Rendas. Valor Ano (final)

Transcrição

1 Rendas 1. Considere o conjunto de capitais abaixo representado e, à taxa anual de 8%, determine o seu valor nos momentos indicados: a) Momento 1 b) Momento 6 c) Momento 0 d) Momento 8 Valor Ano (final) Dezasseis anuidades constantes e postecipadas têm um valor acumulado de Calcule a anuidade, sabendo que a taxa de juro anual é de 6%. 3. Repita o exercício anterior para as seguintes situações: a) 8 anuidades constantes e postecipadas, valor acum. de , tx. juro anual = 3.5%. b) 33 anuidades constantes e postecipadas, v. acumulado de 1400, tx. juro anual = 2%. c) 44 anuidades constantes e postecipadas, valor acumul. de 1500, tx. juro anual = 4%. 4. Uma renda anual, imediata, de termos constantes e postecipados apresenta um valor acumulado de Sabendo que a taxa de juro é de %, determine o número de anuidades desta renda, considerando que cada anuidade apresenta um valor de Repita o exercício anterior para as seguintes situações: a) Valor acumulado de , taxa de juro de 6.5%, anuidade de b) Valor acumulado de , taxa de juro de %, anuidade de 100

2 6. Calcule o valor acumulado e o valor atual de 120 mensalidades postecipadas no valor de 100 cada, considerando a taxa anual nominal de 6%, composta mensalmente. 7. Repita o exercício anterior para o caso em que a taxa anual de 6% é: a) Nominal, composta trimestralmente b) Nominal, composta semestralmente c) Efetiva 8. Considere uma renda anual imediata de termos normais, constituída por 20 termos a variar em progressão aritmética. Para uma taxa anual de 3%, calcule o valor atual desta renda sabendo que o 3.º termo é de 7000 e o 15.º termo é de Considere uma renda anual imediata de termos normais, constituída por 15 termos a variarem em progressão geométrica. Para uma taxa anual de 4%, calcule o valor atual desta renda sabendo que o 3.º termo é de 2000 e o 15.º termo é de Considere uma renda perpétua com termos anuais postecipados, sendo o 1.º termo no valor de 1000 e, à taxa anual de 4%, determine o seu valor atual no caso dos termos serem: a) Todos iguais a 1000 b) Sucessivamente superiores em 100 c) Sucessivamente superiores em 2%

3 Resoluções 1. Considere o conjunto de capitais abaixo representado e, à taxa anual de 8%, determine o seu valor nos momentos indicados: a) Momento 1 b) Momento 6 c) Momento 0 d) Momento 8 Valor Ano (final) a) A n = t a n i, sendo a n i = [1-(1+i) -n ]/i. Aplicando esta expressão, fica: A n = 1200 a = 1200 [1-(1+0.08) -5 ]/0.08 A n = Como, por definição, o valor atual de uma renda se encontra reportado à sua origem, neste caso os já se encontram reportados ao momento 1. b) Repare-se que se pede o valor desta renda no momento que coincide com o vencimento do último capital de Sabemos que o valor acumulado de uma renda é a soma de todos os valores dos seus termos capitalizados para o momento em que ocorre o último e calcula-se da seguinte forma: S n = t s n i, sendo s n i = [(1+i) n -1]/i. Aplicando esta expressão, fica: S n = 1200 s = 1200 [(1+0.08) 5-1]/0.08 S n = Como, por definição, o valor acumulado de uma renda se encontra reportado ao momento em que ocorre o seu último termo, neste caso os já se encontram reportados ao momento 6. Note-se que, partindo do valor encontrado na alínea anterior, e capitalizando-o 5 anos, também conseguimos calcular o valor da renda no momento 6. c) Se partirmos do seu valor no momento 1, basta atualizá-lo um ano. Fica: V 0 = (1+0.08) -1 V 0 = Repare-se que, tratando-se de um capital único, atualizámos o valor no momento 1 utilizando o Fator de Atualização Racional Composto [FARC n,i = (1+i) -n ]. d) Se partirmos do seu valor no momento 6, basta capitalizá-lo 2 anos. Fica: V 8 = (1+0.08) 2 V 8 =

