as outras, mas apenas com as paredes do recpente de gás. (19-3)

4 (19-4) Trabalho realzado por um gás deal a temperatura constante Consdere o gás mostrado na gura ao lado. Ele é realzada em um temperatura constante T e sob um a por uma epansão sotérmca a partr do olume a um olume. O processo segue para bao sobre a lnha ermelha. O trabalho W eto pelo gás deal é dada pela equação: W pd A partr da le dos gases deas, temos que nrt nrt d p W d nrt nrt ln W nrt ln Para epansão temos : ln 0 W 0 Para compressão temos : ln 0 W 0

5 p Trabalho realzado por um gás deal a olume constante Consdere processo de a. Durante este processo o olume do gás deal é mantda constante Assm, o W trabalho eto pelo gás é: (19-5) W pd 0 Agora consdere processo de a. Durante este processo o olume do gás deal é mantda constante. Assm, o W trabalho eto pelo gás é: W pd p d p

6 m p m m m A razão F. Aqu p é o momento t t L / L transerdo para a parede. A orça eercda por uma molécula p eerted by all the molecules on the wall s gen by: Ideal gás, temperatura, pressão e elocdade quadrátca méda Consdere a molécula de massa m moendo no nteror de um recpente de dmensões 1 N ag N F 1... p t F m1 / L m / L... mn / L m p 3... L L L Araz quadrátca méda (RMS) para é dendo como:... N N LLL Lcomo mostrado na descobrr. Iremos segur o momento da molécula ao longo do eo. A molécula atraessa as paredes com nteralo de tempo t L entre colsões 1 N ag Assm, a pressão (19-6)

7 p nm rms 3 rms 3RT M Nm Assm, a pressão do gás p 3 L ag Para cada molecula a elocdade é y z O alor médo das três componentes é gual Assm: 3 Assm p nm 3 rms Esta equacao dz-nos como a pressao do gas depende da elocdade das moleculas de gás. Se resoler esta equação para rms 3nRT 3RT nm M rms nos obtemos que: rms 3p nm (19-7)

8 Energa cnétca de translação A energa cnétca de uma molécula de gás K Sua energa cnétca méda Assm K ag m 3RT 3RT M N Nos nalmente temos que: K A ag K ag ag m m m 3 kt rms K ag 3kT Em uma temperatura T todas as moléculas de gás deas, não mporta qual a sua massa, terão a mesma energa cnétca méda de translação. Se medmos a temperatura de um gás, saberemos quas são também a sua energa cnétca meda das suas moléculas. (19-8)

9 M P( ) 4 RT 3/ e M / RT 3/ M M /RT ( ) 4 e Nesta equacao M é a massa molar e P RT é a elocdade molecular. O produto P( ) d á a racção das moléculas com uma elocdade entre d e d. A ntegral P( ) d dá a racção de moléculas com elocdades entre 0 e Assm, a ntegral dee ser gual a 1. A ntegral P( ) d dá a racção de moléculas com elocdades entre A dstrbução das elocdades moleculares A raz quadrada elocdade méda rms dá uma dea geral das elocdades moleculares, a uma temperatura T. Inormação mas completas é dada pela le de dstrbução da elocdade de Mawell e (19-9)

10 (19-10) elocdades méda, RMS e mas proáes ag 8RT M rms 3RT M P RT M A elocdade méda das moléculas é dada pela ntegral: P( ) d ag 8RT. A méda do quadrado da elocdade, é dado pela ntegral: M ag ag 0 3RT P( ) d. A elocdade de raz quadrada méda M rms 3RT Assm rms de acordo com os resultados a que chegamos antes. A elocdade M dp proáel P a elocdade na qual P( ) tem um mámo. Assm 0 d ag 0 ag

11 (19-11) E nt 3nRT Energa nterna de um gás deal Consdere um gás monoatômco, tas como He, Ar, ou Kr. Neste caso, a energa nterna E nt do gás é a soma das energas cnétcas de translação dos átomos conttuente A energa cnétca méda de translação de um únco átomo é dado pela equação 3kT Kag Uma amostra do gás de nmoles contém N nn A átomos. A energa nn A3kT 3nRT nterna de um gáss Ent NKag A equação acma dela epressando o segunte resultado mportante O E energa nterna de um gás deal é uma unção da temperatura do gás nt apenas, que não depende de qualquer outro parâmetro.

12 3R C Ent nc T Calor especíco molar C a olume constante Consderar nmoles de um gás deal, a pressão p e temperatura T. O olume de gás é ado em. Estes parâmetros denem o estado ncal do gás. Uma pequena quantdade de calor Q é adconado a partr do reseratóro que muda a temperatura para T. T e a pressão de pp lea o sstema à sua estado nal.. O calor Q nc T TTA constante C é chamado o calor especíco molar em constante olume. A partr da prmera le da termodnâmca temos:: Q E W. W p 0 nt Ent Assm Q Ent nct C= nt 3nRT 3nRT 3R Ent Ent C Podemos escreer a energa nterna do gás na orma a segur: E nc T nt E nt nc T (19-1)

13 C C R p Calor especíco molar C p a pressão constante Supomos que nós adconamos uma quantdade de calort para T T e seu olume de para mantendo a pressão constante a p O calor Q nc T A constante C p p é chamado calor especíco molar a pressão constante. Pela prmera le da termodnâmca, temos: nc T p nc T p Usando a le dos gases deas p nrt nos temos: p nrt nc T nrt nc T Assm: p p C C R p Q W E nt (19-13)

14 C = 5 R = 3 = 6 Graus de lberdade e calor especíco molar 3R A equação C concorda com dados epermentas de gases monoatomcos, mas alha em gases datomco e polatomcos. A razao e que, para datomco e moleculas polatomcas tem momentos mas compleos que o smples momento de translacao por nós assumdo para gases monoatomcos. A energa pode ser momento rotaconal em eos ortogonas e tambem sobre o momento osclatoro a poscao de equlbro. Para eplcar esses eetos Mawell ntroduzu o teorema de equpartção de energa que arma: Cada tpo de molecula tem graus de lberdade que são dendos como ormas ndependentes em que a molecula pode armazenar energa. Cada grau de lberdade tem uma energa meda kt / por molecula ou RT / por mole.. O calor molar especíca correspondente é: e é gual a 3 para gases monatomcos, 6 é gual a para gases polatomcos. (19-14) R C 5 para gáses datomcos,

15 p p 1 1 T T (19-15) Epansão adabátca de um gás deal Consdere o gás deal em g.a. O recpente é bem solado. Quando o gás epande nenhum calor é transerdo para ou a partr do gás. Este processo é chamado adabátco. Um tal processo é ndcado no p-dagrama de g.b. pela lnha ermelha. O gás é ncado a uma pressão ncal p olume ncal. Os parâmetros correspondentes nas são p e. O processo é descrto pela equação: p I I p Usando a le do gás deal, podemos obter a equação: T T T T 1 C Aqu a constante C temos epansão adabátca e T temos compressão adabátca e T T p T

16 T T Epansão lre Em uma epansão lre de um gás de olume ncal e ncal a pressão p é permtdo epandr em um recpente azo de modo que o olume nal é e a pressão nal p p p Em uma epansão lre Q 0 porque o recpente de gas e solado. Alem dsso uma ez que a epansao tem lugar no acuo o trabalho lqudo W=0 A prmera le da termodnamca predz que E 0 Uma ez que o gás é assumdo ser deal não há alteração na temperatura T T Usando a le dos gases deas obtemos a segunte equação que lga o ncal com o estado nal do gás: p p nt (19-16)