Derivada Direcional e gradiente no plano

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2 Dervada Dreconal e gradente no plano Sea m campo escalar no plano descrto por ma nção derencável a das varáves. Assm se =(,, então é o valor do campo escalar no ponto P=(,.Sea L ma reta no plano. Qando P se move ao longo de L, pode varar e a sentdo pergntar pela taa de varação d/ds de em relação à dstânca s medda ao longo de L. (g 1

3 Para encontrar d/ds, ntrodremos m vetor ntáro a b paralelo a L enadreçãodomovmentodep ao longo de L, (g. 2.Se P=(, está a s ndades de m ponto ado P 0 =( 0, 0 em L, então P 0P s Isto é, ( as bs ( 0 0

4 Igalando os componentes temos - 0 =as e - o =bs; sto é, = 0 +as e = 0 +bs. Portanto, d ds a e d ds b E sege da Regra da cadea d ds d ds d ds a b A dervada d/ds, qe é a taa de varação do campo escalar em relação à dstânca medda na dreção do vetor ntáro, é denomnada dervada dreconal de (o dervada dreconal da nção na dreção de eéescrtacomo D (o D. Assm tem-se D D a b (, (, a (, b

5 Onde sen ( (cos Em partclar, se é o vetor ntáro qe a m ânglo como eo postvo de, então b a e sen D sen D, ( cos, (, ( cos

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7 Portanto, as dervadas dreconas de nas dreções dos eos postvos de e são as dervadas parcas de com respeto a e a respectvamente. A dervada dreconal D pode ser epressa na orma de prodto escalar b a b a b a D ( O vetor cos componentes escalares são as dervadas parcas de com respeto a a e a é denomnado gradente do campo escalar (o da nção e é escrto como (o como. O símbolo, m delta grego nvertdo, é chamado nabla. Assm temos = e podemos escrever a dervada dreconal como, (, ( D D O sea, a dervada dreconal de m campo escalar nma dada dreção é o prodto escalar desta dreção pelo gradente do campo escalar.

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13 E1:Se = , encontre : (a, (b o vetor de no ponto (2,-3, e c a dervada dreconal D no ponto (2,-3 e na dreção do vetor ntáro =(cos /3+(sen /3. Sol. a =( (-10 b c D cos 3 29cos 60sen 3 3 ( 29 sen ( 29 (

14 E 2. Se (,= , encontre: a o gradente de (1,2; ba dervada dreconal de (1,2;onde é o vetor na dreção de v=4-3. Obtemos o vetor normalando o vetor v, assm: (1,2 (1, (1,2 (1,2 (1,2 18 e ( D b a v v

15 Se armos m ponto ( 0, 0 no plano então a dervada dreconal D ( 0, 0 ( 0, 0 depende apenas da escolha do vetor ntáro, vsto qe o vetor gradente ( 0, 0 está ado. Se é o ânglo entre e ( 0, 0 (g 3, então pela denção de prodto escalar ( 0, 0 ( 0, 0 cos

16 Já qe =1, sege qe D ( 0, 0 ( 0, 0 cos Qando varamos o ânglo na últma órmla, obtemos o valor da dervada dreconal, em váras dreções, no ponto ( 0, 0. Tomando = /2, temos cos=0 O sea D ( 0, 0 = 0. Assm temos: 1. A dervada dreconal é nla qando tomamos a dreção perpendclar ao gradente; Desde qe cos assme se valor mámo, a saber 1, qando =0, também obtemos o segnte ato: 2. A dervada dreconal assme se valor mámo qando tomamos a dreção do Gradente e esse mámo valor é ( 0, 0. Em otras palavras, o gradente de m campo escalar, calclado nm ponto P, é m Vetor ca dreção ndca a dreção na qal o campo escalar amenta mas rapdamente enqanto o módlo do vetor gradente é nmercamente gal a taa nstantânea de amento do campo por ndade de dstânca nesta dreção qando no ponto P.

17 Por eemplo, se estamos nm dado campo de temperatra e deseamos segr para onde a temperatra amenta mas rapdamente, basta tomar a dreção do gradente neste ponto. Por otro lado, se nos movmentarmos perpendclarmente ao vetor gradente, a taa nstantânea de varação é nla e estaremos segndo sobre a soterma qe passa por este ponto. Movendo-se na dreção oposta ao gradente (sto é, na dreção do gradente negatvo a temperatra dmnrá mas rapdamente.

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