4 2. Dezasseis anuidades constantes e postecipadas têm um valor acumulado de Calcule a anuidade, sabendo que a taxa de juro anual é de 6%. Valor -t -t -t -t -t -t -t -t -t -t -t -t t Ano (final) Trata-se de uma renda postecipada, pelo que cada termo vence no final do respetivo ano. Estamos perante uma renda inteira, pelo que a renda e a taxa de juro são anuais. A fórmula do valor acumulado diz-nos que S n = t s n i. Aplicando esta expressão, fica: = t s = t[(1+0.06) 16-1]/ = t t = A anuidade desta renda é de Repita o exercício anterior para as seguintes situações: a) 8 anuidades constantes e postecipadas, valor acum. de , tx. juro anual = 3.5%. b) 33 anuidades constantes e postecipadas, v. acumulado de 1400, tx. juro anual = 2%. c) 44 anuidades constantes e postecipadas, valor acumul. de 1500, tx. juro anual = 4%. Soluções: a) s = t = 100 b) s = t = c) s = t = Uma renda anual, imediata, de termos constantes e postecipados apresenta um valor acumulado de Sabendo que a taxa de juro é de %, determine o número de anuidades desta renda, considerando que cada anuidade apresenta um valor de Valor Ano (final) n =?

5 Trata-se de uma renda postecipada, pelo que cada termo vence no final do respetivo ano. Estamos perante uma renda inteira, pelo que a renda e a taxa de juro são anuais. A fórmula do valor acumulado diz-nos que S n = t s n i. Aplicando esta expressão, fica: 1600 = s n = s n = [( ) n -1]/ = n = n log = log( n ) = n log = n n = 32 O número de anuidades desta renda é de Repita o exercício anterior para as seguintes situações: a) Valor acumulado de , taxa de juro de 6.5%, anuidade de b) Valor acumulado de , taxa de juro de %, anuidade de 100 Soluções: a) n 12 b) n = Calcule o valor acumulado e o valor atual de 120 mensalidades postecipadas no valor de 100 cada, considerando a taxa anual nominal de 6%, composta mensalmente. S n =? Valor A n =? Mês Estamos perante uma renda fracionada, já que, sendo a renda mensal, partimos de uma taxa distinta de taxa mensal. Deste modo, o primeiro passo a dar é transformar a renda fracionada numa renda inteira. Temos sempre que converter a taxa dada numa taxa cujo período coincide com o período da renda. Neste caso, como estamos perante uma renda mensal, teremos que utilizar uma taxa mensal efetiva. Note-se que a transformação de uma renda fracionada numa renda inteira nunca passa por converter o período da renda no período da taxa, mas sim o contrário, ou seja, a conversão da taxa dada para o período que coincide com o período da renda. Em virtude das capitalizações serem mensais, iremos calcular a taxa mensal. A taxa mensal, calculada através de uma relação de proporcionalidade, é 0.5%. Como esta taxa, no final do 1.º mês, não produziu juros de juros, esta taxa já é efetiva para o mês. O valor acumulado desta renda fica: S n = t s n i S n = 100 s = 100 [( ) 120-1]/0.005 S n =

6 O valor acumulado desta renda é Este resultado significa que, utilizando uma taxa anual nominal de 6% composta mensalmente, é financeiramente equivalente dispor de um conjunto de 120 mensalidades postecipadas no valor de 100 cada ou dispor de um capital único de com vencimento no final do 10.º ano. O valor atual fica: A n = t a n i A n = 100 a = 100 [1-( ) -120 ]/0.005 A n = O valor atual desta renda é de Este resultado significa que, utilizando uma taxa anual nominal de 6% composta mensalmente, é financeiramente equivalente dispor de um conjunto de 120 mensalidades postecipadas no valor de 100 cada ou dispor de um capital único de com vencimento no momento presente (origem da renda). 7. Repita o exercício anterior para o caso em que a taxa anual de 6% é: a) Nominal, composta trimestralmente b) Nominal, composta semestralmente c) Efetiva a) Como a renda é mensal, teremos que aplicar uma taxa mensal efetiva. Pelo facto da taxa de partida ser anual nominal, a relação a aplicar inicialmente é de proporcionalidade, ficando: i (4) = 4i 4 i 4 = 0.06/4 i 4 = Obtivemos uma taxa trimestral de 1.5%, que é efetiva para o trimestre. Agora temos que calcular a correspondente taxa mensal efetiva, aplicando uma relação de equivalência: (1+i 4 ) 4 = (1+i 12 ) 12 ( ) 4 = (1+i 12 ) 12 i 12 = Tendo obtido a taxa mensal efetiva, podemos calcular o valor acumulado da renda: S n = 100 [( ) 120-1]/ S n = O valor acumulado desta renda é O valor atual fica: A n = 100 [1-( ) -120 ]/ A n = O valor atual desta renda é de b) i (2) = 2i 2 i 2 = 0.06/2 i 2 = 0.03 Obtivemos uma taxa trimestral de 3%, que é efetiva para o semestre. Agora temos que calcular a correspondente taxa mensal efetiva, aplicando uma relação de equivalência:

7 (1+i 2 ) 2 = (1+i 12 ) 12 (1+0.03) 2 = (1+i 12 ) 12 i 12 = Tendo obtido a taxa mensal efetiva, podemos calcular o valor acumulado da renda: S n = 100 [( ) 120-1]/ S n = O valor acumulado desta renda é O valor atual fica: A n = 100 [1-( ) -120 ]/ A n = O valor atual desta renda é de c) 1+i = (1+i 12 ) = (1+i 12 ) 12 i 12 = Tendo obtido a taxa mensal efetiva, podemos calcular o valor acumulado da renda: S n = 100 [( ) 120-1]/ S n = O valor acumulado desta renda é O valor atual fica: A n = 100 [1-( ) -120 ]/ A n = O valor atual desta renda é de Considere uma renda anual imediata de termos normais, constituída por 20 termos a variar em progressão aritmética. Para uma taxa anual de 3%, calcule o valor atual desta renda sabendo que o 3.º termo é de 7000 e o 15.º termo é de Valor (a)a n t 1 t 2 t 3 = 7000 t 15 = t 20 Ano A expressão que nos permite calcular o valor atual de uma renda com os termos a variar em progressão aritmética é a seguinte: (a)a n = a n i (t + r/i + nr) - nr/i Já dispomos do número de termos da renda (n) e da taxa de juro (i), faltam-nos o primeiro termo da renda (t) e a razão da progressão aritmética (r). Pela análise dos 2 termos da renda dados, verificamos que o t 15 > t 3, pelo que os termos desta renda são crescentes, isto é, os termos desta progressão aritmética apresentam uma razão positiva. Utilizando a expressão do termo geral da progressão aritmética e usando o valor de cada um destes 2 termos da renda, é possível calcular-se a respetiva razão:

8 t k = t j + (k-j)r t 15 = t 3 + (15-3)r = r r = Calculada a razão da progressão aritmética e usando novamente a respetiva expressão do termo geral, poderemos calcular o valor do 1.º termo: t 3 = t 1 + (3-1)r 7000 = t t 1 = Aplicando a fórmula do valor atual da renda com termos a variarem em progressão aritmética, fica: (a)a n = a ( / ) /0.03 (a) A n = O valor atual desta renda é de Considere uma renda anual imediata de termos normais, constituída por 15 termos a variarem em progressão geométrica. Para uma taxa anual de 4%, calcule o valor atual desta renda sabendo que o 3.º termo é de 2000 e o 15.º termo é de Valor (g)a n t 1 t 2 t 3 = 2000 t 15 = 4000 Ano A expressão que nos permite calcular o valor atual de uma renda temporária com os termos a variarem em progressão geométrica é a seguinte: (g)a n = [t/(1+i) n ] [r n (1+i) n ]/[r (1+i)] Já dispomos do número de termos da renda (n) e da taxa de juro (i), faltam-nos o primeiro termo da renda (t) e a razão da progressão geométrica (r). Pela expressão do termo geral da progressão geométrica e usando o valor dos 2 termos dados da renda, é possível calcular-se a razão: t k = t j r (k-j) t 15 = t 3 r (15-3) 4000 = 2000 r 12 r = Calculada a razão da progressão geométrica e usando novamente a respetiva expressão do termo geral, poderemos calcular o valor do 1.º termo: t 3 = t 1 r (3-1) 2000 = t t 1 = O valor atual desta renda temporária fica: (g)a n = [ /(1.04) 15 ] [ (1.04) 15 ]/[ (1.04)]= O valor atual desta renda é de

9 10. Considere uma renda perpétua com termos anuais postecipados, sendo o 1.º termo no valor de 1000 e, à taxa anual de 4%, determine o seu valor atual no caso dos termos serem: a) Todos iguais a 1000 b) Sucessivamente superiores em 100 c) Sucessivamente superiores em 2% a) Valor A i Ano Estamos perante uma renda perpétua de termos constantes, cujo valor atual é dado por: A = t/i A = 1000/0.04 A = O valor atual desta renda é de b) Valor (a)a i Ano Estamos perante uma renda perpétua com termos a variarem em progressão aritmética com razão 100: (a)a = (t/i)+(r/i 2 ) (a) A = ( 1000/0.04)+( 100/ ) (a) A = O valor atual desta renda é de c) Valor (g)a Ano Estamos perante uma renda perpétua com termos a variarem em progressão geométrica com razão Note-se que a razão da progressão geométrica é 1.02 e não 0.02: (g)a = t/(1+i-r), com (1+i) > r (g) A = 1000/( ) (g) A = O valor atual desta renda é de